Parametrenin benzersiz bir çözümü var. "parametrelerle ilgili problemleri çözme yöntemleri"

MKOU "Lodeynopolskaya ortaokul No. 68"

_________________________________________________________________________________________________________________________________

Moskova Bölgesi toplantısında konuşma

Problem çözme yöntemleri

parametrelerle

Prokusheva Natalya Gennadievna

Lodeynoye Kutbu

2013-2014

Parametrelerle ilgili sorunlar

Parametrelerle ilgili problemler, hem Birleşik Devlet Sınavında hem de üniversitelerdeki ek rekabetçi sınavlarda sunulan problemlerin en zorları arasındadır.

Mantıksal düşünmenin ve matematik kültürünün oluşmasında önemli rol oynarlar. Bunları çözerken ortaya çıkan zorluklar, parametreli her problemin, her biri için bir çözüm elde edilmesi gereken sıradan problemlerin bir sınıfını temsil etmesinden kaynaklanmaktadır.

Bir denklemde (eşitsizlik) bazı katsayılar belirli sayısal değerlerle verilmemişse, ancak harflerle belirtilmişse, bunlara parametre denir ve denklem (eşitsizlik) parametriktir.

Kural olarak, bilinmeyenler Latin alfabesinin son harfleriyle gösterilir: x, y, z, ... ve parametreler ilkiyle: a, b, c, ...

Bir denklemi (eşitsizliği) parametrelerle çözmek, çözümlerin hangi parametre değerlerinde mevcut olduğunu ve ne olduklarını belirtmek anlamına gelir. Aynı parametreleri içeren iki denklem (eşitsizlikler) aşağıdaki durumlarda eşdeğer olarak adlandırılır:

a) aynı parametre değerleri için anlamlıdırlar;

b) birinci denklemin (eşitsizliğin) her çözümü ikincinin çözümüdür ve bunun tersi de geçerlidir.

Doğal olarak, bu kadar küçük bir sorun sınıfı, çoğu kişinin asıl şeyi kavramasına izin vermez: Sabit ancak bilinmeyen bir sayı olan parametrenin ikili bir doğası vardır. Birincisi, sözde şöhret, parametre ile sayı olarak “iletişim kurmanıza” izin verir ve ikincisi, iletişim özgürlüğünün derecesi, onun belirsizliği ile sınırlıdır. Dolayısıyla parametre içeren bir ifadeye bölmek ve bu tür ifadelerden çift dereceli kökün çıkarılması ön araştırma gerektirir. Tipik olarak bu çalışmaların sonuçları hem kararı hem de cevabı etkiler.

Bu tür sorunları çözmeye nasıl başlanır? Parametrelerle ilgili sorunlardan korkmayın. Öncelikle herhangi bir denklemi veya eşitsizliği çözerken yapılanları yapmanız gerekir - verilen denklemi (eşitsizliği) mümkünse daha basit bir forma indirin: rasyonel bir ifadeyi çarpanlara ayırın, bir trigonometrik polinomu çarpanlara ayırın, modüllerden, logaritmalardan kurtulun, vb. o zaman görevi tekrar tekrar dikkatlice okumanız gerekir.

Bir parametre içeren problemleri çözerken iki büyük sınıfa ayrılabilecek problemler vardır. Birinci sınıf, bir parametrenin tüm olası değerleri için bir eşitsizliği veya denklemi çözmenin gerekli olduğu problemleri içerir. İkinci sınıf, tüm olası çözümleri değil, yalnızca bazı ek koşulları karşılayanları bulmanın gerekli olduğu görevleri içerir.

Okul çocukları için bu tür problemleri çözmenin en anlaşılır yolu, önce tüm çözümleri bulmak, ardından ek koşulları sağlayanları seçmektir. Ancak bu her zaman mümkün değildir. Çözümlerin tamamını bulmanın imkansız olduğu çok sayıda sorun var ve bizden bunu yapmamız istenmiyor. Bu nedenle, belirli bir denklemin veya eşitsizliğin çözüm kümesinin tamamını elimizde bulundurmadan sorunu çözmenin bir yolunu aramalıyız; örneğin, denklemde yer alan fonksiyonların özelliklerini aramamıza olanak tanıyacak şekilde aramamız gerekir. Belirli bir çözüm kümesinin varlığını yargılamak.

Parametreli ana görev türleri

Tip 1. Parametrenin herhangi bir değeri (parametreler) veya önceden belirlenmiş bir kümeye ait parametre değerleri için çözülmesi gereken denklemler, eşitsizlikler, sistemleri ve kümeleri.

Bu tür bir problem, “Parametrelerle ilgili problemler” konusuna hakim olurken temeldir, çünkü yatırım yapılan çalışma, diğer tüm temel türlerdeki problemlerin çözümündeki başarıyı önceden belirler.

Tip 2. Parametrenin (parametrelerin) değerine bağlı olarak çözüm sayısının belirlenmesinin gerekli olduğu denklemler, eşitsizlikler, sistemleri ve kümeleri.

Bu tür problemleri çözerken verilen denklemleri, eşitsizlikleri, sistemlerini ve kombinasyonlarını vb. çözmeye veya bu çözümleri sağlamaya gerek olmadığına dikkat çekiyoruz; Çoğu durumda, bu tür gereksiz işler, gereksiz zaman kaybına yol açan taktiksel bir hatadır. Bununla birlikte, bunu mutlaklaştırmamak gerekir, çünkü bazen 2. tip bir problemi çözerken, 1. tipe uygun doğrudan bir çözüm, bir cevap elde etmenin tek makul yoludur.

