Bu makale, bir düzlem üzerinde yer alan dikdörtgen bir koordinat sisteminde verilen iki noktadan geçen düz bir çizginin denkleminin türetilmesini ortaya koymaktadır. Dikdörtgen koordinat sisteminde verilen iki noktadan geçen düz çizginin denklemini türetelim. İşlenen materyalle ilgili birkaç örneği açıkça gösterip çözeceğiz.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Verilen iki noktadan geçen bir doğrunun denklemini elde etmeden önce bazı hususlara dikkat etmek gerekir. Bir düzlemdeki iki farklı noktadan sadece bir tane düz çizgi çizmenin mümkün olduğunu söyleyen bir aksiyom vardır. Başka bir deyişle, bir düzlem üzerinde verilen iki nokta, bu noktalardan geçen bir doğru ile tanımlanır.
Düzlem Oxy dikdörtgen koordinat sistemi tarafından tanımlanmışsa, içinde gösterilen herhangi bir düz çizgi, düzlemdeki düz bir çizginin denklemine karşılık gelecektir. Doğrunun yönlendirici vektörüyle de bir bağlantı vardır. Bu veri, verilen iki noktadan geçen bir doğrunun denklemini derlemek için yeterlidir.
Benzer bir sorunu çözme örneğine bakalım. Kartezyen koordinat sisteminde yer alan iki farklı M 1 (x 1, y 1) ve M 2 (x 2, y 2) noktasından geçen bir a çizgisi için bir denklem oluşturmak gerekir.
X - x 1 a x = y - y 1 a y formuna sahip bir düzlem üzerindeki bir çizginin kanonik denkleminde, M 1 (x) koordinatlarına sahip bir noktada onunla kesişen bir çizgi ile dikdörtgen bir koordinat sistemi O x y belirtilir. 1, y 1) kılavuz vektörü ile a → = (a x , a y) .
M 1 (x 1, y 1) ve M 2 (x 2, y 2) koordinatlarına sahip iki noktadan geçecek olan düz bir a çizgisinin kanonik bir denklemini oluşturmak gerekir.
Düz a, M 1 ve M 2 noktalarıyla kesiştiği için koordinatları (x 2 - x 1, y 2 - y 1) olan bir M 1 M 2 → yön vektörüne sahiptir. Kanonik denklemi M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) yön vektörünün koordinatları ve üzerlerinde yatan M 1 noktalarının koordinatları ile dönüştürmek için gerekli verileri elde ettik. (x 1, y 1) ve M 2 (x 2, y 2) . x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 veya x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 biçiminde bir denklem elde ederiz.
Aşağıdaki şekli düşünün.
Hesaplamaların ardından M 1 (x 1, y 1) ve M 2 (x 2, y 2) koordinatlarına sahip iki noktadan geçen bir düzlem üzerindeki doğrunun parametrik denklemlerini yazıyoruz. x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ veya x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ biçiminde bir denklem elde ederiz. y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ .
Birkaç örneği çözmeye daha yakından bakalım.
Örnek 1
Koordinatları M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6 olan verilen 2 noktadan geçen düz bir çizginin denklemini yazın.
Çözüm
X 1, y 1 ve x 2, y 2 koordinatlarıyla iki noktada kesişen bir çizginin kanonik denklemi x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 formunu alır. Problemin koşullarına göre x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6 elde ederiz. Sayısal değerleri x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 denkleminde değiştirmek gerekir. Buradan kanonik denklemin x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 formunu aldığını anlıyoruz.
Cevap: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.
Bir problemi farklı bir denklem türüyle çözmeniz gerekiyorsa, önce kanonik olana gidebilirsiniz, çünkü ondan diğerine ulaşmak daha kolaydır.
Örnek 2
O xy koordinat sisteminde M 1 (1, 1) ve M 2 (4, 2) koordinatlarına sahip noktalardan geçen bir düz çizginin genel denklemini oluşturun.
Çözüm
Öncelikle verilen iki noktadan geçen bir doğrunun kanonik denklemini yazmanız gerekir. x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 biçiminde bir denklem elde ederiz.
Kanonik denklemi istenen forma getirelim, sonra şunu elde ederiz:
x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0
Cevap: x - 3 y + 2 = 0 .
Bu tür görevlerin örnekleri cebir derslerinde okul ders kitaplarında tartışılmıştır. Okul problemleri, y = k x + b formundaki açı katsayılı düz bir çizginin denkleminin bilinmesi bakımından farklılık gösteriyordu. Eğim k değerini ve b sayısını bulmanız gerekiyorsa, bunun için y = k x + b denklemi O x y sisteminde M 1 (x 1, y 1) ve M 2 noktalarından geçen bir çizgiyi tanımlar. (x 2, y 2) , burada x 1 ≠ x 2. x 1 = x 2 olduğunda , daha sonra açısal katsayı sonsuzluğun değerini alır ve M 1 M 2 düz çizgisi, x - x 1 = 0 formundaki genel tamamlanmamış bir denklem ile tanımlanır. .
