2 kenarını kullanarak bir üçgen oluşturma. Video eğitimi “Üç eleman kullanarak üçgen oluşturma

“Üç eleman kullanarak üçgen oluşturma” konulu bir video eğitimini dikkatinize sunuyoruz. İnşaat problemleri sınıfından çeşitli örnekleri çözebileceksiniz. Öğretmen üç öğeyi kullanarak bir üçgen oluşturma problemini ayrıntılı olarak analiz edecek ve ayrıca üçgenlerin eşitliği teoremini hatırlayacaktır.

Bu konunun geniş pratik uygulaması vardır, bu nedenle bazı problem çözme türlerini ele alacağız. Herhangi bir inşaatın yalnızca pusula ve cetvel yardımıyla yapıldığını hatırlatalım.

Örnek 1:

İki kenarı ve aralarındaki açıyı kullanarak bir üçgen oluşturun.

Verilen: Analiz edilen üçgenin şöyle göründüğünü varsayalım.

Pirinç. 1.1. Analiz edilen üçgen örneği 1

Verilen doğru parçaları c ve a olsun ve verilen açı da

Pirinç. 1.2. Örnek 1 için verilen elemanlar

Yapı:

İlk önce köşe 1'i bir kenara bırakmalısınız

Pirinç. 1.3. Ertelenmiş açı 1 örneğin 1

Daha sonra belirli bir açının kenarlarına pergelle verilen iki kenarı çizeriz: pergelle kenarın uzunluğunu ölçeriz A ve pusulanın ucunu 1. açının tepe noktasına yerleştirip diğer kısmıyla 1. açının kenarına bir çentik açıyoruz. Yan tarafta da benzer bir işlem yapıyoruz. İle

Pirinç. 1.4. Yanları bir kenara koyun A Ve İleörneğin 1

Sonra ortaya çıkan çentikleri birleştiriyoruz ve istenen ABC üçgenini elde ediyoruz

Pirinç. 1.5. ABC üçgeni oluşturuldu, örneğin 1

Bu üçgen beklenen üçgene eşit olacak mı? Olacaktır, çünkü ortaya çıkan üçgenin elemanları (iki kenar ve aralarındaki açı), koşulda verilen iki kenara ve aralarındaki açıya sırasıyla eşittir. Bu nedenle, üçgenlerin eşitliğinin ilk özelliğine göre - - istenen.

İnşaat tamamlandı.

Not:

Belirli bir açıya eşit bir açının nasıl çizileceğini hatırlayalım.

Örnek 2

Belirli bir ışından belirli bir açıya eşit bir açı çıkarın. A açısı ve OM ışını verilmiştir. İnşa etmek.

Yapı:

Pirinç. 2.1. Örnek 2 için durum

1. Okr(A, r = AB) çemberini oluşturun. B ve C noktaları A açısının kenarlarıyla kesişme noktalarıdır

Pirinç. 2.2. Örnek 2'nin çözümü

1. Okr(D, r = CB) çemberini oluşturun. E ve M noktaları A açısının kenarlarıyla kesişme noktalarıdır

Pirinç. 2.3. Örnek 2'nin çözümü

1. MOE açısı istenilen açıdır, çünkü .

İnşaat tamamlandı.

Örnek 3

Bilinen bir kenarı ve iki komşu açıyı kullanarak ABC üçgenini oluşturun.

Analiz edilen üçgenin şöyle görünmesine izin verin:

Pirinç. 3.1. Örnek 3 için durum

Daha sonra verilen bölümler şöyle görünür

Pirinç. 3.2. Örnek 3 için durum

Yapı:

Açıyı düzlem üzerinde çizelim

Pirinç. 3.3. Örnek 3'ün çözümü

Belirli bir açının kenarına kenarın uzunluğunu çizeriz A

Pirinç. 3.4. Örnek 3'ün çözümü

Daha sonra tepe noktasından C açısını bir kenara koyuyoruz. γ ve α açılarının ortak olmayan kenarları A noktasında kesişir

Pirinç. 3.5. Örnek 3'ün çözümü

Oluşturulan üçgen istenilen üçgen mi? Oluşturulan üçgenin yan ve komşu iki açısı sırasıyla koşulda verilen kenara ve aralarındaki açıya eşit olduğundan

