Üç tarafı yamuk alanı. Yamuğun alanı nasıl bulunur: formüller ve örnekler

Yamuk, iki karşıt tarafın birbirine paralel olduğu, ancak diğer ikisinin paralel olmadığı özel bir dörtgen türüdür. Çeşitli gerçek nesnelerin yamuk şekli vardır, bu nedenle günlük veya okul problemlerini çözmek için böyle bir geometrik şeklin çevresini hesaplamanız gerekebilir.

Yamuk geometrisi

Bir yamuk (Yunanca "yamuk" - tablodan), ikisi paralel ve ikisi olmayan dört bölümle sınırlanan bir düzlemdeki şekildir. Paralel bölümlere yamuğun tabanları, paralel olmayan bölümlere ise şeklin kenarları denir. Kenarlar ve eğim açıları, eşkenar dörtgen, ikizkenar veya dikdörtgen olabilen yamuk tipini belirler. Tabanlara ve yanlara ek olarak yamuğun iki elemanı daha vardır:

• yükseklik - şeklin paralel tabanları arasındaki mesafe;
• orta çizgi - kenarların orta noktalarını birleştiren bir bölüm.

Bu geometrik şekil gerçek hayatta yaygındır.

Gerçekte yamuk

Günlük yaşamda birçok gerçek nesne yamuk şeklini alır. Trapezoidleri aşağıdaki insan faaliyeti alanlarında kolayca bulabilirsiniz:

• iç tasarım ve dekor - kanepeler, masa tablaları, duvarlar, halılar, asma tavanlar;
• peyzaj tasarımı - çimlerin ve yapay rezervuarların sınırları, dekoratif elemanların biçimleri;
• moda - giyim, ayakkabı ve aksesuar biçimi;
• mimari - pencereler, duvarlar, bina temelleri;
• üretim - çeşitli ürünler ve parçalar.

Yamukların bu kadar yaygın kullanımıyla, uzmanlar genellikle geometrik bir şeklin çevresini hesaplamak zorunda kalıyor.

Yamuk çevre

Bir şeklin çevresi, n-gon'un tüm kenarlarının uzunluklarının toplamı olarak hesaplanan sayısal bir özelliktir. Yamuk bir dörtgendir ve genel olarak tüm kenarları farklı uzunluklara sahiptir, bu nedenle çevre aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

P = a + b + c + d,

a ve c şeklin tabanları, b ve d ise kenarlarıdır.

Yamuğun çevresini hesaplarken yüksekliği bilmemize gerek olmasa da hesap makinesi kodu bu değişkenin girilmesini gerektirir. Yüksekliğin hesaplamalar üzerinde hiçbir etkisi olmadığından çevrimiçi hesap makinemizi kullanırken sıfırdan büyük herhangi bir yükseklik değeri girebilirsiniz. Birkaç örneğe bakalım.

Gerçek hayattan örnekler

Mendil

Diyelim ki yamuk şeklinde bir atkınız var ve onu püskül ile süslemek istiyorsunuz. Fazladan malzeme satın almamak veya mağazaya iki kez gitmemek için atkı çevresini bilmeniz gerekecektir. İkizkenar eşarbınızın şu parametrelere sahip olmasına izin verin: a = 120 cm, b = 60 cm, c = 100 cm, d = 60 cm Bu verileri çevrimiçi forma giriyoruz ve forma cevap alıyoruz:

Böylece atkı çevresi 340 cm olur ve bu da tam olarak saçak örgünün onu bitirecek uzunluğu kadardır.

Eğimler

Örneğin, trapez şekilli standart dışı metal-plastik pencereler için eğim yapmaya karar veriyorsunuz. Bu tür pencereler bina tasarımında yaygın olarak kullanılmaktadır ve birkaç kanattan oluşan bir kompozisyon oluşturmaktadır. Çoğu zaman, bu tür pencereler dikdörtgen bir yamuk şeklinde yapılır. Böyle bir pencerenin eğimlerini yapmak için ne kadar malzemeye ihtiyaç duyulduğunu öğrenelim. Standart bir pencere şu parametrelere sahiptir: a = 140 cm, b = 20 cm, c = 180 cm, d = 50 cm. Bu verileri kullanıyoruz ve sonucu formda alıyoruz.

