Doğru orantılılık kavramı

En sevdiğiniz şekerleri (veya gerçekten sevdiğiniz herhangi bir şeyi) almayı planladığınızı hayal edin. Mağazadaki tatlıların kendi fiyatları var. Diyelim ki kilogram başına 300 ruble. Ne kadar çok şeker satın alırsanız, o kadar çok para ödersiniz. Yani 2 kilo istiyorsanız 600 ruble, 3 kilo istiyorsanız 900 ruble ödeyin. Her şey açık görünüyor, değil mi?

Cevabınız evet ise, o zaman doğrudan orantılılığın ne olduğu artık sizin için açık - bu, birbirine bağlı iki niceliğin ilişkisini tanımlayan bir kavramdır. Ve bu miktarların oranı değişmeden ve sabit kalır: bunlardan biri kaç parça artar veya azalır, ikincisi aynı sayıda parça artar veya azalır.

Doğru orantılılık şu formülle açıklanabilir: f(x) = a*x ve bu formüldeki a, sabit bir değerdir (a = sabit). Şekerle ilgili örneğimizde fiyat sabit bir değerdir, sabittir. Ne kadar şeker almaya karar verirseniz verin artmaz veya azalmaz. Bağımsız değişken (argüman) x, kaç kilogram şeker alacağınızdır. Bağımlı değişken f(x) (fonksiyon), satın alma işleminiz için ne kadar para ödeyeceğinizdir. Böylece sayıları formülde değiştirebiliriz ve şunu elde edebiliriz: 600 ruble. = 300 ovmak. * 2kg.

Ara sonuç şudur: Argüman artarsa ​​fonksiyon da artar, argüman azalırsa fonksiyon da azalır.

Fonksiyon ve özellikleri

Doğrudan orantı fonksiyonu doğrusal bir fonksiyonun özel bir durumudur. Doğrusal fonksiyon y = k*x + b ise, doğru orantılılık için şu şekilde görünür: y = k*x, burada k'ye orantı katsayısı denir ve her zaman sıfır olmayan bir sayıdır. k'yi hesaplamak kolaydır; bir fonksiyonun ve bir argümanın bölümü olarak bulunur: k = y/x.

Daha açık hale getirmek için başka bir örnek verelim. Bir arabanın A noktasından B noktasına doğru hareket ettiğini düşünün. Hızı 60 km/saattir. Hareket hızının sabit kaldığını varsayarsak sabit olarak alınabilir. Daha sonra koşulları şu şekilde yazıyoruz: S = 60*t ve bu formül doğrudan orantı fonksiyonu y = k *x'e benzer. Biraz daha paralel çizelim: k = y/x ise, A ile B arasındaki mesafe ve yolda geçirilen süre bilinerek arabanın hızı hesaplanabilir: V = S /t.

Şimdi doğrudan orantılılık hakkındaki bilgilerin uygulamalı uygulamasından, işlevine geri dönelim. Özellikleri şunları içerir:

tanım alanı tüm gerçek sayılar kümesidir (ve ayrıca alt kümeleridir);

fonksiyon tektir;

değişkenlerdeki değişim sayı doğrusu boyunca doğru orantılıdır.

Doğru orantılılık ve grafiği

Doğru orantılılık fonksiyonunun grafiği, orijinden geçen düz bir çizgidir. Bunu inşa etmek için yalnızca bir noktayı daha işaretlemek yeterlidir. Ve onu ve koordinatların kökenini düz bir çizgiyle bağlayın.

Bir grafik durumunda k eğimdir. Eğim sıfırdan küçükse (k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), grafik ve x ekseni dar bir açı oluşturuyor ve fonksiyon artıyor.

Doğru orantı fonksiyonu grafiğinin bir özelliği daha doğrudan k eğimiyle ilgilidir. Diyelim ki iki özdeş olmayan fonksiyonumuz ve buna göre iki grafiğimiz var. Yani bu fonksiyonların k katsayıları eşitse grafikleri koordinat eksenine paralel yerleşir. Ve k katsayıları birbirine eşit değilse grafikler kesişir.

Örnek problemler

Şimdi birkaç tanesini çözelim doğru orantı problemleri

Basit bir şeyle başlayalım.

Problem 1: 5 tavuğun 5 günde 5 yumurta yumurtladığını düşünün. Peki 20 tavuk varsa 20 günde kaç yumurta yumurtlayacaklar?

