Aramak

Edebiyat
Doğa
Çocuklar için
Fizik
Dünya
Mevsimler

Matematikte seçmeli ders "mutlak değer". Mutlak değer işareti içeren eğitim portalı denklemleri

Ev Sanatçıların tabloları

Günümüzde lise derslerinin final sınavlarında ve çeşitli eğitim kurumlarına giriş sınavlarında, çözümleri öğrenciler için çoğu zaman zorluk yaratan modül ve parametreli denklemler sunulmaktadır. Birleştirici özelliği yalnızca mutlak değer işaretinin varlığı olan çeşitli denklem türlerinin çözümünü ele alalım.

İndirmek:


Ön izleme:

Modülün işaretini içeren denklemlerin çözümü (mutlak değer)

Günümüzde lise derslerinin final sınavlarında ve çeşitli eğitim kurumlarına giriş sınavlarında, çözümleri öğrenciler için çoğu zaman zorluk yaratan modül ve parametreli denklemler sunulmaktadır. Birleştirici özelliği yalnızca mutlak değer işaretinin varlığı olan çeşitli denklem türlerinin çözümünü ele alalım.

Tanım gereği, bir gerçel sayının modülü (mutlak değeri) a (|a| ile gösterilir) bu numaranın kendisi şu şekilde çağrılır: a≥0 , ve ters sayı-a, eğer bir

, a≥0 için ve , a için

Geometrik olarak |a| sayıyı temsil eden noktadan koordinat çizgisi üzerindeki mesafe anlamına gelir A , geri sayımın başlamasından önce. Sıfırın modülü sıfırdır ve eğer a≠0 , o zaman koordinat çizgisi üzerinde iki nokta vardır a ve –a sıfırdan eşit uzaklıkta, modülleri eşit olan|a|=|-a|.

Mutlak değer işareti içeren denklemleri çözme yöntemlerini incelemeye başlamadan önce, bu işaretin sayılar üzerindeki etkisini net bir şekilde anlamanız gerekir. Temel olarak modülün tanımı, gerçek sayılar kümesi üzerinde yeni bir tekli işlem sunar; toplama, çıkarma, çarpma ve bölme gibi daha tanıdık ikili işlemlerin aksine, tek bir sayı üzerinde gerçekleştirilen bir işlem. Aşağıdaki alıştırma türlerini kullanarak modül işaretini ne kadar anladığınızı kontrol edebilirsiniz.

1. Fark nedir??

2. Tutar nedir??

3. Kesir neye eşittir??

4. İfade doğru mu: eğer, o zaman a=b?

5. İfade doğru mu: eğer a=b öyleyse?

6. Hangi değerlerde X eşitlik doğrudur:

A). x = |x|; B). –x = |-x|; V). –x = |x|?

7. Denklemin kökleri var mı ve varsa kaç tane:

A). |x|=0 ; B). |x|=1; V). |x|=-3; G ). |-x|=2; D). |x|=1.2?

8. Mutlak değer işareti olmayan ifadeyi yazın:

A). |x+2|; B). |x+2|+x; V). -2|x+2|-x; G). |2-x|;

D). -2|2-x|+2-x; e). |x-|x||; Ve). |x+2|x||+2x.

Sorun 3.1, Eşitlik doğru olabilir mi?

Ve eğer öyleyse, ne zaman?

Çoğu zaman şu yanıt bulunur: "Bu eşitlik, a ve b sayılarının farklı işaretlere sahip olması durumunda doğrudur." Cevap tam değil çünkü bu sayılardan birinin sıfır olması durumuyla ilgili bir şey söylemiyor. Burada çok sık yapılan bir hata, sınıflandırmanın eksikliğidir. Bu durumda pozitif ve negatif sayıların yanı sıra sıfırın da bulunduğunu dikkate almak gerekir.Doğru cevap: .

Modüllü denklemlerin bazı özel durumlarını ele alalım.

1. Denklemin çözümü.

Mutlak değerin tanımı gereği, bu denklem iki karma sistem kümesine ayrılır:

F(x)=a f(-x)=a

Fonksiyondan beri çift ​​ise, kökleri zıt sayıların çiftleri halinde mevcut olacaktır; Eğer α bir denklemin kökü ise, o zaman –α da bu denklemin kökü olacaktır. Dolayısıyla bu iki sistemden yalnızca birinin çözülmesi yeterlidir.

örnek 1 . Denklemi çözün 2|x|-4,5-0,5|x|=7,5.

Bu denklem oldukça basit ve şimdilik iki sistem halinde yazmanın bir anlamı yok, ancak benzerlerini verip yeniden düzenleyebilirsiniz: 1,5|x|=12 → |x|=8 → x 1 =-8, x 2 =8.

Örnek 2 . Denklemi çözün x 2 -|x|=6.

Yukarıda belirtildiği gibi denklem iki sisteme ayrılır, ancak fonksiyonun paritesi nedeniyle ortaya çıkan çözümlere zıt işaretlerin değerlerini eklemeyi unutmadan yalnızca bir sistem çözülebilir.

X 2 -x-6=0, x 1 =-2, x 2 =3

X≥0 x≥0

Sistemin çözümü değer olacaktır. x=3 ve bu denklemin çözümünün iki değeri vardır: x 1 =-3, x 2 =3.

Negatif olmayan değerler için böyle bir denklemi grafiksel olarak çözmek X bir fonksiyonun grafiğini çizmek y 1 = f(x) , onu eksen etrafında simetrik olarak yansıtın kuruluş birimi negatif değerler alanına X ve ardından fonksiyonun grafiğini çizin y 2 =a . Çözüm, grafiklerin kesişme noktalarının apsisi olacaktır. 1'de ve 2'de.

2. Formdaki bir denklemin çözümü.

Böyle bir denklemin çözümü iki karışık sistem kümesine ayrılır:

F(x)=φ(x) f(x)= - φ(x)

φ(x) φ(x)

3. Formun denklemlerini çözme.

Binomların köklerini mutlak değer işareti altında buluruz:…

x 1 olsun 2 bin . Bu denklem aralıklarla sırayla çözülür:(-∞, x 1 ], , …, Denklem şöyle olur-x 2 +5x-6=5x-x 2 -6 ve dönüşümlerden sonra buna bağlı değildir x: -6=-6. yani x dikkate alınan aralıklardan herhangi biri olabilir.

Denklemin son çözümü X .

Örnek 3 . Denklemi çözün|x 2 -1|=-|x|+1

İlk modül iki karakteristik nokta verir x 1 =-1, x 2 =1 , ikinci modül noktası x=0 . Kabul edilebilir değer aralığı dört aralığa bölünmüştür(-∞; -1) [-1; 0] (0; 1] (1;+ ∞) , modülleri açarken her birinde ayakta duran ifadelerin işaretine dikkatlice bakmalıyız.

A). x (-∞; -1) : x 2 -1=x+1, x 2 -x-2=0 . Bu denklemin kökleri x 1 =-1, x 2 =2 seçilen açık boşluğa düşmeyin. Burada belirtilmesi gereken önemli bir not var. İzin verilen değer aralığını aralıklara bölerken, kendi takdirinize bağlı olarak aralıklara karakteristik noktalar dahil edilir; her karakteristik noktayı, sınırlarını hizmet ettiği her iki aralığa veya yalnızca birine dahil edebilirsiniz. Bu bir hataya yol açmayacaktır.

B). x [-1; 0] : -x 2 +1=x+1, x 2 +x=0, x 1 =-1, x 2 =0. Her iki kök de söz konusu aralığa dahildir ve bu nedenle orijinal denklemin çözümleridir.

V). x (0; 1] : -x 2 +1=-x+1, x 2 -x=0, x 1 =0, x 2 =1 . İkinci kök boşluğa düşer.

G). x (1;+ ∞) : x 2 -1=-x+1, x 2 +x-2=0, x 1 =-2, x 2 =1 . Her iki kök de aralığa dahil değildir.

Bu denklemin son çözümü üç kök içerir: x 1 =-1, x 2 =0, x 3 =1.

Gösterilen tüm modüllü denklem örneklerinde, grafiksel bir çözüm mümkündü, hatta bazen kabul edilebilir değerler aralığının karakteristik noktalara bölündüğü tüm aralıkların uzun bir aramasından bile daha hızlıydı.

Eğitim egzersizleri.

  1. | x+5| = |10+x|
  1. |3x+1|+x=9
  2. |x-3|+2|x+1|=4

Modül n tanımı Gerçek sayı x'in modülü (mutlak değeri), yani | x|, negatif değilse bu sayının kendisi çağrılır, negatifse bu sayının zıt işaretiyle alınır

1. Modül özellikleri 1. | bir b | = | bir | | b | herhangi bir a ve b sayısı için 2. | |= 3. ≠ 0 için | a |2= a 2 herhangi bir a sayısı için

n n 2. Modülleri içeren en basit denklem | f(x) | = a, burada a≥ 0. Bu denklem bir dizi denkleme eşdeğerdir. [Eğer bir

n n n Formun denklemleri daha karmaşıktır | f(x) | = g(x), burada f(x), g(x) gerçek değişken x'in bazı fonksiyonlarıdır. 1) g(x) 0 için orijinal denklem Γ f(x) = g(x), Lf(x) = -g(x) kümesine eşdeğerdir.

Örnek 2. Denklemi çözün | 1 – 2 x | = 3 x - 2 n Çözüm: 3x 2≥ 0 olduğuna dikkat edin, yani x ≥ veya x є (; +∞) x є (; + ∞) kümesinde verilen denklem iki denklemden oluşan bir diziye eşdeğerdir: 1) 1 - 2 x=3x-2 X 1 = 2)1 2 x= (3x 2) X 2 = 1 n Çünkü

n n Şimdi formdaki denklemleri düşünün | a 1 x – 1'de|+ | a 2 x – 2'de | + … + | анх – вn | = ax + b, burada a 1, a 2, a 3, ..., an, a 1, a 2, a 3 R'ye ait bazı sayılardır, x reel değişkeni aşağıdaki şemaya göre oluşturulur. Belirli bir denklemin değişkeninin izin verilen değerlerinin bölgesi, her biri alt modüler ifadelerin işaretlerinin sabit olduğu kümelere bölünmüştür. Bu tür kümelerin her birinde, orijinal denklem (alt modüler ifadelerin işaretleri dikkate alınarak) mutlak değerler içermeyen eşdeğer bir denklemle değiştirilir. Bu şekilde elde edilen denklem kümesinin çözümlerinin birleşimi, verilen denklemin bir çözümüdür.

Örnek 3. Denklemi çözün | 2x+5 | | 3x | = 0,5 n n n Çözüm. Değişkenin izin verilen değerlerinin aralığı sayısal eksenin tamamıdır. Alt modüler ifadelerin 0'a eşit olduğu noktaları bulalım: 2 x+5=0 yani x1= 2, 5; 3 x=0, yani x2 = 3.

n n n n n Elde edilen noktalara göre kabul edilebilir değerler aralığını kümelere bölelim (∞; 2, 5), (2, 5; 3), (3; +∞) Her bir alt modüler ifadenin işaretini belirleyelim elde edilen kümeler (Tablo 1'de yazılmıştır) Tablo 1 ( ∞; 2, 5) (2, 5; 3) (З; + ∞) 2 x + 5 + + 3–x + + Böylece orijinal denklem | 2x+5 | | 3x | =0,5 bir dizi denkleme eşdeğerdir: 1) x

n 2) 2,5'te ≤ x

3. Şimdi, kullanımı modüllerle denklemlerin çözümünü önemli ölçüde basitleştirebilecek bazı ifadeleri düşünün. n n n Açıklama 1. Eşitlik | a+b | = | bir | + | içinde | ab ≥ 0 ise doğrudur. İspat. Aslında, bu eşitliğin her iki tarafının karesini aldıktan sonra | a+b |2 = |a|2 + 2|ab | + |in|2 a 2 + 2 av + in 2 = a 2 + 2|ab |+ in 2, buradan | ah | = ав Ve son eşitlik ав ≥ 0 için doğru olacaktır. İfade 2. Eşitlik | klima | = | bir | + | içinde | ав ≤ 0 için doğrudur. Kanıt. Kanıt için eşitlik yeterlidir | a+b | = | bir | + | içinde | -в ile değiştirin, ardından a(-в) ≥ 0, dolayısıyla ав ≤ 0

n n Açıklama 3. Eşitlik | bir | + | içinde | = a+b a≥ 0 ve b ≥ 0 için geçerlidir. İspat. a≥ 0 ve b ≥ 0 olan dört durum dikkate alındığında; a≥ 0 ve b

Örnek 4. Denklemi çözün: | 2x2| = |x3 2 | + | 2xx3 | n n n Çözüm: |x3'ten beri 2 | + | 2xx3 | = |x3 2 + 2 x x3 | ise denklemin tüm kökleri (x3 2)(2 x – x3)≥ 0 (ifade 1) eşitsizliğinin çözümleri arasındadır. Bu eşitsizliği aralık yöntemini kullanarak çözelim; x(x3 – 2)(x2 – 2)≥ 0 x(x3 – 2)(x +)≤ 0 + + + 0 x Cevap: [ ; 0] U [ ; ]

4. Diğer örneklerde modülleri ortaya çıkarmak için hiç acele etmemelisiniz, öncelikle ifadeyi bir bütün olarak ele almalısınız. Örnek 7. Denklemi çözün: n “Bütün”de iki kesrin çarpımı eşit olabilir. 1 yalnızca üç durumda: n a) kesirler karşılıklı olarak ters ise, yani x+1= x+2 ve | x+1| = | x+2|, ancak bu herhangi bir x için mümkün değildir. n b) eğer her biri 1'e eşitse, o zaman ve'yi elde ederiz. İlk denklemden x+1>0 x > 1 çıkar. İkinci denklemden x+2>0 x> 2 elde edilir. Genel çözüm: x> 1. c) eğer her biri 1'e eşitse, o zaman şunu yaparız: al ve. İlk denklemden şu çıkar: x+1

n n n İkinci denklemden x+2 elde ederiz

Ana ders içeriği

Bir sayının mutlak değeri. Temel özellikler (1 saat).

Bir sayının veya modülün mutlak değerinin belirlenmesi. Tanımın analitik kaydı. Geometrik anlamı. Temel özellikler. Tarihsel referans.

Temel amaç, öğrencilerin 6. ve 8. sınıflarda edindikleri “Mutlak değer” konusundaki bilgilerini sistematikleştirmek ve genelleştirmek; mutlak değerin geometrik anlamını ve temel özelliklerini göz önünde bulundurun; “modül” ve “modül işareti” terimlerinin ortaya çıkışı hakkında tarihsel bilgi vermek; Çözümü bir modülün tanımına dayanan örnekleri düşünün.

Modüllerle denklem çözme (3 saat).

Modüllü doğrusal, ikinci dereceden denklemlerin yanı sıra parametrelerle mutlak değerler içeren denklemlerin çözülmesi.

birincil hedef– ifadenin geometrik yorumu ve formdaki denklemlerin çözümünde kullanılması; modülün tanımına dayalı olarak doğrusal denklemleri çözmeyi düşünün; mutlak bir değerin işaretini içeren ikinci dereceden denklemlerin çözülmesi ve ayrıca mutlak değer içeren denklemlerin parametrelerle grafiksel olarak çözülmesi.

Eşitsizliklerin modüllerle çözülmesi (3 saat).

Modüllerle doğrusal, ikinci dereceden eşitsizliklerin yanı sıra parametrelerle mutlak değerler içeren eşitsizliklerin çözülmesi.

birincil hedef– modüllü doğrusal eşitsizlikleri çeşitli yollarla çözme becerisini geliştirmek (geometrik anlamı kullanmak, bir eşitsizliğin karesini almak, çift eşitsizliği kullanmak); ikinci dereceden bir fonksiyonun grafiğinin şematik bir taslağının yanı sıra aralık yöntemini kullanarak mutlak bir değer işareti içeren ikinci dereceden eşitsizlikler; Mutlak değer içeren eşitsizliklerin parametrelerle çözümü konusunda fikir verir.

Aralık yöntemi (2 saat).

Mutlak değer içeren denklemleri ve eşitsizlikleri aralık yöntemini kullanarak çözme.

birincil hedef – okul çocuklarına mutlak değerler içeren denklemleri ve eşitsizlikleri aralık yöntemini kullanarak çözmeyi öğretmek; sabit işaretli aralıkların araştırılmasının dayandığı bir teoremi formüle edin; sıfır modül bulma.

