y=k/y fonksiyonunu düşünün. Bu fonksiyonun grafiği matematikte hiperbol adı verilen bir çizgidir. Bir hiperbolün genel görünümü aşağıdaki şekilde gösterilmiştir. (Grafik, k'nin bire eşit olduğu y eşittir k bölü x fonksiyonunu gösterir.)
Grafiğin iki bölümden oluştuğu görülmektedir. Bu parçalara hiperbolün dalları denir. Ayrıca hiperbolün her dalının, koordinat eksenlerine giderek daha yakın yönlerden birine yaklaştığını da belirtmekte fayda var. Bu durumda koordinat eksenlerine asimptot denir.
Genel olarak, bir fonksiyonun grafiğinin sonsuz olarak yaklaştığı ancak onlara ulaşmadığı herhangi bir düz çizgiye asimptot denir. Parabol gibi hiperbolün de simetri eksenleri vardır. Yukarıdaki şekilde gösterilen hiperbol için bu y=x doğrusudur.
Şimdi iki yaygın abartı durumuna bakalım. y = k/x fonksiyonunun grafiği, k ≠0 için, dalları k>0 için birinci ve üçüncü koordinat açılarında veya ikinci ve dördüncü koordinat açılarında bulunan bir hiperbol olacaktır, çatal<0.
y = k/x fonksiyonunun temel özellikleri, k>0 için
k>0 için y = k/x fonksiyonunun grafiği
5. x>0'da y>0; y6. Fonksiyon hem (-∞;0) aralığında hem de (0;+∞) aralığında azalır.
10. Fonksiyonun değer aralığı (-∞;0) ve (0;+∞) olmak üzere iki açık aralıktır.
k için y = k/x fonksiyonunun temel özellikleri<0
y = k/x fonksiyonunun grafiği, k'de<0
1. (0;0) noktası hiperbolün simetri merkezidir.
2. Koordinat eksenleri - hiperbolün asimptotları.
4. Fonksiyonun tanım tanım kümesi, x=0 dışındaki tüm x'lerdir.
5. x0'da y>0.
6. Fonksiyon hem (-∞;0) aralığında hem de (0;+∞) aralığında artar.
7. Fonksiyon aşağıdan veya yukarıdan sınırlandırılmamıştır.
8. Bir fonksiyonun ne maksimum ne de minimum değeri vardır.
9. Fonksiyon (-∞;0) aralığında ve (0;+∞) aralığında süreklidir. X=0'da bir boşluk var.
Fonksiyonların türevlerini almayı öğrenin. Türev, bir fonksiyonun grafiğinde yer alan belirli bir noktadaki değişim oranını karakterize eder. Bu durumda grafik düz veya eğri bir çizgi olabilir. Yani türev, bir fonksiyonun zaman içinde belirli bir noktadaki değişim oranını karakterize eder. Türevlerin alındığı genel kuralları hatırlayın ve ancak bundan sonra bir sonraki adıma geçin.
- Makaleyi okuyun.
- En basit türevlerin, örneğin üstel bir denklemin türevinin nasıl alınacağı açıklanmaktadır. Aşağıdaki adımlarda sunulan hesaplamalar burada açıklanan yöntemlere dayalı olacaktır.
Eğimin bir fonksiyonun türevi aracılığıyla hesaplanması gereken problemleri birbirinden ayırmayı öğrenin. Problemler sizden her zaman bir fonksiyonun eğimini veya türevini bulmanızı istemez. Örneğin sizden bir fonksiyonun A(x,y) noktasındaki değişim oranını bulmanız istenebilir. Ayrıca A(x,y) noktasındaki teğetin eğimini bulmanız da istenebilir. Her iki durumda da fonksiyonun türevini almak gerekir.
Size verilen fonksiyonun türevini alın. Burada bir grafik oluşturmaya gerek yok; yalnızca fonksiyonun denklemine ihtiyacınız var. Örneğimizde fonksiyonun türevini alın. Türevi yukarıda belirtilen makalede belirtilen yöntemlere göre alın:
- Türev:
Eğimi hesaplamak için size verilen noktanın koordinatlarını bulunan türevin yerine koyun. Bir fonksiyonun türevi belirli bir noktadaki eğime eşittir. Başka bir deyişle f"(x), fonksiyonun herhangi bir (x,f(x)) noktasındaki eğimidir. Örneğimizde:
- Fonksiyonun eğimini bulun f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) A(4,2) noktasında.
