Üstel denklem nedir? Örnekler.

Yani, üstel bir denklem... Çok çeşitli denklemlerden oluşan genel sergimizde yeni ve benzersiz bir sergi!) Neredeyse her zaman olduğu gibi, herhangi bir yeni matematik teriminin anahtar kelimesi, onu karakterize eden karşılık gelen sıfattır. İşte burada. “Üstel denklem” terimindeki anahtar kelime, "gösterge". Bu ne anlama geliyor? Bu kelime bilinmeyenin (x) bulunduğu anlamına gelir. herhangi bir derece açısından. Ve sadece orada! Bu son derece önemlidir.

Örneğin, şu basit denklemler:

3 x +1 = 81

5 x + 5 x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

Veya şu canavarlar bile:

2 günah x = 0,5

Lütfen hemen önemli bir şeye dikkat edin: sebepler derece (alt) – sadece sayılar. Ama içinde göstergeler derece (yukarıda) - X'li çok çeşitli ifadeler. Kesinlikle herhangi biri.) Her şey belirli bir denkleme bağlıdır. Göstergeye ek olarak birdenbire denklemin başka bir yerinde x belirirse (örneğin, 3 x = 18 + x 2), o zaman böyle bir denklem zaten bir denklem olacaktır. karışık tip. Bu tür denklemlerin çözümü için açık kurallar yoktur. Bu nedenle bu derste bunları ele almayacağız. Öğrencilerin hoşuna gidecek şekilde.) Burada yalnızca üstel denklemleri "saf" formlarında ele alacağız.

Genel olarak konuşursak, saf üstel denklemlerin tümü ve hatta her zaman bile net bir şekilde çözülemez. Ancak üstel denklemlerin tüm zengin çeşitliliği arasında çözülebilen ve çözülmesi gereken belirli türler vardır. Bu tür denklemleri ele alacağız. Ve mutlaka örnekleri çözeceğiz.) O halde rahatlayalım ve yola çıkalım! Bilgisayar "nişancılarında" olduğu gibi yolculuğumuz seviyeler arasında gerçekleşecek.) Temelden basite, basitten ortalamaya ve ortalamadan karmaşığa. Yol boyunca sizi gizli bir seviye de bekliyor olacak - standart dışı örnekleri çözme teknikleri ve yöntemleri. Çoğu okul kitabında okumayacağınız şeyler... Eh, sonunda tabii ki ödev şeklinde son bir patron sizi bekliyor.)

Seviye 0. En basit üstel denklem nedir? Basit üstel denklemlerin çözümü.

İlk olarak, bazı açık ve temel konulara bakalım. Bir yerden başlamak lazım değil mi? Örneğin, bu denklem:

2 x = 2 2

Herhangi bir teori olmadan bile basit mantık ve sağduyu ile x = 2 olduğu açıktır. Başka yolu yok değil mi? X'in başka hiçbir anlamı uygun değil... Şimdi dikkatimizi şuna çevirelim: karar kaydı bu harika üstel denklem:

2 x = 2 2

X = 2

Bize ne oldu? Ve aşağıdakiler oldu. Aslında onu aldık ve... aynı üsleri (ikili) attık! Tamamen dışarı atıldı. Ve iyi haber şu ki, hedef tahtasına ulaştık!

Evet, eğer üstel bir denklemde sol ve sağ varsa birebir aynı sayıların herhangi bir kuvvette olması durumunda bu sayılar atılabilir ve basitçe üsler eşitlenebilir. Matematik izin verir.) Ve sonra göstergelerle ayrı ayrı çalışabilir ve çok daha basit bir denklemi çözebilirsiniz. Harika, değil mi?

Herhangi bir (evet, kesinlikle herhangi bir!) üstel denklemi çözmenin temel fikri: aynı dönüşümleri kullanarak denklemin sol ve sağ taraflarının eşit olmasını sağlamak gerekir. birebir aynı çeşitli güçlerdeki taban sayıları. Daha sonra aynı tabanları güvenle kaldırabilir ve üsleri eşitleyebilirsiniz. Ve daha basit bir denklemle çalışın.

Şimdi demir kuralı hatırlayalım: aynı tabanları kaldırmak ancak ve ancak denklemin solunda ve sağındaki sayıların taban sayıları olması durumunda mümkündür muhteşem bir izolasyon içinde.

Muhteşem izolasyonda ne anlama geliyor? Bu, komşuların ve katsayıların olmadığı anlamına gelir. Açıklayayım.

Örneğin, Denklem.

3 3 x-5 = 3 2 x +1

Üçler kaldırılamaz! Neden? Çünkü solda sadece derece derece yalnız bir üçlük değil, aynı zamanda iş 3.3x-5 . Fazladan üç tanesi müdahale ediyor: katsayı, anlıyorsunuz.)

Aynı şey denklem için de söylenebilir

5 3 x = 5 2 x +5 x

Burada da tüm üsler aynı - beş. Ancak sağda beşin tek bir kuvveti yok: kuvvetlerin toplamı var!

Kısacası üstel denklemimiz ancak ve ancak şu şekilde göründüğünde aynı tabanları çıkarma hakkına sahibiz:

AF (X) = bir g (X)

Bu tür üstel denklemlere denir en basit. Veya bilimsel olarak kanonik . Ve önümüzde hangi karmaşık denklem olursa olsun, öyle ya da böyle onu tam olarak bu en basit (kanonik) forma indirgeyeceğiz. Veya bazı durumlarda bütünlük Bu tür denklemler. O zaman en basit denklemimiz genel formda şu şekilde yeniden yazılabilir:

F(x) = g(x)

Hepsi bu. Bu eşdeğer bir dönüşüm olacaktır. Bu durumda f(x) ve g(x) kesinlikle x içeren herhangi bir ifade olabilir. Her neyse.