Çözüm: Bilinmeyeni kx ile gösterelim. Ve şu şekilde mantık yürüteceğiz: kaç kat daha fazla tavuk oldu? 20'yi 5'e bölün ve 4 katı olduğunu bulun. 20 tavuk aynı 5 günde kaç kat daha fazla yumurta yumurtlar? Ayrıca 4 kat daha fazla. Yani bizimkini şu şekilde buluyoruz: 5*4*4 = 20 tavuk 20 günde 80 yumurta yumurtlayacak.

Şimdi örnek biraz daha karmaşık, problemi Newton'un "Genel Aritmetik"inden alıntılayalım. Problem 2: Bir yazar yeni bir kitabın 14 sayfasını 8 günde yazabilir. Asistanları olsaydı 420 sayfayı 12 günde kaç kişi yazardı?

Çözüm: Eğer aynı sürede yapılması gerekiyorsa, iş hacmi arttıkça kişi sayısının (yazar+asistan) artacağını düşünüyoruz. Ama kaç kez? 420'yi 14'e böldüğümüzde 30 kat arttığını görüyoruz. Ancak işin şartlarına göre işe daha fazla süre verildiği için yardımcı sayısı 30 kat değil şu şekilde artar: x = 1 (yazar) * 30 (kat): 12/8 ( günler). Dönüştürelim ve x = 20 kişinin 12 günde 420 sayfa yazacağını bulalım.

Örneklerimizdekine benzer bir problemi daha çözelim.

Problem 3: İki araba aynı yolculuğa çıktı. Biri 70 km/saat hızla gidiyor ve aynı mesafeyi 2 saatte, diğeri ise 7 saatte katediyordu. İkinci arabanın hızını bulunuz.

Çözüm: Hatırlayacağınız gibi yol hız ve zamana göre belirlenir - S = V *t. Her iki araba da aynı mesafeyi kat ettiği için iki ifadeyi eşitleyebiliriz: 70*2 = V*7. İkinci arabanın hızının V = 70*2/7 = 20 km/saat olduğunu nasıl buluruz?

Ve doğrudan orantılılık işlevlerine sahip birkaç görev örneği daha. Bazen problemler k katsayısının bulunmasını gerektirir.

Görev 4: y = - x/16 ve y = 5x/2 fonksiyonları verildiğinde bunların orantı katsayılarını belirleyin.

Çözüm: Hatırlayacağınız gibi k = y/x. Bu, birinci fonksiyon için katsayının -1/16'ya eşit olduğu ve ikinci fonksiyon için k = 5/2 olduğu anlamına gelir.

Ayrıca Görev 5: Doğru orantılılığı bir formülle yazın gibi bir görevle de karşılaşabilirsiniz. Grafiği ile y = -5x + 3 fonksiyonunun grafiği paraleldir.

Çözüm: Koşulda bize verilen fonksiyon doğrusaldır. Doğru orantılılığın doğrusal bir fonksiyonun özel bir durumu olduğunu biliyoruz. Ayrıca k fonksiyonun katsayıları eşitse grafiklerinin paralel olduğunu da biliyoruz. Bu, gereken tek şeyin, bilinen bir fonksiyonun katsayısını hesaplamak ve bildiğimiz formülü kullanarak doğru orantılılığı ayarlamak olduğu anlamına gelir: y = k *x. Katsayısı k = -5, doğru orantılılık: y = -5*x.

Çözüm

Artık ne dendiğini öğrendiniz (ya da bu konuyu daha önce ele aldıysanız hatırladınız). doğru orantılılık ve ona baktım örnekler. Ayrıca doğru orantı fonksiyonu ve grafiğinden de bahsettik ve birkaç örnek problem çözdük.

Bu makale faydalıysa ve konuyu anlamanıza yardımcı olduysa, yorumlarda bize bundan bahsedin. Böylece size faydamız olup olmayacağını bilelim.

blog.site, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken, orijinal kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Bağımlılık Türleri

Pili şarj etmeye bakalım. İlk miktar olarak şarj olması için gereken süreyi alalım. İkinci değer ise şarj edildikten sonra çalışacağı süredir. Pili ne kadar uzun süre şarj ederseniz, o kadar uzun süre dayanır. Pil tamamen şarj olana kadar işlem devam edecektir.

Pilin çalışma süresinin şarj edildiği zamana bağlı olması

Not 1

Bu bağımlılığa denir dümdüz:

Bir değer arttıkça ikincisi de artar. Bir değer azaldıkça ikinci değer de azalır.

Başka bir örneğe bakalım.

Bir öğrenci ne kadar çok kitap okursa, diktede o kadar az hata yapar. Veya dağlarda ne kadar yükseğe çıkılırsa atmosfer basıncı o kadar düşük olur.

