Salınım yapan bir cisim hareket eder. Salınım durumunda mekaniğin ana probleminin çözümü

1. Hareket sırasında sistemin durumunun kısmen veya tamamen tekrarlanması zamanla meydana gelirse, harekete salınımlı denir. Belirli bir salınım hareketini karakterize eden fiziksel büyüklüklerin değerleri düzenli aralıklarla tekrarlanıyorsa salınımlara periyodik denir.

2. Salınım periyodu nedir? Salınım frekansı nedir? Aralarındaki bağlantı nedir?

2. Periyot, tam bir salınımın meydana geldiği süredir. Salınım frekansı, birim zaman başına salınım sayısıdır. Salınım frekansı salınım periyoduyla ters orantılıdır.

3. Sistem 1 Hz frekansında salınım yapmaktadır. Salınım periyodu nedir?

4. Salınım yapan bir cismin yörüngesindeki hangi noktalarda hız sıfıra eşittir? İvme sıfır mı?

4. Denge konumundan maksimum sapma noktalarında hız sıfırdır. Denge noktalarında ivme sıfırdır.

5. Salınım hareketini karakterize eden hangi nicelikler periyodik olarak değişir?

5. Salınımlı harekette hız, ivme ve koordinat periyodik olarak değişir.

6. Salınımlı bir sistemin harmonik salınımlar yapabilmesi için etki etmesi gereken kuvvet hakkında ne söylenebilir?

6. Harmonik kanuna göre kuvvetin zamanla değişmesi gerekir. Bu kuvvet yer değiştirmeyle orantılı olmalı ve denge konumuna doğru yer değiştirmenin tersi yönünde olmalıdır.

1. Salınım hareketinin belirlenmesi

Salınım hareketi- Bu, tam olarak veya yaklaşık olarak belirli aralıklarla tekrarlanan bir harekettir. Fizikte salınım hareketinin incelenmesi özellikle vurgulanmaktadır. Bunun nedeni, çeşitli doğadaki salınımlı hareket kalıplarının ve çalışma yöntemlerinin ortaklığıdır. Mekanik, akustik, elektromanyetik titreşimler ve dalgalar tek bir bakış açısıyla ele alınır. Salınım hareketi tüm doğal olayların karakteristik özelliğidir. Kalbin atması gibi ritmik olarak tekrarlanan süreçler her canlı organizmada sürekli olarak meydana gelir.

Mekanik titreşimlerSalınımlar, zaman içinde tekrarlanabilirlik ile karakterize edilen herhangi bir fiziksel süreçtir.

Denizin engebeli hali, saat sarkacının salınımı, gemi gövdesinin titreşimi, insan kalbinin atışı, ses, radyo dalgaları, ışık, alternatif akımlar; bunların hepsi titreşimdir.

Salınım işlemi sırasında sistemin durumunu belirleyen fiziksel büyüklüklerin değerleri eşit veya eşit olmayan zaman aralıklarında tekrarlanır. Salınımlara denir periyodik Değişen fiziksel büyüklüklerin değerleri düzenli aralıklarla tekrarlanıyorsa.

Değişen bir fiziksel miktarın değerinin tekrarlandığı en kısa T süresine (bu miktar vektör ise büyüklük ve yönde, skaler ise büyüklük ve işaret bakımından) denir. dönem tereddüt.

Birim zamanda yapılan n tam salınım sayısına denir. sıklık bu değerin dalgalanmaları ve ν ile gösterilir. Salınımların periyodu ve sıklığı aşağıdaki ilişkiyle ilişkilidir:

Herhangi bir salınım, salınım sistemi üzerindeki bir veya başka etkiden kaynaklanır. Salınımlara neden olan etkinin niteliğine bağlı olarak, aşağıdaki periyodik salınım türleri ayırt edilir: serbest, zorunlu, kendi kendine salınımlar, parametrik.

Serbest titreşimler- bunlar, kararlı bir denge durumundan çıkarıldıktan sonra kendi başına bırakılan bir sistemde meydana gelen salınımlardır (örneğin, bir yay üzerindeki yükün salınımları).

Zorlanmış titreşimler- bunlar harici periyodik etkilerin neden olduğu salınımlardır (örneğin, bir TV antenindeki elektromanyetik salınımlar).

Mekanikdalgalanmalar

Kendi kendine salınımlar- salınım sisteminin kendisi tarafından doğru zamanda devreye giren harici bir enerji kaynağı tarafından desteklenen serbest salınımlar (örneğin, bir saat sarkacının salınımları).

