İkinin en küçük ortak katı nasıl bulunur? NOC matematikte ne anlama geliyor?

Ancak birçok doğal sayı aynı zamanda diğer doğal sayılara da bölünebilir.

Örneğin:

12 sayısı 1'e, 2'ye, 3'e, 4'e, 6'ya, 12'ye bölünebilir;

36 sayısı 1'e, 2'ye, 3'e, 4'e, 6'ya, 12'ye, 18'e, 36'ya bölünür.

Bir sayının bir tama bölünebildiği sayılara (12 için bunlar 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir) denir. sayıların bölenleri. Bir doğal sayının böleni A- belirli bir sayıyı bölen bir doğal sayıdır A iz bırakmadan. İkiden fazla böleni olan doğal sayılara denir kompozit .

12 ve 36 sayılarının ortak bölenleri olduğunu lütfen unutmayın. Bu sayılar: 1, 2, 3, 4, 6, 12'dir. Bu sayıların en büyük böleni 12'dir. Bu iki sayının ortak böleni A Ve B- verilen her iki sayının da kalansız olarak bölündüğü sayıdır A Ve B.

Ortak katlar birkaç sayı, bu sayıların her birine bölünebilen bir sayıdır. Örneğin 9, 18 ve 45 sayılarının ortak katı 180'dir. Ancak 90 ve 360 da onların ortak katlarıdır. Tüm ortak katlar arasında her zaman en küçük olan vardır, bu durumda 90'dır. Bu sayıya denir. en küçükortak kat (CMM).

LCM her zaman tanımlandığı sayıların en büyüğünden büyük olması gereken bir doğal sayıdır.

En küçük ortak kat (LCM). Özellikler.

Değişebilirlik:

İlişkisellik:

Özellikle, eğer ve eş asal sayılar ise, o zaman:

İki tam sayının en küçük ortak katı M Ve N diğer tüm ortak katların bölenidir M Ve N. Ayrıca ortak katlar kümesi m, n LCM'nin katları kümesiyle çakışır ( m, n).

Asimptotikleri bazı sayı-teorik fonksiyonlarla ifade edilebilir.

Bu yüzden, Chebyshev işlevi. Ve ayrıca:

Bu, Landau fonksiyonunun tanımından ve özelliklerinden kaynaklanmaktadır. g(n).

Asal sayıların dağılım kanunundan çıkan sonuç.

En küçük ortak katı (LCM) bulma.

NOC( a, b) çeşitli şekillerde hesaplanabilir:

1. En büyük ortak bölen biliniyorsa, bunun LCM ile bağlantısını kullanabilirsiniz:

2. Her iki sayının asal çarpanlarına kanonik ayrışımı bilinsin:

Nerede p 1 ,...,p k- çeşitli asal sayılar ve d 1 ,...,dk Ve e 1 ,...,ek— negatif olmayan tamsayılar (karşılık gelen asal sayı genişlemede değilse sıfır olabilirler).

Daha sonra NOC ( A,B) aşağıdaki formülle hesaplanır:

Başka bir deyişle LCM ayrıştırması, sayıların ayrıştırılmasından en az birinde yer alan tüm asal faktörleri içerir. a, b, ve bu çarpanın iki üssünden en büyüğü alınır.

Örnek:

Birkaç sayının en küçük ortak katını hesaplamak, iki sayının LCM'sinin birkaç ardışık hesaplamasına indirgenebilir:

Kural. Bir sayı serisinin LCM'sini bulmak için şunlara ihtiyacınız vardır:

- sayıları asal faktörlere ayrıştırmak;

- en büyük ayrıştırmayı (verilenlerin en büyük sayısının faktörlerinin çarpımı) istenen ürünün faktörlerine aktarın ve ardından ilk sayıda görünmeyen veya içinde yer almayan diğer sayıların ayrıştırılmasından faktörleri ekleyin daha az kez;

— asal faktörlerin sonuçtaki çarpımı, verilen sayıların LCM'si olacaktır.

