Birleşik Devlet Sınavının ayrılmaz bir parçası trigonometrik denklemlerdir.

Ne yazık ki trigonometrik fonksiyonları içeren herhangi bir denklemi çözmek için izlenebilecek genel birleştirilmiş bir yöntem yoktur. Buradaki başarı, yalnızca iyi formül bilgisi ve yalnızca pratik yoluyla geliştirilebilecek belirli yararlı kombinasyonları görme yeteneği ile sağlanabilir.

Genel amaç genellikle denklemde yer alan trigonometrik ifadeyi, köklerin en basit denklemlerden bulunabileceği şekilde dönüştürmektir:

Bunu yapmak için trigonometrik formülleri kullanabilmeniz gerekir. Bunları bilmek ve “isimlerle” çağırmak faydalıdır:

1. Çift argüman, üçlü argüman formülleri:

сos 2x = cos 2 x – sin 2 x = 1 – 2 sin 2 x = 2 cos 2 x – 1;

sin 2x = 2 sin x çünkü x;

tg 2x = 2 tg x/1 – tg x;

ctg 2x = (ctg 2 x – 1)/2 ctg x;

günah 3x = 3 günah x – 4 günah 3 x;

çünkü 3x = 4 çünkü 3 x – 3 çünkü x;

tg 3x = (2 tg x – tg 3 x)/(1 – 3 tg 2 x);

ctg 3x = (ctg 3 x – 3ctg x)/(3ctg 2 x – 1);

2. Yarım argüman veya derecenin azaltılması için formüller:

günah 2 x/2 = (1 – çünkü x)/2; çünkü 2 x/2 = (1 + çünkü x)/2;

tg 2 x = (1 – çünkü x)/(1 + çünkü x);

bebek karyolası 2 x = (1 + cos x)/(1 – cos x);

3. Yardımcı bir argümanın tanıtılması:

a sin x + b cos x = c denkleminin örneğini, yani sin y = b/v(a 2 + b 2), cos y = a/v(a) koşullarından x açısını belirleyerek ele alalım. 2 + b 2), söz konusu denklemi, çözümleri zorluk çekmeden yazılabilen en basit günah (x + y) = c/v(a 2 + b 2)'ye indirgeyebiliriz; böylece orijinal denklemin çözümleri belirlenir.

4. Toplama ve çıkarma formülleri:

günah (a + b) = sin a çünkü b + cos a günah b;

günah (a – b) = sin a çünkü b – çünkü a günah b;

çünkü (a + b) = çünkü a çünkü b – sin a günah b;

çünkü (a – b) = çünkü a çünkü b + sin a günah b;

tg (a + b) = (tg a + tg b)/(1 – tg a tg b);

tg (a – b) = (tg a – tg b)/(1 + tg a tg b);

5. Evrensel trigonometrik ikame:

sin a = 2 tan (a/2)/(1 + ( tg2(a/2));

çünkü a = (1 – tan 2 (a/2))/(1 + ( tg2(a/2));

tg a = 2 tg a/2/(1 – tg 2 (a/2));

6. Bazı önemli oranlar:

sin x + sin 2x + sin 3x +…+ sin mx = (cos (x/2) -cos (2m + 1)x)/(2 sin (x/2));

cos x + cos 2x + cos 3x +…+ cos mx = (sin (2m+ 1)x/2 – sin (x/2))/(2 sin (x/2));

7. Trigonometrik fonksiyonların toplamını ürüne dönüştürmek için formüller:

sin a + sin b = 2 sin(a + b)/2 çünkü (a – b)/2;

cos a – cos b = -2 sin(a + b)/2 sin (b – a)/2;

tan a + tan b = sin (a + b)/(cos a cos b);

tan a – tan b = sin (a – b)/(cos a cos b).

Ve ayrıca indirgeme formülleri.

Çözüm sürecinde, kök kaybını (örneğin denklemin sol ve sağ taraflarını ortak bir faktörle azaltırken) veya fazladan kök elde edilmesini (örneğin denklemin sol ve sağ taraflarını azaltırken) önlemek için denklemlerin denkliği özellikle dikkatle izlenmelidir. örneğin denklemin her iki tarafının karesi alınırken). Ayrıca alıcı köklerin söz konusu denklemin ODZ'sine ait olup olmadığının kontrol edilmesi gerekir.

Gerekli tüm durumlarda (yani eşit olmayan dönüşümlere izin verildiğinde), kontrol edilmesi gerekir. Denklemleri çözerken genellikle kolay denklemlerden başlayarak öğrencilere bunları belirli türlere indirgemeyi öğretmek gerekir.

Denklem çözme yöntemlerini tanıyalım:

1. ax 2 + bx + c = 0 formuna indirgeme

2. Denklemlerin homojenliği.

3. Çarpanlara ayırma.

4. a 2 + b 2 + c 2 = 0 formuna indirgeme

5. Değişkenlerin değiştirilmesi.

6. Denklemi tek değişkenli bir denkleme indirgemek.

7. Sol ve sağ kısımların değerlendirilmesi.

8. Bakış yöntemi.

9. Yardımcı açının tanıtılması.

10. “Böl ve yönet” yöntemi.