Bu nedenle trapez pencerenin çevresi 390 cm'dir ve eğimleri oluşturmak için tam olarak bu kadar plastik panel satın almanız gerekecektir.

Çözüm

Yamuk, günlük yaşamda popüler bir figürdür ve en beklenmedik durumlarda kimin parametrelerine ihtiyaç duyulabileceğinin belirlenmesi. Trapez çevrelerin hesaplanması, mühendislerden mimarlara, tasarımcılardan tamircilere kadar birçok profesyonel için gereklidir. Çevrimiçi hesap makineleri kataloğumuz, herhangi bir geometrik şekil ve cisim için hesaplamalar yapmanıza olanak tanır.

Yamuğun alanını bulmanın birçok yolu vardır. Genellikle bir matematik öğretmeni bunu hesaplamanın birkaç yöntemini bilir; bunlara daha ayrıntılı olarak bakalım:
1) Burada AD ve BC tabanlardır ve BH yamuğun yüksekliğidir. İspat: BD köşegenini çizin ve ABD ve CDB üçgenlerinin alanlarını tabanlarının ve yüksekliklerinin yarı çarpımına göre ifade edin:

DP dış yüksekliktir, burada

Bu eşitlikleri terim terim toplarsak ve BH ve DP yüksekliklerinin eşit olduğunu hesaba katarak şunu elde ederiz:

Parantez dışına çıkaralım

Q.E.D.

Yamuğun alanı formülünün sonucu:
Tabanların yarı toplamı yamuğun orta çizgisi olan MN'ye eşit olduğundan, o zaman

2) Dörtgenin alanı için genel formülün uygulanması.
Bir dörtgen alanı, köşegenlerin çarpımının yarısı ile aralarındaki açının sinüsünün çarpımına eşittir.
Bunu kanıtlamak için yamuğu 4 üçgene bölüp her birinin alanını “köşegenlerin çarpımının yarısı ve aralarındaki açının sinüsü” (açı olarak alınır, elde edilen ifadeleri ekleyin) şeklinde ifade etmek yeterlidir, Bunları parantezden çıkarın ve ifadeye eşitliğini elde etmek için gruplama yöntemini kullanarak bu parantezi çarpanlara ayırın.

3) Çapraz kaydırma yöntemi
Bu benim adım. Bir matematik öğretmeninin okul kitaplarında böyle bir başlığa rastlaması mümkün değildir. Tekniğin bir açıklaması yalnızca bir problemin çözümüne örnek olarak ek ders kitaplarında bulunabilir. Planimetri ile ilgili ilginç ve faydalı gerçeklerin çoğunun, pratik çalışma sürecinde matematik öğretmenleri tarafından öğrencilere açıklandığını belirtmek isterim. Bu son derece optimalin altındadır çünkü öğrencinin bunları ayrı teoremlere ayırması ve onlara "büyük isimler" demesi gerekir. Bunlardan biri “çapraz kayma”dır. Ne hakkında konuşuyoruz? B köşesinden geçerek E noktasında alt tabanla kesişene kadar AC'ye paralel bir çizgi çizelim. Bu durumda EBCA dörtgeni (tanımı gereği) bir paralelkenar olacaktır ve dolayısıyla BC=EA ve EB=AC olacaktır. İlk eşitlik artık bizim için önemli. Sahibiz:

Alanı yamuk alanına eşit olan BED üçgeninin birkaç dikkat çekici özelliğe daha sahip olduğunu unutmayın:
1) Alanı yamuğun alanına eşittir
2) İkizkenarları yamuğun kendisinin ikizkenarları ile aynı anda meydana gelir
3) B köşesindeki üst açısı, yamuğun köşegenleri arasındaki açıya eşittir (bu, problemlerde çok sık kullanılır)
4) Ortanca BK, yamuğun tabanlarının orta noktaları arasındaki QS mesafesine eşittir. Yakın zamanda Tkachuk'un ders kitabının 1973 versiyonunu kullanarak Moskova Devlet Üniversitesi'nde Mekanik ve Matematik için bir öğrenciyi hazırlarken bu özelliğin kullanımına rastladım (sorun sayfanın altında verilmiştir).

