İntegral kavramı yaşamda yaygın olarak uygulanabilir. İntegraller bilim ve teknolojinin çeşitli alanlarında kullanılmaktadır. İntegraller kullanılarak hesaplanan ana problemler aşağıdaki problemlerdir:
1. Bir cismin hacmini bulma
2. Vücudun kütle merkezini bulmak.
Her birine daha ayrıntılı olarak bakalım. Burada ve aşağıda, a'dan b'ye integral limitleriyle birlikte bir f(x) fonksiyonunun belirli integralini belirtmek için aşağıdaki gösterimi kullanacağız. ∫ a b f(x).
Bir cismin hacmini bulma
Aşağıdaki şekli düşünün. Diyelim ki hacmi V'ye eşit olan bir cisim var. Ayrıca öyle bir doğru var ki, bu doğruya dik bir düzlem alırsak, bu cismin bu düzleme göre kesit alanı S bilinmeyecektir.
Bu tür düzlemlerin her biri Ox eksenine dik olacak ve bu nedenle onu bir x noktasında kesecektir. Yani, segmentteki her x noktasına bir S(x) numarası atanacaktır - vücudun kesit alanı, bu noktadan geçen düzlem.
Parça üzerinde bazı S(x) fonksiyonlarının belirtileceği ortaya çıktı. Bu fonksiyon bu segment üzerinde sürekli ise aşağıdaki formül geçerli olacaktır:
V = ∫ a b S(x)dx.
Bu ifadenin kanıtı okul müfredatının ötesine geçiyor.
Vücudun kütle merkezinin hesaplanması
Kütle merkezi en çok fizikte kullanılır. Mesela belli bir hızla hareket eden bir cisim var. Ancak büyük bir cismi düşünmek sakıncalıdır ve bu nedenle fizikte bu cisim, bu noktanın tüm cisimle aynı kütleye sahip olduğu varsayımıyla bir noktanın hareketi olarak kabul edilir.
Ve vücudun kütle merkezini hesaplama görevi bu konuda asıl görevdir. Çünkü vücut büyük ve kütle merkezi olarak tam olarak hangi nokta alınmalı? Belki vücudun ortasındaki? Ya da belki ön kenara en yakın nokta? Entegrasyonun kurtarmaya geldiği yer burasıdır.
Kütle merkezini bulmak için aşağıdaki iki kural kullanılır:
1. Sırasıyla m1, m2, m3, … mn kütleli A1, A2, A3, … An malzeme noktalarından oluşan ve x1, x2 koordinatlarına sahip noktalarda düz bir çizgi üzerinde yer alan belirli bir sistemin kütle merkezinin x' koordinatı , x3, … xn aşağıdaki formülle bulunur:
x’ = (m1*x1 + ma*x2 + … + mn*xn)/(m1 + m2 + m3 +… + mn)
2. Kütle merkezinin koordinatlarını hesaplarken, söz konusu şeklin herhangi bir kısmını maddi bir nokta ile değiştirebilir, onu şeklin bu ayrı kısmının kütle merkezine yerleştirebilir ve kütleyi kütleye eşit alabilirsiniz. şeklin bu kısmında.
Örneğin, p(x) yoğunluğuna sahip bir kütle, p(x)'in sürekli bir fonksiyon olduğu Ox ekseninin bir parçası olan bir çubuk boyunca dağıtılmışsa, o zaman x' kütle merkezinin koordinatı eşit olacaktır.
Sistemin hareketi, etki eden kuvvetlerin yanı sıra toplam kütlesine ve kütle dağılımına da bağlıdır. Sistem ağırlığı sistemi oluşturan tüm noktaların veya cisimlerin kütlelerinin aritmetik toplamına eşittir
Düzgün bir yerçekimi alanında, vücudun herhangi bir parçacığının ağırlığı, kütlesiyle orantılı olacaktır. Bu nedenle, bir cisimdeki kütlelerin dağılımı, ağırlık merkezinin konumuna göre değerlendirilebilir. Ağırlık merkezinin koordinatlarını belirleyen formülleri dönüştürelim:
, 
, 
. (1)
Ortaya çıkan eşitlikler yalnızca cismi oluşturan maddi noktaların (parçacıkların) kütlelerini ve bu noktaların koordinatlarını içerir. Bu nedenle noktanın konumu C(x C, sen C, z C) bir cisimdeki veya herhangi bir mekanik sistemdeki kütlelerin dağılımını gerçekten karakterize eder, eğer ile sırasıyla bu sistemin noktalarının kütlelerini ve koordinatlarını kastediyorsak.
