Düzenli çokyüzlülere dışbükey çokyüzlüler denir; tüm yüzleri aynı normal çokgenlerdir ve her köşede aynı sayıda yüz buluşur. Bu tür çokyüzlülere Platonik katılar da denir.
Yalnızca beş normal çokyüzlü vardır:
|
Resim |
Düzenli çokyüzlü türü |
Bir yüzdeki kenar sayısı |
Bir tepe noktasına bitişik kenarların sayısı |
Toplam köşe sayısı |
Toplam kenar sayısı |
Toplam yüz sayısı |
|
dörtyüzlü |
||||||
|
Altı yüzlü veya küp |
||||||
|
Onikiyüzlü |
||||||
|
Ikozahedron |
Her polihedronun adı, yüzlerinin sayısı ve "yüz" kelimesinden oluşan Yunanca adından gelir.
dörtyüzlü
Bir tetrahedron (Yunanca fefsbedspn - tetrahedron), her bir köşe noktasında 3 yüzün buluştuğu dört üçgen yüze sahip bir çokyüzlüdür. Bir tetrahedronun 4 yüzü, 4 köşesi ve 6 ayrıtı vardır.
Dört yüzlünün özellikleri
Tetrahedron'un kesişen kenar çiftlerinden geçen paralel düzlemler, tetrahedronun etrafında tanımlanan paralelyüzlüyü tanımlar.
Bir tetrahedronun tepe noktasını karşı yüzün kenarortaylarının kesişme noktasıyla birleştiren bölüme ortanca adı verilir ve bu tepe noktasından çıkarılır.
Bir tetrahedronun kesişen kenarlarının orta noktalarını birleştiren parçaya, bu kenarları birleştiren bimedyen adı verilir.
Bir tepe noktasını karşı yüzdeki bir noktaya bağlayan ve bu yüze dik olan doğru parçasına yükseklik denir ve verilen tepe noktasından çıkarılır.
Teorem. Bir tetrahedronun tüm medyanları ve bimedyenleri bir noktada kesişir. Bu nokta ortancaları tepeden başlayarak 3:1 oranında böler. Bu nokta bimedyenleri ikiye böler.
Vurgulayın:
- · tüm yüzlerin eşit üçgen olduğu eş yüzlü bir tetrahedron;
- · köşelerden zıt yüzlere doğru inen tüm yüksekliklerin bir noktada kesiştiği ortosentrik bir tetrahedron;
- · köşelerden birine bitişik tüm kenarların birbirine dik olduğu dikdörtgen bir tetrahedron;
- · tüm yüzleri eşkenar üçgen olan düzgün tetrahedron;
- · çerçeve tetrahedron - koşullardan herhangi birini karşılayan bir tetrahedron:
- · Tüm kenarlarına temas eden bir küre vardır.
- · Kesişen kenarların uzunluklarının toplamı eşittir.
- · Zıt kenarlardaki dihedral açıların toplamı eşittir.
- · Yüzlere yazılan daireler çiftler halinde birbirine değiyor.
- · Bir tetrahedronun gelişmesiyle ortaya çıkan tüm dörtgenler anlatılmıştır.
- · İçlerine yazılan dairelerin merkezlerinden yüzlere döndürülen dikmeler bir noktada kesişir.
- · tüm iki yükseklikleri eşit olan orantılı bir tetrahedron;
- · tetrahedronun köşelerini zıt yüzlerde yazılı dairelerin merkezlerine bağlayan bölümlerin bir noktada kesiştiği iç merkezli bir tetrahedron.
Bir küp veya düzenli altı yüzlü, her yüzü kare olan düzenli bir çokyüzlüdür. Paralel boru ve prizmanın özel bir durumu.
Küp özellikleri
- · Küpün dört bölümü düzgün altıgenlerdir - bu bölümler küpün merkezinden dört ana köşegenine dik olarak geçer.
- · Bir tetrahedron'u bir küpe iki şekilde sığdırabilirsiniz. Her iki durumda da tetrahedronun dört köşesi küpün dört köşesiyle aynı hizada olacak ve tetrahedronun altı kenarının tümü küpün yüzlerine ait olacaktır. İlk durumda, dört yüzlünün tüm köşeleri, tepe noktası küpün köşelerinden biriyle çakışan üç yüzlü bir açının yüzlerine aittir. İkinci durumda, tetrahedronun ikili kesişen kenarları küpün ikili karşıt yüzlerine aittir. Bu tetrahedron düzenlidir.
- · Bir küpün içine bir oktahedron yerleştirebilirsiniz ve oktahedronun altı köşesinin tamamı küpün altı yüzünün merkezleriyle aynı hizada olacaktır.
- · Bir küp, bir oktahedronun içine yazılabilir ve küpün sekiz köşesinin tümü, oktahedronun sekiz yüzünün merkezlerinde yer alacaktır.