Not 2

Bu bağımlılığa denir tersi:

Bir değer artarken ikincisi azalır. Bir değer azaldıkça ikinci değer artar.

Böylece, durumda doğrudan bağımlılık her iki miktar da eşit olarak değişir (hem artar hem de azalır) ve bu durumda ters ilişki– tam tersi (biri artar, diğeri azalır veya tam tersi).

Miktarlar arasındaki bağımlılıkların belirlenmesi

örnek 1

Bir arkadaşı ziyaret etmek için gereken süre 20$ dakikadır. Hız (birinci değer) $2$ kat artarsa, arkadaşa giderken harcanacak zamanın (ikinci değer) nasıl değişeceğini bulacağız.

Açıkçası, süre $2$ kat azalacak.

Not 3

Bu bağımlılığa denir orantılı:

Bir çokluğun değişme sayısı, ikinci çokluğun değişme sayısı.

Örnek 2

Mağazadaki 2$ somun ekmek için 80 ruble ödemeniz gerekiyor. 4$'lık somun ekmek almanız gerekiyorsa (ekmek miktarı 2$ kat artar), kaç kat daha fazla ödemeniz gerekir?

Açıkçası, maliyet de 2$ kat artacak. Orantılı bağımlılığa bir örneğimiz var.

Her iki örnekte de orantılı bağımlılıklar dikkate alınmıştır. Ancak ekmek somunları örneğinde miktarlar tek yönde değişir, bu nedenle bağımlılık şu şekildedir: dümdüz. Bir arkadaşının evine gitme örneğinde hız ile zaman arasındaki ilişki şu şekildedir: tersi. Böylece var doğru orantılı ilişki Ve ters orantılı ilişki.

Doğrudan orantılılık

$2$ orantılı miktarları ele alalım: ekmek somunlarının sayısı ve maliyeti. 2 dolarlık somun ekmeğin 80 dolarlık rubleye mal olduğunu varsayalım. Çöreklerin sayısı 4$ kat artarsa ​​(8$$ çörek), toplam maliyeti 320$ ruble olacaktır.

Atma sayısının oranı: $\frac(8)(2)=4$.

Bun maliyet oranı: $\frac(320)(80)=$4.

Gördüğünüz gibi bu ilişkiler birbirine eşittir:

$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.

Tanım 1

İki oranın eşitliğine denir oran.

Doğrudan orantılı bir bağımlılıkla, birinci ve ikinci miktarlardaki değişiklik çakıştığında bir ilişki elde edilir:

$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.

Tanım 2

İki miktara denir doğrudan orantılı Bunlardan biri değiştiğinde (arttığında veya azaldığında), diğer değer de aynı miktarda değişirse (sırasıyla artar veya azalır).

Örnek 3

Araba 2$ saatte 180$ km yol kat etti. Aynı hızla mesafenin $2$ katı kadar mesafe kat edeceği süreyi bulun.

Çözüm.

Zaman mesafeyle doğru orantılıdır:

$t=\frac(S)(v)$.

Sabit bir hızla mesafe kaç kat artarsa, zaman da aynı miktarda artacaktır:

$\frac(2S)(v)=2t$;

$\frac(3S)(v)=3t$.

Araba 2$ saatte 180$ km yol kat etti

Araba $x$ saatte 180 $ \cdot 2=360$ km yol alacak

Araba ne kadar uzağa giderse, o kadar uzun sürecektir. Sonuç olarak büyüklükler arasındaki ilişki doğru orantılıdır.

Orantı kuralım:

$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;

$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;

Cevap: Arabanın 4$ saate ihtiyacı olacak.

Ters orantılılık

Tanım 3

Çözüm.

Zaman hız ile ters orantılıdır:

$t=\frac(S)(v)$.

Aynı yolda hız kaç kat artarsa ​​zaman da aynı oranda azalır:

$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;

$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.

Sorunun durumunu tablo şeklinde yazalım:

Araba 6$ saatte 60$ km yol kat etti

Araba $x$ saatte 120$ km yol kat edecek

Araba ne kadar hızlı olursa, o kadar az zaman alır. Sonuç olarak büyüklükler arasındaki ilişki ters orantılıdır.

Orantı kuralım.

Çünkü orantılılık terstir, orandaki ikinci ilişki tersine çevrilir:

$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;

$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;

Cevap: Arabanın 3$ saate ihtiyacı olacak.

