Tutarsız doğrusal denklem sistemi. Doğrusal denklem sistemlerini çözmek için matris yöntemi

Denklem sistemleri ekonomik sektörde çeşitli süreçlerin matematiksel modellemesi için yaygın olarak kullanılmaktadır. Örneğin, üretim yönetimi ve planlaması, lojistik rotaları (nakliye sorunu) veya ekipman yerleşimi sorunlarını çözerken.

Denklem sistemleri sadece matematikte değil aynı zamanda fizik, kimya ve biyolojide de popülasyon büyüklüğünü bulma problemlerini çözerken kullanılır.

Doğrusal denklem sistemi, ortak bir çözüm bulmanın gerekli olduğu, birkaç değişkenli iki veya daha fazla denklemden oluşur. Tüm denklemlerin gerçek eşitlik haline geldiği veya bu dizinin var olmadığını kanıtlayan böyle bir sayı dizisi.

Doğrusal denklem

ax+by=c formundaki denklemlere doğrusal denir. X, y isimleri değeri bulunması gereken bilinmeyenlerdir, b, a değişkenlerin katsayılarıdır, c denklemin serbest terimidir.
Bir denklemi çizerek çözmek, tüm noktaları polinomun çözümü olan düz bir çizgi gibi görünecektir.

Doğrusal denklem sistemi türleri

En basit örneklerin iki değişkeni X ve Y olan doğrusal denklem sistemleri olduğu kabul edilir.

F1(x, y) = 0 ve F2(x, y) = 0, burada F1,2 fonksiyonlar ve (x, y) fonksiyon değişkenleridir.

Denklem sistemini çözme - bu, sistemin gerçek eşitliğe dönüştüğü (x, y) değerlerini bulmak veya uygun x ve y değerlerinin bulunmadığını tespit etmek anlamına gelir.

Bir noktanın koordinatları olarak yazılan (x, y) değer çiftine doğrusal denklem sisteminin çözümü denir.

Sistemlerin tek bir ortak çözümü varsa veya çözümü yoksa bunlara eşdeğer denir.

Homojen doğrusal denklem sistemleri, sağ tarafı sıfıra eşit olan sistemlerdir. Eşittir işaretinden sonraki sağ kısım bir değere sahipse veya bir fonksiyonla ifade ediliyorsa böyle bir sistem heterojendir.

Değişken sayısı ikiden çok daha fazla olabiliyorsa, üç veya daha fazla değişkenli bir doğrusal denklem sistemi örneğinden bahsetmemiz gerekir.

Sistemlerle karşı karşıya kaldıklarında okul çocukları, denklem sayısının bilinmeyenlerin sayısıyla mutlaka örtüşmesi gerektiğini varsayarlar, ancak durum böyle değildir. Sistemdeki denklemlerin sayısı değişkenlere bağlı değildir; istenilen sayıda olabilir.

Denklem sistemlerini çözmek için basit ve karmaşık yöntemler

Bu tür sistemlerin çözümü için genel bir analitik yöntem yoktur; tüm yöntemler sayısal çözümlere dayanmaktadır. Okul matematik dersinde permütasyon, cebirsel toplama, ikame gibi yöntemlerin yanı sıra grafik ve matris yöntemleri, Gauss yöntemiyle çözüm ayrıntılı olarak açıklanmaktadır.

Çözüm yöntemlerini öğretirken asıl görev, sistemin nasıl doğru bir şekilde analiz edileceğini ve her örnek için en uygun çözüm algoritmasının nasıl bulunacağını öğretmektir. Önemli olan, her yöntem için bir kurallar ve eylemler sistemini ezberlemek değil, belirli bir yöntemi kullanmanın ilkelerini anlamaktır.

7. sınıf genel eğitim müfredatında yer alan doğrusal denklem sistemi örneklerinin çözümü oldukça basit ve detaylı bir şekilde anlatılmıştır. Herhangi bir matematik ders kitabında bu bölüme yeterince önem verilmektedir. Doğrusal denklem sistemi örneklerinin Gauss ve Cramer yöntemiyle çözülmesi yükseköğretimin ilk yıllarında daha ayrıntılı olarak işlenir.

Yerine koyma yöntemini kullanarak sistemleri çözme

İkame yönteminin eylemleri, bir değişkenin değerini ikinciye göre ifade etmeyi amaçlamaktadır. İfade kalan denklemde yerine konulur, daha sonra tek değişkenli bir forma indirgenir. Sistemdeki bilinmeyen sayısına bağlı olarak eylem tekrarlanır.

Değiştirme yöntemini kullanarak sınıf 7'nin bir doğrusal denklem sistemi örneğine bir çözüm verelim:

Örnekte görüldüğü gibi x değişkeni F(X) = 7 + Y şeklinde ifade edilmiştir. Sonuçta sistemin 2. denkleminde X yerine yazılan ifade, 2. denklemde bir Y değişkeninin elde edilmesine yardımcı olmuştur. . Bu örneği çözmek kolaydır ve Y değerini elde etmenizi sağlar. Son adım, elde edilen değerleri kontrol etmektir.

Bir doğrusal denklem sistemi örneğini ikame yoluyla çözmek her zaman mümkün değildir. Denklemler karmaşık olabilir ve değişkeni ikinci bilinmeyen cinsinden ifade etmek daha sonraki hesaplamalar için çok zahmetli olacaktır. Sistemde 3'ten fazla bilinmeyen olduğunda yerine koyma yöntemiyle çözüm yapılması da uygun değildir.