Çünkü noktalar M1 Ve M2 düz bir çizgi üzerindeyse koordinatları y 1 = k x 1 + b ve y 2 = k x 2 + b denklemini sağlar. K ve b için y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b denklem sistemini çözmek gerekir.
Bunu yapmak için k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 veya k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b ='yi buluruz y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .
Bu k ve b değerleriyle, verilen iki noktadan geçen bir doğrunun denklemi şu şekilde olur: y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 veya y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.
Bu kadar çok sayıda formülü aynı anda ezberlemek imkansızdır. Bunun için problem çözmede tekrar sayısını artırmak gerekir.
Örnek 3
M 2 (2, 1) ve y = k x + b koordinatlarına sahip noktalardan geçen açısal katsayılı düz bir çizginin denklemini yazın.
Çözüm
Sorunu çözmek için açısal katsayısı y = k x + b şeklinde olan bir formül kullanıyoruz. K ve b katsayıları öyle bir değer almalıdır ki, bu denklem M 1 (- 7, - 5) ve M 2 (2, 1) koordinatlarına sahip iki noktadan geçen düz bir çizgiye karşılık gelir.
Puanlar M1 Ve M2 düz bir çizgi üzerinde bulunuyorsa, koordinatları y = k x + b denklemini gerçek bir eşitlik haline getirmelidir. Bundan - 5 = k · (- 7) + b ve 1 = k · 2 + b'yi elde ederiz. Denklemi - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b sisteminde birleştirip çözelim.
Değiştirme üzerine bunu elde ederiz
5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 kk = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3
Şimdi k = 2 3 ve b = - 1 3 değerleri y = k x + b denkleminde ikame edilir. Verilen noktalardan geçen gerekli denklemin y = 2 3 x - 1 3 formunda bir denklem olacağını buluyoruz.
Bu çözüm yöntemi, çok fazla zaman kaybını önceden belirler. Görevin kelimenin tam anlamıyla iki adımda çözülmesinin bir yolu var.
M 2 (2, 1) ve M 1 (- 7, - 5) 'den geçen çizginin kanonik denklemini x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 şeklinde yazalım. ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .
Şimdi eğim denklemine geçelim. Şunu elde ederiz: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.
Cevap: y = 2 3 x - 1 3 .
Üç boyutlu uzayda, M 1 (x 1, y 1, z 1) ve M 2 (x 2, y 2, z 2) koordinatlarına sahip, çakışmayan iki noktaya sahip dikdörtgen bir O x y z koordinat sistemi varsa, İçlerinden geçen M düz çizgisi 1 M 2 , bu doğrunun denklemini elde etmek gerekir.
x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z biçiminde kanonik denklemlere ve x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z biçiminde parametrik denklemlere sahibiz. 1 + a z · λ, O x y z koordinat sisteminde, a → = (a x, a y, a z) yön vektörüyle (x 1, y 1, z 1) koordinatlarına sahip noktalardan geçen bir doğruyu tanımlayabilir.
Düz M 1 M 2 M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) biçiminde bir yön vektörüne sahiptir, burada düz çizgi M 1 (x 1, y 1, z 1) ve M 2 (x 2 , y 2 , z 2), dolayısıyla kanonik denklem şu şekilde olabilir: x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 veya x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, sırasıyla parametrik x = x 1 + (x 2 - x 1 ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ veya x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .
Uzayda verilen 2 noktayı ve bir doğrunun denklemini gösteren bir çizim düşünün.
Örnek 4
Üç boyutlu uzayın O x y z dikdörtgen koordinat sisteminde tanımlanan, M 1 (2, - 3, 0) ve M 2 (1, - 3, - 5) koordinatlarına sahip verilen iki noktadan geçen bir doğrunun denklemini yazın.
Çözüm
Kanonik denklemi bulmak gerekir. Üç boyutlu uzaydan bahsettiğimiz için bu, bir doğrunun belirli noktalardan geçmesi durumunda istenen kanonik denklemin x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z formunu alacağı anlamına gelir. - z 1 z 2 - z 1 .
Koşul olarak x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5'e sahibiz. Gerekli denklemlerin şu şekilde yazılacağı anlaşılmaktadır:
x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5
Cevap: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
Öklid geometrisinde düz bir çizginin özellikleri.
Herhangi bir noktadan geçen sonsuz sayıda düz çizgi çizilebilir.
Çakışmayan herhangi iki noktadan tek bir doğru çizilebilir.
Bir düzlemde birbirinden farklı iki doğru ya tek bir noktada kesişir ya da
paralel (öncekinin devamı).
Üç boyutlu uzayda iki çizginin göreceli konumu için üç seçenek vardır:
- çizgiler kesişiyor;
- çizgiler paraleldir;
- düz çizgiler kesişir.