Üçgenlerin eşitliği için ikinci kritere göre arandı

İnşaat tamamlandı

Örnek 4

2 ayak üzerinde bir üçgen oluşturun

Analiz edilen üçgenin şöyle görünmesine izin verin

Pirinç. 4.1. Örnek 4 için durum

Bilinen unsurlar - bacaklar

Pirinç. 4.2. Örnek 4 için durum

Bu görev, kenarlar arasındaki açının varsayılan olarak belirlenebilmesi açısından öncekilerden farklıdır - 90 0

Yapı:

90 0'a eşit bir açıyı bir kenara bırakalım. Bunu tam olarak örnek 2'de gösterildiği gibi yapacağız.

Pirinç. 4.3. Örnek 4'ün çözümü

Daha sonra bu açının kenarlarına kenarların uzunluklarını çizeriz. A Ve B koşuluyla verilen

Pirinç. 4.4. Örnek 4'ün çözümü

Sonuç olarak ortaya çıkan üçgen istenen üçgendir, çünkü iki kenarı ve aralarındaki açı sırasıyla iki kenara ve aralarındaki koşulda verilen açıya eşittir.

İki dik çizgi oluşturarak 90°'lik bir açıyı ayırabileceğinizi unutmayın. Ek bir örnekte bu görevin nasıl gerçekleştirileceğine bakalım.

Ek örnek

A noktasından geçen p doğrusuna dik olan noktayı düzeltin,

P doğrusu ve bu doğru üzerinde yer alan A noktası

Pirinç. 5.1. Ek örnek için koşul

Yapı:

Öncelikle merkezi A noktasında olan isteğe bağlı yarıçaplı bir daire çizelim.

Pirinç. 5.2. Ek örneğin çözümü

Bu daire bir çizgiyle kesişiyor R K ve E noktalarında. Daha sonra Okr(K, R = KE), Okr(E, R = KE) olmak üzere iki daire oluşturuyoruz. Bu daireler C ve B noktalarında kesişir. NE doğru parçası gerekli olanıdır,

Pirinç. 5.3. Ek örneğe cevap

Dijital eğitim kaynaklarının birleşik koleksiyonu ().
Matematik öğretmeni ().

285, 288. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I., editör Tikhonov A.N. Geometri notları 7-9. M.: Aydınlanma. 2010
Bir kenar ve tabanın karşısındaki açıyı kullanarak bir ikizkenar üçgen oluşturun.
Hipotenüs ve dar açıyı kullanarak bir dik üçgen oluşturun
Verilen açının tepe noktasından çizilen açıyı, yüksekliği ve açıortayı kullanarak bir üçgen oluşturun.

Paragraf 188'de kanıtlanan üçgenlerin eşitliğine ilişkin üç teorem, bir üçgenin, üç kenarı, iki kenarı ve bunların arasında kalan açı, bir kenar ve ona bitişik iki açı (veya hatta herhangi bir türden iki açı) olması durumunda tamamen tanımlandığını gösterir. ) verilir.

Kenarların veya açıların belirli belirli değerleri belirtilerek belirlenen bir üçgenin varlığı, bu elemanları kullanarak bir üçgen oluşturma problemini çözerken ortaya çıkar: inşaat problemine çözümün benzersizliği, eşitliğin işaretlerini bir kez daha kanıtlar. paragraf 188'den. Üç eşitlik işaretine uygun olarak, üçgenlerin yapımında üç ana sorun ortaya çıkmaktadır.

Problem 1. Verilen üç parça a, b, c. Bu parçaları kenarları olarak kullanarak bir üçgen oluşturun.

Çözüm. Üç parçadan en büyüğü c olsun: Sorunun çözüme sahip olması için koşulun sağlanması gerekir. Bu koşulun sağlandığını varsayacağız. Rastgele bir düz çizgi üzerinde (Şekil 226), parçayı rastgele bir yere çiziyoruz. Uçlarını istenilen üçgenin iki köşesi olarak alalım. Üçüncü köşe A noktasından (veya B noktasından) b mesafesinde ve B'den (veya A) a mesafesinde olmalıdır. Eksik köşeyi oluşturmak için A merkezli b yarıçaplı bir daire ve B merkezli a yarıçaplı bir daire çizin.

