Denklem sayısının olduğu durum M daha fazla değişken N Bilinmeyenleri denklemlerden sırayla çıkararak şu duruma yol açar: M= N veya M N.
İlk vaka daha önce tartışılmıştı. M Nİkinci durumda denklem sayısı bilinmeyen sayısından az olduğunda M ve denklemler bağımsızdır, dikkat çekicidir ana değişkenler N- M)Ve ( çekirdek olmayan değişkenler . Ana değişkenler şu koşulu karşılayanlardır: Bu değişkenlerin katsayılarından oluşan determinant sıfıra eşit değildir. Ana olanlar farklı değişken grupları olabilir. Bu tür grupların toplam sayısı N N kombinasyon sayısına eşit M:
tarafından elemanlar Eğer bir sistem en az bir grup temel değişkene sahipse bu sistem belirsiz
yani birçok çözümü var. Eğer sistemde tek bir temel değişken grubu yoksa sistem ortak olmayan
yani tek bir çözümü yoktur.
Bir sistemin birçok çözümü varsa, bunlar arasında temel bir çözüm ayırt edilir.
Temel çözüm 
küçük değişkenlerin sıfıra eşit olduğu bir çözümdür. Sistemde bundan fazlası yok
temel çözümler. Sistem çözümleri ikiye ayrılır kabul edilebilir Ve .
kabul edilemez Kabul edilebilir
Bunlar, tüm değişkenlerin değerlerinin negatif olmadığı çözümlerdir. Değişkenin en az bir değeri negatifse çözüm çağrılır. .
kabul edilemez
Örnek 4.5
Denklem sisteminin temel çözümlerini bulun
.
Temel çözümlerin sayısını bulalım Yani sistemin birçok çözümü arasında üçten fazla temel çözüm yoktur. Üçü arasında iki ana değişkeni vurgulayalım. Öyle olduğunu varsayalım X Yani sistemin birçok çözümü arasında üçten fazla temel çözüm yoktur. Üçü arasında iki ana değişkeni vurgulayalım. Öyle olduğunu varsayalım 1 ve
.
2. Determinantını katsayılarından kontrol edelim. Yani sistemin birçok çözümü arasında üçten fazla temel çözüm yoktur. Üçü arasında iki ana değişkeni vurgulayalım. Öyle olduğunu varsayalım 1 ,Yani sistemin birçok çözümü arasında üçten fazla temel çözüm yoktur. Üçü arasında iki ana değişkeni vurgulayalım. Öyle olduğunu varsayalım Bu determinant sıfıra eşit olmadığından değişkenler
2 tanesi ana olanlar. Şimdi şunu varsayalım X
3 =0. Daha sonra formda bir sistem elde ederiz.
,
.
Cramer formüllerini kullanarak çözelim:
Yani sistemin birçok çözümü arasında üçten fazla temel çözüm yoktur. Üçü arasında iki ana değişkeni vurgulayalım. Öyle olduğunu varsayalım 1 =1,Yani sistemin birçok çözümü arasında üçten fazla temel çözüm yoktur. Üçü arasında iki ana değişkeni vurgulayalım. Öyle olduğunu varsayalım 2 =0,Yani sistemin birçok çözümü arasında üçten fazla temel çözüm yoktur. Üçü arasında iki ana değişkeni vurgulayalım. Öyle olduğunu varsayalım 3 =0 .
Yani, ilk temel çözüm şu şekildedir: Yani sistemin birçok çözümü arasında üçten fazla temel çözüm yoktur. Üçü arasında iki ana değişkeni vurgulayalım. Öyle olduğunu varsayalım X Yani sistemin birçok çözümü arasında üçten fazla temel çözüm yoktur. Üçü arasında iki ana değişkeni vurgulayalım. Öyle olduğunu varsayalım 3 .
.
Şimdi değişkenlerin ana değişkenlere ait olup olmadığını kontrol edelim. Yani sistemin birçok çözümü arasında üçten fazla temel çözüm yoktur. Üçü arasında iki ana değişkeni vurgulayalım. Öyle olduğunu varsayalım X Yani sistemin birçok çözümü arasında üçten fazla temel çözüm yoktur. Üçü arasında iki ana değişkeni vurgulayalım. Öyle olduğunu varsayalım Bunu anlıyoruz Yani sistemin birçok çözümü arasında üçten fazla temel çözüm yoktur. Üçü arasında iki ana değişkeni vurgulayalım. Öyle olduğunu varsayalım 3 - ikinci grup ana değişkenler. Hadi koyalım
,
.
