Negatif tabanlı üstel fonksiyon. Üstel fonksiyon

Ders No.2

Konu: Üstel fonksiyon, özellikleri ve grafiği.

Hedef:“Üstel fonksiyon” kavramına hakim olmanın kalitesini kontrol edin; üstel fonksiyonu tanıma, özelliklerini ve grafiklerini kullanma, öğrencilere üstel fonksiyonu kaydetmenin analitik ve grafiksel formlarını kullanmayı öğretme becerilerini geliştirmek; Sınıfta çalışma ortamı sağlayın.

Teçhizat: pano, posterler

Ders formu: sınıf dersi

Ders türü: uygulamalı ders

Ders türü: beceri ve yetenekleri öğretme dersi

Ders Planı

1. Organizasyon anı

2. Bağımsız çalışma ve ödev kontrolü

3. Sorun çözme

4. Özetleme

5. Ödev

Ders ilerlemesi.

1. Organizasyon anı :

Merhaba. Defterlerinizi açın, bugünün tarihini ve “Üstel Fonksiyon” dersinin konusunu yazın. Bugün üstel fonksiyonu, özelliklerini ve grafiğini incelemeye devam edeceğiz.

2. Bağımsız çalışma ve ödev kontrolü .

Hedef:“Üstel fonksiyon” kavramına hakim olma kalitesini kontrol edin ve ödevin teorik kısmının tamamlandığını kontrol edin

Yöntem: test görevi, ön araştırma

Ev ödevi olarak size problem kitabından sayılar ve ders kitabından bir paragraf verildi. Şimdi ders kitabındaki sayıların uygulamasını kontrol etmeyeceğiz, ancak ders sonunda not defterlerinizi teslim edeceksiniz. Şimdi teori küçük bir test şeklinde test edilecek. Görev herkes için aynıdır: Size bir işlevler listesi verilir, bunlardan hangisinin gösterge niteliğinde olduğunu bulmanız gerekir (altını çizin). Üstel fonksiyonun yanına da artan mı yoksa azalan mı olduğunu yazmanız gerekiyor.

Şimdi hangi fonksiyonun üstel olarak adlandırıldığını hep birlikte hatırlayalım.

ve şeklindeki bir fonksiyona üstel fonksiyon denir.

Bu fonksiyonun kapsamı nedir?

Hepsi gerçek sayılar.

Üstel fonksiyonun aralığı nedir?

Tüm pozitif gerçek sayılar.

Gücün tabanı sıfırdan büyük ancak birden küçükse azalır.

Üstel bir fonksiyon hangi durumda tanım kümesinde azalır?

Gücün tabanı birden büyükse artar.

3. Sorun çözme

Hedef: üstel bir fonksiyonu tanıma, özelliklerini ve grafiklerini kullanma becerilerini geliştirmek, öğrencilere üstel bir fonksiyon yazmanın analitik ve grafiksel biçimlerini kullanmayı öğretmek

Yöntem: Öğretmenin tipik problemleri çözme gösterisi, sözlü çalışma, tahtada çalışma, defterde çalışma, öğretmen ve öğrenciler arasındaki konuşma.

Üstel fonksiyonun özellikleri 2 veya daha fazla sayıyı karşılaştırırken kullanılabilir. Örneğin: No. 000. Değerleri karşılaştırın ve eğer a) ..gif" width = "37" height = "20 src = ">, o zaman bu oldukça karmaşık bir iş: 3 ile 9'un küp kökünü alıp bunları karşılaştırmamız gerekir. Ama arttığını biliyoruz, bu kendi yolunda, argüman arttıkça fonksiyonun değerinin de arttığı anlamına gelir, yani sadece argümanın değerlerini karşılaştırmamız gerekir ve açıktır ki (Artan bir üstel fonksiyonu gösteren bir poster üzerinde gösterilebilir). Ve her zaman, bu tür örnekleri çözerken, önce üstel fonksiyonun tabanını belirlersiniz, onu 1 ile karşılaştırırsınız, monotonluğu belirlersiniz ve argümanları karşılaştırmaya devam edersiniz. Azalan fonksiyon durumunda: argüman arttığında fonksiyonun değeri azalır, bu nedenle argümanların eşitsizliğinden fonksiyonların eşitsizliğine geçerken eşitsizliğin işaretini değiştiririz. Daha sonra sözlü olarak çözüyoruz: b)

-

İÇİNDE)

-

G)

-

- No. 000. Sayıları karşılaştırın: a) ve

Bu nedenle fonksiyon artar, o zaman

Neden ?

Artan fonksiyon ve

Bu nedenle fonksiyon azalıyorsa

Her iki fonksiyon da tanım alanlarının tamamı boyunca artar, çünkü bunlar birden büyük bir güç tabanına sahip üsteldir.

Bunun arkasında yatan anlam nedir?

Grafikler oluşturuyoruz:

Çabalarken hangi işlev daha hızlı artar https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

Çabalarken hangi işlev daha hızlı azalır https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

Aralıkta belirli bir noktada hangi fonksiyon daha büyük değere sahiptir?

D), https://pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif" width = "69" height = "57 src = ">. Öncelikle bu işlevlerin tanım kapsamını bulalım. Bunlar örtüşüyor mu?

Evet, bu fonksiyonların tanım kümesinin tamamı reel sayılardır.

Bu işlevlerin her birinin kapsamını adlandırın.

