Sürekli bir rastgele değişkenin düzgün dağılımının grafiği. Sürekli bir rastgele değişkenin tekdüze ve üstel dağılım yasaları

Bu konu uzun süredir ayrıntılı olarak çalışılmaktadır ve en yaygın kullanılan yöntem, George Box, Mervyn Muller ve George Marsaglia tarafından 1958'de önerilen kutupsal koordinat yöntemidir. Bu yöntem, matematiksel beklentisi 0 ve varyansı 1 olan bir çift bağımsız normal dağılımlı rastgele değişken elde etmenizi sağlar:

Z 0 ve Z 1 istenen değerler olduğunda, s = u 2 + v 2 ve u ve v, (-1, 1) aralığında düzgün şekilde dağıtılan ve 0 koşulu sağlanacak şekilde seçilen rastgele değişkenlerdir.< s < 1.
Pek çok kişi bu formülleri hiç düşünmeden kullanıyor ve çoğu da hazır uygulamaları kullandığı için varlığından bile şüphelenmiyor. Ancak şu soruyu soranlar da var: “Bu formül nereden çıktı? Peki neden aynı anda birkaç miktar alıyorsunuz?” Daha sonra bu sorulara net bir cevap vermeye çalışacağım.

Başlangıç ​​olarak olasılık yoğunluğunun, rastgele değişkenin dağılım fonksiyonunun ve ters fonksiyonun ne olduğunu hatırlatayım. Dağılımı f(x) yoğunluk fonksiyonu ile belirlenen ve aşağıdaki forma sahip olan belirli bir rastgele değişkenin olduğunu varsayalım:

Bu, belirli bir rastgele değişkenin değerinin (A, B) aralığında olma olasılığının taralı alanın alanına eşit olduğu anlamına gelir. Ve sonuç olarak, tüm gölgeli alanın alanı bire eşit olmalıdır, çünkü her durumda rastgele değişkenin değeri f fonksiyonunun tanım alanına girecektir.
Bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu yoğunluk fonksiyonunun integralidir. Ve bu durumda yaklaşık görünümü şöyle olacaktır:

Buradaki anlam, rasgele değişkenin değerinin B olasılığı ile A'dan küçük olacağıdır. Sonuç olarak fonksiyon asla azalmaz ve değerleri aralıkta yer alır.

Ters fonksiyon, orijinal fonksiyonun değeri kendisine iletildiğinde orijinal fonksiyona bir argüman döndüren bir fonksiyondur. Örneğin, x 2 fonksiyonu için bunun tersi kök çıkarma fonksiyonudur, sin(x) için ise arcsin(x), vb.'dir.

Sahte rasgele sayı üreteçlerinin çoğu çıktı olarak yalnızca tekdüze bir dağılım ürettiğinden, genellikle onu başka bir dağılıma dönüştürme ihtiyacı vardır. Bu durumda normal Gaussian'a göre:

Düzgün bir dağılımı diğerine dönüştürmeye yönelik tüm yöntemlerin temeli, ters dönüşüm yöntemidir. Aşağıdaki gibi çalışır. Gerekli dağılımın fonksiyonuna ters olan bir fonksiyon bulunur ve (0, 1) aralığında düzgün bir şekilde dağıtılan bir rastgele değişken argüman olarak ona iletilir. Çıktıda gerekli dağılıma sahip bir değer elde ederiz. Netlik sağlamak için aşağıdaki resmi sunuyorum.

Böylece, yeni dağılıma göre tekdüze bir parça sanki bulaşmış gibi, ters bir fonksiyonla başka bir eksene yansıtılıyor. Ancak sorun şu ki, Gauss dağılımının yoğunluğunun integralini hesaplamak kolay olmadığından yukarıdaki bilim adamları hile yapmak zorunda kaldı.

K bağımsız normal rastgele değişkenin karelerinin toplamının dağılımı olan bir ki-kare dağılımı (Pearson dağılımı) vardır. Ve k = 2 durumunda bu dağılım üsteldir.

Bu, dikdörtgen koordinat sistemindeki bir noktanın normal olarak dağıtılmış rastgele X ve Y koordinatlarına sahip olması durumunda, bu koordinatları kutup sistemine (r, θ) dönüştürdükten sonra, yarıçapın karesinin (başlangıç ​​noktasından noktaya olan mesafe) olduğu anlamına gelir. Yarıçapın karesi koordinatların karelerinin toplamı olduğundan (Pisagor yasasına göre) üstel yasaya göre dağıtılacaktır. Düzlemdeki bu tür noktaların dağılım yoğunluğu şöyle görünecektir:

Tüm yönlerde eşit olduğundan, θ açısı 0 ila 2π aralığında düzgün bir dağılıma sahip olacaktır. Bunun tersi de doğrudur: Kutupsal koordinat sisteminde iki bağımsız rastgele değişken (bir açı düzgün olarak dağıtılmış ve bir yarıçap üstel olarak dağıtılmış) kullanarak bir nokta tanımlarsanız, o zaman bu noktanın dikdörtgen koordinatları bağımsız normal rastgele değişkenler olacaktır. Ve aynı ters dönüşüm yöntemini kullanarak tekdüze bir dağılımdan üstel bir dağılım elde etmek çok daha kolaydır. Polar Box-Muller yönteminin özü budur.
Şimdi formülleri türetelim.