Dümdüz astar— birinci dereceden cebirsel eğri: Kartezyen koordinat sisteminde düz bir çizgi
düzlemde birinci dereceden bir denklem (doğrusal denklem) ile verilir.
Düz bir çizginin genel denklemi.
Tanım. Düzlemdeki herhangi bir düz çizgi birinci dereceden bir denklemle belirtilebilir
Balta + Wu + C = 0,
ve sabit A, B aynı anda sıfıra eşit değildir. Bu birinci dereceden denklem denir genel
bir doğrunun denklemi. Sabitlerin değerlerine bağlı olarak A, B Ve İLE Aşağıdaki özel durumlar mümkündür:
. C = 0, Bir ≠0, B ≠ 0- orijinden düz bir çizgi geçer
. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- eksene paralel düz çizgi Ah
. B = 0, Bir ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- eksene paralel düz çizgi Ah
. B = C = 0, Bir ≠0- düz çizgi eksenle çakışıyor Ah
. bir = C = 0, B ≠0- düz çizgi eksenle çakışıyor Ah
Düz bir çizginin denklemi verilen herhangi bir duruma bağlı olarak farklı biçimlerde sunulabilir.
başlangıç koşulları.
Bir noktadan ve normal vektörden gelen düz bir çizginin denklemi.
Tanım. Kartezyen dikdörtgen koordinat sisteminde (A, B) bileşenlerine sahip bir vektör
denklemin verdiği çizgiye dik
Balta + Wu + C = 0.
Örnek. Bir noktadan geçen çizginin denklemini bulun bir(1, 2) vektöre dik (3, -1).
Çözüm. A = 3 ve B = -1 ile doğrunun denklemini yazalım: 3x - y + C = 0. C katsayısını bulmak için
Verilen A noktasının koordinatlarını sonuçtaki ifadeye koyalım: 3 - 2 + C = 0, dolayısıyla.
C = -1. Toplam: gerekli denklem: 3x - y - 1 = 0.
İki noktadan geçen doğrunun denklemi.
Uzayda iki nokta verilsin M 1 (x 1, y 1, z 1) Ve M2 (x 2, y 2, z 2), Daha sonra bir çizginin denklemi,
şu noktalardan geçerek:
Paydalardan herhangi biri sıfır ise karşılık gelen pay sıfıra eşitlenmelidir. Açık
düzlemde yukarıda yazılan düz çizginin denklemi basitleştirilmiştir:
Eğer x 1 ≠ x 2 Ve x = x 1, Eğer x 1 = x 2 .
Kesir = k isminde eğim doğrudan.
Örnek. A(1, 2) ve B(3, 4) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulun.
Çözüm. Yukarıda yazılan formülü uygulayarak şunu elde ederiz:
Bir nokta ve eğim kullanılarak düz bir çizginin denklemi.
Bir doğrunun genel denklemi ise Balta + Wu + C = 0şunlara yol açar:
ve atayın 
, sonra ortaya çıkan denklem denir
eğimi k olan bir doğrunun denklemi.
Bir noktadan ve yön vektöründen gelen düz bir çizginin denklemi.
Normal vektör boyunca düz bir çizginin denklemini dikkate alan noktaya benzetilerek göreve girebilirsiniz.
bir noktadan geçen düz bir çizgi ve bir düz çizginin yönlendirici vektörü.
Tanım. Sıfır olmayan her vektör (a 1, a 2) bileşenleri koşulu karşılayan
Aα 1 + Bα 2 = 0 isminde Bir doğrunun yönlendirici vektörü.
Balta + Wu + C = 0.
Örnek. Yön vektörü (1, -1) olan ve A(1, 2) noktasından geçen düz bir çizginin denklemini bulun.
Çözüm. İstenilen çizginin denklemini formda arayacağız: Ax + By + C = 0. Tanıma göre,
katsayılar aşağıdaki koşulları karşılamalıdır:
1 * A + (-1) * B = 0, yani. A = B.
O halde düz çizginin denklemi şu şekildedir: Ax + Ay + C = 0, veya x + y + C / A = 0.
en x = 1, y = 2 aldık C/A = -3 yani gerekli denklem:
x + y - 3 = 0
Parçalardaki düz bir çizginin denklemi.
Düz çizginin genel denkleminde Ах + Ву + С = 0 С≠0 ise, -С'ye bölerek şunu elde ederiz:
veya nerede
Katsayıların geometrik anlamı, a katsayısının kesişim noktasının koordinatı olmasıdır.
eksenli düz Ah, A B- çizginin eksenle kesişme noktasının koordinatı Ah.
Örnek. Düz bir çizginin genel denklemi verilmiştir x - y + 1 = 0. Bu doğrunun denklemini segmentler halinde bulun.
C = 1, , a = -1, b = 1.
Bir doğrunun normal denklemi.