Belki özellikle meraklı bir öğrenci şunu merak edecektir: Neden sol ve sağdaki aynı tabanları bu kadar kolay ve basit bir şekilde atıp üsleri eşitliyoruz? Sezgi sezgidir, peki ya bazı denklemlerde ve herhangi bir nedenle bu yaklaşımın yanlış olduğu ortaya çıkarsa? Aynı gerekçeleri ortaya atmak her zaman yasal mıdır? Ne yazık ki, bu ilginç soruya kesin bir matematiksel cevap vermek için, fonksiyonların yapısı ve davranışına ilişkin genel teoriye oldukça derinlemesine ve ciddi bir şekilde dalmanız gerekir. Ve biraz daha spesifik olarak - fenomende katı monotonluk.Özellikle katı monotonluk üstel fonksiyonsen= bir x. Üstel denklemlerin çözümünün altında yatan üstel fonksiyon ve onun özellikleri olduğundan, evet.) Bu soruya ayrıntılı bir cevap, farklı fonksiyonların monotonluğunu kullanarak karmaşık standart dışı denklemlerin çözümüne ayrılmış ayrı bir özel derste verilecektir.)

Bu noktayı şimdi ayrıntılı olarak açıklamak, ortalama bir okul çocuğunun aklını başından alacak ve onu kuru ve ağır bir teoriyle vaktinden önce korkutup kaçıracaktır. Bunu yapmayacağım.) Çünkü şu anda asıl görevimiz Üstel denklemleri çözmeyi öğrenin! En basitleri! Bu nedenle, henüz endişelenmeyelim ve aynı nedenleri cesurca bir kenara atalım. Bu Olabilmek, sözüme güvenin!) Ve sonra f(x) = g(x) eşdeğer denklemini çözüyoruz. Kural olarak, orijinal üstelden daha basittir.

Elbette şu anda insanların en azından üslü denklemleri ve x'ler olmadan nasıl çözeceklerini zaten bildikleri varsayılmaktadır.) Hala nasıl yapılacağını bilmeyenler için bu sayfayı kapatmaktan çekinmeyin, ilgili bağlantıları takip edin. ve eski boşlukları doldurun. Yoksa işiniz çok zor olur evet...

Temellerin ortadan kaldırılması sürecinde de ortaya çıkabilecek irrasyonel, trigonometrik ve diğer acımasız denklemlerden bahsetmiyorum. Ancak paniğe kapılmayın, şimdilik doğrudan zulmü derece açısından değerlendirmeyeceğiz: henüz çok erken. Yalnızca en basit denklemler üzerinde eğitim alacağız.)

Şimdi en basitine indirgemek için biraz daha çaba gerektiren denklemlere bakalım. Ayrım yapmak adına onlara şöyle diyelim basit üstel denklemler. Öyleyse bir sonraki seviyeye geçelim!

Seviye 1. Basit üstel denklemler. Dereceleri tanıyalım! Doğal göstergeler.

Herhangi bir üstel denklemin çözümünde temel kurallar şunlardır: derecelerle ilgili kurallar. Bu bilgi ve beceri olmadan hiçbir şey işe yaramaz. Ne yazık ki. Yani, eğer derecelerle ilgili bir sorun varsa, o zaman öncelikle hoş geldiniz. Ayrıca ihtiyacımız da olacak. Bu dönüşümler (ikisi!) genel olarak tüm matematiksel denklemlerin çözülmesinin temelini oluşturur. Ve sadece kanıtlayıcı olanlar değil. O halde kim unutursa, şu bağlantıya da bir baksın: Ben onları oraya öylece koymuyorum.

Ancak yetkilerle yapılan operasyonlar ve kimlik dönüşümleri tek başına yeterli değil. Kişisel gözlem ve yaratıcılık da gereklidir. Aynı nedenlere ihtiyacımız var, değil mi? Bu yüzden örneği inceliyoruz ve bunları açık veya gizli bir biçimde arıyoruz!

Örneğin, bu denklem:

3 2 x – 27 x +2 = 0

İlk bakış zemin. Onlar... farklı! Üç ve yirmi yedi. Ancak paniğe kapılmak ve umutsuzluğa kapılmak için henüz çok erken. Bunu hatırlamanın zamanı geldi

27 = 3 3

3 ve 27 sayıları derece bakımından akrabadır! Ve yakın olanlar.) Bu nedenle şunu yazmaya hakkımız var:

27 x +2 = (3 3) x+2

Şimdi bilgilerimizi birleştirelim dereceli eylemler(ve seni uyarmıştım!). Orada çok kullanışlı bir formül var:

(bir m) n = bir mn

Şimdi bunu uygulamaya koyarsanız harika sonuç verir:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)

Orijinal örnek artık şuna benziyor:

3 2 x – 3 3(x +2) = 0

Harika, derecelerin tabanları düzleşti. Biz de bunu istedik. Savaşın yarısı tamamlandı.) Şimdi temel kimlik dönüşümünü başlatıyoruz - 3 3(x +2)'yi sağa hareket ettirin. Hiç kimse matematiğin temel işlemlerini iptal etmedi, evet.) Şunu anlıyoruz:

3 2 x = 3 3(x +2)

Bu tür bir denklem bize ne verir? Ve şimdi denklemimizin azaldığı gerçeği kanonik forma: solda ve sağda güçlerde aynı sayılar (üçler) vardır. Üstelik her üçü de muhteşem bir izolasyon içinde. Üçlüleri çıkarmaktan çekinmeyin ve şunları elde edin:

2x = 3(x+2)

Bunu çözüyoruz ve şunu elde ediyoruz:

X = -6

İşte bu. Bu doğru cevaptır.)

Şimdi çözümü düşünelim. Bu örnekte bizi ne kurtardı? Üçün güçlerini bilmek bizi kurtardı. Tam olarak nasıl? Biz tanımlanmış 27 numarada şifrelenmiş bir üçlü var! Bu numara (aynı tabanı farklı sayılar altında kodlamak) üstel denklemlerde en popüler numaralardan biridir! En popüleri olmadığı sürece. Evet, bu arada, aynı şekilde. Üstel denklemlerde gözlem ve sayılardaki diğer sayıların kuvvetlerini tanıma yeteneğinin bu kadar önemli olmasının nedeni budur!