(1)

r ve θ'yı elde etmek için, (0, 1) aralığında eşit olarak dağılmış iki rastgele değişken üretmemiz gerekir (bunlara u ve v diyelim), bunlardan birinin dağılımının (diyelim v) üstel değişkene dönüştürülmesi gerekir: yarıçapı elde edin. Üstel dağılım fonksiyonu şuna benzer:

Ters fonksiyonu:

Düzgün dağılım simetrik olduğundan dönüşüm, fonksiyonla benzer şekilde çalışacaktır.

Ki-kare dağılım formülünden λ = 0,5 sonucu çıkar. Bu fonksiyonda λ, v'yi yerine koyun ve yarıçapın karesini ve ardından yarıçapın kendisini alın:

Birim parçasını 2π'ye kadar uzatarak açıyı elde ederiz:

Şimdi r ve θ'yı formül (1)'de yerine koyarız ve şunu elde ederiz:

(2)

Bu formüller zaten kullanıma hazır. X ve Y bağımsız olacak ve varyansı 1 ve matematiksel beklentisi 0 olacak şekilde normal dağılacaktır. Diğer özelliklere sahip bir dağılım elde etmek için fonksiyonun sonucunu standart sapma ile çarpmak ve matematiksel beklentiyi eklemek yeterlidir.
Ancak açıyı doğrudan değil, daire içindeki rastgele bir noktanın dikdörtgen koordinatları üzerinden dolaylı olarak belirleyerek trigonometrik fonksiyonlardan kurtulmak mümkündür. Daha sonra bu koordinatlar aracılığıyla yarıçap vektörünün uzunluğunu hesaplamak ve ardından sırasıyla x ve y'yi buna bölerek kosinüs ve sinüsü bulmak mümkün olacaktır. Nasıl ve neden çalışıyor?
Birim yarıçaplı bir çemberde düzgün dağılmış noktalardan rastgele bir nokta seçelim ve bu noktanın yarıçap vektörünün uzunluğunun karesini s harfiyle gösterelim:

Seçim, (-1, 1) aralığında eşit olarak dağıtılmış rastgele dikdörtgen x ve y koordinatları belirtilerek ve daireye ait olmayan noktaların yanı sıra yarıçap vektörünün açısının bulunduğu merkezi nokta atılarak yapılır. tanımlanmamıştır. Yani koşul 0'ın karşılanması gerekir< s < 1. Тогда, как и в случае с Гауссовским распределением на плоскости, угол θ будет распределен равномерно. Это очевидно - количество точек в каждом направлении одинаково, значит каждый угол равновероятен. Но есть и менее очевидный факт - s тоже будет иметь равномерное распределение. Полученные s и θ будут независимы друг от друга. Поэтому мы можем воспользоваться значением s для получения экспоненциального распределения, не генерируя третью случайную величину. Подставим теперь s в формулы (2) вместо v, а вместо тригонометрических функций - их расчет делением координаты на длину радиус-вектора, которая в данном случае является корнем из s:

Formülleri yazının başındaki gibi alıyoruz. Bu yöntemin dezavantajı daireye dahil olmayan noktaların atılmasıdır. Yani, oluşturulan rastgele değişkenlerin yalnızca %78,5'i kullanılıyor. Eski bilgisayarlarda trigonometri fonksiyonlarının olmaması hâlâ büyük bir avantajdı. Şimdi, bir işlemci komutu hem sinüs hem de kosinüsü anında hesapladığında, bu yöntemlerin hâlâ rekabet edebileceğini düşünüyorum.

Kişisel olarak hâlâ iki sorum var:

• S'nin değeri neden eşit olarak dağıtılıyor?
• İki normal rastgele değişkenin karelerinin toplamı neden üstel olarak dağıtılıyor?