Bu fonksiyonların aralıkları çakışmaktadır: tüm pozitif gerçek sayılar.

Her fonksiyonun monotonluk tipini belirleyin.

Her üç fonksiyon da tüm tanım alanları boyunca azalır, çünkü bunlar birden küçük ve sıfırdan büyük bir kuvvet tabanıyla üsteldir.

Üstel bir fonksiyonun grafiğinde hangi özel nokta vardır?

Bunun arkasında yatan anlam nedir?

Bir üstel fonksiyonun derecesinin temeli ne olursa olsun, eğer üstel 0 içeriyorsa bu fonksiyonun değeri 1 olur.

Grafikler oluşturuyoruz:

Grafikleri analiz edelim. Fonksiyonların grafiklerinde kaç kesişme noktası vardır?

https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width = "41 height=57" height = "57"> denendiğinde hangi işlev daha hızlı azalır?

Çabalarken hangi işlev daha hızlı artar https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41 height=57" height="57">

Aralıkta belirli bir noktada hangi fonksiyon daha büyük değere sahiptir?

Aralıkta belirli bir noktada hangi fonksiyon daha büyük değere sahiptir?

Farklı tabanlara sahip üstel fonksiyonların neden yalnızca bir kesişme noktası vardır?

Üstel fonksiyonlar tüm tanım alanları boyunca kesinlikle monotondur, dolayısıyla yalnızca bir noktada kesişebilirler.

Bir sonraki görev bu özelliğin kullanımına odaklanacaktır. No. 000. Verilen a) aralığında verilen fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulun. Kesinlikle monotonik bir fonksiyonun minimum ve maksimum değerlerini belirli bir bölümün uçlarında aldığını hatırlayın. Ve eğer fonksiyon artıyorsa, o zaman en büyük değeri parçanın sağ ucunda ve en küçük değeri parçanın sol ucunda olacaktır (üstel fonksiyon örneğini kullanarak posterdeki gösterim). Fonksiyon azalıyorsa, en büyük değeri parçanın sol ucunda ve en küçük değeri parçanın sağ ucunda olacaktır (üstel fonksiyon örneğini kullanarak posterdeki gösterim). İşlev artıyor, çünkü işlevin en küçük değeri https://pandia.ru/text/80/379/images/image075_0.gif" width="145" height="29" noktasında olacaktır. >. Puanlar b) ,V) d) Defterleri kendiniz çözün, sözlü olarak kontrol edeceğiz.

Öğrenciler görevleri defterlerinde çözerler

- No. 000. Verilen aralıkta verilen fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini bulun a) . Bu görev neredeyse bir öncekiyle aynı. Ancak burada verilen şey bir parça değil, bir ışındır. Fonksiyonun arttığını ve tüm sayı doğrusunda ne en büyük ne de en küçük değere sahip olduğunu biliyoruz https://pandia.ru/text/80/379/images/image063_0.gif" width="68" height = "20"> ve at'ye yönelir, yani ışın üzerinde at fonksiyonu 0'a yönelir, ancak minimum değeri yoktur, ancak noktada en büyük değere sahiptir. . Puan b) ,V) , G) Defterleri kendiniz çözün, sözlü olarak kontrol edeceğiz.

Odak:

Tanım. İşlev tür denir üstel fonksiyon .

Yorum. Temel değerlerden hariç tutma A sayılar 0; 1 ve negatif değerler A aşağıdaki durumlarla açıklanmaktadır:

Analitik ifadenin kendisi bir x bu durumlarda anlamını korur ve sorunların çözümünde kullanılabilir. Örneğin, ifade için xy nokta x = 1; sen = 1 kabul edilebilir değerler aralığındadır.

Fonksiyonların grafiklerini oluşturun: ve.

Üstel Fonksiyonun Grafiği
y = A X, a > 1	y = A X , 0< a < 1

Üstel Fonksiyonun Özellikleri

Üstel Fonksiyonun Özellikleri	y = A X, a > 1	y = A X , 0< a < 1
İşlev Etki Alanı
2. Fonksiyon aralığı
3. Birim ile karşılaştırma aralıkları	en X> 0, a X > 1	en X > 0, 0< a X < 1
	en X < 0, 0< a X < 1	en X < 0, a X > 1
4. Çift, tek.	Fonksiyon ne çift ne de tektir (genel formda bir fonksiyon).
5. Monotonluk.	monoton olarak artar R	monoton olarak azalır R
6. Aşırılıklar.	Üstel fonksiyonun ekstremum değeri yoktur.
7. Asimptot	O ekseni X yatay bir asimptottur.
8. Herhangi bir gerçek değer için X Ve sen;

Tablo doldurulduğunda doldurmaya paralel olarak görevler de çözülür.

Görev No. 1. (Bir fonksiyonun tanımının alanını bulmak için).

İşlevler için hangi bağımsız değişken değerleri geçerlidir:

Görev No. 2. (Bir fonksiyonun değer aralığını bulmak için).

Şekilde fonksiyonun grafiği gösterilmektedir. Fonksiyonun tanım alanını ve değer aralığını belirtin:

Görev No. 3. (Biriyle karşılaştırma aralıklarını belirtmek için).

Aşağıdaki güçlerin her birini bir tanesiyle karşılaştırın:

Görev No. 4. (Monotonluk fonksiyonunu incelemek).

Gerçek sayıları boyuta göre karşılaştırın M Ve N Eğer:

Görev No. 5. (Monotonluk fonksiyonunu incelemek).