Parametrik salınımlar- bunlar, sistemin bazı parametrelerinde periyodik bir değişikliğin meydana geldiği salınımlardır (örneğin, bir salıncağı sallamak: aşırı pozisyonlarda çömelerek ve orta pozisyonda düzleşerek, salıncaktaki bir kişi salınımın atalet momentini değiştirir) ).

Doğaları farklı olan salınımlar pek çok ortak noktayı ortaya çıkarır: Aynı yasalara tabidirler, aynı denklemlerle tanımlanırlar ve aynı yöntemlerle incelenirler. Bu, birleşik bir salınım teorisi oluşturmayı mümkün kılar.

Periyodik salınımların en basiti

harmonik titreşimlerdir.

Harmonik salınımlar, fiziksel büyüklüklerin değerlerinin sinüs veya kosinüs kanununa göre zamanla değiştiği salınımlardır. Salınımlı süreçlerin çoğu bu yasayla tanımlanır veya harmonik salınımların toplamı olarak ifade edilebilir.

Harmonik salınımların başka bir "dinamik" tanımı, elastik veya "yarı elastik" etki altında gerçekleştirilen bir işlem olarak mümkündür.

2. Periyodik Sürecin tam olarak düzenli aralıklarla tekrarlandığı salınımlara denir.

Dönem Periyodik salınımlar, sistemin orijinal durumuna dönmesi için geçen minimum süredir.

x, salınım yapan bir niceliktir (örneğin, bir devredeki akımın gücü, sürecin başladığı durum ve tekrarlanma). Bir salınım periyodu sırasında meydana gelen sürece “bir tam salınım” adı verilir.

periyodik salınımlar, birim zamandaki (1 saniye) tam salınımların sayısıdır - bu bir tam sayı olmayabilir.

T - salınım periyodu, bir tam salınımın süresidir.

Frekansı v hesaplamak için, 1 saniyeyi bir salınımın T süresine (saniye cinsinden) bölmeniz gerekir ve 1 saniyedeki salınım sayısını veya noktanın koordinatını elde edersiniz) t - zaman

Harmonik salınım

Bu, hareketi karakterize eden koordinat, hız ve ivmenin sinüs veya kosinüs kanununa göre değiştiği periyodik bir salınımdır.

Harmonik grafik

Grafik, vücut yer değiştirmesinin zamana bağlılığını ortaya koymaktadır. Yaylı sarkaca bir kalem ve sarkacın arkasına eşit şekilde hareket eden bir kağıt bant takalım. Veya bir matematik sarkacını iz bırakmaya zorlayalım. Kağıt üzerinde bir hareket programı görüntülenecektir.

Harmonik salınımın grafiği sinüs dalgasıdır (veya kosinüs dalgasıdır). Salınım grafiğinden salınım hareketinin tüm özelliklerini belirleyebilirsiniz.

Harmonik titreşim denklemi

Harmonik salınım denklemi, vücut koordinatlarının zamana bağımlılığını belirler

Kosinüs grafiği ilk anda maksimum değere sahiptir ve sinüs grafiği başlangıç ​​anında sıfır değerine sahiptir. Salınımı denge konumundan incelemeye başlarsak, o zaman salınım bir sinüzoidi tekrarlayacaktır. Salınımı maksimum sapma konumundan dikkate almaya başlarsak, o zaman salınım bir kosinüs ile tanımlanacaktır. Veya böyle bir salınım, başlangıç ​​fazlı sinüs formülüyle açıklanabilir.

Harmonik salınım sırasında hız ve ivmedeki değişim

Sinüs veya kosinüs kanununa göre zamanla yalnızca vücudun koordinatı değişmez. Ancak kuvvet, hız, ivme gibi büyüklükler de aynı şekilde değişir. Salınım yapan cisim yer değiştirmenin maksimum olduğu uç konumlarda olduğunda kuvvet ve ivme maksimumdur ve vücut denge konumundan geçtiğinde sıfırdır. Ekstrem konumlarda ise hız sıfırdır ve vücut denge konumundan geçtiğinde maksimum değerine ulaşır.