Matematik öğretmeni için özel teknikler.

Bazen yamuğun alanını bulmanın çok zor bir yolunu kullanarak problemler öneriyorum. Bunu özel bir teknik olarak sınıflandırıyorum çünkü pratikte öğretmen bunları çok nadiren kullanıyor. Matematikte Birleşik Devlet Sınavına yalnızca Bölüm B'de hazırlanmanız gerekiyorsa, bunları okumanıza gerek yoktur. Diğerleri için size daha fazlasını anlatacağım. Bir yamuğun alanının, bir tarafın uçlarında ve diğerinin ortasında köşeleri olan bir üçgenin alanının iki katı olduğu, yani şekildeki ABS üçgeninin olduğu ortaya çıktı:
İspat: BCS ve ADS üçgenlerinde SM ve SN yüksekliklerini çizin ve bu üçgenlerin alanlarının toplamını ifade edin:

S noktası CD'nin ortası olduğuna göre (bunu kendiniz kanıtlayın) üçgenlerin alanlarının toplamını bulun:

Bu toplamın yamuğun alanının yarısına, ardından ikinci yarısına eşit olduğu ortaya çıktı. Vesaire.

Öğretmenin özel teknikler koleksiyonuna, ikizkenar yamuğun yanları boyunca alanını hesaplama biçimini dahil edeceğim: burada p, yamuğun yarı çevresidir. Kanıt vermeyeceğim. Aksi halde matematik öğretmeniniz işsiz kalacak :). Sınıfa gelin!

Yamuk alanındaki problemler:

Matematik öğretmeninin notu: Aşağıdaki liste konuya metodolojik bir destek değildir; yukarıda tartışılan tekniklere dayanan ilginç görevlerin yalnızca küçük bir seçkisidir.

1) İkizkenar yamuğun alt tabanı 13, üst tabanı ise 5'tir. Köşegeni kenara dik ise yamuğun alanını bulun.
2) Tabanları 2cm ve 5cm, kenarları 2cm ve 3cm olan yamuğun alanını bulun.
3) İkizkenar yamukta büyük taban 11, kenar 5 ve köşegen ise yamuğun alanını bulun.
4) Bir ikizkenar yamuğun köşegeni 5 ve orta çizgisi 4'tür. Alanı bulun.
5) İkizkenar yamukta tabanlar 12 ve 20 olup köşegenler birbirine diktir. Yamuğun alanını hesaplayın
6) İkizkenar yamuğun köşegeni alt tabanıyla bir açı yapar. Yüksekliği 6 cm ise yamuğun alanını bulun.
7) Yamuğun alanı 20, kenarlarından biri 4 cm'dir. Karşı tarafın ortasından ona olan mesafeyi bulun.
8) Bir ikizkenar yamuğun köşegeni, onu alanları 6 ve 14 olan üçgenlere böler. Yan kenar 4 ise yüksekliği bulun.
9) Bir yamukta köşegenler 3 ve 5'e, tabanların orta noktalarını birleştiren segment ise 2'ye eşittir. Yamuğun alanını bulun (Mekhmat MSU, 1970).

Kendi başıma çözebileceğim beklentisiyle en zor problemleri (makine mühendisliğinden korkmayın!) seçmedim. Sağlığınız için karar verin! Matematikte Birleşik Devlet Sınavına hazırlanmanız gerekiyorsa, bu süreçte yamuk alanı formülünün katılımı olmadan, B6 probleminde ve hatta C4 probleminde bile ciddi sorunlar ortaya çıkabilir. Konuyu başlatmayın ve herhangi bir zorluk durumunda yardım isteyin. Bir matematik öğretmeni size yardımcı olmaktan her zaman mutluluk duyar.

Kolpakov A.N.
Moskova'da matematik öğretmeni, Strogino'daki Birleşik Devlet Sınavına hazırlık.

Matematikte çeşitli dörtgen türleri bilinmektedir: kare, dikdörtgen, eşkenar dörtgen, paralelkenar. Bunların arasında bir yamuk vardır - iki tarafın paralel olduğu ve diğer ikisinin paralel olmadığı bir tür dışbükey dörtgen. Karşılıklı paralel kenarlara tabanlar, diğer ikisine ise yamuğun yan kenarları denir. Kenarların orta noktalarını birleştiren bölüme orta çizgi denir. Birkaç tür yamuk vardır: ikizkenar, dikdörtgen, kavisli. Her yamuk türü için alanı bulma formülleri vardır.