Herhangi iki veya daha fazla doğal sayının kendi LCM'si vardır. Sayılar birbirinin katı değilse veya açılımda aynı faktörlere sahip değilse, LCM'leri bu sayıların çarpımına eşittir.

28 sayısının asal çarpanlarına (2, 2, 7) 3 çarpanı (21 sayısı) eklenir, elde edilen çarpım (84), 21 ve 28'e bölünebilen en küçük sayı olacaktır.

En büyük 30 sayısının asal çarpanları, 25 sayısının 5 çarpanı ile tamamlanır; sonuçta ortaya çıkan 150 çarpımı, en büyük 30 sayısından büyüktür ve verilen tüm sayılara kalansız bölünebilir. Bu, verilen tüm sayıların katı olan mümkün olan en küçük çarpımdır (150, 250, 300...).

2,3,11,37 sayıları asal sayılar olduğundan LCM'leri verilen sayıların çarpımına eşittir.

Kural. Asal sayıların LCM'sini hesaplamak için tüm bu sayıları birbiriyle çarpmanız gerekir.

Başka bir seçenek:

Birkaç sayının en küçük ortak katını (LCM) bulmak için ihtiyacınız olan:

1) her sayıyı asal faktörlerinin bir ürünü olarak temsil edin, örneğin:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) Tüm asal faktörlerin kuvvetlerini yazın:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) bu sayıların her birinin asal bölenlerini (çarpanlarını) yazın;

4) bu sayıların tüm açılımlarında bulunan her birinin en büyük derecesini seçin;

5) bu güçleri çarpın.

Örnek. 168, 180 ve 3024 sayılarının LCM'sini bulun.

Çözüm. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Tüm asal bölenlerin en büyük kuvvetlerini yazıp çarpıyoruz:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

En büyük ortak bölen ve en küçük ortak kat, kesirlerle çalışmayı zahmetsiz hale getiren temel aritmetik kavramlardır. LCM ve çoğunlukla birkaç kesirin ortak paydasını bulmak için kullanılır.

Temel Kavramlar

Bir X tam sayısının böleni, X'in kalan bırakmadan bölündüğü başka bir Y tamsayıdır. Örneğin 4'ün böleni 2, 36 ise 4, 6, 9'dur. Bir X tam sayısının katı, X'e kalansız bölünebilen bir Y sayısıdır. Örneğin 3, 15'in katıdır ve 6, 12'nin katıdır.

Herhangi bir sayı çiftinin ortak bölenlerini ve katlarını bulabiliriz. Örneğin, 6 ve 9 için ortak kat 18'dir ve ortak bölen 3'tür. Açıkçası, çiftlerin birden fazla böleni ve katı olabilir, dolayısıyla hesaplamalar en büyük bölen GCD'yi ve en küçük kat LCM'yi kullanır.

En küçük bölen anlamsızdır çünkü herhangi bir sayı için o her zaman birdir. Katların sırası sonsuza gittiği için en büyük kat da anlamsızdır.

Gcd'yi bulma

En büyük ortak böleni bulmanın birçok yöntemi vardır; bunlardan en ünlüsü:

bölenlerin sıralı olarak aranması, bir çift için ortak olanların seçilmesi ve en büyüğünün aranması;
sayıların bölünemez faktörlere ayrıştırılması;
Öklid algoritması;
ikili algoritma.

Günümüzde eğitim kurumlarında en popüler yöntemler asal faktörlere ayrıştırma ve Öklid algoritmasıdır. İkincisi, Diophantine denklemlerini çözerken kullanılır: denklemin tamsayılarda çözümlenme olasılığı açısından kontrol edilmesi için GCD'nin aranması gerekir.

NOC'yi bulmak

En küçük ortak kat, sıralı numaralandırma veya bölünemez faktörlere ayırma yoluyla da belirlenir. Ayrıca, en büyük bölenin önceden belirlenmiş olması durumunda LCM'yi bulmak kolaydır. X ve Y sayıları için LCM ve GCD aşağıdaki ilişkiyle ilişkilidir:

LCD(X,Y) = X × Y / OBE(X,Y).