Salınım kosinüs kanunu ile tanımlanırsa

Salınım sinüs kanununa göre tanımlanırsa

Maksimum hız ve ivme değerleri

Bağımlılık denklemlerini v(t) ve a(t) analiz ettikten sonra, trigonometrik faktörün 1 veya -1'e eşit olması durumunda hız ve ivmenin maksimum değerleri aldığını tahmin edebiliriz. Formülle belirlenir

v(t) ve a(t) bağımlılıkları nasıl elde edilir

salınımlı salınım sisteminin durumunu karakterize eden parametrelerin zaman içinde belirli bir tekrarlanabilirliğe sahip olduğu süreçlerdir. Bu tür süreçler, örneğin atmosferin ve Dünya yüzeyinin sıcaklığındaki günlük ve yıllık dalgalanmalar, sarkaçların salınımları vb. olabilir.

Sistemin durumunun tekrarlandığı zaman aralıkları eşitse salınımlar denir. periyodik ve sistemin ardışık iki özdeş durumu arasındaki zaman aralığı salınım periyodu.

Periyodik salınımlar için salınım sisteminin durumunu belirleyen fonksiyon salınım periyodu boyunca tekrarlanır:

Periyodik salınımlar arasında salınımlar özel bir yer tutar harmonik yani sistemin hareket özelliklerinin harmonik bir yasaya göre değiştiği salınımlar, örneğin:

(308)

Salınım teorisinde pratikte sıklıkla karşılaşılan harmonik süreçlere gösterilen en büyük ilgi, hem analitik aparatın onlar için en iyi şekilde geliştirilmiş olması hem de herhangi bir periyodik salınımın (ve sadece periyodik olanlar değil) olmasıyla açıklanmaktadır. harmonik bileşenlerin belirli bir kombinasyonu şeklinde düşünülebilir. Bu nedenlerden dolayı aşağıda ağırlıklı olarak harmonik salınımlar ele alınacaktır. Harmonik salınımların (308) analitik ifadesinde, bir malzeme noktasının denge konumundan sapmasının büyüklüğü x olarak adlandırılır. yer değiştirme.

Açıkçası, bir noktanın denge konumundan maksimum sapması a'dır, bu miktara denir salınımların genliği. Fiziksel miktar şuna eşittir:

ve salınım yapan sistemin belirli bir andaki durumunun belirlenmesine denir. salınım aşaması. Zaman sayımına başlama anındaki faz değeri

isminde salınımların başlangıç ​​aşaması. Salınım sürecinin hızını belirleyen salınım fazı cinsinden w değerine dairesel veya döngüsel salınım frekansı denir.

Periyodik salınımlar sırasında hareket durumu, T salınım periyoduna eşit aralıklarla tekrarlanmalıdır. Bu durumda, açıkçası salınımların fazı 2p (harmonik fonksiyonun periyodu) kadar değişmelidir, yani:

Salınım periyodu ve döngüsel frekansın birbiriyle şu ilişkiyle ilişkili olduğu sonucu çıkar:

Hareket kanunu (301) ile belirlenen noktanın hızı da harmonik kanuna göre değişmektedir.

(309)

Bir noktanın yer değiştirmesi ve hızının aynı anda kaybolmadığına veya maksimum değerleri almadığına dikkat edin; karıştırma ve hız faza göre farklılık gösterir.

Benzer şekilde, noktanın ivmesinin şuna eşit olduğunu buluyoruz:

İvme ifadesi, yer değiştirme ve hıza göre faz dışı olduğunu gösterir. Yer değiştirme ve ivme aynı anda sıfırdan geçmesine rağmen, zamanın bu anında zıt yönlere sahiptirler; p ile kaydırıldı. Harmonik salınımlar sırasında yer değiştirme, hız ve ivmenin zamana bağımlılığının grafikleri, Şekil 81'de geleneksel bir ölçekte sunulmaktadır.

Bu nedenle, bu modellerin incelenmesi genelleştirilmiş salınım ve dalga teorisi ile gerçekleştirilir. Dalgalardan temel farkı, salınımlar sırasında enerji aktarımının olmamasıdır; bunlar, tabiri caizse, “yerel” dönüşümlerdir.

sınıflandırma

Farklı salınım türlerinin tanımlanması, salınım süreçlerine (osilatörler) sahip sistemlerin vurgulanan özelliklerine bağlıdır.