, formundaki eşitsizlikler eşdeğer geçişler (2h) yoluyla çözülebilir.

Formdaki eşitsizlikleri, bir eşitsizlikler kümesine ve eşitsizlikleri bir eşitsizlikler sistemine eşdeğer geçişler yoluyla çözmek.

birincil hedef– 8. sınıftan itibaren öğrencilerin bildiği denklik kavramını pekiştirmek; Eşitsizlikten bir kümeye ve eşitsizlikten bir sisteme eşdeğer geçişin özelliğini formüle edin (ve “güçlü” sınıfta kanıtlayın).

Denklem ve eşitsizliklerin çözümünde mutlak değer özelliklerinin uygulanması (1 saat).

Mutlak değer özelliklerini kullanarak denklem ve eşitsizliklerin (doğrusal, ikinci dereceden, ikiden büyük dereceler) yanı sıra denklem ve eşitsizlik sistemlerini çözme.

birincil hedef– gerekirse modülün temel özelliklerini tekrarlayın; öğrencilere denklemleri ve eşitsizlikleri (doğrusal, ikinci dereceden, ikinin üzerinde dereceler) ve ayrıca mutlak değer özelliklerini kullanarak denklem ve eşitsizlik sistemlerini çözmeyi öğretmek; cevap yazarken grafik tekniklerini gösterin; Modüllü denklem sınıfını genişletin (iki değişkenli bir denklem düşünün).

Koordinat doğrusu üzerinde mutlak değerli denklem ve eşitsizliklerin çözümü (1 saat).

Koordinat doğrusu üzerinde mutlak değeri olan doğrusal denklem ve eşitsizliklerin çözümü.

birincil hedef– iki A noktası arasındaki mesafe için formülü tekrarlayın ( x 1) ve B( x 2) koordinat çizgisi; Öğrencilere koordinat doğrusu üzerinde modüllü denklem ve eşitsizlikleri çözmeyi öğretin.

Köklerin modülü ve dönüşümü (1 saat).

Aritmetik köklerle işlemlerde modül kavramının uygulanması. Çözümü modülü kullanan irrasyonel ifadelerin dönüşümü.

birincil hedef– Modülün kullanıldığı karekök içeren ifadelerin dönüşümlerini gerçekleştirme yeteneğini geliştirmek.

Modül ve irrasyonel denklemler (2 saat).

İrrasyonel denklemleri tam kareyi ayırma veya yeni bir değişken ekleme yöntemini kullanarak çözme.

birincil hedef– 8. sınıf öğrencilerinin bildiği irrasyonel denklemlerin tanımlarını tekrarlayınız; Modülün kullanılması ihtiyacı ile ilgili irrasyonel denklemlerin çözümünü örneklerle gösterin.

Eğitimsel ve tematik plan

HAYIR. Ders Saat sayısı Ders yürütme şekli kontrol şekli Eğitim ürününün adı
1 Bir sayının mutlak değeri. Temel özellikler. 1 ders - -
2 Denklemlerin modüllerle çözülmesi:

Doğrusal;

Kare;

Parametrelerle.

 1 atölye

atölye

yeni materyal öğrenme

 test görevlerini çözme

test görevlerini çözme

çalışma kitaplarını kontrol etmek

 -
5 Eşitsizlikleri modüllerle çözme:

Doğrusal;

Kare;

Parametrelerle.

 1 atölye

yeni materyal öğrenme

 ödevi kontrol etmek

sorulara verilen cevaplar

çalışma kitaplarını kontrol etmek

 -
8 Aralık yöntemi. 1 birleşik ders

ders yarışması

 sorulara verilen cevaplar

akran değerlendirmesi dersi

 -
10 , formundaki eşitsizliklerin çözümü eşdeğer geçişler yoluyla çözülür. 1 yeni materyal öğrenme

öğrenilen materyalin pekiştirilmesi

 notları kontrol etmek

matematiksel dikte

 -
12 Denklem ve eşitsizliklerin çözümünde mutlak değer özelliklerinin uygulanması. 1 sözlü anket -
13 Koordinat doğrusu üzerinde mutlak değeri olan denklem ve eşitsizliklerin çözümü. 1 Bilginin genelleştirilmesi ve sistemleştirilmesi bağımsız iş -
14 Köklerin modülü ve dönüşümü. 1 atölye grup çalışması -
15 Modül ve irrasyonel denklemler. 1 Veri kaydediciyi kontrol etme ve düzeltme

danışma

 ev testi

sorulara verilen cevaplar

 -
17 Geçmek. 1 test et veya test et - arka plan notlarının hazırlanması

Öğretmenler için literatür listesi

  • Golubev V.I. Matematikte rekabetçi sınavlardaki sayının mutlak değeri (ülkenin önde gelen üniversitelerinden alınan materyallere dayanmaktadır). - Lvov: Quantor, 1991.
  • Golubev V. “Mutlak değer” konusundaki problemleri çözmek için etkili yöntemler - M .: Chistye Prudy, 2006.
  • Dankova I.N., Bondarenko T.E., Emelina L.L., Pletneva O.K. 9. sınıf öğrencilerinin matematik alanında ön profil hazırlanması - M.: Bilgi için 5, 2006.
  • Rurukin A.N. Matematik sınavına yoğun hazırlık için bir el kitabı “Mezuniyet, giriş, 5+ için Birleşik Devlet Sınavı.” - M .: VAKO, 2006.
  • Smykalova E.V. Matematik (modüller, parametreler, polinomlar), profil öncesi hazırlık, 8-9 sınıflar - St. Petersburg: SMIO-Press, 2006.

Öğrenciler için edebiyat listesi

  • Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik. Referans materyalleri - M .: Eğitim, 1988.
  • Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.Kh. Üniversitelere girenler için Matematik üzerine bir el kitabı - M.: Nauka, 1973.
  • Zorin V.V. Üniversitelere girenler için matematik üzerine bir el kitabı - M.: Yüksek Okul, 1974.
  • Ivlev B.M., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P., Shvartsburd S.I. Cebirde artan karmaşıklık sorunları ve analiz ilkeleri - M.: Eğitim, 1990.
  • Kalnin R.A. Cebir ve temel işlevler, “Nauka” yayınevi, fiziksel ve matematiksel literatürün ana yazı işleri bürosu - M.: Nauka, 1975.
  • Krulikovsky N.N. Başvuru sahipleri için matematik problemleri - Tomsk: ed. Tomsk Üniversitesi, 1973.
  • Nesterenko Yu.V., Olehnik S.N., Potapov M.K. Matematikte giriş sınavlarının amaçları - M.: Nauka, 1986.
  • Sharygin I.F. Lise öğrencileri için matematik, Moskova, “Drofa”, 1995.

Metodolojik materyaller

Ders 1: Bir sayının mutlak değerinin (bir sayının modülü), geometrik anlamının ve temel özelliklerinin belirlenmesi.

Bir a gerçek sayısının mutlak değeri (veya modülü), eğer negatif değilse sayının kendisidir ve bu sayı, negatifse zıt işaretle alınır.

Bir sayının modülü şu şekilde gösterilir: Bir sayının modülü ile sayının kendisi arasında bir bağlantı kurarak tanımın analitik gösterimini elde ederiz:

=

Bir sayının modülü aynı zamanda orijinden koordinat doğrusu üzerinde bu sayıyı temsil eden noktaya kadar olan mesafedir. Bu geometrik anlamı modülü. O. Bir sayının “modülü”, “mutlak değeri” veya “mutlak değeri” terimleri kullanılır. Yukarıdaki tanıma göre = 5, = 3, =0. Bir sayının modülü a ve – a sayılarının en büyüğü olarak da tanımlanabilir.

Tarihsel bilgi: “Modül” terimi (Latince modül - ölçüden) İngiliz matematikçi R. Cotes (1682-1716) tarafından ve modül işareti Alman matematikçi K. Weierstrass (1815-1897) tarafından tanıtıldı. 1841'de.

Modülün ana özellikleri:

Çözümü modülün tanımına dayanan örneklere bakalım.

Hayır. 1. =4 denklemini çözün.

Modül tanımı gereği; X=4 veya X=-4.

Hayır. 2. Denklemi çözün: =3.

Denklem iki denklemin birleşimine eşdeğerdir:

Nerede: x 1=2 ve x 2=-1.

Hayır. 3. Denklemi çözün: =-2.

Özellik 1'e göre: herhangi bir gerçek sayının modülü negatif olmayan bir sayıdır, bir çözüm olmadığı sonucuna varırız.

Hayır. 4. Denklemi çözün: = X–5.

Aynı özellik 1 için: X–50, X 5.

Hayır. 5. Denklemi çözün: + X=0.

=- x, X 0.

Hayır. 6. Denklemi çözün: = X+2.

Önceki örnekten farklı olarak bu denklemin sağ tarafında değişkenli bir ifade yer alıyor. Bu nedenle denklemin bir çözümü vardır, şu şartla: X+20, yani x-2. O zaman elimizde:

2x+1= x +2 veya

2x+1 = - x – 2.

O. en x -2, sahibiz:

Denklemleri çözün:

Ders No.2. Modüllerle doğrusal denklemlerin çözümü.

Doğrusal denklemleri çözerken ya bir sayının modülünün geometrik anlamı ya da modülün işaretinin açıklanması kullanılır. Bir örneğe bakalım: denklemi çözelim

a) Bir sayının modülünün geometrik anlamını kullanırız. Denklemi +=7 şeklinde yazalım. Daha sonra d=x–5- noktadan uzaklık X sayı doğrusunda 5 noktasına f =x–(-2)- noktadan uzaklık X(-2) noktasına kadar problemin durumuna göre bu mesafelerin toplamı alınır. d+f=7. Sayı doğrusu üzerinde 5 ve -2 noktalarını işaretleyelim. [-2;5] aralığındaki herhangi bir sayı için mesafelerin toplamının olup olmadığını kontrol etmek kolaydır. d+f AB segmentinin uzunluğuna eşittir, yani. 7. Puanların ne olacağını ayarlamak da kolaydır X<2 veya x>5 mesafelerin toplamı d+f>7. Bu nedenle denklemin çözümü aralıktır.

b) Modül işaretini genişletelim. Bunu yapmak için sayı doğrusunda -2 ve 5 noktalarını işaretleyin. Bu noktalar onu üç aralığa böler. Her aralıktaki modüllerin işaretlerini ele alalım.

Aralık 1'de (X<-2) şunu elde ederiz: -(x–5)–(x+2)=7 veya –x+5–x–2=7 veya - 2x+3=7, nereden alıyoruz: x=-2. Ancak bu nokta dikkate alınan aralığa dahil değildir. Bu yüzden x=-2 bir çözüm değil.

2. aralıkta: Xşunu elde ederiz: -(x–5)+(x+2)=7 veya 7=7. Eşitlik doğru olduğundan bu aralıktaki herhangi bir nokta bu denklemin çözümüdür.

Aralık 3'te (x>5)şunu elde ederiz: (x-5)+(x+2)=7 veya 2x-3=7, Neresi x=5. Nokta x=5 söz konusu aralığa dahil değildir ve denklemin bir çözümü değildir.

Yani bu denklemin çözümü: -2x5.

Bağımsız çalışma için alıştırmalar:

Denklemleri çözün:

3 numaralı ders. Modüllü ikinci dereceden denklemlerin çözümü.

Örnekleri kullanarak ikinci dereceden denklemleri modüllerle çözmeyi düşünelim:

1 numara. Denklemi çözün

Değiştirmeyi tanıtalım =y, sonra y 0 denklem şu şekli alır:

y 2 –6у+8=0, buradan y 1 = 2 ve y2 = 4. bir x= 2 veya -2; 4 veya -4.

2 numara. Denklemi çözün:

Denklem sisteme eşdeğerdir: Nereden X=1.

Numara 3. Denklemi çözün:

2X – 1.

Denklemin 2 şartıyla bir çözümü vardır X–10 ve eşitlik sağlanması koşuluyla mümkündür: ifadelerin anlamları x 2 + x–1 ve 2 X–1 aynı veya zıttır. O. elimizde: x0,5. Denklemleri oluşturalım: x 2 + x–1=2X–1 veya x 2+X–1=-(2X-1); bunu çözerek elde ederiz

4 numara. Denklemin köklerini bulun: .

Bu denklemi şu şekilde sunalım: = X 2 – 1, buradan:

x – 1 = x 2 – 1,

veya x – 1 = - (x 2 – 1).

x 2 – 1 de x - 1 Ve x 1.Denklemleri çözerek ilkinden şunu elde ederiz: x=0 Ve x=1, ikincisinden: x=-2 Ve x=1.

Cevap: x=1; x=-2.

Numara 5. Denklemin tam köklerini bulun: = .

Bir modülün tanımını kullanarak, ifadelerin değerlerinin eşit olması durumunda eşitliğin mümkün olduğu sonucuna varıyoruz. x–x 2 –1 Ve 2x+3–x2 eşit veya zıt, yani bu denklem iki denklemin birleşimine eşdeğerdir:

Kümeyi çözerek bu denklemin köklerini elde ederiz: x=-4;-0,5;2. Aralarındaki tam sayılar: -4 ve 2.

6 numara. Denklemi çözün: =2x 2 –3x+1.

İfadeyi gösterelim 3x-1-2x2 mektup A. O zaman bu denklem şu şekli alacaktır: =-a. Modül tanımının analitik gösterimine dayanarak, bu denklemin eşitsizliğe eşdeğer olduğu sonucuna varabiliriz: 3x–1-2x 2 0 Bunu çözersek şu cevabı alırız: x0,5 Ve x1.

Bağımsız çalışma için alıştırmalar.

Denklemi çözün:

1.=x 2 + x–20.

2 numara. + 3x -5=0,

Numara 3. =(x–1)(x+1),

4 numara. x 2 –6+5=0,

Numara 5. x 2 +8=9,

6.=x 2 –6x+6,

7 numara. x = -8.

4 numaralı ders. Mutlak değer içeren denklemlerin parametrelerle çözülmesi.

Bir örneğe bakalım: parametreli bir denklemi çözün

Fonksiyonların grafiklerini oluşturalım y=3–x Ve y=. Takvim y=3–x sabittir ve parametreye bağlı değildir. Takvim y= fonksiyonun grafiğinden elde edilen y=, parametreye bağlıdır A. Bu nedenle 3 durumu ele alalım:

Bu durum, şekilden de görülebileceği gibi, ne zaman olacaktır? A<3 . Bu fonksiyonların grafikleri tek bir B noktasında kesişmektedir. A açısının B açısına ve 45 0'a eşit olduğu ABC üçgenini düşünün, bu üçgenin VD yüksekliğini çizin. Çünkü ABC üçgeni ikizkenar ise BD de bu üçgenin medyanıdır. Bu nedenle D noktasının apsisi X=(a + 3)/2.

Bu durum şu durumlarda ortaya çıkar: A=3. Daha sonra fonksiyonların grafikleri AB doğru parçası boyunca çakışır ve bu ışın üzerindeki herhangi bir noktanın apsisi bu denklemin bir çözümüdür, yani. X<3.

Bu durumda A>3. Fonksiyonların grafiklerinin kesişmediği görülmektedir. hiçbir ortak noktası yoktur. Bu nedenle denklemin çözümü yoktur.

Bağımsız çalışma için alıştırmalar:

Denklemleri çözün:

Numara 3. (a–2)=a–2,

4 numara. a 2 x 2 + a = 0.

5 numaralı ders. Doğrusal eşitsizliklerin modüllerle çözülmesi.

Modül işareti altında bir değişken içeren eşitsizlikler çeşitli yollarla çözülür; Oldukça basit bir örneğe bakalım:

Hayır. 1. Eşitsizliği çözün:

Birinci yöntem: Elimizde: >4,

Geometrik olarak ifade, koordinat çizgisi üzerindeki noktalar arasındaki mesafe anlamına gelir. X ve 2.5. Bu, tüm bu noktaları bulmamız gerektiği anlamına gelir X 2,5 noktasından 2'den fazla uzakta olan noktalar aralıklardan gelen noktalardır X<0,5 Ve x>4,5.

İkinci yöntem: Verilen eşitsizliğin her iki tarafı da negatif olmadığından eşitsizliğin her iki tarafının karesini alırız: 2 >4 2.

(2x–5) 2 >4 2 ,

(2x–5) 2 –16>0,

(2x–5–4)(2x–5+4)>0,

2(x–4,5) 2(x–0,5)>0,

(x–4,5)(x–0,5)>0.