Örneğin, GCM(15,18) = 3 ise LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90 olur. LCM kullanmanın en belirgin örneği, en küçük ortak kat olan ortak paydayı bulmaktır. verilen kesirler.

Eş asal sayılar

Bir sayı çiftinin ortak böleni yoksa, böyle bir çifte eş asal denir. Bu tür çiftlerin gcd'si her zaman bire eşittir ve bölenler ve katlar arasındaki bağlantıya bağlı olarak eş asal çiftlerin gcd'si bunların çarpımına eşittir. Örneğin, 25 ve 28 sayıları aralarında asaldır çünkü ortak bölenleri yoktur ve LCM(25, 28) = 700, bu da çarpımlarına karşılık gelir. Bölünemeyen herhangi iki sayı her zaman aralarında asal olacaktır.

Ortak bölen ve çoklu hesap makinesi

Hesap makinemizi kullanarak, aralarından seçim yapabileceğiniz rastgele sayıda sayı için GCD ve LCM'yi hesaplayabilirsiniz. Ortak bölenlerin ve katların hesaplanmasına ilişkin görevler 5. ve 6. sınıf aritmetiğinde bulunur, ancak GCD ve LCM matematikteki anahtar kavramlardır ve sayılar teorisi, planimetri ve iletişimsel cebirde kullanılır.

Gerçek hayattan örnekler

Kesirlerin ortak paydası

Çoklu kesirlerin ortak paydasını bulurken en küçük ortak kat kullanılır. Diyelim ki bir aritmetik probleminde 5 kesri toplamanız gerekiyor:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Kesirleri eklemek için ifadenin ortak bir paydaya indirgenmesi gerekir, bu da LCM'yi bulma problemini azaltır. Bunu yapmak için hesap makinesinde 5 sayı seçin ve paydaların değerlerini uygun hücrelere girin. Program LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360'ı hesaplayacaktır. Şimdi her kesir için LCM'nin paydaya oranı olarak tanımlanan ek faktörleri hesaplamanız gerekir. Yani ek çarpanlar şöyle görünecektir:

360/8 = 45
360/9 = 40
360/12 = 30
360/15 = 24
360/18 = 20.

Bundan sonra, tüm kesirleri karşılık gelen ek faktörle çarparız ve şunu elde ederiz:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Bu kesirleri kolaylıkla toplayıp 159/360 sonucunu elde edebiliriz. Kesri 3 azaltıyoruz ve son cevabı görüyoruz - 53/120.

Doğrusal Diofant denklemlerini çözme

Doğrusal Diophantine denklemleri ax + by = d biçimindeki ifadelerdir. Eğer d / gcd(a, b) oranı bir tamsayı ise, denklem tamsayılarla çözülebilir. Tamsayı çözümleri olup olmadığını görmek için birkaç denklemi kontrol edelim. Öncelikle 150x + 8y = 37 denklemini kontrol edelim. Hesap makinesi kullanarak OBE (150,8) = 2'yi buluruz. 37/2'yi böl = 18,5. Sayı tam sayı olmadığından denklemin tam sayı kökleri yoktur.

1320x + 1760y = 10120 denklemini kontrol edelim. Hesap makinesi kullanarak GCD(1320, 1760) = 440'ı bulun. 10120/440 = 23'e bölün. Sonuç olarak bir tamsayı elde ederiz, dolayısıyla Diophantine denklemi tamsayı katsayılarıyla çözülebilir. .

Çözüm

GCD ve LCM sayı teorisinde büyük bir rol oynamaktadır ve kavramların kendileri matematiğin çok çeşitli alanlarında yaygın olarak kullanılmaktadır. Herhangi bir sayının en büyük bölenlerini ve en küçük katlarını hesaplamak için hesap makinemizi kullanın.