Temelle ilgili bir sonuç çıkarın A, Eğer:

y(x) = 10x; f(x) = 6x; z(x) - 4x

x > 0, x = 0, x için üstel fonksiyonların grafikleri birbirine göre nasıldır?< 0?

Fonksiyon grafikleri tek koordinat düzleminde oluşturuldu:

y(x) = (0,1) x ; f(x) = (0,5)x; z(x) = (0,8) x .

x > 0, x = 0, x için üstel fonksiyonların grafikleri birbirine göre nasıldır?< 0?

Sayı matematiğin en önemli sabitlerinden biridir. Tanım gereği, dizinin limitine eşit sınırsız artan n . Tanım e girildi Leonard Euler Bu sayının ilk 23 hanesini ondalık gösterimle hesapladı ve sayının kendisi, Napier'in onuruna "Pierre olmayan sayı" olarak adlandırıldı. Tanım Sayı Matematiksel analizde özel bir rol oynar. Üstel fonksiyon Tanım, baz ile üs denir ve belirlenmiş. y = ex İlk işaretler Tanım sayılar hatırlaması kolay:

Ev ödevi:

Kolmogorov paragraf 35; 445-447; 451; 453.

Modül işareti altında bir değişken içeren fonksiyonların grafiklerini oluşturmak için algoritmayı tekrarlayın.

Bilgi hipermarketi >>Matematik >>Matematik 10. sınıf >>

Üstel fonksiyon, özellikleri ve grafiği

2x ifadesini ele alalım ve x değişkeninin çeşitli rasyonel değerleri için değerlerini bulalım, örneğin x = 2 için;

Genel olarak, x değişkenine hangi rasyonel anlamı yüklersek verelim, 2 x ifadesinin karşılık gelen sayısal değerini her zaman hesaplayabiliriz. Böylece üstel hakkında konuşabiliriz işlevler y=2 x, rasyonel sayıların Q kümesinde tanımlanır:

Bu fonksiyonun bazı özelliklerine bakalım.

Mülk 1.- artan fonksiyon. İspatı iki aşamada gerçekleştiriyoruz.
İlk aşama. Eğer r pozitif bir rasyonel sayı ise 2 r >1 olduğunu kanıtlayalım.
İki durum mümkündür: 1) r bir doğal sayıdır, r = n; 2) sıradan indirgenemez kesir,

Son eşitsizliğin sol tarafında ve sağ tarafında 1 var. Bu, son eşitsizliğin şu şekilde yeniden yazılabileceği anlamına gelir:

Yani her durumda 2 r > 1 eşitsizliği geçerlidir ve kanıtlanması gereken de budur.

İkinci aşama. x 1 ve x 2 sayılar olsun ve x 1 ve x 2 olsun< х2. Составим разность 2 х2 -2 х1 и выполним некоторые ее преобразования:

(x 2 - x 1 farkını r harfiyle gösterdik).

r pozitif bir rasyonel sayı olduğundan, ilk aşamada kanıtlanmış olana göre 2 r > 1, yani. 2 r -1 >0. 2x" sayısı da pozitiftir, yani 2 x-1 (2 Г -1) çarpımı da pozitiftir. Böylece şunu kanıtlamış olduk: eşitsizlik 2 Xg -2x" >0.

Yani x 1 eşitsizliğinden< х 2 следует, что 2х" <2 x2 , а это и означает, что функция у -2х - возрастающая.

Mülk 2. aşağıdan sınırlı, yukarıdan sınırlı değildir.
Fonksiyonun aşağıdan sınırlılığı, fonksiyonun tanım bölgesinden herhangi bir x değeri için geçerli olan 2 x >0 eşitsizliğinden kaynaklanır. Aynı zamanda, hangi pozitif M sayısını alırsanız alın, fonksiyonun yukarıdan sınırsızlığını karakterize eden 2 x >M eşitsizliğinin karşılanacağı şekilde her zaman bir x üssü seçebilirsiniz. Bir takım örnekler verelim.

Mülk 3. ne en küçük ne de en büyük değeri vardır.

Bu fonksiyonun çok önemli olmadığı açıktır, çünkü az önce gördüğümüz gibi yukarıdan sınırlandırılmamıştır. Ama aşağıdan sınırlı, neden minimum bir değeri yok?

2 r'nin fonksiyonun en küçük değeri olduğunu varsayalım (r bir rasyonel göstergedir). Bir rasyonel sayı olan q'yu alalım<г. Тогда в силу возрастания функции у=2 х будем иметь 2 x <2г. А это значит, что 2 r не может служить наименьшим значением функции.

Bütün bunlar iyi, diyorsunuz ama neden y-2 x fonksiyonunu yalnızca rasyonel sayılar kümesinde ele alıyoruz, neden onu tüm sayı doğrusundaki veya sayı doğrusundaki herhangi bir sürekli aralıktaki bilinen diğer işlevler gibi düşünmüyoruz? sayı doğrusu? Bizi durduran ne? Durumu düşünelim.

Sayı doğrusu sadece rasyonel değil aynı zamanda irrasyonel sayıları da içerir. Daha önce çalışılan işlevler için bu bizi rahatsız etmedi. Örneğin, x'in hem rasyonel hem de irrasyonel değerleri için y = x2 fonksiyonunun değerlerini eşit derecede kolay bulduk: verilen x değerinin karesini almak yeterliydi.

