Eğri bir yamuğun alanını bulma örnekleri. Eğrisel bir yamuğun alanı sayısal olarak belirli bir integrale eşittir

İntegral hesabının uygulamalarını ele almaya devam edelim. Bu derste, belirli bir integral kullanarak bir düzlem şeklinin alanının hesaplanmasına ilişkin tipik ve en yaygın probleme bakacağız. Son olarak, yüksek matematikte anlam arayan herkesin onu bulmasına izin verin. Asla bilemezsin. Gerçek hayatta, temel fonksiyonları kullanarak bir yazlık arsaya yaklaşmanız ve belirli bir integral kullanarak alanını bulmanız gerekecektir.

Malzemeye başarılı bir şekilde hakim olmak için şunları yapmalısınız:

1) Belirsiz integrali en azından orta düzeyde anlayın. Bu nedenle aptalların öncelikle O'nun dersini tanımaları gerekir.

2) Newton-Leibniz formülünü uygulayabilir ve belirli integrali hesaplayabilir. Belirli İntegral sayfasında belirli integrallerle sıcak dostane ilişkiler kurabilirsiniz. Çözüm örnekleri. "Belirli bir integral kullanarak alanı hesaplama" görevi her zaman bir çizim yapmayı içerir, dolayısıyla çizim oluşturma konusundaki bilgi ve becerileriniz de önemli bir konu olacaktır. En azından düz bir çizgi, parabol ve hiperbol oluşturabilmeniz gerekir.

Kavisli bir yamukla başlayalım. Kavisli bir yamuk, bazı fonksiyonların grafiğiyle sınırlanan düz bir şekildir. sen = F(X), eksen ÖKÜZ ve çizgiler X = A; X = B.

Eğrisel bir yamuğun alanı sayısal olarak belirli bir integrale eşittir

Herhangi bir belirli integralin (var olan) çok iyi bir geometrik anlamı vardır. Belirli İntegral dersinde. Çözüm örneklerine belirli bir integralin bir sayı olduğunu söylemiştik. Şimdi başka bir yararlı gerçeği belirtmenin zamanı geldi. Geometri açısından belirli integral ALAN'dır. Yani, belirli bir integral (varsa) geometrik olarak belirli bir şeklin alanına karşılık gelir. Belirli integrali düşünün

İntegrand

düzlemde bir eğri tanımlar (istenirse çizilebilir) ve belirli integralin kendisi sayısal olarak karşılık gelen eğrisel yamuğun alanına eşittir.

Örnek 1

, , , .

Bu tipik bir atama ifadesidir. Karar vermede en önemli nokta çizimin yapımıdır. Üstelik çizimin DOĞRU şekilde yapılması gerekiyor.

Bir çizim oluştururken aşağıdaki sırayı öneriyorum: önce tüm düz çizgileri (varsa) ve ancak o zaman parabolleri, hiperbolleri ve diğer fonksiyonların grafiklerini oluşturmak daha iyidir. Noktasal yapı tekniği, Grafikler ve temel fonksiyonların özellikleri referans materyalinde bulunabilir. Orada ayrıca dersimiz için çok yararlı materyaller bulabilirsiniz - nasıl hızlı bir şekilde parabol oluşturulacağı.

Bu problemde çözüm şu şekilde görünebilir.

Çizimi yapalım (denklemin sen= 0 ekseni belirtir ÖKÜZ):

Kavisli yamuğu gölgelemeyeceğiz; burada hangi alandan bahsettiğimiz belli oluyor. Çözüm şu şekilde devam ediyor:

[-2; 1] fonksiyon grafiği sen = X Eksenin üstünde yer alan 2 + 2 ÖKÜZ, Bu yüzden:

Cevap: .

Belirli integrali hesaplamada ve Newton-Leibniz formülünü uygulamada zorluk çekenler

,

Belirli İntegral dersine bakın. Çözüm örnekleri. Görev tamamlandıktan sonra çizime bakıp cevabın gerçek olup olmadığını anlamak her zaman faydalıdır. Bu durumda, çizimdeki hücre sayısını "gözle" sayarız - yaklaşık 9 tane olacak ki bu doğru gibi görünüyor. Diyelim ki 20 birim kare cevabını alırsak, bir yerde bir hata yapıldığı açıktır - 20 hücrenin söz konusu rakama, en fazla bir düzine sığmadığı açıktır. Cevap olumsuzsa, görev de yanlış çözülmüştür.