Bu iki daire kesişecektir, çünkü koşula göre merkezleri arasındaki mesafe yarıçapların toplamından az ve farklarından daha büyüktür, çünkü c veriler arasındaki en büyük segmenttir. İki kesişme noktası C ve C, yani C tepe noktasının iki olası konumu elde ederiz; ancak karşılık gelen iki üçgen AB'ye göre simetrik olarak konumlandığından eşittir. Şek. Şekil 226 ayrıca dairelerin yarıçaplarını değiştirerek üçüncü köşenin iki konumunun daha nasıl elde edileceğini gösterir.

Görev 2. İki kenarı ve aralarındaki açıyı kullanarak bir üçgen oluşturun.

Görev 3. Bir kenarı ve toplamı 'den küçük olan komşu açıları kullanarak bir üçgen oluşturun.

Üçgenlerin eşitlik işaretlerini incelerken iki durum dikkat çeker:

1) Üçgenlerin eşitliğinin yalnızca üç açının eşitliği ile sağlanacağına dair bir işaret yoktur. Bu, açıları eşit olan iki üçgenin mutlaka eşit olması gerekmediği gerçeğiyle açıklanmaktadır (benzer üçgenler, daha fazla ayrıntı için Bölüm XVI'ya bakınız).

2) İki taraftaki üçgenlerin eşitliği işareti, keyfi açıların değil, kesinlikle eşit kenarlar arasında bulunan açıların eşitliğini gerektirir. Bunun nedenini bulmak için aşağıdaki problemi ortaya koyuyoruz.

Görev 4. İki kenarı ve birinin karşısındaki açıyı kullanarak bir üçgen oluşturun.

Çözüm. Örneğin a ve b kenarları ve a'nın karşısında yer alan bir a açısı verilsin (Şekil 227). Bir üçgen oluşturmak için, b parçasını rastgele bir AC düz çizgisi üzerine çizelim ve bunun köşelerinden birinden, örneğin A'dan, AC parçasına a açısı yapan bir AM ışınını çizelim. Üçgenin bilinmeyen üçüncü tarafı bu ışının üzerinde yer almalıdır; sonu üçgenin eksik köşesidir. Bununla birlikte, bu üçüncü tepe noktasının C'den a kadar uzakta olduğu ve bu nedenle yarıçapı a olan C merkezli bir daire üzerinde yer aldığı bilinmektedir. Böyle bir daire çizelim. AM ışınıyla kesişme noktaları üçüncü tepe noktasının olası konumlarını verecektir. Bir daire ve bir ışının ortak noktaları olmayabilir veya bir veya iki ortak noktası olabileceğinden, problemin çözümü olmayabilir veya bir veya iki çözümü olabilir.

Şek. 227, a açısının dar olduğu ve buna göre sorunun çözümü olmayan, bir çözümü, iki çözümü ve yine bir çözümü olan taraf için dört seçeneğin olduğu durumu sunar. Her iki çözüm de gösterilmektedir. Bu problemin tam bir analizi Bölüm 223'te üçgenlerle ilgili problemlerin çözümüyle bağlantılı olarak verilmektedir.

Belirli verileri kullanarak üçgenler oluşturmak için çeşitli başka görevler de üstlenebilirsiniz. Her durumda, bir üçgen oluşturabilmek için ya üç doğrusal elemanının belirtilmesi gerekir (yani üç parça: kenarlar, kenarortaylar, yükseklikler, vb.), ya da iki parça ve bir açı ya da bir parça ve iki köşe .

Problem 5. Bir üçgenin iki kenarı a, c ve kenarortayı veriliyor. Bir üçgen oluşturun.

Çözüm. Sorunu analizle çözmeye başlayalım. Bu, sorunun zaten çözüldüğünü şartlı olarak varsaydığımız ve onu çözmemize gerçekten yardımcı olacak özelliklerini bulduğumuz çözüm aşamasının adıdır. O halde ABC üçgeninin (Şekil 228, a) istenilen üçgen olduğunu varsayalım. Daha sonra onun içinde

Medyan tanımı gereği VM segmentinin yarım c olduğunu, yani bilinen kabul edilebileceğini unutmayın. Ama artık RİA üçgeninin üç tarafı da biliniyor! İşte sorunu çözmenin anahtarı, gerisi basit. Üç kenar boyunca bir BMC üçgeni oluşturuyoruz (Şekil 228, b) ve ardından VM kenarını eşit bir mesafeye kadar uzatıyoruz, böylece üçgenin üçüncü A köşesini elde ediyoruz. Yapılan inşaatın doğruluğu açıktır.