Ancak y=2 x fonksiyonuyla durum daha karmaşıktır. Eğer x argümanına rasyonel bir anlam verilirse, o zaman prensipte x hesaplanabilir (tekrar paragrafın başına, tam olarak bunu yaptığımız yere dönün). Ya x argümanına irrasyonel bir anlam verilirse? Örneğin nasıl hesaplanır? Bunu henüz bilmiyoruz.
Matematikçiler bir çıkış yolu bulmuşlar; böyle mantık yürüttüler.

biliniyor ki Rasyonel sayıların sırasını düşünün - bir sayının dezavantajlı ondalık yaklaşımları:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;... .

1,732 = 1,7320 ve 1,732050 = 1,73205 olduğu açıktır. Bu tür tekrarlardan kaçınmak için dizinin 0 sayısıyla biten üyelerini atıyoruz.

Sonra artan bir dizi elde ederiz:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... .

Buna göre sıra artar

Bu dizinin tüm terimleri 22'den küçük pozitif sayılardır; bu sıra sınırlıdır. Weierstrass teoremine göre (bkz. § 30), eğer bir dizi artan ve sınırlıysa, o zaman yakınsar. Ek olarak, § 30'dan biliyoruz ki, eğer bir dizi yakınsarsa, bunu yalnızca bir limite kadar yapar. Bu tek limitin sayısal bir ifadenin değeri olarak kabul edilmesi gerektiği konusunda fikir birliğine varıldı. Ve 2 sayısal ifadesinin yaklaşık değerini bile bulmanın çok zor olması önemli değil; bunun belirli bir sayı olması önemlidir (sonuçta, örneğin bunun rasyonel bir denklemin kökü olduğunu söylemekten korkmadık, Bu sayıların tam olarak ne olduğunu gerçekten düşünmeden trigonometrik bir denklemin kökü:
Böylece matematikçilerin 2^ sembolüne ne anlam yüklediklerini bulduk. Benzer şekilde, a'nın ne olduğunu ve genel olarak ne olduğunu, a'nın irrasyonel bir sayı ve a > 1 olduğunu belirleyebilirsiniz.
Peki ya 0 ise<а <1? Как вычислить, например, ? Самым естественным способом: считать, что свести вычисления к случаю, когда основание степени больше 1.
Artık sadece keyfi rasyonel üslere sahip kuvvetlerden değil, aynı zamanda keyfi gerçek üslere sahip kuvvetlerden de bahsedebiliriz. Herhangi bir gerçek üslü derecelerin, derecelerin tüm olağan özelliklerine sahip olduğu kanıtlanmıştır: aynı tabanlarla üsler çarpıldığında, üsler toplanır, bölündüğünde çıkarılır, bir dereceyi bir kuvvete yükseltirken çarpılırlar, vb. Ama en önemlisi artık tüm gerçel sayılar kümesinde tanımlanan y-ekseni fonksiyonundan bahsedebiliriz.
y = 2 x fonksiyonuna dönelim ve grafiğini oluşturalım. Bunu yapmak için y=2x fonksiyon değerleri tablosu oluşturalım:

Koordinat düzleminde noktaları işaretleyelim (Şek. 194), onlar belli bir çizgiyi işaretler, çizelim (Şek. 195).

y - 2 x fonksiyonunun özellikleri:
1)
2) ne çift ne de tektir; 248
3) artışlar;

5) ne en büyük ne de en küçük değerlere sahiptir;
6) sürekli;
7)
8) aşağı doğru dışbükey.

Y-2 x fonksiyonunun listelenen özelliklerinin kesin kanıtları yüksek matematik dersinde verilmektedir. Bu özelliklerin bazılarını daha önce bir dereceye kadar tartıştık, bazıları oluşturulan grafikte açıkça gösterilmiştir (bkz. Şekil 195). Örneğin, bir fonksiyonun eşlik veya tuhaflığının olmaması, grafiğin sırasıyla y eksenine veya orijine göre simetri eksikliğiyle geometrik olarak ilişkilidir.

a > 1 olmak üzere y = a x formundaki herhangi bir fonksiyon benzer özelliklere sahiptir. Şek. 196 adet tek koordinat sistemi oluşturulmuş olup, y=2 x, y=3 x, y=5 x fonksiyonlarının grafikleri oluşturulmuştur.

Şimdi fonksiyonu ele alalım ve onun için bir değerler tablosu oluşturalım:

Koordinat düzlemindeki noktaları işaretleyelim (Şek. 197), onlar belli bir çizgiyi işaretler, çizelim (Şek. 198).

Fonksiyon Özellikleri

1)
2) ne çift ne de tektir;
3) azalır;
4) yukarıdan sınırlı değil, aşağıdan sınırlı;
5) ne en büyük ne de en küçük değer vardır;
6) sürekli;
7)
8) aşağı doğru dışbükey.
y = a x formundaki herhangi bir fonksiyon benzer özelliklere sahiptir; burada O<а <1. На рис. 200 в одной системе координат построены графики функций
Lütfen dikkat: fonksiyon grafikleri onlar. y=2 x, y eksenine göre simetriktir (Şekil 201). Bu, genel ifadenin bir sonucudur (bkz. § 13): y = f(x) ve y = f(-x) fonksiyonlarının grafikleri y eksenine göre simetriktir. Benzer şekilde y = 3 x ve fonksiyonlarının grafikleri

Söylenenleri özetlemek için üstel fonksiyonun tanımını vereceğiz ve onun en önemli özelliklerini vurgulayacağız.