Doğrudan ve ters orantılılık

Yayanın hareket süresi (saat cinsinden), s kat edilen mesafe (kilometre cinsinden) ise ve 4 km/saat hızla düzgün bir şekilde hareket ediyorsa, bu büyüklükler arasındaki ilişki s = formülü ile ifade edilebilir. 4t. Her t değeri tek bir s değerine karşılık geldiğinden, bir fonksiyonun s = 4t formülü kullanılarak tanımlandığını söyleyebiliriz. Buna doğru orantılılık denir ve aşağıdaki gibi tanımlanır.

Tanım. Doğru orantılılık, k'nin sıfır olmayan bir gerçek sayı olduğu y=kx formülü kullanılarak belirtilebilen bir fonksiyondur.

Y = k x fonksiyonunun adı, y = k x formülünde büyüklük değerleri olabilen x ve y değişkenlerinin bulunmasından kaynaklanmaktadır. Ve eğer iki büyüklüğün oranı sıfırdan farklı bir sayıya eşitse, bunlara denir. doğrudan orantılı . Bizim durumumuzda = k (k≠0). Bu numara denir orantılılık katsayısı.

y = k x fonksiyonu, ilk matematik dersinde halihazırda ele alınan birçok gerçek durumun matematiksel bir modelidir. Bunlardan biri yukarıda anlatılmıştır. Başka bir örnek: Bir torba un 2 kg içeriyorsa ve bu tür torbalar x satın alındıysa, satın alınan unun tüm kütlesi (y ile gösterilir) y = 2x formülüyle temsil edilebilir, yani. Torba sayısı ile satın alınan unun toplam kütlesi arasındaki ilişki k=2 katsayısı ile doğru orantılıdır.

Okul matematik dersinde incelenen doğru orantılılığın bazı özelliklerini hatırlayalım.

1. Y = k x fonksiyonunun tanım alanı ve değerlerinin aralığı gerçek sayılar kümesidir.

2. Doğru orantı grafiği orijinden geçen düz bir çizgidir. Bu nedenle doğru orantılı bir grafik oluşturmak için, kendisine ait olan ve koordinatların orijini ile çakışmayan tek bir noktayı bulup, bu nokta ve koordinatların orijini boyunca düz bir çizgi çizmek yeterlidir.

Örneğin, y = 2x fonksiyonunun bir grafiğini oluşturmak için, koordinatları (1, 2) olan bir noktaya sahip olmak ve ardından bunun üzerinden ve koordinatların kökeninden düz bir çizgi çizmek yeterlidir (Şekil 7).

3. k > 0 için, y = khx fonksiyonu tüm tanım kümesinde artar; k'de< 0 - убывает на всей области определения.

4. Eğer f fonksiyonu doğru orantılı ise ve (x 1, y 1), (x 2, y 2), x ve y değişkenlerinin karşılık gelen değerlerinin çiftleriyse ve x 2 ≠0 ise.

Aslında, f fonksiyonu doğru orantılı ise, o zaman y = khx ve sonra y 1 = kh 1, y 2 = kh 2 formülüyle verilebilir. x 2 ≠0 ve k≠0 olduğundan y 2 ≠0 olur. Bu yüzden ve bu demek ki .

X ve y değişkenlerinin değerleri pozitif gerçek sayılar ise, doğru orantılılığın kanıtlanmış özelliği aşağıdaki gibi formüle edilebilir: x değişkeninin değeri birkaç kez arttığında (azaldığında), y değişkeninin karşılık gelen değeri aynı miktarda artar (azalır).

Bu özellik yalnızca doğru orantılılığın doğasında vardır ve doğrudan orantılı büyüklüklerin dikkate alındığı sözlü problemleri çözerken kullanılabilir.

Problem 1. Bir tornacı 8 saatte 16 parça üretti. Bir torna operatörü aynı verimlilikte çalışırsa 48 parçayı kaç saatte üretir?

Çözüm. Problem şu miktarları dikkate almaktadır: tornacının çalışma süresi, yaptığı parça sayısı ve üretkenlik (yani, tornacı tarafından 1 saatte üretilen parça sayısı), son değer sabittir ve diğer ikisi üstlenir. farklı değerler. Ayrıca yapılan parça sayısı ve çalışma süresi doğru orantılı büyüklüklerdir, çünkü bunların oranı sıfıra eşit olmayan belirli bir sayıya, yani bir tornacı tarafından 1 saatte yapılan parça sayısına eşittir. üretilen parçaların sayısı y harfiyle gösterilir, çalışma süresi x'tir ve üretkenlik k'dir, o zaman şunu elde ederiz: = k veya y = khx, yani. Problemde sunulan durumun matematiksel modeli doğru orantılılıktır.