Örneklere bakalım:

1. Denklemi çözün: sin x + cos 2 x = 1/4.

Çözüm: İkinci dereceden bir denkleme indirgeyerek çözün. Cos 2 x'ten sin 2 x'e kadar ifade edelim

günah x + 1 – günah 2 x = 1/4

4 günah 2 x – 4 günah x – 3 = 0

sin x = -1/2, sin x = 3/2 (x€[-1;1] koşulunu sağlamaz),

onlar. x = (-1) k+1 arcsin 1/2 + k, k€z,

Cevap: (-1) k+1 /6 + k, k€z.

2. Denklemi çözün: 2 tg x cos x +1 = 2 cos x + tg x,

çarpanlara ayırma yöntemiyle çöz

2 tg x cos x – 2 cos x + 1 – tg x = 0, burada x /2 + k, k€z,

2 çünkü x (tg x – 1) – (tg x – 1) = 0

(2 cos x – 1) (tg x – 1) = 0

2 cos x – 1 = 0 veya tg x – 1 = 0

çünkü x = 1/2, tgx = 1,

yani x = ± /3 + 2k, k€z, x = /4 + m, m€z.

Cevap: ± /3 + 2k, k€z, /4 + m, m€z.

3. Denklemi çözün: sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 x = 0.

Çözüm: sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 x = 0 2. dereceden homojen denklem. cos x = 0 bu denklemin kökü olmadığı için sol ve sağ tarafları cos 2 x'e bölüyoruz. Sonuç olarak tan x için ikinci dereceden bir denkleme ulaşıyoruz

tg 2 x – 3 tg x + 2 = 0,

tg x = 1 ve tg x = 2,

buradan x = /4 + m, m€z,

x = arktan 2 + k, k€z.

Cevap: /4 + m, m€z, arktan 2 + k, k€z.

4. Denklemi çözün: cos (10x + 12) + 42 sin (5x + 6) = 4.

Çözüm: Yeni bir değişken ekleme yöntemi

5x + 6 = y olsun, o zaman cos 2y + 4 2 günah y = 4

1 – 2 günah 2 y + 4 2 sin y – 4 = 0

sin y = t, burada t€[-1;1]

2t 2 – 4 2t + 3 = 0

t = 2/2 ve t = 3 2/2 (t€[-1;1] koşulunu karşılamıyor)

günah (5x + 6) = 2/2,

5x + 6 = (-1) k /4 + k, k€z,

x = (-1) k /20 – 6/5 + k/5, k€z.

Cevap: (-1) k?/20 – 6/5 + ?k/5, k€z.

5. Denklemi çözün: (sin x – cos y) 2 + 40x 2 = 0

Çözüm: a 2 + b 2 + c 2 = 0 kullanıyoruz, eğer a = 0, b = 0, c = 0 ise doğrudur. Buradan itibaren sin x – cos y = 0 ve 40x = 0 ise eşitlik mümkündür:

x = 0 ve sin 0 – cos y = 0, dolayısıyla x = 0 ve cos y = 0, dolayısıyla: x = 0 ve y = /2 + k, k€z, ayrıca yazmak da mümkündür ( 0 / 2 + k) k€z.

Cevap: (0; /2 + k) k€z.

6. Denklemi çözün: sin 2 x + cos 4 x – 2 sin x + 1 = 0

Çözüm: Denklemi yeniden düzenleyin ve böl ve yönet yöntemini uygulayın

(sin 2 x – 2 sin x +1) + cos 4 x = 0;

(sin x – 1) 2 + cos 4 x = 0; bu mümkünse

(sin x – 1) 2 = 0 ve cos 4 x = 0, dolayısıyla:

sin x – 1 = 0 ve cos x = 0,

sin x = 1 ve cos x = 0, dolayısıyla

x = /2 + k, k€z

Cevap: /2 + k, k€z.

7. Denklemi çözün: sin 5x + sin x = 2 + cos 2 x.

Çözüm: Cos ve sin fonksiyonlarının sol ve sağ taraflarını ve sınırlılığını tahmin etme yöntemini uyguluyoruz.

– 1 günah 5x 1 ve -1 günah x 1

0 + 2 2 + çünkü 2 x 1 + 2

2 2 + çünkü 2 x 3

günah 5x + günah x 2 ve 2 + cos 2 x 2

2 günah 5x + günah x 2, yani

günah 5x + günah x 2,

sol tarafta 2, sağ tarafta ise 2 var,

Her ikisinin de 2'ye eşit olması durumunda eşitlik mümkündür.

cos 2 x = 0 ve sin 5x + sin x = 2, dolayısıyla

x = /2 + k, k€z (kontrol ettiğinizden emin olun).

Cevap: /2 + k, k€z.

8. Denklemi çözün: cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 0.

Çözüm: Çarpanlara ayırma yöntemini kullanarak çözün. Sol taraftaki terimleri çiftler halinde gruplandırıyoruz.

(Bu durumda herhangi bir gruplama yöntemi hedefe götürür.) Cos a+cos b=2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2 formülünü kullanırız.

2 çünkü 3/2х çünkü x/2 + 2 çünkü 7/2х çünkü x/2 = 0,

çünkü x/2 (cos 3/2x + cos 7/2x) = 0,

2 çünkü 5/2x çünkü x/2 çünkü x = 0,

Üç durum ortaya çıkıyor:

Cevap: + 2k, /5 + 2/5k, /2 + k, k€z.