Yamuk alanı

Bir yamuğun alanını bulmak için tabanlarının uzunluğunu ve yüksekliğini bilmeniz gerekir. Bir yamuğun yüksekliği tabanlara dik bir bölümdür. Üst taban a, alt taban b ve yükseklik h olsun. Daha sonra aşağıdaki formülü kullanarak S alanını hesaplayabilirsiniz:

S = ½ * (a+b) * h

onlar. tabanların toplamının yarısını yükseklikle çarpın.

Yüksekliği ve merkez çizgisi biliniyorsa yamuğun alanını hesaplamak da mümkün olacaktır. Orta çizgiyi gösterelim - m. Daha sonra

Daha karmaşık bir problemi çözelim: Yamuğun dört tarafının uzunlukları biliniyor - a, b, c, d. Daha sonra alan aşağıdaki formül kullanılarak bulunacaktır:

Köşegenlerin uzunlukları ve aralarındaki açı biliniyorsa alan şu şekilde aranır:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

burada indeksleri 1 ve 2 olan d köşegenlerdir. Bu formülde hesaplamada açının sinüsü verilmektedir.

A ve b tabanlarının bilinen uzunlukları ve alt tabandaki iki açı dikkate alındığında alan şu şekilde hesaplanır:

S = ½ * (b2 - a2) * (sin α * sin β / sin(α + β))

İkizkenar yamuğun alanı

İkizkenar yamuk, yamuğun özel bir durumudur. Farkı, böyle bir yamuğun, iki karşıt tarafın orta noktalarından geçen bir simetri eksenine sahip dışbükey bir dörtgen olmasıdır. Kenarları eşittir.

Bir ikizkenar yamuğun alanını bulmanın birkaç yolu vardır.

• Üç tarafın uzunluğu boyunca. Bu durumda, kenarların uzunlukları çakışacaktır, bu nedenle bunlar bir değerle - c ve a ve b - tabanların uzunluklarıyla belirtilir:

• Üst tabanın uzunluğu, kenarı ve alt tabandaki açı biliniyorsa alan şu şekilde hesaplanır:

S = c * sin α * (a + c * çünkü α)

burada a üst tabandır, c yandır.

• Üst taban yerine alt tabanın uzunluğu biliniyorsa - b, alan aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

S = c * sin α * (b – c * çünkü α)

• İki taban ve alt tabandaki açı bilindiğinde alan açının tanjantı üzerinden hesaplanır:

S = ½ * (b2 – a2) * tan α

• Alan aynı zamanda köşegenler ve aralarındaki açı aracılığıyla da hesaplanır. Bu durumda köşegenlerin uzunluğu eşittir, dolayısıyla her birini alt simge olmadan d harfiyle belirtiriz:

S = ½ * d2 * sin α

• Kenarın uzunluğunu, merkez çizgisini ve alt tabandaki açıyı bilerek yamuğun alanını hesaplayalım.

Yan kenar c, orta çizgi m ve açı a olsun, o zaman:

S = m * c * sin α

Bazen eşkenar yamuk içine yarıçapı r olacak bir daire yazabilirsiniz.

Tabanların uzunluklarının toplamı, kenarlarının uzunluklarının toplamına eşitse, herhangi bir yamuğa bir daire yazılabileceği bilinmektedir. Daha sonra alan, yazılı dairenin yarıçapı ve alt tabandaki açı aracılığıyla bulunabilir:

S = 4r2 / sinα

Aynı hesaplama, yazılı dairenin D çapı kullanılarak yapılır (bu arada, yamuğun yüksekliğine denk gelir):

Tabanı ve açıyı bilerek, ikizkenar yamuğun alanı şu şekilde hesaplanır:

S = a * b / sin α

(bu ve sonraki formüller yalnızca yazılı daireye sahip yamuklar için geçerlidir).