Problem iki aritmetik yöntemle çözülebilir:

1. yol: 2. yol:

1) 16:8 = 2 (çocuklar) 1) 48:16 = 3 (kere)

2) 48:2 = 24 (sa) 2) 8-3 = 24 (sa)

Problemi ilk olarak çözerek önce k orantı katsayısını bulduk, yani 2'ye eşit, sonra y = 2x olduğunu bilerek y = 48 olması koşuluyla x'in değerini bulduk.

Sorunu ikinci şekilde çözerken, doğru orantı özelliğini kullandık: Bir torna makinesinin ürettiği parça sayısı ne kadar artarsa, bunların üretim süresi de aynı miktarda artar.

Şimdi ters orantı adı verilen bir fonksiyonu ele almaya geçelim.

Eğer t yayanın hareket süresi (saat), v hızı (km/saat) ve 12 km yürüdüyse, bu büyüklükler arasındaki ilişki v∙t = 20 veya v = formülüyle ifade edilebilir.

Her t değeri (t ≠ 0) tek bir hız değerine v karşılık geldiğinden, bir fonksiyonun v = formülü kullanılarak belirtildiğini söyleyebiliriz. Buna ters orantı denir ve aşağıdaki şekilde tanımlanır.

Tanım. Ters orantı, k'nin sıfıra eşit olmayan bir gerçek sayı olduğu y = formülü kullanılarak belirlenebilen bir fonksiyondur.

Bu fonksiyonun adı şu gerçeğinden kaynaklanmaktadır: y = miktarların değerleri olabilen x ve y değişkenleri vardır. Ve eğer iki miktarın çarpımı sıfırdan farklı bir sayıya eşitse, bunlara ters orantılı denir. Bizim durumumuzda xy = k(k ≠0). Bu k sayısına orantı katsayısı denir.

İşlev y = başlangıç ​​matematik dersinde halihazırda dikkate alınan birçok gerçek durumun matematiksel modelidir. Ters orantı tanımından önce bunlardan bir tanesi anlatılmıştır. Başka bir örnek: 12 kg un alıp her birini l:y kg'lık kutulara koyarsanız, bu miktarlar arasındaki ilişki x-y = 12 olarak gösterilebilir, yani. k=12 katsayısı ile ters orantılıdır.

Okul matematik dersinden bilinen ters orantılılığın bazı özelliklerini hatırlayalım.

1.Fonksiyon tanımının alanı y = ve değerlerinin aralığı x, sıfır dışındaki gerçek sayılar kümesidir.

2. Ters orantı grafiği bir hiperboldür.

3. k > 0 için hiperbolün dalları 1. ve 3. çeyrekte yer alır ve fonksiyon y = x'in tüm tanım alanı boyunca azalmaktadır (Şekil 8).

Pirinç. 8 Şekil 9

K'da< 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция y = x'in tanım alanının tamamında artmaktadır (Şekil 9).

4. F fonksiyonu ters orantılıysa ve (x 1, y 1), (x 2, y 2), x ve y değişkenlerinin karşılık gelen değerlerinin çiftleriyse, o zaman.

Aslında, eğer f fonksiyonu ters orantılı ise, o zaman formülle verilebilir. y = ,ve daha sonra . x 1 ≠0, x 2 ≠0, x 3 ≠0 olduğuna göre,

X ve y değişkenlerinin değerleri pozitif gerçek sayılar ise, ters orantılılığın bu özelliği şu şekilde formüle edilebilir: x değişkeninin değerinde birkaç kez bir artış (azalış) ile, değişkenin karşılık gelen değeri y aynı miktarda azalır (artar).

Bu özellik yalnızca ters orantılılığın doğasında vardır ve ters orantılı miktarların dikkate alındığı sözlü problemleri çözerken kullanılabilir.

Problem 2. 10 km/saat hızla giden bir bisikletçi A noktasından B noktasına 20 km/saat hızla giderse geri dönüşte ne kadar zaman harcar?

Çözüm. Problem şu nicelikleri dikkate alıyor: bisikletçinin hızı, hareket süresi ve A'dan B'ye olan mesafe; son nicelik sabitken diğer ikisi farklı değerler alıyor. Ayrıca hız ve hareket süresi ters orantılı büyüklüklerdir, çünkü bunların çarpımı belirli bir sayıya, yani kat edilen mesafeye eşittir. Bisikletçinin hareket süresi y harfiyle, hızı x ile ve AB mesafesi k ile gösterilirse, o zaman xy = k veya y = elde ederiz; Problemde sunulan durumun matematiksel modeli ters orantılılıktır.

