Koşullu dağıtım yasaları. Regresyon.
Tanım. İki boyutlu bir rastgele değişkenin (X, Y) tek boyutlu bileşenlerinden birinin koşullu dağılım yasası, diğer bileşenin belirli bir değer alması (veya belirli bir aralığa düşmesi) koşuluyla hesaplanan dağıtım yasasıdır. Önceki derste ayrık rastgele değişkenler için koşullu dağılımları bulmaya baktık. Koşullu olasılıklara ilişkin formüller de burada verilmiştir:
Sürekli rastgele değişkenler durumunda j y (x) ve j X (y) koşullu dağılımlarının olasılık yoğunluklarının belirlenmesi gerekir. Bu amaçla verilen formüllerde olayların olasılıklarını “olasılık unsurları” ile değiştiriyoruz!
dx ve dy ile indirgedikten sonra şunu elde ederiz:
onlar. iki boyutlu bir rastgele değişkenin tek boyutlu bileşenlerinden birinin koşullu olasılık yoğunluğu, eklem yoğunluğunun diğer bileşenin olasılık yoğunluğuna oranına eşittir. Bu ilişkiler şu şekilde yazılmıştır:
dağılım yoğunluklarının çarpımı için teorem (kural) denir.
Koşullu yoğunluklar j y (x) ve j X (y). “koşulsuz” yoğunluğun tüm özelliklerine sahiptir.
İki boyutlu rastgele değişkenler incelenirken, tek boyutlu X ve Y bileşenlerinin sayısal özellikleri (matematiksel beklentiler ve varyanslar) dikkate alınır. Sürekli bir rastgele değişken (X, Y) için aşağıdaki formüllerle belirlenir:
Bunların yanı sıra koşullu dağılımların sayısal özellikleri de dikkate alınır: koşullu matematiksel beklentiler M x (Y) ve M y (X) ve koşullu varyanslar D x (Y) ve D Y (X). Bu özellikler, olay olasılıkları veya olasılık yoğunlukları yerine koşullu olasılıkların veya koşullu olasılık yoğunluklarının kullanıldığı olağan matematiksel beklenti ve varyans formülleri kullanılarak bulunur.
X = x'te Y rastgele değişkeninin koşullu matematiksel beklentisi, yani. M x (Y), x'in bir fonksiyonudur ve regresyon fonksiyonu veya basitçe Y'nin X üzerinde regresyonu olarak adlandırılır. Benzer şekilde, M Y (X)'e regresyon fonksiyonu veya basitçe X'in Y üzerinde regresyonu denir. Bu fonksiyonların grafikleri regresyon çizgileri (veya regresyon eğrileri) olarak sırasıyla Y X veya X Y Y olarak adlandırılır.
Bağımlı ve bağımsız rastgele değişkenler.
Tanım. Rastgele değişkenler X ve Y, ortak dağılım fonksiyonları F(x,y), bu rastgele değişkenlerin F 1 (x) ve F 2 (y) dağılım fonksiyonlarının bir ürünü olarak temsil edilirse bağımsız olarak adlandırılır;
Aksi takdirde, X ve Y rastgele değişkenlerine bağımlı denir.
Eşitliği x ve y argümanlarına göre iki kez farklılaştırarak şunu elde ederiz:
onlar. bağımsız sürekli rastgele değişkenler X ve Y için, bunların ortak yoğunluğu j(x,y), bu rastgele değişkenlerin j1(x) ve j2(y) olasılık yoğunluklarının çarpımına eşittir.
Şimdiye kadar, bir değişkenin her bir x değerinin diğerinin kesin olarak tanımlanmış bir değerine karşılık geldiği X ve Y değişkenleri arasında fonksiyonel bir ilişki kavramıyla karşılaştık. Örneğin, iki rastgele değişken (belirli bir süre boyunca arızalanan ekipman parçalarının sayısı ve bunların maliyeti) arasındaki ilişki işlevseldir.
Genel olarak, işlevsel olandan daha az şiddetli olan farklı bir bağımlılık türüyle karşı karşıyadırlar.
Tanım.İki rastgele değişken arasındaki ilişkiye, eğer birinin değeri diğerinin belirli (koşullu) bir dağılımına karşılık geliyorsa, olasılıksal (stokastik veya istatistiksel) denir.