Örnek 2

Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın xy = 4, X = 2, X= 4 ve eksen ÖKÜZ.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Eksenin altına kavisli bir yamuk yerleştirilmişse ne yapmalı ÖKÜZ?

Örnek 3

Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın sen = eski, X= 1 ve koordinat eksenleri.

Çözüm: Bir çizim yapalım:

Kavisli bir yamuk tamamen eksenin altına yerleştirilmişse ÖKÜZ ise alanı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

Bu durumda:

.

Dikkat! İki tür görev karıştırılmamalıdır:

1) Sizden herhangi bir geometrik anlamı olmayan belirli bir integrali çözmeniz istenirse bu negatif olabilir.

2) Belirli bir integral kullanarak bir şeklin alanını bulmanız istenirse alan her zaman pozitiftir! Bu nedenle az önce tartışılan formülde eksi görünüyor.

Uygulamada, çoğu zaman şekil hem üst hem de alt yarı düzlemde bulunur ve bu nedenle en basit okul problemlerinden daha anlamlı örneklere geçiyoruz.

Örnek 4

Çizgilerle sınırlanmış bir düzlem şeklinin alanını bulun sen = 2X – X 2 , sen = -X.

Çözüm: Öncelikle bir çizim yapmanız gerekiyor. Alan problemlerinde çizim oluştururken en çok çizgilerin kesişme noktalarıyla ilgileniriz. Parabolün kesişme noktalarını bulalım sen = 2X – X 2 ve düz sen = -X. Bu iki şekilde yapılabilir. İlk yöntem analitiktir. Denklemi çözüyoruz:

Bu, entegrasyonun alt sınırının A= 0, entegrasyonun üst sınırı B= 3. Çizgileri noktadan noktaya oluşturmak genellikle daha karlı ve daha hızlıdır ve entegrasyonun sınırları “kendiliğinden” netleşir. Bununla birlikte, örneğin grafik yeterince büyükse veya ayrıntılı yapı entegrasyon sınırlarını ortaya çıkarmıyorsa (kesirli veya irrasyonel olabilirler) bazen limit bulmanın analitik yönteminin kullanılması gerekir. Görevimize dönelim: Önce düz bir çizgi, sonra da bir parabol çizmek daha mantıklıdır. Çizimi yapalım:

Noktasal inşa ederken entegrasyonun sınırlarının çoğunlukla “otomatik olarak” belirlendiğini tekrarlayalım.

Ve şimdi çalışma formülü:

Eğer segmentteyse [ A; B] bazı sürekli fonksiyonlar F(X) bazı sürekli fonksiyonlardan büyük veya ona eşittir G(X), o zaman karşılık gelen şeklin alanı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

Burada artık şeklin nerede bulunduğunu - eksenin üstünde mi yoksa altında mı olduğunu düşünmenize gerek yok, ancak önemli olan hangi grafiğin YÜKSEK (başka bir grafiğe göre) ve hangisinin ALTTA olduğudur.

Söz konusu örnekte, segment üzerinde parabolün düz çizginin üzerinde olduğu ve dolayısıyla 2'den itibaren olduğu açıktır. X – X 2 çıkarılmalıdır – X.

Tamamlanan çözüm şöyle görünebilir:

İstenilen rakam bir parabol ile sınırlıdır sen = 2X – X 2 üstte ve düz sen = -X altında.

2. segmentte X – X 2 ≥ -X. İlgili formüle göre:

Cevap: .

Aslında, alt yarı düzlemdeki eğrisel bir yamuğun alanı için okul formülü (bkz. örnek No. 3), formülün özel bir halidir

.

Çünkü eksen ÖKÜZ denklem tarafından verilen sen= 0 ve fonksiyonun grafiği G(X) eksenin altında bulunur ÖKÜZ, O

.

Ve şimdi kendi çözümünüz için birkaç örnek

Örnek 5

Örnek 6

Çizgilerle sınırlanan bir şeklin alanını bulun

Belirli bir integral kullanarak alan hesaplamayı içeren problemleri çözerken bazen komik bir olay olur. Çizim doğru tamamlanmış, hesaplamalar doğru ama dikkatsizlikten dolayı... yanlış şeklin alanı bulunmuş.