Çemberin tabanları ve yarıçapı kullanılarak alan şu şekilde bulunur:

Yalnızca bazlar biliniyorsa alan aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

Tabanlar ve yan çizgi boyunca, yamuk alanı, yazılı daire ile tabanlar ve orta çizgi boyunca - m aşağıdaki şekilde hesaplanır:

Dikdörtgen bir yamuğun alanı

Bir yamuk, kenarlarından biri tabana dik ise dikdörtgen olarak adlandırılır. Bu durumda kenarın uzunluğu yamuğun yüksekliğine denk gelir.

Dikdörtgen yamuk bir kare ve bir üçgenden oluşur. Şekillerin her birinin alanını bulduktan sonra sonuçları toplayın ve şeklin toplam alanını elde edin.

Ayrıca, bir yamuğun alanını hesaplamak için genel formüller, dikdörtgen bir yamuğun alanını hesaplamak için uygundur.

• Tabanların uzunlukları ve yükseklik (veya dik yan taraf) biliniyorsa, alan aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

S = (a + b) * h / 2

Yan taraf c, h (yükseklik) görevi görebilir. O zaman formül şöyle görünür:

S = (a + b) * c / 2

• Alanı hesaplamanın başka bir yolu da merkez çizgisinin uzunluğunu yükseklikle çarpmaktır:

veya yan dik tarafın uzunluğuna göre:

• Hesaplamanın bir sonraki yolu köşegenlerin çarpımının yarısı ile aralarındaki açının sinüsüdür:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

Köşegenler dik ise formül şu şekilde basitleştirilir:

S = ½ * d1 * d2

• Hesaplamanın başka bir yolu da yarı çevreyi (karşılıklı iki kenarın uzunluklarının toplamı) ve yazılı dairenin yarıçapını kullanmaktır.

Bu formül bazlar için geçerlidir. Kenarların uzunluklarını alırsak, bunlardan biri yarıçapın iki katına eşit olacaktır. Formül şöyle görünecek:

S = (2r + c) * r

• Bir yamuk içine bir daire yazılmışsa, alan aynı şekilde hesaplanır:

burada m merkez çizgisinin uzunluğudur.

Kavisli bir yamuğun alanı

Eğrisel bir yamuk, segmentte, apsis ekseninde ve x = a, x = b düz çizgilerinde tanımlanan, negatif olmayan sürekli bir y = f(x) fonksiyonunun grafiğiyle sınırlanan düz bir şekildir. Esas itibariyle iki tarafı birbirine paralel (tabanlar), üçüncü tarafı tabanlara dik, dördüncü tarafı ise fonksiyonun grafiğine karşılık gelen bir eğridir.

Eğrisel bir yamuğun alanı, Newton-Leibniz formülü kullanılarak integral aracılığıyla aranır:

Çeşitli yamuk türlerinin alanları bu şekilde hesaplanır. Ancak yamuklar, kenarların özelliklerine ek olarak aynı açı özelliklerine de sahiptir. Mevcut tüm dörtgenler gibi, bir yamuğun iç açılarının toplamı 360 derecedir. Ve kenara bitişik açıların toplamı 180 derecedir.

VE . Artık yamuğun alanının nasıl bulunacağı sorusunu düşünmeye başlayabiliriz. Bu görev günlük yaşamda çok nadiren ortaya çıkar, ancak bazen, örneğin modern dairelerin yapımında giderek daha fazla kullanılan yamuk şeklindeki bir odanın alanını bulmak gerekli olabilir. yenileme projeleri tasarlar.

Yamuk, ikisi birbirine paralel olan ve yamuğun tabanları olarak adlandırılan dört kesişen parçadan oluşan geometrik bir şekildir. Diğer iki bölüme yamuğun kenarları denir. Ayrıca daha sonra başka bir tanıma ihtiyacımız olacak. Bu, kenarların orta noktalarını ve yamuğun yüksekliğini birleştiren, tabanlar arasındaki mesafeye eşit olan bir segment olan yamuğun orta çizgisidir.
Üçgenler gibi yamuklar da, kenarların uzunluklarının aynı olduğu ikizkenar (eşkenar) yamuk ve kenarlardan birinin tabanlarla dik açı oluşturduğu dikdörtgen bir yamuk şeklinde özel tiplere sahiptir.