Pratik tavsiye:

Popüler sayıların güçlerini bilmeniz gerekir. Yüzüne!

Elbette herkes ikinin yedinci kuvvetine veya üçün beşinci kuvvetine yükseltebilir. Aklımda değil ama en azından taslakta. Ancak üstel denklemlerde, çoğu zaman bir güce yükseltmek gerekli değildir, aksine, örneğin 128 veya 243 gibi bir sayının arkasında hangi sayının ve hangi gücün gizlendiğini bulmak gerekir. Ve bu daha karmaşıktır. Basit bir yükseltme yerine bunu kabul edeceksiniz. Dedikleri gibi farkı hissedin!

Dereceleri şahsen tanıma yeteneği sadece bu seviyede değil, sonraki seviyelerde de faydalı olacağından, işte size küçük bir görev:

Sayıların hangi güçlere ve hangi sayılara sahip olduğunu belirleyin:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Cevaplar (elbette rastgele):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

Evet, evet! Görevlerden çok yanıtların olmasına şaşırmayın. Örneğin 2 8, 4 4 ve 16 2'nin hepsi 256'dır.

Seviye 2. Basit üstel denklemler. Dereceleri tanıyalım! Negatif ve kesirli göstergeler.

Bu seviyede zaten derece bilgimizi sonuna kadar kullanıyoruz. Yani bu büyüleyici sürece negatif ve kesirli göstergeleri dahil ediyoruz! Evet, evet! Gücümüzü arttırmamız lazım değil mi?

Örneğin şu korkunç denklem:

Yine ilk bakış temellere oluyor. Nedenleri farklı! Ve bu sefer birbirlerine uzaktan bile benzemiyorlar! 5 ve 0.04... Ve üsleri ortadan kaldırmak için aynı olanlara ihtiyaç var... Ne yapmalı?

Önemli değil! Aslında her şey aynı, sadece beş ile 0,04 arasındaki bağlantı görsel olarak zayıf görünüyor. Nasıl dışarı çıkabiliriz? Sıradan bir kesir olarak 0,04 sayısına geçelim! Ve sonra görüyorsunuz, her şey yoluna girecek.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Vay! 0,04'ün 1/25 olduğu ortaya çıktı! Peki, kimin aklına gelirdi!)

Peki nasıl? 5 ile 1/25 sayıları arasındaki bağlantıyı görmek artık daha kolay mı? İşte bu...

Ve şimdi dereceli eylem kurallarına göre negatif gösterge Sabit bir elle yazabilirsiniz:

Bu harika. Böylece aynı üsse ulaştık - beş. Şimdi denklemdeki uygunsuz sayı olan 0,04'ü 5 -2 ile değiştiririz ve şunu elde ederiz:

Yine dereceli işlem kurallarına göre artık şunu yazabiliriz:

(5 -2) x -1 = 5 -2(x -1)

Her ihtimale karşı, (herkesin bilmemesi ihtimaline karşı) derecelerle uğraşmanın temel kurallarının aşağıdakiler için geçerli olduğunu hatırlatırım: herhangi göstergeler! Negatif olanlar dahil.) Bu nedenle, (-2) ve (x-1) göstergelerini uygun kurala göre alıp çarpmaktan çekinmeyin. Denklemimiz giderek daha iyi hale geliyor:

Tüm! Yalnız beşliler dışında sol ve sağdaki güçlerde başka hiçbir şey yok. Denklem kanonik forma indirgenir. Ve sonra - tırtıklı yol boyunca. Beşleri kaldırıyoruz ve göstergeleri eşitliyoruz:

X 2 –6 X+5=-2(X-1)

Örnek neredeyse çözüldü. Geriye kalan tek şey ilkokul ortaokul matematiği - parantezleri açın (doğru şekilde!) ve soldaki her şeyi toplayın:

X 2 –6 X+5 = -2 X+2

X 2 –4 X+3 = 0

Bunu çözüyoruz ve iki kök alıyoruz:

X 1 = 1; X 2 = 3

Hepsi bu.)

Şimdi tekrar düşünelim. Bu örnekte yine aynı sayıyı farklı derecelerde tanımak zorunda kaldık! Yani 0,04 sayısında şifreli bir beş görmek. Ve bu sefer - negatif derece! Bunu nasıl yaptık? Hemen - mümkün değil. Ancak 0,04 ondalık kesirinden 1/25 ortak kesirine geçtikten sonra her şey netleşti! Ve sonra tüm karar saat gibi ilerledi.)

Bu nedenle, başka bir yeşil pratik tavsiye.

Üstel bir denklem ondalık kesirler içeriyorsa, ondalık kesirlerden sıradan kesirlere geçeriz. Birçok popüler sayının kesirlerdeki kuvvetlerini tanımak çok daha kolay! Tanıdıktan sonra kesirlerden negatif üslü kuvvetlere geçiyoruz.

Bu hilenin üstel denklemlerde çok çok sık meydana geldiğini unutmayın! Ancak kişi konunun içinde değil. Mesela 32 ve 0,125 sayılarına bakıyor ve üzülüyor. Onun haberi olmadan bu bir ve aynı ikidir, yalnızca farklı derecelerde... Ama siz zaten biliyorsunuz!)

Denklemi çözün:

İçinde! Sessiz bir korkuya benziyor... Ancak görünüş aldatıcıdır. Bu, korkutucu görünümüne rağmen en basit üstel denklemdir. Şimdi size göstereceğim.)

