Parabol yan yatıyor. Parabol denklemindeki parametrenin geometrik anlamı

Parabol, her biri için düzlem üzerinde odak adı verilen sabit bir noktaya olan mesafenin, doğrultman adı verilen sabit bir çizgiye olan mesafeye eşit olduğu noktaların geometrik yeridir (bu çizginin odak noktasından geçmediği varsayılırsa) .

Bir parabolün odağı genellikle harfle gösterilir F, odak noktasından directrix harfine olan mesafe R. Boyut P isminde parametre paraboller. Parabolün görüntüsü Şekil 2'de gösterilmektedir. 61 (okuyucu, sonraki birkaç paragrafı okuduktan sonra bu çizimin kapsamlı bir açıklamasını alacaktır).

Yorum. uyarınca N° 100 parabolün dışmerkezliliğe sahip olduğunu söylüyor =1.

Bir miktar parabol verilse (aynı zamanda parametrenin P). Eksenleri bu parabole göre özel bir şekilde konumlanacak olan bir Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemini düzleme tanıtalım. Yani, apsis eksenini odak noktasından doğrultmana dik olarak çiziyoruz ve bunun doğrultmandan odağa doğru yönlendirildiğini düşünüyoruz; Koordinatların orijinini araların ortasına yerleştirelim. odak ve müdür (Şekil 61). Bu parabolün denklemini bu koordinat sisteminde türetelim.

Düzlemde rastgele bir nokta alalım M ve koordinatlarını şu şekilde belirtin: X Ve sen.Şununla da belirtelim R noktadan uzaklık M odaklanmak (r=FM), başından sonuna kadar R- noktadan uzaklık M müdüre. Nokta M(verilen) bir parabol üzerinde olacaktır ancak ve ancak şu durumda

Gerekli denklemi elde etmek için değişkenleri eşitlikte değiştirmeniz gerekir (1) R Ve A mevcut koordinatlar aracılığıyla ifadeleri x, y. Odaklanmayı unutmayın F koordinatları vardır; bunu dikkate alarak ve formül (2)'yi uygulayarak N° 18. şunu buluyoruz:

(2)

ile belirtelim Q bir noktadan bırakılan dikmenin tabanı M müdüre. Açıkçası, dönem Q koordinatları vardır; buradan ve formül (2)'den N° 18 elde ederiz:

(3),

(kökü çıkarırken işaretimizle aldık, çünkü - sayı pozitiftir; bu, noktanın M(x;y) Odak noktasının olduğu yerde yönetmenin tarafında olmalıdır, yani x > , bu nedenle eşitlikte yerine koyma (1) g ve D(2) ve (3) ifadelerinden şunu buluruz:

(4)

Bu, noktanın koordinatları tarafından karşılandığı için, söz konusu parabolün belirlenen koordinat sistemindeki denklemidir. M(x;y) eğer ve sadece nokta M bu parabolün üzerinde yatıyor.

Parabol denklemini daha basit bir biçimde elde etmek için eşitliğin (4) her iki tarafının karesini alalım; şunu elde ederiz:

(5),

Denklem (4)'ün bir sonucu olarak denklem (6)'yı türettik. Denklemin (4) de denklem (6)'nın bir sonucu olarak türetilebileceğini göstermek kolaydır. Aslında denklem (5), açıkça denklem (6)'dan (“tersten”) türetilmiştir; ayrıca denklem (5)'ten elimizde var.

Tanım: Bir parabol, bir düzlem üzerindeki, bu düzlemin sabit bir F noktasına olan uzaklığının, sabit bir düz çizgiye olan uzaklığa eşit olduğu noktaların geometrik yeridir. F noktasına parabolün odağı, sabit çizgiye ise parabolün doğrultmanı denir.

Denklemi türetmek için şunu kuralım:

İLE tanımına göre:

2 >=0 olduğundan parabol sağ yarı düzlemde yer alır. X 0'dan sonsuza arttıkça
. Parabol Ox'a göre simetriktir. Bir parabolün simetri ekseniyle kesiştiği noktaya parabolün tepe noktası denir.

45. İkinci dereceden eğriler ve sınıflandırılması. Kvp ile ilgili ana teorem.

8 tür KVP vardır:

1.elipsler

2.abartılar

3.paraboller

1,2,3 eğrileri kanonik kesitlerdir. Koniyi, koninin eksenine paralel bir düzlemle kesersek bir hiperbol elde ederiz. Düzlem cinse paralel ise, o zaman bir paraboldür. Tüm düzlemler koninin tepe noktasından geçmez. Eğer başka bir düzlem ise o zaman bir elipstir.