Geometrik nokta İLE koordinatları belirtilen formüllerle belirlenen, kütle merkezi denir veya sistemin eylemsizlik merkezi.
Kütle merkezinin konumu yarıçap vektörü tarafından belirlenir
Nerede - Sistemi oluşturan noktaların yarıçap vektörleri.
Kütle merkezinin konumu, düzgün bir çekim alanı içinde yer alan bir cismin ağırlık merkezinin konumuyla örtüşse de bu kavramlar aynı değildir. Yerçekiminin bileşke kuvvetlerinin hareket çizgisinin geçtiği nokta olarak ağırlık merkezi kavramı, esasen yalnızca düzgün bir yerçekimi alanında yer alan katı bir cisim için anlamlıdır. Kütle merkezi kavramı, bir sistemdeki kütlelerin dağılımının bir özelliği olarak, herhangi bir maddi nokta veya cisim sistemi için anlam taşır ve bu kavram, bu sistemin herhangi bir kuvvet veya kuvvetin etkisi altında olup olmadığına bakılmaksızın anlamını korur. Olumsuz.
Bir cismin bir eksene göre eylemsizlik momenti. Atalet yarıçapı.
Kütle merkezinin konumu sistemin kütle dağılımını tam olarak karakterize etmez. Örneğin (Şek. 32 ), mesafeler ise H eksenden Ozözdeş topların her biri A Ve İÇİNDE aynı miktarda artarsa sistemin kütle merkezinin konumu değişmeyecek, ancak kütlelerin dağılımı farklılaşacak ve bu da sistemin hareketini (eksen etrafında dönüş) etkileyecektir. Oz ceteris paribus daha yavaş meydana gelecektir).
Şekil 32
Bu nedenle mekanikte kütle dağılımının başka bir özelliği ortaya çıkar - atalet momenti. Bir cismin (sistemin) belirli bir Oz eksenine (veya eksenel atalet momentine) göre atalet momenti, vücudun (sistemin) tüm noktalarının kütlelerinin çarpımlarının kareleri ile toplamına eşit bir skaler miktardır. bu eksene olan uzaklıkları
Tanımdan, bir cismin (veya sistemin) herhangi bir eksene göre atalet momentinin pozitif bir miktar olduğu ve sıfıra eşit olmadığı anlaşılmaktadır.
Ayrıca bir cismin eylemsizlik momentinin, cismin hareketine bağlı olmayan geometrik bir özelliği olduğuna dikkat edin.
Eksenel atalet momenti, bir cismin dönme hareketi sırasında kütlenin öteleme hareketi sırasında yaptığı rolün aynısını oynar; Ne eksenel atalet momenti, dönme hareketi sırasında bir cismin ataletinin bir ölçüsüdür.
Formüle göre bir cismin eylemsizlik momenti, tüm parçalarının aynı eksene göre eylemsizlik momentlerinin toplamına eşittir. Uzakta bulunan bir maddi nokta için H eksenden, .
Hesaplamalar sırasında genellikle dönme yarıçapı kavramı kullanılır. Atalet yarıçapı eksene göre vücut Oz eşitlikle tanımlanan doğrusal bir miktar denir
Nerede M- vücut ağırlığı. Tanımdan, dönme yarıçapının geometrik olarak eksenden olan mesafeye eşit olduğu anlaşılmaktadır. Oz Bu noktanın atalet momentinin tüm cismin atalet momentine eşit olması için tüm cismin kütlesinin yoğunlaştığı nokta.