Tip 3. Belirtilen denklemlerin, eşitsizliklerin, sistemlerinin ve koleksiyonlarının belirli sayıda çözüme sahip olduğu (özellikle sahip olmadıkları veya sahip olmadıkları) tüm parametre değerlerini bulmanın gerekli olduğu denklemler, eşitsizlikler, sistemleri ve koleksiyonları sonsuz sayıda çözüm).

3. tip problemlerin bir anlamda 2. tip problemlerin tersi olduğunu görmek kolaydır.

Tip 4. Parametrenin gerekli değerleri için çözüm kümesinin tanım alanındaki belirtilen koşulları karşıladığı denklemler, eşitsizlikler, sistemleri ve kümeleri.

Örneğin, aşağıdakilerin olduğu parametre değerlerini bulun:

1) denklem, belirli bir aralıktaki değişkenin herhangi bir değeri için sağlanır;
2) birinci denklemin çözüm kümesi, ikinci denklemin çözüm kümesinin bir alt kümesidir, vb.

Yorum. Bir parametreyle ilgili problemlerin çeşitliliği, okul matematiğinin (hem cebir hem de geometri) tüm dersini kapsar, ancak final ve giriş sınavlarındaki bunların büyük çoğunluğu, bu nedenle temel olarak adlandırılan listelenen dört türden birine aittir.

Bir parametreli problemlerin en yaygın sınıfı, bir bilinmeyen ve bir parametreli problemlerdir. Bir sonraki paragraf bu özel sınıfın problemlerini çözmenin ana yollarını göstermektedir.

Bir parametreyle ilgili problemleri çözmek için temel yöntemler

Yöntem I(analitik). Bu, parametresi olmayan problemlerde cevabı bulmak için standart prosedürlerin tekrarlandığı, doğrudan çözüm olarak adlandırılan bir yöntemdir. Bazen bunun güçlü, bir anlamda “kibirli” bir çözüm yöntemi olduğunu söylüyorlar.

Yöntem II(grafik). Göreve bağlı olarak (değişken X ve parametre A) grafikler dikkate alınır veya koordinat düzleminde ( X; sen) veya koordinat düzleminde ( X; A).

Yorum. Parametreli problem çözmenin grafiksel yönteminin olağanüstü netliği ve güzelliği, öğrencileri "Parametreli problemler" konusuna o kadar çeker ki, diğer çözüm yöntemlerini görmezden gelmeye başlarlar ve iyi bilinen gerçeği unuturlar: herhangi bir problem sınıfı için , yazarları bu şekilde zekice çözülen ve başka şekillerde muazzam zorluklarla çözülen bir çözümü formüle edebilirler. Bu nedenle çalışmanın ilk aşamasında parametreli problemleri çözmek için grafik tekniklerle başlamak tehlikelidir.

Yöntem III(parametreye ilişkin karar). Bu şekilde çözerken değişkenler X Ve A eşit kabul edilir ve analitik çözümün daha basit olduğu düşünülen değişken seçilir. Doğal sadeleştirmelerden sonra değişkenlerin asıl anlamlarına dönüyoruz X Ve A ve çözümü bitirin.

Şimdi parametreli problemlerin çözümüne yönelik bu yöntemleri göstermeye geçelim.

1. Parametreli doğrusal denklemler ve eşitsizlikler

Doğrusal fonksiyon: – eğim katsayılı düz bir çizginin denklemi . Açısal katsayı, düz çizginin eğim açısının eksenin pozitif yönüne olan tanjantına eşittir .

Formun parametreleriyle doğrusal denklemler

Eğer , denklem var tek şey çözüm.

Eğer , bu denklem hiçbir çözümü yok, Ne zaman , ve denklem var sonsuz sayıda çözüm, Ne zaman .

Örnek 1. Denklemi çöz | X | = A .

Çözüm:

A > 0, => X 1,2 = ± A

A = 0, => X = 0

A < 0, =>hiçbir çözüm yok.

Cevap: X 1,2 = ± A en A > 0; X= 0 A= 0; için hiçbir çözüm yok A < 0.

Örnek 2. Denklem |3’ü çöz – X | = A .

Çözüm:

A > 0, => 3 – X = ± A , => X= 3 ± A

A = 0, => 3 – X = 0. => X = 3

A < 0, =>hiçbir çözüm yok.

Cevap: X 1,2 = 3 ± A en A > 0; X= 3'te A= 0; için hiçbir çözüm yok A < 0.

Örnek 3. Denklemi çöz M ² X – M = X + 1.

Çözüm:

M ² X – M = X + 1

M ² X – X = M + 1

(m² – 1)x = m + 1

Cevap:
en M ≠ ± 1; X Є R en M= –1; için hiçbir çözüm yok M = 1.

Örnek 4. A denklemi çöz: ( A 2 – 4) X = A + 2 .

Çözüm: Katsayıyı çarpanlarına ayıralım. .

Eğer , denklem var tek şey çözüm: .

Eğer , denklem hiçbir çözümü yok.

Eğer , o zaman denklem vardır sonsuz sayıda çözüm .

Örnek 6. Tüm parametre değerleri için A denklemi çöz:
.

Çözüm: ODZ: . Bu koşul altında denklem aşağıdakine eşdeğerdir: . ODZ'ye ait olup olmadığınızı kontrol edelim: , Eğer . Eğer , o zaman denklem hiçbir çözümü yok.

Örnek 7. Tüm parametre değerleri için A denklemi çöz: | X + 3| – A | X – 1| = 4.

Çözüm: Sayı doğrusunu modül işaretinin altındaki ifadelerin kaybolduğu noktalara göre 3 parçaya bölelim ve 3 sistemi çözelim:

1) , Eğer . Bulunursa çözüm olacaktır .

2) , Eğer . Bulunan, gerekli eşitsizliği karşılıyor, bu nedenle, aşağıdakiler için bir çözümdür: . Eğer , o zaman çözüm herhangi biri .