Örnek 7

İlk önce bir çizim yapalım:

Alanı bulmamız gereken şekil mavi renkle gölgelendirilmiştir (duruma dikkatlice bakın - şeklin ne kadar sınırlı olduğu!). Ancak pratikte insanlar dikkatsizlikten dolayı genellikle şeklin yeşil renkle gösterilen alanını bulmaları gerektiğine karar verirler!

Bu örnek aynı zamanda bir şeklin alanını iki belirli integral kullanarak hesaplaması açısından da faydalıdır. Gerçekten mi:

1) [-1; 1] eksenin üstünde ÖKÜZ grafik düz bir şekilde yerleştirilmiştir sen = X+1;

2) Eksenin üzerindeki bir segmentte ÖKÜZ bir hiperbolün grafiği bulunur sen = (2/X).

Bu nedenle alanların eklenebileceği (ve eklenmesi gerektiği) oldukça açıktır, bu nedenle:

Cevap:

Örnek 8

Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın

Denklemleri “okul” formunda sunalım

ve noktadan noktaya çizim yapın:

Çizimden üst sınırımızın “iyi” olduğu açıkça görülüyor: B = 1.

Peki alt sınır nedir? Bunun bir tam sayı olmadığı açık, ama nedir?

Belki, A=(-1/3)? Ancak çizimin mükemmel bir doğrulukla yapıldığının garantisi nerede? A=(-1/4). Grafiği yanlış oluşturursak ne olur?

Böyle durumlarda ek zaman harcamanız ve entegrasyonun sınırlarını analitik olarak netleştirmeniz gerekir.

Grafiklerin kesişim noktalarını bulalım

Bunu yapmak için denklemi çözüyoruz:

.

Buradan, A=(-1/3).

Diğer çözüm önemsizdir. Önemli olan, oyuncu değişikliği ve işaretlerde kafanızın karışmamasıdır. Buradaki hesaplamalar en basit değil. Segmentte

, ,

ilgili formüle göre:

Cevap:

Dersi bitirmek için iki zor göreve daha bakalım.

Örnek 9

Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın

Çözüm: Bu şekli çizimde gösterelim.

Nokta nokta bir çizim oluşturmak için sinüzoidin görünümünü bilmeniz gerekir. Genel olarak, bazı sinüs değerlerinin yanı sıra tüm temel fonksiyonların grafiklerini bilmek faydalıdır. Trigonometrik fonksiyonların değerleri tablosunda bulunabilirler. Bazı durumlarda (örneğin, bu durumda), grafiklerin ve entegrasyon sınırlarının temelde doğru bir şekilde görüntülenmesi gereken şematik bir çizim oluşturmak mümkündür.

Burada entegrasyon sınırlarıyla ilgili hiçbir sorun yok; bunlar doğrudan şu durumdan kaynaklanıyor:

– “x” sıfırdan “pi”ye değişir. Bir karar daha verelim:

Bir segment üzerinde bir fonksiyonun grafiği sen= günah 3 X eksenin üstünde bulunur ÖKÜZ, Bu yüzden:

(1) Trigonometrik fonksiyonların integralleri dersinde sinüs ve kosinüslerin tek kuvvetlerde nasıl integrallendiğini görebilirsiniz. Bir sinüsü sıkıştırıyoruz.

(2) Formdaki ana trigonometrik özdeşliği kullanıyoruz

(3) Değişkeni değiştirelim T=çünkü X, o zaman: eksenin üzerinde bulunur, bu nedenle:

.

.

Not: Burada teğet küpün integralinin nasıl alındığına dikkat edin;

.

A)

Çözüm.

Karardaki ilk ve en önemli nokta çizimdir.

Çizimi yapalım:

Denklem y=0“x” eksenini ayarlar;

- x=-2 Ve x=1- düz, eksene paralel Ah;

- y=x 2 +2 - tepe noktası (0;2) noktasında olan, dalları yukarı doğru yönlendirilmiş bir parabol.

Yorum. Bir parabol oluşturmak için koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını bulmak yeterlidir; koyarak x=0 eksenle kesişimi bulun Ah ve karşılık gelen ikinci dereceden denklemi çözerek eksenle kesişimi bulun Ah .

Bir parabolün tepe noktası aşağıdaki formüller kullanılarak bulunabilir:

Nokta nokta çizgiler de oluşturabilirsiniz.