İkinci durumun birinciyi de içerdiğini belirtelim. (İkinci durumda k = 4 + 5 alırsak + 2n elde ederiz). Dolayısıyla hangisinin daha doğru olduğunu söylemek imkansız ama her durumda cevap “daha ​​kültürlü ve güzel” görünecek: x 1 = /5 + 2/5k, x 2 = /2 + k, k€z. (Yine, cevabın çeşitli şekillerde kaydedilmesine yol açan tipik bir durum). İlk cevap da doğrudur.

Ele alınan denklem çok tipik bir çözüm şemasını göstermektedir - denklemin ikili gruplama ve formüllerin kullanımı yoluyla çarpanlara ayrılması:

sin a + sin b = 2 sin (a + b)/2 çünkü (a – b)/2;

sin a – sin b = 2 cos (a + b)/2 sin (a – b)/2;

cos a + cos b = 2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2;

cos a – cos b = -2 sin (a + b)/2 sin (b – a)/2.

Trigonometrik denklemleri çözerken kökleri seçme ve gereksiz kökleri eleme sorunu çok spesifiktir ve genellikle cebirsel denklemlere göre daha karmaşık olduğu ortaya çıkar. Ekstra (yabancı) köklerin ortaya çıkışının tipik durumlarını ve bunlarla "mücadele" yöntemlerini gösteren denklemlere çözümler sunalım.

Çözüm sürecinde denklemlerin tanım alanının genişletilmesi nedeniyle ekstra kökler ortaya çıkabilir. Örnekler verelim.

9. Denklemi çözün: (sin 4x – sin 2x – cos 3x + 2sin x -1)/(2sin 2x – 3) = 0.

Çözüm: Payı sıfıra eşitleyelim (bu durumda denklemin tanım alanı genişletilir - x değerleri eklenir, payda sıfıra çevrilir) ve çarpanlara ayırmaya çalışalım. Sahibiz:

2 çünkü 3x sin x – çünkü 3x + 2sin x – 1 = 0,

(çünkü 3x + 1) (2 günah x – 1) = 0.

İki denklem elde ederiz:

çünkü 3x + 1 = 0, x = /3 + 2/3k.

Bakalım hangi k bize uygun. Öncelikle denklemimizin sol tarafının periyodu 2 olan periyodik bir fonksiyon olduğuna dikkat edelim. Bu nedenle denklemin 0 x koşulunu sağlayan bir çözümünü bulmak yeterlidir.< 2 (один раз “обойти” круг), затем к найденным значениям прибавить 2k.

Eşitsizlik 0 x< 2 удовлетворяют три числа: /3, 5/3.

Birincisi uygun değil, sin 2/3 = 3/2 olduğundan payda sıfıra gider.

İlk durumun cevabı: x 1 = + 2k, x 2 = 5/3 + 2k (x 2 = – /3 + 2k yapabilirsiniz), k€z.

Bu denkleme 0 x koşulunu sağlayan bir çözüm bulalım.< 2. Их два: /6, 5/6. Подходит второе значение.

Cevap: + 2k, 5/3 + 2k, 5/6 + 2k, k€z.

10. Denklemlerin köklerini bulun: v(cos 2x + sin 3x) = v2 cos x.

Bu denklemin çözümü iki aşamaya ayrılır:

1) belirli bir denklemden elde edilen bir denklemin her iki parçasının karesi alınarak çözülmesi;

2) cos x 0 koşulunu sağlayan köklerin seçimi. Bu durumda (cebirsel denklemlerde olduğu gibi) cos 2x + sin 3x 0 koşulu hakkında endişelenmenize gerek yoktur. Kare denklemini sağlayan tüm k değerleri bu koşulu karşılar.

İlk adım bizi sin 3x = 1 denklemine götürür, buradan x 1 = /6 + 2/3k çıkar.

Şimdi k cos (/6 + 2/3k) 0'ın ne zaman oluşacağını belirlememiz gerekiyor. Bunu yapmak için k için 0, 1, 2 değerlerini dikkate almak yeterlidir, yani. her zamanki gibi, "çemberin etrafında bir kez dönün", çünkü kosinüs değerleri zaten 2'nin katları olarak kabul edilen değerlerden farklı olacaktır.

Cevap: /6 + 2k, 3/2/3 + 2k, 5/6 + 2k, k€z.

11. Denklemi çözün: sin 8 x – cos 5 x = 1.

Bu denklemin çözümü aşağıdaki basit değerlendirmeye dayanmaktadır: 0 ise< a < 1 то a t убывает с ростом t.

Bunun anlamı sin 8 x sin 2 x, – cos 5 x cos 2 x;

Bu eşitsizlikleri terim terim topladığımızda şunu elde ederiz:

günah 8 x – çünkü 5 x günah 2 x + çünkü 2 x = 1.

Bu nedenle, bu denklemin sol tarafı ancak ve ancak iki eşitliğin sağlanması durumunda bire eşittir:

günah 8 x = günah 2 x, çünkü 5 x = çünkü 2 x,

onlar. sin x -1, 0 değerlerini alabilir

Cevap: /2 + k, + 2k, k€z.

Resmi tamamlamak için başka bir örneği düşünün.