Sorunu çözmenin iki yolu vardır:

1. yol: 2. yol:

1) 10-6 = 60 (km) 1) 20:10 = 2 (kat)

2) 60:20 = 3(4) 2) 6:2 = 3(h)

Problemi ilk yoldan çözerek önce 60'a eşit olan k orantı katsayısını bulduk, sonra y = olduğunu bilerek x = 20 olmak şartıyla y'nin değerini bulduk.

Sorunu ikinci şekilde çözerken ters orantı özelliğini kullandık: Hareket hızı arttıkça, aynı mesafeyi kat etme süresi aynı oranda azalır.

Ters orantılı veya doğrudan orantılı niceliklerle belirli problemleri çözerken, özellikle x ve y'ye bazı kısıtlamalar getirildiğini, bunların tüm gerçek sayılar kümesinde değil, alt kümelerinde dikkate alınabileceğini unutmayın.

Problem 3. Lena x kalem aldı ve Katya 2 kat daha fazla kalem aldı. Katya'nın satın aldığı kalem sayısını y ile belirtin, y'yi x ile ifade edin ve x≤5 olması koşuluyla kurulan yazışmaların bir grafiğini oluşturun. Bu yazışma bir fonksiyon mudur? Tanım alanı ve değer aralığı nedir?

Çözüm. Katya = 2 kalem aldı. Y=2x fonksiyonunu çizerken, x değişkeninin kalem sayısını gösterdiğini ve x≤5 değişkeninin yalnızca 0, 1, 2, 3, 4 değerlerini alabileceği anlamına geldiğini hesaba katmak gerekir. 5. Bu, bu fonksiyonun tanım alanı olacaktır. Bu fonksiyonun değer aralığını elde etmek için, tanım aralığındaki her x değerini 2 ile çarpmanız gerekir, yani. bu küme (0, 2, 4, 6, 8, 10) olacaktır. Dolayısıyla y = 2x fonksiyonunun tanım tanım kümesindeki (0, 1, 2, 3, 4, 5) grafiği Şekil 10'da gösterilen noktalar kümesi olacaktır. Tüm bu noktalar y = 2x düz çizgisine aittir. .

Bugün hangi niceliklerin ters orantılı olarak adlandırıldığına, ters orantı grafiğinin neye benzediğine ve tüm bunların sadece matematik derslerinde değil okul dışında da sizin için nasıl yararlı olabileceğine bakacağız.

Böyle farklı oranlar

Orantılılık Birbirine bağımlı olan iki niceliği adlandırın.

Bağımlılık doğrudan ve ters olabilir. Sonuç olarak, nicelikler arasındaki ilişkiler doğrudan ve ters orantılılıkla açıklanmaktadır.

Doğrudan orantılılık– Bu, iki nicelik arasında, birinde bir artışın veya azalışın diğerinde de artışa veya azalmaya yol açtığı bir ilişkidir. Onlar. tavırları değişmiyor.

Örneğin, sınavlara ne kadar çok çalışırsanız notlarınız o kadar yüksek olur. Ya da yürüyüşe çıkarken yanınıza ne kadar çok şey alırsanız sırt çantanız o kadar ağırlaşır. Onlar. Sınavlara hazırlanmak için harcanan emek, alınan notlarla doğru orantılıdır. Ve bir sırt çantasına konulan eşyaların sayısı, ağırlığıyla doğru orantılıdır.

Ters orantılılık– bu, bağımsız bir değerdeki (buna argüman denir) birkaç kat azalma veya artışın, bağımlı bir değerde orantılı (yani aynı sayıda) artışa veya azalmaya neden olduğu (buna argüman denir) fonksiyonel bir bağımlılıktır. işlev).

Basit bir örnekle açıklayalım. Pazardan elma almak istiyorsunuz. Tezgahtaki elmalar ile cüzdanınızdaki para miktarı ters orantılıdır. Onlar. Ne kadar çok elma alırsanız, o kadar az paranız kalır.

Fonksiyon ve grafiği

Ters orantı fonksiyonu şu şekilde tanımlanabilir: y = k/x. hangisinde X≠ 0 ve k≠ 0.