Kullanılan matematiksel aygıta göre

• Doğrusal olmayan salınımlar

Sıklığa göre

Böylece periyodik salınımlar şu şekilde tanımlanır:

Fiziksel doğası gereği

• Mekanik(ses, titreşim)
• Elektromanyetik(ışık, radyo dalgaları, termal)
• Karışık tip- yukarıdakilerin kombinasyonları

Çevreyle etkileşimin doğası gereği

• Zoraki- Dış periyodik etkinin etkisi altında sistemde meydana gelen salınımlar. Örnekler: ağaçlardaki yapraklar, elin kaldırılması ve indirilmesi. Zorla salınımlarla rezonans olgusu ortaya çıkabilir: osilatörün doğal frekansı dış etkinin frekansıyla çakıştığında salınımların genliğinde keskin bir artış.
• Ücretsiz (veya kendinize ait)- bunlar, sistem dengeden çıktıktan sonra iç kuvvetlerin etkisi altındaki bir sistemdeki salınımlardır (gerçek koşullarda, serbest salınımlar her zaman sönümlenir). Serbest salınımların en basit örnekleri, bir yaya bağlı bir ağırlığın veya bir ipliğe asılı bir ağırlığın salınımlarıdır.
• Kendi kendine salınımlar- sistemin salınımlara harcanan potansiyel enerji rezervine sahip olduğu salınımlar (böyle bir sistemin örneği mekanik bir saattir). Kendi kendine salınımlar ile zorlanmış salınımlar arasındaki karakteristik bir fark, genliklerinin başlangıç ​​koşulları tarafından değil sistemin kendi özellikleri tarafından belirlenmesidir.
• Parametrik- salınım sisteminin herhangi bir parametresi dış etkinin bir sonucu olarak değiştiğinde ortaya çıkan salınımlar.

Seçenekler

Salınım periyodu T (\displaystyle T\,\ !} ve frekans f (\displaystyle f\,\ !}- karşılıklı miktarlar;

Döngüsel veya döngüsel süreçlerde “frekans” karakteristiği yerine kavram kullanılır. dairesel (döngüsel) sıklık ω (\displaystyle \omega \,\ !} (rad/s, Hz, s -1) başına salınım sayısını gösteren 2 π (\displaystyle 2\pi ) zaman birimleri:

• Ön yargı- Vücudun denge pozisyonundan sapması. Tanım X, Ölçü birimi - metre.
• Salınım aşaması- herhangi bir zamanda yer değiştirmeyi belirler, yani salınım sisteminin durumunu belirler.

Kısa tarih

Harmonik titreşimler 17. yüzyıldan beri bilinmektedir.

"Gevşeme salınımları" terimi 1926'da Van der Pol tarafından önerildi. Böyle bir terimin tanıtılması, yalnızca belirtilen araştırmacının bu tür dalgalanmaların tümünün "rahatlama zamanı" nın varlığıyla, yani bilimin gelişimindeki o tarihsel anda görünen bir kavramla ilişkili görünmesi gerçeğiyle haklı çıktı. en anlaşılır ve yaygın olanıdır. Yukarıda sıralanan bazı araştırmacılar tarafından açıklanan yeni tür salınımların temel özelliği, bunların, kendisini öncelikle iyi bilinen Thomson formülünden bir sapma olarak gösteren doğrusal olanlardan önemli ölçüde farklı olmasıydı. Kapsamlı bir tarihsel çalışma, van der Pol'un 1926'da, kendisi tarafından keşfedilen "gevşeme salınımları" fiziksel olgusunun, Poincaré tarafından ortaya atılan "limit döngüsü" matematiksel kavramına karşılık geldiği gerçeğini henüz fark etmediğini ve bunu ancak kitaptan sonra fark ettiğini gösterdi. 1929'da yayınlandı. A. A. Andronov'un yayınları.

Yabancı araştırmacılar, 1937'de doğrusal ve doğrusal olmayan salınımlar hakkındaki modern bilgileri özetleyen ilk kitabı yayınlayan L. I. Mandelstam'ın öğrencilerinin Sovyet bilim adamları arasında dünyaca ünlü olduğunu kabul ediyor. Ancak Sovyet bilim adamları van der Pol tarafından önerilen "gevşeme salınımları" terimini kabul etmedi. Blondel tarafından kullanılan "süreksiz hareketler" terimini tercih ettiler, çünkü özellikle bu salınımların yavaş ve hızlı modlarla tanımlanması amaçlanmıştı. Bu yaklaşım ancak tekil pertürbasyon teorisi bağlamında olgunlaştı» .