Aşağıda sunulan materyal, LCM - en az ortak kat, tanım, örnekler, LCM ile GCD arasındaki bağlantı başlıklı makaledeki teorinin mantıksal bir devamıdır. Burada konuşacağız En küçük ortak katı bulma (LCM) ve örneklerin çözümüne özellikle dikkat edeceğiz. Öncelikle iki sayının LCM'sinin bu sayıların OBE'sini kullanarak nasıl hesaplandığını göstereceğiz. Daha sonra sayıları asal çarpanlara ayırarak en küçük ortak katı bulmaya bakacağız. Bundan sonra üç veya daha fazla sayının LCM'sini bulmaya odaklanacağız ve ayrıca negatif sayıların LCM'sini hesaplamaya da dikkat edeceğiz.

Sayfada gezinme.

GCD Aracılığıyla En Küçük Ortak Katın (LCM) Hesaplanması

En küçük ortak katı bulmanın bir yolu, LCM ile GCD arasındaki ilişkiye dayanmaktadır. LCM ile GCD arasındaki mevcut bağlantı, bilinen bir en büyük ortak bölen aracılığıyla iki pozitif tam sayının en küçük ortak katını hesaplamamıza olanak tanır. İlgili formül LCM(a, b)=a b:OBEB(a, b) . Verilen formülü kullanarak LCM'yi bulma örneklerine bakalım.

Örnek.

126 ve 70 sayılarının en küçük ortak katını bulun.

Çözüm.

Bu örnekte a=126 , b=70 . Aşağıdaki formülle ifade edilen LCM ile GCD arasındaki bağlantıyı kullanalım. LCM(a, b)=a b:OBEB(a, b). Yani önce 70 ve 126 sayılarının en büyük ortak bölenini bulmamız gerekiyor, ardından yazılı formülü kullanarak bu sayıların LCM'sini hesaplayabiliriz.

Öklid algoritmasını kullanarak OBEB(126, 70)'i bulalım: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, dolayısıyla OBEB(126, 70)=14.

Şimdi gerekli en küçük ortak katı buluyoruz: OBEB(126, 70)=126·70:OBEB(126, 70)= 126.70:14=630.

Cevap:

LCM(126, 70)=630 .

Örnek.

LCM(68, 34) neye eşittir?

Çözüm.

Çünkü 68, 34'e bölünebilirse OBEB(68, 34)=34 olur. Şimdi en küçük ortak katı hesaplıyoruz: OBEB(68, 34)=68·34:OBEB(68, 34)= 68.34:34=68.

Cevap:

LCM(68, 34)=68 .

Önceki örneğin, pozitif a ve b tam sayıları için LCM'yi bulmak için aşağıdaki kurala uyduğunu unutmayın: a sayısı b'ye bölünebiliyorsa, bu sayıların en küçük ortak katı a'dır.

Sayıları asal faktörlere ayırarak LCM'yi bulma

En küçük ortak katı bulmanın bir başka yolu, sayıları asal çarpanlara ayırmaktır. Verilen sayıların tüm asal çarpanlarından bir çarpım oluşturursanız ve ardından bu sayıların açılımlarında bulunan tüm ortak asal çarpanları bu çarpımdan çıkarırsanız, ortaya çıkan çarpım, verilen sayıların en küçük ortak katına eşit olacaktır. .

LCM'yi bulmak için belirtilen kural eşitlikten kaynaklanmaktadır LCM(a, b)=a b:OBEB(a, b). Aslında a ve b sayılarının çarpımı, a ve b sayılarının açılımında yer alan tüm faktörlerin çarpımına eşittir. Buna karşılık, OBEB(a, b), a ve b sayılarının açılımlarında aynı anda mevcut olan tüm asal faktörlerin çarpımına eşittir (sayıların asal çarpanlara açılmasını kullanarak OBE'yi bulma bölümünde anlatıldığı gibi).

Bir örnek verelim. 75=3·5·5 ve 210=2·3·5·7 olduğunu bize bildirin. Bu açılımların tüm faktörlerinin çarpımını oluşturalım: 2·3·3·5·5·5·7 . Şimdi bu çarpımdan hem 75 sayısının açılımında hem de 210 sayısının açılımında mevcut olan tüm faktörleri hariç tutuyoruz (bu çarpanlar 3 ve 5'tir), o zaman çarpım 2·3·5·5·7 formunu alacaktır. . Bu çarpımın değeri 75 ve 210'un en küçük ortak katına eşittir, yani: NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1,050.