Sorunun çözülebilirliğinin koşulu, a kenarını, medyanı ve diğer kenarın yarısını kullanarak “kısmi” bir üçgen oluşturmanın mümkün olmasıdır.

Ders konusu:Üç eleman kullanarak üçgen oluşturma

Dersin amacı: kullanarak üçgenler oluşturmayı öğrenmeküç element

Ders hedefleri: cetvel ve pergel kullanarak üçgen oluşturmak

Ders ilerlemesi:

Aşama 1: organizasyon anı, selamlaşma, ödev kontrolü

Aşama 2: yeni konu

İki kenarı ve aralarındaki açıyı kullanarak bir üçgen oluşturmak .

İki bölüm verildiğindeAVeB, istenen üçgenin kenarlarına eşittirler ve açı∡ 1 üçgenin kenarları arasındaki açıya eşittir. Verilen bölümlere ve açıya eşit elemanlarla bir üçgen oluşturmak gereklidir.

1. Düz bir çizgi çizin.

AA.

∡ 1 (açının tepe noktasıA

4. Açının diğer tarafında bu parçaya eşit bir parça ayırınB.

5. Segmentlerin uçlarını bağlayın.

İki kenar boyunca üçgenlerin eşitliği ve aralarındaki açı kriterine göre oluşturulan üçgen, bu elemanları taşıyan tüm üçgenlere eşittir.

Bir kenar ve iki bitişik açıyı kullanarak bir üçgen oluşturma .

Bir segment verildiAve iki köşe∡ 1 Ve∡ 2 , belirli bir kenara bitişik üçgenin açılarına eşittir. Verilen parçaya ve açılara eşit elemanlarla bir üçgen oluşturmak gerekir.

1. Düz bir çizgi çizin.

2. Seçilen noktadan itibaren düz bir çizgi üzerindeABelirli bir segmente eşit bir segmenti bir kenara ayırınAB.

3. Verilen açıya eşit bir açı oluşturun∡ 1 (açının tepe noktasıA, açının bir tarafı düz çizgi üzerindedir).

4. Verilen açıya eşit bir açı oluşturun∡ 2 (açının tepe noktasıB, açının bir tarafı düz çizgi üzerindedir).

5. Açıların diğer kenarlarının kesişme noktası istenilen üçgenin üçüncü köşesidir.

Bir kenar ve iki bitişik açı boyunca üçgenlerin eşitliği kriterine göre, oluşturulan üçgen bu elemanları içeren tüm üçgenlere eşittir.

Üç kenarı kullanarak bir üçgen oluşturmak .

Üç bölüm verilmiştir:A, BVeCİstenilen üçgenin kenarlarına eşit. Kenarları bu bölümlere eşit olan bir üçgen oluşturmak gerekir.

Bu durumda inşaata başlamadan önce üçgen eşitsizliğinin sağlanıp sağlanmadığına (her bir parçanın uzunluğu diğer iki parçanın uzunluklarının toplamından daha azdır) emin olmanız gerekir ve bu parçalar üçgenin kenarları olabilir.

1. Düz bir çizgi çizin.

2. Seçilen noktadan itibaren düz bir çizgi üzerindeABelirli bir segmente eşit bir segmenti bir kenara ayırınAve parçanın diğer ucunu işaretleyinB.

3. Merkezi olan bir daire çizinAve segmente eşit bir yarıçapB.

4. Merkezi bir daire çizinBve segmente eşit bir yarıçapC.

5. Dairelerin kesişme noktası istenilen üçgenin üçüncü köşesidir

Üç kenarlı üçgenlerin eşitliği kriterine göre oluşturulan üçgen, bu kenarları olan tüm üçgenlere eşittir.

Aşama 3: problem çözme

№ 239 sayfa 74

iki kenarı kullanarak bir dik üçgen oluşturun

Aşama 4: özetleme

Aşama 5: ödev No. 240 sayfa 74

Örnek 1:

İki kenarı ve aralarındaki açıyı kullanarak bir üçgen oluşturun.