Katı bir cisim durumunda, onu temel parçalara ayırdığımızda, limitte eşitlikteki toplamın olduğunu buluruz. , integrale dönüşür. Sonuç olarak yoğunluğun nerede olduğu ve V- hacim, elde ederiz
Buradaki integral tüm hacmi kapsıyor V cisimler, yoğunluk ve mesafe H vücut noktalarının koordinatlarına bağlıdır.
Bazı homojen cisimlerin eylemsizlik momentleri:
1.İnce düzgün uzunlukta çubuk ben ve kitleler M. Eksene göre eylemsizlik momentini hesaplayalım Az,çubuğa dik ve ucundan geçen A(Şek. 33).
Şekil 33
Haydi yönlendirelim AB koordinat ekseni Ah. Daha sonra herhangi bir temel uzunluktaki bölüm için dx büyüklük h=x, ve kitle , Nerede - Çubuğun birim uzunluğu başına kütle. Sonuç olarak
Bunu buradaki değeriyle değiştirirsek sonunda şunu buluruz:
2. İnce yuvarlak düzgün yarıçaplı halka R ve kitleler M. Eksene göre eylemsizlik momentini bulalım Cz, halkanın düzlemine dik ve merkezinden geçen (Şekil 34, A). Halkanın tüm noktaları eksenden olduğundan Cz uzakta h k =R, O
Bu nedenle yüzük için
Açıkçası, aynı sonuç ince silindirik bir kütle kabuğunun eylemsizlik momenti için de elde edilecektir. M ve yarıçap R eksenine göre.
3. Yuvarlak düzgün plaka veya yarıçaplı silindir R ve kitleler M. Yuvarlak bir plakanın eksene göre eylemsizlik momentini hesaplayalım. Cz, plakaya dik ve merkezinden geçen (bkz. Şekil 34, A). Bunu yapmak için temel bir yarıçap halkası seçiyoruz R ve genişlik doktor(Şekil 34, B).
Bu bölümde, aslında paralel kuvvetlerden oluşan bir sistemin özel bir durumunu ayrıntılı olarak ele alacağız. Yani, Dünya üzerinde bulunan herhangi bir maddi cisim veya maddi nokta sistemi (ayrı parçacıklar) yerçekimi etkisine tabidir. Dolayısıyla bu tür mekanik sistemlerin her parçacığı kendi yerçekimi kuvvetinden etkilenir. Açıkça söylemek gerekirse, tüm bu kuvvetler Dünya'nın merkezine doğru tek bir noktaya yönlendirilir. Ancak dünyevi cisimlerin boyutları, Dünya'nın yarıçapına kıyasla çok küçük olduğundan (ayrı parçacıkların bulunduğu hacimlerin de küçük olduğunu varsayıyoruz), o zaman yüksek derecede doğrulukla bu kuvvetlerin paralel olduğu düşünülebilir. Paragraf bu kuvvetler sistemini hesaba katmaya ayrılmıştır.
Özgül ağırlık
Hacmi çok küçük olan ve konumu bir yarıçap vektörüyle belirlenebilen bir temel parçacık seçelim. Bu parçacığın ağırlığı Nicelik olsun.
özgül ağırlık denir ve miktar
Vücut yoğunluğu.
SI birim sisteminde özgül ağırlık şu boyuta sahiptir:
ve yoğunluk
Genel olarak özgül ağırlık ve yoğunluk vücut noktalarının koordinatlarının fonksiyonlarıdır. Tüm noktalar için aynı ise, o zaman vücuda homojen denir.
Tüm temel yerçekimi kuvvetlerinin sonucu, bunların toplamına eşittir ve vücudun ağırlığını temsil eder. Bu paralel kuvvetlerin merkezine cismin ağırlık merkezi denir.
Açıkçası, bir cisimdeki ağırlık merkezinin konumu, cismin uzaydaki yönelimine bağlı değildir. Bu ifade, tüm kuvvetler uygulama noktaları etrafında aynı açıyla döndüğünde paralel kuvvetlerin merkezinin konumunu değiştirmediği yönündeki daha önceki açıklamanın sonucudur.