3) , Eğer . Kurmak Olumsuz gerekli eşitsizliği karşılıyor, bu nedenle, Olumsuz ne zaman bir çözüm . Eğer , o zaman çözüm herhangi bir x > 1 olur.

Cevap: ; en ;

N ri ; aynı zamanda herkes için bir çözümdür .

Örnek 8. Tümünü bul A, bunların her biri için denklem 15'in çözümlerinden en az biri X – 7A = 2 – 3balta + 6A az 2 .

Çözüm: Her biri için denklemin çözümlerini bulalım . , Eğer . Eşitsizliği çözelim: .

Denklemin çözümü olmadığında.

Cevap : AÎ (–5 , 4) .

Parametrelerle doğrusal eşitsizlikler

Örneğin: Eşitsizliği çözün: kx < B .

Eğer k> 0 ise
. Eğer k < 0, то
. Eğer k= 0, o zaman ne zaman B> 0 çözüm herhangi biri X Є R ve ne zaman
hiçbir çözüm yok.

Kutudaki kalan eşitsizlikleri de aynı şekilde çözün.

Örnek 1. A parametresinin tüm değerleri için eşitsizliği çözün
.

Çözüm:

. Parantez önce ise X pozitiftir, yani en
, O
. Parantez önce ise X negatif, yani en
, O
. Eğer A= 0 veya a = ise çözüm yoktur.

Cevap:
en
;
en
;

için hiçbir çözüm yok A= 0 veya a = .

Örnek 2. Tüm parametre değerleri için A eşitsizliği çöz | X– bir| – | X + A| < 2A .

Çözüm:

Şu tarihte: A=0 yanlış bir eşitsizliğimiz var 0< 0, т.е. решений нет. Пусть a >0, sonra x'te< –A her iki modül de eksi ile genişletilir ve yanlış eşitsizlik 2 elde edilir A < 2A, yani hiçbir çözüm yok. Eğer X Є [– A ; A] , sonra ilk modül eksi ile, ikincisi artı ile açılır ve -2 eşitsizliğini elde ederiz X < 2A, yani X > –A, yani çözüm herhangi bir X Є (– A ; A] Eğer X > A her iki modül de artı ile açılıyor ve doğru eşitsizliği elde ediyoruz –2 A < 2A, yani , çözüm herhangi X Є ( A; +∞). Her iki cevabı birleştirerek şunu elde ederiz: A > 0 X Є (– A ; +∞).

İzin vermek A < 0, тогда первое слагаемое больше, чем второе, поэтому разность в левой части неравенства положительна и, следовательно, не может быть меньше отрицательного числа 2A. Böylece ne zaman A < 0 решений нет.

Cevap: X Є (– A; +∞) en A> 0 ise çözüm yok
.

Yorum.İki sayının farkının modülünün geometrik yorumunu noktalar arasındaki mesafe olarak kullanırsanız bu sorunun çözümü daha hızlı ve basittir. O halde sol taraftaki ifade noktaya olan mesafelerin farkı olarak yorumlanabilir. X noktalara A Ve - A .

Örnek 3. Tümünü bul A, her biri için eşitsizliğin tüm çözümleri
eşitsizliği tatmin et 2 X – A² + 5< 0.

Çözüm:

|x | eşitsizliğinin çözümü ≤ 2 bir kümedir A=[–2; 2] ve eşitsizliğin çözümü 2 X – A² + 5< 0 является множество B = (–∞;
). Problemin koşullarını sağlamak için A kümesinin B () kümesine dahil edilmesi gerekir. Bu koşul ancak ve ancak şu şekilde karşılanacaktır.

Cevap: a Є (–∞; –3)U (3; +∞).

Örnek 4. Eşitsizliğin olduğu a'nın tüm değerlerini bulun
herkes için koşuyor X segmentinden.

Çözüm:

Kökler arasında bir kesir sıfırdan küçüktür, bu nedenle hangi kökün daha büyük olduğunu bulmanız gerekir.

–3A + 2 < 2A + 4
ve –3 A + 2 > 2A + 4
. Böylece ne zaman
XЄ (–3 A + 2; 2A+ 4) ve segmentteki tüm x'ler için eşitsizliğin geçerli olması için,

Şu tarihte:
XЄ (2 A + 4; –3A+ 2) ve böylece eşitsizlik herkes için geçerli olur X segmentten, gerekli olan

a = – için (kökler çakıştığında) çözüm yoktur çünkü bu durumda eşitsizlik şu şekli alır: .

Cevap:
.

Örnek 5. A eşitsizlik tüm negatif değerler için geçerlidir X?

Çözüm:

Katsayı şu şekilde olursa fonksiyon monoton olarak artar: X negatif değildir ve eğer katsayı X negatif.

Katsayısının işaretini bulalım.

A ≤ –3,

A ≥ 1; (A² + 2 A – 3) < 0 <=> –3 < A < 1.

A ≤ –3,

İzin vermek A≥ 1. Daha sonra fonksiyon F (X ) monoton olarak azalmaz ve problemin koşulu şu şekilde karşılanacaktır: F (X ) ≤ 0 <=> 3A ² – A – 14 ≤ 0 <=>
.

A ≤ –3,

Koşullar ile birlikte A≥ 1; şunu elde ederiz:

-3 olsun< A < 1. Тогда функция F (X ) monoton bir şekilde azalır ve problemin koşulu hiçbir zaman sağlanamaz.

Cevap:
.

2. İkinci dereceden denklemler ve parametreli eşitsizlikler

İkinci dereceden fonksiyon:
.

Gerçel sayılar kümesinde bu denklem aşağıdaki şema kullanılarak incelenir.