12. Denklemi çözün: 4 cos 2 x – 4 cos 2 3x cos x + cos 2 3x = 0.

Çözüm: Bu denklemin sol tarafını cos x'e göre ikinci dereceden bir üç terimli olarak ele alacağız.

Bu üç terimlinin diskriminantı D olsun:

1/4 D = 4 (cos 4 3x – cos 2 3x).

D 0 eşitsizliğinden cos 2 3x 0 veya cos 2 3x 1 çıkar.

Bu, iki olasılığın ortaya çıktığı anlamına gelir: cos 3x = 0 ve cos 3x = ± 1.

Eğer cos 3x = 0 ise, denklemden cos x = 0 sonucu çıkar, dolayısıyla x = /2 + k.

X'in bu değerleri denklemi karşılar.

Eğer cos 3x = 1 ise cos x = 1/2 denkleminden x = ± /3 + 2k'yi buluruz. Bu değerler aynı zamanda denklemi de sağlar.

Cevap: /2 + k, /3 + 2k, k€z.

13. Denklemi çözün: sin 4 x + cos 4 x = 7/2 sin x cos x.

Çözüm: Sin 4 x + cos 4 x ifadesini, tam kareyi vurgulayarak dönüştürün: sin 4 x + cos 4 x = sin 4 x + 2 sin 2 x cos 2 x + cos 4 x – 2 sin 2 x cos 2 x = ( sin 2 x + cos 2 x) 2 – 2 sin 2 x cos 2 x, buradan sin 4 x + cos 4 x = 1 – 1/2 sin 2 2x. Ortaya çıkan formülü kullanarak denklemi formda yazıyoruz.

1-1/2 sin 2 2x = 7/4 sin 2x.

günah 2х = t, -1 t 1'i ifade eder,

ikinci dereceden denklemi elde ederiz: 2t 2 + 7t – 4 = 0,

bunu çözdüğümüzde t 1 = 1/2, t 2 = – 4'ü buluruz

denklem sin 2x = 1/2

2x = (- 1) k /6 + k, k€z, x = (- 1) k //12 + k /2, k€z.

Öğrencilerin en çok uğraştığı matematik alanlarından biri trigonometridir. Şaşırtıcı değil: Bu bilgi alanında özgürce ustalaşmak için, mekansal düşünmeye, sinüsleri, kosinüsleri, teğetleri, formülleri kullanarak kotanjantları bulma yeteneğine, ifadeleri basitleştirmeye ve pi sayısını kullanabilmeniz gerekir. hesaplamalar. Ayrıca teoremleri ispatlarken trigonometriyi kullanabilmeniz gerekir ve bu da ya gelişmiş bir matematik hafızası ya da karmaşık mantıksal zincirler türetme yeteneği gerektirir.

Trigonometrinin kökenleri

Bu bilimle tanışmak bir açının sinüs, kosinüs ve tanjantının tanımıyla başlamalıdır, ancak önce genel olarak trigonometrinin ne yaptığını anlamanız gerekir.

Tarihsel olarak, matematik biliminin bu dalındaki çalışmanın ana amacı dik üçgenlerdi. 90 derecelik bir açının varlığı, iki kenar ve bir açı veya iki açı ve bir kenar kullanılarak söz konusu şeklin tüm parametrelerinin değerlerinin belirlenmesine olanak tanıyan çeşitli işlemlerin gerçekleştirilmesini mümkün kılar. Geçmişte insanlar bu modeli fark etmiş ve bina yapımında, navigasyonda, astronomide ve hatta sanatta aktif olarak kullanmaya başlamışlardır.

Başlangıç ​​aşaması

Başlangıçta insanlar açılar ve kenarlar arasındaki ilişkiden yalnızca dik üçgen örneğini kullanarak bahsediyorlardı. Daha sonra matematiğin bu dalının günlük yaşamdaki kullanım sınırlarını genişletmeyi mümkün kılan özel formüller keşfedildi.

Bugün okulda trigonometri çalışması dik üçgenlerle başlıyor, ardından öğrenciler edindikleri bilgileri fizikte kullanıyor ve lisede başlayan soyut trigonometrik denklemleri çözüyorlar.

Küresel trigonometri

Daha sonra bilim bir sonraki gelişme düzeyine ulaştığında, farklı kuralların geçerli olduğu ve bir üçgendeki açıların toplamının her zaman 180 dereceden fazla olduğu küresel geometride sinüs, kosinüs, teğet, kotanjantlı formüller kullanılmaya başlandı. Bu bölüm okulda incelenmiyor, ancak en azından dünyanın yüzeyi ve başka herhangi bir gezegenin yüzeyi dışbükey olduğu için varlığını bilmek gerekiyor, bu da herhangi bir yüzey işaretinin "yay şeklinde" olacağı anlamına geliyor. üç boyutlu uzay.

Küreyi ve ipliği alın. İpliği küre üzerindeki herhangi iki noktaya gergin olacak şekilde takın. Lütfen dikkat - bir yay şeklini almıştır. Küresel geometri, jeodezi, astronomi ve diğer teorik ve uygulamalı alanlarda kullanılan bu tür formlarla ilgilenir.

Sağ üçgen

Trigonometri kullanma yolları hakkında biraz bilgi sahibi olduktan sonra sinüs, kosinüs, tanjantın ne olduğunu, bunların yardımıyla hangi hesaplamaların yapılabileceğini ve hangi formüllerin kullanılacağını daha iyi anlamak için temel trigonometriye dönelim.