2 =0 ve sistemi çöz
Yani sistemin birçok çözümü arasında üçten fazla temel çözüm yoktur. Üçü arasında iki ana değişkeni vurgulayalım. Öyle olduğunu varsayalım 1 =1,Yani sistemin birçok çözümü arasında üçten fazla temel çözüm yoktur. Üçü arasında iki ana değişkeni vurgulayalım. Öyle olduğunu varsayalım 2 =0,Yani sistemin birçok çözümü arasında üçten fazla temel çözüm yoktur. Üçü arasında iki ana değişkeni vurgulayalım. Öyle olduğunu varsayalım 3 =0.
İkinci temel çözüm şu şekildedir: Yani sistemin birçok çözümü arasında üçten fazla temel çözüm yoktur. Üçü arasında iki ana değişkeni vurgulayalım. Öyle olduğunu varsayalımŞimdi değişkenlerin ana değişkenlere ait olup olmadığını kontrol edelim. Yani sistemin birçok çözümü arasında üçten fazla temel çözüm yoktur. Üçü arasında iki ana değişkeni vurgulayalım. Öyle olduğunu varsayalım 3 .
2 ve Yani sistemin birçok çözümü arasında üçten fazla temel çözüm yoktur. Üçü arasında iki ana değişkeni vurgulayalım. Öyle olduğunu varsayalımŞimdi değişkenlerin ana değişkenlere ait olup olmadığını kontrol edelim. Yani sistemin birçok çözümü arasında üçten fazla temel çözüm yoktur. Üçü arasında iki ana değişkeni vurgulayalım. Öyle olduğunu varsayalım yani değişkenler
n değişkenli m doğrusal denklem sisteminin uyumluluk koşulu, matris sıralaması kavramı kullanılarak verilir.
Matris sıralaması – bu, sıfır dışındaki bir minörün en yüksek mertebesine eşit bir sayıdır.
A matrisi için
küçük k -inci sıra herhangi bir unsurun unsurlarından oluşan bir belirleyici görevi görür. k çizgiler ve k sütunlar.
Örneğin,
Örnek 2
Bir matrisin rütbesini bulun
Matrisin determinantını hesaplayalım
Bunu yapmak için ilk satırı (-4) ile çarpıp ikinci satırla toplayın, ardından ilk satırı (-7) ile çarpıp üçüncü satırla toplayın, sonuç olarak determinantı elde ederiz
Çünkü ortaya çıkan determinantın satırları orantılıdır, o zaman 
.
Buradan 3. dereceden minörün 0'a eşit olduğunu ve 2. dereceden minörün 0'a eşit olmadığını görebiliriz.
Dolayısıyla matrisin rütbesi r=2'dir.
Genişletilmiş Matris sistemin formu var
Kronecker-Capelli teoremi
Doğrusal bir sistemin tutarlı olabilmesi için genişletilmiş matrisin sıralamasının ana matrisin sıralamasına eşit olması gerekli ve yeterlidir. 
.
Eğer 
,
o zaman sistem tutarsızdır.
Eş zamanlı bir doğrusal denklem sistemi için üç durum mümkündür:
1)Eğer 
LU sistemi (m-r) doğrusal bağımlı denklemlere sahiptir, bunlar sistemden çıkarılabilir;
2) Eğer 
LU sisteminin benzersiz bir çözümü vardır;
3) Eğer 
LU sisteminin birçok çözümü var
A 21 x 1 + a 22 x 2 +...+ a 2p x p= B 2 ,
........................................
A S 1 x 1 + bir S 2 x 2 +...+ a s p x p= b s.
Üzerinde temel dönüşümler gerçekleştireceğiz. Bunu yapmak için, bir serbest terimler sütununun eklenmesiyle sistemin (1) bilinmeyenleri için bir katsayılar matrisi yazıyoruz, başka bir deyişle genişletilmiş matris Ā sistem (1) için:
Bu tür dönüşümlerin yardımıyla matrisi azaltmanın mümkün olduğunu varsayalım. Ā forma:
b 22 x 2 +...+b 2 r x r +...+b 2 n x n =c 2,......................................
b rr x r +...+b rn x n =c r ,
belirli sayıda temel dönüşüm kullanılarak sistem (1)'den elde edilir ve bu nedenle sistem (1)'e eşdeğerdir. Sistemde ise (4) r=n, daha sonra şu forma sahip olan son denklemden b nn x n =c n(Nerede b nn≠ 0), tek değeri buluyoruz xn, sondan bir önceki denklemden – değer xn-1(o zamandan beri xn zaten biliniyordu), vb., son olarak ilk denklemden - değer X 1. Yani, durumda) r=n sistemin benzersiz bir çözümü var. Eğer R
X 1 = a 1, R+1x R+1 +...+a 1 N X N+b1,
|
|
............................................