4. paralel doğru çifti y 2 +a 2 =0, a0

5. kesişen doğru çifti y 2 -k 2 x 2 =0

6.bir düz çizgi y 2 =0

7.bir nokta x 2 + y 2 =0

8.boş küme - boş eğri (noktasız eğri) x 2 + y 2 +1=0 veya x 2 + 1=0

Teorem (KVP ile ilgili ana teorem): Formun denklemi

A 11 X 2 + 2 bir 12 x y + a 22 sen 2 + 2 bir 1 x + 2a 2 evet+a 0 = 0

yalnızca bu sekiz türden birinin eğrisini temsil edebilir.

Kanıt fikri temsil ettiği eğrinin türü belli olduğunda KVP denkleminin en basit biçimi alacağı bir koordinat sistemine geçmektir. Teorem, koordinat sisteminin, koordinatların çarpımıyla birlikte terimin kaybolduğu bir açıyla döndürülmesiyle kanıtlanır. Ve x değişkenli terimin veya y değişkenli terimin ortadan kalktığı koordinat sisteminin paralel aktarımı yardımıyla.

Yeni bir koordinat sistemine geçiş: 1. Paralel aktarım

2. Döndür

45. İkinci derece yüzeyler ve sınıflandırılması. Pvp ile ilgili ana teorem. Dönme yüzeyleri.

P VP - dikdörtgen koordinatları 2. derece denklemi karşılayan noktalar kümesi: (1)

Karelerin veya çarpımların katsayılarından en az birinin 0'dan farklı olduğu varsayılmaktadır. Denklem, koordinat sistemi seçimine göre değişmezdir.

Teorem Tüm düzlemin kesit içinde olduğu özel bir durum haricinde, herhangi bir düzlem PVP'yi CVP boyunca keser (PVP bir düzlem veya bir çift düzlem olabilir).

15 çeşit PVP vardır. Uygun koordinat sistemlerinde belirtildikleri denklemleri belirterek bunları listeleyelim. Bu denklemlere kanonik (en basit) denir. Paralel bölümler yöntemini kullanarak kanonik denklemlere karşılık gelen geometrik görüntüler oluşturun: Yüzeyi koordinat düzlemleri ve onlara paralel düzlemlerle kesiştirin. Sonuç, yüzeyin şekli hakkında fikir veren bölümler ve eğrilerdir.

1. Elipsoid.

a=b=c ise bir küre elde ederiz.

2. Hiperboloidler.

1). Tek sayfalık hiperboloit:

Tek sayfalık bir hiperboloidin koordinat düzlemlerine göre kesiti: XOZ:
- abartı.

Sen:
- abartı.

XOY düzlemi:
- elips.

2). İki yapraklı hiperboloit.

Orijin bir simetri noktasıdır.

Koordinat düzlemleri simetri düzlemleridir.

Uçak z = H bir hiperboloidi bir elips boyunca keser
yani uçak z = H hiperboloit ile | noktasında kesişmeye başlar H |  C. Bir hiperboloidin düzlemlere göre kesiti X = 0 Ve sen = 0 - bunlar abartı.

(2), (3), (4) denklemlerindeki a, b, c sayılarına elipsoidlerin ve hiperboloitlerin yarı eksenleri denir.

3. Paraboloidler.

1). Eliptik paraboloit:

Düzlem bölümü z = H Orada
, Nerede
. Denklemden z  0'ın sonsuz bir çanak olduğu açıktır.

Düzlemlerin kesişimi sen = H Ve X= H
- bu bir paraboldür ve genel olarak

2). Hiperbolik paraboloit:

Açıkçası, XOZ ve YOZ düzlemleri simetri düzlemleridir, z ekseni paraboloidin eksenidir. Bir paraboloitin bir düzlemle kesişmesi z = H– abartılar:
,
. Uçak z=0 hiperbolik bir paraboloidi iki eksen boyunca keser
bunlar asimptotlardır.

4. İkinci dereceden koni ve silindirler.

1). Koni bir yüzeydir
. Koni, 0 (0, 0, 0) noktasından geçen düz çizgilerden oluşur. Koninin kesiti yarı eksenli bir elipstir
.

2). İkinci dereceden silindirler.