Doğrusal homojen olmayan denklemler sisteminin bir örneğinin çözümü:

Cebirsel toplama kullanarak çözüm

Toplama yöntemini kullanarak sistemlere çözüm ararken denklemler terim terim toplanır ve çeşitli sayılarla çarpılır. Matematiksel işlemlerin nihai amacı tek değişkenli bir denklemdir.

Bu yöntemin uygulanması pratik ve gözlem gerektirir. 3 veya daha fazla değişkenin olduğu bir doğrusal denklem sistemini toplama yöntemini kullanarak çözmek kolay değildir. Cebirsel toplama, denklemler kesirler ve ondalık sayılar içerdiğinde kullanışlıdır.

Çözüm algoritması:

1. Denklemin her iki tarafını da belirli bir sayıyla çarpın. Aritmetik işlem sonucunda değişkenin katsayılarından birinin 1'e eşit olması gerekir.
2. Ortaya çıkan ifadeyi terim terim toplayın ve bilinmeyenlerden birini bulun.
3. Kalan değişkeni bulmak için elde edilen değeri sistemin 2. denkleminde değiştirin.

Yeni bir değişken getirerek çözüm yöntemi

Sistem ikiden fazla denklem için bir çözüm bulmayı gerektirmiyorsa yeni bir değişken eklenebilir; bilinmeyenlerin sayısı da ikiden fazla olmamalıdır.

Yöntem, yeni bir değişken ekleyerek denklemlerden birini basitleştirmek için kullanılır. Yeni denklem, tanıtılan bilinmeyen için çözülür ve elde edilen değer, orijinal değişkeni belirlemek için kullanılır.

Örnek, yeni bir t değişkeninin eklenmesiyle sistemin 1. denkleminin standart ikinci dereceden üç terimliye indirgenmesinin mümkün olduğunu göstermektedir. Diskriminantını bularak bir polinomu çözebilirsiniz.

Diskriminantın değerini iyi bilinen formülü kullanarak bulmak gerekir: D = b2 - 4*a*c, burada D istenen diskriminanttır, b, a, c polinomun faktörleridir. Verilen örnekte a=1, b=16, c=39, dolayısıyla D=100. Diskriminant sıfırdan büyükse iki çözüm vardır: t = -b±√D / 2*a, diskriminant sıfırdan küçükse tek çözüm vardır: x = -b / 2*a.

Ortaya çıkan sistemlerin çözümü toplama yöntemiyle bulunur.

Sistemleri çözmek için görsel yöntem

3 denklem sistemine uygundur. Yöntem, sisteme dahil edilen her denklemin koordinat ekseninde grafiğinin oluşturulmasından oluşur. Eğrilerin kesişim noktalarının koordinatları sistemin genel çözümü olacaktır.

Grafik yönteminin bir takım nüansları vardır. Doğrusal denklem sistemlerini görsel olarak çözmenin birkaç örneğine bakalım.

Örnekten görülebileceği gibi, her çizgi için iki nokta oluşturuldu, x değişkeninin değerleri keyfi olarak seçildi: 0 ve 3. X değerlerine göre y değerleri bulundu: 3 ve 0. Grafikte koordinatları (0, 3) ve (3, 0) olan noktalar işaretlendi ve bir çizgiyle birbirine bağlandı.

İkinci denklem için adımların tekrarlanması gerekir. Doğruların kesişme noktası sistemin çözümüdür.

Aşağıdaki örnek, bir doğrusal denklem sistemine grafiksel bir çözüm bulmayı gerektirir: 0,5x-y+2=0 ve 0,5x-y-1=0.

Örnekte görüldüğü gibi grafiklerin paralel olması ve tüm uzunlukları boyunca kesişmemesi nedeniyle sistemin çözümü yoktur.

Örnek 2 ve 3'teki sistemler benzerdir ancak oluşturulduklarında çözümlerinin farklı olduğu aşikar hale gelir. Unutulmamalıdır ki bir sistemin çözümü olup olmadığını söylemek her zaman mümkün değildir; her zaman bir grafik oluşturmak gerekir.

Matris ve çeşitleri

Matrisler, bir doğrusal denklem sistemini kısaca yazmak için kullanılır. Matris sayılarla dolu özel bir tablo türüdür. n*m'de n satır ve m sütun bulunur.

Sütun ve satır sayıları eşit olduğunda bir matris karedir. Matris vektörü, sonsuz sayıda satıra sahip bir sütundan oluşan bir matristir. Köşegenlerinden biri boyunca birler ve diğer sıfır elemanları olan bir matrise birim denir.

Ters matris, çarpıldığında orijinalin birim matrise dönüştüğü bir matristir; böyle bir matris yalnızca orijinal kare olan için mevcuttur.

Bir denklem sistemini matrise dönüştürme kuralları

Denklem sistemleriyle ilgili olarak denklemlerin katsayıları ve serbest terimleri matris sayıları olarak yazılır; bir denklem matrisin bir satırıdır.

Satırın en az bir elemanı sıfır değilse, bir matris satırının sıfırdan farklı olduğu söylenir. Bu nedenle denklemlerden herhangi birinde değişken sayısı farklıysa eksik bilinmeyenin yerine sıfır girilmesi gerekir.

Matris sütunları değişkenlere tam olarak karşılık gelmelidir. Bu, x değişkeninin katsayılarının yalnızca bir sütuna yazılabildiği anlamına gelir; örneğin birincisi, bilinmeyen y'nin katsayısı - yalnızca ikincisinde.

Bir matris çarpılırken matrisin tüm elemanları sırayla bir sayıyla çarpılır.