Denklemin her iki tarafı ise Balta + Wu + C = 0 sayıya böl 
buna denir
normalleştirme faktörü, sonra elde ederiz
xcosφ + ysinφ - p = 0 -bir doğrunun normal denklemi.
Normalleştirme faktörünün ± işareti şu şekilde seçilmelidir: µ*C< 0.
R- Başlangıç noktasından düz çizgiye bırakılan dikmenin uzunluğu,
A φ - eksenin pozitif yönü ile bu dikin oluşturduğu açı Ah.
Örnek. Doğrunun genel denklemi verilmiştir 12x - 5y - 65 = 0. Farklı türde denklemler yazmak için gereklidir
bu düz çizgi.
Bu doğrunun segmentlerdeki denklemi:
Bu doğrunun eğimle denklemi: (5'e bölün)
Bir çizginin denklemi:
çünkü φ = 12/13; günah φ= -5/13; p = 5.
Her düz çizginin, örneğin düz çizgiler gibi bölümlerdeki bir denklemle temsil edilemeyeceğine dikkat edilmelidir.
eksenlere paralel veya orijinden geçen.
Düzlemdeki düz çizgiler arasındaki açı.
Tanım. İki satır verilirse y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, daha sonra bu çizgiler arasındaki dar açı
olarak tanımlanacak
İki doğru paralel ise k1 =k2. İki çizgi birbirine dik
Eğer k 1 = -1/ k 2 .
Teorem.
Doğrudan Balta + Wu + C = 0 Ve bir 1 x + B 1 y + C 1 = 0 katsayılar orantılı olduğunda paralel
A 1 = λA, B 1 = λB. Ayrıca С 1 = λС, o zaman çizgiler çakışır. İki doğrunun kesiştiği noktanın koordinatları
bu doğruların denklem sisteminin çözümü olarak bulunur.
Belirli bir çizgiye dik olarak belirli bir noktadan geçen çizginin denklemi.
Tanım. Bir noktadan geçen çizgi M 1 (x 1, y 1) ve çizgiye dik y = kx + b
denklemle temsil edilir:
Bir noktadan bir çizgiye olan mesafe.
Teorem. Bir puan verilirse M(x 0, y 0), daha sonra düz çizgiye olan mesafe Balta + Wu + C = 0şu şekilde tanımlanır:
Kanıt. Bırakın nokta M 1 (x 1, y 1)- bir noktadan bırakılan bir dikmenin tabanı M belirli bir süre için
doğrudan. Daha sonra noktalar arasındaki mesafe M Ve M1:
(1)
Koordinatlar x 1 Ve 1'de denklem sisteminin çözümü olarak bulunabilir:
Sistemin ikinci denklemi, belirli bir M 0 noktasından dik olarak geçen düz bir çizginin denklemidir.
düz çizgi verilmiştir. Sistemin ilk denklemini forma dönüştürürsek:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
sonra çözersek şunu elde ederiz:
Bu ifadeleri denklem (1)'de yerine koyarsak şunu buluruz:
Teorem kanıtlandı.
“Geometrik algoritmalar” serisinden ders
Merhaba sevgili okuyucu!
Bugün geometri ile ilgili algoritmaları öğrenmeye başlayacağız. Gerçek şu ki, bilgisayar bilimlerinde hesaplamalı geometriyle ilgili pek çok Olimpiyat problemi var ve bu tür problemleri çözmek çoğu zaman zorluklara neden oluyor.
Birkaç ders boyunca, hesaplamalı geometrideki çoğu problemin çözümünün dayandığı bir dizi temel alt görevi ele alacağız.
Bu dersimizde bir program oluşturacağız. bir doğrunun denklemini bulma, verilenlerden geçerek iki nokta. Geometrik problemleri çözmek için biraz hesaplamalı geometri bilgisine ihtiyacımız var. Dersin bir kısmını onları tanımaya ayıracağız.
Hesaplamalı Geometriden İçgörüler
Hesaplamalı geometri, geometrik problemleri çözmek için algoritmalar inceleyen bir bilgisayar bilimi dalıdır.
Bu tür problemler için başlangıç verileri, bir düzlem üzerindeki bir dizi nokta, bir dizi parça, bir çokgen (örneğin, saat yönünde köşe noktalarının bir listesiyle belirtilir) vb. olabilir.
Sonuç ya bir sorunun cevabı olabilir (örneğin, bir nokta bir doğru parçasına ait midir, iki doğru parçası kesişiyor mu, ...) ya da bazı geometrik nesneler (örneğin, belirli noktaları birleştiren en küçük dışbükey çokgen, alanı) olabilir. bir çokgen vb.) .
Hesaplamalı geometri problemlerini yalnızca düzlemde ve yalnızca Kartezyen koordinat sisteminde ele alacağız.
Vektörler ve koordinatlar
Hesaplamalı geometri yöntemlerini uygulamak için geometrik görüntüleri sayıların diline çevirmek gerekir. Uçağa, saat yönünün tersine dönme yönünün pozitif olarak adlandırıldığı Kartezyen koordinat sisteminin verildiğini varsayacağız.