Aralık yöntemini uygulayarak şunu elde ederiz: X<0 ,5 ve x>4,5.

Üçüncü yol: İfade 2x–5 negatif olmayabilir veya negatif olabilir. Onlar. iki sistemin bir kombinasyonuna sahibiz:

Nerede: X<0,5 Ve x>4,5.

Birkaç örneğe daha bakalım.

Örnek No. 2. Eşitsizliği çözün:<3.

Bu eşitsizlik iki sistemin birleşimine eşdeğerdir:

Aldığımız ilk sistemden 2 kere<5 , ikinciden itibaren -1<х<2 . Bu iki çözümü birleştirerek elde ederiz: -1<х<5 .

Örnek No. 3. Eşitsizliği çözün: 3 x+3.

Bu eşitsizlik çift eşitsizliğe eşdeğerdir -x-33x–3x+3 veya sistem

Sahibiz : 0x3.

Bağımsız çalışma için alıştırmalar:

Eşitsizlikleri çözün:

№1. <3х+1,

№3. ->-2.

6 numaralı ders.İkinci dereceden eşitsizliklerin modüllerle çözülmesi.

1 numaralı örneğe bakalım. Eşitsizliği çözün: +x–2<0 .

Bu eşitsizlik aralık yöntemi kullanılarak çözülebilir. Aşağıdaki ifadeye dayanarak başka bir çözüm düşünelim: a'nın herhangi bir değeri için eşitsizlik, eşitsizlikler sistemine eşdeğerdir: ,ve eşitsizlikbir dizi eşitsizliklere eşdeğerdir.

Bu nedenle eşitsizliğimiz bir eşitsizlik sistemine eşdeğerdir: bunu çözersek şunu elde ederiz:

Cevabını yazalım: (1-;2-).

Örnek No. 2. Eşitsizliğin tamsayı çözümlerini bulun: 2x–x2. Sorun iki eşitsizlik sisteminin çözümüne indirgeniyor:

İlk sistemi çözelim: elimizdeki ilk eşitsizlikten: x1; x2.

ikincisinden: 2x 2 –5x+20, veya 0,5x2.

Birinci sistemin koordinat doğrusu üzerindeki birinci ve ikinci eşitsizliklerinin bulunan çözümlerini not ettikten sonra çözümlerin kesişimini buluyoruz.

O. 0,5x1 Ve x=2. Bu birinci sistemin çözümüdür.

İkinci sistemi çözelim: elimizdeki ilk eşitsizlikten: 1<х<2 , ikincisinden: -(x 2 -3x+2)2x–x 2, veya – x 2 +3x–2–2x+ x 2 0, veya x2.

Koordinat doğrusu üzerindeki ikinci sistemin birinci ve ikinci eşitsizliklerinin bulunan çözümlerini not ederek şunu elde ederiz: 1<х<2 . Bu ikinci sistemin çözümüdür.

Bulunan çözümlerin eşitsizlik sistemlerine birleştirilmesi 0,5x1; x=2; 1 , şunu elde ederiz: 0,5x2 vesaire. tüm çözümler olacak x=1 Ve x=2.

Bağımsız çalışma için alıştırmalar:

Eşitsizlikleri çözün:

№3. <3х–3,

4 numara. x 2 -3+2>0,

Numara 5. x 2 x<3,

6 numara. x 2 -6x+7-<0,

7 numara. 3+x2 –7>0,

№8. >.

Ders No.7. Mutlak değer içeren eşitsizliklerin parametrelerle çözülmesi.

Örnek. Hangi değerlerde A eşitsizlik doğrudur: ah 2 +4+a+3<0 ?

Şu tarihte: x0 sahibiz ah 2 +4x+a+3<0 . Kıdemli katsayı A negatif olmalı, diskriminant sıfırdan küçük olmalıdır.

A<0, Д=16–4a(a+3)<0; 16-4а 2 -12а<0; а 2 +3а-4>0; A<-4 Ve a>1;

bir parabolün tepe noktasının apsisi x 0 = -b/2a=- 4/2a=-2/a 0, Neresi A<-4 .

Şu tarihte: X<0 sahibiz ah 2 –4x+a+3<0 . Benzer şekilde tartışarak şunu elde ederiz: A<-4 .

Cevap: ne zaman A<-4 bu eşitsizlik x'in tüm gerçek değerleri için geçerlidir.

Bağımsız çalışma için alıştırmalar:

Eşitsizlikleri parametrelerle çözün:

2 numara. (Ha)<0,

Numara 3. Eşitsizliğin olduğu a değerleri var mı? ah 2 >2+5 hiçbir çözümü yok mu?

8 - 9 Numaralı Dersler. Modül içeren denklem ve eşitsizliklerin çözümü için aralık yöntemi.

Denklemin çözümü örneğini kullanarak aralık yöntemini ele alalım

-+3-2=x+2.

Bu eşitsizliği çözmek için modüllerin genişletilmesi gerekmektedir. Bunu yapmak için, modül işaretinin altındaki ifadelerin her birinde yalnızca pozitif veya negatif değerler aldığı aralıkları seçiyoruz. Bu tür aralıkları bulmak şu teoreme dayanmaktadır: (a; b) aralığında f fonksiyonu sürekliyse ve sıfırlanmıyorsa, bu aralıkta sabit işaretini korur.

Sabit işaretli aralıkları vurgulamak için modülün altında yazılan ifadelerin sıfır olduğu noktaları buluyoruz:

x+1=0, x=-1; x=0; x–1=0, x=1; x–2=0, x=2.

Ortaya çıkan noktalar çizgiyi gerekli aralıklara bölecektir. İfadelerin işaretlerini tanımlayalım

şu aralıklarda x+1, x, x–1, x–2:

İşaretleri dikkate alarak modülleri genişleteceğiz. Sonuç olarak, bu denkleme eşdeğer bir dizi sistem elde ederiz:

Son set şu şekle indirgenmiştir:

Sistemler kümesinin çözümü ve bu denklem: -2; X 2.

Kullanılan tekniğe denir aralık yöntemi. Eşitsizliklerin çözümünde de kullanılır.

Eşitsizliği çöz: +x–2<0.

1) İfadenin sıfırlarını bulun: x 2 -3x.

x 1 =0, x 2 =3.

2) Koordinat doğrusunu aralıklara bölelim ve ifadenin işaretini koyalım x 2 -3x her aralıkta:

3) Modülü genişletelim:

Birinci sistemin çözümü: İkincinin çözümü. Bu eşitsizliğin çözümü: .

Bağımsız çalışma için alıştırmalar:

№3

Ders No. 10 - 11. Formdaki eşitsizlikleri çözme , eşdeğer geçişler yoluyla.

ve şeklindeki eşitsizlikleri ele alalım. Aşağıdaki teoremi kanıtsız kabul edelim: bir eşitsizliğin herhangi bir değeri içineşitsizlikler sistemine eşdeğerdir ve eşitsizlikbir dizi eşitsizliklere eşdeğerdir

Bir örneğe bakalım: eşitsizliği çözelim: >x+2.

Formüle edilen teoremi kullanarak eşitsizlikler kümesine geçelim:

Sistem ve eşitsizlik 0x>2 hiçbir çözümü yok. Bu nedenle nüfusun (ve bu eşitsizliğin) çözümü X.

Bağımsız çalışma için alıştırmalar:

12 numaralı ders. Denklem ve eşitsizliklerin çözümünde mutlak değer özelliklerinin uygulanması.

Bazı görevleri çözerken modülün özellikleri kullanılır. (Gerekirse tekrarlayın, 1 numaralı derse bakın).

Aşağıdaki örneklerin çözümünde modül özelliklerinin kullanımını açıklayalım.

Mutlak işaret altında bilinmeyen içeren eşitsizlikleri çözerken, mutlak işaret altında bilinmeyen içeren denklemleri çözerken kullanılan tekniğin aynısı kullanılır, yani: orijinal eşitsizliğin çözümü, ifadelerin sabit işaret aralıklarında dikkate alınan birkaç eşitsizliğin çözümüne indirgenir. mutlak işaret büyütülmüş.

Örnek: Eşitsizliği çözün

Çözüm: Mutlak büyüklüğün işareti altında bulunan x 2 - 2 ifadesinin sabit işaretli aralıklarını ele alalım.

1) Varsayalım ki

o zaman eşitsizlik (*) şeklini alır

Bu eşitsizliğin çözüm kümesi ile x 2 -2 0 eşitsizliğinin kesişimi, orijinal eşitsizliğin ilk çözüm kümesini temsil eder (Şekil 1): x(-2; -).

  • 2) Diyelim ki x 2 - 2
  • 2 - x 2 + x

Bu eşitsizliğin çözüm kümesi ile x 2 - 2 eşitsizliğinin kesişimi

Cevap: x(-2;-1).

Denklemlerden farklı olarak eşitsizlikler doğrudan doğrulanamaz. Ancak çoğu durumda elde edilen sonuçların doğruluğunu grafiksel olarak doğrulayabilirsiniz. Aslında örneğin eşitsizliğini formda yazalım.

Söz konusu eşitsizliğin sol ve sağ taraflarında yer alan y 1 = x 2 - 2 ve y 2 = -x fonksiyonlarını oluşturalım ve y 1'in geçerli olduğu argümanın değerlerini bulalım.

İncirde. Şekil 3'te, x ekseninin gölgeli alanı istenen x değerlerini içerir. Mutlak değerin işaretini içeren eşitsizliklerin çözümü bazen x 2 = x 2 eşitliği kullanılarak önemli ölçüde azaltılabilir.


Figür 3

Örnek: Eşitsizliği çözün

Çözüm: Tüm x -2 için orijinal eşitsizlik eşitsizliğe eşdeğerdir.

x - 1> x + 2. (**)

Eşitsizliğin her iki tarafının (**) karesi alınarak, benzer terimler getirilerek eşitsizlik elde edilir.

X -2 koşuluyla belirlenen orijinal eşitsizliğin kabul edilebilir değerleri kümesini hesaba katarak, sonunda eşitsizliğin (*) tüm x(-; -2)(-2; -1/2) için karşılandığını elde ederiz. .

Cevap: (-; -2)(-2; -1/2).

Örnek: Eşitsizliği sağlayan en küçük x tamsayısını bulun:

Çözüm: x +1 0 ve koşula göre x +1 0 olduğundan bu eşitsizlik şuna eşdeğerdir: 2x + 5 > x +1. İkincisi ise eşitsizlik sistemine eşdeğerdir -(2x + 5)

  • -(2x + 5)
  • 2x + 5 > x +1,

Bu eşitsizlik sistemini sağlayan en küçük x tam sayısı 0'dır. Dikkat ederseniz x -1'dir, aksi halde bu eşitsizliğin sol tarafındaki ifadenin bir anlamı yoktur.

Örnek: Eşitsizliği çözün:

Cevap 1; 1].

Örnek: Eşitsizliği çözün

x2 - 3x + 2+ 2x + 1 5.

Çözüm. x 2 - 3x + 2, 1'de negatiftir

  • 2.-? X? 1. x2 - x - 2 eşitsizliğine sahibiz? 0. Çözümü -1 mi? X? 2. Bu nedenle segmentin tamamı -S? X? 1 eşitsizliği karşılıyor.
  • 4.x? 2. Eşitsizlik durum 2'dekiyle aynıdır. Yalnızca x = 2 uygundur.

Cevap: 5 - 41 2 ? X? 2.

Örnek: Eşitsizliği çözün.

x 3 + x - 3- 5 x 3 - x + 8.

Çözüm. Bu eşitsizliği standart olmayan bir şekilde çözelim.

x 3 + x - 3 - 5 x 3 - x + 8,

x 3 + x - 3 - 5 x 3 + x - 8

x 3 + x - 3 x 3 - x + 13

x 3 + x - 3 - x 3 + x - 3

x 3 + x - 3 x 3 - x + 13,

x 3 + x - 3 - x 3 + x - 13,

x 3 + x - 3 - x 3 + x - 3,

x 3 + x - 3 x 3 - x + 3

Kemerovo

Belediye eğitim kurumu "37 Nolu Ortaokul"

Seçmeli ders

10-11. sınıflardaki öğrenciler için

Denklemler, eşitsizlikler ve sistemler,

Tarafından düzenlendi:

Kaplunova Zoya Nikolaevna

matematik öğretmeni

    Açıklayıcı not…………………………………………..sayfa 2

    Müfredat ve tematik plan…………………………………...s. 6

    Anahtar kelime listesi……………………………………………………...sayfa 7

    Öğretmenler için edebiyat……………………………………………..sayfa 8

    Öğrenciler için edebiyat……………………………………s.8

Açıklayıcı not.

Okulda matematik öğretmenin temel görevi, öğrencilerin günlük yaşamda gerekli olan ve modern toplumun her üyesi için gerekli olan, ilgili disiplinleri incelemek ve sürekli eğitim için yeterli olan matematiksel bilgi ve beceriler sistemine güçlü ve bilinçli bir şekilde hakim olmalarını sağlamaktır.

Ana problemi çözmenin yanı sıra, daha derinlemesine bir matematik çalışması, öğrencilerde konuya sürdürülebilir bir ilginin oluşmasını, matematiksel yeteneklerinin tanımlanmasını ve geliştirilmesini, matematikle önemli ölçüde ilgili mesleklere yönelmeyi ve okulda çalışmaya hazırlanmayı içerir. üniversiteler.

Bir yandan temel matematik eğitiminin verilmesine, diğer yandan konuya ilgi gösteren herkesin ihtiyaçlarının karşılanmasına olanak tanıyarak matematik öğretiminin farklılaştırılması sorunu hala geçerliliğini korumaktadır.

Bu dersin programı “Denklemler, eşitsizlikler ve mutlak değer işareti içeren sistemler” temel okul matematiği dersinde tam olarak yer almayan ancak daha ileri çalışmalar için gerekli olan konuların incelenmesini sunmaktadır.

Mutlak değer (modül) kavramı, hem reel hem de karmaşık sayılar alanında bir sayının en önemli özelliklerinden biridir. Bu kavram sadece okul derslerinin çeşitli bölümlerinde değil aynı zamanda üniversitelerde okutulan yüksek matematik, fizik ve teknik bilimler derslerinde de yaygın olarak kullanılmaktadır. Örneğin, yaklaşık hesaplamalar teorisinde, yaklaşık bir sayının mutlak ve bağıl hataları kavramları kullanılır. Mekanik ve geometride, bir vektör ve onun uzunluğu (vektör modülü) kavramları incelenir. Matematiksel analizde bir sayının mutlak değeri kavramı limit, sınırlı fonksiyon gibi temel kavramların tanımlarında yer almaktadır. Mutlak değerlerle ilgili problemlere sıklıkla matematik olimpiyatlarında, üniversitelere giriş sınavlarında ve üniversite giriş sınavlarında rastlanmaktadır. Birleşik Devlet Sınavı.

Okul matematik dersi müfredatı, tüm çalışma süresi boyunca öğrenciler tarafından edinilen modüller ve bunların özellikleri hakkındaki bilgilerin genelleştirilmesini ve sistemleştirilmesini sağlamaz.

Bu nedenle, Denklemler, Eşitsizlikler ve Mutlak Değer İşareti İçeren Sistemler adlı bu ders, temel cebir ve giriş niteliğindeki analiz dersini genişletmek ve öğrencilere modüllerle ilgili ödevleri tamamlamanın temel tekniklerini ve yöntemlerini öğrenme fırsatı sağlamak için tasarlanmıştır. . Bu konularda araştırma ilgisini uyandırır, mantıksal düşünmeyi geliştirir ve gereken seviyeden daha karmaşık bir görevle çalışma deneyiminin kazanılmasına katkıda bulunur.

“Denklemler, eşitsizlikler ve mutlak değer işareti içeren sistemler” dersi, 10-11. sınıflardaki öğrencilerin özel eğitimine yöneliktir ve 34 saat (haftada 1 saat) için tasarlanmıştır.

Bu dersin öğretim sürecinde, öğrencilerin bilişsel aktivitelerini harekete geçirmek için çeşitli yöntemlerin yanı sıra bağımsız çalışmalarını organize etmenin çeşitli biçimlerinin kullanılması önerilmektedir.

Öğrenciler bu dersi okurken teorik materyalde uzmanlaşır ve pratik görevleri yerine getirirler. Kurs programına hakim olmanın sonucu, son derste yaratıcı çalışmaların sunumudur.

Ders çalışırken test kontrolü sağlanır.