Ana salınımlı sistem türlerinin kısa açıklaması

Doğrusal salınımlar

Önemli bir salınım türü harmonik salınımlardır - sinüs veya kosinüs kanununa göre meydana gelen salınımlar. Fourier'in 1822'de kurduğu gibi, herhangi bir periyodik salınım, karşılık gelen fonksiyonun şu şekilde genişletilmesiyle harmonik salınımların toplamı olarak temsil edilebilir:

3 numaralı laboratuvar çalışması

“Yay ​​sarkacı kullanılarak yayın esneklik katsayısının belirlenmesi”

UDC 531.13(07)

Salınım hareketinin yasaları, yaylı sarkaç örneği kullanılarak ele alınır. Katsayıyı belirlemek için laboratuvar çalışması yapmak için metodolojik talimatlar verilmiştir. katılık Dinamik yöntemler kullanarak yaylar. “Harmonik salınımlar” konusundaki tipik problemlerin bir analizi verilmektedir. Harmonik titreşimlerin eklenmesi.

Teorik giriş

Salınım hareketi doğadaki en yaygın hareketlerden biridir. Ses olayları, alternatif akım ve elektromanyetik dalgalar bununla ilişkilidir. Titreşimler çok çeşitli makine ve cihazların ayrı parçalarında, katılarda, sıvılarda ve gazlarda atom ve moleküllerde, insanlarda ve hayvanlarda kalp kaslarında vb. meydana gelir.

tereddüt Bu süreçle ilişkili fiziksel niceliklerin zaman içinde tekrarlanabilirliği ile karakterize edilen fiziksel bir süreçtir. Bir sarkacın veya salınımın hareketi, kalp kasının kasılması, alternatif akım - bunların hepsi salınan sistemlere örnektir.

Fiziksel büyüklüklerin değerleri düzenli aralıklarla tekrarlanırsa salınımlar periyodik olarak kabul edilir. dönem T. Sistem tarafından birim zamanda gerçekleştirilen tam salınım sayısına denir. sıklık V. T = 1/ν olduğu açıktır. Frekans Hertz (Hz) cinsinden ölçülür. Sistem 1 hertz frekansında saniyede 1 salınım yapmaktadır.

Salınım hareketinin en basit türü serbest harmonik salınımlardır. Özgür, veya sahip olmak Bir sistemin dış kuvvetler tarafından denge konumundan çıkarılmasından sonra meydana gelen ve daha sonra sistemin hareketine katılmayan salınımlara denir. Sistemde periyodik olarak değişen dış kuvvetlerin varlığı zorunlu salınımlar.

Harmonik sürtünme yokluğunda elastik kuvvetin etkisi altında meydana gelen serbest titreşimlere denir. Hooke yasasına göre, küçük deformasyonlarda elastik kuvvet, x gövdesinin denge konumundan yer değiştirmesiyle doğru orantılıdır ve denge konumuna doğru yönlendirilir: F ex. = - κх, burada κ, N/m cinsinden ölçülen esneklik katsayısıdır ve x, vücudun denge konumundan yer değiştirmesidir.

Doğası gereği elastik olmayan ancak yer değiştirmeye bağımlılıkları bakımından benzer olan kuvvetlere denir. yarı elastik(enlem. yarı - sözde). Bu tür kuvvetler aynı zamanda harmonik titreşimlere de neden olur. Örneğin, yarı elastik kuvvetler bir salınım devresindeki elektronlara etki ederek harmonik elektromanyetik salınımlara neden olur. Yarı elastik kuvvete bir örnek, matematiksel bir sarkacın dikeyden küçük sapma açılarındaki yerçekimi bileşeni de olabilir.

Harmonik Denklem. Vücudun kütlesi olsun M kütlesi cismin kütlesine göre küçük olan bir yayın ucuna tutturulmuştur. Salınımlı bir gövdeye osilatör denir (Latince salınım - salınım). Osilatörün, OX koordinat eksenini yönlendirdiğimiz yatay kılavuz boyunca serbestçe ve sürtünme olmadan kayabilmesine izin verin (Şekil 1). Koordinatların kökenini cismin denge konumuna karşılık gelen noktaya yerleştirelim (Şekil 1, a). Cisme yatay bir kuvvet uygulayalım. F ve onu denge konumundan sağa, koordinatın olduğu noktaya kaydırın X. Yayın bir dış kuvvet tarafından gerilmesi, içinde F ynp elastik kuvvetinin ortaya çıkmasına neden olur. denge pozisyonuna doğru yönlendirilmiştir (Şekil 1, b). Şimdi dış kuvveti ortadan kaldırırsak F, daha sonra elastik kuvvetin etkisi altında vücut hızlanır A denge konumuna doğru hareket eder ve elastik kuvvet azalarak denge konumunda sıfıra eşit olur. Ancak denge konumuna ulaşan cisim orada durmaz ve kinetik enerjisi nedeniyle sola doğru hareket eder. Yay tekrar sıkışır, sağa doğru elastik bir kuvvet ortaya çıkar. Vücudun kinetik enerjisi sıkıştırılmış yayın potansiyel enerjisine dönüştürüldüğünde yük duracak, ardından sağa doğru hareket etmeye başlayacak ve işlem tekrarlanacaktır.