Trapezlerin bazı ilginç özellikleri vardır:

1. Yamuğun orta çizgisi tabanların toplamının yarısına eşit ve onlara paraleldir.
   
2. İkizkenar yamuklar eşit kenarlara ve tabanlarla oluşturdukları açılara sahiptir.
   
3. Bir yamuğun köşegenlerinin orta noktaları ile köşegenlerinin kesişme noktası aynı doğru üzerindedir.
   
4. Bir yamuğun kenarlarının toplamı tabanların toplamına eşitse, içine bir daire yazılabilir.
   
5. Bir yamuğun kenarlarının tabanlarından herhangi birinde oluşturduğu açıların toplamı 90 ise, tabanların orta noktalarını birleştiren parçanın uzunluğu yarı farklarına eşittir.
   
6. Bir ikizkenar yamuk bir daire ile tanımlanabilir. Ve tam tersi. Bir yamuk bir daireye sığıyorsa, o zaman ikizkenardır.
   
7. Bir ikizkenar yamuğun tabanlarının orta noktalarından geçen parça tabanlarına dik olacak ve simetri eksenini temsil edecektir.
   

Yamuğun alanı nasıl bulunur.

Yamuğun alanı, tabanlarının toplamının yarısı ile yüksekliğinin çarpımına eşit olacaktır. Formül formunda bu bir ifade olarak yazılır:

burada S yamuğun alanıdır, a, b yamuk tabanlarının her birinin uzunluğu, h yamuğun yüksekliğidir.

Ayrıca herhangi bir yamuğu daha basit şekillere ayırabilirsiniz: bir dikdörtgen ve bir veya iki üçgen ve eğer sizin için daha kolaysa, yamuğun alanını onu oluşturan şekillerin alanlarının toplamı olarak bulun.

Alanını hesaplamak için başka bir basit formül var. Buna göre bir yamuğun alanı, orta çizgisinin yamuğun yüksekliğine çarpımına eşittir ve şu şekilde yazılır: S = m*h, burada S alan, m ise yamuğun uzunluğudur. orta hat, h yamuğun yüksekliğidir. Bu formül, günlük problemlerden ziyade matematik problemleri için daha uygundur, çünkü gerçek koşullarda ön hesaplamalar olmadan merkez çizgisinin uzunluğunu bilemezsiniz. Ve sadece tabanların ve kenarların uzunluklarını bileceksiniz.

Bu durumda yamuğun alanı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

S = ((a+b)/2)*√c 2 -((b-a) 2 +c 2 -d 2 /2(b-a)) 2

burada S alanı, a, b tabanları, c, d yamuğun kenarlarıdır.

Yamuğun alanını bulmanın birkaç yolu daha vardır. Ama bunlar da en az son formül kadar sakıncalı, yani bunlar üzerinde fazla durmanın anlamı yok. Bu nedenle yazıdaki ilk formülü kullanmanızı tavsiye ediyor, her zaman doğru sonuçlar almanızı diliyoruz.

Geçen yılki Birleşik Devlet Sınavı ve Devlet Sınavı uygulaması, geometri problemlerinin birçok okul çocuğu için zorluklara neden olduğunu gösteriyor. Gerekli tüm formülleri ezberlerseniz ve problem çözme pratiği yaparsanız onlarla kolayca başa çıkabilirsiniz.

Bu yazıda yamuğun alanını bulmak için formüllerin yanı sıra çözümlü problem örneklerini göreceksiniz. Aynılarına KIM'lerde sertifika sınavlarında veya olimpiyatlarda da rastlayabilirsiniz. Bu nedenle onlara dikkatli davranın.

Yamuk hakkında bilmeniz gerekenler?

Başlangıç ​​olarak şunu hatırlayalım. yamuk tabanlar olarak da adlandırılan karşılıklı iki kenarın paralel olduğu ve diğer ikisinin paralel olmadığı bir dörtgen denir.

Bir yamukta yükseklik (tabana dik) da azaltılabilir. Orta çizgi çizilir - bu, tabanlara paralel ve toplamlarının yarısına eşit olan düz bir çizgidir. Kesişebilen, dar ve geniş açılar oluşturabilen köşegenlerin yanı sıra. Veya bazı durumlarda dik açıyla. Ayrıca yamuk ikizkenar ise içine bir daire yazılabilir. Ve onun etrafında bir daire çizin.