Kurs Hedefleri:

* “Mutlak değer” konusundaki bilginin genelleştirilmesi ve sistemleştirilmesi, genişletilmesi ve derinleştirilmesi;

*Modüldeki görevleri tamamlama konusunda pratik beceriler kazanmak;

*Öğrencilerin matematik hazırlık düzeylerinin arttırılması.

Kurs Hedefleri

* Öğrencileri “Mutlak değer” konusunda bir bilgi sistemi ile donatmak

*değişen karmaşıklıktaki problemleri çözerken bu bilgiyi uygulama becerilerini geliştirmek;

*Öğrencileri Birleşik Devlet Sınavına hazırlamak;

*bağımsız çalışma ve grup çalışması becerilerini geliştirmek;

*referans literatürle çalışma becerilerini geliştirmek;

Eğitim materyallerine hakim olma düzeyi için gereklilikler

Ders programının incelenmesi sonucunda öğrenciler aşağıdaki fırsatlara sahip olurlar:

bilmek ve anlamak:

*Eşitsizlik denklemlerini ve modüllü sistemleri çözmek için tanımlar, kavramlar ve temel algoritmalar;

*mutlak değerin işaretini içeren fonksiyonların grafiklerini oluşturma kuralları;

Yapabilmek:

*Gerçek sayının mutlak değerinin tanımını, özelliklerini gerçek sayının çözümüne ve belirli problemlerin çözümüne uygulamak;

*modül işareti altında değişken içeren denklemleri, eşitsizlikleri, denklem sistemlerini ve eşitsizlikleri çözebilir;

*Küçük araştırmaları bağımsız olarak yürütebilme.

1.Giriş 1 saat

Dersin amaç ve hedefleri. Derste ele alınan konular ve yapısı. Edebiyatla tanışma, yaratıcı eserlerin konuları.

24 saat)

Mutlak değerin belirlenmesi. Modül kavramının geometrik yorumu. Mutlak değerler üzerinde işlemler. . Problem çözerken modül özelliklerinin uygulanması.

3. Mutlak değer işaretini içeren fonksiyonların grafikleri (8 saat).

Fonksiyon grafikleri oluşturmak için kurallar ve algoritmalar. Çift fonksiyonun tanımı. Modül işareti içeren fonksiyonların grafiklerinin geometrik dönüşümleri. En basit fonksiyon örneklerini kullanarak grafiklerin temel yapısı. Denklem grafikleri: y=f|x|; y=f(-|x|); y=|f(x)|; y=|f|x||; |y|=f(x),burada f(x)≥0; |y|=|f(x)|

4.Mutlak değer içeren denklemler.(10 saat)

Modülün tanımı gereği açıklanması, orijinal denklemden eşdeğer sisteme geçiş, denklemin her iki tarafının karesi, aralık yöntemi, grafik yöntemi, mutlak değer özelliklerinin kullanımı. Formun denklemleri: |f(x)|=0; f|x|=o; |f(x)|=g(x); |f(x)|=|g(x)|;

Mutlak değer içeren denklemleri çözerken değişkenleri değiştirme yöntemi. Mutlak değer içeren denklemlerin çözümü için aralık yöntemi. Formdaki denklemler:|f(x)|±|f(x)|±|f(x)|±…±|f(x)|=0; |f(x)|±|)f(x)|±|f(x)|±…±|f(x)|=g(x).

Mutlak değer içeren denklemlerin grafiksel çözümü.

5. Mutlak değer içeren eşitsizlikler (10 saat)

Bir bilinmeyenli eşitsizlikler. Eşitsizlikleri çözmek için temel yöntemler

|f(x)|>a modülüyle. a|f(x)|>g(x) formundaki eşitsizlikler; |f(x)|>|g(x)|.

6.Son ders (1 saat)

Yaratıcı çalışmaların sunumu.

Bölüm III. Eğitimsel ve tematik plan

Bölüm ve konu başlıkları

Pratik

Davranış şekli

kontrol şekli

giriiş

Bilgi Açık Artırması

Anket, kayıtlar

Bir reel sayının mutlak değeri

Ders, atölye

Temel notlar, problem çözme

Modül işareti altında bir değişken içeren ifadeleri basitleştirme

atölye

Problem çözme

Modül işareti içeren denklem grafikleri

Grafik çizmeye yönelik kurallar ve algoritmalar

Atölye

Kurallar ve yapım algoritmaları içeren not

Çift fonksiyonun tanımı. Grafiklerin geometrik dönüşümleri

Seminer - çalıştay

Temel özet, görevin çözümü

Denklem grafikleri: y=f|x|; y=f(-|x|); y=|f(x)|; y=|f|x||; |y|=f(x),burada f(x)≥0; |y|=|f(x)|

Çizimin ilerlemesini kontrol etme

Mutlak değer içeren denklemler

Modüllü denklemleri çözmek için temel yöntemler

Notlar, algoritmalar

Formun denklemleri: |f(x)|=0; f|x|=o; |f(x)|=g(x); |f(x)|=|g(x)|;

atölye

Çözülmüş görevleri kontrol etme

Modül işareti içeren denklemlerin çözümü için aralık yöntemi. Formdaki denklemler:|f(x)|±|f(x)|±|f(x)|±…±|f(x)|=0; |f(x)|±|)f(x)|±|f(x)|±…±|f(x)|=g(x).

Atölye

Temel notlar, çözülmüş görevleri kontrol etme

"Modül içinde modül" içeren denklemleri çözerken bir modülü sırayla ortaya çıkarmaya yönelik bir yöntem

atölye

Özet, not, kontrol ödevleri

Mutlak değer içeren denklemlerin grafiksel çözümü.

Atölye

Grafik testi

Mutlak değer içeren eşitsizlikler

Bir bilinmeyenli eşitsizlikler.

soyut

Modül ile eşitsizlikleri çözmek için temel yöntemler

atölye

Özet, çözüm doğrulama

a|f(x)|>g(x) formundaki eşitsizlikler; |f(x)|>|g(x)|.

atölye

Modül işaretini içeren eşitsizliklerin çözümü için aralık yöntemi.

atölye

Test kontrolü

Son ders

konferans

Özetler

Bölüm IV. Anahtar kelimelerin listesi.

Algoritma, denklem, eşitsizlik, modül, grafik, koordinat eksenleri, paralel öteleme, merkezi ve eksenel simetriler, aralık yöntemi, ikinci dereceden trinomial, polinom, polinom çarpanlara ayırma, kısaltılmış çarpma formülleri, simetrik denklemler, karşılıklı denklemler, mutlak değerin özellikleri, tanım alanı , kabul edilebilir değerler aralığı.

Bölüm V. Öğretmenler için edebiyat.

1. Bashmakov M.I. Denklemler ve eşitsizlikler. (Metin)/ M.I. Bashmakov.-M.: VZMSH

Moskova Devlet Üniversitesi'nde, 1983.-138s.

2.Vilenkin N.Ya ve diğerleri, Cebir ve matematiksel analiz, 11. sınıf. (Metin)/N.Ya.

Vilenkin-M.: Eğitim, 2007.-280 s.

3. Gaidukov I.I. Mutlak değer. (Metin)/ Gaidukov I.I. –M.: Eğitim, 1968.-96 s.

4. Gelfand I.M. ve diğerleri Fonksiyonlar ve grafikler (Metin) / I.M. Gelfand - M.: MTsNMO,

5. Goldich V.A. Zlotin S.E.t 3000 cebir problemleri (Metin)/V.A. Goldich S.E.-M.:

Eksmo, 2009.-350 s.

6. Kolesnikova S.I. Matematik. One için yoğun hazırlık kursu

Devlet sınavı. (Metin)/ Kolesnikova S.I. - M.: Iris-press 2004.-299 s.

7. Nikolskaya I.L. Matematikte isteğe bağlı ders. (Metin)/I.L. Nikolskaya...

M.: Aydınlanma, 1995.-80 s.

8.Olekhnik S.N. ve diğerleri. Standart dışı çözüm yöntemleri.

(Metin)/ .Olekhnik S.N.-M.: Bustard, 2002.-219 s.

Bölüm VI. Öğrenciler için edebiyat

1.Goldich V.A. Zlotin S.E.t 3000 cebir problemleri (Metin)/V.A. Goldich S.E.-M.:

Eksmo, 2009.-350 s.

2. Kolesnikova S.I. Matematik. One için yoğun hazırlık kursu

Belge

... İçinseçenek bir veya başka bir akademik konunun (müfredat dahilinde, bölüm: “ Seçmelidersler")V 10 -11 sınıflar...ve aynı zamanda sistem ek eğitim. İçin bu kategoriler öğrenciler Ağ eğitimi geliştirildi ve uygulandı derslerİle herkes...

  • Eylem N 4 51-1 "Bilgi teknolojilerinin uygulanmasına dayalı en az 18 derste konu odaklı modüllerin oluşturulmasına dayalı ortaöğretim okullarında öğretim yöntemlerinin iyileştirilmesi; bilimsel ve eğitimsel teknolojilerin geliştirilmesi

    Rapor

    ... öğrenciler. Bu çalışma sunar seçmeliPekiİle matematik "Matematiksel analizin ilkeleri ve uygulamaları" İçin10 - 11 profil sınıflar... bağımlılıklar ve ilişkiler (işlevler, denklemler, eşitsizlikler vesaire.). Genellikle ilk olarak belirlenir...

    • Ana ders içeriği

    Bir sayının mutlak değeri. Temel özellikler (1 saat).

    Bir sayının veya modülün mutlak değerinin belirlenmesi. Tanımın analitik kaydı. Geometrik anlamı. Temel özellikler. Tarihsel referans.

    Temel amaç, öğrencilerin 6. ve 8. sınıflarda edindikleri “Mutlak değer” konusundaki bilgilerini sistematikleştirmek ve genelleştirmek; mutlak değerin geometrik anlamını ve temel özelliklerini göz önünde bulundurun; “modül” ve “modül işareti” terimlerinin ortaya çıkışı hakkında tarihsel bilgi vermek; Çözümü bir modülün tanımına dayanan örnekleri düşünün.

    Modüllerle denklem çözme (3 saat).

    Modüllü doğrusal, ikinci dereceden denklemlerin yanı sıra parametrelerle mutlak değerler içeren denklemlerin çözülmesi.

    birincil hedef– ifadenin geometrik yorumu ve formdaki denklemlerin çözümünde kullanılması; modülün tanımına dayalı olarak doğrusal denklemleri çözmeyi düşünün; mutlak bir değerin işaretini içeren ikinci dereceden denklemlerin çözülmesi ve ayrıca mutlak değer içeren denklemlerin parametrelerle grafiksel olarak çözülmesi.

    Eşitsizliklerin modüllerle çözülmesi (3 saat).

    Modüllerle doğrusal, ikinci dereceden eşitsizliklerin yanı sıra parametrelerle mutlak değerler içeren eşitsizliklerin çözülmesi.

    birincil hedef– modüllü doğrusal eşitsizlikleri çeşitli yollarla çözme becerisini geliştirmek (geometrik anlamı kullanmak, bir eşitsizliğin karesini almak, çift eşitsizliği kullanmak); ikinci dereceden bir fonksiyonun grafiğinin şematik bir taslağının yanı sıra aralık yöntemini kullanarak mutlak bir değer işareti içeren ikinci dereceden eşitsizlikler; Mutlak değer içeren eşitsizliklerin parametrelerle çözümü konusunda fikir verir.

    Aralık yöntemi (2 saat).

    Mutlak değer içeren denklemleri ve eşitsizlikleri aralık yöntemini kullanarak çözme.

    birincil hedef – okul çocuklarına mutlak değerler içeren denklemleri ve eşitsizlikleri aralık yöntemini kullanarak çözmeyi öğretmek; sabit işaretli aralıkların araştırılmasının dayandığı bir teoremi formüle edin; sıfır modül bulma.

    Eşdeğer geçişler (2 saat) aracılığıyla çözülen formdaki eşitsizlikler.

    Formdaki eşitsizlikleri, bir eşitsizlikler kümesine ve eşitsizlikleri bir eşitsizlikler sistemine eşdeğer geçişler yoluyla çözmek.

    birincil hedef– 8. sınıftan itibaren öğrencilerin bildiği denklik kavramını pekiştirmek; Eşitsizlikten bir kümeye ve eşitsizlikten bir sisteme eşdeğer geçişin özelliğini formüle edin (ve “güçlü” sınıfta kanıtlayın).

    Denklem ve eşitsizliklerin çözümünde mutlak değer özelliklerinin uygulanması (1 saat).

    Mutlak değer özelliklerini kullanarak denklem ve eşitsizliklerin (doğrusal, ikinci dereceden, ikiden büyük dereceler) yanı sıra denklem ve eşitsizlik sistemlerini çözme.

    birincil hedef– gerekirse modülün temel özelliklerini tekrarlayın; öğrencilere denklemleri ve eşitsizlikleri (doğrusal, ikinci dereceden, ikinin üzerinde dereceler) ve ayrıca mutlak değer özelliklerini kullanarak denklem ve eşitsizlik sistemlerini çözmeyi öğretmek; cevap yazarken grafik tekniklerini gösterin; Modüllü denklem sınıfını genişletin (iki değişkenli bir denklem düşünün).

    Koordinat doğrusu üzerinde mutlak değerli denklem ve eşitsizliklerin çözümü (1 saat).

    Koordinat doğrusu üzerinde mutlak değeri olan doğrusal denklem ve eşitsizliklerin çözümü.

    birincil hedef– iki A noktası arasındaki mesafe için formülü tekrarlayın ( x 1) ve B( x 2) koordinat çizgisi; Öğrencilere koordinat doğrusu üzerinde modüllü denklem ve eşitsizlikleri çözmeyi öğretin.

    Köklerin modülü ve dönüşümü (1 saat).

    Aritmetik köklerle işlemlerde modül kavramının uygulanması. Çözümü modülü kullanan irrasyonel ifadelerin dönüşümü.

    birincil hedef– Modülün kullanıldığı karekök içeren ifadelerin dönüşümlerini gerçekleştirme yeteneğini geliştirmek.

    Modül ve irrasyonel denklemler (2 saat).

    İrrasyonel denklemleri tam kareyi ayırma veya yeni bir değişken ekleme yöntemini kullanarak çözme.

    birincil hedef– 8. sınıf öğrencilerinin bildiği irrasyonel denklemlerin tanımlarını tekrarlayınız; Modülün kullanılması ihtiyacı ile ilgili irrasyonel denklemlerin çözümünü örneklerle gösterin.

    Eğitimsel ve tematik plan

    HAYIR. Ders Saat sayısı Ders yürütme şekli kontrol şekli Eğitim ürününün adı
    1 Bir sayının mutlak değeri. Temel özellikler. 1 ders - -
    2 Denklemlerin modüllerle çözülmesi:

    Doğrusal;

    Kare;

    Parametrelerle.

    		 1 atölye

    atölye

    yeni materyal öğrenme

    		 test görevlerini çözme

    test görevlerini çözme

    çalışma kitaplarını kontrol etmek

    		 -
    5 Eşitsizlikleri modüllerle çözme:

    Doğrusal;

    Kare;

    Parametrelerle.

    		 1 atölye

    yeni materyal öğrenme

    		 ödevi kontrol etmek

    sorulara verilen cevaplar

    çalışma kitaplarını kontrol etmek

    		 -
    8 Aralık yöntemi. 1 birleşik ders

    ders yarışması

    		 sorulara verilen cevaplar

    akran değerlendirmesi dersi

    		 -
    10 Formdaki eşitsizliklerin çözümü, eşdeğer geçişler yoluyla çözülür. 1 yeni materyal öğrenme

    öğrenilen materyalin pekiştirilmesi

    		 notları kontrol etmek

    matematiksel dikte

    		 -
    12 Denklem ve eşitsizliklerin çözümünde mutlak değer özelliklerinin uygulanması. 1 sözlü anket -
    13 Koordinat doğrusu üzerinde mutlak değeri olan denklem ve eşitsizliklerin çözümü. 1 Bilginin genelleştirilmesi ve sistemleştirilmesi bağımsız iş -
    14 Köklerin modülü ve dönüşümü. 1 atölye grup çalışması -
    15 Modül ve irrasyonel denklemler. 1 Veri kaydediciyi kontrol etme ve düzeltme

    danışma

    		 ev testi

    sorulara verilen cevaplar

    		 -
    17 Geçmek. 1 test et veya test et - arka plan notlarının hazırlanması

    Öğretmenler için literatür listesi

    • Golubev V.I. Matematikte rekabetçi sınavlardaki sayının mutlak değeri (ülkenin önde gelen üniversitelerinden alınan materyallere dayanmaktadır). - Lvov: Quantor, 1991.
    • Golubev V. “Mutlak değer” konusundaki problemleri çözmek için etkili yöntemler - M .: Chistye Prudy, 2006.
    • Dankova I.N., Bondarenko T.E., Emelina L.L., Pletneva O.K. 9. sınıf öğrencilerinin matematik alanında ön profil hazırlanması - M.: Bilgi için 5, 2006.
    • Rurukin A.N. Matematik sınavına yoğun hazırlık için bir el kitabı “Mezuniyet, giriş, 5+ için Birleşik Devlet Sınavı.” - M .: VAKO, 2006.
    • Smykalova E.V. Matematik (modüller, parametreler, polinomlar), profil öncesi hazırlık, 8-9 sınıflar - St. Petersburg: SMIO-Press, 2006.