[-2;1] aralığında fonksiyonun grafiği y=x 2 +2 eksenin üstünde bulunur Öküz, Bu yüzden:

Cevap: S=9 metrekare birim

Görev tamamlandıktan sonra çizime bakıp cevabın gerçek olup olmadığını anlamak her zaman faydalıdır. Bu durumda, çizimdeki hücre sayısını "gözle" sayıyoruz - yaklaşık 9 olacak, doğru gibi görünüyor. Diyelim ki 20 birim kare cevabını alırsak, bir yerde bir hata yapıldığı açıktır - 20 hücrenin söz konusu rakama, en fazla bir düzine sığmadığı açıktır. Cevap olumsuzsa, görev de yanlış çözülmüştür.

Eksenin altına kavisli bir yamuk yerleştirilmişse ne yapmalı Ah?

b) Çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın y=-ex , x=1 ve eksenleri koordine edin.

Çözüm.

Bir çizim yapalım.

Kavisli bir yamuk tamamen eksenin altına yerleştirilmişse Ah , daha sonra alanı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

Cevap: S=(e-1) metrekare birim" 1,72 metrekare birim

Dikkat! İki tür görev karıştırılmamalıdır:

1) Sizden herhangi bir geometrik anlamı olmayan belirli bir integrali çözmeniz istenirse bu negatif olabilir.

2) Belirli bir integral kullanarak bir şeklin alanını bulmanız istenirse alan her zaman pozitiftir! Bu nedenle az önce tartışılan formülde eksi görünüyor.

Uygulamada, çoğu zaman şekil hem üst hem de alt yarı düzlemde bulunur.

c) Çizgilerle sınırlanan düz bir şeklin alanını bulun y=2x-x 2, y=-x.

Çözüm.

İlk önce çizimi tamamlamanız gerekiyor. Genel olarak konuşursak, alan problemlerinde çizim oluştururken en çok çizgilerin kesişme noktalarıyla ilgileniriz. Parabolün kesişme noktalarını bulalım ve düz Bu iki şekilde yapılabilir. İlk yöntem analitiktir.

Denklemi çözüyoruz:

Bu, entegrasyonun alt sınırının a=0, entegrasyonun üst sınırı b=3 .

Nokta nokta çizgiler çizebilirsiniz ve entegrasyonun sınırları "kendiliğinden" netleşir. Bununla birlikte, örneğin grafik yeterince büyükse veya ayrıntılı yapı entegrasyon sınırlarını ortaya çıkarmıyorsa (kesirli veya irrasyonel olabilirler) bazen limit bulmanın analitik yönteminin kullanılması gerekir.

İstenilen şekil üstte bir parabol ve altta düz bir çizgi ile sınırlıdır.

Segmentte karşılık gelen formüle göre:

Cevap: S=4,5 metrekare birim

Fonksiyonun negatif olmamasına ve aralıkta sürekli olmasına izin verin. Daha sonra, belirli bir integralin geometrik anlamına göre, yukarıda bu fonksiyonun grafiğiyle, aşağıda eksenle, solda ve sağda düz çizgilerle sınırlanan eğrisel bir yamuğun alanı ve (bkz. Şekil 2) formülle hesaplanır

Örnek 9. Bir çizgiyle sınırlanan bir şeklin alanını bulun ve eksen.

Çözüm. Fonksiyon grafiği dalları aşağı doğru yönlendirilmiş bir paraboldür. Haydi inşa edelim (Şekil 3). İntegral sınırlarını belirlemek için çizginin (parabol) eksenle (düz çizgi) kesişme noktalarını buluruz. Bunu yapmak için denklem sistemini çözüyoruz

Şunu elde ederiz: , Neresi , ; buradan, , .

Pirinç. 3

Şeklin alanını formül (5) kullanarak buluyoruz:

Fonksiyon pozitif değilse ve segment üzerinde sürekli ise, o zaman aşağıda bu fonksiyonun grafiğiyle, yukarıda eksenle, solda ve sağda düz çizgilerle sınırlanan eğrisel yamuğun alanı ve ile hesaplanır. formül

. (6)

Fonksiyon bir segment üzerinde sürekliyse ve sonlu sayıda noktada işaret değiştiriyorsa, o zaman gölgeli şeklin alanı (Şekil 4), karşılık gelen belirli integrallerin cebirsel toplamına eşittir:

Pirinç. 4

Örnek 10. Eksenin sınırladığı şeklin alanını ve fonksiyonun grafiğini hesaplayın.