Bu fonksiyon aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1. Tanım alanı, hariç tüm gerçek sayılar kümesidir. X = 0. D(sen): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Aralığın tamamı gerçek sayılardır, ancak sen= 0. E(y): (-∞; 0) sen (0; +∞) .
3. Maksimum veya minimum değerleri yoktur.
4. Gariptir ve grafiği orijine göre simetriktir.
5. Düzenli olmayan.
6. Grafiği koordinat eksenlerini kesmez.
7. Sıfırları yoktur.
8. Eğer k> 0 (yani argüman artarsa), fonksiyon her aralıkta orantılı olarak azalır. Eğer k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Argüman arttıkça ( k> 0) fonksiyonun negatif değerleri (-∞; 0) aralığında, pozitif değerleri ise (0; +∞) aralığındadır. Argüman azaldığında ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Ters orantı fonksiyonunun grafiğine hiperbol denir. Aşağıdaki şekilde gösterilmiştir:

Ters orantı problemleri

Daha açık hale getirmek için birkaç göreve bakalım. Çok karmaşık değiller ve bunları çözmek, ters orantılılığın ne olduğunu ve bu bilginin günlük yaşamınızda nasıl yararlı olabileceğini gözünüzde canlandırmanıza yardımcı olacaktır.

Görev No.1. Bir araba 60 km/saat hızla hareket etmektedir. Hedefine ulaşması 6 saat sürdü. İki katı hızla hareket ederse aynı mesafeyi ne kadar sürede kat eder?

Zaman, mesafe ve hız arasındaki ilişkiyi açıklayan bir formül yazarak başlayabiliriz: t = S/V. Katılıyorum, bize ters orantı fonksiyonunu çok hatırlatıyor. Bu da bir otomobilin yolda geçirdiği süre ile hareket hızının ters orantılı olduğunu gösteriyor.

Bunu doğrulamak için duruma göre 2 kat daha yüksek olan V2'yi bulalım: V2 = 60 * 2 = 120 km/saat. Daha sonra S = V * t = 60 * 6 = 360 km formülünü kullanarak mesafeyi hesaplıyoruz. Artık problemin koşullarına göre bizden beklenen t 2 süresini bulmak zor değil: t 2 = 360/120 = 3 saat.

Gördüğünüz gibi yolculuk süresi ve hız aslında ters orantılıdır: Orijinal hızın 2 katı daha yüksek bir hızda araç yolda 2 kat daha az zaman harcayacaktır.

Bu problemin çözümü orantı olarak da yazılabilir. O halde önce bu diyagramı oluşturalım:

↓ 60 km/saat – 6 saat

↓120 km/saat – xsaat

Oklar ters orantılı bir ilişkiyi gösterir. Ayrıca bir orantı kurarken kaydın sağ tarafının ters çevrilmesi gerektiğini de öne sürüyorlar: 60/120 = x/6. X = 60 * 6/120 = 3 saati nereden bulacağız?

Görev No.2. Atölyede belirli bir işi 4 saatte tamamlayabilen 6 işçi çalışıyor. İşçi sayısı yarıya indirilirse kalan işçiler aynı işi ne kadar sürede tamamlar?

Sorunun koşullarını görsel bir şema halinde yazalım:

↓ 6 işçi – 4 saat

↓ 3 işçi – x h

Bunu oran olarak yazalım: 6/3 = x/4. Ve x = 6 * 4/3 = 8 saat elde ederiz. Eğer 2 kat daha az işçi varsa, geri kalanlar tüm işi yaparken 2 kat daha fazla zaman harcayacaklardır.

Görev No.3. Havuza giden iki boru var. Su bir borudan 2 lt/s hızla akıyor ve havuzu 45 dakikada dolduruyor. Başka bir boruyla havuz 75 dakikada dolacak. Su bu borudan havuza hangi hızla giriyor?

Başlangıç ​​olarak problemin koşullarına göre bize verilen tüm büyüklükleri aynı ölçü birimlerine indirgeyelim. Bunun için havuzun dolum hızını dakikada litre cinsinden ifade ediyoruz: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/dak.

Bu durum, havuzun ikinci borudan daha yavaş dolduğunu ima ettiğinden su akış hızının daha düşük olduğu anlamına gelir. Orantılılık terstir. Bilinmeyen hızı x üzerinden ifade edelim ve aşağıdaki diyagramı çizelim:

↓ 120 l/dak – 45 dak

↓ x l/dak – 75 dak

Ve sonra şu oranı oluşturuyoruz: 120/x = 75/45, buradan x = 120 * 45/75 = 72 l/dak.

Problemde havuzun dolum hızı saniyede litre cinsinden ifade ediliyor, aldığımız cevabı aynı forma indirgeyelim: 72/60 = 1,2 l/s.

Görev No.4. Küçük bir özel matbaa, kartvizit basıyor. Bir matbaa çalışanı saatte 42 kartvizit hızında ve tam gün, 8 saat çalışmaktadır. Eğer daha hızlı çalışsaydı ve bir saatte 48 kartvizit bassaydı, eve ne kadar erken gidebilirdi?