- · Bir ikosahedron bir küpün içine yazılabilir, ikosahedron'un karşılıklı paralel altı kenarı sırasıyla küpün altı yüzüne yerleştirilecek, geri kalan 24 kenar ise küpün içinde yer alacaktır. İkosahedronun on iki köşesinin tümü küpün altı yüzünde yer alacaktır.
Bir küpün köşegeni, küpün merkezine göre simetrik olan iki köşeyi birleştiren bir segmenttir. Bir küpün köşegeni formülle bulunur
çokyüzlü ikosahedron oktahedron dodekahedron
burada d köşegendir ve küpün kenarıdır.
Oktahedron
Oktahedron (Yunanca pkfedspn, Yunanca pkfyu'dan, "sekiz" ve Yunanca Edsb - "taban"), Platonik katılar olarak adlandırılan beş dışbükey düzenli çokyüzlüden biridir.
Oktahedronun 8 üçgen yüzü, 12 kenarı, 6 köşesi vardır ve her köşede 4 kenar birleşir.
Bir oktahedronun kenarının uzunluğu a'ya eşitse, toplam yüzeyinin alanı (S) ve oktahedronun hacmi (V) aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanır:
Bir oktahedron etrafında çevrelenmiş bir kürenin yarıçapı şuna eşittir:
Oktahedron içine yazılan bir kürenin yarıçapı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:
Düzenli bir oktahedron, küpün simetrisine denk gelen Oh simetrisine sahiptir.
Oktahedron tek bir yıldız şekline sahiptir. Oktahedron, Leonardo da Vinci tarafından keşfedildi, ardından neredeyse 100 yıl sonra Johannes Kepler tarafından yeniden keşfedildi ve ona sekizgen bir yıldız olan Stella octangula adını verdi. Bu nedenle bu forma "Kepler'in stella octangula" ikinci adı verilmiştir.
Özünde iki tetrahedronun birleşimidir.
Onikiyüzlü
Dodecahedron (Yunanca dudekb - on iki ve edspn - yüz kelimesinden gelir), dodecahedron - on iki düzenli beşgenden oluşan düzenli bir çokyüzlü. Dodecahedronun her köşesi, üç düzgün beşgenin tepe noktasıdır.
Böylece, dodecahedronun 12 yüzü (beşgen), 30 kenarı ve 20 köşesi vardır (her birinde 3 kenar birleşir). 20 köşenin her birindeki düzlem açılarının toplamı 324°'dir.
Dodecahedron'un 3 yıldız şekli vardır: küçük yıldız şeklinde dodecahedron, büyük dodecahedron, büyük yıldız şeklinde dodecahedron (yıldız şeklinde dodecahedron, son biçim). Bunlardan ilk ikisi Kepler (1619), üçüncüsü ise Poinsot (1809) tarafından keşfedilmiştir. Oktahedrondan farklı olarak, dodekahedronun yıldız şeklindeki formlarından herhangi biri Platonik katıların bir kombinasyonu değildir, ancak yeni bir çokyüzlü oluşturur.
Dodekahedronun 3 yıldız şeklindeki formunun tümü, büyük ikosahedronla birlikte Kepler-Poinsot katıları ailesini, yani düzenli dışbükey olmayan (yıldız şeklinde) çokyüzlüleri oluşturur.
Büyük dodecahedronun yüzleri, her köşede beş tane buluşan beşgenlerdir. Küçük yıldız şeklinde ve büyük yıldız şeklinde dodekahedronun, ilk durumda 5'te ve ikincisinde 3'te birleşen beş köşeli yıldızların (pentagramlar) yüzleri vardır. Büyük yıldız şeklinde dodekahedronun köşeleri, tarif edilen dodekahedronun köşeleriyle çakışır. Her köşenin birbirine bağlı üç yüzü vardır.
Temel formüller:
Kenar uzunluğunu a olarak alırsak, dodecahedronun yüzey alanı şöyle olur:
Dodekahedron hacmi:
Tanımlanan kürenin yarıçapı:
Yazılı kürenin yarıçapı:
On iki yüzlünün simetri unsurları:
· Dodecahedronun bir simetri merkezi ve 15 simetri ekseni vardır.
Eksenlerin her biri karşılıklı paralel kenarların orta noktalarından geçer.
· Dodecahedronun 15 simetri düzlemi vardır. Simetri düzlemlerinden herhangi biri, her yüzde karşı kenarın üstünden ve ortasından geçer.
Ikozahedron
İkosahedron (Yunanca ekpubt - yirmi; -edspn - yüz, yüz, taban) Platonik katılardan biri olan düzenli bir dışbükey çokyüzlü, yirmi yüzlüdür. 20 yüzün her biri eşkenar üçgendir. Kenar sayısı 30, köşe sayısı 12'dir.