Olasılıksal (stokastik) bağımlılık durumunda, birinin değerini bilerek diğerinin değerini doğru bir şekilde belirlemek imkansızdır, ancak yalnızca diğer miktarın dağılımını belirtebilirsiniz. Örneğin, ekipman arızalarının sayısı ile önleyici onarımların maliyeti, bir kişinin ağırlığı ve boyu, bir okul çocuğunun televizyon izlemek ve kitap okumak için harcadığı zaman vb. arasındaki ilişki. olasılıksaldır (stokastik).
Şek. Şekil 5.10'da bağımlı ve bağımsız rastgele değişkenler X ve Y'nin örnekleri gösterilmektedir.
Bir rastgele değişkenin dağılım yasası, diğer rastgele değişkenin hangi olası değerleri alacağına bağlı olarak değişmiyorsa, iki rastgele değişken $X$ ve $Y$ bağımsız olarak adlandırılır. Yani, herhangi bir $x$ ve $y$ için $X=x$ ve $Y=y$ olayları bağımsızdır. $X=x$ ve $Y=y$ olayları bağımsız olduğundan, bağımsız olayların olasılıklarının çarpımı teoremine göre $P\left(\left(X=x\right)\left(Y=y\ sağ)\sağ)=P \left(X=x\right)P\left(Y=y\right)$.
Örnek 1 . Rastgele değişken $X$, bir "Rus Lotosu" piyangosunun biletlerinden elde edilen nakit kazançları ifade etsin ve $Y$ rastgele değişkeni, başka bir "Altın Anahtar" piyangosunun biletlerinden elde edilen nakit kazançlarını ifade etsin. $X,\Y$ rastgele değişkenlerinin bağımsız olacağı açıktır, çünkü bir piyangonun biletlerinden elde edilen kazançlar, başka bir piyangonun biletlerinden elde edilen kazançların dağıtım yasasına bağlı değildir. $X,\Y$ rastgele değişkenlerinin aynı piyangonun kazancını ifade etmesi durumunda, bu durumda, bu rastgele değişkenlerin bağımlı olacağı açıktır.
Örnek 2 . İki işçi farklı atölyelerde çalışarak, üretim teknolojileri ve kullanılan hammaddeler açısından birbiriyle ilgisi olmayan çeşitli ürünler üretiyorlar. Vardiya başına ilk işçi tarafından üretilen kusurlu ürün sayısına ilişkin dağıtım kanunu aşağıdaki biçimdedir:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
\ kusurlu \ ürün sayısı \ x & 0 & 1 \\
\hline
Olasılık & 0,8 & 0,2 \\
\hline
\end(dizi)$
İkinci işçinin vardiya başına ürettiği kusurlu ürün sayısı aşağıdaki dağıtım yasasına uygundur.
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
\ kusurlu \ ürün sayısı \ y & 0 & 1 \\
\hline
Olasılık & 0,7 & 0,3 \\
\hline
\end(dizi)$
Vardiya başına iki işçinin ürettiği kusurlu ürün sayısına ilişkin dağıtım yasasını bulalım.
Rastgele değişken $X$ vardiya başına ilk işçi tarafından üretilen kusurlu ürün sayısı ve $Y$ vardiya başına ikinci işçi tarafından üretilen kusurlu ürün sayısı olsun. Koşula göre, $X,\Y$ rastgele değişkenleri bağımsızdır.
Vardiya başına iki işçi tarafından üretilen kusurlu ürünlerin sayısı $X+Y$ rastgele bir değişkendir. Olası değerleri $0,\1$ ve $2$'dır. $X+Y$ rastgele değişkeninin değerlerini alma olasılıklarını bulalım.