Bir cismin ağırlık merkezlerini ve ayrı parçacıklardan oluşan bir sistemi belirleyen formüller
Bir cismin ağırlık merkezini belirlemek için onu hacmi 0,000 olan oldukça küçük parçacıklara böleriz. Her birine eşit bir yerçekimi kuvveti uyguluyoruz.
Bu paralel kuvvetlerin sonucu cismin ağırlığına eşittir.
Cismin ağırlık merkezinin ile gösterdiğimiz yarıçap vektörü, paralel kuvvetlerin merkezi olarak önceki paragrafın formülleri ile belirlenir. Böylece sahip olacağız
Ayrı parçacıklardan oluşan bir sistemin ağırlık merkezi belirlenirse, parçacığın özgül ağırlığı V, hacmi olacaktır - parçacığın konumunu belirleyen yarıçap vektörü. Bu durumda son formül, ayrı parçacıklardan oluşan bir sistemin kütle merkezini belirler.
Mekanik sistem, parçacıkların sürekli toplanmasından oluşan bir gövde ise, son formüllerin toplamının limitinde integrallere dönüşürler ve gövdenin ağırlık merkezinin yarıçap vektörü, aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:
burada integraller vücudun tüm hacmi boyunca uzanır.
Vücut homojen ise, son formül şu şekildedir:
burada V tüm vücudun hacmidir.
Böylece cisim homojen olduğunda ağırlık merkezinin belirlenmesi tamamen geometrik bir soruna indirgenir. Bu durumda hacmin ağırlık merkezinden bahsediyoruz.
Vücudun kütle merkezi
Ortaya konulan ağırlık merkezi kavramı, yalnızca Dünya yüzeyine yakın bulunan cisimler (Dünya'nın boyutuna göre küçük) için anlamlıdır. Aynı zamanda, ağırlık merkezinin koordinatlarını hesaplama yöntemi, maddenin vücuttaki dağılımını karakterize eden bir noktanın koordinatlarını hesaplamak için kullanılmasına olanak tanır. Bunu yapmak için parçacıkların ağırlığını değil, kütlesini dikkate almalıyız. Bir cismin hacmi olan her parçacığı bir kütleye sahiptir
ve daha önce elde edilen formülü şununla değiştirerek eşitliğe ulaşıyoruz:
vücudun kütle merkezi veya eylemsizlik merkezi adı verilen bir noktayı tanımlar.
Sistem, kütleleri maddi noktalardan oluşuyorsa sistemin kütle merkezi aşağıdaki formülle bulunur:
tüm sistemin kütlesi nerede. Vücudun kütle merkezinin yarıçap vektörü, O koordinatlarının kökeninin seçimine bağlıdır. Atalet merkezinin kendisi koordinatların kökeni olarak seçilirse, sıfıra eşit olacaktır:
Kütle merkezi kavramı, ağırlık merkezi kavramından bağımsız olarak tanıtılabilir. Bu sayede her türlü mekanik sistem için geçerlidir.
Statik anlar
İfadelere sırasıyla, O noktasına göre cismin ağırlığının, hacminin ve kütlesinin statik momentleri denir. Nokta (koordinatların orijini) olarak cismin kütle merkezi seçilirse, cismin statik momentleri kütle merkezine göre sıfıra eşit olacak ve bu gelecekte tekrar tekrar kullanılacaktır.
Kütle merkezini hesaplama yöntemleri
Karmaşık şekilli bir cisim durumunda, yukarıda verilen genel formülleri kullanarak kütle merkezinin koordinatlarını belirlemek genellikle özenli hesaplamalar gerektirir. Bazı durumlarda, aşağıdaki yöntemleri kullanırsanız önemli ölçüde basitleştirilebilirler.
1) Simetri yöntemi. Vücudun bir malzeme simetrisi merkezi olsun. Bu, bu merkezden çizilen kütle ve yarıçap vektörüne sahip her parçacığın, aynı kütle ve yarıçap vektörüne sahip bir parçacığa karşılık geldiği anlamına gelir. Bu durumda cisim kütlesinin statik momenti ortadan kalkacak ve
Sonuç olarak, bu durumda kütle merkezi, cismin maddi simetri merkezi ile çakışacaktır. Homojen cisimler için bu, kütle merkezinin cisim hacminin geometrik merkeziyle çakıştığı anlamına gelir. Bir cismin maddi bir simetri düzlemi varsa, kütle merkezi bu düzlemdedir. Eğer vücut bir eksene göre simetrik ise kütle merkezi bu eksen üzerindedir.