Ters matrisi bulma seçenekleri

Ters matrisi bulma formülü oldukça basittir: K -1 = 1 / |K|, burada K -1 ters matristir ve |K| matrisin determinantıdır. |K| sıfıra eşit olmamalıdır, o zaman sistemin bir çözümü vardır.

Determinant ikiye ikilik bir matris için kolayca hesaplanır; yalnızca köşegen elemanları birbiriyle çarpmanız yeterlidir. “Üçe üç” seçeneği için |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 formülü vardır. + a 3 b 2 c 1 . Formülü kullanabilir veya çalışmadaki sütun ve satır sayılarının tekrarlanmaması için her satırdan ve her sütundan bir öğe almanız gerektiğini hatırlayabilirsiniz.

Matris yöntemini kullanarak doğrusal denklem sistemi örneklerini çözme

Bir çözüm bulmanın matris yöntemi, çok sayıda değişken ve denklem içeren sistemleri çözerken hantal girdileri azaltmanıza olanak tanır.

Örnekte, bir nm denklemlerin katsayılarıdır, matris bir x n vektörüdür ve değişkenlerdir ve b n serbest terimlerdir.

Gauss yöntemini kullanarak sistemleri çözme

Yüksek matematikte Gauss yöntemi Cramer yöntemiyle birlikte incelenir ve sistemlere çözüm bulma sürecine Gauss-Cramer çözüm yöntemi adı verilir. Bu yöntemler çok sayıda doğrusal denklem içeren sistemlerin değişkenlerini bulmak için kullanılır.

Gauss yöntemi, yerine koyma ve cebirsel toplama yoluyla çözümlere çok benzer, ancak daha sistematiktir. Okul dersinde 3 ve 4 denklemli sistemler için Gauss yönteminin çözümü kullanılır. Yöntemin amacı sistemi ters yamuk formuna indirgemektir. Cebirsel dönüşümler ve ikameler yoluyla sistemin denklemlerinden birinde bir değişkenin değeri bulunur. İkinci denklem 2 bilinmeyenli, 3 ve 4 ise sırasıyla 3 ve 4 değişkenli bir ifadedir.

Sistemi tarif edilen forma getirdikten sonra, diğer çözüm, bilinen değişkenlerin sistem denklemlerinde sıralı olarak yer değiştirmesine indirgenir.

7. sınıf okul ders kitaplarında Gauss yöntemine göre bir çözüm örneği şu şekilde açıklanmaktadır:

Örnekten görülebileceği gibi (3) adımında iki denklem elde edildi: 3x 3 -2x 4 =11 ve 3x 3 +2x 4 =7. Denklemlerden herhangi birini çözmek, x n değişkenlerinden birini bulmanızı sağlayacaktır.

Metinde bahsedilen Teorem 5, sistemin denklemlerinden birinin eşdeğeri ile değiştirilmesi durumunda ortaya çıkan sistemin de orijinaline eşdeğer olacağını belirtmektedir.

Gauss yöntemini ortaokul öğrencilerinin anlaması zordur, ancak matematik ve fizik derslerinde ileri öğrenim programlarına kayıtlı çocukların yaratıcılığını geliştirmenin en ilginç yollarından biridir.

Kayıt kolaylığı için hesaplamalar genellikle şu şekilde yapılır:

Denklemlerin ve serbest terimlerin katsayıları, matrisin her satırının sistemin denklemlerinden birine karşılık geldiği bir matris biçiminde yazılır. Denklemin sol tarafını sağdan ayırır. Romen rakamları sistemdeki denklemlerin sayısını gösterir.

Önce üzerinde çalışılacak matrisi, ardından satırlardan birinde gerçekleştirilen tüm eylemleri yazın. Ortaya çıkan matris “ok” işaretinden sonra yazılır ve sonuç elde edilene kadar gerekli cebirsel işlemlere devam edilir.

Sonuç, köşegenlerden birinin 1'e eşit olduğu ve diğer tüm katsayıların sıfıra eşit olduğu, yani matrisin birim forma indirgendiği bir matris olmalıdır. Denklemin her iki tarafındaki sayılarla hesaplama yapmayı unutmamalıyız.

Bu kayıt yöntemi daha az hantaldır ve çok sayıda bilinmeyeni listeleyerek dikkatinizin dağılmasına izin vermez.

Herhangi bir çözüm yönteminin serbestçe kullanılması dikkat ve biraz deneyim gerektirecektir. Yöntemlerin tümü uygulamalı nitelikte değildir. Bazı çözüm bulma yöntemleri, belirli bir insan faaliyeti alanında daha çok tercih edilirken, diğerleri eğitim amaçlıdır.

Bir problemin üçten az değişkeni varsa bu bir problem değildir; sekizden fazla ise çözülemez. Enon.

Parametrelerle ilgili sorunlar, Birleşik Devlet Sınavının tüm versiyonlarında bulunur, çünkü bunları çözmek, mezunun bilgisinin ne kadar derin ve gayri resmi olduğunu en açık şekilde ortaya koyar. Öğrencilerin bu tür görevleri tamamlarken karşılaştıkları zorluklar, yalnızca göreceli karmaşıklığından değil, aynı zamanda ders kitaplarında bunlara yeterince önem verilmemesinden de kaynaklanmaktadır. KIM'lerin matematikteki versiyonlarında parametreli iki tür görev vardır. Birincisi: “Parametrenin her değeri için denklemi, eşitsizliği veya sistemi çözün.” İkincisi: "Her biri için eşitsizliğin, denklemin veya sistemin çözümlerinin verilen koşulları karşıladığı parametrenin tüm değerlerini bulun." Buna göre bu iki türden problemlerin cevapları özünde farklılık göstermektedir. İlk durumda cevap, parametrenin tüm olası değerlerini listeler ve bu değerlerin her biri için denklemin çözümleri yazılır. İkincisi, problemin koşullarının karşılandığı tüm parametre değerlerini listeler. Cevabı yazmak çözümün önemli bir aşamasıdır; çözümün tüm aşamalarını cevaba yansıtmayı unutmamak çok önemlidir. Öğrencilerin buna dikkat etmesi gerekiyor.
Dersin eki, öğrencileri final sertifikasına hazırlamaya yardımcı olacak “Parametrelerle doğrusal denklem sistemlerinin çözülmesi” konusuyla ilgili ek materyal içermektedir.