Örnek 1. Hangi değerlerde A denklemX ² – balta + 1 = 0 gerçek kökleri yok mu?

Çözüm:

X ² – balta + 1 = 0

D = A ² – 4 1 =A ² – 4

A ² – 4< 0 + – +

( A – 2)( A + 2) < 0 –2 2

Cevap: ena Є (–2; 2)

Örnek 2.Denklem a'nın hangi değerleri için geçerlidir? A (X ² – X + 1) = 3 X + 5 iki farklı gerçek kökü var mı?

Çözüm:

A (X ² – X + 1) = 3 X + 5, A ≠ 0

Ah ² – ah + bir – 3 X – 5 = 0

Ah ² – ( A + 3) X + A – 5 = 0

D = ( A +3)² – 4A ( A – 5) = A ² +6A + 9 – 4 A ² + 20A = –3 A ² + 26A + 9

–3 A ² + 26 A + 9 > 0

3 A ² – 26A – 9 < 0

D = 26² – 4 3 (–9) = 784

A 1 =
; A 2 =
+ – +

0 9

Cevap:enAЄ (–1/3; 0)sen (0; 9)

Örnek 3: Denklemi çözün
.

Çözüm:

ODZ: X ≠1, X ≠ A

X – 1 + X – A = 2, 2 X = 3 + A ,

1)
; 3 + A ≠ 2; A ≠ –1

2)
; 3 + A ≠ 2 A ; A ≠ 3

Cevap:
enA Є (–∞; –1)sen (–1; 3) sen (3; +∞);

için hiçbir çözüm yoka = –1; 3.

Örnek4 . Denklemi çöz | X ²–2 X –3 | = A .

Çözüm:

Fonksiyonlara bakalım sen = | X ²–2 X –3 | Vesen = A .

Şu tarihte: A < 0 çözüm yok;
en A = 0 ve A> 4 iki çözüm;
0'da< A < 4 – четыре решения;
en A= 4 – üç çözüm.

Cevap:

en A < 0 нет решений;
en A= 0 ve A> 4 iki çözüm;
0'da< A < 4 – четыре решения;
en A= 4 – üç çözüm.

Örnek 5.Tüm değerleri bul A , her biri için denklem | X ²–( A +2) X +2 A | = | 3 X –6 |
tam olarak iki kökü vardır. Eğer bu tür değerler A Birden fazla ise cevabınızda ürünlerini belirtin.

Çözüm:

İkinci dereceden üç terimliyi genişletelim X ²–( A +2) X +2 A çarpanlara göre.
;
;
;

Aldık | ( X –2)( X – A ) | = 3 | X –2 |.
Bu denklem sete eşdeğerdir

Bu nedenle, bu denklemin tam olarak iki kökü vardır: A+ 3 = 2 ve A – 3 = 2.
Buradan istenilen değerleri buluyoruz Aöyle A 1 = –1; A 2 = 5; A 1 · A 2 = –5.

Cevap: –5.

Örnek 6.Tüm değerleri bul A , bunun için denklemin kökleri balta ² – 2( A + 1) X – A + 5 = 0 olumlu.

Çözüm:

Kontrol noktası A= 0, çünkü denklemin özünü değiştirir.

1. A = 0 –2X + = 0;

Cevap: bir Є U .

Örnek 7.Şu tarihte:hangi parametre değerleri A denklem | X ² – 4 X + 3 | = balta 3 kökü vardır.

Çözüm:

Fonksiyon grafikleri oluşturalım sen = | X ² – 4 X + 3 | Ve sen = balta .

Fonksiyon segment üzerinde grafikle gösterilmiştir
.
Fonksiyonun grafiği eğer bu denklemin üç köküne sahip olacaktır. sen = balta Grafiğe teğet olacak sen = X ²+ 4 X – 3 Açık
bölüm

Teğet denklem şu şekildedir: sen = F (X 0 ) + F ’(X 0 )(X – X 0 ),



Çünkü teğet denklem sen = A bir denklem sistemi elde ederiz

Çünkü X 0 Є ,

Cevap: en A = 4 – 2
.

Parametrelerle ikinci dereceden eşitsizlikler

Örnek.Tüm parametre değerlerini bulun A eşitsizliklerin çözümleri arasında her biri için
doğru parçası üzerinde tek bir nokta yoktur.

Çözüm:

Öncelikle parametrenin tüm değerleri için eşitsizliği çözelim ve ardından çözümler arasında segmentin tek bir noktası olmayanları bulalım. .
İzin vermek
, balta = T ²

T ≥ 0

Değişkenlerin bu şekilde değiştirilmesiyle eşitsizliğin ODZ'si otomatik olarak gerçekleştirilir. X aracılığıyla ifade edilebilir T, Eğer A≠ 0. Bu nedenle, A = 0, ayrı ayrı ele alacağız.
1. izin ver A = 0 ise X> 0 ve verilen parça bir çözümdür.
2. izin ver A≠ 0 ise
ve eşitsizlik
formu alacak
,

Eşitsizliğin çözümü değerlere bağlıdır A dolayısıyla iki durumu ele almamız gerekiyor.
1) Eğer A>0 ise
en
, veya eski değişkenlerde,

Çözüm, ancak ve ancak koşullar karşılanırsa verilen parçanın tek bir noktasını içermez A ≤ 7,

16A≥ 96. Dolayısıyla, A Є .
2). Eğer A< 0, то
;
; TЄ (4 A ; A). Çünkü T≥ 0 ise çözüm yoktur.

Cevap: .