Tanım. Formun bir fonksiyonuna üstel fonksiyon denir.
Üstel fonksiyonun temel özellikleri y = a x

a>1 için y=ax fonksiyonunun grafiği Şekil 2'de gösterilmektedir. 201 ve 0 için<а < 1 - на рис. 202.

Şekil 2'de gösterilen eğri. 201 veya 202'ye üs denir. Aslında matematikçiler üstel fonksiyonun kendisine genellikle y = a x adını verirler. Dolayısıyla "üs" terimi iki anlamda kullanılır: hem üstel fonksiyonu adlandırmak için hem de üstel fonksiyonun grafiğini adlandırmak için. Genellikle üstel bir fonksiyondan mı yoksa grafiğinden mi bahsettiğimizin anlamı açıktır.

Üstel fonksiyon y=ax'in grafiğinin geometrik özelliğine dikkat edin: x ekseni grafiğin yatay asimptotudur. Doğru, bu ifade genellikle şu şekilde açıklığa kavuşturulur.
X ekseni, fonksiyonun grafiğinin yatay asimptotudur

Başka bir deyişle

İlk önemli not. Okul çocukları sıklıkla terimleri karıştırır: güç fonksiyonu, üstel fonksiyon. Karşılaştırmak:

Bunlar güç fonksiyonlarının örnekleridir;

Bunlar üstel fonksiyon örnekleridir.

Genel olarak, r'nin belirli bir sayı olduğu y = x r, bir kuvvet fonksiyonudur (x argümanı derecenin tabanında yer alır);
y = a", burada a belirli bir sayıdır (pozitif ve 1'den farklı), üstel bir fonksiyondur (x argümanı üste dahildir).

Y = x" gibi "egzotik" bir fonksiyon ne üstel ne de güç olarak kabul edilir (bazen üstel güç olarak da adlandırılır).

İkinci önemli not. Genellikle a tabanı = 1 olan veya a eşitsizliğini sağlayan a tabanına sahip bir üstel fonksiyon dikkate alınmaz.<0 (вы, конечно, помните, что выше, в определении показательной функции, оговорены условия: а >0 ve a Gerçek şu ki, eğer a = 1 ise, o zaman herhangi bir x değeri için Ix = 1 eşitliği sağlanır. Dolayısıyla, a = 1 ile üstel fonksiyon y = a" sabit bir y = 1 fonksiyonuna "yozlaşır" - bu a = 0 ise, x'in herhangi bir pozitif değeri için 0x = 0 olur, yani x > 0 için tanımlanan y = 0 fonksiyonunu elde ederiz - bu da ilgi çekici değildir. Eğer, son olarak, a.<0, то выражение а" имеет смысл лишь при целых значениях х, а мы все-таки предпочитаем рассматривать функции, определенные на сплошных промежутках.

Örneklerin çözümüne geçmeden önce üstel fonksiyonun şu ana kadar incelediğiniz tüm fonksiyonlardan önemli ölçüde farklı olduğunu unutmayın. Yeni bir nesneyi iyice incelemek için onu farklı açılardan, farklı durumlarda düşünmeniz gerekir, bu nedenle birçok örnek olacaktır.
Örnek 1.

Çözüm, a) Bir koordinat sisteminde y = 2 x ve y = 1 fonksiyonlarının grafiklerini oluşturduğumuzda, bunların bir ortak noktaya (0; 1) sahip olduklarını fark ederiz (Şekil 203). Bu, 2x = 1 denkleminin tek bir x =0 köküne sahip olduğu anlamına gelir.

Yani 2x = 2° denkleminden x = 0 elde ederiz.

b) Bir koordinat sisteminde y = 2 x ve y = 4 fonksiyonlarının grafiklerini oluşturduğumuzda, bunların bir ortak noktaya (2; 4) sahip olduklarını fark ederiz (Şekil 203). Bu, 2x = 4 denkleminin tek bir x = 2 köküne sahip olduğu anlamına gelir.

Yani 2 x = 2 2 denkleminden x = 2 elde ederiz.

c) ve d) Aynı değerlendirmelere dayanarak, 2 x = 8 denkleminin tek bir köke sahip olduğu ve bunu bulmak için karşılık gelen fonksiyonların grafiklerinin oluşturulmasına gerek olmadığı sonucuna varıyoruz;

2 3 = 8 olduğundan x = 3 olduğu açıktır. Benzer şekilde denklemin tek kökünü buluyoruz

Yani 2x = 2 3 denkleminden x = 3, 2 x = 2 x denkleminden ise x = -4 elde ettik.
e) y = 2 x fonksiyonunun grafiği, x >0 için y = 1 fonksiyonunun grafiğinin üzerinde yer alır - bu, Şekil 2'de açıkça okunabilir. 203. Bu, 2x > 1 eşitsizliğinin çözümünün aralık olduğu anlamına gelir
f) y = 2 x fonksiyonunun grafiği, y = 4 fonksiyonunun x noktasındaki grafiğinin altında yer alır.<2 - это хорошо читается по рис. 203. Значит, решением неравенства 2х <4служит промежуток
Örnek 1'i çözerken yapılan tüm sonuçların temelinin, y = 2 x fonksiyonunun monotonluk (artış) özelliği olduğunu muhtemelen fark etmişsinizdir. Benzer akıl yürütme aşağıdaki iki teoremin geçerliliğini doğrulamamızı sağlar.