    Öğrenciler için edebiyat listesi

    • Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik. Referans materyalleri - M .: Eğitim, 1988.
    • Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.Kh. Üniversitelere girenler için Matematik üzerine bir el kitabı - M.: Nauka, 1973.
    • Zorin V.V. Üniversitelere girenler için matematik üzerine bir el kitabı - M.: Yüksek Okul, 1974.
    • Ivlev B.M., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P., Shvartsburd S.I. Cebirde artan karmaşıklık sorunları ve analiz ilkeleri - M.: Eğitim, 1990.
    • Kalnin R.A. Cebir ve temel işlevler, “Nauka” yayınevi, fiziksel ve matematiksel literatürün ana yazı işleri bürosu - M.: Nauka, 1975.
    • Krulikovsky N.N. Başvuru sahipleri için matematik problemleri - Tomsk: ed. Tomsk Üniversitesi, 1973.
    • Nesterenko Yu.V., Olehnik S.N., Potapov M.K. Matematikte giriş sınavlarının amaçları - M.: Nauka, 1986.
    • Sharygin I.F. Lise öğrencileri için matematik, Moskova, “Drofa”, 1995.

    Metodolojik materyaller

    Ders 1: Bir sayının mutlak değerinin (bir sayının modülü), geometrik anlamının ve temel özelliklerinin belirlenmesi.

    Bir a gerçek sayısının mutlak değeri (veya modülü), eğer negatif değilse sayının kendisidir ve bu sayı, negatifse zıt işaretle alınır.

    Bir sayının modülü şu şekilde gösterilir: Bir sayının modülü ile sayının kendisi arasında bir bağlantı kurarak tanımın analitik gösterimini elde ederiz:

    =

    Bir sayının modülü aynı zamanda orijinden koordinat doğrusu üzerinde bu sayıyı temsil eden noktaya kadar olan mesafedir. Bu geometrik anlamı modülü. O. Bir sayının “modülü”, “mutlak değeri” veya “mutlak değeri” terimleri kullanılır. Yukarıdaki tanıma göre = 5, = 3, =0. Bir sayının modülü a ve – a sayılarının en büyüğü olarak da tanımlanabilir.

    Tarihsel bilgi: “Modül” terimi (Latince modül - ölçüden) İngiliz matematikçi R. Cotes (1682-1716) tarafından ve modül işareti Alman matematikçi K. Weierstrass (1815-1897) tarafından tanıtıldı. 1841'de.

    Modülün ana özellikleri:

    Çözümü modülün tanımına dayanan örneklere bakalım.

    Hayır. 1. =4 denklemini çözün.

    Modül tanımı gereği; X=4 veya X=-4.

    Hayır. 2. Denklemi çözün: =3.

    Denklem iki denklemin birleşimine eşdeğerdir:

    Nerede: x 1=2 ve x 2=-1.

    Hayır. 3. Denklemi çözün: =-2.

    Özellik 1'e göre: herhangi bir gerçek sayının modülü negatif olmayan bir sayıdır, bir çözüm olmadığı sonucuna varırız.

    Hayır. 4. Denklemi çözün: = X–5.

    Aynı özellik 1 için: X–50, X 5.

    Hayır. 5. Denklemi çözün: + X=0.

    =- x, X 0.

    Hayır. 6. Denklemi çözün: = X+2.

    Önceki örnekten farklı olarak bu denklemin sağ tarafında değişkenli bir ifade yer alıyor. Bu nedenle denklemin bir çözümü vardır, şu şartla: X+20, yani x-2. O zaman elimizde:

    2x+1= x +2 veya

    2x+1 = - x – 2.

    O. en x -2, sahibiz:

    Denklemleri çözün:

    Ders No.2. Modüllerle doğrusal denklemlerin çözümü.

    Doğrusal denklemleri çözerken ya bir sayının modülünün geometrik anlamı ya da modülün işaretinin açıklanması kullanılır. Bir örneğe bakalım: denklemi çözelim

    a) Bir sayının modülünün geometrik anlamını kullanırız. Denklemi +=7 şeklinde yazalım. Daha sonra d=x–5- noktadan uzaklık X sayı doğrusunda 5 noktasına f =x–(-2)- noktadan uzaklık X(-2) noktasına kadar problemin durumuna göre bu mesafelerin toplamı alınır. d+f=7. Sayı doğrusu üzerinde 5 ve -2 noktalarını işaretleyelim. [-2;5] aralığındaki herhangi bir sayı için mesafelerin toplamının olup olmadığını kontrol etmek kolaydır. d+f AB segmentinin uzunluğuna eşittir, yani. 7. Puanların ne olacağını ayarlamak da kolaydır x veya x>5 mesafelerin toplamı d+f>7. Bu nedenle denklemin çözümü aralıktır.

    b) Modül işaretini genişletelim. Bunu yapmak için sayı doğrusunda -2 ve 5 noktalarını işaretleyin. Bu noktalar onu üç aralığa böler. Her aralıktaki modüllerin işaretlerini ele alalım.

    Aralık 1'de (x'i elde ederiz: -(x–5)–(x+2)=7 veya –x+5–x–2=7 veya - 2x+3=7, nereden alıyoruz: x=-2. Ancak bu nokta dikkate alınan aralığa dahil değildir. Bu yüzden x=-2 bir çözüm değil.

    2. aralıkta: Xşunu elde ederiz: -(x–5)+(x+2)=7 veya 7=7. Eşitlik doğru olduğundan bu aralıktaki herhangi bir nokta bu denklemin çözümüdür.

    Aralık 3'te (x>5)şunu elde ederiz: (x-5)+(x+2)=7 veya 2x-3=7, Neresi x=5. Nokta x=5 söz konusu aralığa dahil değildir ve denklemin bir çözümü değildir.

    Yani bu denklemin çözümü: -2x5.

    Denklemleri çözün:

    3 numaralı ders. Modüllü ikinci dereceden denklemlerin çözümü.

    Örnekleri kullanarak ikinci dereceden denklemleri modüllerle çözmeyi düşünelim:

    1 numara. Denklemi çözün

    Değiştirmeyi tanıtalım =y, sonra y 0 denklem şu şekli alır:

    y 2 –6у+8=0, buradan y 1 = 2 ve y2 = 4. bir x= 2 veya -2; 4 veya -4.

    2 numara. Denklemi çözün:

    Denklem sisteme eşdeğerdir: Nereden X=1.

    Numara 3. Denklemi çözün:

    2X – 1.

    Denklemin 2 şartıyla bir çözümü vardır X–10 ve eşitlik sağlanması koşuluyla mümkündür: ifadelerin anlamları x 2 + x–1 ve 2 X–1 aynı veya zıttır. O. elimizde: x0,5. Denklemleri oluşturalım: x 2 + x–1=2X–1 veya x 2+X–1=-(2X-1); bunu çözerek elde ederiz

    4 numara. Denklemin köklerini bulun: .

    Bu denklemi şu şekilde sunalım: = X 2 – 1, buradan:

    x – 1 = x 2 – 1,

    veya x – 1 = - (x 2 – 1).

    x 2 – 1 de x - 1 Ve x 1.Denklemleri çözerek ilkinden şunu elde ederiz: x=0 Ve x=1, ikincisinden: x=-2 Ve x=1.

    Cevap: x=1; x=-2.

    Numara 5. Denklemin tam köklerini bulun: = .

    Bir modülün tanımını kullanarak, ifadelerin değerlerinin eşit olması durumunda eşitliğin mümkün olduğu sonucuna varıyoruz. x–x 2 –1 Ve 2x+3–x2 eşit veya zıt, yani bu denklem iki denklemin birleşimine eşdeğerdir:

    Kümeyi çözerek bu denklemin köklerini elde ederiz: x=-4;-0,5;2. Aralarındaki tam sayılar: -4 ve 2.

    6 numara. Denklemi çözün: =2x 2 –3x+1.

    İfadeyi gösterelim 3x-1-2x2 mektup A. O zaman bu denklem şu şekli alacaktır: =-a. Modül tanımının analitik gösterimine dayanarak, bu denklemin eşitsizliğe eşdeğer olduğu sonucuna varabiliriz: 3x–1-2x 2 0 Bunu çözersek şu cevabı alırız: x0,5 Ve x1.

    Bağımsız çalışma için alıştırmalar.

    Denklemi çözün:

    1.=x 2 + x–20.

    2 numara. + 3x -5=0,

    Numara 3. =(x–1)(x+1),

    4 numara. x 2 –6+5=0,

    Numara 5. x 2 +8=9,

    6.=x 2 –6x+6,

    7 numara. x = -8.

    4 numaralı ders. Mutlak değer içeren denklemlerin parametrelerle çözülmesi.

    Bir örneğe bakalım: parametreli bir denklemi çözün

    Fonksiyonların grafiklerini oluşturalım y=3–x Ve y=. Takvim y=3–x sabittir ve parametreye bağlı değildir. Takvim y= fonksiyonun grafiğinden elde edilen y=, parametreye bağlıdır A. Bu nedenle 3 durumu ele alalım:

    Bu durum, şekilden de görülebileceği gibi, ne zaman olacaktır? A. Bu fonksiyonların grafikleri tek bir B noktasında kesişmektedir. A açısının B açısına ve 45 0'a eşit olduğu ABC üçgenini düşünün, bu üçgenin VD yüksekliğini çizin. Çünkü ABC üçgeni ikizkenar ise BD de bu üçgenin medyanıdır. Bu nedenle D noktasının apsisi X=(a + 3)/2.

    Bu durum şu durumlarda ortaya çıkar: A=3. Daha sonra fonksiyonların grafikleri AB doğru parçası boyunca çakışır ve bu ışın üzerindeki herhangi bir noktanın apsisi bu denklemin bir çözümüdür, yani. X

    Bu durumda A>3. Fonksiyonların grafiklerinin kesişmediği görülmektedir. hiçbir ortak noktası yoktur. Bu nedenle denklemin çözümü yoktur.

    Bağımsız çalışma için alıştırmalar:

    Denklemleri çözün:

    Numara 3. (a–2)=a–2,

    4 numara. a 2 x 2 + a = 0.

    5 numaralı ders. Doğrusal eşitsizliklerin modüllerle çözülmesi.

    Modül işareti altında bir değişken içeren eşitsizlikler çeşitli yollarla çözülür; Oldukça basit bir örneğe bakalım:

    Hayır. 1. Eşitsizliği çözün:

    Birinci yöntem: Elimizde: >4,

    Geometrik olarak ifade, koordinat çizgisi üzerindeki noktalar arasındaki mesafe anlamına gelir. X ve 2.5. Bu, tüm bu noktaları bulmamız gerektiği anlamına gelir X 2,5 noktasından 2'den fazla uzakta olan noktalar aralıklardan gelen noktalardır x ve x>4,5.

    İkinci yöntem: Verilen eşitsizliğin her iki tarafı da negatif olmadığından eşitsizliğin her iki tarafının karesini alırız: 2 >4 2.

    (2x–5) 2 >4 2 ,

    (2x–5) 2 –16>0,

    (2x–5–4)(2x–5+4)>0,

    2(x–4,5) 2(x–0,5)>0,

    (x–4,5)(x–0,5)>0.

    Aralık yöntemini uygulayarak şunu elde ederiz: x.5 ve x>4,5.

    Üçüncü yol: İfade 2x–5 negatif olmayabilir veya negatif olabilir. Onlar. iki sistemin bir kombinasyonuna sahibiz:

    Nerede: x ve x>4,5.

    Birkaç örneğe daha bakalım.

    Örnek No. 2. Eşitsizliği çözün:

    Bu eşitsizlik iki sistemin birleşimine eşdeğerdir:

    Aldığımız ilk sistemden 2x, ikinciden itibaren -1-1

    Örnek No. 3. Eşitsizliği çözün: 3 x+3.

    Bu eşitsizlik çift eşitsizliğe eşdeğerdir -x-33x–3x+3 veya sistem

    Sahibiz : 0x3.

    Bağımsız çalışma için alıştırmalar:

    Eşitsizlikleri çözün:

    №3. ->-2.

    6 numaralı ders.İkinci dereceden eşitsizliklerin modüllerle çözülmesi.

    1 numaralı örneğe bakalım. Eşitsizliği çözün: +x–2.

    Bu eşitsizlik aralık yöntemi kullanılarak çözülebilir. Aşağıdaki ifadeye dayanarak başka bir çözüm düşünelim: a'nın herhangi bir değeri için eşitsizlik, eşitsizlikler sistemine eşdeğerdir: ,ve eşitsizlikbir dizi eşitsizliklere eşdeğerdir.

    Bu nedenle eşitsizliğimiz bir eşitsizlik sistemine eşdeğerdir: bunu çözersek şunu elde ederiz:

    Cevabını yazalım: (1-;2-).

    Örnek No. 2. Eşitsizliğin tamsayı çözümlerini bulun: 2x–x2. Sorun iki eşitsizlik sisteminin çözümüne indirgeniyor:

    İlk sistemi çözelim: elimizdeki ilk eşitsizlikten: x1; x2.

    ikincisinden: 2x 2 –5x+20, veya 0,5x2.

    Birinci sistemin koordinat doğrusu üzerindeki birinci ve ikinci eşitsizliklerinin bulunan çözümlerini not ettikten sonra çözümlerin kesişimini buluyoruz.

    O. 0,5x1 Ve x=2. Bu birinci sistemin çözümüdür.

    İkinci sistemi çözelim: elimizdeki ilk eşitsizlikten: 1-(x 2 -3x+2)2x–x 2, veya – x 2 +3x–2–2x+ x 2 0, veya x2.

    Koordinat doğrusu üzerindeki ikinci sistemin birinci ve ikinci eşitsizliklerinin bulunan çözümlerini not ederek şunu elde ederiz: 1

    Bulunan çözümlerin eşitsizlik sistemlerine birleştirilmesi 0,5x1; x=2; 1 0,5x2 vesaire. tüm çözümler olacak x=1 Ve x=2.

    Bağımsız çalışma için alıştırmalar:

    Eşitsizlikleri çözün:

    4 numara. x 2 -3+2>0,

    6 numara. x 2 -6x+7-

    7 numara. 3+x2 –7>0,

    №8. >.

    Ders No.7. Mutlak değer içeren eşitsizliklerin parametrelerle çözülmesi.

    Örnek. Hangi değerlerde A eşitsizlik doğrudur: ah 2 +4+a+3 ?

    Şu tarihte: x0 sahibiz ah 2 +4x+a+3. Kıdemli katsayı A negatif olmalı, diskriminant sıfırdan küçük olmalıdır.

    a 16–4a(a+3) 0; yapay zeka a>1;

    bir parabolün tepe noktasının apsisi x 0 = -b/2a=- 4/2a=-2/a 0, Neresi A.

    Şu tarihte: x elimizde ah 2 –4x+a+3. Benzer şekilde tartışarak şunu elde ederiz: A.

    Cevap: ne zaman ve bu eşitsizlik x'in tüm gerçek değerleri için geçerlidir.

    Bağımsız çalışma için alıştırmalar:

    Eşitsizlikleri parametrelerle çözün:

    Numara 3. Eşitsizliğin olduğu a değerleri var mı? ah 2 >2+5 hiçbir çözümü yok mu?

    8 - 9 Numaralı Dersler. Modül içeren denklem ve eşitsizliklerin çözümü için aralık yöntemi.

    Denklemin çözümü örneğini kullanarak aralık yöntemini ele alalım

    -+3-2=x+2.