Kenar uzunluğu a olan bir ikosahedronun alanı S, hacmi V ve ayrıca yazılı ve çevrelenmiş kürelerin yarıçapları aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanır:
yazılı kürenin yarıçapı:
çevrelenmiş kürenin yarıçapı:
Özellikler
- · İkosahedron bir küpün içine yazılabilir, bu durumda ikosahedronun karşılıklı olarak dik olan altı kenarı sırasıyla küpün altı yüzüne yerleştirilecektir, geri kalan 24 kenar küpün içindedir, ikosahedron'un on iki köşesinin tümü altının üzerinde yer alacaktır küpün yüzleri.
- · Bir tetrahedronun bir ikosahedron içine yazılması mümkündür, ayrıca tetrahedronun dört köşesi ikosahedronun dört köşesi ile birleştirilecektir.
- · Bir ikosahedron, ikosahedronun köşeleri dodekahedronun yüzlerinin merkezleriyle hizalanacak şekilde bir dodekahedrona yazılabilir.
- · Bir dodekahedronun köşeleri ile ikosahedronun yüzlerinin merkezleri birleştirilerek bir ikosahedron içine yazılabilir.
- · Düzgün beşgenler biçiminde yüzler oluşturmak için 12 köşe kesilerek kesik bir ikosahedron elde edilebilir. Bu durumda yeni çokhedronun köşe sayısı 5 kat artar (12?5=60), 20 üçgen yüz düzgün altıgenlere dönüşür (toplam yüz sayısı 20+12=32 olur) ve kenar sayısı artar 30+12?5=90'a kadar.
İkosahedronun 32'si tam ve 27'si eksik ikosahedral simetriye sahip olan 59 yıldız şekli vardır. Büyük ikosahedron olarak adlandırılan bu yıldızlardan biri (20., Wenninger mod. 41), dört normal Kepler-Poinsot yıldızından biridir. Yüzleri, her köşede beşerli olarak buluşan düzenli üçgenlerdir; Bu özellik, büyük ikosahedron ile ikosahedron arasında ortaktır.
Yıldız formları arasında ayrıca şunlar bulunur: beş oktahedrondan oluşan bir bağlantı, beş tetrahedrondan oluşan bir bağlantı, on tetrahedradan oluşan bir bağlantı.
Sunum önizlemelerini kullanmak için bir Google hesabı oluşturun ve bu hesaba giriş yapın: https://accounts.google.com
Slayt başlıkları:
Çokyüzlü. Bir çokyüzlünün köşeleri, kenarları, yüzleri. EULER TEOREMİ. 10. sınıf Tamamlayan: Kaygorodova S.V.
Bir çokyüzlüye, tüm yüzleri düzgün çokgen ise ve köşelerindeki tüm çokyüzlü açılar eşitse, bu çokyüzlüye düzenli denir.
Antik çağlardan beri beş muhteşem çokyüzlü insanoğlu tarafından bilinmektedir.
Yüz sayısına bağlı olarak bunlara düzenli tetrahedron denir.
altı yüzlü (altıgen) veya küp
oktahedron (oktahedron)
dodecahedron (dodecahedron)
ikosahedron (yirmi yüzlü)
Düzenli çokyüzlülerin gelişmeleri
Tarihsel arka plan Doğanın dört özü insanoğlu tarafından biliniyordu: ateş, su, toprak ve hava. Platon'a göre atomları düzenli çokyüzlüler biçimindeydi. 4. - 5. yüzyıllarda yaşayan büyük antik Yunan filozofu Platon. BC, bu bedenlerin doğanın özünü kişileştirdiğine inanıyordu.
ateş atomu bir tetrahedron biçimindeydi, toprak - bir altı yüzlü (küp) hava - bir oktahedron su - bir ikosahedron
Ancak hiçbir karşılığı olmayan bir onikiyüzlü kaldı ve Platon başka bir (beşinci) varlığın daha olduğunu öne sürdü. Ona dünya eteri adını verdi. Bu beşinci özün atomları on iki yüzlü bir şekle sahipti. Platon ve öğrencileri eserlerinde listelenen çokyüzlülere büyük önem verdiler. Bu nedenle bu çokyüzlülere Platonik katılar da denir.
Herhangi bir dışbükey çokyüzlü için aşağıdaki ilişki doğrudur: Г+В-Р=2, burada Г yüzlerin sayısıdır, В köşelerin sayısıdır, Р verilen çokyüzlünün kenar sayısıdır. Yüzler + Köşeler - Kenarlar = 2. Euler Teoremi
Düzenli çokyüzlülerin özellikleri Çokyüzlü Bir yüzün kenar sayısı Her tepe noktasında buluşan yüz sayısı Yüz sayısı (G) Kenar sayısı (P) Köşe sayısı (V) Dörtyüzlü 3 3 4 6 4 Altıyüzlü 4 3 6 12 8 Oktahedron 3 4 8 12 6 İkosahedron 3 5 20 30 12 Onikiyüzlü 5 3 12 30 20
Düzenli çokyüzlülerin ikililiği Altıyüzlü (küp) ve oktahedron, ikili bir çokyüzlü çifti oluşturur. Bir çokyüzlünün yüz sayısı diğerinin köşe sayısına eşittir ve bunun tersi de geçerlidir.