Artık geometrik nesneler analitik bir ifade alıyor. Dolayısıyla, bir noktayı belirtmek için koordinatlarını belirtmek yeterlidir: bir çift sayı (x; y). Bir parça, uçlarının koordinatları belirtilerek belirlenebilir; düz bir çizgi, bir çift noktanın koordinatları belirtilerek belirlenebilir.
Ancak sorunları çözmek için ana aracımız vektörler olacaktır. Bu nedenle onlarla ilgili bazı bilgileri hatırlatmama izin verin.
Segment AB, bunun bir anlamı var A başlangıç (uygulama noktası) olarak kabul edilir ve nokta İÇİNDE– uç, vektör olarak adlandırılır AB ve bunlardan herhangi biri veya kalın küçük harfle gösterilir; örneğin A .
Bir vektörün uzunluğunu (yani karşılık gelen parçanın uzunluğunu) belirtmek için modül sembolünü kullanacağız (örneğin, ).
Rastgele bir vektör, bitiş ve başlangıcının karşılık gelen koordinatları arasındaki farka eşit koordinatlara sahip olacaktır:
,
işte noktalar A Ve B
koordinatları var 
sırasıyla.
Hesaplamalar için bu kavramı kullanacağız. yönlendirilmiş açı yani vektörlerin göreceli konumunu hesaba katan bir açıdır.
Vektörler arasında yönlendirilmiş açı A Ve B dönüş vektörden geliyorsa pozitif A vektöre B pozitif yönde (saat yönünün tersine) ve diğer durumda negatif yönde gerçekleştirilir. Bkz. Şekil 1a, Şekil 1b. Ayrıca bir çift vektörün olduğu da söylenir. A Ve B Olumlu (olumsuz) odaklı.
Dolayısıyla yönlendirilmiş açının değeri, vektörlerin listelenme sırasına bağlıdır ve aralıktaki değerleri alabilir.
Hesaplamalı geometrideki birçok problem, vektörlerin vektör (çarpık veya sözde skaler) çarpımları kavramını kullanır.
a ve b vektörlerinin vektör çarpımı, bu vektörlerin uzunlukları ile aralarındaki açının sinüsünün çarpımıdır:
.
Koordinatlardaki vektörlerin çapraz çarpımı:
Sağdaki ifade ikinci dereceden bir determinanttır:
Analitik geometride verilen tanımdan farklı olarak skalerdir.
Vektör çarpımının işareti, vektörlerin birbirine göre konumunu belirler:
A Ve B pozitif odaklı.
Değer ise, o zaman bir çift vektör A Ve B olumsuz odaklı.
Sıfır olmayan vektörlerin çapraz çarpımı ancak ve ancak aynı doğrultuda olmaları durumunda sıfırdır ( 
). Bu, aynı doğru üzerinde veya paralel doğrular üzerinde bulundukları anlamına gelir.
Daha karmaşık sorunları çözerken gerekli olan birkaç basit soruna bakalım.
İki noktanın koordinatlarından bir doğrunun denklemini bulalım.
Koordinatları belirtilen iki farklı noktadan geçen bir doğrunun denklemi.
Düz bir çizgi üzerinde çakışmayan iki noktanın koordinatları (x1; y1) ve koordinatları (x2; y2) verilsin. Buna göre başlangıcı bir noktada ve sonu bir noktada olan bir vektörün koordinatları (x2-x1, y2-y1)'dir. Eğer P(x, y) doğrumuz üzerinde rastgele bir nokta ise, vektörün koordinatları (x-x1, y – y1)'e eşittir.
Vektör çarpımı kullanılarak, vektörlerin doğrusal olma koşulu şu şekilde yazılabilir:
Onlar. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0
(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0
Son denklemi şu şekilde yeniden yazıyoruz:
balta + by + c = 0, (1)
c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)
Yani düz çizgi (1) formundaki bir denklemle belirtilebilir.
Problem 1. İki noktanın koordinatları veriliyor. Temsilini ax + by + c = 0 formunda bulun.
Bu derste hesaplamalı geometri hakkında bazı bilgiler öğrendik. İki noktanın koordinatlarından bir doğrunun denklemini bulma problemini çözdük.
Bir sonraki dersimizde denklemlerimizin verdiği iki doğrunun kesişim noktasını bulan bir program oluşturacağız.
Bu yazıda düzlem üzerindeki düz bir çizginin genel denklemini ele alacağız. Bir doğrunun iki noktası biliniyorsa veya bir noktası ve bu doğrunun normal vektörü biliniyorsa, bir doğrunun genel denkleminin oluşturulmasına örnekler verelim. Genel formdaki bir denklemi kanonik ve parametrik formlara dönüştürme yöntemlerini sunalım.