2) Parçalara ayırma yöntemi. Eğer bir cisim, kütleleri ve kütle merkezlerinin konumları bilinen sonlu sayıda parçaya bölünebiliyorsa, o zaman tüm cismin kütle merkezini şu şekilde bulacağız: Bu parçaların kütlelerinin eşit olduğunu hayal edin. Kütle merkezlerinde yoğunlaşan cisim, sınırlı sayıda maddi noktaya indirgenir. Bir malzeme noktaları sisteminin kütle merkezi, verilen formüller kullanılarak basitçe hesaplanır.
3) Negatif kütle yöntemi. Homojen kütleli bir cismin delikleri olsun ve kütle merkezi yarıçap vektörü tarafından belirlensin. Eğer cisimlerin bu delikleri cismi oluşturan madde ile doluysa, belirli kütlelere ve kütle merkezlerine sahip olacaklardır. Bu içi dolu deliklerin kütleleri eşit olacak ve yarıçapları kütle merkezlerinin vektörleri olacak. Daha sonra içi dolu deliklerle birlikte cismin kütle merkezi yarıçap vektörüyle belirlenecek.
M, boşlukları dolu olan cismin kütlesidir. Buradan
Ama bu nedenle
Ortaya çıkan formül, delikli bir cismin kütle merkezini belirlemek için aşağıdaki yöntemi gösterir. Delikleri bedeni oluşturan maddeyle zihinsel olarak doldurun. Daha sonra bu şekilde elde edilen cismin kütlesini ve kütle merkezini, ayrıca boşlukları dolduran maddenin kütlelerini ve kütle merkezlerini bulurlar ve bu kütlelere eksi işareti atarlar. Bundan sonra söz konusu cismin kütle merkezi bölümleme yöntemi kullanılarak hesaplanabilir.
Her mekanik sistem, tıpkı herhangi bir cisim gibi, kütle merkezi gibi dikkat çekici bir noktaya sahiptir. Bir kişi, bir araba, Dünya, Evren, yani herhangi bir nesne buna sahiptir. Çoğu zaman bu nokta ağırlık merkeziyle karıştırılır. Çoğu zaman birbirleriyle örtüşseler de bazı farklılıkları vardır. Mekanik bir sistemin kütle merkezinin, ağırlık merkezine göre daha geniş bir kavram olduğunu söyleyebiliriz. Nedir ve sistemdeki veya ayrı bir nesnedeki konumu nasıl bulunur? Makalemizde tam olarak tartışılacak olan şey budur.
Tanım kavramı ve formülü
Kütle merkezi, belirli bir nesnenin öteleme hareketine neden olan dış kuvvetlerin hareket ettiği paralel düz çizgilerin belirli bir kesişme noktasıdır. Bu ifade hem bireysel bir vücut hem de birbirleriyle belirli bir bağlantısı olan bir grup unsur için geçerlidir. Kütle merkezi her zaman ağırlık merkeziyle çakışır ve incelenen sistemdeki tüm kütlelerin dağılımının en önemli geometrik özelliklerinden biridir. Sistemin her noktasının kütlesini m i ile gösterelim (i = 1,…,n). Bunlardan herhangi birinin konumu üç koordinatla tanımlanabilir: x i, y i, z i. O zaman cismin (tüm sistemin) kütlesinin parçacıklarının kütlelerinin toplamına eşit olacağı açıktır: M=∑m i. Kütle merkezinin (O) kendisi de aşağıdaki ilişkilerle belirlenebilir:
X o = ∑m i *x ben /M;
Y o = ∑m i *y i /M;
Z ö = ∑m i *z ben /M.
Bu nokta neden ilginç? Başlıca avantajlarından biri, bir nesnenin hareketini bir bütün olarak karakterize etmesidir. Bu özellik, gövdenin büyük boyutlara sahip olduğu veya düzensiz geometrik şekle sahip olduğu durumlarda kütle merkezinin kullanılmasına olanak sağlar.