    Bu eşitsizliği çözmek için modüllerin genişletilmesi gerekmektedir. Bunu yapmak için, modül işaretinin altındaki ifadelerin her birinde yalnızca pozitif veya negatif değerler aldığı aralıkları seçiyoruz. Bu tür aralıkları bulmak şu teoreme dayanmaktadır: (a; b) aralığında f fonksiyonu sürekliyse ve sıfırlanmıyorsa, bu aralıkta sabit işaretini korur.

    Sabit işaretli aralıkları vurgulamak için modülün altında yazılan ifadelerin sıfır olduğu noktaları buluyoruz:

    x+1=0, x=-1; x=0; x–1=0, x=1; x–2=0, x=2.

    Ortaya çıkan noktalar çizgiyi gerekli aralıklara bölecektir. İfadelerin işaretlerini tanımlayalım

    şu aralıklarda x+1, x, x–1, x–2:

    İşaretleri dikkate alarak modülleri genişleteceğiz. Sonuç olarak, bu denkleme eşdeğer bir dizi sistem elde ederiz:

    Son set şu şekle indirgenmiştir:

    Sistemler kümesinin çözümü ve bu denklem: -2; X 2.

    Kullanılan tekniğe denir aralık yöntemi. Eşitsizliklerin çözümünde de kullanılır.

    Eşitsizliği çöz: +x–2

    1) İfadenin sıfırlarını bulun: x 2 -3x.

    x 1 =0, x 2 =3.

    2) Koordinat doğrusunu aralıklara bölelim ve ifadenin işaretini koyalım x 2 -3x her aralıkta:

    3) Modülü genişletelim:

    Birinci sistemin çözümü: , ikincinin çözümü. Bu eşitsizliğin çözümü: .

    Bağımsız çalışma için alıştırmalar:

    №3

    Ders No. 10 - 11. Formdaki eşitsizlikleri çözme , eşdeğer geçişler yoluyla.

    ve şeklindeki eşitsizlikleri ele alalım. Aşağıdaki teoremi kanıtsız kabul edelim: bir eşitsizliğin herhangi bir değeri içineşitsizlikler sistemine eşdeğerdir ve eşitsizlikbir dizi eşitsizliklere eşdeğerdir

    Bir örneğe bakalım: eşitsizliği çözelim: >x+2.

    Formüle edilen teoremi kullanarak eşitsizlikler kümesine geçelim:

    Sistem ve eşitsizlik 0x>2 hiçbir çözümü yok. Bu nedenle nüfusun (ve bu eşitsizliğin) çözümü X.

    Bağımsız çalışma için alıştırmalar:

    12 numaralı ders. Denklem ve eşitsizliklerin çözümünde mutlak değer özelliklerinin uygulanması.

    Bazı görevleri çözerken modülün özellikleri kullanılır. (Gerekirse tekrarlayın, 1 numaralı derse bakın).

    Açıklayıcı not

    Matematik sadece bilim ve teknolojinin konuştuğu dil değildir, matematik insan uygarlığının dilidir. Pratik olarak insan yaşamının her alanına nüfuz etmiştir. Modern üretim, toplumun bilgisayarlaşması ve modern bilgi teknolojilerinin tanıtılması matematik okuryazarlığını gerektirir.

    Matematik eğitimi kişinin genel kültürünün oluşmasına katkı sağlar. Matematik çalışması, bir kişinin estetik eğitimine, matematiksel akıl yürütmenin güzelliğini ve zarafetini anlamasına katkıda bulunur.

    9. sınıflarda uygulanmak üzere “Mutlak değer işareti içeren denklemler ve eşitsizlikler” seçmeli dersi oluşturuldu.

    Ders, öğrencilerin bir sayının mutlak değeri kavramı, fonksiyonların grafiğinin çizilmesi ve mutlak değer işaretini içeren denklem ve eşitsizliklerin grafiksel çözümü ile ilgili konularda bilgi ve becerilerini geliştirmek için tasarlanmıştır.

    Mutlak değer (modül) kavramı, hem gerçek sayılar hem de karmaşık sayılar alanında bir sayının en önemli özelliklerinden biridir. Bu kavram sadece okul matematik dersinin çeşitli bölümlerinde değil aynı zamanda üniversitelerde okutulan yüksek matematik, fizik ve teknik bilimler derslerinde de yaygın olarak kullanılmaktadır. Örneğin, yaklaşık hesaplamalar teorisinde, yaklaşık bir sayının mutlak ve bağıl hataları kavramları kullanılır. Mekanik ve geometride, bir vektör ve onun uzunluğu (vektör modülü) kavramları incelenir. Matematiksel analizde bir sayının mutlak değeri kavramı limit, sınırlı fonksiyon vb. gibi temel kavramların tanımlarında yer alır. Mutlak değerlerle ilgili problemlere sıklıkla matematik olimpiyatlarında, üniversite giriş sınavlarında ve Birleşik Devlet sınavı.

    Kurs, öğretmenin öğrencileri matematik olimpiyatlarına, Birleşik Devlet Sınavına, Birleşik Devlet Sınavına ve üniversitelere giriş sınavlarına mümkün olan en iyi şekilde hazırlamasına yardımcı olacaktır.

    Seçmeli ders programı, ele alınan konuların teori ve pratiğine aşina olmayı içerir ve 34 saat için tasarlanmıştır: 7,5 saat ders ve 26,5 saat pratik ders.

    Ders içeriği giriş ve sonuç dersi de dahil olmak üzere sekiz bölümden oluşmaktadır. Öğretmen, öğrencilerin hazırlık düzeyine, çalışılan materyalin karmaşıklık düzeyine ve öğrencilerin bu konudaki algısına bağlı olarak, tüm konuları çalışma için almayabilir, diğerlerinin çalışma saatlerini artırabilir. Öğretmen ayrıca sunulan materyalin zorluk düzeyini de değiştirebilir.

    Program, yaratıcı çalışmaların konularını ve önerilen konulara ilişkin bir referans listesini içerir.

    Bu kursu inceleme sürecinde, okul çocuklarının bilişsel aktivitelerini geliştirmek için çeşitli yöntemlerin yanı sıra onların bağımsız çalışmalarını organize etmenin çeşitli biçimlerinin kullanılacağı varsayılmaktadır.

    Kurs programına hakim olmanın sonucu, okul çocuklarının son derste yaratıcı bireysel ve grup çalışmalarının sunumudur.

    Kurs Hedefleri:

    • öğrenciler arasında matematiğe sürdürülebilir bir ilgi geliştirmek;
    • pratik faaliyetlerde uygulama için gerekli olan özel matematik bilgisine hakimiyet;
    • cebir ve geometride sistematik bir kursa bilinçli hakimiyet için hazırlık;
    • “Mutlak değer” konusundaki bilginin genelleştirilmesi ve sistemleştirilmesi, genişletilmesi ve derinleştirilmesi; modüldeki görevleri tamamlarken pratik beceriler kazanmak; Okul çocuklarının matematik eğitimi düzeyinin arttırılması.

    Kurs Hedefleri:

    • öğrencilerde geometrik dönüşüm yöntemini kullanarak mutlak değer işareti içeren fonksiyonların grafiklerini oluşturma, denklemleri ve eşitsizlikleri modüllerle çözme yeteneğini geliştirmek;
    • değişen karmaşıklıktaki çeşitli problemleri çözerken bu bilgiyi uygulama becerilerini geliştirmek;
    • öğrencileri Birleşik Devlet Sınavına hazırlamak;
    • bağımsız çalışma ve küçük gruplar halinde çalışma becerilerini geliştirmek;
    • referans kitapları ve bilgisayarlarla çalışma becerilerini geliştirmek;
    • araştırma çalışması becerilerini ve yeteneklerini geliştirmek;
    • öğrencilerin algoritmik düşünmelerinin gelişimini teşvik etmek;
    • matematiğe bilişsel ilginin oluşumunu teşvik etmek.

    (Haftada 1 saat, toplam 34 saat)

    1. Giriş (1 saat)

    Seçmeli dersin amaç ve hedefleri. Derste ele alınan konular ve yapısı. Edebiyatla tanışma, yaratıcı eserlerin konuları. Kurs katılımcılarında aranan şartlar. Açık artırma “Mutlak değer hakkında ne biliyorum?”

    2. A reel sayısının mutlak değeri (4 saat)

    Gerçek sayının mutlak değeri a. Zıt sayıların modülleri. Modül a kavramının geometrik yorumu. Sonlu sayıda reel sayının toplamının modülü ve farkının modülü. İki sayının modülleri arasındaki farkın modülü. Çarpım modülü ve bölüm modülü. Mutlak değerler üzerinde işlemler. Modül işareti altında bir değişken içeren ifadelerin basitleştirilmesi. Olimpiyat problemlerini çözerken modül özelliklerinin uygulanması.

    3. Analitik ifadesi mutlak değerin işaretini içeren denklemlerin grafikleri (fonksiyonlar dahil) (5 saat)

    Analitik ifadesi modül işaretini içeren fonksiyonların grafiklerinin oluşturulmasında “Gelişmiş Grapher” bilgisayar programının uygulanması. Analitik ifadesi modül işaretini içeren denklemlerin grafiklerini oluşturmak için kurallar ve algoritmalar. Denklem grafikleri

    Analitik ifadesi modül işaretini içeren, açıkça ve örtülü olarak belirtilen en basit fonksiyonlardan bazılarının grafikleri. Analitik ifadesi Olimpiyat görevlerinde mutlak değerin işaretini içeren denklem grafikleri (fonksiyonlar dahil).

    4. Mutlak değer içeren denklemler (11 saat)

    Modüllü denklemlerin çözümü için temel yöntemler. Modülün tanım gereği açıklanması, orijinal denklemden eşdeğer sisteme geçiş, denklemin her iki tarafının karesi, aralık yöntemi, grafik yöntemi, mutlak değer özelliklerinin kullanımı. Formun denklemleri

    Mutlak değer içeren denklemleri çözerken değişkenleri değiştirme yöntemi. Mutlak değer içeren denklemlerin çözümü için aralık yöntemi. Formun denklemleri

    "Modül içinde modül" içeren denklemleri çözerken bir modülü sırayla ortaya çıkarmaya yönelik bir yöntem. Mutlak değer içeren denklemlerin grafiksel çözümü. Denklem çözerken mutlak değerin özelliklerini kullanma. Mutlak değer içeren parametreli denklemler. Çözülmüş Olimpiyat ödevlerinin savunulması.

    5. Mutlak değer içeren eşitsizlikler (7 saat)

    Form eşitsizlikleri

    Form eşitsizlikleri

    Modül işareti içeren eşitsizliklerin çözümü için aralık yöntemi. Mutlak değer içeren parametrelerle eşitsizlikler. İki değişkenli eşitsizlikler.

    Mutlak değer içeren denklem ve eşitsizlik sistemleri.

    Mutlak değer kavramının kullanıldığı diğer sorular.

    6. Son ders (1 saat)

    Takvim ve tematik planlama

    İsim

    bölümler ve konular

    Saat sayısı

    giriiş

    Gerçek sayı a'nın mutlak değeri (4 saat)

    Gerçek sayının mutlak değeri a. Temel teoremler

    Mutlak değerler üzerinde işlemler

    Modül işareti altında bir değişken içeren ifadeleri basitleştirme

    Olimpiyat problemlerini çözerken modül özelliklerinin uygulanması

    Analitik ifadesi mutlak değer işareti içeren denklemlerin grafiğini çizme (5 saat)

    Analitik ifadesi modül işaretini içeren fonksiyonların grafiklerinin oluşturulmasında "Gelişmiş Grapher" bilgisayar programının uygulanması

    Analitik ifadesi modül işaretini içeren grafiklerin (fonksiyonlar dahil) oluşturulmasına yönelik kurallar ve algoritmalar

    Denklem grafikleri

    Analitik ifadesi modül işaretini içeren, açıkça ve örtülü olarak belirtilen bazı basit fonksiyonların grafikleri

    Olimpiyat görevlerinde analitik ifadesi mutlak değer işareti içeren denklem grafikleri

    Mutlak değer içeren denklemler (11 saat)

    Modüllü denklemleri çözmek için temel yöntemler

    Formun denklemleri

    Mutlak değer içeren denklemleri çözerken değişkenleri değiştirme yöntemi

    Mutlak değer içeren denklemlerin çözümü için aralık yöntemi. Formun denklemleri

    "Modül içinde modül" içeren denklemleri çözerken bir modülü sırayla ortaya çıkarmaya yönelik bir yöntem

    Mutlak değer içeren denklemlerin grafik çözümü

    Denklemleri Çözmek İçin Mutlak Değerin Özelliklerini Kullanmak

    Mutlak değer içeren parametreli denklemler

    Çözülmüş Olimpiyat ödevlerinin korunması

    Mutlak değer içeren eşitsizlikler (13 saat)

    Bir bilinmeyenli eşitsizlikler. Modül ile eşitsizlikleri çözmek için temel yöntemler

    Modül ile eşitsizlikleri çözmek için temel yöntemler

    Form eşitsizlikleri

    İki değişkenli eşitsizlikler

    Mutlak değer içeren denklem ve eşitsizlik sistemleri

    Mutlak değer kavramının kullanıldığı diğer sorular

    Son ders

    Eğitimsel ve metodolojik materyallerin listesi

    1. Bashmakov M.I. Denklemler ve eşitsizlikler. – M.: VZMSH, Moskova Devlet Üniversitesi'nde, 1983.

    2.Vilenkin N.Ya. ve diğerleri. Cebir ve matematiksel analiz. 11. sınıf – M.: Eğitim, 1993.

    3. Gaidukov I.I. Mutlak değer. – M.: Eğitim, 1968.

    4. Galitsky M.L. ve diğerleri 8 – 9. sınıflarda cebir problemlerinin toplanması. – M.: Eğitim, 1995.

    5.Govorov V.M. ve diğerleri. Matematikte rekabet problemlerinin toplanması – M.: Prosveshchenie, 1983.

    6. Gornstein P.I. ve diğerleri. Parametrelerle ilgili sorunlar. – M.: Ilexa, Kharkov: Gymnasium, 2003.

    7. Kolesnikova S.I. Matematik. Birleşik Devlet için yoğun hazırlık kursu

    Sınav. M.: Iris-press, 2004.

    8.Merzlyak A.G. ve diğerleri. – M.: Ilexa, 2001.

    9. Mordkovich A.G. Cebir. 8. sınıf – M.: Mnemosyne, 2000.

    10. Neshkov K.I. ve diğerleri. İlişki. Sayılar. Miktarları. – M.: Eğitim, 1978.

    11. Nikolskaya I.L. Matematikte isteğe bağlı ders. – M.: Eğitim, 1995.

    12. Olehnik S.N. ve diğerleri. Standart dışı çözüm yöntemleri. 10 – 11 sınıflar –

    M.: Bustard, 1995.

    13. Sharygin I.F. Matematikte isteğe bağlı ders 10 – 11. sınıflar. – M.: Eğitim, 1989.

    14. Elektronik ders kitabı “Cebir 7 – 11”.

    15. Yastrebinetsky G.A. Parametrelerle ilgili sorunlar. – M.: Eğitim, 1986.

    Yaratıcı çalışmaların konuları

    1. Modülün mekanik ve vektör cebirine uygulanması.
    2. Limit tanımında modül.
    3. Hatalar.
    4. Analitik ifadesi modül işaretini içeren denklem grafiklerini (fonksiyonlar dahil) oluşturmaya yönelik kurallar ve algoritmaların taslak notu.
    5. “Analitik ifadesi modül işaretini içeren denklemlerin grafikleri” konulu “Matematiksel Loto” oyununun yapılması.
    6. Modüllü denklem ve eşitsizlikleri çözme yöntemlerine ilişkin referans sinyalleri projesi.
    7. Analitik ifadesi modül işaretini içeren, açıkça ve örtülü olarak belirtilen en basit fonksiyonlar ve bunların grafikleri.

    "Modül" fonksiyonunun grafiklerini oluşturma ve parametrelerle ilgili problemler geleneksel olarak matematikteki en zor konulardan biridir, bu nedenle her zaman Devlet Sınavı ve Birleşik Devlet Sınavının ileri ve yüksek seviyesindeki görevlere dahil edilir.

    “Modül” kavramı, okul matematik dersinin birçok bölümünde, örneğin mutlak çalışmada yaygın olarak kullanılmasına rağmen, 6. sınıftan itibaren okulda ve yalnızca tanımlar ve hesaplamalar düzeyinde çalışılmaktadır. ve yaklaşık bir sayının göreceli hataları; Geometri ve fizikte bir vektör ve onun uzunluğu (vektör modülü) kavramları incelenecektir. Modülün kavramları yükseköğretim kurumlarında okutulan yüksek matematik, fizik ve teknik bilimler derslerinde kullanılmaktadır.