- Bir fonksiyonun türevi:
- f ′ (x) = 4 x + 6 (\displaystyle f"(x)=4x+6)
- Bu noktanın “x” koordinatının değerini değiştirin:
- f ′ (x) = 4 (4) + 6 (\displaystyle f"(x)=4(4)+6)
- Eğimi bulun:
- Eğim fonksiyonu f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) A(4,2) noktasında 22'ye eşittir.
Mümkünse cevabınızı bir grafik üzerinde kontrol edin. Eğimin her noktada hesaplanamayacağını unutmayın. Diferansiyel hesap, eğimin her noktada hesaplanamadığı ve bazı durumlarda noktaların grafiklerde hiç yer almadığı karmaşık fonksiyonlar ve karmaşık grafiklerle ilgilenir. Mümkünse, size verilen fonksiyonun eğiminin doğru olup olmadığını kontrol etmek için bir grafik hesap makinesi kullanın. Aksi halde size verilen noktaya grafiğe bir teğet çizin ve bulduğunuz eğim değerinin grafikte gördüğünüzle eşleşip eşleşmediğini düşünün.
- Teğet, belirli bir noktada fonksiyonun grafiğiyle aynı eğime sahip olacaktır. Belirli bir noktaya teğet çizmek için, X ekseninde sola/sağa hareket edin (örneğimizde sağa doğru 22 değer) ve ardından Y ekseninde bir yukarıya doğru gelin. Noktayı işaretleyin ve ardından onu X eksenine bağlayın. sana verilen puan. Örneğimizde noktaları (4,2) ve (26,3) koordinatlarıyla birleştirin.
Doğrusal bir fonksiyon formun bir fonksiyonudur
x-argümanı (bağımsız değişken),
y-fonksiyonu (bağımlı değişken),
k ve b bazı sabit sayılardır
Doğrusal bir fonksiyonun grafiği dümdüz.
Grafik oluşturmak için yeterli iki puan çünkü iki noktadan düz bir çizgi ve üstelik yalnızca bir çizgi çizebilirsiniz.
Eğer k˃0 ise grafik 1. ve 3. koordinat bölgelerinde yer alır. Eğer k˂0 ise grafik 2. ve 4. koordinat bölgelerinde yer alır.
k sayısına y(x)=kx+b fonksiyonunun düz grafiğinin eğimi denir. Eğer k˃0 ise, y(x)= kx+b düz çizgisinin Ox pozitif yönüne olan eğim açısı dardır; k˂0 ise bu açı geniştir.
Katsayı b, grafiğin op-amp ekseni (0; b) ile kesişme noktasını gösterir.
y(x)=k∙x-- tipik bir fonksiyonun özel durumuna doğru orantılılık denir. Grafik orijinden geçen düz bir çizgidir, dolayısıyla bu grafiği oluşturmak için bir nokta yeterlidir.
Doğrusal Bir Fonksiyonun Grafiği
Katsayısı k = 3 olduğunda, dolayısıyla
Fonksiyonun grafiği artacak ve Ox ekseniyle dar açı yapacaktır çünkü k katsayısı artı işaretine sahiptir.
OOF doğrusal fonksiyonu
Doğrusal bir fonksiyonun OPF'si
Şu durum hariç
Ayrıca formun doğrusal bir fonksiyonu
Genel formun bir fonksiyonudur.
B) k=0 ise; b≠0,
Bu durumda grafik Ox eksenine paralel ve (0; b) noktasından geçen düz bir çizgidir.
B) k≠0 ise; b≠0 ise doğrusal fonksiyon y(x)=k∙x+b formuna sahiptir.
Örnek 1 . y(x)= -2x+5 fonksiyonunun grafiğini çizin
Örnek 2 . y=3x+1, y=0; fonksiyonunun sıfırlarını bulalım.
– fonksiyonun sıfırları.
Cevap: veya (;0)
Örnek 3 . x=1 ve x=-1 için y=-x+3 fonksiyonunun değerini belirleyin
y(-1)=-(-1)+3=1+3=4
Cevap: y_1=2; y_2=4.
Örnek 4 . Kesişme noktalarının koordinatlarını belirleyin veya grafiklerin kesişmediğini kanıtlayın. y 1 =10∙x-8 ve y 2 =-3∙x+5 fonksiyonları verilsin.
Fonksiyonların grafikleri kesişiyorsa fonksiyonların bu noktadaki değerleri eşittir
x=1'i yerine koyarsak, y 1 (1)=10∙1-8=2 olur.