Herhangi bir küpü alalım ve yüzlerinin merkezlerinde köşeleri olan bir çokyüzlüyü ele alalım. Kolayca görebileceğiniz gibi bir oktahedron elde ediyoruz.
Oktahedronun yüzlerinin merkezleri küpün köşeleri görevi görür.
Sodyum antimon sülfat bir tetrahedrondur. Doğada, kimyada ve biyolojide çokyüzlüler Bize tanıdık gelen bazı maddelerin kristalleri düzenli çokyüzlüler şeklindedir. Pirit kristali doğal bir dodekahedron modelidir. Sofra tuzu kristalleri küp şeklini verir. Alüminyum-potasyum şapının tek kristali bir oktahedron şekline sahiptir. Kristal (prizma) İkosahedron, virüslerin şekline ilişkin anlaşmazlıklarda biyologların ilgi odağı haline geldi. Virüs, daha önce düşünüldüğü gibi tamamen yuvarlak olamaz. Şeklini belirlemek için çeşitli çokyüzlüleri aldılar ve ışığı virüsteki atomların akışıyla aynı açılarda yönlendirdiler. Yalnızca bir çokyüzlünün tam olarak aynı gölgeyi verdiği ortaya çıktı - ikosahedron. Yumurta bölünmesi sürecinde önce dört hücreden oluşan bir tetrahedron, ardından bir oktahedron, bir küp ve son olarak da dodekahedral-ikosahedral gastrula yapısı oluşur. Ve son olarak, belki de en önemlisi, yaşamın genetik kodunun DNA yapısı, dönen bir on iki yüzlünün (zaman ekseni boyunca) dört boyutlu bir gelişimidir! Metan molekülü düzenli bir tetrahedron şeklindedir.
Sanatta Polyhedra “Monna Lisa'nın Portresi” Resmin kompozisyonu, yıldız şeklindeki düzenli bir beşgenin parçaları olan altın üçgenlere dayanmaktadır. Gravür “Melankoli” Resmin ön planında bir onikiyüzlü vardır. "Son Akşam Yemeği" Mesih ve öğrencileri, devasa şeffaf bir on iki yüzlünün arka planında tasvir edilmiştir.
Mimaride Polyhedra Yamanashi Meyve Müzesi, 3 boyutlu modelleme kullanılarak oluşturuldu. El Yapımı Olmayan Kurtarıcı Kilisesi'nin bulunduğu dört katmanlı Spasskaya Kulesi, Kazan Kremlin'in ana girişidir. 16. yüzyılda Pskovlu mimarlar Ivan Shiryai ve Postnik Yakovlev tarafından "Barma" lakaplı olarak inşa edilmiştir. Kulenin dört katmanı bir küp, çokyüzlü ve bir piramittir. Kremlin'in Spasskaya Kulesi. İskenderiye Deniz Feneri Piramitleri Meyve Müzeleri
Ne yazık ki, okul müfredatında küresel geometri ve Lobaçevski geometrisi çalışılmamaktadır. Bu arada, Öklid geometrisi ile birlikte çalışmaları nesnelerde neler olduğunu daha iyi anlamamızı sağlıyor. Örneğin, düzenli çokyüzlülerin kürenin bölümleri, Öklid düzleminin bölümleri ve Lobaçevski düzleminin bölümleri ile bağlantısını anlayın.
Sabit eğrilikli uzayların geometrisi bilgisi, üç boyutun üzerine çıkmaya ve 4 ve daha yüksek boyuttaki uzaylarda çokyüzlüleri tanımlamaya yardımcı olur. Çokyüzlüyü bulma, sabit eğrilikli uzayların bölümlerini bulma, n boyutlu uzayda düzgün bir çokyüzlünün dihedral açısının formülünü türetme konuları o kadar iç içe geçmiş durumda ki, tüm bunları bu makalenin başlığına dahil etmenin sorunlu olduğu ortaya çıktı. madde. Odak noktasının herkes için anlaşılır olan düzenli çokyüzlüler üzerinde olmasına izin verin, ancak bunlar sadece tüm sonuçların sonucu değil, aynı zamanda daha yüksek boyutlardaki uzayları ve düzgün kavisli uzayları kavramak için bir araç olmasına rağmen.
Bilmeyenler (unutanlar) için, alıştığımız üç boyutlu Öklid uzayında sadece beş düzgün çokyüzlü bulunduğunu bildiriyorum (hatırlatıyorum):
| 1. Dörtyüzlü: | 2. Küp: | 3. Oktahedron: | 4. Dodecahedron: | 5. İkosahedron: |
 |
 |
 |
 |
Üç boyutlu uzayda, düzenli bir çokyüzlü, tüm köşelerin birbirine eşit olduğu, tüm kenarların birbirine eşit olduğu, tüm yüzlerin birbirine eşit olduğu ve yüzlerin düzgün çokgenler olduğu dışbükey bir çokyüzlüdür.