Bu nedenle, periyodik olmayan hareket sırasında, cisim yörüngenin her noktasından yalnızca bir kez geçerse, bir yönde hareket ederse, o zaman salınımlı hareketle, en uç noktalar hariç yörüngenin her noktasında bir tam salınım için vücut iki kez geçer : Bir kez ileri yönde hareket ederken, diğer bir kez ters yönde hareket eder.

Osilatör için Newton'un ikinci yasasını yazalım: anne= Fynp. , Nerede

F kontrolü = –κ X (1)

Formüldeki “-” işareti yer değiştirme ile kuvvetin zıt yönlerde olduğunu yani yaya bağlı yüke etki eden kuvvetin denge konumundan yer değiştirmesi ile orantılı olduğunu ve her zaman denge konumuna doğru yönlendirildiğini gösterir. Orantılılık katsayısına “κ” esneklik katsayısı denir. Sayısal olarak uzunluğu bir birim değişen yayın deformasyonuna neden olan kuvvete eşittir. Bazen denir sertlik katsayısı.

İvme cismin yer değiştirmesinin ikinci türevi olduğundan bu denklem şu şekilde yeniden yazılabilir:

, veya
(2)

Denklem (2) şu şekilde yazılabilir:

, (3)

denklemin her iki tarafının kütleye bölündüğü yer M ve gösterim tanıtıldı:

(4)

Çözümün bu denklemi karşıladığını yerine koyarak kontrol etmek kolaydır:

x = A 0 çünkü (ω 0 t + φ 0) , (5)

Burada A 0, yükün denge konumundan genliği veya maksimum yer değiştirmesidir; ω 0, bir periyot cinsinden ifade edilebilen açısal veya döngüsel frekanstır. T formüle göre doğal titreşimler
(aşağıya bakın).

Kosinüs işaretinin altında duran ve radyan cinsinden ölçülen φ = φ 0 + ω 0 t (6) miktarına denir. salınım aşaması zamanın bir noktasında T ve φ 0 başlangıç ​​aşamasıdır. Faz, belirli bir zamanda salınım noktasının yer değiştirmesinin büyüklüğünü ve yönünü belirleyen bir sayıdır. (6)'dan açıkça görülüyor ki

. (7)

Böylece ω 0 değeri faz değişim oranını belirler ve denir. döngüsel frekans. Formül ile sıradan saflıkla ilişkilendirilir

Faz 2π radyan değişirse trigonometriden bilindiği gibi kosinüs orijinal değerini alır ve dolayısıyla ofset de orijinal değerini alır. X. Ancak zaman bir dönem değiştiği için, öyle görünüyor ki

ω 0 ( T + T) + φ 0 = (ω 0 t + φ 0) + 2π

Parantezleri açıp benzer terimleri iptal edersek ω 0 elde ederiz T= 2π veya
. Ama (4)'ten beri
, o zaman şunu elde ederiz:
. (9)

Böylece, vücut salınım periyodu formül (8)'den aşağıdaki gibi bir yay üzerinde asılıdır, titreşimlerin genliğine bağlı değildir, ancak vücut kütlesine ve esneklik katsayısına bağlıdır(veya sertlik) yaylar.

Diferansiyel denklem harmonik titreşimler:
,

Doğal dairesel frekans salınım sisteminin doğası ve parametreleri tarafından belirlenen salınımlar:

–
- kütleli maddi bir nokta için M elastiklik (sertlik) katsayısı ile karakterize edilen, yarı elastik bir kuvvetin etkisi altında salınan k;

–
-uzunluğu olan bir matematiksel sarkaç için ben;

–
- kapasitörlü bir devredeki elektromanyetik salınımlar için İLE ve endüktans L.