Bu noktayı bulmak için bilmeniz gerekenler
Pratik Uygulama
Söz konusu kavram, mekaniğin çeşitli alanlarında yaygın olarak kullanılmaktadır. Tipik olarak kütle merkezi ağırlık merkezi olarak kullanılır. İkincisi, bir nesneyi asan, konumunun değişmezliğini gözlemlemenin mümkün olacağı bir noktayı temsil eder. Bir sistemin kütle merkezi genellikle makine mühendisliğinde çeşitli parçalar tasarlanırken hesaplanır. Aynı zamanda örneğin mobilya, araç, inşaat, depolama vb. gibi alternatif versiyonlar oluştururken uygulanabilecek dengenin sağlanmasında da büyük bir rol oynar. Ağırlık merkezinin belirlendiği temel prensipler hakkında bilgi sahibi olmadan, Büyük yükler ve büyük nesnelerle çalışma güvenliğini organize etmek zor olabilir. Makalemizin faydalı olduğunu ve bu konuyla ilgili tüm soruları yanıtladığını umuyoruz.
Tanım
Parçacıklardan oluşan bir sistemi ele alırken, bir bütün olarak ele alınan sistemin konumunu ve hareketini karakterize eden bir nokta bulmak genellikle uygundur. Böyle bir nokta kütle merkezi.
Aynı kütleye sahip iki parçacığımız varsa, o zaman böyle bir nokta aralarında ortada bulunur.
Kütle koordinatlarının merkezi
$m_1$ ve $m_2$ kütleli iki malzeme noktasının apsis ekseninde bulunduğunu ve $x_1$ ve $x_2$ koordinatlarına sahip olduğunu varsayalım. Bu parçacıklar arasındaki mesafe ($\Delta x$) şuna eşittir:
\[\Delta x=x_2-x_1\left(1\right).\]
Tanım
Bu parçacıklar arasındaki mesafeyi parçacıkların kütleleriyle ters orantılı olarak parçalara ayıran C noktasına (Şekil 1) denir. kütle merkezi bu parçacık sistemi.
Şekil 1'deki tanıma uygun olarak elimizde:
\[\frac(l_1)(l_2)=\frac(m_2)(m_1)\left(2\right).\]
burada $x_c$ kütle merkezinin koordinatıdır, şunu elde ederiz:
Formül (4)'ten şunu elde ederiz:
İfade (5), keyfi bir şekilde konumlandırılan bir dizi maddi nokta için kolaylıkla genelleştirilebilir. Bu durumda kütle merkezinin apsisi şuna eşittir:
Kütle merkezinin ordinatı ($y_c$) ve uygulamaları ($z_c$) için ifadeler benzer şekilde elde edilir:
\ \
Formüller (6-8), vücudun ağırlık merkezini belirleyen ifadelerle örtüşmektedir. Eğer cismin boyutları Dünya merkezine olan uzaklığa göre küçükse, ağırlık merkezinin cismin kütle merkezi ile çakıştığı kabul edilir. Çoğu problemde ağırlık merkezi vücudun kütle merkeziyle çakışır.
Sistemin N malzeme noktasının konumu vektör biçiminde verilirse, yarıçap, şu şekilde bulduğumuz kütle merkezinin konumunu belirleyen bir vektördür:
\[(\overline(r))_c=\frac(\sum\limits^N_(i=1)(m_i(\overline(r))_i))(\sum\limits^N_(i=1)( m_i))\left(9\right).\]
Kütle merkezinin hareketi
Kütle merkezinin hızına ilişkin ifade ($(\overline(v))_c=\frac(d(\overline(r))_c)(dt)$) şu şekildedir:
\[(\overline(v))_c=\frac(m_1(\overline(v))_1+m_2(\overline(v))_2+\dots +m_n(\overline(v))_n)(m_1+m_2+ \dots +m_n)=\frac(\overline(P))(M)\left(10\right),\]
burada $\overline(P)$ parçacık sisteminin toplam momentumudur; Sistemin $M$ kütlesi. İfade (10) ışık hızından önemli ölçüde düşük hızlardaki hareketler için geçerlidir.