Rastgele bir Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemi verilsin Oksi. Birinci dereceden veya doğrusal bir denklem düşünün:
| Balta+By+C=0, | (1) |
Nerede A, B, C− bazı sabitler ve öğelerden en az biri A Ve B sıfırdan farklı.
Düzlemdeki doğrusal bir denklemin bir doğruyu tanımladığını göstereceğiz. Aşağıdaki teoremi kanıtlayalım.
Teorem 1. Bir düzlem üzerindeki rastgele bir Kartezyen dikdörtgen koordinat sisteminde, her düz çizgi bir doğrusal denklemle belirtilebilir. Tersine, bir düzlem üzerinde rastgele bir Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemindeki her doğrusal denklem (1) bir düz çizgiyi tanımlar.
Kanıt. Doğrunun doğru olduğunu kanıtlamak yeterli L herhangi bir Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemi için doğrusal bir denklemle belirlenir, o zamandan beri herhangi bir Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemi seçimi için doğrusal bir denklemle belirlenecektir.
Düzlemde düz bir çizgi verilsin L. Ekseni öyle bir koordinat sistemi seçelim ki Öküz düz bir çizgiyle çakıştı L ve eksen Oy ona dikti. Daha sonra doğrunun denklemi L aşağıdaki formu alacaktır:
| y=0. | (2) |
Bir doğru üzerindeki tüm noktalar L doğrusal denklem (2)'yi sağlayacak ve bu çizginin dışındaki tüm noktalar denklem (2)'yi karşılamayacaktır. Teoremin ilk kısmı kanıtlandı.
Bir Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemi verilsin ve bir doğrusal denklem (1) verilsin; burada elemanlardan en az biri A Ve B sıfırdan farklı. Koordinatları denklem (1)'i sağlayan noktaların geometrik yerini bulalım. Katsayılardan en az biri olduğundan A Ve B sıfırdan farklıysa denklem (1)'in en az bir çözümü vardır M(X 0 ,sen 0). (Örneğin, ne zaman A≠0, nokta M 0 (−C/A, 0) verilen geometrik noktalara aittir). Bu koordinatları (1)'de değiştirerek özdeşliği elde ederiz.
| Balta 0 +İle 0 +C=0. | (3) |
(1)'den özdeşliği (3) çıkaralım:
| A(X−X 0)+B(sen−sen 0)=0. | (4) |
Açıkçası, denklem (4), denklem (1)'e eşdeğerdir. Bu nedenle (4)'ün belirli bir doğruyu tanımladığını kanıtlamak yeterlidir.
Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemini düşündüğümüz için eşitlik (4)'ten bileşenli vektörün ( x−x 0 , y−y 0 ) vektöre dik N koordinatlarla ( A, B}.
Biraz düz çizgi düşünün L, noktadan geçerek M 0 (X 0 , sen 0) ve vektöre dik N(Şekil 1). Bırakın nokta M(X,y) satırına ait L. Daha sonra koordinatları olan vektör x−x 0 , y−y 0 dikey N ve denklem (4) sağlanır (vektörlerin skaler çarpımı) N ve sıfıra eşittir). Tam tersine, eğer nokta M(X,y) bir çizgi üzerinde uzanmıyor L, ardından koordinatları olan vektör x−x 0 , y−y 0 vektöre dik değil N ve denklem (4) sağlanmadı. Teorem kanıtlandı.
Kanıt. Doğrular (5) ve (6) aynı doğruyu tanımladığından normal vektörler N 1 ={A 1 ,B 1) ve N 2 ={A 2 ,B 2) eşdoğrusal. vektörlerden beri N 1 ≠0, N 2 ≠0, o zaman böyle bir sayı var λ , Ne N 2 =N 1 λ . Buradan elimizde: A 2 =A 1 λ , B 2 =B 1 λ . Hadi bunu kanıtlayalım C 2 =C 1 λ . Açıkçası, çakışan çizgilerin ortak bir noktası var M 0 (X 0 , sen 0). Denklemin (5) çarpılması λ ve denklem (6)'yı bundan çıkararak şunu elde ederiz:
İfadelerden (7) ilk iki eşitlik sağlandığına göre, o zaman C 1 λ −C 2 =0. Onlar. C 2 =C 1 λ . Bu açıklama kanıtlandı.
Denklem (4)'ün noktadan geçen düz çizginin denklemini tanımladığını unutmayın. M 0 (X 0 , sen 0) ve normal bir vektöre sahip N={A, B). Dolayısıyla bir doğrunun normal vektörü ve bu doğruya ait nokta biliniyorsa denklem (4) kullanılarak doğrunun genel denklemi oluşturulabilir.
Örnek 1. Bir noktadan geçen düz bir çizgi M=(4,−1) ve normal bir vektöre sahiptir N=(3, 5). Bir doğrunun genel denklemini oluşturun.