Düzenli çokgen, tüm kenarların ve tüm açıların eşit olduğu dışbükey bir çokgendir.
Köşelerin birbirine eşit olması, kenar sayısının ve her köşeye yaklaşan yüz sayısının aynı olması ve her köşede aynı açılarla yaklaşmaları anlamına gelir.
Bu gösterimde, çokyüzlülerimiz aşağıdaki tanımları alacaktır:
1. Dörtyüzlü (3, 3),
2. Küp (4, 3),
3. Oktahedron (3, 4),
4. Dodecahedron (5, 3),
5. İkosahedron (3, 5)
Örneğin, (4, 3) - bir küpün 4 köşe yüzü vardır ve bu tür 3 yüz her tepe noktasında buluşur.
Oktahedronun (3, 4) aksine, 4'ü tepe noktasında birleşen 3 karbon yüzü vardır.
Böylece Schläfli sembolü çokyüzlünün kombinatoryal yapısını tamamen belirler.
Neden sadece 5 tane düzenli çokyüzlü var? Belki onlardan daha fazlası vardır?
Bu soruyu tam olarak yanıtlamak için öncelikle küre ve Lobaçevski düzlemindeki geometriye ilişkin sezgisel bir anlayışa sahip olmanız gerekir. Henüz böyle bir fikri olmayanlar için gerekli açıklamaları yapmaya çalışacağım.
Küre
1. Küre üzerindeki nokta nedir? Bunun herkes için sezgisel olarak açık olduğunu düşünüyorum. Küre üzerindeki bir noktayı zihinsel olarak hayal etmek zor değildir.
2. Küre üzerindeki doğru parçası nedir? İki noktayı alıp küre üzerindeki en kısa mesafeye bağlarız; küreye yandan baktığımızda bir yay elde ederiz.
3. Bu parçayı her iki yönde de devam ettirirseniz kapanacak ve bir daire elde edeceksiniz. Bu durumda dairenin düzlemi kürenin merkezini içerir; bu, iki başlangıç noktasını keyfi olmayan en kısa mesafeyle bağladığımız gerçeğinden kaynaklanır. Yandan bakıldığında daire gibi görünse de küresel geometri açısından her iki yönde de sonsuza kadar uzatılmış bir parçadan elde edildiği için düz bir çizgidir.
4. Ve son olarak küre üzerindeki üçgen nedir? Küre üzerinde üç nokta alıp bunları segmentlerle birleştiriyoruz.
Bir üçgene benzeterek, bir kürenin üzerine rastgele bir çokgen çizebilirsiniz. Bizim için küresel bir üçgenin özelliği temel olarak önemlidir, yani böyle bir üçgenin açılarının toplamının Öklid üçgeninde alışık olduğumuz 180 dereceden büyük olmasıdır. Ayrıca iki farklı küresel üçgenin açılarının toplamı farklıdır. Üçgen ne kadar büyük olursa, açılarının toplamı da o kadar yüksek olur.
Buna göre, bir küre üzerindeki üçgenlerin eşitliğinin 4. işareti üç açıda ortaya çıkar: karşılık gelen açıları eşitse iki küresel üçgen birbirine eşittir.
Basit olması açısından kürenin kendisini çizmemek daha kolaydır, o zaman üçgen biraz şişkin görünecektir:
Küreye aynı zamanda sabit pozitif eğriliğe sahip uzay da denir. Uzayın eğriliği tam olarak en kısa mesafenin alıştığımız düz çizgi parçası değil, yay olduğu gerçeğine yol açmaktadır. Segment bükülmüş gibi görünüyor.
Lobaçevski
Artık küre üzerindeki geometriye aşina olduğumuza göre, büyük Rus bilim adamı Nikolai İvanoviç Lobaçevski tarafından keşfedilen hiperbolik düzlemdeki geometriyi anlamak zor olmayacaktır, çünkü burada her şey küre ile aynı şekilde gerçekleşmektedir. “içten dışa”, “tersten”. Eğer bir küre üzerine, merkezi kürenin içinde olan daireler halinde yaylar çizmişsek, şimdi yayların merkezi kürenin dışında olan daireler halinde çizilmesi gerekir.Hadi başlayalım. Poincaré II'nin (büyük Fransız bilim adamı Jules Henri Poincaré) yorumunda Lobaçevski düzlemini temsil edeceğiz, Lobaçevski geometrisinin bu yorumuna Poincaré diski de denir.
1. Lobaçevski düzlemindeki nokta. Dönem, Afrika'da da bir noktadır.
2. Lobaçevski düzlemindeki bir bölüm. İki noktayı Lobaçevski düzlemi anlamında en kısa mesafe boyunca bir çizgiyle birleştiriyoruz.