Bu eliptik bir silindir
.

Elipsleri kesen ve Oz eksenine paralel olan hangi doğruyu alırsak alalım, bu denklemi karşılar. Bu düz çizgiyi elipsin etrafında hareket ettirerek bir yüzey elde ederiz.

G hiperbolik silindir:

XOU düzleminde bu bir hiperboldür. Hiperbolle kesişen düz çizgiyi Oz'a paralel olarak hiperbol boyunca hareket ettiriyoruz.

Parabolik silindir:

N ve XOU düzlemi bir paraboldür.

Silindirik yüzeyler, belirli bir düz çizgi (kılavuz) boyunca kendisine paralel hareket eden düz bir çizginin (üretken) oluşturduğu yüzeylerdir.

10. Kesişen düzlem çifti

11.Paralel düzlem çifti

12.
- dümdüz

13. Düz çizgi - tek bir noktaya inşa edilmiş bir "silindir"

14.Bir nokta

15.Boş set

PVP ile ilgili ana teorem: Her PVP yukarıda tartışılan 15 türden birine aittir. Başka PVP yok.

Dönme yüzeyleri. PDSC Oxyz verilsin ve Oyz düzleminde F(y,z)=0 (1) denklemiyle tanımlanan e doğrusu olsun. Bu çizginin Oz ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen yüzey için bir denklem oluşturalım. E doğrusu üzerinde bir M(y,z) noktası alalım. Oyz düzlemi Oz etrafında döndüğünde, M noktası bir daire tanımlayacaktır. N(X,Y,Z) bu çemberin keyfi bir noktası olsun. z=Z olduğu açıktır.

.

Bulunan z ve y değerlerini denklem (1)'de değiştirerek doğru eşitliği elde ederiz:
onlar. N noktasının koordinatları denklemi karşılar
. Böylece dönme yüzeyindeki herhangi bir nokta denklem (2)'yi karşılar. Bir N(x 1 ,y 1 ,z 1) noktasının denklem (2)'yi sağlaması durumunda söz konusu yüzeye ait olduğunu kanıtlamak zor değildir. Artık denklem (2)'nin devrim yüzeyi için istenen denklem olduğunu söyleyebiliriz.

Tanım 1

Bir parabol, odak adı verilen ve ne bu eğrinin üzerinde ne de $d$ düz çizgisi üzerinde yer almayan, belirli bir $F$ noktasından aynı uzaklıkta bulunan geometrik bir nokta kümesinden oluşan bir eğridir.

Yani bir parabol üzerindeki rastgele bir noktadan odağa ve aynı noktadan doğrultmana olan mesafelerin oranı her zaman bire eşittir, bu orana dışmerkezlik denir.

“Eksantriklik” terimi aynı zamanda hiperboller ve elipsler için de kullanılır.

Kanonik parabol denklemindeki temel terimler

$F$ noktasına parabolün odağı denir ve $d$ doğrusu da onun direktrisidir.

Bir parabolün simetri ekseni, $O$ parabolünün tepe noktasından ve onun odağı $F$'dan geçen bir çizgidir, böylece $d$ doğrultmanı ile dik açı oluşturur.

Bir parabolün tepe noktası, doğrultmana olan mesafenin minimum olduğu noktadır. Bu nokta, odak noktasından yön çizgisine olan mesafeyi ikiye böler.

Bir parabolün kanonik denklemi nedir?

Tanım 2

Bir parabolün kanonik denklemi oldukça basittir, hatırlanması kolaydır ve aşağıdaki forma sahiptir:

$y^2 = 2px$, burada $p$ sayısı sıfırdan büyük olmalıdır.

Denklemin $p$ sayısına "odak parametresi" adı verilir.

Bir parabolün bu denklemi veya daha doğrusu yüksek matematikte en sık kullanılan bu formül, parabolün ekseninin $OX$ ekseniyle çakışması, yani parabolün sanki kendi tarafındaymış gibi yerleştirilmesi durumunda uygulanabilir.

$x^2 ​​= 2py$ denklemiyle tanımlanan bir parabol, ekseni $OY$ ekseniyle çakışan bir paraboldür; okulda bu tür parabollere alışığız.

Denklemin ikinci bölümünün önünde eksi bulunan parabol ($y^2 = - 2px$), kanonik parabole göre 180° döndürülür.

