Ox ekseni, y=f(x) eğrisi ve iki düz çizgiyle (x=a ve x=b) sınırlanan kavisli bir yamuk düşünelim (Şekil 85). X'in keyfi bir değerini alalım (sadece a değil, b değil). Buna bir h = dx artışı verelim ve AB ve CD düz çizgileri, Ox ekseni ve söz konusu eğriye ait BD yayı ile sınırlanmış bir şerit düşünelim. Bu şeride temel şerit adını vereceğiz. Temel bir şeridin alanı, ACQB dikdörtgen alanından BQD eğrisel üçgenine ve ikincisinin alanına göre farklılık gösterir. daha az alan kenarları BQ = =h=dx) QD=Ay ve alanı hAy = Ay dx'e eşit olan BQDM dikdörtgeni. h tarafı azaldıkça Du tarafı da azalır ve h ile eş zamanlı olarak sıfıra doğru yönelir. Bu nedenle BQDM'nin alanı ikinci dereceden sonsuz küçüktür. Temel bir şeridin alanı, alanın artmasıdır ve AB-AC ==/(x) dx>'e eşit olan ACQB dikdörtgeninin alanı, alanın diferansiyelidir. Bu nedenle, hadi alanı bulalım diferansiyelini entegre ederek. Söz konusu şekilde, bağımsız değişken l: a'dan b'ye değişir, dolayısıyla gerekli alan 5, 5= \f(x) dx'e eşit olacaktır. (I) Örnek 1. y - 1 -x* parabolünün, X =--Fj-, x = 1 düz çizgilerinin ve O* ekseninin sınırladığı alanı hesaplayalım (Şekil 86). Şek. 87. Şek. 86. 1 Burada f(x) = 1 - l?, integralin sınırları a = - ve £ = 1'dir, dolayısıyla J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Örnek 2. Sinüsoid y = sinXy, Ox ekseni ve düz çizgi ile sınırlanan alanı hesaplayalım (Şekil 87). Formül (I)'i uygulayarak A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf elde ederiz. Örnek 3. Sinüsoidin yayı ile sınırlı alanı hesaplayın ^у = sin jc, ekte Ox ekseni ile iki bitişik kesişme noktası arasında (örneğin, orijin ile apsis i'nin bulunduğu nokta arasında). Geometrik değerlendirmelerden bu alanın iki katı olacağı açıktır. daha fazla alanönceki örnek. Ancak hesaplamaları yapalım: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o Gerçekten de varsayımımızın doğru olduğu ortaya çıktı. Örnek 4. Bir periyotta sinüzoidin ve Ox ekseninin sınırladığı alanı hesaplayın (Şekil 88). Ön hesaplamalar, alanın Örnek 2'dekinden dört kat daha büyük olacağını göstermektedir. Ancak hesaplamaları yaptıktan sonra şunu elde ederiz: “i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l - (-cos 0) = - 1 + 1 = 0. Bu sonuç açıklama gerektirir. Konunun özünü açıklığa kavuşturmak için, aynı sinüzoid y = sin l: ve Ox ekseni tarafından l ila 2i aralığında sınırlanan alanı da hesaplıyoruz. Formül (I)'i uygulayarak, 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2 elde ederiz. Böylece bu alanın negatife döndüğünü görüyoruz. Alıştırma 3'te hesaplanan alanla karşılaştırdığımızda, bunların mutlak değerler aynı ama işaretleri farklı. V özelliğini uygularsak (bkz. Bölüm XI, § 4), 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0Bu örnekte yaşananlar bir kaza değildir. İntegraller kullanılarak hesaplandığında, bağımsız değişkenin soldan sağa değişmesi koşuluyla her zaman Ox ekseninin altında bulunan alan elde edilir. Bu derste her zaman işaretlerin bulunmadığı alanları ele alacağız. Bu nedenle, az önce tartışılan örnekteki cevap şöyle olacaktır: gerekli alan 2 + |-2| = 4. Örnek 5. Şekil 2'de gösterilen BAB'nin alanını hesaplayalım. 89. Bu alan Ox ekseni, y = - xr parabolü ve y - = -x+\ düz çizgisiyle sınırlıdır. Kare kavisli yamuk OAB'nin gerekli alanı iki bölümden oluşur: OAM ve MAV. A noktası bir parabol ile düz bir çizginin kesişme noktası olduğundan, koordinatlarını 3 2 Y = mx denklem sistemini çözerek bulacağız. (Sadece A noktasının apsisini bulmamız gerekiyor). Sistemi çözerek l'yi buluyoruz; = ~. Bu nedenle alanın ilk kare olarak parçalar halinde hesaplanması gerekir. OAM ve ardından pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x metrekare birimler 2 = 2 metrekare birimler
Örnek 5. Şeklin alanını hesaplayın, çizgilerle sınırlı:y 2 = x, yx = 1, x = 4
Burada parabolün üst dalıyla sınırlanan eğrisel bir yamuğun alanını hesaplamanız gerekiyor 2 = x, Ox ekseni ve düz çizgiler x = 1 и x = 4 (şekle bakın)
Formül (1)'e göre, f(x) = a = 1 ve b = 4 olduğunda, = (= metrekare birimlerimiz vardır.
Örnek 6 . Çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .
Gerekli alan sinüzoidin yarım dalgası ve Ox ekseni ile sınırlıdır (şekle bakın).
Elimizde - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 metrekare var. birimler
Örnek 7. Çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın: y = - 6x, y = 0 ve x = 4.
Şekil Öküz ekseninin altında yer almaktadır (şekle bakınız).
Bu nedenle alanını formül (3) kullanarak buluyoruz.
= =
Örnek 8. Şeklin çizgileriyle sınırlanan alanını hesaplayın: y = ve x = 2. Noktalardan y = eğrisini oluşturun (şekle bakın). Böylece formülü (4) kullanarak şeklin alanını buluyoruz.
Örnek 9 .
X 2 + e 2 = r 2 .
Burada x çemberinin çevrelediği alanı hesaplamanız gerekir. 2 + e 2 = r 2 , yani merkezi orijinde olan r yarıçaplı bir dairenin alanı. İntegral limitlerini 0'dan alarak bu alanın dördüncü kısmını bulalım.
önce; sahibiz: 1 = = [
Buradan, 1 =
Örnek 10. Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın: y= x 2 ve y = 2x
Bu rakam y = x parabolü ile sınırlıdır 2 ve düz çizgi y = 2x (şekle bakın) Kesişme noktalarını belirlemek için Verilen çizgiler Denklem sistemini çöz:x 2 – 2x = 0 x = 0 ve x = 2
Alanı bulmak için formül (5)'i kullanarak şunu elde ederiz:
= }