Öncelikle tabanlardaki ve katsayılardaki tüm sayılara bakalım. Elbette farklılar, evet. Ama yine de risk alacağız ve bunları yapmaya çalışacağız birebir aynı! Ulaşmaya çalışalım farklı güçlerde aynı sayı. Ayrıca sayıların mümkün olduğu kadar küçük olması tercih edilir. O halde kod çözmeye başlayalım!

Dörtlüyle her şey hemen anlaşılıyor - 2 2. Tamam, bu zaten bir şey.)

0,25'lik bir oran ile hala belirsiz. Kontrol etmem gerekiyor. Pratik tavsiyelerden yararlanalım - ondalık kesirden sıradan kesire geçin:

0,25 = 25/100 = 1/4

Zaten çok daha iyi. Çünkü artık 1/4'ün 2-2 olduğu açıkça görülüyor. Harika ve 0,25 sayısı da ikiye benziyor.)

Şimdiye kadar, çok iyi. Ama geriye en kötü sayı kaldı - ikinin karekökü! Bu biberle ne yapmalı? Aynı zamanda ikinin kuvveti olarak da temsil edilebilir mi? Ve kim bilir...

Peki, derecelerle ilgili bilgi hazinemize tekrar dalalım! Bu sefer bilgimizi ek olarak birleştiriyoruz kökler hakkında. 9. sınıf dersinden itibaren sen ve ben, istenirse herhangi bir kökün her zaman dereceye dönüştürülebileceğini öğrenmeliydik. kesirli bir gösterge ile.

Bunun gibi:

Bizim durumumuzda:

Vay! İkinin karekökünün 2 1/2 olduğu ortaya çıktı. İşte bu!

Bu harika! Tüm uygunsuz numaralarımızın aslında şifrelenmiş bir iki olduğu ortaya çıktı.) Tartışmıyorum, bir yerde çok karmaşık bir şekilde şifrelenmiş. Ancak aynı zamanda bu tür şifreleri çözme konusundaki profesyonelliğimizi de geliştiriyoruz! Ve sonra her şey zaten açık. Denklemimizde 4, 0,25 sayılarını ve ikinin kökünü ikinin kuvvetleriyle değiştiriyoruz:

Tüm! Örnekteki tüm derecelerin tabanları aynı oldu - iki. Artık dereceli standart eylemler kullanılıyor:

bir mBİR = bir m + N

a m:a n = a m-n

(bir m) n = bir mn

Sol taraf için şunları elde edersiniz:

2 -2 ·(2 2) 5 x -16 = 2 -2+2(5 x -16)

Sağ taraf için şöyle olacaktır:

Ve şimdi şeytani denklemimiz şöyle görünüyor:

Bu denklemin tam olarak nasıl ortaya çıktığını çözemeyenler için buradaki soru üstel denklemlerle ilgili değil. Soru dereceli eylemlerle ilgilidir. Sorun yaşayanlara acil tekrarlamanızı rica ettim!

İşte bitiş çizgisi! Üstel denklemin kanonik formu elde edildi! Peki nasıl? Seni her şeyin o kadar da korkutucu olmadığına ikna ettim mi? ;) İkileri kaldırıyoruz ve göstergeleri eşitliyoruz:

Geriye kalan tek şey bu doğrusal denklemi çözmek. Nasıl? Elbette aynı dönüşümlerin yardımıyla.) Neler olduğuna karar verin! Her iki tarafı da ikiyle çarpın (3/2 kesirini çıkarmak için), X'li terimleri sola, X'siz sağa taşıyın, benzerlerini getirin, sayın - ve mutlu olacaksınız!

Her şey güzelce ortaya çıkmalı:

X=4

Şimdi çözümü tekrar düşünelim. Bu örnekte, geçiş bize yardımcı oldu. karekökİle 1/2 üslü derece. Üstelik yalnızca böyle kurnaz bir dönüşüm her yerde aynı üsse (iki) ulaşmamıza yardımcı oldu ve bu da durumu kurtardı! Ve eğer olmasaydı, sonsuza kadar donma şansımız olurdu ve bu örnekle asla başa çıkamazdık, evet...

Bu nedenle bir sonraki pratik tavsiyeyi ihmal etmiyoruz:

Üstel bir denklemin kökleri varsa, o zaman köklerden kesirli üslü kuvvetlere doğru hareket ederiz. Çoğu zaman yalnızca böyle bir dönüşüm ilerideki durumu açıklığa kavuşturur.

Elbette negatif ve kısmi güçler zaten doğal güçlerden çok daha karmaşıktır. En azından görsel algı ve özellikle sağdan sola tanıma açısından!

Örneğin ikinin -3 üssünü veya dördünün -3/2 üssünü doğrudan yükseltmenin o kadar da büyük bir sorun olmadığı açıktır. Bilenler için.)

Ama git mesela hemen şunu anla

0,125 = 2 -3

Veya

Burada sadece pratik ve zengin deneyim hakimdir, evet. Ve tabii ki net bir fikir, Negatif ve kesirli derece nedir? Ve ayrıca pratik tavsiyeler! Evet evet aynı olanlar yeşil.) Umarım, çeşitli derecelerin tamamında daha iyi gezinmenize ve başarı şansınızı önemli ölçüde artırmanıza yardımcı olurlar! O yüzden onları ihmal etmeyelim. Bazen yeşil yazmam boşuna değil.)

Ancak, negatif ve kesirli güçler gibi egzotik güçlerle bile birbirinizi tanırsanız, o zaman üstel denklemleri çözme yetenekleriniz büyük ölçüde artacak ve neredeyse her tür üstel denklemi çözebileceksiniz. Eğer yoksa, o zaman tüm üstel denklemlerin yüzde 80'i - elbette! Evet evet şaka yapmıyorum!

Böylece üstel denklemlere girişimizin ilk kısmı mantıksal sonucuna ulaştı. Ve bir ara egzersiz olarak, geleneksel olarak biraz öz değerlendirme yapmanızı öneririm.)

Görev 1.