İlk adım dik üçgenle ilgili kavramları anlamaktır. Öncelikle hipotenüs 90 derecelik açının karşısındaki kenardır. Bu en uzun olanıdır. Pisagor teoremine göre sayısal değerinin diğer iki tarafın kareleri toplamının köküne eşit olduğunu hatırlıyoruz.

Örneğin iki kenar sırasıyla 3 ve 4 santimetre ise hipotenüsün uzunluğu 5 santimetre olacaktır. Bu arada, eski Mısırlılar bunu yaklaşık dört buçuk bin yıl önce biliyorlardı.

Dik açı oluşturan kalan iki tarafa bacak denir. Ayrıca dikdörtgen koordinat sistemindeki bir üçgenin açılarının toplamının 180 dereceye eşit olduğunu unutmamalıyız.

Tanım

Son olarak, geometrik temelin sağlam bir şekilde anlaşılmasıyla, sinüs, kosinüs ve bir açının tanjantının tanımına dönülebilir.

Bir açının sinüsü, karşı bacağın (yani istenen açının karşısındaki tarafın) hipotenüse oranıdır. Bir açının kosinüsü, komşu kenarın hipotenüse oranıdır.

Ne sinüs ne de kosinüsün birden büyük olamayacağını unutmayın! Neden? Hipotenüs varsayılan olarak en uzun olduğundan, bacak ne kadar uzun olursa olsun hipotenüsten daha kısa olacaktır, bu da oranlarının her zaman birden küçük olacağı anlamına gelir. Bu nedenle, bir soruna verdiğiniz yanıtta 1'den büyük bir sinüs veya kosinüs değeri alırsanız, hesaplamalarda veya akıl yürütmede bir hata olup olmadığına bakın. Bu cevap açıkça yanlıştır.

Son olarak, bir açının tanjantı, karşı kenarın komşu kenara oranıdır. Sinüsün kosinüse bölünmesi aynı sonucu verecektir. Bakın: formüle göre, kenarın uzunluğunu hipotenüse bölüyoruz, sonra ikinci kenarın uzunluğuna bölüyoruz ve hipotenüsle çarpıyoruz. Böylece teğetin tanımındaki ilişkinin aynısını elde ederiz.

Buna göre kotanjant, köşeye bitişik tarafın karşı tarafa oranıdır. Birini teğete bölerek de aynı sonucu elde ederiz.

Böylece sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın ne olduğuna dair tanımlara baktık ve formüllere geçebiliriz.

En basit formüller

Trigonometride formüller olmadan yapamazsınız - onlar olmadan sinüs, kosinüs, teğet, kotanjant nasıl bulunur? Ancak sorunları çözerken tam olarak gerekli olan şey budur.

Trigonometriyi incelemeye başladığınızda bilmeniz gereken ilk formül, bir açının sinüs ve kosinüsünün karelerinin toplamının bire eşit olduğunu söylüyor. Bu formül Pisagor teoreminin doğrudan bir sonucudur, ancak kenar yerine açının boyutunu bilmeniz gerekiyorsa zaman kazandırır.

Pek çok öğrenci, okul problemlerini çözerken de çok popüler olan ikinci formülü hatırlayamıyor: Bir ile bir açının tanjantının karesinin toplamı, birin açının kosinüsünün karesine bölünmesine eşittir. Daha yakından bakın: Bu, ilk formüldekiyle aynı ifadedir, yalnızca kimliğin her iki tarafı da kosinüsün karesine bölünmüştür. Basit bir matematiksel işlemin trigonometrik formülü tamamen tanınmaz hale getirdiği ortaya çıktı. Unutmayın: Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın ne olduğunu, dönüşüm kurallarını ve birkaç temel formülü bilerek, istediğiniz zaman daha karmaşık formülleri bir kağıt üzerinde türetebilirsiniz.

Çift açı formülleri ve bağımsız değişkenlerin eklenmesi

Öğrenmeniz gereken iki formül daha, açıların toplamı ve farkı için sinüs ve kosinüs değerleriyle ilgilidir. Aşağıdaki şekilde sunulmuştur. Lütfen ilk durumda sinüs ve kosinüsün her iki kez çarpıldığını ve ikincisinde sinüs ve kosinüsün ikili çarpımının toplandığını unutmayın.

Çift açılı argümanlarla ilişkili formüller de vardır. Tamamen öncekilerden türetilmiştir - pratik olarak, alfa açısını beta açısına eşit alarak bunları kendiniz elde etmeye çalışın.

Son olarak çift açı formüllerinin sinüs, kosinüs, tanjant alfanın gücünü azaltacak şekilde yeniden düzenlenebileceğini unutmayın.

Teoremler

Temel trigonometrideki iki ana teorem sinüs teoremi ve kosinüs teoremidir. Bu teoremlerin yardımıyla sinüs, kosinüs ve tanjantı, dolayısıyla şeklin alanını ve her bir tarafın boyutunu vb. nasıl bulacağınızı kolayca anlayabilirsiniz.

Sinüs teoremi, bir üçgenin her bir kenarının uzunluğunu karşı açıya bölmenin aynı sayıyla sonuçlanacağını belirtir. Üstelik bu sayı, çevrelenen dairenin, yani belirli bir üçgenin tüm noktalarını içeren dairenin iki yarıçapına eşit olacaktır.