Örnek.

441 ve 700 sayılarını asal çarpanlara ayırın ve bu sayıların en küçük ortak katını bulun.

Çözüm.

441 ve 700 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım:

441=3·3·7·7 ve 700=2·2·5·5·7 elde ederiz.

Şimdi bu sayıların açılımında yer alan tüm faktörlerden bir çarpım oluşturalım: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Her iki genişlemede aynı anda mevcut olan tüm faktörleri bu çarpımdan hariç tutalım (böyle bir faktör vardır - bu 7 sayısıdır): 2·2·3·3·5·5·7·7. Böylece, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

Cevap:

NOC(441, 700)= 44 100 .

Sayıları asal çarpanlara ayırmayı kullanarak LCM'yi bulma kuralı biraz farklı şekilde formüle edilebilir. B sayısının açılımındaki eksik faktörler, a sayısının açılımındaki faktörlere eklenirse, ortaya çıkan çarpımın değeri a ve b sayılarının en küçük ortak katına eşit olacaktır..

Örneğin aynı 75 ve 210 sayılarını ele alalım, bunların asal çarpanlarına ayrıştırılması şu şekildedir: 75=3·5·5 ve 210=2·3·5·7. 75 sayısının açılımından 3, 5 ve 5 çarpanlarına 210 sayısının açılımından eksik olan 2 ve 7 çarpanlarını eklersek değeri 2·3·5·5·7 sonucunu elde ederiz: LCM(75, 210)'a eşittir.

Örnek.

84 ve 648'in en küçük ortak katını bulun.

Çözüm.

Öncelikle 84 ve 648 sayılarının asal çarpanlarına ayrıştırılmasını elde ediyoruz. 84=2·2·3·7 ve 648=2·2·2·3·3·3·3 gibi görünüyorlar. 84 sayısının açılımından 2, 2, 3 ve 7 çarpanlarına 648 sayısının açılımından eksik olan 2, 3, 3 ve 3 çarpanlarını eklersek 2 2 2 3 3 3 3 7 sonucunu elde ederiz, bu da 4 536'ya eşittir. Dolayısıyla 84 ile 648'in istenen en küçük ortak katı 4,536'dır.

Cevap:

LCM(84, 648)=4,536 .

Üç veya daha fazla sayının LCM'sini bulma

Üç veya daha fazla sayının en küçük ortak katı, iki sayının LCM'sinin sırayla bulunmasıyla bulunabilir. Üç veya daha fazla sayının LCM'sini bulmanın bir yolunu veren ilgili teoremi hatırlayalım.

Teorem.

a 1 , a 2 , …, a k pozitif tamsayı sayıları verilse, bu sayıların en küçük ortak katı m k sırasıyla m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a) hesaplanarak bulunur. 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

Dört sayının en küçük ortak katını bulma örneğini kullanarak bu teoremin uygulanmasını ele alalım.

Örnek.

140, 9, 54 ve 250 olmak üzere dört sayının LCM'sini bulun.

Çözüm.

Bu örnekte a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

İlk önce buluyoruz m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). Bunu yapmak için Öklid algoritmasını kullanarak OBEB(140, 9)'u belirliyoruz, 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4 elde ediyoruz, dolayısıyla GCD(140, 9)=1 , buradan OBEB(140, 9)=140 9:OBEB(140, 9)= 140.9:1=1.260. Yani m2 =1 260.

Şimdi bulduk m3 = LOC (m2, a 3) = LOC (1 260, 54). Bunu da Öklid algoritmasını kullanarak belirlediğimiz OBEB(1 260, 54) aracılığıyla hesaplayalım: 1 260=54·23+18, 54=18·3. O zaman gcd(1,260, 54)=18, buradan gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Yani m3 =3 780.