Pirinç. 5

Çözüm. Bir çizim yapalım (Şekil 5). Gerekli alan, alanların toplamıdır ve . Bu alanların her birini bulalım. Öncelikle sistemi çözerek entegrasyonun sınırlarını belirliyoruz. , alıyoruz. Buradan:

;

.

Böylece gölgeli şeklin alanı

(birim kare).

Pirinç. 6

Son olarak, eğrisel yamuk, doğru parçası üzerinde sürekli olan fonksiyonların grafikleri ile yukarıdan ve aşağıdan sınırlansın ve ,
ve solda ve sağda - düz çizgiler ve (Şek. 6). Daha sonra alanı formülle hesaplanır.

. (8)

Örnek 11. Şeklin çizgileriyle sınırlanan alanını bulun.

Çözüm. Bu şekil Şekil 2'de gösterilmektedir. 7. Formül (8)'i kullanarak alanını hesaplayalım. Bulduğumuz denklem sisteminin çözümü; buradan, , . Sahip olduğumuz segmentte: . Bu, formül (8)'de şu şekilde aldığımız anlamına gelir: X ve kalite olarak – . Şunu elde ederiz:

(birim kare).

Alanların hesaplanmasıyla ilgili daha karmaşık problemler, şeklin örtüşmeyen parçalara bölünmesi ve tüm şeklin alanının bu parçaların alanlarının toplamı olarak hesaplanmasıyla çözülür.

Pirinç. 7

Örnek 12. Şeklin , , çizgileriyle sınırlanan alanını bulun.

Çözüm. Bir çizim yapalım (Şek. 8). Bu şekil, aşağıdan eksenle, sola ve sağa - düz çizgilerle ve yukarıdan - fonksiyon grafikleriyle sınırlanan eğrisel bir yamuk olarak düşünülebilir. Şekil yukarıdan iki fonksiyonun grafikleriyle sınırlı olduğundan, alanını hesaplamak için bu düz çizgi şeklini iki parçaya bölüyoruz (1, ve çizgilerinin kesişme noktasının apsisidir). Bu parçaların her birinin alanı formül (4) kullanılarak bulunur:

(birim kare); (birim kare). Buradan:

(birim kare).

Pirinç. 8

Pirinç. 9

Sonuç olarak, eğrisel bir yamuğun düz çizgilerle sınırlı olması ve , eksen ve eğri üzerinde sürekli olması durumunda (Şekil 9), alanının formülle bulunduğunu not ediyoruz.

Dönen bir cismin hacmi

Bir parça üzerinde sürekli bir fonksiyonun grafiğiyle, bir eksenle, düz çizgilerle ve 1 ile sınırlanan eğrisel bir yamuğun eksen etrafında dönmesine izin verin (Şekil 10). Daha sonra ortaya çıkan dönme gövdesinin hacmi formülle hesaplanır.

. (9)

Örnek 13. Bir hiperbol, düz çizgiler ve eksenle sınırlanan eğrisel bir yamuğun ekseni etrafında döndürülerek elde edilen bir cismin hacmini hesaplayın.

Çözüm. Bir çizim yapalım (Şek. 11).

Sorunun koşullarından şu sonuç çıkıyor: . Formül (9)'dan şunu elde ederiz:

.

Pirinç. 10

Pirinç. 11

Bir eksen etrafında döndürülerek elde edilen bir cismin hacmi Ah düz çizgilerle sınırlanmış eğrisel yamuk y = c Ve y = d, eksen Ah ve bir segment üzerinde sürekli olan bir fonksiyonun grafiği (Şekil 12), formülle belirlenir

. (10)

Pirinç. 12

Örnek 14. Bir eksen etrafında döndürülerek elde edilen bir cismin hacmini hesaplayın Ahçizgilerle sınırlanmış eğrisel yamuk X 2 = 4en, y = 4, x = 0 (Şek. 13).

Çözüm. Problemin koşullarına uygun olarak integralin sınırlarını buluyoruz: , . Formül (10)'u kullanarak şunu elde ederiz:

Pirinç. 13

Bir düzlem eğrinin yay uzunluğu

Denklemin verdiği eğrinin düzlemde olmasına izin verin (Şekil 14).

Pirinç. 14

Tanım. Bir yayın uzunluğu, kesikli çizginin bağlantılarının sayısı sonsuza doğru gittiğinde ve en büyük bağlantının uzunluğu sıfıra doğru yöneldiğinde, bu yayın içine yazılan bir kesikli çizginin uzunluğunun yöneldiği sınır olarak anlaşılmaktadır.