$P\left(X+Y=0\right)=P\left(X=0,\ Y=0\right)=P\left(X=0\right)P\left(Y=0\right) =0,8\cdot 0,7=0,56,$
$P\left(X+Y=1\right)=P\left(X=0,\ Y=1\ veya\ X=1,\ Y=0\right)=P\left(X=0\right )P\left(Y=1\right)+P\left(X=1\right)P\left(Y=0\right)=0,8\cdot 0,3+0,2\cdot 0,7 =0,38.$
$P\left(X+Y=2\right)=P\left(X=1,\ Y=1\right)=P\left(X=1\right)P\left(Y=1\right) =0,2\cdot 0,3=0,06.$
Daha sonra vardiya başına iki işçi tarafından üretilen kusurlu ürün sayısının dağıtım yasası:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
\ Arızalı \ ürün sayısı & 0 & 1 & 2 \\
\hline
Olasılık & 0,56 & 0,38 & 0,06\\
\hline
\end(dizi)$
Önceki örnekte $X,\Y$ rastgele değişkenleri üzerinde bir işlem gerçekleştirdik, yani bunların $X+Y$ toplamını bulduk. Şimdi rastgele değişkenler üzerindeki işlemlerin (toplama, fark, çarpma) daha net bir tanımını verelim ve çözüm örnekleri verelim.
Tanım 1. Bir rastgele değişken olan $X$'ın bir sabit değişken olan $k$ ile çarpımı $kX$, aynı olasılıklarla $kx_i$ değerlerini alan bir rastgele değişkendir $p_i$ $\left(i=1,\ 2,\ \dots ,\ n\ right)$.
Tanım 2. $X$ ve $Y$ rastgele değişkenlerinin toplamı (farkı veya çarpımı), $x_i+y_j$ ($x_i-y_i$ veya $x_i\cdot y_i$) biçimindeki tüm olası değerleri alan rastgele bir değişkendir. , burada $i=1 ,\ 2,\dots ,\ n$, $p_(ij)$ olasılıkları ile $X$ rastgele değişkeninin $x_i$ değerini ve $Y$ $y_j$ değerini alması muhtemeldir:
$$p_(ij)=P\left[\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right].$$
$X,\Y$ rastgele değişkenleri bağımsız olduğundan, bağımsız olaylar için olasılık çarpım teoremine göre: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ sağ)= p_i\cdot p_j$.
Örnek 3 . Bağımsız rastgele değişkenler $X,\ Y$ olasılık dağılım yasalarıyla belirtilir.
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
x_i & -8 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,4 & 0,1 & 0,5 \\
\hline
\end(dizi)$
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0,3 & 0,7 \\
\hline
\end(dizi)$
$Z=2X+Y$ rastgele değişkeninin dağılım yasasını formüle edelim. $X$ ve $Y$ rastgele değişkenlerinin toplamı, yani $X+Y$, $x_i+y_j$ biçimindeki tüm olası değerleri alan bir rastgele değişkendir; burada $i=1,\ 2 ,\dots ,\ n$ , olasılıklarla $p_(ij)$ rastgele değişken $X$ $x_i$ değerini alır ve $Y$ $y_j$ değerini alır: $p_(ij)=P\left [\left(X=x_i\right )\left(Y=y_j\right)\right]$. $X,\Y$ rastgele değişkenleri bağımsız olduğundan, bağımsız olaylar için olasılık çarpım teoremine göre: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ sağ)= p_i\cdot p_j$.
Yani sırasıyla $2X$ ve $Y$ rastgele değişkenleri için dağıtım yasalarına sahiptir.
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
x_i & -16 & 4 & 6 \\
\hline
p_i & 0,4 & 0,1 & 0,5 \\
\hline
\end(dizi)$
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0,3 & 0,7 \\
\hline
\end(dizi)$
$Z=2X+Y$ toplamının tüm değerlerini ve bunların olasılıklarını bulma kolaylığı için, her hücrede $Z=2X+Y$ toplamının değerlerini sol köşeye yerleştireceğimiz bir yardımcı tablo oluşturacağız. Z=2X+Y$ ve sağ köşede - bu değerlerin olasılıkları, $2X$ ve $Y$ rastgele değişkenlerinin karşılık gelen değerlerinin olasılıklarının çarpılması sonucu elde edilir.
Sonuç olarak $Z=2X+Y$ dağılımını elde ederiz:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
z_i & -14 & -8 & 6 & 12 & 10 & 16 \\
\hline
p_i & 0,12 & 0,28 & 0,03 & 0,07 & 0,15 & 0,35 \\
\hline
\end(dizi)$