Bir parabol, 2. dereceden bir eğrinin özel bir durumudur; buna göre, genel olarak bir parabol denklemi bu tür eğrilerin tamamıyla tamamen aynı görünür ve yalnızca parabol $OX$'a paralel olduğunda değil, tüm durumlar için uygundur. .

Bu durumda, $B^2 – 4AC$ formülüyle hesaplanan diskriminant sıfıra eşittir ve denklemin kendisi şöyle görünür: $Ax^2 + B \cdot x \cdot y + C\cdot y^2 + D\cdot x + E\ cdot y + F = 0$

Bir parabol için kanonik denklemin grafiğini çizerek türetme

Şekil 1. Kanonik parabol denkleminin grafiği ve türetilmesi

Bu makalede yukarıda verilen tanımdan, tepe noktası koordinat eksenlerinin kesişiminde bulunan bir parabol için bir denklem oluşturacağız.

Mevcut grafiği kullanarak, yukarıda verilen parabolik eğri tanımından $x$ ve $y$ noktalarını $F$ belirleriz, $x = \frac(p)(2)$ ve $y = 0$.

Öncelikle $d$ düz çizgisi için bir denklem oluşturalım ve bunu yazalım: $x = - \frac(p)(2)$.

Tanıma göre, eğrimizin üzerinde bulunan keyfi bir M noktası için aşağıdaki ilişki geçerlidir:

$FM$ = $MM_d$ (1), burada $M_d$, $M$ noktasından $d$ direktrisi ile çizilen dikmenin kesişme noktasıdır.

Bu nokta için X ve Y sırasıyla $\frac(p)(2)$ $y$'a eşittir.

Denklem (1)’i koordinat formunda yazalım:

$\sqrt((x - \frac(p)(2))^2 + y^2 )= x + \frac(p)(2)$

Şimdi kökten kurtulmak için denklemin her iki tarafının karesini almanız gerekir:

$(x - \frac(p)(2))^2 + y^2 = x^2 +px^2 + \frac(p^2)(4)$

Sadeleştirmeden sonra parabolün kanonik denklemini elde ederiz: $y^2 = px$.

İkinci dereceden bir fonksiyonla tanımlanan parabol

Tepe noktası grafiğin herhangi bir yerinde bulunan ve koordinat eksenlerinin kesişimiyle çakışması gerekmeyen bir parabolü tanımlayan denklem şuna benzer:

$y = ax^2 + bx + c$.

Böyle bir parabolün tepe noktası için $x$ ve $y$'yi hesaplamak için aşağıdaki formülleri kullanmanız gerekir:

$x_A = - \frac(b)(2a)$

$y_A = - \frac(D)(4a)$, burada $D = b^2 – 4ac$.

Örnek 1

Klasik bir parabol denklemi oluşturma örneği

Görev. Odak noktasının yerini bilerek parabolün kanonik denklemini oluşturun. $F$ odak noktasının koordinatları $(4; 0)$'dır.

Grafiği kanonik denklemle verilen bir parabol düşündüğümüz için, tepe noktası $O$ x ve y eksenlerinin kesişiminde bulunur, dolayısıyla odak noktasından tepe noktasına olan mesafe $\frac'a eşittir. (1)(2)$ odak parametresinin $\frac(p )(2) = $4. Basit hesaplamalarla odak parametresinin kendisinin $p = 8$ olduğunu buluyoruz.

$p$ değerini denklemin kanonik formuna yerleştirdikten sonra denklemimiz $y^2 = 16x$ olur.

Mevcut bir grafiği kullanarak parabol denklemi nasıl yazılır

Örnek 2

Şekil 2. Bir parabolün kanonik denklemi, grafiği ve çözüm örneği

Öncelikle, fonksiyonumuzun grafiğine ait olan $M$ noktasını seçmemiz ve $OX$ ve $OY$ eksenlerindeki dik açıları çıkararak, bizim durumumuzda onun x ve y noktasını yazmamız gerekir. $M$, $(2;2) $'dır.

Şimdi bu nokta için elde edilen $x$ ve $y$ değerlerini $y^2 = px$ parabolünün kanonik denkleminde yerine koymamız gerekiyor, şunu elde ederiz:

$2^2 = 2 \cdot 2p$

İndirgeyerek aşağıdaki parabol denklemini elde ederiz: $y^2 = 2 \cdot x$.

Dikdörtgen koordinat sistemini tanıtalım, burada . Eksenin odaktan geçmesine izin verin F parabol ve doğrultmana diktir ve eksen, odak ile doğrultu arasında yarı yolda geçer. Odak ile yön arasındaki mesafeyi belirtelim. Daha sonra direktriks denklemi.