Bir fonksiyon ve onun türevi parça üzerinde sürekli ise, eğrinin yay uzunluğu aşağıdaki formülle hesaplanır:

. (11)

Örnek 15. noktaları arasında kalan eğrinin yay uzunluğunu hesaplayın. .

Çözüm. Sahip olduğumuz sorun koşullarından . Formül (11)'i kullanarak şunu elde ederiz:

.

4. Uygun olmayan integraller
sonsuz entegrasyon sınırlarıyla

Belirli bir integral kavramı tanıtılırken aşağıdaki iki koşulun karşılandığı varsayılmıştır:

a) entegrasyon sınırları A ve sonludur;

b) integral aralıkta sınırlıdır.

Bu koşullardan en az biri sağlanmıyorsa integrale denir. senin değil.

İlk önce sonsuz integral limitli uygunsuz integralleri ele alalım.

Tanım. Fonksiyonun aralıkta tanımlı ve sürekli olmasına izin verin, o zaman sağda ise sınırsızdır (Şek. 15).

Uygun olmayan integral yakınsarsa bu alan sonludur; uygunsuz integral ıraksarsa bu alan sonsuzdur.

Pirinç. 15

Sonsuz alt limitli uygunsuz bir integral benzer şekilde tanımlanır:

. (13)

Bu integral, eşitliğin (13) sağ tarafındaki limitin mevcut olması ve sonlu olması durumunda yakınsar; aksi halde integralin ıraksak olduğu söylenir.

İki sonsuz integral sınırına sahip uygun olmayan bir integral şu ​​şekilde tanımlanır:

, (14)

burada с aralığın herhangi bir noktasıdır. İntegral ancak eşitliğin (14) sağ tarafındaki her iki integralin yakınsaması durumunda yakınsar.

G) = [paydada tam bir kare seçin: ] = [yenisiyle değiştirme:

] =

Bu, uygunsuz integralin yakınsak olduğu ve değerinin eşit olduğu anlamına gelir.

Aslında bir şeklin alanını bulmak için belirsiz ve belirli integral hakkında bu kadar bilgi sahibi olmanıza gerek yok. "Belirli bir integral kullanarak alanı hesaplama" görevi her zaman bir çizim yapmayı içerir, bu nedenle çizim oluşturma konusundaki bilgi ve becerileriniz çok daha acil bir soru olacaktır. Bu bağlamda, temel temel fonksiyonların grafiklerine ilişkin hafızanızı tazelemek ve en azından bir düz çizgi ve bir hiperbol oluşturabilmek faydalıdır.

Eğri bir yamuk, bir eksenle, düz çizgilerle ve bu aralıkta işareti değişmeyen bir doğru parçası üzerinde sürekli olan bir fonksiyonun grafiğiyle sınırlanmış düz bir şekildir. Bu rakamın bulunmasına izin verin daha düşük değil x ekseni:

Daha sonra eğrisel yamuğun alanı sayısal olarak belirli integrale eşittir. Herhangi bir belirli integralin (var olan) çok iyi bir geometrik anlamı vardır.

Geometri açısından bakıldığında belirli integral ALAN'dır.

Yani, belirli bir integral (varsa) geometrik olarak belirli bir şeklin alanına karşılık gelir. Örneğin belirli integrali düşünün. İntegral, eksenin üzerinde bulunan düzlemde bir eğri tanımlar (dileyenler çizim yapabilir) ve belirli integralin kendisi sayısal olarak karşılık gelen eğrisel yamuğun alanına eşittir.

Örnek 1

Bu tipik bir atama ifadesidir. Karardaki ilk ve en önemli nokta çizimdir. Üstelik çizimin DOĞRU şekilde yapılması gerekiyor.

Bir çizim oluştururken aşağıdaki sırayı öneririm: önce tüm düz çizgileri (varsa) ve ancak o zaman parabolleri, hiperbolleri ve diğer fonksiyonların grafiklerini oluşturmak daha iyidir. Fonksiyonların grafiklerini nokta nokta oluşturmak daha karlı olur.