Ders hedefleri:

• öğrencilerin bilgilerinin sistemleştirilmesi;
• denklem sistemlerini çözerken grafik gösterimleri kullanma becerisinin geliştirilmesi;
• parametreler içeren doğrusal denklem sistemlerini çözme becerisinin geliştirilmesi;
• öğrencilerin operasyonel kontrolünün ve öz kontrolünün uygulanması;
• Okul çocuklarının araştırma ve bilişsel faaliyetlerinin gelişimi, elde edilen sonuçları değerlendirme yeteneği.

Ders iki saat sürüyor.

Ders ilerlemesi

1. Organizasyon anı

Dersin konusunu, amaçlarını ve hedeflerini anlatın.

1. Öğrencilerin temel bilgilerinin güncellenmesi

Ev ödevlerini kontrol ediyorum. Ev ödevi olarak öğrencilerden üç doğrusal denklem sisteminin her birini çözmeleri istendi.

a) b) V)

grafiksel ve analitik olarak; Her durum için elde edilen çözümlerin sayısı hakkında bir sonuca varmak

Öğrencilerin vardığı sonuçlar dinlenir ve analiz edilir. Öğretmenin rehberliğinde yapılan çalışmaların sonuçları not defterlerinde özetlenir.

Genel olarak, iki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sistemi şu şekilde temsil edilebilir: .

Belirli bir denklem sistemini grafiksel olarak çözmek, bu denklemlerin grafiklerinin kesişim noktalarının koordinatlarını bulmak veya olmadığını kanıtlamak anlamına gelir. Bu sistemin her denkleminin bir düzlemdeki grafiği belirli bir düz çizgidir.

Bir düzlemde iki düz çizginin karşılıklı düzenlenmesinin üç olası durumu vardır:

<Рисунок1>;

<Рисунок2>;

<Рисунок3>.

Her durumda bir çizim yapmak faydalıdır.

1. Yeni materyal öğrenme

Bugün derste parametre içeren doğrusal denklem sistemlerinin nasıl çözüleceğini öğreneceğiz. Bir parametre, problemdeki değeri belirli bir sabit veya keyfi gerçek sayı veya önceden belirlenmiş bir kümeye ait bir sayı olarak kabul edilen bağımsız bir değişkendir. Bir denklem sistemini bir parametreyle çözmek, parametrenin herhangi bir değerinin sisteme karşılık gelen çözüm kümesini bulmasına olanak tanıyan bir uygunluk oluşturmak anlamına gelir.

Bir parametreyle ilgili problemin çözümü, içinde sorulan soruya bağlıdır. Bir parametrenin farklı değerleri için bir denklem sistemini çözmeniz veya onu incelemeniz gerekiyorsa, o zaman parametrenin herhangi bir değeri veya daha önce belirtilen bir kümeye ait bir parametrenin değeri için doğrulanmış bir cevap vermeniz gerekir. sorun. Belirli koşulları sağlayan parametre değerlerinin bulunması gerekiyorsa bu durumda kapsamlı bir çalışmaya gerek kalmaz ve sistemin çözümü bu belirli parametre değerlerinin bulunmasıyla sınırlıdır.

Örnek 1. Her parametre değeri için denklem sistemini çözüyoruz

Çözüm.

1. Sistemin benzersiz bir çözümü varsa

Bu durumda elimizde

1. a = 0 ise sistem şu formu alır:

Sistem tutarsızdır, yani. hiçbir çözümü yok.

1. Eğer o zaman sistem formda yazılırsa

Açıkçası, bu durumda sistemin x = t formunda sonsuz sayıda çözümü vardır; burada t herhangi bir gerçek sayıdır.

Cevap:

Örnek 2.

• benzersiz bir çözümü var;
• birçok çözümü var;
• çözümleri yok mu?

Çözüm.

Cevap:

Örnek 3. Sistemin a ve b parametrelerinin toplamını bulalım.

sayısız çözümü var.

Çözüm. Sistemin sonsuz sayıda çözümü varsa

Yani a = 12 ise b = 36; a + b = 12 + 36 =48.

Cevap: 48.

1. Problem çözerken öğrenilenlerin pekiştirilmesi

1. 15.24(a) . Her parametre değeri için denklem sistemini çözün

1. No. 15.25(a) Her parametre değeri için denklem sistemini çözün

1. Denklem sistemi a parametresinin hangi değerlerinde

a) hiçbir çözümü yoktur; b) Sonsuz sayıda çözümü vardır.

Cevap: a = 2 için çözüm yoktur, a = -2 için sonsuz sayıda çözüm vardır

1. Grup halinde pratik çalışma

Sınıf 4-5 kişilik gruplara ayrılır. Her grupta farklı matematik hazırlığı seviyelerine sahip öğrenciler bulunur. Her gruba bir görev kartı verilir. Tüm grupları bir denklem sistemini çözmeye ve çözümü resmileştirmeye davet edebilirsiniz. Görevi doğru bir şekilde tamamlayan ilk grup çözümünü sunar; geri kalanı çözümü öğretmene teslim eder.