Verilen: Analiz edilen üçgenin şöyle göründüğünü varsayalım.

Pirinç. 1.1. Analiz edilen üçgen örneği 1

Verilen doğru parçaları c ve a olsun ve verilen açı da

Pirinç. 1.2. Örnek 1 için verilen elemanlar

Yapı:

İlk önce köşe 1'i bir kenara bırakmalısınız

Pirinç. 1.3. Ertelenmiş açı 1 örneğin 1

Pirinç. 1.4. Yanları bir kenara koyun A Ve İleörneğin 1

Sonra ortaya çıkan çentikleri birleştiriyoruz ve istenen ABC üçgenini elde ediyoruz

Pirinç. 1.5. ABC üçgeni oluşturuldu, örneğin 1

İnşaat tamamlandı.

Not:

Belirli bir açıya eşit bir açının nasıl çizileceğini hatırlayalım.

Örnek 2

Belirli bir ışından belirli bir açıya eşit bir açı çıkarın. A açısı ve OM ışını verilmiştir. İnşa etmek.

Yapı:

Pirinç. 2.1. Örnek 2 için durum

1. Okr(A, r = AB) çemberini oluşturun. B ve C noktaları A açısının kenarlarıyla kesişme noktalarıdır

Pirinç. 2.2. Örnek 2'nin çözümü

1. Okr(D, r = CB) çemberini oluşturun. E ve M noktaları A açısının kenarlarıyla kesişme noktalarıdır

Pirinç. 2.3. Örnek 2'nin çözümü

1. MOE açısı istenilen açıdır, çünkü .

İnşaat tamamlandı.

Örnek 3

Bilinen bir kenarı ve iki komşu açıyı kullanarak ABC üçgenini oluşturun.

Analiz edilen üçgenin şöyle görünmesine izin verin:

Pirinç. 3.1. Örnek 3 için durum

Daha sonra verilen bölümler şöyle görünür

Pirinç. 3.2. Örnek 3 için durum

Yapı:

Açıyı düzlem üzerinde çizelim

Pirinç. 3.3. Örnek 3'ün çözümü

Belirli bir açının kenarına kenarın uzunluğunu çizeriz A

Pirinç. 3.4. Örnek 3'ün çözümü

Daha sonra tepe noktasından C açısını bir kenara koyuyoruz. γ ve α açılarının ortak olmayan kenarları A noktasında kesişir

Pirinç. 3.5. Örnek 3'ün çözümü

Oluşturulan üçgen istenilen üçgen mi? Oluşturulan üçgenin yan ve komşu iki açısı sırasıyla koşulda verilen kenara ve aralarındaki açıya eşit olduğundan

Üçgenlerin eşitliği için ikinci kritere göre arandı

İnşaat tamamlandı

Örnek 4

2 ayak üzerinde bir üçgen oluşturun

Analiz edilen üçgenin şöyle görünmesine izin verin

Pirinç. 4.1. Örnek 4 için durum

Bilinen unsurlar - bacaklar

Pirinç. 4.2. Örnek 4 için durum

Bu görev, kenarlar arasındaki açının varsayılan olarak belirlenebilmesi açısından öncekilerden farklıdır - 90 0

Yapı:

90 0'a eşit bir açıyı bir kenara bırakalım. Bunu tam olarak örnek 2'de gösterildiği gibi yapacağız.

Pirinç. 4.3. Örnek 4'ün çözümü

Daha sonra bu açının kenarlarına kenarların uzunluklarını çizeriz. A Ve B koşuluyla verilen

Pirinç. 4.4. Örnek 4'ün çözümü

Sonuç olarak ortaya çıkan üçgen istenen üçgendir, çünkü iki kenarı ve aralarındaki açı sırasıyla iki kenara ve aralarındaki koşulda verilen açıya eşittir.

İki dik çizgi oluşturarak 90°'lik bir açıyı ayırabileceğinizi unutmayın. Ek bir örnekte bu görevin nasıl gerçekleştirileceğine bakalım.

Ek örnek

A noktasından geçen p doğrusuna dik olan noktayı düzeltin,

P doğrusu ve bu doğru üzerinde yer alan A noktası

Pirinç. 5.1. Ek örnek için koşul

Yapı:

Öncelikle merkezi A noktasında olan isteğe bağlı yarıçaplı bir daire çizelim.