En kısa mesafe şu şekilde inşa edilir:
Verilen iki noktadan (şekilde Z ve V) Poincaré diskine dik bir daire çizmek gerekir. Bu dairenin merkezi her zaman diskin dışında olacaktır. Orijinal iki noktayı birleştiren yay, Lobaçevski düzlemi anlamında en kısa mesafe olacaktır.
3. Yardımcı yayları kaldırarak Lobachevsky düzleminde E1 - H1 düz çizgisini elde ederiz.
E1, H1 noktaları Lobaçevski düzleminin sonsuzluğu üzerinde "yatar"; genel olarak Poincaré diskinin kenarının tümü Lobaçevski düzleminin sonsuz uzak noktalarıdır.
4. Ve son olarak Lobaçevski düzlemindeki üçgen nedir? Üç nokta alıp bunları segmentlerle birleştiriyoruz.
Bir üçgene benzeterek Lobaçevski düzlemine rastgele bir çokgen çizebilirsiniz. Bizim için hiperbolik üçgenin özelliği temel olarak önemlidir, yani böyle bir üçgenin açılarının toplamı her zaman Öklid üçgeninde alışık olduğumuz 180 dereceden küçüktür. Ayrıca iki farklı hiperbolik üçgenin açılarının toplamı farklıdır. Üçgenin alanı ne kadar büyükse, açılarının toplamı da o kadar KÜÇÜK olur.
Buna göre, burada hiperbolik üçgenlerin 4. eşitlik işareti de üç açıya göre gerçekleşir: karşılık gelen açıları eşitse iki hiperbolik üçgen birbirine eşittir.
Basit olması açısından, Poincaré diskinin kendisi bazen çizilemez, bu durumda üçgen biraz "küçültülmüş", "sönük" görünecektir:
Lobaçevski düzlemine (ve genel olarak herhangi bir boyuttaki Lobaçevski uzayına) aynı zamanda sabit NEGATİF eğrilik uzayı da denir. Uzayın eğriliği tam olarak en kısa mesafenin alıştığımız düz çizgi parçası değil, yay olduğu gerçeğine yol açmaktadır. Segment bükülmüş gibi görünüyor.
İki boyutlu bir Kürenin ve düzenli üç boyutlu çokyüzlülerin düzenli bölümleri
Küre ve Lobaçevski düzlemi hakkında söylenen her şey iki boyutluluğa işaret eder; Kürenin yüzeyi iki boyutludur. Bunun yazı başlığındaki üç boyutlulukla ne alakası var? Her üç boyutlu düzenli Öklid polihedronunun, iki boyutlu kürenin kendi bölümüyle bire bir yazışmaya sahip olduğu ortaya çıktı. Bu en iyi şekilde görülmektedir:
Normal bir çokyüzlüden bir kürenin bölümünü elde etmek için, çokyüzlünün etrafındaki bir küreyi tanımlamanız gerekir. Çokyüzlünün köşeleri kürenin yüzeyinde görünecek, bu noktaları küre üzerindeki bölümlere (yaylar) bağlayacak, iki boyutlu kürenin düzenli küresel çokgenlere bölünmesini elde edeceğiz. Örnek olarak, ikosahedron'un bir kürenin küresel üçgenlere bölünmesine ve bunun tersinin nasıl karşılık geldiğine ve bir kürenin tepe noktasında beşli olarak birleşen küresel üçgenlere bölünmesinin ikosahedron'a nasıl karşılık geldiğine dair bir video gösterimi yapıldı.
Bir kürenin bir bölümünden bir çokyüzlü oluşturmak için, yaylara karşılık gelen bölümün köşelerinin sıradan, doğrusal, Öklid bölümleriyle bağlanması gerekir.
Buna göre, ikosahedronun (3, 5) Schläfli sembolü (bir tepe noktasında beşe yaklaşan üçgenler) yalnızca bu çokyüzlünün yapısını değil, aynı zamanda iki boyutlu bir kürenin bölümünün yapısını da belirtir. Diğer politoplara benzer şekilde Schläfli sembolleri de karşılık gelen bölümlerin yapısını belirler. Ayrıca, Öklid düzleminin ve Lobaçevski düzleminin düzenli çokgenlere bölünmesi de Schläfli sembolüyle belirtilebilir. Örneğin, (4, 4) - dörtlü olarak birleşen dörtgenler - bu hepimizin aşina olduğu kare defterdir, yani. Bu, Öklid düzleminin karelere bölünmesidir. Öklid düzleminin başka bölümleri var mı? Daha fazlasını göreceğiz.