Kart. Doğrusal denklem sistemini çözme

a parametresinin tüm değerleri için.

Cevap: ne zaman sistemin benzersiz bir çözümü var ; hiçbir çözüm olmadığında; a = -1 için (t; 1- t) formunda sonsuz sayıda çözüm vardır, burada t R

Sınıfın güçlü olması durumunda, gruplara listesi Ek 1'de bulunan farklı denklem sistemleri önerilebilir. Daha sonra her grup kendi çözümünü sınıfa sunar.

Görevi doğru şekilde tamamlayan ilk grubun raporu

Katılımcılar çözümlerini dile getiriyor, açıklıyor ve diğer grupların temsilcileri tarafından sorulan soruları yanıtlıyor.

1. Bağımsız çalışma

Seçenek 1

Seçenek 2

1. Ders özeti

Doğrusal denklem sistemlerinin parametrelerle çözülmesi, üç temel koşulu içeren bir çalışmaya benzetilebilir. Öğretmen öğrencileri bunları formüle etmeye davet eder.

Karar verirken şunu unutmayın:

1. Bir sistemin tek çözüme sahip olabilmesi için sistemin denklemine karşılık gelen doğruların kesişmesi gerekir. koşulun karşılanması gerekir;
2. Hiçbir çözümün olmaması için doğruların paralel olması gerekir, yani. koşul karşılandı
3. ve son olarak, bir sistemin sonsuz sayıda çözüme sahip olması için doğruların çakışması gerekir; koşul karşılandı.

Öğretmen sınıfın çalışmalarını bir bütün olarak değerlendirir ve öğrencilere bireysel olarak ders için not verir. Bağımsız çalışmalarını kontrol ettikten sonra her öğrenciye ders için bir not verilecektir.

1. Ev ödevi

B parametresinin hangi değerlerinde denklem sistemi

• sonsuz sayıda çözümü vardır;
• çözümleri yok mu?

y = 4x + b ve y = kx + 6 fonksiyonlarının grafikleri ordinatlara göre simetriktir.

• b ve k'yi bulun,
• Bu grafiklerin kesişim noktasının koordinatlarını bulunuz.

Tüm m ve n değerleri için denklem sistemini çözün.

A parametresinin tüm değerleri (seçtiğiniz herhangi bir değer) için bir doğrusal denklem sistemi çözün.

Edebiyat

1. Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı: ders kitabı. 11. sınıf için genel eğitim kurumlar: temel ve profil. seviyeler / S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin - M .: Eğitim, 2008.
2. Matematik: 9. sınıf: Devlet final sertifikasına hazırlık / M. N. Korchagina, V. V. Korchagin - M.: Eksmo, 2008.
3. Üniversiteye hazırlanıyoruz. Matematik. Bölüm 2. Birleşik Devlet Sınavına hazırlanmak, merkezi sınavlara katılmak ve Kuban Devlet Teknik Üniversitesi / Kuban'a giriş sınavlarını geçmek için bir ders kitabı. durum teknoloji. Üniversite; Modern Enstitüsü teknoloji. ve ekonomi; Derleyen: S. N. Gorshkova, L. M. Danovich, N. A. Naumova, A.V. Martynenko, I.A. Palshchikova. – Krasnodar, 2006.
4. TUSUR hazırlık kursları için matematik problemlerinin toplanması: Ders Kitabı / Z. M. Goldshtein, G. A. Kornievskaya, G. A. Korotchenko, S. N. Kudinova. – Tomsk: Tomsk. Durum Kontrol Sistemleri ve Radyoelektronik Üniversitesi, 1998.
5. Matematik: yoğun sınavlara hazırlık kursu / O. Cherkasov, A. G. Yakushev. – M.: Rolf, Iris-press, 1998.

Çözüm. bir= . r(A)'yı bulalım. Çünkü matris Ve sırası 3x4 ise, en yüksek derecedeki küçükler 3'tür. Üstelik, tüm üçüncü dereceden küçükler sıfıra eşittir (kendiniz kontrol edin). Araç, r(A)< 3. Возьмем главный temel yan dal = -5-4 = -9 ≠ 0. Bu nedenle r(A) =2.

düşünelim matris İLE = .

Küçük üçüncü emir ≠ 0. Yani r(C) = 3.

r(A)'dan beri ≠ r(C) ise sistem tutarsızdır.

Örnek 2. Bir denklem sisteminin uyumluluğunu belirleme

Tutarlı olduğu ortaya çıkarsa bu sistemi çözün.

Çözüm.

bir = , C = . r(A) ≤ 3, r(C) ≤ 4 olduğu açıktır. detC = 0 olduğundan r(C)< 4. düşünelim küçük üçüncü emir, A ve C matrisinin sol üst köşesinde bulunur: = -23 ≠ 0. Yani r(A) = r(C) = 3.

Sayı bilinmiyor sistemde n=3. Bu, sistemin benzersiz bir çözümü olduğu anlamına gelir. Bu durumda dördüncü denklem ilk üçünün toplamını temsil eder ve göz ardı edilebilir.

Cramer'in formüllerine göre x 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23 elde ederiz.

2.4. Matris yöntemi. Gauss yöntemi

sistem N doğrusal denklemlerİle N bilinmeyenler çözülebilir matris yöntemi formüle göre X = A -1 B (Δ'da ≠ (2)'den her iki parçanın A -1 ile çarpılmasıyla elde edilen 0).