X R=a R, R+1x R+1 +...+a r n X N+b R.
esasen bu genel karar sistemler (1).
Bilinmeyenler x r+1, ..., x n serbest olarak adlandırılır. Sistem (5)'ten x1,..., x r değerlerini bulmak mümkün olacaktır.
Matris azaltma Ā (3)'ü oluşturmak yalnızca orijinal denklem sisteminin (1) tutarlı olması durumunda mümkündür. Eğer sistem (1) tutarsızsa böyle bir azaltma mümkün değildir. Bu durum matris dönüşümleri sürecinde ifade edilir. Ā İçinde sonuncusu hariç tüm öğelerin sıfıra eşit olduğu bir çizgi belirir. Bu çizgi aşağıdaki formdaki bir denkleme karşılık gelir:
0*x 1 +0*x 2 +...+0*x N=B,
bilinmeyenlerin herhangi bir değeri tarafından karşılanmayan, çünkü B≠0. Bu durumda sistem tutarsızdır.
Sistemin (1) kademeli forma indirgenmesi sürecinde 0=0 formundaki denklemler elde edilebilir. Bu, öncekine eşdeğer bir denklem sistemine yol açacağından bunlar atılabilir.
Gauss yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözerken, denklem sisteminin kendisini değil, bu sistemin genişletilmiş matrisini, satırlarındaki tüm dönüşümleri gerçekleştirerek adım adım bir forma indirgemek daha uygundur. Dönüşümler sırasında elde edilen sıralı matrisler genellikle bir eşdeğerlik işaretiyle bağlanır.
Aşağıdaki 4 bilinmeyenli denklem sistemini çözelim:
2x 1 +5x 2 +4x 3 +x 4 =20,
x 1 +3x 2 +2x 3 +x 4 =11,
2x 1 +10x 2 +9x 3 +7x 4 =40,
3x 1 +8x 2 +9x 3 +2x 4 =37.
Bilinmeyenler için genişletilmiş katsayılar matrisini bir serbest terimler sütunu ekleyerek yazalım.
Genişletilmiş matrisin satırlarını analiz edelim:
2. satırın elemanlarına 1. satırın elemanlarını (-2)'ye bölerek ekliyoruz;
3. satırdan 1. satırı çıkarın;
4. satıra 1. satırı (-3/2) ile çarparak ekliyoruz.
Hesaplamalı bir araç olarak program araçlarını kullanacağız Excel-97.
1. Bilgisayarınızı açın.
2. İşletim sistemi önyüklenene kadar bekleyin Windows, bundan sonra bir Microsoft Excel penceresi aç.
3. Hücreleri doldurun genişletilmiş matrisin değerlerini içeren tablolar (Şekil 11.1)
Pirinç. 11.1 Şek. 11.2
4. Seçilen sözel algoritmayı gerçekleştirmek için aşağıdaki eylemleri gerçekleştirin.
· Hücreyi etkinleştir A5'e girin ve klavyeden =A2+A1/(-2) şeklinde bir formül girin, ardından otomatik tamamlama sayısal sonuçları B5¸E5 hücrelerine girin;
· A6 hücresine, 1. satırı 3. satırdan çıkarmanın sonucunu tekrar kullanarak yerleştireceğiz. otomatik tamamlama, B6¸E6 hücrelerini doldurun;
· A7 hücresine =A4+A1*(-3/2) formunda bir formül yazıyoruz ve otomatik tamamlama Sayısal sonuçları B7¸E7 hücrelerine girelim.
5. Matrisin temel dönüşümlerinden elde edilen satırları üçgen forma getirmek için tekrar analiz edelim.
·6. satıra 5. sayıyı (-10) ile çarparak ekleyin;
· 7. satırdan 5.'yi çıkarın.
Kaydedilen algoritmayı A8, A9 hücrelerine uyguluyoruz, ardından hadi saklanalım 6 ve 7 – çizgiler (bkz. Şekil 11.3).
Pirinç. 11.3 Şek. 11.4
6. Ve matrisi üçgen forma getirmek için yapmanız gereken son şey, 8'inci satırı 9'uncu satıra ekleyip (-3/5) ile çarpmak olacaktır. saklamak 9. satır (Şekil 11.4).