ÖNEMLİ BİLDİRİM

Bu formüller denge konumundan küçük sapmalar için geçerlidir.

Hız harmonik titreşim ile:

.

Hızlanma harmonik titreşim ile:

Toplam Enerji harmonik titreşim:

.

DENEYSEL

Görev 1

Bir yay sarkacının doğal salınım periyodunun yükün kütlesine bağımlılığının belirlenmesi

1. Yaylardan birine bir yük asın ve sarkacı denge konumundan yaklaşık 1 - 2 cm hareket ettirin.

2. Yükün serbestçe salınmasına izin vererek süreyi bir kronometre ile ölçün. T sarkacın n (n = 15 - 25) tam salınım yapacağı sırada
. Sarkacın salınım periyodunu, ölçtüğünüz zaman periyodunu salınım sayısına bölerek bulun. Daha fazla doğruluk için en az 3 kez ölçüm yapın ve salınım periyodunun ortalama değerini hesaplayın.

Not: Yükte yanal salınım olmadığından, yani sarkacın salınımlarının kesinlikle dikey olduğundan emin olun.

3. Ölçümleri diğer ağırlıklarla tekrarlayın. Ölçüm sonuçlarını tabloya kaydedin.

4. Sarkacın salınım periyodunun yükün kütlesine bağımlılığını çizin. Kargo kütlesinin değerleri yatay eksende, dönemin karesi değerleri ise dikey eksende çizilirse grafik daha basit (düz çizgi) olacaktır.

Görev 2

Dinamik yöntem kullanılarak yay esneklik katsayısının belirlenmesi

1. Yaylardan birine 100 g ağırlığında bir yük asın, denge konumundan 1 - 2 cm çıkarın ve 15 - 20 tam salınım süresini ölçerek, seçilen yük ile sarkacın salınım süresini belirleyin formülü kullanarak
. Formülden
Yayın esneklik katsayısını hesaplayınız.

2. 150 g'dan 800 g'a kadar olan yüklerde (ekipmana bağlı olarak) benzer ölçümler yapın, her durum için esneklik katsayısını belirleyin ve yay esneklik katsayısının ortalama değerini hesaplayın. Ölçüm sonuçlarını tabloya kaydedin.

Görev 3. Laboratuvar çalışmasının sonuçlarına göre (görev 1 - 3):

– sarkacın çevrimsel frekansının değerini bulun ω 0.

– şu soruyu cevaplayın: Sarkacın salınımlarının genliği yükün kütlesine bağlı mıdır?

Yürütülerek elde edilen grafiği alın görevler 1, isteğe bağlı bir nokta ve eksenlerle kesişene kadar bu noktadan dikler çizin ah Ve O.T. 2. Bu noktanın değerlerini belirleyin M Ve T 2 ve formüle göre
Yayın esneklik katsayısını hesaplayınız.

Başvuru

KISA TEORİK BİLGİLER

HARMONİK TİTREŞİMLERİN EKLENMESİYLE

Genlik A bir düz çizgi boyunca meydana gelen, aynı frekans ve genliklere sahip A 1 ve A 2 iki salınımın eklenmesiyle elde edilen sonuçtaki salınım, formülle belirlenir.

burada φ 0, 1, φ 0, 2 başlangıç ​​aşamalarıdır.

Başlangıç ​​aşaması Ortaya çıkan salınımın φ 0'ı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

tg
.

Vuruşlar iki salınımın eklenmesinden kaynaklanan X 1 =A cos2π ν 1 T Aynı düz çizgi boyunca farklı fakat benzer frekanslarda meydana gelen ν 1 ve ν 2 formülle açıklanmaktadır

X= X 1 + X 2 + 2Açünkü π (ν 1 – ν 2) T cosπ(ν 1 +ν 2) T.