Negatif ve kesirli kuvvetlerin şifresini çözmekle ilgili sözlerim boşa gitmesin diye, biraz oyun oynamanızı öneririm!

Sayıları ikinin kuvvetleri olarak ifade edin:

Cevaplar (karışıklık içinde):

İşe yaradı mı? Harika! Sonra bir savaş görevi yapıyoruz - en basit ve en basit üstel denklemleri çözüyoruz!

Görev 2.

Denklemleri çözün (tüm cevaplar karmakarışık!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16x+3 = 0

Cevaplar:

x = 16

X 1 = -1; X 2 = 2

X = 5

İşe yaradı mı? Aslında çok daha basit!

Sonra bir sonraki oyunu çözüyoruz:

(2 x +4) x -3 = 0,5 x 4 x -4

35 1-x = 0,2 - x ·7 x

Cevaplar:

X 1 = -2; X 2 = 2

X = 0,5

X 1 = 3; X 2 = 5

Peki bu örneklerden bir tane mi kaldı? Harika! Büyüyorsun! O zaman işte atıştırabileceğiniz birkaç örnek daha:

Cevaplar:

X = 6

X = 13/31

X = -0,75

X 1 = 1; X 2 = 8/3

Peki buna karar verildi mi? Peki, saygı duy! Şapkamı çıkarıyorum.) Bu, dersin boşuna olmadığı ve üstel denklemleri çözmenin başlangıç ​​​​seviyesinin başarılı bir şekilde ustalaştığı düşünülebilir. Sonraki seviyeler ve daha karmaşık denklemler önümüzde! Ve yeni teknikler ve yaklaşımlar. Ve standart olmayan örnekler. Ve yeni sürprizler.) Bütün bunlar bir sonraki derste!

Bir şeyler ters mi gitti? Bu, sorunların büyük olasılıkla . Veya . Veya her ikisi de aynı anda. Burada güçsüzüm. Bir kez daha tek bir şey önerebilirim; tembel olmayın ve bağlantıları takip edin.)

Devamı gelecektir.)

Ders: “Üstel denklemleri çözme yöntemleri.”

1 . Üstel denklemler.

Üstellerde bilinmeyenler içeren denklemlere üstel denklemler denir. Bunlardan en basiti a > 0 ve a ≠ 1 olan ax = b denklemidir.

1) b'de< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) b > 0 için, fonksiyonun monotonluğu ve kök teoremi kullanıldığında denklemin tek bir kökü vardır. Bunu bulmak için b'nin b = aс, аx = bс ó x = c veya x = logab biçiminde temsil edilmesi gerekir.

Cebirsel dönüşümlerle elde edilen üstel denklemler, aşağıdaki yöntemler kullanılarak çözülen standart denklemlere yol açar:

1) bir baza indirgeme yöntemi;

2) değerlendirme yöntemi;

3) grafik yöntemi;

4) yeni değişkenleri tanıtma yöntemi;

5) çarpanlara ayırma yöntemi;

6) üstel – güç denklemleri;

7) bir parametreyle gösterici.

2 . Tek baza indirgeme yöntemi.

Yöntem, kuvvetlerin aşağıdaki özelliğine dayanmaktadır: eğer iki kuvvet eşitse ve tabanları eşitse, o zaman üsleri eşittir, yani denklemi forma indirgemeye çalışmak gerekir.

Örnekler. Denklemi çözün:

1 . 3x = 81;

Denklemin sağ tarafını 81 = 34 formunda temsil edelim ve orijinal 3 x = 34'ün eşdeğerini yazalım; x = 4. Cevap: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">ve 3x+1 = 3 – 5x; 8x = üsleri için denkleme geçelim 4; x = 0,5. Cevap: 0,5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" genişlik = "105" yükseklik = "47">

0,2, 0,04, √5 ve 25 sayılarının 5'in kuvvetlerini temsil ettiğini unutmayın. Bundan yararlanalım ve orijinal denklemi aşağıdaki gibi dönüştürelim:

, dolayısıyla 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, buradan x = -1 çözümünü buluyoruz. Cevap: -1.

5. 3x = 5. Logaritmanın tanımına göre x = log35. Cevap: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Denklemi 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8 şeklinde yeniden yazalım, yani.png" width=181" height=49 src=> Dolayısıyla x – 4 =0, x = 4. Cevap: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Üslerin özelliklerini kullanarak denklemi 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9, sonra 3∙3x = 9, 3x+1 şeklinde yazıyoruz. = 32, yani x+1 = 2, x =1. Cevap: 1.

1 numaralı sorunlu banka.

Denklemi çözün:

1 numaralı test.

Test No.2

3 Değerlendirme yöntemi.

Kök teoremi: f(x) fonksiyonu I aralığında artıyorsa (azalıyorsa), a sayısı f'nin bu aralıkta aldığı herhangi bir değer ise, f(x) = a denkleminin I aralığında tek bir kökü vardır.

Tahmin yöntemini kullanarak denklemleri çözerken bu teorem ve fonksiyonun monotonluk özellikleri kullanılır.

Örnekler. Denklemleri çözün: 1. 4x = 5 – x.

Çözüm. Denklemi 4x +x = 5 olarak yeniden yazalım.

1. eğer x = 1 ise 41+1 = 5, 5 = 5 doğrudur, bu da 1'in denklemin kökü olduğu anlamına gelir.

Fonksiyon f(x) = 4x – R üzerinde artar ve g(x) = x – R üzerinde artar => h(x)= f(x)+g(x) R üzerinde artar, artan fonksiyonların toplamı olarak, o zaman x = 1, 4x = 5 – x denkleminin tek köküdür. Cevap: 1.

2.

Çözüm. Denklemi formda yeniden yazalım. .

1. eğer x = -1 ise, o zaman 3 = 3 doğrudur, yani x = -1 denklemin köküdür.