    Mezunlar, 9. sınıfta Devlet Sınavını ve daha sonra Birleşik Devlet Sınavını başarıyla geçme sorunuyla karşı karşıyadır.

    Bu yıl matematik derslerinde doğrusal fonksiyon kavramıyla tanıştık ve grafiğinin nasıl oluşturulacağını öğrendik. Bu grafiğin “modül” fonksiyonunun oluşturulmasında temel alındığı gösterilmiştir. Ayrıca öğretmen denklemlerin bir ve birkaç modülle geldiğini söyledi. Özellikle sınavları geçerken bana faydalı olacağı için bu konuyu daha derinlemesine incelemeye karar verdim.

    Ders "Mutlak değer içeren denklemlerin çözümü için grafiksel yöntem"

    İşin amacı: Bir modül ve bir parametre içeren denklemlerin çözümü için modüllerle grafiklerin rasyonel oluşturulması olasılığının incelenmesi

      Modüllü denklemlerin çözüm yöntemleri teorisini inceleyin.

      Mutlak değer işareti içeren 1. derece denklemleri çözmeyi öğrenin.

      Denklem çözümünde kullanılan grafiksel yöntemleri sınıflandırır.

      Modül fonksiyonunun grafiklerini çizmek için çeşitli yöntemlerin avantajlarını ve dezavantajlarını analiz edin.

      Parametrenin ne olduğunu öğrenin

      Parametreli denklemleri çözmek için rasyonel yöntemleri uygulayın

    Nesne – modüllü denklemleri çözme yöntemleri

    Konu: Denklemleri çözmek için grafiksel yöntem

    Araştırma yöntemleri: teorik ve pratik:

    teorik - bu araştırma konusuyla ilgili literatür çalışmasıdır; İnternet bilgileri;

    pratik - bu, literatürün incelenmesinden elde edilen bilgilerin analizi, modüllü denklemleri çeşitli şekillerde çözerken elde edilen sonuçlardır;

    Denklem çözme yöntemlerinin karşılaştırılması, modüllü çeşitli denklemleri çözerken kullanımlarının rasyonelliğinin konusudur.

    Kavramlar ve tanımlar

    1.1. "Modül" kavramı, okul matematik dersinin birçok bölümünde, örneğin yaklaşık bir sayının mutlak ve bağıl hatalarının incelenmesinde yaygın olarak kullanılmaktadır; Geometri ve fizikte bir vektör ve onun uzunluğu (vektör modülü) kavramları incelenir. Modül kavramları, yükseköğretim kurumlarında okutulan yüksek matematik, fizik ve teknik bilimler derslerinde kullanılmaktadır.

    “Modül” kelimesi Latince “ölçü” anlamına gelen “modulus” kelimesinden gelir. Bu kelimenin birçok anlamı vardır ve sadece matematik, fizik ve teknolojide değil aynı zamanda mimarlık, programlama ve diğer kesin bilimlerde de kullanılmaktadır. Terimin Newton'un öğrencisi Cotes tarafından önerildiğine inanılmaktadır. Modül işareti 19. yüzyılda Weierstrass tarafından tanıtıldı.

    Mimarlıkta modül, belirli bir mimari yapı için oluşturulan ilk ölçüm birimidir. Teknolojide, çeşitli katsayıları ve nicelikleri belirtmek için kullanılan, örneğin matematikte elastik modül, angajman modülü gibi çeşitli teknoloji alanlarında kullanılan bir terimdir. Modülün birkaç anlamı var ama ben bunu bir sayının mutlak değeri olarak değerlendireceğim.

    Tanım : Gerçek bir sayının modülü (mutlak değeri) A bu numaranın kendisi şu şekilde çağrılır: A≥0 veya tam tersi sayı – A, Eğer ve sıfırın modülü sıfırdır.

    Modül, koordinat çizgisi üzerinde sıfırdan bir noktaya olan mesafedir.

    1.2. Modüllü bir denklem, mutlak değer işareti altında (modül işareti altında) bir değişken içeren bir denklemdir. Bir denklemi çözmek, denklemin tüm köklerini bulmak veya köklerinin olmadığını kanıtlamak anlamına gelir. Modüllü denklemleri çözme yöntemleri:

    1. Bir modülün tanımı gereği - “bir modülün çıkarılması”. Karar, tanıma göre verilir.

    2. Analitik yöntem - denklemde yer alan ifadelerin dönüşümlerini ve modülün özelliklerini kullanarak denklemleri çözme.

    3.Aralık yöntemi: Modüllerin “sıfır”larının oluşturduğu aralıklar ve yarım aralıklar üzerinde modülün genişletilmesi.

    4.Grafik yöntemi. Bu yöntemin özü, denklemin sol ve sağ taraflarını temsil eden bu fonksiyonların grafiklerini oluşturmaktır. Grafikler kesişirse, bu grafiklerin kesişme noktalarının apsisleri bu denklemin kökleri olacaktır.

    1.3.Fonksiyonların modüllü çizimi için yöntemler

    1.3.1. A-tarikat. İki doğru oluşturulmuştur y=khx+b, burada x>0, y=-khx+b, burada x

    1.3.2 Simetri yöntemi. x>0 için x'teki düz çizginin bir kısmı için y=kx+b grafiği çizilir.

    1.3.3.Fonksiyonların dönüştürülmesi:

    a) y=|x |+n grafik ordinat ekseni boyunca birim birim yukarı kayar

    b) y=|x |-n grafik ordinat boyunca aşağı kayar

    c) y=|x +n | grafik apsis ekseni boyunca sola kayar

    d)у=|x -n | grafik apsis ekseni boyunca sağa kayar

    1.3.4. Aralık yöntemi. Koordinat çizgisi modül sıfırlarıyla aralıklara ve yarım aralıklara bölünür. Daha sonra, modülün tanımını kullanarak, bulunan alanların her biri için, belirli bir aralıkta çözülmesi gereken bir denklem elde ediyoruz ve bir fonksiyon elde ediyoruz.

    1.3.5. Sıfır alanlarını genişletme yöntemi. Birkaç modülün olduğu durumda, modülleri genişletmek yerine aşağıdaki ifadeyi kullanmak daha uygundur: modüllerin cebirsel toplamı N doğrusal ifadeler parçalı doğrusal bir fonksiyondur ve grafiği aşağıdakilerden oluşur: N+1 düz segment.

    Daha sonra grafik şu şekilde oluşturulabilir: N+2 puan, N Bunlardan biri modül içi ifadelerin köklerini temsil eder, diğeri apsisi bu köklerden küçük olanından daha küçük olan ve sonuncusu apsisi köklerin büyük olanından daha büyük olan rastgele bir noktadır.

    1.4. Denklemimiz var balta+b=c. Bu denklemde X- Bilinmeyen, ABC– Farklı sayısal değerler alabilen katsayılar. Bu şekilde belirlenen katsayılara parametre denir. Parametreli bir denklem birçok denklemi tanımlar (tüm olası parametre değerleri için).

    bunların hepsi parametreli denklem tarafından belirtilen denklemlerdir balta+b=c.

    Bir denklemi parametrelerle çözmek şu anlama gelir:

      Denklemin hangi parametre değerlerinde kökleri olduğunu ve parametrelerin farklı değerleri için kaç tane olduğunu belirtin.

      Kökler için tüm ifadeleri bulun ve her biri için bu ifadenin denklemin kökünü belirlediği parametre değerlerini belirtin.

    1.5.Sonuçlar:

    Bu nedenle, modüllü grafikler oluşturmak için rasyonel kullanım olasılıklarının araştırılması gereken farklı yöntemler vardır.

    Bir modül ve uygulama içeren fonksiyonların grafiklerini oluşturmaya yönelik yöntemlerin analizi

    3. Aralık yöntemi

    4.Analitik

    3.İç içe geçmiş modüller

    |||x n| m||= a

    1.Modül tanımına göre

    2.Grafik

    Sonuç: Dolayısıyla denklemlerin sınıflandırılması bize her tür denklemin çözümü için genel yöntemler verir - bu, tanımı gereği bir modül ve grafiksel bir yöntemdir.

    2.2.Grafik Analizi.

    2.2.1. Tip 1. Yapı y=|x |

    2.2.1.1.A-tarikatı.

    1. y=x düz bir çizgisini çizin

    2. Çizginin x noktasındaki kısmını seçin 0

    3. y=-x düz çizgisini oluşturun

    4. Çizginin x noktasındaki kısmını seçin

    2.2.1.2. Simetri yöntemi

    1. y=x düz bir çizgisini çizin

    2. x noktasında apsis ekseni etrafında simetri oluşturuyoruz

    5. Aralıklarla çizgilerin bölümlerini seçin

    2.2.2.2.Sıfır Alan Genişletme Yöntemi

    1.Sıfırlar: 3 ve 1; genişletilmiş alan: 2,4,0

    2. Değerleri hesaplıyoruz: 3,1,2,4,0 bunlar: -2, -2, -2, 0, 0

    3. Noktaları koordinatlarıyla yerleştirin ve birleştirin

    Sonuç: Sıfır bölgesini genişletme yöntemi daha rasyoneldir

    2.2.3. Tip 3. İç içe geçmiş modüller - “matryoshka”

    VE Haydi y=||x|-1|'nin yapısını inceleyelim.

    2.2.3.1.Modül tanımına göre

    Ana modülün tanımı gereği elimizde:

    1) x>0 y=|x|-1

    2. Aşağıdaki modülü “Kaldırın”:

    Modül: y=x-1, x>0 ve y=-x+1 x

    y=-x+1 x>0 y=x-1 x

    3. Grafikler oluşturuyoruz

    2.2.3.2.Simetri yöntemi

    1. y=|x|-1

    y=x-1, simetri

    2. Grafiğin x-1 olduğu kısmının apsis eksenine göre simetrisi

    Sonuç: Simetri yöntemi daha rasyoneldir.

    2.2.4. Sonuçların analizini bir tabloda özetleyelim:

    Bilgi ve beceriler

    Kusurlar

    A-tarikatı

      Modül Tanımı

      Bilirsiniz: Düz çizgiler üzerindeki noktaların koordinatlarının nasıl belirlendiği

      Eşitsizliği kullanarak düz bir çizginin bir kısmını tanımlayabilme

    Hacimli çözümler

    Büyük miktarda bilginin uygulanması

    Bir modülü "çıkarırken" hatalar yapılabilir

    Simetri yöntemi

      Fonksiyon dönüşümlerini bilmek ve uygulayabilmek

      Apsis ekseni etrafında simetri oluşturun

    Aralık yöntemi

      Modül sıfırlarını bulun

      Aralıkları ve yarım aralıkları tanımlama

      Modülleri genişlet

      Modülleri hesapla

      Benzer terimler verin

      Düz çizgiler oluşturun

    Hacimli çözümler

    Sıfırları kaldırırken birçok hesaplama ve dönüşüm

    Çok zaman ayırın

    Aralıkların ve yarım aralıkların doğru tanımı

    Sıfır alan genişletme yöntemi

      Modül sıfırlarını bulun

      Sıfırların alanını genişletebilme

      Bu noktalardaki modülleri hesaplayabilme

      Koordinatlarına göre noktalar oluşturabilme

    Hesaplamalarda hatalara izin verilmesi

    Fonksiyon dönüştürme yöntemi

      Dönüşüm algoritmasını bilin

      Koordinatlarına göre noktalar oluşturabilme

      Noktaların koordinatlarını hesaplayabilme

      Dönüşüm algoritmasını uygulayabilme

    Grafik dönüştürme algoritmaları bilgisi

    Sonuç: Tabloyu analiz ederek simetri yönteminin ve sıfır alanının genişletilmesinin en rasyonel yöntem olduğu sonucuna vardık, çünkü En az sayıda inşaat adımı içerir, bu da zamandan tasarruf anlamına gelir.

    2.3.Modüllü ve parametreli denklemlerin çözümünde rasyonel grafik yöntemlerinin uygulanması

    2.3.1. Denklemi çözün:

    y='yi inşa ediyoruz

    ve y=0,5

    2. Genişletilmiş alan: -1,2

    3.(0;-1), (1;1), (-1;-1) (2;1)

    4.Bölümleri ve ışınları çizin

    2.3.2. Birleşik Devlet Sınavı 2009 Denklemin her biri için a'nın tüm değerlerini bulun

    , tam olarak 1 köke sahiptir.a =7. Yapılan çalışma sırasında grafik oluşturmanın farklı yöntemlerini inceleyip analiz edebildik. Grafik yöntemlerinin analizi ve karşılaştırılması sonucunda aşağıdaki sonuçlar elde edildi:

    Cebirsel bir problemin dile çevrilmesi G Rafikov, hantal kararlardan kaçınmanıza olanak tanır;

    Modül ve parametre içeren denklemleri çözerken grafiksel yöntem daha görsel ve nispeten daha basittir;

    2 modül ve bir “matryoshka” içeren grafikler oluştururken simetri yöntemi daha pratiktir;

    Denklemlerin grafiksel çözümü yaklaşık olmasına rağmen, çünkü doğruluk, seçilen birim segmente, kalemin kalınlığına, çizgilerin kesiştiği açılara vb. bağlıdır, ancak bu yöntem, bir parametreyle denklemleri çözmek için denklemlerin kök sayısını tahmin etmenize olanak tanır.

    Birleşik Durum Sınavı ve Durum Sınavı için en popüler görevlerden bazılarının modüllü denklemler olduğu göz önüne alındığında, temel sonucum, modüllü ve parametreli denklemleri grafiksel olarak çözebildiğimdir.

    Kaynakça

    1.Dankova I. “Matematikte profil öncesi hazırlık”, Moskova, 2006.

    2. Matematikte ders dışı çalışmalar. Alkhova Z.N., Makeeva A.V., Saratov: Lyceum, 2003.

    3.Matematik. Ant L.Ya. tarafından düzenlenen ders kitabı, Moskova Köprüsü, 1994.

    4. Matematik. 8-9. Sınıflar: seçmeli derslerin toplanması. Sayı-2. Yazar-derleyici: M.E. Kozina, Volgograd: Öğretmen, 2007

    5. Yastrebinetsky G.A. Parametrelerle ilgili sorunlar. M, 2006

    "Modül" fonksiyonunun grafiklerini oluşturma ve parametrelerle ilgili problemler geleneksel olarak matematikteki en zor konulardan biridir, bu nedenle her zaman Devlet Sınavı ve Birleşik Devlet Sınavının ileri ve yüksek seviyesindeki görevlere dahil edilir.

    “Modül” kavramı, okul matematik dersinin birçok bölümünde, örneğin mutlak çalışmada yaygın olarak kullanılmasına rağmen, 6. sınıftan itibaren okulda ve yalnızca tanımlar ve hesaplamalar düzeyinde çalışılmaktadır. ve yaklaşık bir sayının göreceli hataları; Geometri ve fizikte bir vektör ve onun uzunluğu (vektör modülü) kavramları incelenecektir. Modülün kavramları yükseköğretim kurumlarında okutulan yüksek matematik, fizik ve teknik bilimler derslerinde kullanılmaktadır.

    Mezunlar, 9. sınıfta Devlet Sınavını ve daha sonra Birleşik Devlet Sınavını başarıyla geçme sorunuyla karşı karşıyadır.

    Bu yıl matematik derslerinde doğrusal fonksiyon kavramıyla tanıştık ve grafiğinin nasıl oluşturulacağını öğrendik. Bu grafiğin “modül” fonksiyonunun oluşturulmasında temel alındığı gösterilmiştir. Ayrıca öğretmen denklemlerin bir ve birkaç modülle geldiğini söyledi. Özellikle sınavları geçerken bana faydalı olacağı için bu konuyu daha derinlemesine incelemeye karar verdim.

    Ders "Mutlak değer içeren denklemlerin çözümü için grafiksel yöntem"

    İşin amacı : Bir modül ve bir parametre içeren denklemlerin çözümü için modüllerle grafiklerin rasyonel oluşturulması olasılığının incelenmesi

      Modüllü denklemlerin çözüm yöntemleri teorisini inceleyin.

      Mutlak değer işareti içeren 1. derece denklemleri çözmeyi öğrenin.

      Denklem çözümünde kullanılan grafiksel yöntemleri sınıflandırır.