Kosinüs teoremi, Pisagor teoremini herhangi bir üçgene yansıtarak genelleştirir. İki tarafın karelerinin toplamından, çarpımlarının bitişik açının çift kosinüsüyle çarpılmasıyla elde edilen değerin üçüncü tarafın karesine eşit olacağı ortaya çıktı. Böylece Pisagor teoreminin kosinüs teoreminin özel bir durumu olduğu ortaya çıkıyor.

Dikkatsiz hatalar

Sinüs, kosinüs ve tanjantın ne olduğunu bilseniz bile, dalgınlıktan veya en basit hesaplamalardaki hatalardan dolayı hata yapmak kolaydır. Bu tür hatalardan kaçınmak için en popüler olanlara bir göz atalım.

Öncelikle, nihai sonucu elde edene kadar kesirleri ondalık sayılara dönüştürmemelisiniz - koşullarda aksi belirtilmedikçe cevabı kesir olarak bırakabilirsiniz. Böyle bir dönüşüme hata denemez, ancak sorunun her aşamasında yazarın fikrine göre azaltılması gereken yeni köklerin ortaya çıkabileceği unutulmamalıdır. Bu durumda gereksiz matematiksel işlemlerle zamanınızı boşa harcamış olursunuz. Bu özellikle üçün kökü veya ikinin kökü gibi değerler için geçerlidir çünkü bunlar her adımda problemlerle karşılaşır. Aynı şey “çirkin” sayıların yuvarlanması için de geçerli.

Ayrıca, kosinüs teoreminin herhangi bir üçgen için geçerli olduğunu ancak Pisagor teoreminin geçerli olmadığını unutmayın! Yanlışlıkla kenarların çarpımının iki katını aralarındaki açının kosinüsüyle çarpmayı unutursanız, yalnızca tamamen yanlış bir sonuç elde etmekle kalmayacak, aynı zamanda konuyu tam olarak anlamadığınızı da göstereceksiniz. Bu, dikkatsiz bir hatadan daha kötüdür.

Üçüncüsü, sinüsler, kosinüsler, teğetler, kotanjantlar için 30 ve 60 derecelik açıların değerlerini karıştırmayın. Bu değerleri unutmayın, çünkü 30 derecenin sinüsü 60'ın kosinüsüne eşittir ve bunun tersi de geçerlidir. Onları karıştırmak kolaydır, bunun sonucunda kaçınılmaz olarak hatalı bir sonuç elde edersiniz.

Başvuru

Pek çok öğrenci trigonometri çalışmaya başlamak için acele etmiyor çünkü pratik anlamını anlamıyorlar. Bir mühendis veya gökbilimci için sinüs, kosinüs, tanjant nedir? Bunlar uzak yıldızlara olan mesafeyi hesaplamayı, bir gök taşının düşüşünü tahmin etmeyi veya başka bir gezegene araştırma sondası göndermeyi mümkün kılan kavramlardır. Onlar olmadan bir bina inşa etmek, bir araba tasarlamak, bir yüzeydeki yükü veya bir nesnenin yörüngesini hesaplamak imkansızdır. Ve bunlar sadece en bariz örnekler! Sonuçta trigonometri şu ya da bu şekilde müzikten tıbba kadar her yerde kullanılıyor.

Sonuç olarak

Yani sinüs, kosinüs ve tanjantsınız. Bunları hesaplamalarda kullanabilir ve okul problemlerini başarıyla çözebilirsiniz.

Trigonometrinin asıl amacı, bir üçgenin bilinen parametrelerini kullanarak bilinmeyenleri hesaplamanız gerektiği gerçeğine dayanır. Toplamda altı parametre vardır: üç kenarın uzunluğu ve üç açının boyutu. Görevlerdeki tek fark, farklı giriş verilerinin verilmiş olmasıdır.

Artık bacakların bilinen uzunluklarına veya hipotenüse göre sinüs, kosinüs ve teğetleri nasıl bulacağınızı biliyorsunuz. Bu terimler bir orandan başka bir şey ifade etmediğinden ve oran bir kesir olduğundan, trigonometri probleminin asıl amacı sıradan bir denklemin veya denklem sisteminin köklerini bulmaktır. Ve burada normal okul matematiği size yardımcı olacaktır.

Trigonometri çalışmamıza dik üçgenle başlayacağız. Bir akut açının teğet ve kotanjantının yanı sıra sinüs ve kosinüsün ne olduğunu tanımlayalım. Bu trigonometrinin temelidir.

şunu hatırlatalım dik açı 90 dereceye eşit bir açıdır. Başka bir deyişle, yarım dönüş açısı.

Dar açı- 90 dereceden az.

Geniş açı- 90 dereceden büyük. Böyle bir açıyla ilgili olarak "geniş" hakaret değil matematiksel bir terimdir :-)

Bir dik üçgen çizelim. Dik açı genellikle ile gösterilir. Lütfen köşenin karşısındaki tarafın aynı harfle, yalnızca küçük olarak gösterildiğini unutmayın. Böylece A açısının karşısındaki taraf gösterilir.

Açı karşılık gelen Yunanca harfle gösterilir.

Hipotenüs Bir dik üçgenin dik açının karşısındaki kenardır.