Çözüm. Sahibiz: X 0 =4, sen 0 =−1, A=3, B=5. Düz bir çizginin genel denklemini oluşturmak için bu değerleri denklem (4)'te değiştiririz:
Cevap:
Vektör çizgiye paraleldir L ve dolayısıyla doğrunun normal vektörüne dik L. Normal bir çizgi vektörü oluşturalım L vektörlerin skaler çarpımı dikkate alındığında N ve sıfıra eşittir. Örneğin şunu yazabiliriz: N={1,−3}.
Düz bir çizginin genel denklemini oluşturmak için formül (4)'ü kullanırız. Noktanın koordinatlarını (4)'te yerine koyalım. M 1 (noktanın koordinatlarını da alabiliriz M 2) ve normal vektör N:
Noktaların koordinatlarının değiştirilmesi M 1 ve M(9)'da 2 numaralı denklemde (9) denklemiyle verilen doğrunun bu noktalardan geçmesini sağlayabiliriz.
Cevap:
(10)'u (1)'den çıkarın:
Doğrunun kanonik denklemini elde ettik. Vektör Q={−B, A), (12) çizgisinin yön vektörüdür.
Bakınız ters dönüşüm.
Örnek 3. Düzlem üzerindeki düz bir çizgi aşağıdaki genel denklemle temsil edilir:
İkinci terimi sağa kaydıralım ve denklemin her iki tarafını da 2.5'e bölelim.
Öklid geometrisinde düz bir çizginin özellikleri.
Herhangi bir noktadan geçen sonsuz sayıda düz çizgi çizilebilir.
Çakışmayan herhangi iki noktadan tek bir doğru çizilebilir.
Bir düzlemde birbirinden farklı iki doğru ya tek bir noktada kesişir ya da
paralel (öncekinin devamı).
Üç boyutlu uzayda iki çizginin göreceli konumu için üç seçenek vardır:
- çizgiler kesişiyor;
- çizgiler paraleldir;
- düz çizgiler kesişir.
Dümdüz astar— birinci dereceden cebirsel eğri: Kartezyen koordinat sisteminde düz bir çizgi
düzlemde birinci dereceden bir denklem (doğrusal denklem) ile verilir.
Düz bir çizginin genel denklemi.
Tanım. Düzlemdeki herhangi bir düz çizgi birinci dereceden bir denklemle belirtilebilir
Balta + Wu + C = 0,
ve sabit A, B aynı anda sıfıra eşit değildir. Bu birinci dereceden denklem denir genel
bir doğrunun denklemi. Sabitlerin değerlerine bağlı olarak A, B Ve İLE Aşağıdaki özel durumlar mümkündür:
. C = 0, Bir ≠0, B ≠ 0- orijinden düz bir çizgi geçer
. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- eksene paralel düz çizgi Ah
. B = 0, Bir ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- eksene paralel düz çizgi Ah
. B = C = 0, Bir ≠0- düz çizgi eksenle çakışıyor Ah
. bir = C = 0, B ≠0- düz çizgi eksenle çakışıyor Ah
Düz bir çizginin denklemi verilen herhangi bir duruma bağlı olarak farklı biçimlerde sunulabilir.
başlangıç koşulları.
Bir noktadan ve normal vektörden gelen düz bir çizginin denklemi.
Tanım. Kartezyen dikdörtgen koordinat sisteminde (A, B) bileşenlerine sahip bir vektör
denklemin verdiği çizgiye dik
Balta + Wu + C = 0.
Örnek. Bir noktadan geçen çizginin denklemini bulun bir(1, 2) vektöre dik (3, -1).
Çözüm. A = 3 ve B = -1 ile doğrunun denklemini yazalım: 3x - y + C = 0. C katsayısını bulmak için
Verilen A noktasının koordinatlarını sonuçtaki ifadeye koyalım: 3 - 2 + C = 0, dolayısıyla.
C = -1. Toplam: gerekli denklem: 3x - y - 1 = 0.
İki noktadan geçen doğrunun denklemi.
Uzayda iki nokta verilsin M 1 (x 1, y 1, z 1) Ve M2 (x 2, y 2, z 2), Daha sonra bir çizginin denklemi,
şu noktalardan geçerek:
Paydalardan herhangi biri sıfır ise karşılık gelen pay sıfıra eşitlenmelidir. Açık
düzlemde yukarıda yazılan düz çizginin denklemi basitleştirilmiştir:
Eğer x 1 ≠ x 2 Ve x = x 1, Eğer x 1 = x 2 .
Kesir = k isminde eğim doğrudan.
Örnek. A(1, 2) ve B(3, 4) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulun.
Çözüm. Yukarıda yazılan formülü uygulayarak şunu elde ederiz:
Bir nokta ve eğim kullanılarak düz bir çizginin denklemi.
Bir doğrunun genel denklemi ise Balta + Wu + C = 0şunlara yol açar:
ve atayın , sonra ortaya çıkan denklem denir
eğimi k olan bir doğrunun denklemi.