Normal bir rastgele değişken için benzer bir dönüşüm yapılırsa, karesinin yoğunluk fonksiyonu bir hiperbole benzer olacaktır. Ve normal rastgele değişkenlerin iki karesinin eklenmesi, çift entegrasyonla ilişkili çok daha karmaşık bir süreçtir. Ve sonucun üstel bir dağılım olacağı gerçeğini şahsen sadece pratik bir yöntem kullanarak kontrol etmem veya bir aksiyom olarak kabul etmem gerekiyor. İlgilenenler için konuya daha yakından bakmanızı, şu kitaplardan bilgi edinmenizi öneririm:

• Ventzel E.S. Olasılık teorisi
• Knut D.E. Programlama Sanatı, Cilt 2

Sonuç olarak, burada normal olarak dağıtılmış bir rastgele sayı üretecinin JavaScript'te uygulanmasına bir örnek verilmiştir:

Function Gauss() ( var hazır = false; var saniye = 0,0; this.next = function(mean, dev) ( ortalama = ortalama == tanımsız ? 0,0: ortalama; dev = dev == tanımsız ? 1,0: dev; if ( this.ready) ( this.ready = false; return this.second * dev + ortalama; ) else ( var u, v, s; do ( u = 2,0 * Math.random() - 1,0; v = 2,0 * Math. rastgele() - 1.0; s = u * u + v * v; while (s > 1.0 || s == 0.0); this.second = r * u; return r * v * dev + ortalama )) g = yeni Gauss(); // bir nesne yarat a = g.next(); // bir değer çifti oluşturup ilkini elde ediyoruz b = g.next(); // ikinciyi al c = g.next(); // tekrar bir değer çifti oluşturup ilkini elde ediyoruz
Ortalama (matematiksel beklenti) ve dev (standart sapma) parametreleri isteğe bağlıdır. Logaritmanın doğal olduğuna dikkatinizi çekerim.

Sürekli rastgele değişkene örnek olarak, (a; b) aralığı boyunca düzgün şekilde dağılmış bir X rastgele değişkenini düşünün. Rastgele değişken X'in olduğu söyleniyor eşit olarak dağıtılmış (a; b) aralığında, eğer dağılım yoğunluğu bu aralıkta sabit değilse:

Normalleştirme koşulundan c sabitinin değerini belirleriz. Dağılım yoğunluk eğrisinin altındaki alan birliğe eşit olmalıdır, ancak bizim durumumuzda tabanı (b - α) ve yüksekliği c olan bir dikdörtgenin alanıdır (Şekil 1).

Pirinç. 1 Düzgün dağıtım yoğunluğu
Buradan c sabitinin değerini buluruz:

Dolayısıyla, düzgün dağılmış bir rastgele değişkenin yoğunluğu şuna eşittir:

Şimdi aşağıdaki formülü kullanarak dağıtım fonksiyonunu bulalım:
1) için
2) için
3) 0+1+0=1 için.
Böylece,

Dağıtım fonksiyonu süreklidir ve azalmaz (Şekil 2).

Pirinç. 2 Düzgün dağıtılmış bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu

bulacağız düzgün dağılmış bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi formüle göre:

Düzgün dağılımın dağılımı formülle hesaplanır ve eşittir

Örnek No.1. Ölçüm cihazının ölçek bölme değeri 0,2'dir. Cihaz okumaları en yakın tam bölüme yuvarlanır. Sayım sırasında hata yapılma olasılığını bulun: a) 0,04'ten az; b) büyük 0,02
Çözüm. Yuvarlama hatası, bitişik tamsayı bölümleri arasındaki aralığa eşit olarak dağıtılan rastgele bir değişkendir. (0; 0.2) aralığını böyle bir bölme olarak ele alalım (Şekil a). Yuvarlama hem sol kenarlığa doğru - 0, hem de sağa - 0,2 yapılabilir; bu, 0,04'ten küçük veya ona eşit bir hatanın iki kez yapılabileceği anlamına gelir; bu, olasılık hesaplanırken dikkate alınmalıdır:



P = 0,2 + 0,2 = 0,4

İkinci durumda ise hata değeri her iki bölme sınırında da 0,02'yi aşabilir, yani 0,02'den büyük veya 0,18'den küçük olabilir.


O zaman şöyle bir hata olasılığı:

Örnek No. 2. Ülkedeki ekonomik durumun son 50 yıldaki istikrarının (savaşların olmaması, doğal afetler vb.), yaşa göre nüfus dağılımının niteliğine göre değerlendirilebileceği varsayılmıştır: sakin bir durumda olması gerekir üniforma. Çalışma sonucunda ülkelerden biri için aşağıdaki veriler elde edildi.

Çözümü bir hesap makinesi kullanarak hipotezleri test ediyoruz.. Göstergelerin hesaplanması için tablo.

Çözüm:
1. Aşağıdaki formülleri kullanarak düzgün dağılımın a * ve b * parametrelerinin tahminlerini bulun:


2. Varsayılan tekdüze dağılımın yoğunluğunu bulun:
f(x) = 1/(b * - a *) = 1/(84,42 - 1,58) = 0,0121
3. Teorik frekansları bulalım:
n 1 = n*f(x)(x 1 - a *) = 1 * 0,0121(10-1,58) = 0,1
n 8 = n*f(x)(b * - x 7) = 1 * 0,0121(84,42-70) = 0,17
Geriye kalan n'ler şuna eşit olacaktır:
n s = n*f(x)(x i - x i-1)