Çözüm.Şu şekilde ilerleyebilirsiniz: y-3 x fonksiyonunun bir grafiğini oluşturun, ardından onu x ekseninden 3 kat kadar uzatın ve ardından elde edilen grafiği 2 ölçek birim yukarı yükseltin. Ancak 3- 3* = 3 * + 1 gerçeğini kullanmak ve dolayısıyla y = 3 x * 1 + 2 fonksiyonunun bir grafiğini oluşturmak daha uygundur.

Bu gibi durumlarda birçok kez yaptığımız gibi, başlangıç ​​noktası (-1; 2) olan yardımcı koordinat sistemine geçelim - Şekil 2'deki noktalı çizgiler x = - 1 ve 1x = 2. 207. y=3* fonksiyonunu yeni koordinat sistemine bağlayalım. Bunu yapmak için fonksiyona yönelik kontrol noktalarını seçin , ancak bunları eski değil, yeni koordinat sisteminde oluşturacağız (bu noktalar Şekil 207'de işaretlenmiştir). Daha sonra noktalardan bir üs oluşturacağız - bu gerekli grafik olacaktır (bkz. Şekil 207).
Belirli bir fonksiyonun [-2, 2] segmentindeki en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için, verilen fonksiyonun artıyor olmasından yararlanırız ve bu nedenle sırasıyla en küçük ve en büyük değerlerini alırız. Segmentin sol ve sağ uçları.
Bu yüzden:

Örnek 4. Denklem ve eşitsizlikleri çözün:

Çözüm, a) y=5* ve y=6-x fonksiyonlarının grafiklerini tek koordinat sisteminde oluşturalım (Şekil 208). Bir noktada kesişiyorlar; çizime bakılırsa bu nokta (1; 5). Kontrol, aslında (1; 5) noktasının hem y = 5* denklemini hem de y = 6-x denklemini karşıladığını göstermektedir. Bu noktanın apsisi verilen denklemin tek kökü görevi görür.

Yani 5 x = 6 - x denkleminin tek kökü x = 1'dir.

b) ve c) y-5x üssü y=6-x düz çizgisinin üzerinde yer alır, eğer x>1 ise, bu Şekil 2'de açıkça görülmektedir. 208. Bu, 5*>6 eşitsizliğinin çözümünün şu şekilde yazılabileceği anlamına gelir: x>1. Ve 5x eşitsizliğinin çözümü<6 - х можно записать так: х < 1.
Cevap: a)x = 1; b)x>1; c)x<1.

Örnek 5. Bir fonksiyon verildiğinde Bunu kanıtla
Çözüm. Elimizdeki şarta göre.

Öncelikle üstel fonksiyonun tanımını verelim.

Üstel fonksiyon $f\left(x\right)=a^x$, burada $a >1$.

$a >1$ için üstel fonksiyonun özelliklerini tanıtalım.

\ \[kök yok\] \

Koordinat eksenleriyle kesişim. Fonksiyon $Ox$ eksenini kesmez ancak $Oy$ eksenini $(0,1)$ noktasında keser.

$f""\left(x\right)=(\left(a^xlna\right))"=a^x(ln)^2a$

\ \[kök yok\] \

Grafik (Şekil 1).

Şekil 1. $f\left(x\right)=a^x,\ fonksiyonunun\ a >1$ için grafiği.

Üstel fonksiyon $f\left(x\right)=a^x$, burada $0

Üstel fonksiyonun özelliklerini $0 olarak tanıtalım

Tanım alanı tüm gerçek sayılardır.

$f\left(-x\right)=a^(-x)=\frac(1)(a^x)$ -- fonksiyon ne çift ne de tektir.

$f(x)$ tüm tanım alanı boyunca süreklidir.

Değer aralığı $(0,+\infty)$ aralığıdır.

$f"(x)=\left(a^x\right)"=a^xlna$

\ \[kök yok\] \ \[kök yok\] \

Fonksiyon, tanımın tüm alanı boyunca dışbükeydir.

Etki alanının uçlarındaki davranış:

\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ ) =0\]

Grafik (Şekil 2).

Üstel bir fonksiyon oluşturmaya yönelik bir problem örneği

$y=2^x+3$ fonksiyonunu keşfedin ve grafiğini çizin.

Çözüm.

Yukarıdaki örnek diyagramı kullanarak bir çalışma yapalım:

Tanım alanı tüm gerçek sayılardır.

$f\left(-x\right)=2^(-x)+3$ -- fonksiyon ne çift ne de tektir.

$f(x)$ tüm tanım alanı boyunca süreklidir.

Değer aralığı $(3,+\infty)$ aralığıdır.

$f"\left(x\right)=(\left(2^x+3\right))"=2^xln2>0$

Fonksiyon, tanımın tüm alanı boyunca artar.

Tanımın tüm alanı boyunca $f(x)\ge 0$.

Koordinat eksenleriyle kesişim. Fonksiyon $Ox$ eksenini kesmez ancak $Oy$ eksenini ($0,4)$ noktasında keser.

$f""\left(x\right)=(\left(2^xln2\right))"=2^x(ln)^22>0$

Fonksiyon, tanımın tüm alanı boyunca dışbükeydir.

Etki alanının uçlarındaki davranış:

\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=0\] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ )=+ \infty\]

Grafik (Şekil 3).