Yamuk alan formülleri

Öncelikle yamuğun alanını bulmak için standart formüllere bakalım. Aşağıda ikizkenar ve eğrisel yamukların alanını hesaplamanın yollarını ele alacağız.

Yani, a ve b tabanlarına sahip, h yüksekliğinin daha büyük tabana indirildiği bir yamuğunuz olduğunu hayal edin. Bu durumda bir şeklin alanını hesaplamak armut bombardımanı kadar kolaydır. Taban uzunluklarının toplamını ikiye bölmeniz ve sonucu yükseklikle çarpmanız yeterlidir: S = 1/2(a + b)*h.

Başka bir durumu ele alalım: yamukta yüksekliğe ek olarak bir orta çizgi m olduğunu varsayalım. Orta çizginin uzunluğunu bulma formülünü biliyoruz: m = 1/2(a + b). Bu nedenle, yamuk alanı formülünü aşağıdaki forma haklı olarak basitleştirebiliriz: S = m* sa. Başka bir deyişle, bir yamuğun alanını bulmak için orta çizgiyi yükseklikle çarpmanız gerekir.

Başka bir seçeneği düşünelim: yamuk, α dik açılarında kesişmeyen d 1 ve d 2 köşegenlerini içerir. Böyle bir yamuğun alanını hesaplamak için köşegenlerin çarpımını ikiye bölmeniz ve sonucu aralarındaki açının günahıyla çarpmanız gerekir: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

Şimdi, tüm kenarlarının uzunlukları dışında hiçbir şey bilinmiyorsa, yamuğun alanını bulma formülünü düşünün: a, b, c ve d. Bu hantal ve karmaşık bir formüldür ancak aşağıdaki durumlarda hatırlamanız faydalı olacaktır: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.

Bu arada, yukarıdaki örnekler dikdörtgen bir yamuğun alanı için formüle ihtiyaç duyduğunuz durum için de geçerlidir. Bu, tarafı tabanlara dik açıyla bitişik olan bir yamuktur.

İkizkenar yamuk

Kenarları eşit olan yamuğa ikizkenar denir. İkizkenar yamuk alanı formülü için çeşitli seçenekleri ele alacağız.

İlk seçenek: r yarıçaplı bir dairenin ikizkenar yamuk içine yazıldığı ve yan ve daha büyük tabanın dar bir α açısı oluşturduğu durum için. Tabanlarının uzunluklarının toplamının, kenarlarının uzunluklarının toplamına eşit olması koşuluyla, yamuk içine bir daire yazılabilir.

İkizkenar yamuğun alanı şu şekilde hesaplanır: yazılı dairenin yarıçapının karesini dört ile çarpın ve hepsini sinα'ya bölün: S = 4r 2 /sinα. Başka bir alan formülü, büyük taban ile kenar arasındaki açının 30 0 olduğu seçeneğin özel bir durumudur: S = 8r2.

İkinci seçenek: Bu sefer, ek olarak d 1 ve d 2 köşegenlerinin yanı sıra h yüksekliğinin de çizildiği ikizkenar bir yamuk alıyoruz. Bir yamuğun köşegenleri birbirine dik ise yükseklik tabanların toplamının yarısı kadardır: h = 1/2(a + b). Bunu bilerek, zaten aşina olduğunuz yamuk alanı formülünü bu forma dönüştürmek kolaydır: S = sa 2.

Kavisli bir yamuğun alanı için formül

Kavisli bir yamuğun ne olduğunu bularak başlayalım. Bir koordinat ekseni ve x eksenindeki belirli bir parça içinde işaretini değiştirmeyen sürekli ve negatif olmayan bir f fonksiyonunun grafiğini hayal edin. Eğrisel bir yamuk, y = f(x) fonksiyonunun grafiğiyle oluşturulur - üstte, x ekseni altta (bölüm) ve yanlarda - a ve b noktaları arasında çizilen düz çizgiler ve grafiği işlev.