      Modül fonksiyonunun grafiklerini çizmek için çeşitli yöntemlerin avantajlarını ve dezavantajlarını analiz edin.

      Parametrenin ne olduğunu öğrenin

      Parametreli denklemleri çözmek için rasyonel yöntemleri uygulayın

    Nesne – modüllü denklemleri çözme yöntemleri

    Konu: Denklemleri çözmek için grafiksel yöntem

    Araştırma yöntemleri: teorik ve pratik:

    teorik - bu araştırma konusuyla ilgili literatür çalışmasıdır; İnternet bilgileri;

    pratik - bu, literatürün incelenmesinden elde edilen bilgilerin analizi, modüllü denklemleri çeşitli şekillerde çözerken elde edilen sonuçlardır;

    Denklem çözme yöntemlerinin karşılaştırılması, modüllü çeşitli denklemleri çözerken kullanımlarının rasyonelliğinin konusudur.

    Bölüm I

    Kavramlar ve tanımlar

    1.1. "Modül" kavramı, okul matematik dersinin birçok bölümünde, örneğin yaklaşık bir sayının mutlak ve bağıl hatalarının incelenmesinde yaygın olarak kullanılmaktadır; Geometri ve fizikte bir vektör ve onun uzunluğu (vektör modülü) kavramları incelenir. Modül kavramları, yükseköğretim kurumlarında okutulan yüksek matematik, fizik ve teknik bilimler derslerinde kullanılmaktadır.

    “Modül” kelimesi Latince “ölçü” anlamına gelen “modulus” kelimesinden gelir. Bu kelimenin birçok anlamı vardır ve sadece matematik, fizik ve teknolojide değil aynı zamanda mimarlık, programlama ve diğer kesin bilimlerde de kullanılmaktadır. Terimin Newton'un öğrencisi Cotes tarafından önerildiğine inanılmaktadır. Modül işareti 19. yüzyılda Weierstrass tarafından tanıtıldı.

    Mimarlıkta modül, belirli bir mimari yapı için oluşturulan ilk ölçüm birimidir. Teknolojide, çeşitli katsayıları ve nicelikleri belirtmek için kullanılan, örneğin matematikte elastik modül, angajman modülü gibi çeşitli teknoloji alanlarında kullanılan bir terimdir. Modülün birkaç anlamı var ama ben bunu bir sayının mutlak değeri olarak değerlendireceğim.

    Tanım : Gerçek bir sayının modülü (mutlak değeri) A bu numaranın kendisi şu şekilde çağrılır: A≥0 veya tam tersi sayı – A, Eğer A<0; sıfırın modülü sıfırdır.

    Modül, koordinat çizgisi üzerinde sıfırdan bir noktaya olan mesafedir.

    1.2. Modüllü bir denklem, mutlak değer işareti altında (modül işareti altında) bir değişken içeren bir denklemdir. Bir denklemi çözmek, denklemin tüm köklerini bulmak veya köklerinin olmadığını kanıtlamak anlamına gelir. Modüllü denklemleri çözme yöntemleri:

    1. Bir modülün tanımı gereği - “bir modülün çıkarılması”. Karar, tanıma göre verilir.

    2. Analitik yöntem - denklemde yer alan ifadelerin dönüşümlerini ve modülün özelliklerini kullanarak denklemleri çözme.

    3.Aralık yöntemi: Modüllerin “sıfır”larının oluşturduğu aralıklar ve yarım aralıklar üzerinde modülün genişletilmesi.

    4.Grafik yöntemi. Bu yöntemin özü, denklemin sol ve sağ taraflarını temsil eden bu fonksiyonların grafiklerini oluşturmaktır. Grafikler kesişirse, bu grafiklerin kesişme noktalarının apsisleri bu denklemin kökleri olacaktır.

    1.3.Fonksiyonların modüllü çizimi için yöntemler

    1.3.1. A-tarikat. İki doğru oluşturulmuştur y=khx+b, burada x>0, y=-khx+b, burada x<0

    1.3.2 Simetri yöntemi. x>0 için x'teki düz çizginin bir kısmı için y=kx+b grafiği çizilir.<0 отображается относительно оси абцисс.

    1.3.3.Fonksiyonların dönüştürülmesi:

    a) y=|x |+n grafik ordinat ekseni boyunca birim birim yukarı kayar

    b) y=|x |-n grafik ordinat boyunca aşağı kayar

    c) y=|x +n | grafik apsis ekseni boyunca sola kayar

    d )y=|x -n | grafik apsis ekseni boyunca sağa kayar

    1.3.4. Aralık yöntemi. Koordinat çizgisi modül sıfırlarıyla aralıklara ve yarım aralıklara bölünür. Daha sonra, modülün tanımını kullanarak, bulunan alanların her biri için, belirli bir aralıkta çözülmesi gereken bir denklem elde ediyoruz ve bir fonksiyon elde ediyoruz.

    1.3.5. Sıfır alanlarını genişletme yöntemi. Birkaç modülün olduğu durumda, modülleri genişletmek yerine aşağıdaki ifadeyi kullanmak daha uygundur: modüllerin cebirsel toplamı N doğrusal ifadeler parçalı doğrusal bir fonksiyondur ve grafiği aşağıdakilerden oluşur: N+1 düz segment.

    Daha sonra grafik şu şekilde oluşturulabilir: N+2 puan, N Bunlardan biri modül içi ifadelerin köklerini temsil eder, diğeri apsisi bu köklerden küçük olanından daha küçük olan ve sonuncusu apsisi köklerin büyük olanından daha büyük olan rastgele bir noktadır.

    1.4. Denklemimiz var balta+b=c. Bu denklemde X- Bilinmeyen, ABC– Farklı sayısal değerler alabilen katsayılar. Bu şekilde belirlenen katsayılara parametre denir. Parametreli bir denklem birçok denklemi tanımlar (tüm olası parametre değerleri için).

    bunların hepsi parametreli denklem tarafından belirtilen denklemlerdir balta+b=c.

    Bir denklemi parametrelerle çözmek şu anlama gelir:

      Denklemin hangi parametre değerlerinde kökleri olduğunu ve parametrelerin farklı değerleri için kaç tane olduğunu belirtin.

      Kökler için tüm ifadeleri bulun ve her biri için bu ifadenin denklemin kökünü belirlediği parametre değerlerini belirtin.

    1.5.Sonuçlar:

    Bu nedenle, modüllü grafikler oluşturmak için rasyonel kullanım olasılıklarının araştırılması gereken farklı yöntemler vardır.

    Bölüm II

    Bir modül ve uygulama içeren fonksiyonların grafiklerini oluşturmaya yönelik yöntemlerin analizi

    « Grafik konuşan bir çizgidir

    bu sana çok şey anlatabilir"

    M.B.Balk

    2.1. Modüllü denklem türlerini inceleyerek bunların türlere ve çözüm yöntemlerine ayrılabileceğini gördük.

    Masa. Denklem türlerinin sınıflandırılması ve çözüm yöntemleri.

    Denklem türü

    Denklem türü

    Çözüm yöntemi

    1. Tek modüllü denklem

    |x n|=a

    |x| yok=bir

    1.Modül tanımına göre

    2.Grafik

    3.Analitik

    2. 2 modül içeren denklem

    |x n| |x m|=a

    1.Modül tanımına göre

    2.Grafik

    3. Aralık yöntemi

    4.Analitik

    3.İç içe geçmiş modüller

    |||x n| m||= A

    1.Modül tanımına göre

    2.Grafik

    Sonuç: Dolayısıyla denklemlerin sınıflandırılması bize her tür denklemin çözümü için genel yöntemler verir - bu, tanımı gereği bir modül ve grafiksel bir yöntemdir.

    2.2.Grafik Analizi.

    2.2.1. Tip 1. Yapı y=|x |

    2.2.1.1.A-tarikatı.

    1. y=x düz bir çizgisini çizin

    2. Çizginin x noktasındaki kısmını seçin 0

    3. y=-x düz çizgisini oluşturun

    4. Çizginin x noktasındaki kısmını seçin<0

    2.2.1.2. Simetri yöntemi

    1. y=x düz bir çizgisini çizin

    2. x noktasında apsis ekseni etrafında simetri oluşturuyoruz<0

    2.2.1.3. İnşaat y=|x -2|

    1. y=x-2 düz bir çizgisini çizin

    2. Düz çizginin x-2 noktasındaki kısmını seçin 0

    3. y=-x+2 düz bir doğru çizin

    4. Düz çizginin x-2 noktasındaki kısmını seçin<0

    Sonuç: simetri yöntemi daha rasyoneldir

    2.2.2. Tip 2.

    Görev: y= grafiğini oluşturun

    2.2.2.1.Aralık yöntemi

    1. Açık
    y=-x+3+1-x-4 elde ederiz; y = -2x

    2. açık
    elde ederiz=-x+3-1+x-4; y = -2

    3. açık
    y=x-3-1+x-4 elde ederiz; y = 2x-8

    4. Tüm düz çizgileri inşa ediyoruz.

    5. Aralıklarla çizgilerin bölümlerini seçin

    2.2.2.2.Sıfır Alan Genişletme Yöntemi

    1.Sıfırlar: 3 ve 1; genişletilmiş alan: 2,4,0

    2. Değerleri hesaplıyoruz: 3,1,2,4,0 bunlar: -2, -2, -2, 0, 0

    3. Noktaları koordinatlarıyla yerleştirin ve birleştirin

    Sonuç: Sıfır bölgesini genişletme yöntemi daha rasyoneldir

    2.2.3. Tip 3. İç içe geçmiş modüller - “matryoshka”

    VE Haydi y=||x|-1|'nin yapısını inceleyelim.

    2.2.3.1.Modül tanımına göre

    Ana modülün tanımı gereği elimizde:

    1) x>0 y=|x|-1

    2 kere<0 у=-|х|+1

    2. Aşağıdaki modülü “Kaldırın”:

    Modül: y=x-1, x>0 ve y=-x+1 x<0

    y=-x+1 x>0 y=x-1 x<0

    3. Grafikler oluşturuyoruz

    2.2.3.2.Simetri yöntemi

    1. y=|x|-1
    y=x-1, simetri

    2. Grafiğin x-1 olduğu kısmının apsis eksenine göre simetrisi<0

    Sonuç: Simetri yöntemi daha rasyoneldir.

    2.2.4. Sonuçların analizini bir tabloda özetleyelim:

    Bilgi ve beceriler

    Kusurlar

    A-tarikatı

      Modül Tanımı

      Bilirsiniz: Düz çizgiler üzerindeki noktaların koordinatlarının nasıl belirlendiği

      Eşitsizliği kullanarak düz bir çizginin bir kısmını tanımlayabilme

    Hacimli çözümler

    Büyük miktarda bilginin uygulanması

    Bir modülü "çıkarırken" hatalar yapılabilir

    Simetri yöntemi

      Fonksiyon dönüşümlerini bilmek ve uygulayabilmek

      Apsis ekseni etrafında simetri oluşturun

    Grafik dönüştürme algoritmaları bilgisi

    Aralık yöntemi

      Modül sıfırlarını bulun

      Aralıkları ve yarım aralıkları tanımlama

      Modülleri genişlet

      Modülleri hesapla

      Benzer terimler verin

      Koordinatlarına göre noktalar oluşturabilme

      Düz çizgiler oluşturun

    Hacimli çözümler

    Sıfırları kaldırırken birçok hesaplama ve dönüşüm

    Çok zaman ayırın

    Aralıkların ve yarım aralıkların doğru tanımı

    Sıfır alan genişletme yöntemi

      Modül sıfırlarını bulun

      Sıfırların alanını genişletebilme

      Bu noktalardaki modülleri hesaplayabilme

      Koordinatlarına göre noktalar oluşturabilme

    Hesaplamalarda hatalara izin verilmesi

    Fonksiyon dönüştürme yöntemi

      Dönüşüm algoritmasını bilin

      Koordinatlarına göre noktalar oluşturabilme

      Noktaların koordinatlarını hesaplayabilme

      Dönüşüm algoritmasını uygulayabilme

    Grafik dönüştürme algoritmaları bilgisi

    Sonuç: Tabloyu analiz ederek simetri yönteminin ve sıfır alanının genişletilmesinin en rasyonel yöntem olduğu sonucuna vardık, çünkü En az sayıda inşaat adımı içerir, bu da zamandan tasarruf anlamına gelir.

    2.3.Modüllü ve parametreli denklemlerin çözümünde rasyonel grafik yöntemlerinin uygulanması

    2.3.1. Denklemi çözün:

    y='yi inşa ediyoruz
    ve y=0,5

    2. Genişletilmiş alan: -1,2

    3.(0;-1), (1;1), (-1;-1) (2;1)

    4.Bölümleri ve ışınları çizin

    2.3.2. Birleşik Devlet Sınavı 2009 Denklemin her biri için a'nın tüm değerlerini bulun
    , tam olarak 1 köke sahiptir.a =7. Yapılan çalışma sırasında grafik oluşturmanın farklı yöntemlerini inceleyip analiz edebildik. Grafik yöntemlerinin analizi ve karşılaştırılması sonucunda aşağıdaki sonuçlar elde edildi:

    Cebirsel bir problemin dile çevrilmesi G Rafikov, hantal kararlardan kaçınmanıza olanak tanır;

    Modül ve parametre içeren denklemleri çözerken grafiksel yöntem daha görsel ve nispeten daha basittir;

    2 modül ve bir “matryoshka” içeren grafikler oluştururken simetri yöntemi daha pratiktir;

    Denklemlerin grafiksel çözümü yaklaşık olmasına rağmen, çünkü doğruluk, seçilen birim segmente, kalemin kalınlığına, çizgilerin kesiştiği açılara vb. bağlıdır, ancak bu yöntem, bir parametreyle denklemleri çözmek için denklemlerin kök sayısını tahmin etmenize olanak tanır.

    Birleşik Durum Sınavı ve Durum Sınavı için en popüler görevlerden bazılarının modüllü denklemler olduğu göz önüne alındığında, temel sonucum, modüllü ve parametreli denklemleri grafiksel olarak çözebildiğimdir.

    Kaynakça

    1.Dankova I. “Matematikte profil öncesi hazırlık”, Moskova, 2006.

    2. Matematikte ders dışı çalışmalar. Alkhova Z.N., Makeeva A.V., Saratov: Lyceum, 2003.

    3.Matematik. Ant L.Ya. tarafından düzenlenen ders kitabı, Moskova Köprüsü, 1994.

    4. Matematik. 8-9. Sınıflar: seçmeli derslerin toplanması. Sayı-2. Yazar-derleyici: M.E. Kozina, Volgograd: Öğretmen, 2007

    5. Yastrebinetsky G.A. Parametrelerle ilgili sorunlar. M, 2006



    Makaleyi beğendin mi? Arkadaşlarınla ​​paylaş!
    Ayrıca okuyun
    Doğrusal cebirsel denklemlerin dejenere ve kötü koşullandırılmış sistemlerinin çözümü üzerine Doğrusal olmayan denklemlerin ve doğrusal olmayan denklem sistemlerinin çözümü
    Doğrusal cebirsel denklemlerin dejenere ve kötü koşullandırılmış sistemlerinin çözümü üzerine Doğrusal olmayan denklemlerin ve doğrusal olmayan denklem sistemlerinin çözümü
    İki basamaklı sayıların toplanması ve çıkarılması işlemlerini çocuğunuza nasıl kolayca anlatabilirsiniz?
    İki basamaklı sayıların toplanması ve çıkarılması işlemlerini çocuğunuza nasıl kolayca anlatabilirsiniz?
    NH3 maddesinin özellikleri ve adı nedir?
    NH3 maddesinin özellikleri ve adı nedir?
    Kırım'da su ekolojisine ilişkin Kırım Projesi'nin çevre sorunlarına ilişkin sunum
    Kırım'da su ekolojisine ilişkin Kırım Projesi'nin çevre sorunlarına ilişkin sunum
    Salinger'ın Çavdar Tarlasındaki Çocuklar adlı eserinin analizi
    Salinger'ın Çavdar Tarlasındaki Çocuklar adlı eserinin analizi
    B tarafından düzenlenen
    B tarafından düzenlenen "Mahabharata"
    Okuma yazma dersi
    Okuma yazma dersi "y harfiyle kelimeleri okuma"
    Çin Ordusu: büyüklüğü, bileşimi, silahları Çin'in Noak'ı
    Çin Ordusu: büyüklüğü, bileşimi, silahları Çin'in Noak'ı