Bacaklar- dar açıların karşısında yer alan kenarlar.

Açının karşısında uzanan bacağa denir zıt(açıya göre). Açının kenarlarından birinde yer alan diğer bacağa denir. bitişik.

Sinüs Bir dik üçgende dar açı, karşı kenarın hipotenüse oranıdır:

Kosinüs Dik üçgende dar açı - bitişik bacağın hipotenüse oranı:

Teğet Dik üçgende dar açı - karşı tarafın bitişik tarafa oranı:

Başka bir (eşdeğer) tanım: bir dar açının tanjantı, açının sinüsünün kosinüsüne oranıdır:

Kotanjant dik üçgende dar açı - bitişik tarafın karşı tarafa oranı (veya aynı şekilde kosinüsün sinüse oranı):

Aşağıdaki sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant için temel ilişkilere dikkat edin. Sorunları çözerken bize faydalı olacaklar.

Bunlardan bazılarını kanıtlayalım.

Tamam, tanımları verdik ve formülleri yazdık. Peki neden hala sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjanta ihtiyacımız var?

Bunu biliyoruz herhangi bir üçgenin açılarının toplamı eşittir.

arasındaki ilişkiyi biliyoruz. partiler sağ üçgen. Bu Pisagor teoremidir: .

Bir üçgendeki iki açıyı bilerek üçüncüyü bulabileceğiniz ortaya çıktı. Dik üçgenin iki kenarını bilerek üçüncüsünü bulabilirsiniz. Bu, açıların kendi oranlarına ve kenarların kendilerine ait olduğu anlamına gelir. Peki, bir dik üçgende bir açıyı (dik açı hariç) ve bir kenarı biliyorsanız ancak diğer kenarları bulmanız gerekiyorsa ne yapmalısınız?

Geçmişte insanların bölgenin ve yıldızlı gökyüzünün haritasını yaparken karşılaştıkları şey budur. Sonuçta bir üçgenin tüm kenarlarını doğrudan ölçmek her zaman mümkün değildir.

Sinüs, kosinüs ve teğet - bunlara aynı zamanda denir trigonometrik açı fonksiyonları-arasındaki ilişkileri vermek partiler Ve köşelerüçgen. Açıyı bilerek, tüm trigonometrik fonksiyonlarını özel tablolar kullanarak bulabilirsiniz. Ve bir üçgenin açılarının ve kenarlarından birinin sinüslerini, kosinüslerini ve teğetlerini bilerek gerisini bulabilirsiniz.

Ayrıca 'iyi' açılar için sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant değerlerinin bir tablosunu da çizeceğiz.

Lütfen tablodaki iki kırmızı çizgiye dikkat edin. Uygun açı değerlerinde teğet ve kotanjant mevcut değildir.

FIPI Görev Bankasındaki çeşitli trigonometri problemlerine bakalım.

1. Bir üçgende açı , dir. Bulmak .

Sorun dört saniyede çözüldü.

O zamandan beri , .

2. Bir üçgende açı , , dir. Bulmak .

Bunu Pisagor teoremini kullanarak bulalım.

Sorun çözüldü.

Genellikle problemlerde açılı ve veya açılı üçgenler vardır. Onlar için temel oranları ezbere hatırlayın!

Açıları olan bir üçgen için ve açının karşısındaki bacak eşittir hipotenüsün yarısı.

Açıları olan ve ikizkenar olan bir üçgen. İçinde hipotenüs bacaktan kat kat daha büyüktür.

Dik üçgenleri çözme, yani bilinmeyen kenarları veya açıları bulma problemlerine baktık. Ama hepsi bu değil! Matematikte Birleşik Durum Sınavında bir üçgenin dış açısının sinüs, kosinüs, tanjant veya kotanjantını içeren birçok problem vardır. Bir sonraki makalede bu konuda daha fazla bilgi vereceğiz.

Trigonometrik fonksiyonların değer tablosu

Not. Bu trigonometrik fonksiyon değerleri tablosu, karekökü temsil etmek için √ işaretini kullanır. Kesir belirtmek için "/" sembolünü kullanın.

Ayrıca bakınız faydalı malzemeler:

İçin trigonometrik bir fonksiyonun değerini belirleme trigonometrik fonksiyonu gösteren çizginin kesişiminde bulun. Örneğin, sinüs 30 derece - günah (sinüs) başlıklı sütunu ararız ve bu tablo sütununun "30 derece" satırıyla kesişimini buluruz, kesişme noktalarında sonucu okuruz - yarım. Benzer şekilde buluyoruz kosinüs 60 derece, sinüs 60 derece (bir kez daha günah sütunu ile 60 derece çizgisinin kesişiminde sin 60 = √3/2 değerini buluyoruz), vb. Diğer “popüler” açıların sinüs, kosinüs ve teğet değerleri de aynı şekilde bulunur.

Radyan cinsinden sinüs pi, kosinüs pi, teğet pi ve diğer açılar

Aşağıdaki kosinüs, sinüs ve tanjant tablosu aynı zamanda bağımsız değişkeni olan trigonometrik fonksiyonların değerini bulmak için de uygundur. radyan cinsinden verilmiştir. Bunu yapmak için açı değerlerinin ikinci sütununu kullanın. Bu sayede popüler açıların değerini dereceden radyana çevirebilirsiniz. Örneğin ilk satırdaki 60 derecelik açıyı bulalım ve altındaki değerini radyan cinsinden okuyalım. 60 derece π/3 radyana eşittir.