İki boyutlu bir kürenin, Öklid düzleminin ve Lobaçevski düzleminin bölümlerinin inşası
Sabit eğriliğe sahip iki boyutlu uzayların bölümlerini oluşturmak için (bu, bu üç uzayın genel adıdır), ilkokul geometrisine ve küresel bir üçgenin açılarının toplamının 180 dereceden büyük (Pi'den büyük) olduğu bilgisine ihtiyacımız var. Bir hiperbolik üçgenin açılarının toplamının 180 dereceden (Pi'den küçük) küçük olduğu ve Schläfli sembolü nedir? Bütün bunlar yukarıda zaten söylendi.Öyleyse, rastgele bir Schläfli sembolünü (p1, p2) ele alalım, bu, sabit eğriliğe sahip üç uzaydan birinin bir bölümünü belirtir (bir düzlem için bu doğrudur, daha yüksek boyutlu uzaylar için durum daha karmaşıktır, ancak hiçbir şey bizi bunu yapmaktan alıkoyamaz). sembolün tüm kombinasyonlarını keşfetmek).
Düzenli bir p1 karesi düşünün ve onun merkezi ile köşelerini birleştiren parçalar çizin. p1 adet ikizkenar üçgen elde ediyoruz (şekilde yalnızca bir üçgen gösterilmektedir). Bu üçgenlerin her birinin açılarının toplamını t olarak gösterip, t'yi pi ve lambda katsayısı cinsinden ifade ediyoruz.
O zaman lambda = 1 ise Öklid üçgeni, yani. Öklid düzlemindedir, eğer lambda (1, 3) aralığındaysa, bu, açıların toplamının pi'den büyük olduğu anlamına gelir ve bu, bu üçgenin küresel olduğu anlamına gelir (artırırken bunu hayal etmek zor değildir) limitinde küresel üçgen, üzerinde üç nokta bulunan bir daire elde edilir, her noktada üçgenin açısı pi'ye eşit olur ve toplamı 3*pi olur. Bu, aralığın üst sınırını = 3) açıklar. Lambda (0, 1) aralığındaysa, açılarının toplamı pi'den küçük olduğundan (yani 180 dereceden az) üçgen hiperboliktir. Kısaca şu şekilde yazılabilir:
Öte yandan, aynı çokgenlerin p2 parçalarının (yani bir tam sayının) tepe noktasında yakınsaklığı için şu gereklidir:
Yakınsama koşulundan ve poligondan bulunan 2*betta ifadelerinin eşitlenmesi:
Üç uzaydan hangisinin Schläfli sembolü (p1, p2) ile verilen sayıya bölündüğünü gösteren bir denklem elde ettik. Bu denklemi çözmek için, p1, p2'nin 3'ten büyük veya ona eşit tam sayılar olduğunu da hatırlamalıyız. Bu, tabiri caizse, fiziksel anlamlarından kaynaklanır, çünkü bunlar, p2 parçaları boyunca yakınsayan p1 açılarıdır (en az 3 açı). tepe noktası (ayrıca 3'ten az olmamalıdır, aksi takdirde tepe noktası olmayacaktır).
Bu denklemin çözümü p1, p2 için 3'ten büyük veya eşit olan tüm olası değerleri numaralandırmak ve lambda değerini hesaplamaktır. 1'e eşit olduğu ortaya çıkarsa, o zaman (p1, p2) Öklid düzlemini böler, eğer 1'den büyük ancak 3'ten küçükse, o zaman bu Kürenin bir bölümüdür, eğer 0'dan 1'e kadarsa, o zaman bu Lobachevsky uçağının bir bölümü. Tüm bu hesaplamaları bir tabloda özetlemek uygundur.
Buradan şu anlaşılıyor:
1. Küre yalnızca 5 çözüme karşılık gelir; lamda 1'den büyük ve 3'ten küçük olduğunda bunlar tabloda yeşil renkle vurgulanır. Bunlar: (3, 3) - tetrahedron, (3, 4) - oktahedron, (3, 5) - ikosahedron, (4, 3) - küp, (5, 3) - dodecahedron. Resimleri makalenin başında sunuldu.
2. Öklid düzleminin bölümleri yalnızca üç çözüme karşılık gelir; lambda = 1 olduğunda bunlar tabloda mavi renkle vurgulanır. Bu bölünmeler böyle görünüyor.
3. Ve son olarak, diğer tüm kombinasyonlar (p1, p2) Lobaçevski düzleminin bölümlerine karşılık gelir; buna göre, bu tür bölümlerin sonsuz (sayılabilir) sayısı vardır. Örneğin sadece bazılarını göstermek kalıyor.
Sonuçlar
Dolayısıyla, yalnızca 5 düzenli çokyüzlü vardır, bunlar iki boyutlu kürenin beş bölümüne karşılık gelir, Öklid düzleminin yalnızca 3 bölümü vardır ve Lobaçevski düzleminin sayılabilir sayıda bölümü vardır.Bu bilginin uygulaması nedir?
Bir kürenin bölümleriyle doğrudan ilgilenen insanlar var.