Geriye kalan tek şey bulmak m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Bunu yapmak için Öklid algoritmasını kullanarak OBEB(3,780, 250)'yi buluyoruz: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Dolayısıyla GCM(3,780, 250)=10, dolayısıyla GCM(3,780, 250)= 3 780 250: OBEB(3 780, 250)= 3,780·250:10=94,500. Yani m4 =94.500.

Yani orijinal dört sayının en küçük ortak katı 94.500'dür.

Cevap:

LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.

Çoğu durumda, verilen sayıların asal çarpanlara ayrılması kullanılarak üç veya daha fazla sayının en küçük ortak katını bulmak uygundur. Bu durumda aşağıdaki kurala uymalısınız. Birkaç sayının en küçük ortak katı, şu şekilde oluşan çarpıma eşittir: ikinci sayının açılımından elde edilen eksik faktörler, birinci sayının açılımından elde edilen tüm faktörlere eklenir; üçüncü sayı ortaya çıkan faktörlere eklenir ve bu şekilde devam eder.

Asal çarpanlara ayırmayı kullanarak en küçük ortak katı bulma örneğine bakalım.

Örnek.

84, 6, 48, 7, 143 sayılarının en küçük ortak katını bulun.

Çözüm.

Öncelikle bu sayıların asal çarpanlarına ayrıştırılmasını elde ederiz: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 bir asal sayıdır, çakışır) asal çarpanlara ayrıştırılmasıyla) ve 143=11·13.

Bu sayıların LCM'sini bulmak için, ilk 84 sayısının çarpanlarına (bunlar 2, 2, 3 ve 7'dir), ikinci sayı 6'nın açılımındaki eksik faktörleri eklemeniz gerekir. 6 sayısının ayrıştırılması eksik faktörleri içermiyor çünkü ilk 84 sayısının ayrıştırılmasında hem 2 hem de 3 zaten mevcut. Daha sonra, 2, 2, 3 ve 7 çarpanlarına, üçüncü sayı 48'in açılımından eksik olan 2 ve 2 çarpanlarını eklersek, 2, 2, 2, 2, 3 ve 7 çarpanlarından oluşan bir set elde ederiz. Bir sonraki adımda bu sete çarpan eklemenize gerek kalmayacak çünkü 7 zaten içinde yer alıyor. Son olarak 2, 2, 2, 2, 3 ve 7 numaralı çarpanlara 143 sayısının açılımındaki eksik 11 ve 13 numaralı çarpanları ekliyoruz. 2·2·2·2·3·7·11·13 çarpımını elde ederiz, bu da 48,048'e eşittir.

En küçük ortak katı bulmanın üç yoluna bakalım.

Çarpanlara ayırma yoluyla bulma

İlk yöntem, verilen sayıları asal çarpanlarına ayırarak en küçük ortak katı bulmaktır.

Diyelim ki 99, 30 ve 28 sayılarının LCM'sini bulmamız gerekiyor. Bunu yapmak için bu sayıların her birini asal çarpanlara ayıralım:

İstenilen sayının 99, 30 ve 28'e bölünebilmesi için bu bölenlerin tüm asal çarpanlarını içermesi gerekli ve yeterlidir. Bunu yapmak için bu sayıların tüm asal çarpanlarını mümkün olan en büyük dereceye alıp bunları birbiriyle çarpmamız gerekir:

2 2 3 2 5 7 11 = 13.860

Dolayısıyla LCM (99, 30, 28) = 13,860 13,860'tan küçük hiçbir sayı 99, 30 veya 28'e bölünemez.

Verilen sayıların en küçük ortak katını bulmak için, bunları asal çarpanlarına ayırırsınız, ardından her asal çarpanı göründüğü en büyük üsle alırsınız ve bu çarpanları birbiriyle çarparsınız.

Nispeten asal sayıların ortak asal çarpanları bulunmadığından en küçük ortak katları bu sayıların çarpımına eşittir. Örneğin üç sayı: 20, 49 ve 33 aralarında asaldır. Bu yüzden

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32.340.