Şekil 3. $f\left(x\right)=2^x+3$ fonksiyonunun grafiği

Matematik problemlerinin çoğunu öyle ya da böyle çözmek, sayısal, cebirsel ya da fonksiyonel ifadelerin dönüştürülmesini içerir. Yukarıdakiler özellikle karar için geçerlidir. Birleşik Devlet Sınavının matematikteki versiyonlarında, bu tür problemler özellikle C3 görevini içerir. C3 görevlerini çözmeyi öğrenmek, yalnızca Birleşik Devlet Sınavını başarıyla geçmek amacıyla değil, aynı zamanda bu becerinin lisede bir matematik dersi çalışırken faydalı olacağı için de önemlidir.

C3 görevlerini tamamlarken çeşitli denklem ve eşitsizlik türlerini çözmeniz gerekir. Bunlar arasında rasyonel, irrasyonel, üstel, logaritmik, trigonometrik, modüller (mutlak değerler) içeren ve birleştirilmiş olanlar bulunmaktadır. Bu makale, üstel denklemlerin ve eşitsizliklerin ana türlerinin yanı sıra bunları çözmek için çeşitli yöntemleri tartışmaktadır. Matematikte Birleşik Devlet Sınavından C3 problemlerini çözme yöntemlerine ayrılmış makalelerin “” bölümünde diğer denklem ve eşitsizlik türlerinin çözümü hakkında bilgi edinin.

Spesifik analize başlamadan önce üstel denklemler ve eşitsizlikler Bir matematik öğretmeni olarak ihtiyaç duyacağımız bazı teorik materyalleri tazelemenizi öneririm.

Üstel fonksiyon

Üstel fonksiyon nedir?

Formun işlevi sen = bir x, Nerede A> 0 ve A≠ 1 denir üstel fonksiyon.

Temel üstel fonksiyonun özellikleri sen = bir x:

Üstel Fonksiyonun Grafiği

Üstel fonksiyonun grafiği üs:

Üstel fonksiyonların grafikleri (üslü sayılar)

Üstel denklemleri çözme

Gösterge niteliğinde bilinmeyen değişkenin yalnızca bazı kuvvetlerin üslerinde bulunduğu denklemlere denir.

Çözmek için üstel denklemler aşağıdaki basit teoremi bilmeniz ve kullanabilmeniz gerekir:

Teorem 1.Üstel denklem A F(X) = A G(X) (Nerede A > 0, A≠ 1) denkleme eşdeğerdir F(X) = G(X).

Ayrıca temel formülleri ve dereceli işlemleri de hatırlamakta fayda var:

Title="QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur">!}

Örnek 1. Denklemi çözün:

Çözüm: Yukarıdaki formülleri ve ikameleri kullanıyoruz:

Denklem şu hale gelir:

Ortaya çıkan ikinci dereceden denklemin diskriminantı pozitiftir:

Title="QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur">!}

Bu, bu denklemin iki kökü olduğu anlamına gelir. Onları buluyoruz:

Ters ikameye devam edersek şunu elde ederiz:

İkinci denklemin kökleri yoktur, çünkü üstel fonksiyon tüm tanım alanı boyunca kesinlikle pozitiftir. İkincisini çözelim:

Teorem 1'de söylenenleri dikkate alarak eşdeğer denkleme geçiyoruz: X= 3. Bu görevin cevabı olacak.

Cevap: X = 3.

Örnek 2. Denklemi çözün:

Çözüm: Denklemin izin verilen değerlerin aralığı üzerinde herhangi bir kısıtlaması yoktur, çünkü radikal ifade herhangi bir değer için anlamlıdır X(üstel fonksiyon sen = 9 4 -X pozitif ve sıfıra eşit değil).

Denklemi çarpma ve kuvvetler bölümü kurallarını kullanarak eşdeğer dönüşümlerle çözüyoruz:

Son geçiş Teorem 1'e uygun olarak gerçekleştirildi.

Cevap:X= 6.

Örnek 3. Denklemi çözün:

Çözüm: Orijinal denklemin her iki tarafı da 0,2'ye bölünebilir X. Bu ifade herhangi bir değer için sıfırdan büyük olduğundan bu geçiş eşdeğer olacaktır. X(üstel fonksiyon, tanım alanında kesinlikle pozitiftir). O halde denklem şu şekli alır:

Cevap: X = 0.

Örnek 4. Denklemi çözün:

Çözüm: Makalenin başında verilen kuvvetlerin bölme ve çarpma kurallarını kullanarak eşdeğer dönüşümler yoluyla denklemi temel bir denklemle basitleştiriyoruz:

Denklemin her iki tarafının da 4'e bölünmesi Xönceki örnekte olduğu gibi eşdeğer bir dönüşümdür çünkü bu ifade hiçbir değer için sıfıra eşit değildir X.

Cevap: X = 0.

Örnek 5. Denklemi çözün:

Çözüm: işlev sen = 3X Denklemin sol tarafında duran , artıyor. İşlev sen = —X Denklemin sağ tarafındaki -2/3 azalıyor. Bu, eğer bu fonksiyonların grafikleri kesişiyorsa en fazla bir noktada olduğu anlamına gelir. Bu durumda grafiklerin bir noktada kesiştiğini tahmin etmek kolaydır. X= -1. Başka kök olmayacak.

Cevap: X = -1.