Bu problemde çözüm şu şekilde görünebilir.
Çizimi çizelim (denklemin ekseni tanımladığını unutmayın):

Segmentte, fonksiyonun grafiği eksenin üzerinde bulunur, bu nedenle:

Cevap:

Görev tamamlandıktan sonra çizime bakıp cevabın gerçek olup olmadığını anlamak her zaman faydalıdır. Bu durumda, çizimdeki hücre sayısını "gözle" sayıyoruz - yaklaşık 9 olacak, doğru gibi görünüyor. Diyelim ki 20 birim kare cevabını alırsak, bir yerde bir hata yapıldığı açıktır - 20 hücrenin söz konusu rakama, en fazla bir düzine sığmadığı açıktır. Cevap olumsuzsa, görev de yanlış çözülmüştür.

Örnek 3

Çizgilerle ve koordinat eksenleriyle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın.

Çözüm: Bir çizim yapalım:

Kavisli yamuk eksenin altında bulunuyorsa (veya en azından daha yüksek değil verilen eksen), o zaman alanı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

Bu durumda:

Dikkat! İki tür görev karıştırılmamalıdır:

1) Sizden herhangi bir geometrik anlamı olmayan belirli bir integrali çözmeniz istenirse bu negatif olabilir.

2) Belirli bir integral kullanarak bir şeklin alanını bulmanız istenirse alan her zaman pozitiftir! Bu nedenle az önce tartışılan formülde eksi görünüyor.

Uygulamada, çoğu zaman şekil hem üst hem de alt yarı düzlemde bulunur ve bu nedenle en basit okul problemlerinden daha anlamlı örneklere geçiyoruz.

Örnek 4

Çizgilerle sınırlanan bir düzlem şeklinin alanını bulun.

Çözüm: Öncelikle bir çizim yapmanız gerekiyor. Genel olarak konuşursak, alan problemlerinde çizim oluştururken en çok çizgilerin kesişme noktalarıyla ilgileniriz. Parabol ile düz çizginin kesişme noktalarını bulalım. Bu iki şekilde yapılabilir. İlk yöntem analitiktir. Denklemi çözüyoruz:

Bu, entegrasyonun alt sınırı, entegrasyonun üst sınırı olduğu anlamına gelir.

Mümkünse bu yöntemi kullanmamak daha iyidir.

Nokta nokta çizgi çizmek çok daha karlı ve hızlı oluyor ve entegrasyonun sınırları “kendiliğinden” ortaya çıkıyor. Bununla birlikte, örneğin grafik yeterince büyükse veya ayrıntılı yapı entegrasyon sınırlarını ortaya çıkarmıyorsa (kesirli veya irrasyonel olabilirler) bazen limit bulmanın analitik yönteminin kullanılması gerekir. Ve biz de böyle bir örneği ele alacağız.

Görevimize dönelim: Önce düz bir çizgi, sonra da bir parabol çizmek daha mantıklıdır. Çizimi yapalım:

Ve şimdi çalışma formülü: Bir segmentte bazı sürekli fonksiyonlar bazı sürekli fonksiyonlardan büyük veya ona eşitse, o zaman bu fonksiyonların grafikleri ve düz çizgilerle sınırlı olan şeklin alanı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

Burada artık şeklin nerede bulunduğunu - eksenin üstünde veya altında - düşünmenize gerek yok ve kabaca konuşursak, hangi grafiğin YÜKSEK (başka bir grafiğe göre) ve hangisinin ALTTA olduğu önemlidir.

Söz konusu örnekte, parabolün segment üzerinde düz çizginin üzerinde yer aldığı ve bu nedenle çıkarmanın gerekli olduğu açıktır.

Tamamlanan çözüm şöyle görünebilir:

İstenilen şekil üstte bir parabol ve altta düz bir çizgi ile sınırlıdır.
İlgili formüle göre segmentte:

Cevap:

Örnek 4

, , , çizgileriyle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın.

Çözüm: Öncelikle bir çizim yapalım:

Alanı bulmamız gereken şekil mavi renkle gölgelendirilmiştir (duruma dikkatlice bakın - şeklin ne kadar sınırlı olduğu!). Ancak pratikte, dikkatsizlik nedeniyle sıklıkla bir şeklin yeşil gölgeli alanını bulmanızı gerektiren bir "aksaklık" meydana gelir!

Bu örnek aynı zamanda bir şeklin alanını iki belirli integral kullanarak hesaplaması açısından da faydalıdır.

Gerçekten :

1) Eksenin üstündeki parçada düz bir çizgi grafiği vardır;

2) Eksenin üstündeki parçada bir hiperbol grafiği vardır.