Böyle standart dışı bir şeklin alanını yukarıdaki yöntemleri kullanarak hesaplamak imkansızdır. Burada matematiksel analiz uygulamanız ve integrali kullanmanız gerekir. Yani: Newton-Leibniz formülü - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). Bu formülde F, fonksiyonumuzun seçilen parça üzerindeki ters türevidir. Ve eğrisel bir yamuğun alanı, belirli bir segmentteki antiderivatifin artışına karşılık gelir.

Örnek problemler

Tüm bu formüllerin kafanızda anlaşılmasını kolaylaştırmak için, yamuğun alanını bulmaya yönelik bazı problem örnekleri aşağıda verilmiştir. Sorunları önce kendiniz çözmeye çalışmanız ve ancak daha sonra aldığınız cevabı hazır çözümle karşılaştırmanız en iyisi olacaktır.

Görev #1: Bir yamuk verildi. Büyük tabanı 11 cm, küçük tabanı ise 4 cm'dir. Yamuk, biri 12 cm, ikincisi 9 cm uzunluğunda köşegenlere sahiptir.

Çözüm: Bir yamuk AMRS oluşturun. P tepe noktasından geçen, MC köşegenine paralel olacak ve AC düz çizgisiyle X noktasında kesişecek şekilde bir РХ düz çizgisi çizin. Bir APХ üçgeni elde edeceksiniz.

Bu manipülasyonlar sonucunda elde edilen iki şekli ele alacağız: APX üçgeni ve CMRX paralelkenarı.

Paralelkenar sayesinde PX = MC = 12 cm ve CX = MR = 4 cm olduğunu öğreniyoruz. ARX ​​üçgeninin AX kenarını buradan hesaplayabiliriz: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

Ayrıca APX üçgeninin dik açılı olduğunu da kanıtlayabiliriz (bunu yapmak için Pisagor teoremini uygulayın - AX 2 = AP 2 + PX 2). Ve alanını hesaplayın: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm2.

Daha sonra AMP ve PCX üçgenlerinin alanlarının eşit olduğunu kanıtlamanız gerekecek. Temel, MR ve CX taraflarının eşitliği olacaktır (zaten yukarıda kanıtlanmıştır). Ayrıca bu kenarlarda indirdiğiniz yükseklikler de AMRS yamuk yüksekliğine eşittir.

Bütün bunlar S AMPC = S APX = 54 cm2 demenizi sağlayacaktır.

Görev #2: Yamuk KRMS verilmiştir. Yan taraflarında O ve E noktaları bulunurken, OE ve KS paraleldir. ORME ve OKSE yamuklarının alanlarının 1:5 oranında olduğu da bilinmektedir. RM = a ve KS = b. OE'yi bulmanız gerekiyor.

Çözüm: M noktasından geçen RK'ya paralel bir çizgi çizin ve OE ile kesiştiği noktayı T olarak belirleyin. A, RK'ye paralel E noktasından çizilen çizginin KS tabanıyla kesişme noktasıdır.

Bir gösterim daha verelim - OE = x. Ve ayrıca TME üçgeni için h 1 yüksekliği ve AEC üçgeni için h 2 yüksekliği (bu üçgenlerin benzerliğini bağımsız olarak kanıtlayabilirsiniz).

b > a olduğunu varsayacağız. ORME ve OKSE yamuklarının alanları 1:5 oranındadır, bu da bize aşağıdaki denklemi oluşturma hakkını verir: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Haydi dönüştürelim ve şunu elde edelim: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).

TME ve AEC üçgenleri benzer olduğundan h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x) elde ederiz. Her iki girişi de birleştirip şunu elde edelim: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

Böylece OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.

Çözüm

Geometri bilimlerin en kolayı değildir ancak sınav sorularını kesinlikle çözebilirsiniz. Hazırlık aşamasında biraz azim göstermeniz yeterlidir. Ve elbette gerekli tüm formülleri unutmayın.

Yamuğun alanını hesaplamak için tüm formülleri tek bir yerde toplamaya çalıştık, böylece sınavlara hazırlanırken ve materyali gözden geçirirken kullanabilirsiniz.

Sosyal ağlardaki sınıf arkadaşlarınıza ve arkadaşlarınıza bu makaleden bahsetmeyi unutmayın. Birleşik Devlet Sınavı ve Devlet Sınavları için daha iyi notlar olsun!

web sitesi, materyali tamamen veya kısmen kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.