Pi sayısı, çevrenin açının derece ölçüsüne bağımlılığını açıkça ifade eder. Böylece pi radyan 180 dereceye eşittir.

Pi (radyan) cinsinden ifade edilen herhangi bir sayı, pi (π) 180 ile değiştirilerek kolaylıkla dereceye dönüştürülebilir..

Örnekler:
1. sinüs pi.
günah π = günah 180 = 0
dolayısıyla pi'nin sinüsü 180 derecenin sinüsüne eşittir ve sıfıra eşittir.

2. Kosinüs pi.
cos π = cos 180 = -1
dolayısıyla pi'nin kosinüsü 180 derecenin kosinüsüne eşittir ve eksi bire eşittir.

3. Teğet pi
tg π = tg 180 = 0
dolayısıyla teğet pi, 180 derece teğet ile aynıdır ve sıfıra eşittir.

0 - 360 derece açılar için sinüs, kosinüs, teğet değerleri tablosu (ortak değerler)

Trigonometrik fonksiyonların değerleri tablosunda fonksiyon değeri yerine bir çizgi belirtilirse (teğet (tg) 90 derece, kotanjant (ctg) 180 derece), o zaman açının derece ölçüsünün belirli bir değeri için fonksiyon belirli bir değeri yoktur. Çizgi yoksa hücre boştur, bu da gerekli değeri henüz girmediğimiz anlamına gelir. En yaygın açı değerlerinin kosinüs, sinüs ve teğet değerlerine ilişkin mevcut verilerin çoğunu çözmek için oldukça yeterli olmasına rağmen, kullanıcıların bize hangi sorguları getirdiğiyle ilgileniyoruz ve tabloyu yeni değerlerle destekliyoruz. sorunlar.

En popüler açılar için sin, cos, tg trigonometrik fonksiyonların değer tablosu
0, 15, 30, 45, 60, 90... 360 derece
(sayısal değerler “Bradis tablolarına göre”)

Sinüs bir dik üçgenin dar açısı α oranıdır zıt Bacaktan hipotenüse.
Şu şekilde gösterilir: sin α.

Kosinüs Bir dik üçgenin dar açısı α, bitişik kenarın hipotenüse oranıdır.
Şu şekilde belirlenmiştir: çünkü α.

Teğet Dar açı α, karşı tarafın bitişik tarafa oranıdır.
Şu şekilde tanımlanır: tg α.

Kotanjant Dar açı α, bitişik tarafın karşı tarafa oranıdır.
Şu şekilde belirtilir: ctg α.

Bir açının sinüsü, kosinüsü, tanjantı ve kotanjantı yalnızca açının büyüklüğüne bağlıdır.

Tüzük:

Bir dik üçgende temel trigonometrik özdeşlikler:

(α – bacağa karşı dar açı B ve bacağa bitişik A . Taraf İle – hipotenüs. β – ikinci dar açı).

Dar açı arttıkçagünah α vetan α artışı veçünkü α azalır.

Herhangi bir dar açı için α:

günah (90° – α) = cos α

cos (90° – α) = sin α

Örnek açıklama:

ABC dik üçgenine izin verin
AB = 6,
BC = 3,
A açısı = 30°.

A açısının sinüsünü ve B açısının kosinüsünü bulalım.

Çözüm .

1) İlk önce B açısının değerini buluyoruz. Burada her şey basit: bir dik üçgende dar açıların toplamı 90° olduğundan B açısı = 60° olur:

B = 90° – 30° = 60°.

2) A günahını hesaplayalım. Sinüsün karşı kenarın hipotenüse oranına eşit olduğunu biliyoruz. A açısının karşı tarafı BC kenarıdır. Bu yüzden:

MÖ 3 1
günah A = -- = - = -
AB 6 2

3) Şimdi cos B'yi hesaplayalım. Kosinüsün bitişik kenarın hipotenüse oranına eşit olduğunu biliyoruz. B açısı için bitişik bacak aynı BC kenarıdır. Bu, BC'yi tekrar AB'ye bölmemiz gerektiği anlamına gelir - yani, A açısının sinüsünü hesaplarken olduğu gibi aynı işlemleri yapmamız gerekir:

MÖ 3 1
çünkü B = -- = - = -
AB 6 2

Sonuç:
günah A = çünkü B = 1/2.

sin 30° = cos 60° = 1/2.

Bundan, bir dik üçgende bir dar açının sinüsünün diğer dar açının kosinüsüne eşit olduğu ve bunun tersinin de geçerli olduğu sonucu çıkar. İki formülümüzün anlamı tam olarak budur:
günah (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α

Şundan bir kez daha emin olalım:

1) α = 60° olsun. α'nın değerini sinüs formülüne koyarsak şunu elde ederiz:
sin (90° – 60°) = cos 60°.
sin 30° = cos 60°.

2) α = 30° olsun. α'nın değerini kosinüs formülüne koyarsak şunu elde ederiz:
cos (90° – 30°) = sin 30°.
cos 60° = sin 30°.

(Trigonometri hakkında daha fazla bilgi için Cebir bölümüne bakın)