Sayıya parabolün odak parametresi denir. Parabolün şimdiki noktası olsun. Hiperbolün noktasının odak yarıçapı, noktadan doğrultmana olan uzaklık olsun. Daha sonra( çizim 27.)

Çizim 27.

Bir parabolün tanımı gereği. Buradan,

Denklemin karesini alalım ve şunu elde edelim:

(15)

burada (15), eksene göre simetrik olan ve orijinden geçen bir parabolün kanonik denklemidir.

Bir parabolün özelliklerinin incelenmesi

1) Parabolün tepe noktası:

Denklem (15) sayılarla sağlanır ve dolayısıyla parabol orijinden geçer.

2) Parabol simetrisi:

Parabole ait olalım, yani. gerçek eşitlik. Nokta eksene göre noktaya simetriktir, dolayısıyla parabol apsis eksenine göre simetriktir.

Parabolün dışmerkezliği:

Tanım 4.2. Bir parabolün dışmerkezliği bire eşit bir sayıdır.

Bir parabolün tanımı gereği.

4) Parabolün tanjantı:

Teğet noktasındaki bir parabolün teğeti denklemle verilir

Nerede ( çizim 28.)

Çizim 28.

Parabol resmi

Çizim 29.

ESO-Mathcad'i kullanma:

çizim 30.)

Çizim 30.

a) BİT kullanmadan inşaat: Bir parabol oluşturmak için merkezi O noktasında ve birim segmenti olan dikdörtgen bir koordinat sistemi kurarız. Öyle çizdiğimiz için odağı OX eksenine ve parabolün doğrultmanına işaretliyoruz. Yarıçapı düz çizgiden parabolün doğrultmanına olan mesafeye eşit olan bir noktada bir daire oluşturuyoruz. Çember doğruyu belirli noktalarda keser. Başlangıç ​​noktasından ve noktalardan geçecek şekilde bir parabol oluşturuyoruz.( çizim 31.)

Çizim 31.

b)ESO-Mathcad'i kullanarak:

Ortaya çıkan denklem şuna benzer: . Mathcad programında ikinci dereceden bir doğru oluşturmak için denklemi şu şekle indirgeriz: .( çizim 32.)

Çizim 32.

İlköğretim matematikte ikinci dereceden doğrular teorisi üzerine yapılan çalışmaları özetlemek ve problem çözerken doğrulara ilişkin bilgilerin kullanılmasının kolaylığı için, ikinci dereceden doğrulara ilişkin tüm verileri Tablo 1'e dahil edeceğiz.

Tablo No.1.

İlköğretim matematikte ikinci dereceden çizgiler

İkinci dereceden hatların incelenmesinde BİT kullanma olanakları

Bugün modern toplum yaşamının tüm yönlerini kapsayan bilişim sürecinin, elbette eğitimin bilişimleşmesini de içermesi gereken birçok öncelikli alanı vardır. Bilgi ve iletişim teknolojilerinin (BİT) kullanımı yoluyla insan entelektüel faaliyetinin küresel rasyonelleştirilmesinin temel temelidir.

Geçen yüzyılın 90'lı yılların ortalarından günümüze kadar, Rusya'da kişisel bilgisayarların yaygın kullanımı ve mevcudiyeti, gelişmiş eğitim bilgi teknolojilerinin eğitim sürecine dahil edilmesine, iyileştirilmesine ve modernleştirilmesine, iyileştirilmesine olanak tanıyan telekomünikasyonun yaygın kullanımı ile karakterize edilir. bilginin kalitesi, öğrenme motivasyonunun arttırılması, öğrenmenin bireyselleştirilmesi ilkesinden maksimum düzeyde yararlanılmasıdır. Eğitim için bilgi teknolojileri, eğitimin bilişimselleştirilmesinin bu aşamasında gerekli bir araçtır.

Bilgi teknolojileri yalnızca bilgiye erişimi kolaylaştırmak ve eğitim faaliyetlerinde değişkenlik, bireyselleştirme ve farklılaşma fırsatları açmakla kalmaz, aynı zamanda tüm öğrenme konularının etkileşimini yeni bir şekilde yeniden düzenlemeyi, içinde eğitimin mümkün olduğu bir eğitim sistemi oluşturmayı mümkün kılar. Öğrenci eğitim faaliyetlerine aktif ve eşit bir katılımcı olacaktır.