Parametreli irrasyonel denklemler

İrrasyonel denklem ve eşitsizlikleri bir parametreyle çözerken öncelikle kabul edilebilir değerler aralığı dikkate alınmalıdır. İkinci olarak, eğer eşitsizliğin her iki tarafı da negatif olmayan ifadelerse, o zaman böyle bir eşitsizliğin karesi eşitsizliğin işareti korunarak alınabilir.
Çoğu durumda, değişkenler değiştirildikten sonra irrasyonel denklemler ve eşitsizlikler ikinci dereceden denklemlere indirgenir.

Örnek 1. Denklemi çöz
.

Çözüm:

ODZ: X + 1 ≥ 0, X ≥ –1, A ≥ 0.

X + 1 = A ².

Eğer X = A² – 1 ise koşul sağlanır.

Cevap: X = A² – 1 de A≥ 0; için hiçbir çözüm yok A < 0.

Örnek 2: Denklemi çözün
.

Çözüm:

ODZ: X + 3 ≥ 0, X ≥ –3,

a–x ≥ 0; X ≤ A;

X + 3 = a–x,

2X = A – 3,

<=>
<=>
<=> A ≥ –3.

Cevap:
en A≥ –3; için hiçbir çözüm yok A < –3.

Örnek 3. Denklemin kaç kökü var?
parametre değerlerine bağlı olarak A?

Çözüm:

Denklemin kabul edilebilir değerleri aralığı: x Є [–2; 2]

Fonksiyonların grafiklerini oluşturalım. İlk fonksiyonun grafiği dairenin üst yarısıdır X² + sen² = 4. İkinci fonksiyonun grafiği birinci ve ikinci koordinat açılarının ortasıdır. Birinci fonksiyonun grafiğinden ikincinin grafiğini çıkarın ve fonksiyonun grafiğini elde edin
. Eğer değiştirirsen en Açık A ise, fonksiyonun son grafiği orijinal denklemi sağlayan (x; a) noktalarının kümesidir.

Grafiğe göre cevabı görüyoruz.

Cevap: en AЄ (–∞; –2) U (1; +∞), kök yok;

en AЄ [–2; 2), iki kök;

en A= 1, bir kök.

Örnek 4. Hangi parametre değerlerinde A denklem
tek bir çözümü var mı?

Çözüm:

Yöntem 1 (analitik):

Cevap:

Yöntem 2 (grafiksel):

Cevap:≥ –2 için denklemin benzersiz bir çözümü vardır

Örnek 5. A parametresinin hangi değerleri için = 2 + x denkleminin benzersiz bir çözümü vardır.

Çözüm:

Bu denklemin çözümünün grafiksel bir versiyonunu ele alalım, yani iki fonksiyon oluşturacağız:
en 1 = 2 + X Ve en 2 =

Birinci fonksiyon doğrusaldır ve (0; 2) ve (–2; 0) noktalarından geçer.
İkinci fonksiyonun grafiği bir parametre içerir. Öncelikle bu fonksiyonun grafiğini ele alalım. A= 0 (Şekil 1). Parametre değerini değiştirirken grafik eksen boyunca hareket edecektir AH soldaki karşılık gelen değere göre (pozitif için) A) veya sağa (negatif için) A) (Şekil 2)

Şekilden açıkça görülüyor ki, ne zaman A < –2 графики не пересекают друг друга, а следовательно не имеют общих решений. Если же значение параметра а больше либо равно –2, то графики имеют одну точку пересечения, а следовательно одно решение.

Cevap: en A≥ –2 denklemin tek bir çözümü vardır.

Parametreli trigonometrik denklemler.

Örnek 1.Denklemi çöz günah (– X + 2 X – 1) = B + 1.

Çözüm:

Fonksiyonun tuhaflığı göz önüne alındığında
bu denklemi eşdeğere indirgeriz
.

1. B = –1

3. B =–2

4. | B + 1| > 1

Hiçbir çözüm yok.

5. B?(–1; 0)

6. B?(–2; –1)

Örnek 2.Denklemin verildiği p parametresinin tüm değerlerini bulun
hiçbir çözümü yok.

Çözüm:

cos 2'yi ifade edelim X başından sonuna kadar sinx.

İzin vermek
daha sonra görev tüm değerleri bulmaya indirgendi P, denklemin [–1; 1]. Denklem algoritmik olarak çözülemediği için sorunu grafik kullanarak çözeceğiz. Denklemi forma yazalım ve şimdi sol taraftaki grafiğin çizimini yapalım.
inşa edilmesi kolaydır.
Düz bir çizgi varsa denklemin çözümü yoktur sen = P+ 9 grafiği [–1; 1], yani

Cevap:P Є (–∞; –9) U (17; +∞).

Parametreli denklem sistemleri

Parametreli iki doğrusal denklem sistemleri

Denklem sistemi

İki doğrusal denklem sisteminin çözümleri iki düz çizginin kesişme noktalarıdır: ve .

3 olası durum vardır:

1. Doğrular paralel değil . O zaman normal vektörleri paralel değildir, yani. . Bu durumda sistem tek çözüm.

2. Çizgiler paraleldir ve çakışmaz. O zaman normal vektörleri paraleldir ancak kaymalar farklıdır, yani. .

Bu durumda sistemin çözümü yok .

3. Düz çizgiler çakışıyor. O zaman normal vektörleri paraleldir ve kaymalar çakışır, yani. . Bu durumda sistem sonsuz sayıda çözüm - bir çizginin tüm noktaları .

MBOU 9 Nolu Ortaokulunda bir matematik öğretmeninin GDO'suna ilişkin rapor

Molçanova Elena Vladimirovna

“Matematikte Birleşik Devlet Sınavına Hazırlık: parametrelerle ilgili problemler.”

Okul ders kitaplarında parametrenin tanımı bulunmadığından aşağıdaki en basit versiyonun temel alınmasını öneriyorum.