Yörünge denklemi genliklerle aynı frekansın karşılıklı iki dik salınımına katılan nokta A 1 ve A 2 ve başlangıç ​​aşamaları φ 0, 1 ve φ 0, 2:

Salınım bileşenlerinin başlangıç ​​fazları φ 0, 1 ve φ 0, 2 aynıysa, yörünge denklemi şu şekli alır:
. Başlangıç ​​aşamaları π kadar farklıysa, yörünge denklemi şu şekildedir:
. Bunlar orijinden geçen düz çizgilerin denklemleridir, yani bu durumlarda nokta düz bir çizgide hareket eder. Diğer durumlarda hareket bir elips boyunca gerçekleşir. Faz farkı ile
bu elipsin eksenleri eksenler boyunca yerleştirilmiştir HAKKINDAX Ve HAKKINDAe ve yörünge denklemi şu şekli alır:
. Bu tür salınımlara eliptik denir. A 1 =A 2 =A x 2 +y 2 =A 2 olduğunda. Bu bir dairenin denklemidir ve titreşimlere dairesel denir. Diğer frekans değerleri ve faz farklılıkları için, salınım noktasının yörüngeleri, adı verilen tuhaf eğrileri oluşturur. Lissajous figürleri.

BAZI TİPİK GÖREVLERİN ANALİZİ

BELİRTİLEN KONUDA

Problem 1. Maddi bir noktanın salınım grafiğinden, t = 1/3 s anındaki hız modülünün şuna eşit olduğu anlaşılmaktadır:

Şekilde gösterilen harmonik salınımın periyodu 2 saniyedir. Bu salınımın genliği 18 cm'dir. Dolayısıyla bağımlılık. X(T) x(t) = 18sin olarak yazılabilir π T. X(T Hız, fonksiyonun türevine eşittir ) zamana göre(T) = 18π çünkü π T v ) zamana göre.

t = (1/3) s'yi yerine koyarsak şunu elde ederiz:(1/3) = 9π (cm/s).

Doğru
cevap: 9 π cm/s.

Eşit periyotlara ve eşit genliklere sahip aynı yöndeki iki harmonik salınım A 0 eklenir. A Bir farkla A Ortaya çıkan titreşimin genliği...
Ortaya çıkan salınımın genliğini ve fazını belirlemek için vektör yöntemini kullanırsanız çözüm önemli ölçüde basitleşir. Bunu yapmak için eklenen salınımlardan birini genlikli yatay bir vektör olarak hayal edin
1.

t = (1/3) s'yi yerine koyarsak şunu elde ederiz: Bu vektörün sonundan genlikli ikinci bir vektör oluşturuyoruz
.

2 açı oluşturacak şekilde ilk vektörle. Daha sonra ilk vektörün başlangıcından sonuncunun sonuna kadar çizilen vektörün uzunluğu, ortaya çıkan salınımın genliğine eşit olacak ve ortaya çıkan vektörün ilk vektörle oluşturduğu açı, fazlarındaki farkı belirleyecektir. . Görev koşullarına karşılık gelen vektör diyagramı şekilde gösterilmiştir. Buradan, ortaya çıkan salınımın genliğinin, eklenen salınımların her birinin genliğinin çarpımı. cevap şu: PointM eş zamanlı olarak koordinat eksenleri boyunca harmonik bir yasaya göre salınır AH Ve

OY

t = (1/3) s'yi yerine koyarsak şunu elde ederiz: farklı genliklerde, ancak aynı frekanslarda. π/2 faz farkıyla noktanın yörüngesi

M
şu forma sahiptir:

Koşulda faz farkı belirtildiğinde, yörünge denklemi, koordinat eksenlerine indirgenmiş bir elipsin denklemidir ve elipsin yarı eksenleri karşılık gelen salınım genliklerine eşittir (teorik bilgilere bakın).
.

Bu kosinüs değeri şuna karşılık gelir:
.

Doğru cevap: .

Güvenlik soruları

1. Hangi salınımlara harmonik denir? 2. Sönümsüz harmonik salınımların grafiği neye benzer? 3. Harmonik salınım sürecini hangi büyüklükler karakterize eder? 4. Biyoloji ve veterinerlik alanından salınım hareketlerine örnekler verin. 5. Harmonik titreşimlerin denklemini yazın. 6. Yay sarkacının salınım hareketi periyodu için bir ifade nasıl elde edilir?

EDEBİYAT

Grabovsky R.I. Fizik dersi. - M.: Yüksekokul, 2008, bölüm I, § 27-30.

Fiziğin ve biyofiziğin temelleri. Zhuravlev A.I., Belanovsky A.S., Novikov V.E., Oleshkevich A.A., vb. - M., Mir, 2008, bölüm. 2.

Trofimova T.I. Fizik kursu: Öğrenciler için ders kitabı. üniversiteler - M.: MGAVMiB, 2008. - Böl. 18.

Trofimova T.I. Tablolarda ve formüllerde fizik: Ders kitabı.