2. Onun tek olduğunu kanıtlayın.

3. Fonksiyon f(x) = - R üzerinde azalır ve g(x) = - x – R üzerinde azalır=> h(x) = f(x)+g(x) – R üzerinde azalır, şunun toplamı olarak: azalan fonksiyonlar Bu, kök teoremine göre denklemin tek kökü x = -1 olduğu anlamına gelir. Cevap: -1.

Sorunlu banka No. 2. Denklemi çöz

a) 4x + 1 =6 – x;

B)

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Yeni değişkenleri tanıtma yöntemi.

Yöntem paragraf 2.1'de açıklanmıştır. Yeni bir değişkenin eklenmesi (ikame), genellikle denklem terimlerinin dönüştürülmesinden (basitleştirilmesinden) sonra gerçekleştirilir. Örneklere bakalım.

Örnekler. R Denklemi çözün: 1. .

Denklemi farklı bir şekilde yeniden yazalım: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width = "128" height = "48 src => i.e..png" width = "210" yükseklik = "45">

Çözüm. Denklemi farklı şekilde yeniden yazalım:

https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - uygun olmadığını belirleyelim.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - irrasyonel denklem.

Denklemin çözümü x = 2,5 ≤ 4'tür, yani denklemin kökü 2,5'tir. Cevap: 2.5.

Çözüm. Denklemi formda yeniden yazalım ve her iki tarafı da 56x+6 ≠ 0'a bölelim. Denklemi elde ederiz.

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" width="118" height="56">

İkinci dereceden denklemin kökleri t1 = 1 ve t2'dir<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Çözüm . Denklemi formda yeniden yazalım.

ve bunun ikinci dereceden homojen bir denklem olduğuna dikkat edin.

Denklemi 42x'e bölersek şunu elde ederiz:

https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> değerini değiştirelim.

Cevap: 0; 0,5.

Sorunlu banka No. 3. Denklemi çöz

B)

G)

Test No.3 cevap seçenekleriyle. Asgari seviye.

Test No.4 cevap seçenekleriyle. Genel seviye.

5. Çarpanlara ayırma yöntemi.

1. Denklemi çözün: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Solution..png" width="169" height="69"> , nereden

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Çözüm. Denklemin sol tarafına parantezlerin dışına 6x, sağ tarafına da 2x koyalım. 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x denklemini elde ederiz.

Tüm x'ler için 2x >0 olduğundan, çözümleri kaybetme korkusu olmadan bu denklemin her iki tarafını da 2x'e bölebiliriz. 3x = 1ó x = 0 elde ederiz.

3.

Çözüm. Denklemi çarpanlara ayırma yöntemini kullanarak çözelim.

Binomun karesini seçelim

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" genişlik = "500" yükseklik = "181">

x = -2 denklemin köküdür.

Denklem x + 1 = 0 " stil = "sınır-çöküşü:çöküş;kenarlık:yok">

A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0.x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Test No.6 Genel seviye.

6. Üstel – güç denklemleri.

Üstel denklemlerin bitişiğinde üstel kuvvet denklemleri adı verilen denklemler bulunur; yani (f(x))g(x) = (f(x))h(x) formundaki denklemler.

Eğer f(x)>0 ve f(x) ≠ 1 olduğu biliniyorsa, bu durumda denklem, üstel denklem gibi, g(x) = f(x) üslerinin eşitlenmesiyle çözülür.

Eğer koşul f(x)=0 ve f(x)=1 olasılığını dışlamıyorsa, üstel bir denklemi çözerken bu durumları dikkate almamız gerekir.

1..png" genişlik = "182" yükseklik = "116 src = ">

2.

Çözüm. x2 +2x-8 – herhangi bir x için anlamlıdır, çünkü bu bir polinomdur, bu da denklemin bütünlüğe eşdeğer olduğu anlamına gelir

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" genişlik = "137" yükseklik = "35">

B)

7. Parametreli üstel denklemler.

1. p parametresinin hangi değerleri için denklem 4 (5 – 3)×2 +4p2–3p = 0 (1)'in benzersiz bir çözümü vardır?

Çözüm. 2x = t, t > 0 yerine koymayı tanıtalım, o zaman denklem (1) t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0 formunu alacaktır. (2)

Denklemin (2) diskriminantı D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Denklem (2)'nin bir pozitif kökü varsa, Denklem (1)'in benzersiz bir çözümü vardır. Bu aşağıdaki durumlarda mümkündür.

1. Eğer D = 0, yani p = 1 ise, denklem (2) t2 – 2t + 1 = 0 formunu alacaktır, dolayısıyla t = 1, dolayısıyla denklem (1)'in tek çözümü x = 0 olacaktır.

2. Eğer p1 ise 9(p – 1)2 > 0 ise denklem (2)'nin iki farklı kökü vardır t1 = p, t2 = 4p – 3. Problemin koşulları bir dizi sistem tarafından karşılanmaktadır.

Sistemlerde t1 ve t2'yi yerine koyarsak,

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Çözüm. İzin vermek bu durumda denklem (3) t2 – 6t – a = 0 formunu alacaktır. (4)

Denklemin (4) en az bir kökünün t > 0 koşulunu sağladığı a parametresinin değerlerini bulalım.

f(t) = t2 – 6t – a fonksiyonunu tanıtalım. Aşağıdaki durumlar mümkündür.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Durum 2. Denklem (4)'ün tek bir pozitif çözümü vardır:

D = 0, eğer a = – 9 ise denklem (4) (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1 formunu alacaktır.