Tanım . Bir parametre, problemdeki değeri belirli bir sabit veya keyfi gerçek sayı veya önceden belirlenmiş bir kümeye ait bir sayı olarak kabul edilen bağımsız bir değişkendir.

“Problemi bir parametreyle çözmek” ne anlama geliyor?

Doğal olarak bu, problemdeki soruya bağlıdır. Örneğin bir denklemi, bir eşitsizliği, bir sistemi veya bunların bir kümesini çözmek gerekiyorsa, bu, ya bir parametrenin herhangi bir değeri için ya da önceden belirlenmiş bir kümeye ait bir parametre değeri için gerekçeli bir cevap sunmak anlamına gelir. .

Bir denklemin, eşitsizliğin vb. çözüm kümesinin beyan edilen koşulu karşıladığı parametre değerlerini bulmanız gerekiyorsa, o zaman açıkçası sorunun çözümü, belirtilen parametre değerlerini bulmaktan ibarettir.

Okuyucu, ilerleyen sayfalarda yer alan problem çözme örneklerini okuduktan sonra, bir parametreyle problem çözmenin ne anlama geldiği konusunda daha şeffaf bir anlayış geliştirecektir.

Parametrelerle ilgili ana problem türleri nelerdir?

Tip 1. Parametrenin herhangi bir değeri (parametreler) veya önceden belirlenmiş bir kümeye ait parametre değerleri için çözülmesi gereken denklemler, eşitsizlikler, sistemleri ve kümeleri.

Bu tür bir problem, “Parametrelerle ilgili problemler” konusuna hakim olurken temeldir, çünkü yatırım yapılan çalışma, diğer tüm temel türlerdeki problemlerin çözümündeki başarıyı önceden belirler.

Tip 2. Parametrenin (parametreler) değerine bağlı olarak çözüm sayısının belirlenmesinin gerekli olduğu denklemler, eşitsizlikler, sistemleri ve kümeleri.

Bu tür problemleri çözerken verilen denklemleri, eşitsizlikleri, sistemlerini ve kombinasyonlarını vb. çözmeye veya bu çözümleri sağlamaya gerek olmadığına dikkatinizi çekerim; Çoğu durumda, bu tür gereksiz işler, gereksiz zaman kaybına yol açan taktiksel bir hatadır. Ancak bunu mutlaklaştırmamak gerekir, çünkü bazen 2. tip bir problemi çözerken bir cevap elde etmenin tek makul yolu 1. tipe uygun doğrudan bir çözüm olabilir.

Tip 3. Belirtilen denklemlerin, eşitsizliklerin, sistemlerinin ve koleksiyonlarının belirli sayıda çözüme sahip olduğu (özellikle sahip olmadıkları veya sahip olmadıkları) tüm parametre değerlerini bulmanın gerekli olduğu denklemler, eşitsizlikler, sistemleri ve koleksiyonları sonsuz sayıda çözüm).

Tip 3 problemlerin bir bakıma tip 2 problemlerin tersi olduğunu görmek kolaydır.

Tip 4. Parametrenin gerekli değerleri için çözüm kümesinin tanım alanındaki belirtilen koşulları karşıladığı denklemler, eşitsizlikler, sistemleri ve kümeleri.

Örneğin, aşağıdakilerin olduğu parametre değerlerini bulun:

1) denklem, belirli bir aralıktaki değişkenin herhangi bir değeri için sağlanır;
2) birinci denklemin çözüm kümesi, ikinci denklemin çözüm kümesinin bir alt kümesidir, vb.

Yorum. Bir parametreyle ilgili problemlerin çeşitliliği, okul matematiğinin (hem cebir hem de geometri) tüm dersini kapsar, ancak final ve giriş sınavlarındaki bunların büyük çoğunluğu, bu nedenle temel olarak adlandırılan listelenen dört türden birine aittir.

Bir parametreli problemlerin en yaygın sınıfı, bir bilinmeyen ve bir parametreli problemlerdir. Bir sonraki paragraf bu özel sınıfın problemlerini çözmenin ana yollarını göstermektedir.

Bir parametreyle ilgili problemleri çözmenin ana yolları (yöntemleri) nelerdir?

Yöntem I (analitik). Bu, parametresi olmayan problemlerde cevabı bulmak için standart prosedürlerin tekrarlandığı, doğrudan çözüm olarak adlandırılan bir yöntemdir. Bazen bunun güçlü, bir bakıma “kibirli” bir çözüm yöntemi olduğunu söylüyorlar.

Yorum. Bir parametreyle ilgili problemleri çözmenin analitik yöntemi en zor yöntemdir, yüksek okuryazarlık gerektirir ve bu konuda ustalaşmak için en büyük çabayı gerektirir.

Yöntem II (grafik). Göreve bağlı olarak (x değişkeni ve parametre ile)A ) grafikler ya koordinat düzleminde (x; y) ya da koordinat düzleminde (x;A ).

Yorum. Parametreli problem çözmenin grafiksel yönteminin olağanüstü netliği ve güzelliği, öğrencileri "Parametreli problemler" konusuna o kadar çeker ki, diğer çözüm yöntemlerini görmezden gelmeye başlarlar ve iyi bilinen gerçeği unuturlar: herhangi bir problem sınıfı için Yazarları, bu şekilde zekice çözülen ve başka şekillerde muazzam zorluklarla çözülen bir çözümü formüle edebilirler. Bu nedenle çalışmanın ilk aşamasında parametreli problemleri çözmek için grafik tekniklerle başlamak tehlikelidir.

Yöntem III (parametreye ilişkin karar). Bu şekilde çözerken x ve a değişkenlerinin eşit olduğu varsayılır ve analitik çözümün daha basit olduğu düşünülen değişken seçilir. Doğal sadeleştirmelerden sonra x ve a değişkenlerinin asıl anlamlarına dönerek çözümü tamamlıyoruz.

