Bir üçgenin orta çizgisi, iki kenarının orta noktalarını birleştiren bir segmenttir. Buna göre her üçgenin üç orta çizgisi vardır. Orta çizginin kalitesinin yanı sıra üçgenin kenarlarının uzunluklarını ve açılarını bilerek orta çizginin uzunluğunu belirleyebilirsiniz.

İhtiyacın olacak

Üçgenin kenarları, üçgenin açıları

Talimatlar

1. ABC MN üçgeninde AB (M noktası) ve AC (N noktası) kenarlarının orta noktalarını birleştiren orta çizgi olsun. Özellik olarak, 2 kenarın orta noktalarını birleştiren üçgenin orta çizgisi üçüncü kenara paralel ve yarısına eşittir. BT. Bu, MN orta çizgisinin BC kenarına paralel ve BC/2'ye eşit olacağı anlamına gelir. Sonuç olarak, üçgenin orta çizgisinin uzunluğunu belirlemek için bu üçüncü kenarın uzunluğunu bilmek yeterlidir.

2. Şimdi orta noktaları MN orta çizgisiyle, yani AB ve AC ile ve aralarındaki BAC açısıyla birbirine bağlanan kenarların bilinmesine izin verin. MN orta çizgi olduğundan AM = AB/2 ve AN = AC/2 O halde, kosinüs teoremine göre nesnel olarak: MN^2 = (AM^2)+(AN^2)-2*AM. *AN*cos (BAC) = (AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2. Dolayısıyla, MN = sqrt((AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2).

3. AB ve AC kenarları biliniyorsa, ABC veya ACB açısı bilinerek orta çizgi MN bulunabilir. Diyelim ki ABC köşesi meşhur. Orta çizginin özelliğine göre MN BC'ye paralel olduğundan ABC ve AMN açıları karşılık gelir ve sonuç olarak ABC = AMN olur. Daha sonra kosinüs teoremine göre: AN^2 = AC^2/4 = (AM^2)+(MN^2)-2*AM*MN*cos(AMN). Sonuç olarak, MN tarafı ikinci dereceden (MN^2)-AB*MN*cos(ABC)-(AC^2/4) = 0 denkleminden bulunabilir.

İpucu 2: Kare Üçgende Kenar Nasıl Bulunur?

Kare üçgene daha doğrusu dik üçgen denir. Bu geometrik şeklin kenarları ve açıları arasındaki ilişkiler trigonometri matematik disiplininde ayrıntılı olarak tartışılmaktadır.

İhtiyacın olacak

– bir kağıt parçası;
- dolma kalem;
– Bradis masaları;
- hesap makinesi.

Talimatlar

1. Keşfetmek taraf dikdörtgen üçgen Pisagor teoreminin desteğiyle. Bu teoreme göre hipotenüsün karesi kenarların karelerinin toplamına eşittir: c2 = a2+b2, burada c hipotenüstür üçgen, a ve b bacaklarıdır. Bu denklemi uygulayabilmek için dikdörtgenin herhangi iki kenarının uzunluğunu bilmeniz gerekir. üçgen .

2. Koşullar bacakların boyutlarını belirtiyorsa hipotenüsün uzunluğunu bulun. Bunu yapmak için, bir hesap makinesi kullanarak bacakların toplamının karekökünü çıkarın, her birinin önceden karesini alın.

3. Hipotenüsün ve diğer bacağın boyutlarını biliyorsanız, bacaklardan birinin uzunluğunu hesaplayın. Bir hesap makinesi kullanarak hipotenüsün karesi ile ön kenarın karesi arasındaki farkın karekökünü çıkarın.

4. Sorun hipotenüsü ve ona bitişik dar açılardan birini belirtiyorsa Bradis tablolarını kullanın. Çok sayıda açı için trigonometrik fonksiyonların değerlerini sağlarlar. Dikdörtgenin kenarları ve açıları arasındaki ilişkileri tanımlayan trigonometri teoremlerinin yanı sıra sinüs ve kosinüs fonksiyonlarına sahip bir hesap makinesi kullanın üçgen .

5. Temel trigonometrik fonksiyonları kullanarak bacakları bulun: a = c*sin?, b = c*cos?, a köşenin karşısındaki bacak mı?, b köşeye bitişik bacak mı? Kenarların boyutunu aynı şekilde hesaplayın üçgen, eğer hipotenüs ve başka bir dar açı verilirse: b = c*sin?, a = c*cos?, burada b açının karşısındaki kenar? ve kenar açıya bitişik mi?

6. A ayağını ve ona bitişik dar açıyı (?) aldığımızda, bir dik üçgende dar açıların toplamının her zaman 90°'ye eşit olduğunu unutmayın: ? +? = 90°. A ayağının karşısındaki açının değerini bulun: ? = 90° – ?. Veya trigonometrik indirgeme formüllerini kullanın: günah mı? = günah (90° – ?) = cos ?; tg mi? = tg (90° – ?) = ctg ? = 1/tg?.

7. Eğer a kenarı ve onun karşısındaki dar açı? varsa Bradis tablolarını, hesap makinesini ve trigonometrik fonksiyonları kullanarak hipotenüsü şu formülü kullanarak hesaplayın: c=a*sin?, bacak: b=a*tg?.