Durum 3. Denklemin (4) iki kökü vardır, ancak bunlardan biri t > 0 eşitsizliğini sağlamaz. Bu şu şekilde mümkündür:

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

Dolayısıyla a 0 için denklem (4)'ün tek bir pozitif kökü vardır. . O halde denklem (3)'ün benzersiz bir çözümü vardır

ne zaman bir< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

eğer bir< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
a = – 9 ise x = – 1;

eğer a 0 ise, o zaman

Denklem (1) ve (3)'ü çözme yöntemlerini karşılaştıralım. Denklem (1)'i çözerken, diskriminantının tam kare olduğu ikinci dereceden bir denkleme indirgendiğine dikkat edin; Böylece ikinci dereceden bir denklemin kökleri formülü kullanılarak denklem (2)'nin kökleri hemen hesaplandı ve ardından bu köklere ilişkin sonuçlar çıkarıldı. Denklem (3), diskriminantı mükemmel bir kare olmayan ikinci dereceden bir denkleme (4) indirgenmiştir, bu nedenle, denklem (3)'ü çözerken, ikinci dereceden bir üç terimlinin köklerinin konumuna ilişkin teoremlerin kullanılması tavsiye edilir. ve bir grafik modeli. Denklemin (4) Vieta teoremi kullanılarak çözülebileceğini unutmayın.

Daha karmaşık denklemleri çözelim.

Problem 3: Denklemi çözün

Çözüm. ODZ: x1, x2.

Bir yedek sunalım. 2x = t, t > 0 olsun, dönüşümler sonucunda denklem t2 + 2t – 13 – a = 0 formunu alacaktır. (*) En az bir kökü olan a değerlerini bulalım. denklem (*) t > 0 koşulunu karşılar.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Cevap: a > – 13, a  11, a  5 ise, a – 13 ise,

a = 11, a = 5 ise kök yoktur.

Kullanılmış literatürün listesi.

1. Guzeev eğitim teknolojisinin temelleri.

2. Guzeev teknolojisi: resepsiyondan felsefeye.

M. “Okul Müdürü” Sayı 4, 1996

3. Guzeev ve örgütsel eğitim biçimleri.

4. Guzeev ve bütünleşik eğitim teknolojisinin uygulanması.

M. “Halk Eğitimi”, 2001

5. Ders - seminer formlarından Guzeev.

Okulda matematik No. 2, 1987 s. 9 – 11.

6. Seleuko eğitim teknolojileri.

M. “Halk Eğitimi”, 1998

7. Episheva'nın okul çocukları matematik eğitimi alacak.

M. "Aydınlanma", 1990

8. Ivanova dersler - atölye çalışmaları hazırlıyor.

Okulda matematik No. 6, 1990 s. 37 – 40.

9. Smirnov'un matematik öğretim modeli.

1 numaralı okulda matematik, 1997 s. 32 – 36.

10. Tarasenko'nun pratik çalışmaları organize etme yolları.

Okulda matematik No. 1, 1993 s. 27 – 28.

11. Bireysel çalışma türlerinden biri hakkında.

Okulda matematik No. 2, 1994, s. 63 – 64.

12. Khazankin'in okul çocuklarının yaratıcı yetenekleri.

2 numaralı okulda matematik, 1989 s. 10.

13. Scanavi. Yayıncı, 1997

14. ve diğerleri Cebir ve analizin başlangıcı. için didaktik materyaller

15. Krivonogov'un matematikteki görevleri.

M. “1 Eylül”, 2002

16. Çerkasov. Lise öğrencileri için el kitabı ve

üniversitelere giriyor. “A S T - basın okulu”, 2002

17. Üniversitelere girenler için Zhevnyak.

Minsk ve Rusya Federasyonu “İnceleme”, 1996

18. Yazılı D. Matematik sınavına hazırlık. M. Rolf, 1999

19. vb. Denklem ve eşitsizlikleri çözmeyi öğrenmek.

M. "Akıl - Merkez", 2003

20. vb. EGE'ye hazırlık için eğitim ve öğretim materyalleri.

M. "İstihbarat - Merkez", 2003 ve 2004.

21 ve diğerleri. Rusya Federasyonu Savunma Bakanlığı Test Merkezi, 2002, 2003.

22. Goldberg denklemleri. "Kuantum" Sayı 3, 1971

23. Volovich M. Matematik nasıl başarılı bir şekilde öğretilir.

Matematik, 1997 Sayı 3.

24 Okunev derse çocuklar! M.Eğitim, 1988

25. Okulda Yakimanskaya odaklı öğrenme.

26. Sınırlar sınıfta çalışır. M.Bilgi, 1975

Denklemlerin kullanımı hayatımızda oldukça yaygındır. Birçok hesaplamada, yapı yapımında ve hatta sporda kullanılırlar. İnsanoğlu denklemleri eski zamanlarda kullandı ve o zamandan beri kullanımları daha da arttı. Kuvvet veya üstel denklemler, değişkenlerin kuvvetlerde olduğu ve tabanın bir sayı olduğu denklemlerdir. Örneğin:

Üstel bir denklemi çözmek oldukça basit 2 adımdan oluşur:

1. Sağdaki ve soldaki denklemin tabanlarının aynı olup olmadığını kontrol etmeniz gerekiyor. Sebepler aynı değilse bu örneği çözmek için seçenekler ararız.

2. Tabanlar aynı olduktan sonra dereceleri eşitleyip ortaya çıkan yeni denklemi çözüyoruz.

Bize aşağıdaki biçimde bir üstel denklem verildiğini varsayalım:

Bu denklemin çözümüne bazın analizi ile başlamaya değer. Tabanlar farklıdır - 2 ve 4, ancak çözmek için aynı olmalarına ihtiyacımız var, bu nedenle aşağıdaki formülü kullanarak 4'ü dönüştürüyoruz -\[ (a^n)^m = a^(nm):\]

Orijinal denkleme şunu ekliyoruz:

Parantezlerden çıkaralım\

ifade edelim\

Dereceler aynı olduğundan onları atıyoruz:

Cevap: \

Çevrimiçi bir çözücü kullanarak üstel bir denklemi nerede çözebilirim?