Pirinç. 5.2. Ek örneğin çözümü

Pirinç. 5.3. Ek örneğe cevap

Dijital eğitim kaynaklarının birleşik koleksiyonu ().
Matematik öğretmeni ().

285, 288. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I., editör Tikhonov A.N. Geometri notları 7-9. M.: Aydınlanma. 2010
Bir kenar ve tabanın karşısındaki açıyı kullanarak bir ikizkenar üçgen oluşturun.
Hipotenüs ve dar açıyı kullanarak bir dik üçgen oluşturun
Verilen açının tepe noktasından çizilen açıyı, yüksekliği ve açıortayı kullanarak bir üçgen oluşturun.

Son olarak, çözümü bir kenar ve iki açı kullanılarak bir üçgenin oluşturulmasına yol açan bir problem düşünün:

Nehrin diğer tarafında (Şek. 72) bir kilometre taşı görülmektedir A. Nehri geçmeden kilometre taşına olan mesafeyi bulmak gerekir. İÇİNDE bu kıyıda.

Hadi bunu yapalım. Noktadan ölçelim İÇİNDE düz bir çizgide herhangi bir mesafe Güneş ve onun sonlarında İÇİNDE Ve İLE 1 ve 2 numaralı açıları ölçelim (Şek. 73). Şimdi mesafeyi uygun bir alanda ölçersek DE, eşit Güneş ve uçlarında açılar oluşturun A Ve B(Şekil 74), 1 ve 2 açılarına eşit, sonra yanlarının kesişme noktasında üçüncü tepe noktasını elde ederiz Füçgen DEF.Üçgenin olduğunu doğrulamak kolaydır DEF bir üçgene eşit ABC; gerçekten de üçgenin olduğunu hayal edersek DEFüzerine bindirilmiş ABC yani o taraf Almanya eşit tarafıyla çakıştı Güneş, sonra ug. A açı 1 ile çakışacak, açı B - açı 2 ve yan DF yan tarafa gidecek VA ve yan E.F. yanda SA.İki doğru yalnızca bir noktada kesişebileceğine göre köşe noktası Füst kısımla örtüşmeli A. Yani mesafe DF gerekli mesafeye eşit VA.

Gördüğümüz gibi sorunun tek bir çözümü var. Genel olarak bir kenar ve bu kenara bitişik iki açı kullanılarak yalnızca bir üçgen oluşturulabilir; Kenarları aynı ve ona komşu iki açıları aynı olan başka üçgenler aynı yerde olamaz. Bir özdeş kenara ve ona aynı yerlerde bitişik iki özdeş açıya sahip olan tüm üçgenler, süperpozisyon yoluyla tamamen çakışabilir. Bu, bunun üçgenlerin tam eşitliğinin sağlanabileceği bir işaret olduğu anlamına gelir.

Daha önce belirlenen üçgenlerin eşitlik işaretleriyle birlikte artık aşağıdaki üçünü biliyoruz:

Üçgenler:

üç tarafta;

iki tarafta ve aralarındaki köşede;

yanda ve iki tarafta.

Kısaltmak adına, üçgenlerin bu üç eşitliğini de şu şekilde göstereceğiz:

üç tarafta: SSS;

iki tarafta ve aralarındaki açı: SUS;

yan ve iki köşe boyunca: USU.

Uygulamalar

14. Bir noktaya olan mesafeyi bulmak için A nehrin diğer tarafında bu noktadan İÇİNDE bu kıyıda (Şekil 5), düz bir çizgide bir çizgi ölçün güneş, sonra noktada İÇİNDE eşit bir açı oluşturun ABC, diğer tarafta Güneş ve bu noktada İLE- aynı şekilde, eşit bir açı DIA Nokta mesafesi D açıların her iki tarafının kenarlarının kesiştiği noktaya İÇİNDE gerekli mesafeye eşit AB. Neden?

Çözüm: Üçgenler ABC Ve BDC bir tarafta eşit ( Güneş) ve iki açı (ang. DCB= ug. DIA; ug. DBC= ug. ABC.) Buradan, AB= ВD, eşit açılara karşı eşit üçgenlerde uzanan kenarlar olarak.