Konu dersleri çerçevesinde yeni bilgi teknolojilerinin oluşumu, dersin etkililiğini niteliksel olarak artırmayı amaçlayan yeni yazılım ve metodolojik kompleksler oluşturma ihtiyacını teşvik etmektedir. Bu nedenle, bilgi teknolojisi araçlarının eğitim sürecinde başarılı ve amaçlı kullanımı için öğretmenlerin, yazılım uygulamalarının çalışma ilkelerinin genel tanımını ve didaktik yeteneklerini bilmeleri ve daha sonra deneyimlerine ve önerilerine dayanarak bunları "oluşturmaları" gerekir. eğitim sürecine girer.

Matematik çalışması şu anda ülkemizde okul eğitiminin gelişimindeki bir takım özellikler ve zorluklarla ilişkilendirilmektedir.

Matematik eğitiminde sözde kriz ortaya çıktı. Bunun nedenleri aşağıdaki gibidir:

Toplumda ve bilimde değişen önceliklerde, yani beşeri bilimlerin önceliği şu anda artıyor;

Okuldaki matematik dersi sayısının azaltılmasında;

Matematik eğitiminin içeriğinin hayattan izolasyonu;

Öğrencilerin duygu ve duyguları üzerinde çok az etkisi vardır.

Bugün şu soru açık kalıyor: "Matematik öğretimi de dahil olmak üzere okul çocuklarına eğitim verirken modern bilgi ve iletişim teknolojilerinin potansiyel yetenekleri en etkili şekilde nasıl kullanılır?"

Bilgisayar, "İkinci Dereceden Fonksiyon" gibi bir konuyu incelemek için mükemmel bir yardımcıdır, çünkü özel programlar kullanarak çeşitli fonksiyonların grafiklerini oluşturabilir, fonksiyonu keşfedebilir, kesişme noktalarının koordinatlarını kolayca belirleyebilir, kapalı şekillerin alanlarını hesaplayabilirsiniz, vb. Örneğin, grafik dönüşümüne (uzatma, sıkıştırma, koordinat eksenlerini hareket ettirme) ayrılmış bir 9. sınıf cebir dersinde, yapının yalnızca donmuş sonucunu görebilirken, öğretmen ve öğrencinin sıralı eylemlerinin tüm dinamiklerini görebilirsiniz. monitör ekranında.

Bilgisayar, başka hiçbir teknik araç gibi, öğrenciye ideal matematiksel modelleri doğru, görsel ve heyecan verici bir şekilde ortaya koyar; bir çocuğun pratik eylemlerinde ne için çabalaması gerektiği.

Bir matematik öğretmeninin, ikinci dereceden bir fonksiyonun grafiğinin teğet noktasındaki teğetinin, fonksiyonun grafiğiyle pratik olarak birleştiğine öğrencileri ikna etmek için ne kadar zorluk yaşaması gerekir? Bu gerçeği bilgisayarda göstermek çok kolaydır; Ox ekseni boyunca aralığı daraltmak ve teğet noktasının çok küçük bir komşuluğunda fonksiyonun grafiği ile teğet çizgisinin çakıştığını keşfetmek yeterlidir. Bütün bu eylemler öğrencilerin önünde gerçekleşir. Bu örnek derste aktif yansıma için bir ivme sağlar. Hem sınıfta yeni materyalin anlatılması sırasında hem de kontrol aşamasında bilgisayar kullanımı mümkündür. Bu programların yardımıyla, örneğin “Testim”, öğrenci teorik bilgi seviyesini bağımsız olarak test edebilir ve teorik ve pratik görevleri tamamlayabilir. Programlar çok yönlülüğü nedeniyle uygundur. Hem öz kontrol hem de öğretmen kontrolü için kullanılabilirler.

Matematik ve bilgisayar teknolojisinin makul entegrasyonu, bir problem çözme sürecine ve matematik yasalarını anlama sürecine daha zengin ve daha derin bir bakış atmamızı sağlayacaktır. Buna ek olarak, bilgisayar öğrencilerin grafik, matematik ve zihinsel kültürünün oluşmasına yardımcı olacaktır ve bilgisayar yardımıyla didaktik materyaller hazırlayabilirsiniz: kartlar, anket formları, testler vb. İlgi ve yaratıcı yaklaşımın olduğu konuyla ilgili testleri bağımsız olarak geliştirme fırsatı.