Denklemi https://sitemizden çözebilirsiniz. Ücretsiz çevrimiçi çözücü, her türlü karmaşıklıktaki çevrimiçi denklemleri birkaç saniye içinde çözmenize olanak tanır. Tek yapmanız gereken, verilerinizi çözücüye girmenizdir. Ayrıca web sitemizde video talimatlarını izleyebilir ve denklemin nasıl çözüleceğini öğrenebilirsiniz. Hala sorularınız varsa, bunları http://vk.com/pocketteacher VKontakte grubumuzda sorabilirsiniz. Grubumuza katılın, size yardımcı olmaktan her zaman mutluluk duyarız.

Tüm yeni video derslerinden haberdar olmak için web sitemizin youtube kanalına gidin.

Öncelikle kuvvetlerin temel formüllerini ve özelliklerini hatırlayalım.

Bir sayının çarpımı A kendi kendine n defa meydana geliyorsa, bu ifadeyi a a … a=a n olarak yazabiliriz.

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (bir n) m = bir nm

5. a n b n = (ab) n

7. bir n / bir m = bir n - m

Güç veya üstel denklemler– bunlar, değişkenlerin kuvvet (veya üs) cinsinden olduğu ve tabanın bir sayı olduğu denklemlerdir.

Üstel denklem örnekleri:

Bu örnekte 6 sayısı tabandır; her zaman alttadır ve değişkendir. X derece veya gösterge.

Üstel denklemlere daha fazla örnek verelim.
2x*5=10
16 x - 4 x - 6=0

Şimdi üstel denklemlerin nasıl çözüldüğüne bakalım?

Basit bir denklem ele alalım:

2 x = 2 3

Bu örnek kafanızda bile çözülebilir. x=3 olduğu görülmektedir. Sonuçta sol ve sağ tarafların eşit olması için x yerine 3 sayısını koymanız gerekiyor.
Şimdi bu kararın nasıl resmileştirileceğini görelim:

2 x = 2 3
x = 3

Böyle bir denklemi çözmek için kaldırdık aynı gerekçeler(yani ikili) ve kalanları yazdık, bunlar dereceler. Aradığımız cevabı bulduk.

Şimdi kararımızı özetleyelim.

Üstel denklemi çözmek için algoritma:
1. Kontrol etmeniz gerekiyor birebir aynı Denklemin sağda ve solda tabanları olup olmadığı. Sebepler aynı değilse bu örneği çözecek seçenekler arıyoruz.
2. Tabanlar aynı hale geldikten sonra, eşitlemek derece ve ortaya çıkan yeni denklemi çözün.

Şimdi birkaç örneğe bakalım:

Basit bir şeyle başlayalım.

Sol ve sağ taraftaki tabanlar 2 sayısına eşittir, bu da tabanı atıp güçlerini eşitleyebileceğimiz anlamına gelir.

x+2=4 En basit denklem elde edilir.
x=4 – 2
x=2
Cevap: x=2

Aşağıdaki örnekte tabanların farklı olduğunu görebilirsiniz: 3 ve 9.

3 3x - 9x+8 = 0

İlk önce dokuzu sağ tarafa hareket ettirin, şunu elde ederiz:

Şimdi aynı temelleri yapmanız gerekiyor. 9=3 2 olduğunu biliyoruz. (a n) m = a nm güç formülünü kullanalım.

3 3x = (3 2) x+8

9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16 elde ederiz

3 3x = 3 2x+16 Artık sol ve sağ tarafta tabanların aynı ve üçe eşit olduğu açıktır, bu da onları bir kenara bırakıp dereceleri eşitleyebileceğimiz anlamına gelir.

3x=2x+16 en basit denklemi elde ederiz
3x - 2x=16
x=16
Cevap:x=16.

Aşağıdaki örneğe bakalım:

2 2x+4 - 10 4x = 2 4

Öncelikle tabanlara, ikinci ve dördüncü tabanlara bakıyoruz. Ve onların aynı olmasına ihtiyacımız var. Dördünü (a n) m = a nm formülünü kullanarak dönüştürüyoruz.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Ayrıca a n a m = a n + m formülünü de kullanıyoruz:

2 2x+4 = 2 2x2 4

Denkleme ekleyin:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Aynı nedenlerle bir örnek verdik. Ama diğer 10 ve 24 sayıları bizi rahatsız ediyor, onlarla ne yapacağız? Yakından bakarsanız sol tarafta 2 2x'in tekrarlandığını görebilirsiniz, işte cevap: 2 2x'i parantezlerin dışına koyabiliriz:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Parantez içindeki ifadeyi hesaplayalım:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Denklemin tamamını 6'ya bölüyoruz:

4=2 2 olduğunu varsayalım:

2 2x = 2 2 tabanlar aynı, bunları atıp dereceleri eşitliyoruz.
2x = 2 en basit denklemdir. 2'ye böleriz ve elde ederiz
x = 1
Cevap: x = 1.

Denklemi çözelim:

9 x – 12*3 x +27= 0

Haydi dönüştürelim:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Denklemi elde ederiz:
3 2x - 12 3x +27 = 0

Tabanlarımız aynı, üçe eşit. Bu örnekte ilk üçün ikincinin (sadece x) iki katı (2x) dereceye sahip olduğunu görüyorsunuz. Bu durumda çözebilirsiniz değiştirme yöntemi. Sayıyı en küçük dereceyle değiştiriyoruz:

O zaman 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Denklemdeki tüm x kuvvetlerini t ile değiştiririz:

t2 - 12t+27 = 0
İkinci dereceden bir denklem elde ederiz. Diskriminant yoluyla çözerek şunu elde ederiz:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Değişkene geri dönelim X.

t 1'i alın:
t1 = 9 = 3x

Öyleyse,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Bir kök bulundu. T 2'den ikincisini arıyoruz:
t2 = 3 = 3x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Cevap: x 1 = 2; x 2 = 1.

Web sitesinde YARDIM KARAR bölümünde merak ettiğiniz soruları sorabilirsiniz, size mutlaka cevap vereceğiz.

Gruba katıl