Şimdi parametreli problemlerin çözümüne yönelik bu yöntemleri göstermeye geçeceğim çünkü bu, bu tür problemleri çözmek için en sevdiğim yöntemdir.

Tüm görevleri grafiksel olarak çözülmüş parametrelerle analiz ettikten sonra, Birleşik Devlet Sınavı B7 2002'nin görevleriyle ilgili parametrelerle tanışmaya başlıyorum:

Şu tarihte: 45x – 3x denkleminin tam sayı değeri nedir 2 - X 3 + 3k = 0'ın tam olarak iki kökü var mı?

Bu görevler, ilk olarak türevi kullanarak grafiklerin nasıl oluşturulacağını hatırlamaya ve ikinci olarak y = k düz çizgisinin anlamını açıklamaya olanak tanır.

Sonraki derslerde, Birleşik Devlet Sınavına hazırlanmak için parametrelerle, modüllü denklemlerle kolay ve orta seviye rekabetçi problemlerden bir seçki kullanıyorum. Bu görevler, matematik öğretmenlerine, modül işaretinin altında yer alan parametreyle çalışmayı öğrenmeleri için bir başlangıç ​​alıştırmaları seti olarak önerilebilir. Sayıların çoğu grafiksel olarak çözülür ve öğretmene güçlü bir öğrenciyle hazır bir ders planı (veya iki ders) sunar. Gerçek C5 sayılarına yakın karmaşıklıktaki alıştırmalar kullanılarak matematikte Birleşik Devlet Sınavı için ilk hazırlık. Önerilen görevlerin çoğu, Birleşik Devlet Sınavı 2009'a hazırlık materyallerinden, bazıları ise meslektaşların deneyimlerinden internetten alınmıştır.

1) Tüm parametre değerlerini belirtinP , bunun için denklem 4 kökü var mı?
Cevap:

2) Parametrenin hangi değerlerindeA denklem çözümleri yok mu?
Cevap:

3) Her biri için denklem olan a'nın tüm değerlerini bulun tam olarak 3 kökü var mı?
Cevap: a=2

4) Hangi parametre değerlerindeB denklem tek bir çözümü var mı? Cevap:

5) Tüm değerleri bulunM , bunun için denklem hiçbir çözümü yok.
Cevap:

6) Denklemin geçerli olduğu a'nın tüm değerlerini bulun tam olarak 3 farklı kökü vardır. (Eğer a'nın birden fazla değeri varsa bunların toplamını cevabınıza yazınız.)

Cevap: 3

7) Hangi değerlerdeB denklem tam olarak 2 çözümü var mı?
Cevap:

8) Bu parametreleri belirtink , bunun için denklem en az iki çözümü vardır.
Cevap:

9) Hangi parametre değerlerindeP denklem tek bir çözümü var mı?
Cevap:

10) Her biri için denklem (x + 1) olan a'nın tüm değerlerini buluntam olarak 2 kökü var mı? A'nın birkaç değeri varsa, yanıt olarak bunların toplamını yazın.

Cevap: - 3

11) Denklemin verildiği a'nın tüm değerlerini bulun tam olarak 3 kökü var mı? (Eğer a'nın birden fazla değeri varsa cevap olarak bunların toplamını yazın).

Cevap: 4

12) a parametresinin en küçük doğal değerinde denklem – = 11'in yalnızca pozitif kökleri mi var?

Cevap: 19

13) Her biri için denklem olan a'nın tüm değerlerini bulun = 1'in tam olarak 3 kökü var mı? (Eğer a'nın birden fazla değeri varsa bunların toplamını cevabınıza yazınız).

Cevap: - 3

14) Aşağıdaki parametre değerlerini belirtinT , bunun için denklem 4 farklı çözümü var. Cevap:

15) Bu parametreleri bulunM , bunun için denklem iki farklı çözümü vardır. Cevap:

16) Parametrenin hangi değerlerindeP denklem tam olarak 3 ekstremum var mı? Cevap:

17) Fonksiyonun geçerli olduğu tüm olası parametreleri n belirtin. tam olarak bir minimum noktaya sahiptir. Cevap:

Yayınlanan set, benim tarafımdan düzenli olarak, yetenekli ancak en güçlü olmayan, yine de C5 sayısını çözerek yüksek Birleşik Devlet Sınavı puanı almayı hedefleyen bir öğrenciyle çalışmak için kullanılıyor. Öğretmen böyle bir öğrenciyi birkaç aşamada hazırlar ve uzun vadeli çözümler bulmak ve uygulamak için gerekli bireysel becerileri eğitmek için ayrı dersler ayırır. Bu seçim parametreye bağlı olarak değişken desenler hakkında fikir oluşturma aşamasına uygundur. 16 ve 17 sayıları, Birleşik Devlet Sınavı 2011'deki parametreli gerçek denklem modeline dayanmaktadır. Görevler artan zorluk derecesine göre düzenlenmiştir.

Matematikte Ödev C5 Birleşik Devlet Sınavı 2012

Burada malzemeye orta düzeyde hakimiyet ve çeşitli özellik ve teoremlerin uygulanmasını gerektiren geleneksel bir parametre problemi ile karşı karşıyayız. Bu görev matematikte Birleşik Devlet Sınavındaki en zor görevlerden biridir. Öncelikle, başvuranların matematiksel hazırlık gereksinimlerinin arttığı üniversitelerde eğitimlerine devam etmek isteyenler için tasarlanmıştır. Bir problemi başarılı bir şekilde çözmek için, üzerinde çalışılan tanımlar, özellikler ve teoremlerle özgürce çalışmak, bunları çeşitli durumlara uygulamak, durumu analiz etmek ve olası çözümleri bulmak önemlidir.