Örnek 1. Bir denklem sistemini çözün

matris yöntemi (bölüm 2.2'de bu sistem Cramer formülleri kullanılarak çözülmüştür)

Çözüm. Δ = 10 ≠ 0 A = - dejenere olmayan matris.

= (gerekli hesaplamaları yaparak bunu kendiniz kontrol edin).

A -1 = (1/Δ)х= .

X = A -1 V = x= .

Cevap: .

Pratik açıdan matris yöntemi ve formülleri Kramer büyük miktarda hesaplama ile ilişkilidir, bu nedenle tercih edilir Gauss yöntemi bilinmeyenlerin sıralı olarak ortadan kaldırılmasından oluşur. Bunu yapmak için denklem sistemi üçgen genişletilmiş matrisli eşdeğer bir sisteme indirgenir (ana köşegenin altındaki tüm öğeler sıfıra eşittir). Bu hareketlere ileri hareket denir. Ortaya çıkan üçgen sisteminden, değişkenler ardışık ikameler (tersi) kullanılarak bulunur.

Örnek 2. Gauss yöntemini kullanarak sistemi çözün

(Yukarıda bu sistem Cramer formülü ve matris yöntemi kullanılarak çözülmüştü).

Çözüm.

Doğrudan hareket. Genişletilmiş matrisi yazalım ve temel dönüşümleri kullanarak onu üçgen forma indirgeyelim:

~ ~ ~ ~ .

Aldık sistem

Ters hareket. Bulduğumuz son denklemden X 3 = -6 ve bu değeri ikinci denklemde yerine koyun:

X 2 = - 11/2 - 1/4X 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

X 1 = 2 -X 2 + X 3 = 2+4-6 = 0.

Cevap: .

2.5. Bir doğrusal denklem sisteminin genel çözümü

Bir doğrusal denklem sistemi verilsin = ben(Ben=). r(A) = r(C) = r olsun, yani. sistem işbirliğine dayalıdır. Sıfır dışında r mertebesinden herhangi bir küçük temel yan dal. Genelliği kaybetmeden, küçük temelin A matrisinin ilk r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) satır ve sütunlarında bulunduğunu varsayacağız. Sistemin son m-r denklemlerini attıktan sonra, bir yazıyoruz: kısaltılmış sistem:

ki bu da orijinaline eşdeğerdir. Bilinmeyenleri isimlendirelim x 1 ,….x r temel ve x r +1 ,…, x r serbest ve serbest bilinmeyenler içeren terimleri kesik sistemin denklemlerinin sağ tarafına taşıyın. Temel bilinmeyenlere göre bir sistem elde ediyoruz:

serbest bilinmeyenlerin her bir değer kümesi için x r +1 = C 1 ,…, x n = C n-r tek bir çözümü var x 1 (C 1 ,…, C n-r),…, x r (C 1 ,…, C n-r), Cramer kuralına göre bulunur.

İlgili Çözüm kısaltılmış ve dolayısıyla orijinal sistem şu şekildedir:

X(C 1 ,…, C n-r) = - Sistemin genel çözümü.

Genel çözümde serbest bilinmeyenlere bazı sayısal değerler atarsak, kısmi çözüm adı verilen doğrusal sistemin bir çözümünü elde ederiz.

Örnek.

Çözüm Uyumluluğu sağlayın ve sistemin genel çözümünü bulun . bir = .

, C = Bu yüzden Nasıl r(A)< 4).

Çözüm. Sistemin genel bir çözümünü ve bazı özel çözümlerini bulun

Ana matris A noktalı bir çizgiyle ayrılmıştır. Sistem denklemlerindeki terimlerin olası yeniden düzenlenmesini akılda tutarak bilinmeyen sistemleri en üste yazıyoruz. Genişletilmiş matrisin sıralamasını belirleyerek aynı anda ana matrisin sıralamasını da buluruz. B matrisinde birinci ve ikinci sütunlar orantılıdır. İki orantılı sütundan yalnızca biri temel minöre düşebilir, bu nedenle örneğin ilk sütunu zıt işaretli noktalı çizginin ötesine taşıyalım. Sistem için bu, x 1'deki terimleri denklemlerin sağ tarafına aktarmak anlamına gelir.

Matrisimizi üçgen forma indirgeyelim. Sadece satırlarla çalışacağız, çünkü bir matris satırını sıfırdan farklı bir sayıyla çarpıp sistem için başka bir satıra eklemek, denklemi aynı sayıyla çarpıp başka bir denklemle eklemek anlamına gelir ki bu da denklemin çözümünü değiştirmez. sistem. İlk satırla çalışıyoruz: matrisin ilk satırını (-3) ile çarpın ve sırayla ikinci ve üçüncü satırları ekleyin. Daha sonra ilk satırı (-2) ile çarpın ve dördüncüye ekleyin.

İkinci ve üçüncü çizgiler orantılıdır, bu nedenle bunlardan birinin, örneğin ikincisinin üzeri çizilebilir. Bu, üçüncünün bir sonucu olduğu için sistemin ikinci denkleminin üzerini çizmeye eşdeğerdir.

Şimdi ikinci satırla çalışıyoruz: onu (-1) ile çarpın ve üçüncüye ekleyin.