Konuyla ilgili video

Şekil 1 iki üçgeni göstermektedir. ABC üçgeni A1B1C1 üçgenine benzer. Ve bitişik kenarlar orantılıdır, yani AB, A1B1'e, AC ise A1C1'e eşittir. Bu iki koşuldan üçgenlerin benzerliği ortaya çıkar.

Bir üçgenin orta çizgisi nasıl bulunur - çizgilerin paralelliğinin bir işareti

Şekil 2 a ve b çizgilerini, c sekantını göstermektedir. Bu 8 köşe oluşturur. 1 ve 5 açıları karşılık gelir, eğer çizgiler paralelse, karşılık gelen açılar eşittir ve bunun tersi de geçerlidir.

Üçgenin orta çizgisi nasıl bulunur

Şekil 3'te M AB'nin ortası, N AC'nin ortası, BC ise tabandır. MN segmentine üçgenin orta çizgisi denir. Teoremin kendisi şunu söylüyor: Bir üçgenin orta çizgisi tabana paraleldir ve yarısına eşittir.

MN'nin bir üçgenin orta çizgisi olduğunu kanıtlamak için üçgenlerin benzerliği ve doğruların paralelliği için ikinci teste ihtiyacımız var.

İkinci kritere göre AMN üçgeni ABC üçgenine benzer. Benzer üçgenlerde karşılık gelen açılar eşittir, açı 1, açı 2'ye eşittir ve bu açılar, iki çizgi bir çaprazla kesiştiğinde karşılık gelir, dolayısıyla çizgiler paraleldir, MN, BC'ye paraleldir. A açısı ortaktır, AM/AB = AN/AC = ½

Bu üçgenlerin benzerlik katsayısı ½'dir, dolayısıyla ½ = MN/BC, MN = ½ BC olur.

Böylece üçgenin orta çizgisini bulduk ve üçgenin orta çizgisi ile ilgili teoremi kanıtladık, eğer hala orta çizgiyi nasıl bulacağınızı anlamadıysanız aşağıdaki videoyu izleyin.

İhtiyacın olacak

Üçgenin kenarları, üçgenin açıları

Talimatlar

Kare üçgene daha doğrusu dik üçgen denir. Bu geometrik şeklin kenarları ve açıları arasındaki ilişkiler trigonometri matematik disiplininde ayrıntılı olarak tartışılmaktadır.

İhtiyacın olacak

- bir kağıt parçası;
- dolma kalem;
— Bradis masaları;
- hesap makinesi.

Talimatlar

Konuyla ilgili video

“A Alın” video kursu matematikte Birleşik Devlet Sınavını 60-65 puanla başarıyla geçmek için gerekli tüm konuları içerir. Matematikte Profil Birleşik Devlet Sınavının 1-13 arasındaki tüm görevlerini tamamlayın. Ayrıca matematikte Temel Birleşik Devlet Sınavını geçmek için de uygundur. Birleşik Devlet Sınavını 90-100 puanla geçmek istiyorsanız 1. bölümü 30 dakikada ve hatasız çözmeniz gerekiyor!

10-11. Sınıflar ve öğretmenler için Birleşik Devlet Sınavına hazırlık kursu. Matematikte Birleşik Devlet Sınavının 1. Bölümünü (ilk 12 problem) ve Problem 13'ü (trigonometri) çözmek için ihtiyacınız olan her şey. Ve bu, Birleşik Devlet Sınavında 70 puandan fazla ve ne 100 puanlık bir öğrenci ne de beşeri bilimler öğrencisi onlarsız yapamaz.

Gerekli tüm teori. Birleşik Devlet Sınavının hızlı çözümleri, tuzakları ve sırları. FIPI Görev Bankası'nın 1. bölümünün tüm mevcut görevleri analiz edildi. Kurs, Birleşik Devlet Sınavı 2018'in gerekliliklerine tamamen uygundur.

Kurs, her biri 2,5 saat olmak üzere 5 büyük konu içermektedir. Her konu sıfırdan, basit ve net bir şekilde verilmektedir.

Yüzlerce Birleşik Devlet Sınavı görevi. Sözlü problemler ve olasılık teorisi. Sorunları çözmek için basit ve hatırlanması kolay algoritmalar. Geometri. Teori, referans materyali, her türlü Birleşik Devlet Sınavı görevinin analizi. Stereometri. Zor çözümler, faydalı kopyalar, mekansal hayal gücünün gelişimi. Sıfırdan probleme trigonometri 13. Sıkıştırmak yerine anlamak. Karmaşık kavramların net açıklamaları. Cebir. Kökler, kuvvetler ve logaritmalar, fonksiyon ve türev. Birleşik Devlet Sınavı 2. Kısmının karmaşık problemlerini çözmek için bir temel.

1 Üçgenin orta çizgi teoremine yol açan ek yapı, yamuk ve üçgenlerin benzerlik özellikleri.

Ve o hipotenüsün yarısına eşit.
Sonuç 1.
Sonuç 2.