Alexander Larin'in Birleşik Devlet Sınavına hazırlık web sitesinde 05/11/2012 tarihinden itibaren 1 – 22 numaralı eğitim seçenekleri “C” düzeyindeki görevlerle sunuldu, bunlardan bazıları gerçek görevlere benziyordu sınav. Örneğin, her biri için fonksiyonların grafikleri olan a parametresinin tüm değerlerini bulun.F(x) = VeG(x) = a(x + 5) + 2'nin ortak noktası yok mu?

2012 sınavındaki C5 görevinin çözümüne bakalım.

Birleşik Devlet Sınavı 2012'den Görev C5

A parametresinin hangi değerleri için denklem yapılır en az iki kökü vardır.

Bu sorunu grafiksel olarak çözelim. Denklemin sol tarafını çizelim: ve sağ taraftaki grafik:ve problem sorusunu şu şekilde formüle edin: a parametresinin hangi değerlerinde fonksiyonların grafikleri vardır? Veiki veya daha fazla ortak noktaya sahiptir.

Orijinal denklemin sol tarafında hiçbir parametre yoktur, dolayısıyla fonksiyonun grafiğini çizebiliriz..

Bu grafiği kullanarak oluşturacağız. işlevler:

1. Fonksiyonun grafiğini kaydırınOY ekseni boyunca 3 birim aşağıda fonksiyonun grafiğini elde ederiz:

2. Fonksiyonun grafiğini çizelim . Bunu yapmak için fonksiyonun grafiğinin bir kısmı OX ekseninin altında bulunan bu eksene göre simetrik olarak görüntülenecektir:

Yani fonksiyonun grafiğişu forma sahiptir:

Bir fonksiyonun grafiği

1. Görev.
Hangi parametre değerlerinde A denklem ( A - 1)X 2 + 2X + A- 1 = 0'ın tam olarak bir kökü var mı?

1. Çözüm.
Şu tarihte: A= 1 denklem 2'dir X= 0 ve açıkça tek bir kökü var X= 0. Eğer A 1 numara, o zaman bu denklem ikinci derecedendir ve ikinci dereceden trinomiyalin diskriminantının sıfıra eşit olduğu parametre değerleri için tek bir köke sahiptir. Diskriminantı sıfıra eşitleyerek parametre için bir denklem elde ederiz A 4A 2 - 8A= 0, dolayısıyla A= 0 veya A = 2.

1. Cevap: denklemin tek kökü var AÖ (0; 1; 2).

2. Görev.
Tüm parametre değerlerini bulun A Denklemin iki farklı kökü var X 2 +4balta+8A+3 = 0.
2. Çözüm.
Denklem X 2 +4balta+8A+3 = 0'ın iki farklı kökü vardır ancak ve ancak şu şartla D = 16A 2 -4(8A+3) > 0. (4 ortak çarpanıyla indirgedikten sonra) 4 elde ederiz A 2 -8A-3 > 0, dolayısıyla

2. Cevap:

3. Görev.
biliniyor ki
F 2 (X) = 6X-X 2 -6.
a) Fonksiyonun grafiğini çizin F 1 (X) A = 1.
b) Hangi değerde A fonksiyon grafikleri F 1 (X) Ve F 2 (X) tek bir ortak noktanız var mı?

3. Çözüm.
3.a. Haydi dönüşelim F 1 (X) aşağıdaki gibi
Bu fonksiyonun grafiği A= 1 sağdaki şekilde gösterilmektedir.
3.b. Hemen şunu belirtelim ki fonksiyonların grafikleri sen = kx+B Ve sen = balta 2 +bx+C (A No. 0) ancak ve ancak ikinci dereceden denklem varsa tek bir noktada kesişir kx+B = balta 2 +bx+C tek bir kökü vardır. Görünümü Kullanma F 1 tanesi 3.a Denklemin diskriminantını eşitleyelim A = 6X-X 2-6'dan sıfıra. Denklem 36-24-4'ten A= 0 elde ederiz A= 3. Aynısını denklem 2 için yapın X-A = 6X-X 2 -6 bulacağız A= 2. Bu parametre değerlerinin problemin koşullarını sağladığını doğrulamak kolaydır. Cevap: A= 2 veya A = 3.

4. Görev.
Tüm değerleri bul A eşitsizliğin çözüm kümesi X 2 -2balta-3A i 0 segmentini içerir.

4. Çözüm.
Parabol tepe noktasının ilk koordinatı F(X) = X 2 -2balta-3A eşit X 0 = A. İkinci dereceden bir fonksiyonun özelliklerinden, koşul F(X) і segmentteki 0, üç sistemden oluşan bir kümeye eşdeğerdir
tam olarak iki çözümü var mı?

5. Çözüm.
Bu denklemi formda yeniden yazalım. X 2 + (2A-2)X - 3A+7 = 0. Bu ikinci dereceden bir denklemdir; diskriminantının sıfırdan büyük olması durumunda tam olarak iki çözümü vardır. Diskriminantı hesapladığımızda tam olarak iki kökün bulunması koşulunun eşitsizliğin sağlanması olduğunu buluruz. A 2 +A-6 > 0. Eşitsizliği çözerken şunu buluruz: A < -3 или A> 2. Eşitsizliklerden birincisinin doğal sayılarda çözümü olmadığı açıktır, ikincisinin en küçük doğal çözümü ise 3 sayısıdır.

5. Cevap: 3.

6. Problem (10 tuş)
Tüm değerleri bul A, bunun için fonksiyonun grafiği veya bariz dönüşümlerden sonra, A-2 = | 2-A| . Son denklem eşitsizliğe eşdeğerdir A ben 2.

6. Cevap: A HAKKINDA )