Noktalı çizgiyle daire içine alınmış küçük, (olası küçükler arasında) en yüksek sıraya sahiptir ve sıfır değildir (ana köşegendeki öğelerin çarpımına eşittir) ve bu küçük, hem ana matrise hem de genişletilmiş matrise aittir. rangA = rangB = 3'tür.
Küçük temeldir. Bilinmeyenler x 2 , x 3 , x 4 için katsayıları içerir; bu, bilinmeyenler x 2 , x 3 , x 4'ün bağımlı olduğu ve x 1 , x 5'in serbest olduğu anlamına gelir.
Solda yalnızca temel küçük (yukarıdaki çözüm algoritmasının 4. noktasına karşılık gelen) bırakarak matrisi dönüştürelim.

Bu matrisin katsayılarına sahip sistem orijinal sisteme eşdeğerdir ve şu şekildedir:

Bilinmeyenleri ortadan kaldırma yöntemini kullanarak şunları bulduk:
, ,

Bağımsız değişkenler x 1 ve x 5 üzerinden x 2, x 3, x 4 bağımlı değişkenlerini ifade eden ilişkiler elde ettik, yani genel bir çözüm bulduk:

Serbest bilinmeyenlere herhangi bir değer atayarak herhangi bir sayıda özel çözüm elde ederiz. İki özel çözüm bulalım:
1) x 1 = x 5 = 0 olsun, sonra x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) x 1 = 1, x 5 = -1, ardından x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7'yi koyun.
Böylece iki çözüm bulundu: (0,1,-3,3,0) – bir çözüm, (1,4,-7,7,-1) – başka bir çözüm.

Örnek 2. Uyumluluğu keşfedin, sisteme genel ve özel bir çözüm bulun

Çözüm. Birinci ve ikinci denklemleri birinci denklemde bir olacak şekilde yeniden düzenleyelim ve B matrisini yazalım.

İlk satırla işlem yaparak dördüncü sütunda sıfır elde ederiz:

Şimdi ikinci satırı kullanarak üçüncü sütundaki sıfırları alıyoruz:

Üçüncü ve dördüncü çizgiler orantılıdır, dolayısıyla sıralamayı değiştirmeden bunlardan birinin üzeri çizilebilir:
Üçüncü satırı (–2) ile çarpın ve dördüncüye ekleyin:

Ana ve genişletilmiş matrislerin sıralamalarının 4'e eşit olduğunu ve sıralamanın bilinmeyenlerin sayısına denk geldiğini görüyoruz, bu nedenle sistemin benzersiz bir çözümü var:
;
x 4 = 10- 3x 1 – 3x 2 – 2x 3 = 11.

Örnek 3. Sistemi uyumluluk açısından inceleyin ve varsa bir çözüm bulun.

Çözüm. Sistemin genişletilmiş bir matrisini oluşturuyoruz.

İlk iki denklemi sol üst köşede 1 olacak şekilde yeniden düzenliyoruz:
İlk satırı (-1) ile çarparak üçüncüye eklersek:

İkinci satırı (-2) ile çarpın ve üçüncüye ekleyin:

Sistem tutarsızdır, çünkü ana matriste, sıra bulunduğunda üzeri çizilen sıfırlardan oluşan bir satır aldık, ancak genişletilmiş matriste son satır kaldı, yani r B > r A .

Egzersiz yapmak. Bu denklem sisteminin uyumluluğunu araştırın ve matris hesabını kullanarak çözün.
Çözüm

Örnek. Doğrusal denklem sisteminin uyumluluğunu kanıtlayın ve iki şekilde çözün: 1) Gauss yöntemiyle; 2) Cramer'in yöntemi. (cevabı şu şekilde girin: x1,x2,x3)
Çözüm :doc :doc :xls
Cevap: 2,-1,3.

Örnek. Bir doğrusal denklem sistemi verilmiştir. Uyumluluğunu kanıtlayın. Sistemin genel bir çözümünü ve özel bir çözümünü bulun.
Çözüm
Cevap: x3 = - 1 + x4 + x5; x2 = 1 - x4; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5

Egzersiz yapmak. Her sistemin genel ve özel çözümlerini bulun.
Çözüm. Bu sistemi Kronecker-Capelli teoremini kullanarak inceleyelim.
Genişletilmiş ve ana matrisleri yazalım:

Egzersiz yapmak. Denklem sistemini çözün.
Cevap:x 2 = 2 - 1,67x 3 + 0,67x 4
x 1 = 5 - 3,67x3 + 0,67x4
Serbest bilinmeyenlere herhangi bir değer atayarak herhangi bir sayıda özel çözüm elde ederiz. Sistem belirsiz

• Sistemler M ile doğrusal denklemler N bilinmiyor.
  Doğrusal denklem sistemini çözme- bu böyle bir sayı kümesidir ( x 1 , x 2 , …, x n), sistemin denklemlerinin her birine yerleştirildiğinde doğru eşitlik elde edilir.
  Nerede a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, n— sistem katsayıları;
  b ben , ben = 1, …, m- ücretsiz üyeler;
  x j , j = 1, …, n- bilinmiyor.
  Yukarıdaki sistem matris formunda yazılabilir: Bir X = B,
  
  
  