Kanıtlanmış yolu takip ediyoruz ve problemin koşullarına göre istenen değeri x olarak belirten bir diyagram çiziyoruz:

↓ 42 kartvizit/saat – 8 saat

↓ 48 kartvizit/saat – x saat

Ters orantılı bir ilişkimiz var: Bir matbaa çalışanının saatte kaç kat daha fazla kartvizit basması, aynı işi tamamlamak için aynı sayıda daha az zamana ihtiyaç duyması. Bunu bilerek bir orantı oluşturalım:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 saat.

Böylece işi 7 saatte tamamlayan matbaa çalışanı, evine bir saat erken gidebiliyordu.

Çözüm

Bize öyle geliyor ki bu ters orantı problemleri aslında çok basit. Artık sizin de onları bu şekilde düşünmenizi umuyoruz. Ve asıl önemli olan, miktarların ters orantılı bağımlılığı hakkındaki bilginin sizin için gerçekten birden fazla kez yararlı olabileceğidir.

Sadece matematik derslerinde ve sınavlarda değil. Ancak o zaman bile, bir yolculuğa çıkmaya, alışverişe çıkmaya, tatillerde biraz ekstra para kazanmaya karar vermeye vb. hazır olduğunuzda.

Çevrenizde hangi ters ve doğru orantılı ilişki örneklerini fark ettiğinizi yorumlarda bize bildirin. Böyle bir oyun olsun. Ne kadar heyecan verici olduğunu göreceksiniz. Arkadaşlarınızın ve sınıf arkadaşlarınızın da oynayabilmesi için bu makaleyi sosyal ağlarda paylaşmayı unutmayın.

blog.site, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken, orijinal kaynağa bir bağlantı gereklidir.

İki miktara denir doğrudan orantılı Biri birkaç kat arttığında diğeri de aynı oranda artıyorsa. Buna göre biri birkaç kat azaldığında diğeri de aynı miktarda azalır.

Bu miktarlar arasındaki ilişki doğrudan orantılı bir ilişkidir. Doğru orantılılık örnekleri:

1) sabit bir hızda kat edilen mesafe zamanla doğru orantılıdır;

2) bir karenin çevresi ve kenarı doğru orantılı büyüklüklerdir;

3) Tek fiyattan satın alınan bir ürünün maliyeti, miktarıyla doğru orantılıdır.

Doğru orantılı bir ilişkiyi ters olandan ayırmak için şu atasözünü kullanabilirsiniz: "Ormana ne kadar uzaksa, o kadar yakacak odun olur."

Orantıları kullanarak doğrudan orantılı büyüklükleri içeren problemleri çözmek uygundur.

1) 10 parça yapmak için 3,5 kg metale ihtiyacınız vardır. Bu parçalardan 12 tanesini yapmak için ne kadar metal harcanacak?

(Şöyle mantık yürütüyoruz:

1. Dolu sütuna en büyük sayıdan en küçüğüne doğru bir ok yerleştirin.

2. Ne kadar çok parça olursa, bunları yapmak için o kadar çok metal gerekir. Bu, bunun doğrudan orantılı bir ilişki olduğu anlamına gelir.

12 parça yapmak için x kg metale ihtiyaç duyulduğunu varsayalım. Oranı oluşturuyoruz (okun başından sonuna kadar):

12:10=x:3,5

Bulmak için uç terimlerin çarpımını bilinen orta terime bölmeniz gerekir:

Bu, 4,2 kg metalin gerekli olacağı anlamına gelir.

Cevap: 4,2 kg.

2) 15 metre kumaş için 1680 ruble ödediler. Bu kumaşın 12 metre fiyatı ne kadar?

(1. Dolu sütuna en büyük sayıdan en küçüğüne doğru bir ok yerleştirin.

2. Ne kadar az kumaş satın alırsanız, o kadar az ödemeniz gerekir. Bu, bunun doğrudan orantılı bir ilişki olduğu anlamına gelir.

3. Bu nedenle ikinci ok birinciyle aynı yöndedir).

X rublenin 12 metre kumaşa mal olduğunu varsayalım. Orantı yapıyoruz (okun başından sonuna kadar):

15:12=1680:x

Oranın bilinmeyen ekstrem terimini bulmak için orta terimlerin çarpımını oranın bilinen ekstrem terimine bölün:

Bu, 12 metrenin 1344 rubleye mal olduğu anlamına gelir.

Cevap: 1344 ruble.