Bu nedenle matematik derslerinde bilgisayarların mümkün olduğunca yaygın olarak kullanılmasına ihtiyaç vardır. Bilgi teknolojisinin kullanılması, bilginin kalitesinin iyileştirilmesine, ikinci dereceden fonksiyonu inceleme ufkunun genişletilmesine yardımcı olacak ve bu nedenle öğrencilerin konuya ve konuya olan ilgisini sürdürmek için yeni beklentiler bulmaya ve dolayısıyla konuya karşı daha iyi, daha dikkatli bir tutum bulmaya yardımcı olacaktır. BT. Günümüzde modern bilgi teknolojileri, yönetimden eğitime ve eğitime erişilebilirliğin sağlanmasına kadar okulun bir bütün olarak modernleştirilmesinin en önemli aracı haline geliyor.

Parabol, bir düzlemde belirli bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktalar kümesidir(odak)ve belirli bir noktadan geçmeyen belirli bir çizgiden (müdireler), aynı düzlemde bulunan(Şekil 5).

Bu durumda koordinat sistemi eksene göre seçilir.
Odak boyunca doğrultmana dik olarak geçer, pozitif yönü doğrultmandan odağa doğru seçilir. Ordinat ekseni, direktrix ile odak noktasının ortasında, direktrix'e paralel uzanır, dolayısıyla directrix denklemi
, odak koordinatları
. Orijin parabolün tepe noktasıdır ve x ekseni simetri eksenidir. Parabol eksantrikliği
.

Bazı durumlarda denklemlerle tanımlanan paraboller dikkate alınır.

A)

B)
(tüm durumlar için
)

V)
.

a) durumunda parabol eksene göre simetriktir
ve negatif yönde yönlendirilir (Şekil 6).

b) ve c) durumlarında simetri ekseni eksendir
(Şekil 6). Bu durumlar için odak koordinatları:

A)
B)
V)
.

Directrix denklemi:

A)
B)
V)
.

Örnek 4. Tepe noktası orijinde olan bir parabol bir noktadan geçer
ve eksene göre simetrik
. Denklemini yazın.

Çözüm:

Parabol eksene göre simetrik olduğundan
ve noktadan geçer pozitif bir apsis ile, Şekil 5'te gösterilen forma sahiptir.

Nokta koordinatlarını değiştirme böyle bir parabolün denklemine
, alıyoruz
yani
.

Bu nedenle gerekli denklem

,

bu parabolün odağı
, doğrultman denklemi
.

4. İkinci mertebeden doğru denkleminin kanonik forma dönüştürülmesi.

İkinci derecenin genel denklemi şu şekildedir:

katsayılar nerede
aynı anda sıfıra gitmeyin.

Denklem (6) ile tanımlanan herhangi bir çizgiye ikinci dereceden çizgi denir. Koordinat sisteminin bir dönüşümü kullanılarak, ikinci dereceden bir çizginin denklemi en basit (kanonik) forma indirgenebilir.

1. Denklemde (6)
. Bu durumda denklem (6) şu şekle sahiptir:

Formüllere göre koordinat eksenlerinin paralel ötelenmesi kullanılarak en basit biçimine dönüştürülür.

(8)

Nerede
– yeni başlangıcın koordinatları
(eski koordinat sisteminde). Yeni akslar
Ve
eskilere paralel. Nokta
bir elipsin veya hiperbolün merkezi ve bir parabol durumunda tepe noktasıdır.

Bir daire için yapıldığına benzer şekilde, tam kareleri ayırma yöntemini kullanarak denklemi (7) en basit formuna indirmek uygundur.

Örnek 5.İkinci dereceden doğru denklemini en basit şekline indirgeyin. Bu hattın tipini ve yerini belirleyin. Odakların koordinatlarını bulun. Bir çizim yapın.

Çözüm:

Yalnızca aşağıdakileri içeren üyeleri gruplandırıyoruz: ve sadece katsayılarını çıkararak Ve braketin arkasında:

Kareleri tamamlamak için parantez içindeki ifadeleri tamamlıyoruz:

Böylece bu denklem şu forma dönüştürülür:

Biz belirleriz

veya

Denklem (8) ile karşılaştırıldığında, bu formüllerin koordinat eksenlerinin noktaya paralel transferini belirlediğini görüyoruz.
. Yeni koordinat sisteminde denklem şu şekilde yazılacaktır:

Serbest terimi sağa kaydırıp ona bölersek şunu elde ederiz:

.