Örnek 6. Denklemi çözün:

Çözüm:Üstel fonksiyonun herhangi bir değer için kesinlikle sıfırdan büyük olduğunu her yerde akılda tutarak denklemi eşdeğer dönüşümler yoluyla basitleştiririz. X ve makalenin başında verilen güçlerin çarpımını ve bölümünü hesaplamak için kuralları kullanmak:

Cevap: X = 2.

Üstel eşitsizlikleri çözme

Gösterge niteliğinde bilinmeyen değişkenin yalnızca bazı kuvvetlerin üslerinde yer aldığı eşitsizliklere denir.

Çözmek için üstel eşitsizlikler Aşağıdaki teoremin bilinmesi gereklidir:

Teorem 2. Eğer A> 1 ise eşitsizlik A F(X) > A G(X) aynı anlama gelen bir eşitsizliğe eşdeğerdir: F(X) > G(X). 0 ise< A < 1, то показательное неравенство A F(X) > A G(X) zıt anlamı olan bir eşitsizliğe eşdeğerdir: F(X) < G(X).

Örnek 7. Eşitsizliği çözün:

Çözüm: Orijinal eşitsizliği şu şekilde sunalım:

Bu eşitsizliğin her iki tarafını da 3 2'ye bölelim X, bu durumda (fonksiyonun pozitifliği nedeniyle) sen= 3 2X) eşitsizlik işareti değişmeyecek:

Değiştirmeyi kullanalım:

O zaman eşitsizlik şu şekli alacaktır:

Dolayısıyla eşitsizliğin çözümü aralıktır:

Ters ikameye geçtiğimizde şunu elde ederiz:

Üstel fonksiyonun pozitifliği nedeniyle sol eşitsizlik otomatik olarak karşılanır. Logaritmanın iyi bilinen özelliğini kullanarak eşdeğer eşitsizliğe geçiyoruz:

Derecenin tabanı birden büyük bir sayı olduğundan eşdeğer (Teorem 2'ye göre) aşağıdaki eşitsizliğe geçiştir:

Yani sonunda elde ettik cevap:

Örnek 8. Eşitsizliği çözün:

Çözüm:Çarpma ve kuvvetler ayrılığının özelliklerini kullanarak eşitsizliği şu şekilde yeniden yazıyoruz:

Yeni bir değişken tanıtalım:

Bu ikame dikkate alındığında eşitsizlik şu şekli alır:

Kesrin payını ve paydasını 7 ile çarparak aşağıdaki eşdeğer eşitsizliği elde ederiz:

Yani değişkenin aşağıdaki değerleri eşitsizliği karşılar T:

Daha sonra ters ikameye geçerek şunu elde ederiz:

Buradaki derecenin tabanı birden büyük olduğundan eşitsizliğe geçiş eşdeğer olacaktır (Teorem 2'ye göre):

Sonunda elde ettik cevap:

Örnek 9. Eşitsizliği çözün:

Çözüm:

Eşitsizliğin her iki tarafını da şu ifadeyle bölüyoruz:

Her zaman sıfırdan büyüktür (üstel fonksiyonun pozitifliği nedeniyle), dolayısıyla eşitsizlik işaretinin değiştirilmesine gerek yoktur. Şunu elde ederiz:

t aralıkta bulunur:

Ters ikameye geçildiğinde, orijinal eşitsizliğin iki duruma bölündüğünü görüyoruz:

Üstel fonksiyonun pozitifliği nedeniyle birinci eşitsizliğin çözümü yoktur. İkincisini çözelim:

Örnek 10. Eşitsizliği çözün:

Çözüm:

Parabol dalları sen = 2X+2-X 2 aşağıya doğru yönlendirilir, bu nedenle tepe noktasında ulaştığı değerle yukarıdan sınırlıdır:

Parabol dalları sen = X 2 -2X Göstergedeki +2 yukarıya doğru yönlendirilir, yani tepe noktasında ulaştığı değerle aşağıdan sınırlanır:

Aynı zamanda fonksiyonun alttan sınırlı olduğu da ortaya çıkıyor sen = 3 X 2 -2X+2 denklemin sağ tarafındadır. Üssündeki parabol ile aynı noktada en küçük değerine ulaşır ve bu değer 3 1 = 3'tür. Yani orijinal eşitsizlik ancak soldaki fonksiyon ile sağdaki fonksiyonun aynı değeri alması durumunda doğru olabilir. 3'e eşit (bu fonksiyonların değer aralıklarının kesişimi yalnızca bu sayıdır). Bu koşul tek bir noktada sağlanır X = 1.

Cevap: X= 1.

Karar vermeyi öğrenmek için üstel denklemler ve eşitsizlikler, bunları çözmek için sürekli eğitim almak gerekir. Çeşitli öğretim yardımcıları, ilköğretim matematik problem kitapları, rekabet problemleri koleksiyonları, okuldaki matematik dersleri ve profesyonel bir öğretmenden alınan bireysel dersler bu zor görevde size yardımcı olabilir. Sınava hazırlıklarınızda başarılar ve mükemmel sonuçlar diliyorum.

Sergey Valerievich

Değerli konuklar! Lütfen yorumlara denklemlerinizi çözmek için istekler yazmayın. Maalesef bunun için kesinlikle zamanım yok. Bu tür mesajlar silinecektir. Lütfen makaleyi okuyun. Belki de içinde görevinizi kendi başınıza çözmenize izin vermeyen soruların yanıtlarını bulacaksınız.