2 Dar açıları aynı olan tüm dik üçgenler benzerdir. Trigonometrik fonksiyonlara bir bakış.

3 Ek bir yapıya örnek olarak hipotenüse indirilen yükseklik verilebilir. Pisagor teoreminin üçgenlerin benzerliğine dayalı olarak türetilmesi.

Bundan açıkça görülüyor ki

1 Dar açıları aynı olan tüm dik üçgenler benzerdir. Trigonometrik fonksiyonlara bir bakış.

Kenarları taranmış olan ve olmayan üçgenler, iki açılarının eşit olması nedeniyle benzerdir. Bu nedenle nerede

Bu, belirtilen ilişkilerin yalnızca dik üçgenin dar açısına bağlı olduğu ve esasen onu belirlediği anlamına gelir. Trigonometrik fonksiyonların ortaya çıkmasının nedenlerinden biri budur:

Çoğu zaman benzer dik üçgenlerde açıların trigonometrik fonksiyonlarını yazmak, benzerlik ilişkilerini yazmaktan daha açıktır!

2 Ek bir yapıya örnek olarak hipotenüse indirilen yükseklik verilebilir. Pisagor teoreminin üçgenlerin benzerliğine dayalı olarak türetilmesi.

CH yüksekliğini AB hipotenüsüne indirelim. Üç benzer ABC, AHC ve CHB üçgenimiz var. Trigonometrik fonksiyonlar için ifadeler yazalım:

Bundan açıkça görülüyor ki . Topladığımızda Pisagor teoremini elde ederiz, çünkü:

Pisagor teoreminin başka bir kanıtı için Problem 4'ün yorumuna bakın.
3 Ek yapının önemli bir örneği, bir üçgenin açılarından birine eşit bir açının oluşturulmasıdır.

Dik açının tepe noktasından, verilen ABC dik üçgeninin CAB açısına eşit CA ayağı ile bir açı oluşturan düz bir çizgi parçası çiziyoruz. Sonuç olarak, taban açılarına sahip bir ikizkenar üçgen ACM elde ediyoruz. Ancak bu yapıdan kaynaklanan diğer üçgen de ikizkenar olacaktır, çünkü tabandaki açılarının her biri eşittir (dik üçgenin açılarının özelliği ve yapısı gereği - açı dik açıdan "çıkarılmıştır"). BMC ve AMC üçgenlerinin MC kenarları ortak olan ikizkenar üçgenler olması nedeniyle MB=MA=MC eşitliğine sahibiz, yani. M.C. bir dik üçgenin hipotenüsüne çizilen medyan ve o hipotenüsün yarısına eşit.
Sonuç 1. Hipotenüsün orta noktası, bu üçgenin çevrelediği dairenin merkezidir, çünkü hipotenüsün orta noktasının dik üçgenin köşelerinden eşit uzaklıkta olduğu ortaya çıkar.
Sonuç 2. Hipotenüsün ortasıyla bacağın ortasını birleştiren dik üçgenin orta çizgisi karşı bacağa paraleldir ve yarısına eşittir.

BMC ve AMC ikizkenar üçgenlerinde MH ve MG yüksekliklerini tabanlara indirelim. Bir ikizkenar üçgende tabana indirilen yükseklik aynı zamanda medyan (ve açıortay) olduğundan, MH ve MG, hipotenüsün ortasını bacakların orta noktalarına bağlayan dik üçgenin çizgileridir. Yapı gereği, üçgenler eşit MHC ve MGC eşit olduğundan (ve MHCG bir dikdörtgen olduğundan) karşıt bacaklara paralel ve yarılarına eşit oldukları ortaya çıkar. Bu sonuç, keyfi bir üçgenin orta çizgisine ve ayrıca bir yamuğun orta çizgisine ilişkin teoremin kanıtının ve onları kesen iki düz çizgi üzerinde paralel çizgilerle kesilen bölümlerin orantılılık özelliğinin temelini oluşturur.

Görevler
Benzerlik özelliklerini kullanma -1
Temel özellikleri kullanma - 2
Ek dizilişi kullanma 3-4

1 2 3 4

Bir dik üçgenin dik açısının tepe noktasından düşen yükseklik, hipotenüsü böldüğü doğru parçalarının uzunluklarının kareköküne eşittir.

Pisagor teoreminin üçgenlerin benzerliğinden türetildiğini biliyorsanız çözüm açık görünüyor:

\(\mathrm(tg)\beta=\frac(h)(c_1)=\frac(c_2)(h)\),
dolayısıyla \(h^2=c_1c_2\).

AB hipotenüsü sabit olan tüm olası dik üçgenlerin kenarortaylarının kesişme noktalarının yerini (GMT) bulun.

Herhangi bir üçgenin kenarortaylarının kesişme noktası, karşılık gelen kenarla kesişme noktasından itibaren ortancanın üçte birini keser. Bir dik üçgende dik açıdan çizilen kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir. Bu nedenle istenen GMT, bu (sabit) hipotenüsün ortasında bir merkeze sahip, hipotenüs uzunluğunun 1/6'sına eşit yarıçaplı bir dairedir.