Yorum. Ayrıca argümanın sonuç değerini y 2 =-3∙x+5 fonksiyonunda da yerine koyabilirsiniz, o zaman aynı cevabı y 2 (1)=-3∙1+5=2 elde ederiz.
y=2- kesişme noktasının koordinatı.
(1;2) - y=10x-8 ve y=-3x+5 fonksiyonlarının grafiklerinin kesişme noktası.
Cevap: (1;2)
Örnek 5 .
y 1 (x)= x+3 ve y 2 (x)= x-1 fonksiyonlarının grafiklerini oluşturun.
Her iki fonksiyon için de k=1 katsayısının olduğunu görebilirsiniz.
Yukarıdan, doğrusal bir fonksiyonun katsayıları eşitse, koordinat sistemindeki grafiklerinin paralel olduğu anlaşılmaktadır.
Örnek 6 .
Fonksiyonun iki grafiğini oluşturalım.
İlk grafikte formül var
İkinci grafikte formül var
Bu durumda elimizde (0;4) noktasında kesişen iki doğrunun grafiği var. Bu, eğer x = 0 ise grafiğin Ox ekseni üzerindeki yükselişinden sorumlu olan katsayı b anlamına gelir. Bu, her iki grafiğin b katsayısının 4'e eşit olduğunu varsayabileceğimiz anlamına gelir.
Editörler: Ageeva Lyubov Aleksandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna
Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.
Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması
Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.
Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.
Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.
Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:
- Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.
Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:
- Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve gelecek etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
- Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
- Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
- Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.
Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması
Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.
İstisnalar:
- Gerekirse - yasaya, adli prosedüre uygun olarak, yasal işlemlerde ve/veya kamunun talepleri veya Rusya Federasyonu topraklarındaki hükümet yetkililerinin talepleri temelinde - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
- Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.
Kişisel bilgilerin korunması
Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.
Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak
Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.
Talimatlar
Grafik, koordinatların orijininden geçen ve OX ekseni ile bir α açısı oluşturan düz bir çizgi ise (düz çizginin pozitif yarı eksen OX'a eğim açısı). Bu satırı tanımlayan fonksiyon y = kx biçiminde olacaktır. Orantılılık katsayısı k tan α'ya eşittir. Düz bir çizgi 2. ve 4. koordinat çeyreğinden geçerse, o zaman k< 0, и является убывающей, если через 1-ю и 3-ю, то k >0 ve fonksiyon artarsa koordinat eksenlerine göre farklı konumlarda bulunan bir doğruyu temsil etsin. Bu doğrusal bir fonksiyondur ve y = kx + b formuna sahiptir; burada x ve y değişkenleri birinci kuvvettir ve k ve b pozitif ya da negatif ya da sıfıra eşit olabilir. Doğru y = kx doğrusuna paraleldir ve |b| ekseninde kesilmektedir. birimler. Doğru apsis eksenine paralelse k = 0, ordinat ekseni ise denklem x = sabit şeklindedir.
Farklı çeyreklerde bulunan ve koordinatların orijinine göre simetrik olan iki daldan oluşan bir eğri hiperboldür. Bu grafik, y değişkeninin x'e ters bağımlılığıdır ve y = k/x denklemiyle tanımlanır. Burada k ≠ 0 orantılılık katsayısıdır. Ayrıca k > 0 ise fonksiyon azalır; eğer k< 0 - функция возрастает. Таким образом, областью определения функции является вся числовая прямая, кроме x = 0. Ветви приближаются к осям координат как к своим асимптотам. С уменьшением |k| ветки гиперболы все больше «вдавливаются» в координатные углы.
İkinci dereceden fonksiyon y = ax2 + bx + c formundadır; burada a, b ve c sabit büyüklüklerdir ve a 0. b = c = 0 koşulu karşılanırsa, fonksiyonun denklemi y = ax2 ( gibi görünür) en basit durum) ve grafiği orijinden geçen bir paraboldür. y = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiği, fonksiyonun en basit durumuyla aynı forma sahiptir, ancak tepe noktası (OY ekseniyle kesişme noktası) orijinde yer almaz.
Parabol aynı zamanda n herhangi bir çift sayı ise y = xⁿ denklemiyle ifade edilen bir güç fonksiyonunun grafiğidir. Eğer n herhangi bir tek sayı ise, böyle bir kuvvet fonksiyonunun grafiği kübik bir parabol gibi görünecektir.