Düzenli çokyüzlü Tüm yüzleri eşit ve eşit normal çokgenler olacak, tüm kenarları ve tüm köşeleri de birbirine eşit olacak şekilde bir çokyüzlü denir. Herhangi bir sayıda düzenli çokgen olmasına rağmen, sınırlı sayıda düzenli çokyüzlü vardır.
Normal çokgenlerin bir üçgenle başlaması gibi, normal çokyüzlüler de benzerleriyle başlar - dörtyüzlü (yani Yunanca'da tetrahedron). Mümkün olan en az sayıda köşe ve yüze sahiptir - her birinden dörder ve altı kenar (üç köşe her zaman aynı düzlemde bulunur; bu nedenle hacimsel bir cisim için en az dört köşeye ihtiyaç vardır; uzayda sonlu bir hacim sınırlanamaz) üç düz yüzle). Her tepe noktasında üç üçgen yüz ve buna bağlı olarak üç kenar birleşir. Bir tetrahedron bir piramittir ve en basit olanı trihedraldir (herhangi bir piramit bir taban ve yan yüzlerden oluşur; bir piramit n yan yüze sahipse n-yüzlü olarak adlandırılır; n-kenarlı bir piramit için şunu görmek kolaydır: tabanın kaçınılmaz olarak n-gon şeklinde olması gerekir). Şu ana kadar tetrahedron hakkında söylediğimiz her şey her tetrahedron için geçerlidir, mutlaka normal tetrahedron için geçerli değildir; Düzenli bir tetrahedronun yüzleri düzenli üçgenlerdir.
Aşağıdaki normal çokyüzlüye çok aşinasınız - bu küp. Eğer bir tetrahedron belli bir anlamda üçgene benziyorsa, o zaman küp de kareye benzer. Küp, tüm yüzleri kare olan dikdörtgen paralel yüzlü bir cisimdir. Resme bakmadan, bir küpün (ve aslında herhangi bir dikdörtgen paralel yüzlü) kaç yüzü olduğunu, kaç köşesi, kaç kenarı ve her köşede kaç yüz ve kenarın birleştiğini bulmaya çalışın.
Başka bir düzenli polihedron var oktahedron (yani oktahedron) - düz dünyada analogları yoktur, çünkü biraz üçgene, biraz da kareye benzer. İki tetrahedral piramidin tabanlarının yapıştırılmasıyla bir oktahedron yapılabilir. Düzenli bir oktahedronun yüzleri düzenli üçgenlerdir. Her bir köşede, bir tetrahedron ve bir küp gibi üç değil, dört yüz buluşuyor. Örneğin doğal elmas kristalleri oktahedron şekle sahiptir.
Oktahedron küp olarak adlandırılan yapıyla yakından ilişkilidir. karşılıklılık özelliği : Bir küpün yüzlerinin merkezleri düzgün bir oktahedronun köşeleridir ve düzgün bir oktahedronun yüzlerinin merkezleri bir küpün köşeleridir. Bir küpün bitişik yüzlerinin merkezlerini bölümlerle birleştirirseniz, bu bölümler oktahedronun kenarları olacaktır; aynı işlemi bir oktahedronla yaparsanız bir küp elde edersiniz. Bu arada, buna dayanarak, oktahedronun köşe sayısının küpün yüz sayısına eşit olduğu ve bunun tersinin de geçerli olduğu açıktır; Üstelik kenar sayıları da çakışıyor.
Tetrahedron karşılıklılık özelliği nedeniyle kendisiyle ilişkilidir
Düzenli çokgenler için karşılıklılık özelliğinin bir benzerini formüle etmek mümkün müdür?
Bu arada tetrahedron da küple alakalı. Yani, eğer bir küpün, hiçbiri bitişik olmayan dört köşesini seçip bunları parçalarla birleştirirseniz, bu parçalar bir tetrahedron oluşturur!
 |
|
Pirinç. 3. Küp ve tetrahedron |
Düzenli çokyüzlülerin hemen dikkat çeken en önemli özelliği yüksek derecede simetridir. Farklı düzlemler etrafında belirli sayıda yansıma ve farklı eksenler etrafında belirli sayıda dönüş, çokyüzlülerin her birini kendine dönüştürür. Her birinin, tüm bu simetri düzlemlerinin ve eksenlerinin içinden geçtiği bir merkezi vardır; köşeler bu merkezden eşit uzaklıkta olup aynı şey yüzler ve kenarlar için de geçerlidir. Bu nedenle, her düzenli çokyüzlünün içine bir küre yazılabilir ve her birinin etrafında bir küre tanımlanabilir. (Ancak bu bakımdan, her birine bir dairenin yazılabildiği ve her birinin etrafında da bir dairenin tanımlanabildiği normal çokgenlere oldukça benzerler).
Bir küp, tetrahedron veya oktahedron kaç tane simetri düzlemine sahiptir? Her birinin çokyüzlüyü kendine dönüştüren kaç tane dönme ekseni vardır?