Parçacıklardan oluşan bir sistem kapalıysa, parçalarının momentumlarının toplamı değişmez. Sonuç olarak kütle merkezinin hızı sabittir. Kapalı bir sistemin kütle merkezinin ataletle yani doğrusal ve düzgün bir şekilde hareket ettiğini ve bu hareketin sistemi oluşturan parçaların hareketinden bağımsız olduğunu söylüyorlar. Kapalı bir sistemde iç kuvvetler etki edebilir ve bunların etkileri sonucunda sistemin bazı kısımları ivmelenebilir. Ancak bu, kütle merkezinin hareketini etkilemez. İç kuvvetlerin etkisi altında kütle merkezinin hızı değişmez.
Çözümlü problem örnekleri
Örnek 1
Egzersiz yapmak. Kenarı $b\ (m)$'a eşit olan eşkenar üçgenin köşelerinde ve merkezinde bulunan üç top sisteminin kütle merkezinin koordinatlarını yazın (Şekil 2).
Çözüm. Sorunu çözmek için kütle merkezinin koordinatlarını belirleyen ifadeleri kullanıyoruz:
\ \
Şekil 2'den noktaların apsislerinin şöyle olduğunu görüyoruz:
\[\left\( \begin(array)(c) m_1=2m,\ \ x_1=0;;\ \ \\ (\rm \ )m_2=3m,\ \ \ \ x_2=\frac(b)( 2);; \\ m_3=m,\ \ x_3=\frac(b)(2); \\ m_4=4m,\ \ x_4=b.
O halde kütle merkezinin apsisi şöyledir:
Noktaların koordinatlarını bulalım.
\[ \begin(array)(c) m_1=2m,\ \ y_1=0;;\ \ \\ (\rm \ )m_2=3m,\ \ \ \ y_2=\frac(b\sqrt(3)) (2);; \\ m_3=m,\ \ y_3=\frac(b\sqrt(3))(6);; \\ m_4=4m,\ \ y_4=0. \end(array) \left(2,4\right).\]
$y_2$ koordinatını bulmak için eşkenar üçgenin yüksekliğinin ne olduğunu hesaplayalım:
Eşkenar üçgendeki kenarortayların tepe noktasından 2:1 oranında kesişme noktasına bölündüğünü hatırlayarak $y_3$ ordinatını buluruz ve şunu elde ederiz:
Kütle merkezinin koordinatını hesaplayalım:
Cevap.$x_c=0.6b\ (\rm \ )(\rm m)$; $y_c=\frac(b\sqrt(3)\ )(6)$ m
Örnek 2
Egzersiz yapmak. Kütle merkezinin hareket yasasını yazınız.
Çözüm. Bir parçacık sisteminin momentumundaki değişim yasası, kütle merkezinin hareket yasasıdır. Formülden:
\[(\overline(v))_c=\frac(\overline(P))(M)\to \overline(P)=M(\overline(v))_c\left(2.1\right)\]
$M$ sabit kütlesinde, (2.1) ifadesinin her iki tarafının türevini alarak şunu elde ederiz:
\[\frac(d\overline(P))(dt)=M\frac(d(\overline(v))_c)(dt)\left(2.2\right).\]
İfade (2.2), sistemin momentum değişim hızının sistemin kütlesi ile kütle merkezinin ivmesinin çarpımına eşit olduğu anlamına gelir. Çünkü
\[\frac(d\overline(P))(dt)=\sum\limits^N_(i=1)((\overline(F))_i\left(2,3\right),)\]
İfade (2.4)'e uygun olarak, sistemin kütle merkezinin, M'ye etki eden tüm dış kuvvetlerin toplamına eşit bir kuvvet etki ettiği takdirde kütle merkezinin hareket edeceği şekilde hareket ettiğini elde ederiz. Söz konusu sisteme dahil olan parçacıklar. Eğer $\sum\limits^N_(i=1)((\overline(F))_i=0,)$ ise kütle merkezi düzgün ve doğrusal olarak hareket eder.