Bir noktadan ve yön vektöründen gelen düz bir çizginin denklemi.
Normal vektör boyunca düz bir çizginin denklemini dikkate alan noktaya benzetilerek göreve girebilirsiniz.
bir noktadan geçen düz bir çizgi ve bir düz çizginin yönlendirici vektörü.
Tanım. Sıfır olmayan her vektör (a 1, a 2) bileşenleri koşulu karşılayan
Aα 1 + Bα 2 = 0 isminde Bir doğrunun yönlendirici vektörü.
Balta + Wu + C = 0.
Örnek. Yön vektörü (1, -1) olan ve A(1, 2) noktasından geçen düz bir çizginin denklemini bulun.
Çözüm. İstenilen çizginin denklemini formda arayacağız: Ax + By + C = 0. Tanıma göre,
katsayılar aşağıdaki koşulları karşılamalıdır:
1 * A + (-1) * B = 0, yani. A = B.
O halde düz çizginin denklemi şu şekildedir: Ax + Ay + C = 0, veya x + y + C / A = 0.
en x = 1, y = 2 aldık C/A = -3 yani gerekli denklem:
x + y - 3 = 0
Parçalardaki düz bir çizginin denklemi.
Düz çizginin genel denkleminde Ах + Ву + С = 0 С≠0 ise, -С'ye bölerek şunu elde ederiz:
veya nerede
Katsayıların geometrik anlamı, a katsayısının kesişim noktasının koordinatı olmasıdır.
eksenli düz Ah, A B- çizginin eksenle kesişme noktasının koordinatı Ah.
Örnek. Düz bir çizginin genel denklemi verilmiştir x - y + 1 = 0. Bu doğrunun denklemini segmentler halinde bulun.
C = 1, , a = -1, b = 1.
Bir doğrunun normal denklemi.
Denklemin her iki tarafı ise Balta + Wu + C = 0 sayıya böl buna denir
normalleştirme faktörü, sonra elde ederiz
xcosφ + ysinφ - p = 0 -bir doğrunun normal denklemi.
Normalleştirme faktörünün ± işareti şu şekilde seçilmelidir: µ*C< 0.
R- Başlangıç noktasından düz çizgiye bırakılan dikmenin uzunluğu,
A φ - eksenin pozitif yönü ile bu dikin oluşturduğu açı Ah.
Örnek. Doğrunun genel denklemi verilmiştir 12x - 5y - 65 = 0. Farklı türde denklemler yazmak için gereklidir
bu düz çizgi.
Bu doğrunun segmentlerdeki denklemi:
Bu doğrunun eğimle denklemi: (5'e bölün)
Bir çizginin denklemi:
çünkü φ = 12/13; günah φ= -5/13; p = 5.
Her düz çizginin, örneğin düz çizgiler gibi bölümlerdeki bir denklemle temsil edilemeyeceğine dikkat edilmelidir.
eksenlere paralel veya orijinden geçen.
Düzlemdeki düz çizgiler arasındaki açı.
Tanım. İki satır verilirse y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, daha sonra bu çizgiler arasındaki dar açı
olarak tanımlanacak
İki doğru paralel ise k1 =k2. İki çizgi birbirine dik
Eğer k 1 = -1/ k 2 .
Teorem.
Doğrudan Balta + Wu + C = 0 Ve bir 1 x + B 1 y + C 1 = 0 katsayılar orantılı olduğunda paralel
A 1 = λA, B 1 = λB. Ayrıca С 1 = λС, o zaman çizgiler çakışır. İki doğrunun kesiştiği noktanın koordinatları
bu doğruların denklem sisteminin çözümü olarak bulunur.
Belirli bir çizgiye dik olarak belirli bir noktadan geçen çizginin denklemi.
Tanım. Bir noktadan geçen çizgi M 1 (x 1, y 1) ve çizgiye dik y = kx + b
denklemle temsil edilir:
Bir noktadan bir çizgiye olan mesafe.
Teorem. Bir puan verilirse M(x 0, y 0), daha sonra düz çizgiye olan mesafe Balta + Wu + C = 0şu şekilde tanımlanır:
Kanıt. Bırakın nokta M 1 (x 1, y 1)- bir noktadan bırakılan bir dikmenin tabanı M belirli bir süre için
doğrudan. Daha sonra noktalar arasındaki mesafe M Ve M1:
(1)
Koordinatlar x 1 Ve 1'de denklem sisteminin çözümü olarak bulunabilir:
Sistemin ikinci denklemi, belirli bir M 0 noktasından dik olarak geçen düz bir çizginin denklemidir.
düz çizgi verilmiştir. Sistemin ilk denklemini forma dönüştürürsek:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
sonra çözersek şunu elde ederiz:
Bu ifadeleri denklem (1)'de yerine koyarsak şunu buluruz:
Teorem kanıtlandı.