Çeşitli asal sayıların en küçük ortak katını bulurken de aynı şey yapılmalıdır. Örneğin, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Seçime göre bulma

İkinci yöntem ise seçim yaparak en küçük ortak katı bulmaktır.

Örnek 1. Verilen sayıların en büyüğü verilen başka bir sayıya bölündüğünde, bu sayıların LCM'si en büyüğüne eşittir. Örneğin dört sayı verilmiştir: 60, 30, 10 ve 6. Her biri 60'a bölünebilir, dolayısıyla:

LCM(60, 30, 10, 6) = 60

Diğer durumlarda en küçük ortak katı bulmak için aşağıdaki prosedür kullanılır:

Verilen sayılardan en büyüğünü belirleyiniz.
Daha sonra, en büyük sayının katları olan sayıları buluyoruz, bunu artan sırada doğal sayılarla çarpıyoruz ve elde edilen çarpımın kalan verilen sayılara bölünebilir olup olmadığını kontrol ediyoruz.

Örnek 2. 24, 3 ve 18 olmak üzere üç sayı verilmiştir. Bunların en büyüğünü belirleriz - bu 24 sayısıdır. Daha sonra, her birinin 18 ve 3'e bölünebilir olup olmadığını kontrol ederek 24'ün katları olan sayıları buluruz:

24 · 1 = 24 - 3'e bölünebilir ancak 18'e bölünemez.

24 · 2 = 48 - 3'e bölünebilir ancak 18'e bölünemez.

24 · 3 = 72 - 3 ve 18'e bölünebilir.

Böylece LCM (24, 3, 18) = 72 olur.

LCM'yi sırayla bularak bulma

Üçüncü yöntem, LCM'yi sırayla bularak en küçük ortak katı bulmaktır.

Verilen iki sayının LCM'si, bu sayıların çarpımının en büyük ortak bölenlerine bölünmesine eşittir.

Örnek 1. Verilen iki sayının LCM'sini bulun: 12 ve 8. En büyük ortak bölenlerini belirleyin: OBEB (12, 8) = 4. Bu sayıları çarpın:

Ürünü gcd'lerine bölüyoruz:

Böylece LCM (12, 8) = 24 olur.

Üç veya daha fazla sayının LCM'sini bulmak için aşağıdaki prosedürü kullanın:

Öncelikle bu sayılardan herhangi ikisinin LCM'sini bulun.
Daha sonra bulunan en küçük ortak katın ve verilen üçüncü sayının LCM'si.
Daha sonra, elde edilen en küçük ortak katın ve dördüncü sayının LCM'si vb.
Böylece LCM arayışı sayılar olduğu sürece devam eder.

Örnek 2. Verilen üç sayının LCM'sini bulalım: 12, 8 ve 9. Önceki örnekte 12 ve 8 sayılarının LCM'sini zaten bulduk (bu 24 sayısıdır). Geriye 24 sayısının ve verilen üçüncü sayının - 9'un en küçük ortak katını bulmak kalır. En büyük ortak bölenlerini belirleyin: OBE (24, 9) = 3. LCM'yi 9 sayısıyla çarpın:

Ürünü gcd'lerine bölüyoruz:

Böylece LCM (12, 8, 9) = 72 olur.

En büyük ortak bölen

Tanım 2

Eğer bir a doğal sayısı bir $b$ doğal sayısı ile bölünebiliyorsa, o zaman $b$'ye $a$'ın böleni denir ve $a$'a $b$'ın katı denir.

$a$ ve $b$ doğal sayılar olsun. $c$ sayısına hem $a$ hem de $b$'ın ortak böleni denir.

$a$ ve $b$ sayılarının ortak bölenleri kümesi sonludur çünkü bu bölenlerin hiçbiri $a$'dan büyük olamaz. Bu, bu bölenler arasında, $a$ ve $b$ sayılarının en büyük ortak böleni olarak adlandırılan ve aşağıdaki gösterimle gösterilen en büyük bölenin olduğu anlamına gelir:

$GCD\(a;b)\ veya \D\(a;b)$

İki sayının en büyük ortak bölenini bulmak için ihtiyacınız olan:

2. adımda bulunan sayıların çarpımını bulun. Ortaya çıkan sayı, istenen en büyük ortak bölen olacaktır.