Yani bu ikinci dereceden çizgi yarı eksenli bir elipstir
,
. Elipsin merkezi yeni başlangıç ​​noktasındadır
ve odak ekseni eksendir
. Odakların merkezden uzaklığı, dolayısıyla doğru odaklamanın yeni koordinatları
. Aynı odağın eski koordinatları paralel öteleme formüllerinden bulunur:

Benzer şekilde, yeni sol odak koordinatları
,
. Eski koordinatları:
,
.

Elipsin köşelerini bu şekilde elde ettikten sonra elipsin kendisini çiziyoruz (Şekil 7). Yorum
. Çizimi netleştirmek için bu doğrunun (7) eski koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını bulmakta fayda var. Bunu yapmak için önce formül (7)'yi koymalıyız.
ve daha sonra

ve elde edilen denklemleri çözün.

Karmaşık köklerin ortaya çıkması, çizginin (7) karşılık gelen koordinat ekseniyle kesişmediği anlamına gelecektir.

Örneğin, az önce tartışılan problemin elipsi için aşağıdaki denklemler elde edilir:
Bu denklemlerden ikincisinin karmaşık kökleri vardır, dolayısıyla elips ekseni

geçmiyor. İlk denklemin kökleri:
Ve
noktalarda
elips eksenle kesişiyor

(Şekil 7).Örnek 6.

Çözüm:

İkinci dereceden bir doğrunun denklemini en basit biçimine indirgeyin. Çizginin tipini ve yerini belirleyin, odak koordinatlarını bulun. Üye olduğundan beri :

eksikse, yalnızca şu şekilde tam bir kare seçmeniz gerekir:

.

Biz belirleriz

veya

Ayrıca katsayıyı da çıkarıyoruz.
Bu, koordinat sisteminin noktaya paralel aktarımıyla sonuçlanır.

.

Büyüklük

.

onun için eşit.

Bu nedenle odağın yeni koordinatları var
Eski koordinatları
Bu denklemi yerine koyarsak
veya
sonra parabolün eksenle kesiştiğini buluruz
bu noktada

2. ve eksen
karşıya geçmiyor.
Denklemde (1)

(9)

Nerede
. İkinci dereceden genel denklem (1), form (2)'ye dönüştürülür, yani; paragraf 1'de tartışılanlara. durumda, koordinat eksenlerini bir açıyla döndürerek
formüllere göre

– yeni koordinatlar. Köşe
Ve
denklemden bulunur

Koordinat eksenleri, yeni eksenler olacak şekilde döndürülür.
ikinci dereceden doğrunun simetri eksenlerine paraleldir.
Ve
bilmek

,
.

, bulunabilir
trigonometri formüllerini kullanma
Dönme açısı ise

akut olarak kabul edilmeyi kabul edersek, bu formüllerde artı işaretini almalıyız ve
aynı zamanda denklem (5)'in pozitif çözümünü de almalıyız.
Özellikle, ne zaman

(11)

koordinat sistemi bir açıyla döndürülmelidir. Kömürlerin rotasyon formülleri şöyle görünür:

Çözüm:

Örnek 7.
, 1
,
İkinci dereceden doğru denklemini en basit şekline indirgeyin. Bu hattın türünü ve konumunu ayarlayın.
formüllere göre

.

Bu durumda
Ve
yani dönme açısı
bunlardan ilkini alıyoruz. Daha sonra

,

,
.

Bu değerleri değiştirme Ve bu denklemin içine

Parantezleri açıp benzerlerini getirerek şunu elde ederiz:

.

Son olarak kukla terime bölerek elipsin denklemine ulaşırız

.

Şunu takip ediyor
,
ve elipsin ana ekseni eksen boyunca yönlendirilir
ve küçük olanı – eksen boyunca
.

Bir puan aldın
, kimin yarıçapı
eksene eğimli
bir açıyla
, bunun için
. Dolayısıyla bu noktadan
ve yeni bir x ekseni geçecek. Sonra eksenleri işaretliyoruz
Ve
elipsin köşelerini çizin ve bir elips çizin (Şek. 9).

Bu elipsin eski koordinat eksenlerini ikinci dereceden denklemlerden bulunan noktalarda kestiğine dikkat edin (eğer bu denklemi koyarsak)
Eski koordinatları
):

Ve
.