Eğer n herhangi bir ise fonksiyon denklemi şu şekli alır. Tek n için fonksiyonun grafiği bir hiperbol olacaktır ve çift n için dalları op eksenine göre simetrik olacaktır.
Okul yıllarında bile fonksiyonlar detaylı olarak incelenir ve grafikleri oluşturulur. Ancak ne yazık ki pratikte bir fonksiyonun grafiğinin nasıl okunacağını ve sunulan çizimden tipinin nasıl bulunacağını öğretmiyorlar. Temel fonksiyon türlerini hatırlarsanız aslında oldukça basittir.
Talimatlar
Sunulan grafik, koordinatların orijininden geçen ve OX ekseni ile α açısı (bu, düz çizginin pozitif yarı eksene eğim açısıdır) ise, o zaman böyle bir düz çizgiyi tanımlayan fonksiyon şöyle olacaktır: y = kx olarak sunulur. Bu durumda orantı katsayısı k, α açısının tanjantına eşittir.
Belirli bir doğru ikinci ve dördüncü koordinat çeyreğinden geçerse k 0'a eşit olur ve fonksiyon artar. Sunulan grafiğin koordinat eksenlerine göre herhangi bir şekilde konumlandırılmış düz bir çizgi olmasına izin verin. O zaman bunun işlevi grafikler y = kx + b formuyla temsil edilen doğrusal olacaktır, burada y ve x değişkenleri ilk sırada yer alır ve b ve k hem negatif hem de pozitif değerler alabilir veya.
Doğru, y = kx grafiğine paralelse ve ordinat ekseninde b birimlerini kesiyorsa, denklem x = const biçimindedir, eğer grafik apsis eksenine paralelse, o zaman k = 0 olur.
Orijine göre simetrik ve farklı çeyreklerde bulunan iki daldan oluşan eğri bir çizgiye hiperbol denir. Böyle bir grafik, y değişkeninin x değişkenine ters bağımlılığını gösterir ve y = k/x formundaki bir denklemle tanımlanır; burada k, ters orantılılık katsayısı olduğundan sıfıra eşit olmamalıdır. Ayrıca k'nin değeri sıfırdan büyükse fonksiyon azalır; k sıfırdan küçükse artar.
Önerilen grafik orijinden geçen bir parabol ise, b = c = 0 koşuluna bağlı olarak fonksiyonu y = ax2 biçiminde olacaktır. Bu ikinci dereceden bir fonksiyonun en basit durumudur. Y = ax2 + bx + c formundaki bir fonksiyonun grafiği en basit durumla aynı forma sahip olacaktır, ancak tepe noktası (grafiğin ordinat ekseniyle kesiştiği nokta) orijinde olmayacaktır. Y = ax2 + bx + c formuyla temsil edilen ikinci dereceden bir fonksiyonda a, b ve c'nin değerleri sabittir, a ise sıfıra eşit değildir.
Bir parabol, yalnızca n'nin herhangi bir çift sayı olması durumunda, y = xⁿ formundaki bir denklemle ifade edilen bir kuvvet fonksiyonunun grafiği de olabilir. Eğer n'nin değeri tek bir sayı ise, böyle bir güç fonksiyonunun grafiği kübik bir parabol ile temsil edilecektir. Eğer n değişkeni herhangi bir negatif sayı ise fonksiyon denklemi formunu alır.
Konuyla ilgili video
Düzlemdeki kesinlikle herhangi bir noktanın koordinatı, iki miktarıyla belirlenir: apsis ekseni ve ordinat ekseni boyunca. Bu tür birçok noktanın toplanması fonksiyonun grafiğini temsil eder. Buradan X değerindeki değişime bağlı olarak Y değerinin nasıl değiştiğini görebilirsiniz. Ayrıca fonksiyonun hangi bölümde (aralıkta) arttığını, hangisinde azaldığını da belirleyebilirsiniz.
Talimatlar
Grafiği düz bir çizgi olan bir fonksiyon hakkında ne söyleyebilirsiniz? Bu çizginin koordinat başlangıç noktasından (yani X ve Y değerlerinin 0'a eşit olduğu noktadan) geçip geçmediğine bakın. Eğer geçerse, böyle bir fonksiyon y = kx denklemiyle tanımlanır. K değeri ne kadar büyük olursa, bu düz çizginin ordinat eksenine o kadar yakın olacağını anlamak kolaydır. Ve Y ekseninin kendisi aslında sonsuz büyük bir k değerine karşılık gelir.