Gördüğünüz gibi elde edilen matrisin elemanları 1, 5, 8 ve 10. satırlardadır ve elde edilen matrisin rütbesi şöyledir: r = Bu nedenle, 4 numaralı denklem sisteminin tek bir çözümü vardır. Ortaya çıkan sistemi yazalım:
2x 1 +5x 2 +4x 3 + x 4 =20,
0,5x2 + 0,5x4 =1,
5x3 +x4 =10,
Son denklemden kolaylıkla x 4 =0'ı buluyoruz; 3. denklemden x 3 =2'yi buluyoruz; sırasıyla 2. – x 2 =2 ve 1. – x 1 =1'den.
Bağımsız çalışma için ödevler.
Denklem sistemlerini çözmek için Gauss yöntemini kullanın:
15 numaralı laboratuvar çalışması. f(x)=0 denkleminin köklerinin bulunması
Doğrusal ve ikinci dereceden denklemleri çözme yöntemleri eski Yunanlılar tarafından biliniyordu. Üçüncü ve dördüncü derece denklemlerin çözümü, Rönesans döneminde İtalyan matematikçiler S. Ferro, N. Tartaglia, G. Cartano, L. Ferrari'nin çabalarıyla elde edildi. Sonra beşinci ve daha yüksek derecedeki denklemlerin köklerini bulmak için formül aramanın zamanı geldi. Yaklaşık 300 yıl boyunca ısrarlı ama sonuçsuz kalan girişimler, Norveçli matematikçi N. Abel'in çalışmaları sayesinde 21. yüzyılın 20'li yıllarında sona erdi. Beşinci ve daha yüksek kuvvetlerin genel denkleminin radikallerde çözülemediğini kanıtladı. N'inci derecenin genel denkleminin çözümü
a 0 x n +a 1 x n -1 +…+a n -1 x+a n =0, a 0 ¹0 (1)
n³5 toplama, çıkarma, çarpma, bölme, üs alma ve kök çıkarma işlemleri kullanılarak katsayılarla ifade edilemediğinde.
Cebirsel olmayan denklemler için
x–cos(x)=0 (2)
görev daha da zorlaşıyor. Bu durumda köklere ilişkin açık ifadelere rastlamak pek mümkün olmamaktadır.
Formüllerin "işe yaramadığı" koşullarda, onlara yalnızca en basit durumlarda güvenebileceğiniz durumlarda, evrensel hesaplama algoritmaları özel bir önem kazanır. Söz konusu sorunun çözülmesine izin veren bir dizi bilinen algoritma vardır.
Denklemlerin kullanımı hayatımızda oldukça yaygındır. Birçok hesaplamada, yapı yapımında ve hatta sporda kullanılırlar. İnsanoğlu eski zamanlarda denklemleri kullandı ve o zamandan beri kullanımları daha da arttı. Dört bilinmeyenli denklemlerin birçok olası çözümü olabilir. Matematikte bu tür denklemlerle sıklıkla karşılaşılır. Bu tür denklemleri doğru bir şekilde çözebilmek için, çözümü basitleştirmek ve kısaltmak amacıyla denklemlerin tüm özelliklerinden yararlanmak gerekir.
Aşağıdaki örneğin çözümüne bakalım:
Birinci ve ikinci denklemleri parçalar halinde toplayarak çok basit bir denklem elde edebilirsiniz:
\ veya \
Denklem 2 ve 3 ile benzer eylemleri gerçekleştirelim:
\ veya \
Ortaya çıkan denklemleri çözüyoruz \ ve \
\ ve \ alıyoruz
Ortaya çıkan sayıları denklem 1 ve 3'te değiştiririz:
\ veya \
\ veya \
Bu sayıları ikinci ve dördüncü denklemlerle değiştirmek tamamen aynı denklemleri verecektir.
Ancak hepsi bu değil, çünkü geriye 2 bilinmeyenle çözülmesi gereken 2 denklem kaldı. Bu tür denklemlerin çözümünü buradaki makalelerde görebilirsiniz.
Dört bilinmeyenli bir denklemi çevrimiçi olarak nerede çözebilirim?
Bilinmeyenli denklemleri https://site adresinden online olarak çözebilirsiniz. Ücretsiz çevrimiçi çözücü, her türlü karmaşıklıktaki çevrimiçi denklemleri birkaç saniye içinde çözmenize olanak tanır. Tek yapmanız gereken, verilerinizi çözücüye girmenizdir. Ayrıca web sitemizde video talimatlarını izleyebilir ve denklemin nasıl çözüleceğini öğrenebilirsiniz. Hala sorularınız varsa, bunları http://vk.com/pocketteacher VKontakte grubumuzda sorabilirsiniz. Grubumuza katılın, size yardımcı olmaktan her zaman mutluluk duyarız.