  
  Nerede ( A|B) sistemin ana matrisidir;
  A— genişletilmiş sistem matrisi;
  X— bilinmeyenler sütunu;
  B— ücretsiz üyelerin sütunu.
  Matris ise B boş bir matris ∅ değilse, bu doğrusal denklem sistemine homojen olmayan denir.
  Matris ise B= ∅ ise bu doğrusal denklem sistemine homojen denir. Homojen bir sistemin her zaman sıfır (önemsiz) bir çözümü vardır: x 1 = x 2 = …, x n = 0.
  Doğrusal denklemlerin ortak sistemiçözümü olan bir doğrusal denklem sistemidir.
  Tutarsız doğrusal denklem sistemiçözülemeyen bir doğrusal denklem sistemidir.
  Belirli bir doğrusal denklem sistemi tek çözümü olan bir doğrusal denklem sistemidir.
  Belirsiz doğrusal denklem sistemi sonsuz sayıda çözümü olan bir doğrusal denklem sistemidir.
• n bilinmeyenli n doğrusal denklem sistemleri
  Bilinmeyenlerin sayısı denklem sayısına eşitse matris karedir. Bir matrisin determinantına doğrusal denklem sisteminin ana determinantı denir ve Δ sembolü ile gösterilir.
  Cramer yöntemi sistemleri çözmek için N ile doğrusal denklemler N bilinmiyor.
  Cramer kuralı.
  Bir doğrusal denklem sisteminin ana determinantı sıfıra eşit değilse, sistem tutarlı ve tanımlıdır ve tek çözüm Cramer formülleri kullanılarak hesaplanır:
  burada Δ ben, sistemin ana determinantından Δ değiştirilerek elde edilen determinantlardır Ben 3. sütundan serbest üyeler sütununa. .
• N bilinmeyenli m doğrusal denklem sistemleri
  Kronecker-Capelli teoremi.
  
  
  Verilen bir doğrusal denklem sisteminin tutarlı olabilmesi için sistem matrisinin rütbesinin sistemin genişletilmiş matrisinin rütbesine eşit olması gerekli ve yeterlidir, çaldı(Α) = çaldı(Α|B).
  Eğer çaldı(Α) ≠ çaldı(Α|B), o zaman sistemin açıkça hiçbir çözümü yoktur.
  Eğer çaldı(Α) = çaldı(Α|B) ise iki durum mümkündür:
  1) sıra(Α) = n(bilinmeyenlerin sayısı) - çözüm benzersizdir ve Cramer formülleri kullanılarak elde edilebilir;
  2) sıra(Α)< n - sonsuz sayıda çözüm var.
• Gauss yöntemi doğrusal denklem sistemlerini çözmek için
  
  
  Genişletilmiş bir matris oluşturalım ( A|B), bilinmeyenlerin ve sağ tarafların katsayılarından belirli bir sistemin.
  Gauss yöntemi veya bilinmeyenleri ortadan kaldırma yöntemi, genişletilmiş matrisin ( A|B) satırları üzerinde temel dönüşümleri çapraz bir forma (üst üçgen forma) kullanarak. Denklem sistemine dönersek tüm bilinmeyenler belirlenir.
  Dizeler üzerindeki temel dönüşümler aşağıdakileri içerir:
  1) iki satırı değiştirin;
  2) bir dizgiyi 0'dan farklı bir sayıyla çarpmak;
  3) bir dizeye rastgele bir sayıyla çarpılarak başka bir dize eklemek;
  4) sıfır çizgisini atmak.
  Çapraz forma indirgenmiş genişletilmiş bir matris, çözümü zorluğa neden olmayan, verilen sisteme eşdeğer bir doğrusal sisteme karşılık gelir. .
• Homojen doğrusal denklem sistemi.
  Homojen bir sistem şu şekildedir:
  
  matris denklemine karşılık gelir X = 0.
  1) Homojen bir sistem her zaman tutarlıdır, çünkü r(A) = r(A|B), her zaman sıfır bir çözüm vardır (0, 0,…, 0).
  2) Homojen bir sistemin sıfırdan farklı bir çözüme sahip olması için gerekli ve yeterlidir. r = r(A)< n Δ = 0'a eşdeğerdir.
  3) Eğer R< n , o zaman açıkça Δ = 0, o zaman serbest bilinmeyenler ortaya çıkar c 1, c 2, …, c n-r, sistemin önemsiz olmayan çözümleri var ve bunlardan sonsuz sayıda var.
  4) Genel çözüm X en R< n Matris formunda aşağıdaki gibi yazılabilir:
  X = c 1 X 1 + c 2 X 2 + … + c n-r X n-r,
  çözümler nerede X 1 , X 2 , …, X n-r temel bir çözüm sistemi oluşturur.
  5) Temel çözüm sistemi, homojen bir sistemin genel çözümünden elde edilebilir:
  
  ,
  parametre değerlerini sırasıyla (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1) şeklinde ayarlarsak.
  Genel çözümün temel çözüm sistemi açısından genişletilmesi temel sisteme ait çözümlerin doğrusal birleşimi biçimindeki genel bir çözümün kaydıdır.
  Teorem. Bir doğrusal homojen denklem sisteminin sıfırdan farklı bir çözüme sahip olması için Δ ≠ 0 olması gerekli ve yeterlidir.
  Yani eğer determinant Δ ≠ 0 ise sistemin tek bir çözümü vardır.
  Eğer Δ ≠ 0 ise, doğrusal homojen denklem sisteminin sonsuz sayıda çözümü vardır.
  Teorem. Homojen bir sistemin sıfırdan farklı bir çözüme sahip olması için gerekli ve yeterlidir. r(A)< n .
  Kanıt:
  1) R daha fazlası olamaz N(matrisin sırası sütun veya satır sayısını aşmaz);
  2) R< n , Çünkü Eğer r = n ise sistemin ana determinantı Δ ≠ 0 olur ve Cramer formüllerine göre benzersiz bir önemsiz çözüm vardır. x 1 = x 2 = … = x n = 0, bu durumla çelişiyor. Araç, r(A)< n .
  Sonuçlar. Homojen bir sistem için N ile doğrusal denklemler N bilinmeyenlerin sıfır olmayan bir çözümü varsa, Δ = 0 olması gerekli ve yeterlidir.