Örnek 1

$121$ ve $132.$ sayılarının gcd'sini bulun

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Bu sayıların genişletilmesine dahil olan sayıları seçin

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

2. adımda bulunan sayıların çarpımını bulun. Ortaya çıkan sayı, istenen en büyük ortak bölen olacaktır.

$GCD=2\cdot 11=22$

Örnek 2

$63$ ve $81$ tek terimlilerinin gcd'sini bulun.

Sunulan algoritmaya göre bulacağız. Bunu yapmak için:

Sayıları asal çarpanlarına ayıralım

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Bu sayıların açılımına dahil olan sayıları seçiyoruz

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

2. adımda bulduğumuz sayıların çarpımını bulalım. Ortaya çıkan sayı istenilen en büyük ortak bölen olacaktır.

$GCD=3\cdot 3=9$

İki sayının gcd'sini, sayıların bölenleri kümesini kullanarak başka bir şekilde bulabilirsiniz.

Örnek 3

$48$ ve $60$ sayılarının gcd'sini bulun.

Çözüm:

$48$ sayısının bölenleri kümesini bulalım: $\left$(\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right$$

Şimdi $60$:$\ \left$(\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right$ sayısının bölenleri kümesini bulalım $

Bu kümelerin kesişimini bulalım: $\left$(\rm 1,2,3,4,6,12)\right$$ - bu küme $48$ ve $60 sayılarının ortak bölenleri kümesini belirleyecektir. $. Bu kümedeki en büyük öğe $12$ sayısı olacaktır. Bu, $48$ ve $60$ sayılarının en büyük ortak böleninin $12$ olduğu anlamına gelir.

Takipteki kredilerin tanımı

Tanım 3

Doğal sayıların ortak katları$a$ ve $b$, hem $a$ hem de $b$'ın katı olan bir doğal sayıdır.

Sayıların ortak katları, orijinal sayılara kalansız bölünebilen sayılardır. Örneğin, $25$ ve $50$ sayıları için ortak katlar, $50,100,150,200$ vb. sayılar olacaktır.

En küçük ortak kat, en küçük ortak kat olarak adlandırılacak ve LCM$(a;b)$ veya K$(a;b).$ ile gösterilecektir.

İki sayının LCM'sini bulmak için yapmanız gerekenler:

Sayıları asal çarpanlara ayırma
Birinci sayının parçası olan çarpanları yazın ve bunlara ikincinin parçası olan ve birincinin parçası olmayan çarpanları ekleyin

Örnek 4

$99$ ve $77$ sayılarının LCM'sini bulun.

Sunulan algoritmaya göre bulacağız. Bunun için

Sayıları asal çarpanlara ayırma

$99=3\cdot 3\cdot 11$

İlk maddede yer alan faktörleri yazınız.

bunlara birincinin parçası olmayan, ikincinin parçası olan çarpanları ekleyin

2. adımda bulunan sayıların çarpımını bulun. Ortaya çıkan sayı, istenen en küçük ortak kat olacaktır.

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Sayıların bölenlerinin listesini derlemek genellikle çok emek yoğun bir iştir. Öklid algoritması adı verilen GCD'yi bulmanın bir yolu var.

Öklid algoritmasının dayandığı ifadeler:

$a$ ve $b$ doğal sayılarsa ve $a\vdots b$ ise, o zaman $D(a;b)=b$

$a$ ve $b$, $b olacak şekilde doğal sayılar ise

$D(a;b)= D(a-b;b)$ kullanarak, biri diğerine bölünebilecek bir sayı çiftine ulaşana kadar söz konusu sayıları art arda azaltabiliriz. O zaman bu sayılardan küçük olanı, $a$ ve $b$ sayıları için istenen en büyük ortak bölen olacaktır.