Bu nedenle alanların eklenebileceği (ve eklenmesi gerektiği) oldukça açıktır, bu nedenle:

Bir web sitesine matematiksel formüller nasıl eklenir?

Bir web sayfasına bir veya iki matematik formülü eklemeniz gerekirse, bunu yapmanın en kolay yolu makalede anlatıldığı gibidir: matematiksel formüller, Wolfram Alpha tarafından otomatik olarak oluşturulan resimler biçiminde siteye kolayca eklenir. . Bu evrensel yöntem, basitliğin yanı sıra sitenin arama motorlarındaki görünürlüğünün artırılmasına da yardımcı olacaktır. Uzun zamandır çalışıyor (ve sanırım sonsuza kadar çalışacak), ancak ahlaki açıdan zaten modası geçmiş.

Sitenizde düzenli olarak matematik formülleri kullanıyorsanız, MathML, LaTeX veya ASCIIMathML işaretlemesini kullanarak web tarayıcılarında matematiksel gösterimleri görüntüleyen özel bir JavaScript kitaplığı olan MathJax'i kullanmanızı öneririm.

MathJax'i kullanmaya başlamanın iki yolu vardır: (1) basit bir kod kullanarak, uzak bir sunucudan doğru zamanda (sunucu listesi) otomatik olarak yüklenecek bir MathJax komut dosyasını web sitenize hızlı bir şekilde bağlayabilirsiniz; (2) MathJax betiğini uzak bir sunucudan sunucunuza indirin ve sitenizin tüm sayfalarına bağlayın. Daha karmaşık ve zaman alıcı olan ikinci yöntem, sitenizin sayfalarının yüklenmesini hızlandıracaktır ve eğer ana MathJax sunucusu herhangi bir nedenle geçici olarak kullanılamaz hale gelirse, bu durum kendi sitenizi hiçbir şekilde etkilemeyecektir. Bu avantajlarına rağmen daha basit, hızlı olması ve teknik beceri gerektirmemesi nedeniyle ilk yöntemi tercih ettim. Örneğimi takip edin ve sadece 5 dakika içinde MathJax'in tüm özelliklerini sitenizde kullanabileceksiniz.

MathJax kütüphane komut dosyasını, ana MathJax web sitesinden veya dokümantasyon sayfasından alınan iki kod seçeneğini kullanarak uzak bir sunucudan bağlayabilirsiniz:

Bu kod seçeneklerinden birinin kopyalanıp web sayfanızın koduna, tercihen etiketlerin arasına ve/veya etiketin hemen sonrasına yapıştırılması gerekir. İlk seçeneğe göre MathJax daha hızlı yükleniyor ve sayfayı daha az yavaşlatıyor. Ancak ikinci seçenek MathJax'in en son sürümlerini otomatik olarak izler ve yükler. İlk kodu eklerseniz periyodik olarak güncellenmesi gerekecektir. İkinci kodu girerseniz sayfalar daha yavaş yüklenir ancak sürekli MathJax güncellemelerini takip etmenize gerek kalmaz.

MathJax'e bağlanmanın en kolay yolu Blogger veya WordPress'tir: site kontrol paneline, üçüncü taraf JavaScript kodunu eklemek için tasarlanmış bir widget ekleyin, yukarıda sunulan indirme kodunun birinci veya ikinci sürümünü buraya kopyalayın ve widget'ı daha yakına yerleştirin şablonun başına (bu arada, MathJax betiği eşzamansız olarak yüklendiğinden bu hiç de gerekli değil). Hepsi bu. Artık MathML, LaTeX ve ASCIIMathML'in işaretleme sözdizimini öğrenin ve sitenizin web sayfalarına matematiksel formüller eklemeye hazırsınız.

Herhangi bir fraktal, sürekli olarak sınırsız sayıda uygulanan belirli bir kurala göre oluşturulur. Bu tür zamanların her birine yineleme adı verilir.

Bir Menger süngeri oluşturmanın yinelemeli algoritması oldukça basittir: Kenarı 1 olan orijinal küp, yüzlerine paralel düzlemlerle 27 eşit küpe bölünür. Bir merkezi küp ve yüzleri boyunca ona bitişik 6 küp ondan çıkarılır. Sonuç, kalan 20 küçük küpten oluşan bir settir. Bu küplerin her biriyle aynı işlemi yaparak 400 küçük küpten oluşan bir set elde ediyoruz. Bu işlemi sonsuza kadar sürdürerek Menger süngeri elde ediyoruz.