Ostrograd Hamilton prensibi - kinematik hileler. Konfigürasyon ve faz uzaylarında Hamilton-Ostrogradsky varyasyon ilkesi

Hamilton Hound Cinsin başka bir adı daha var - “Hamilton Stevare”. 19. yüzyılda ortaya çıktı. İsveç Kennel Kulübü'nün kurucusu Earl Hamilton tarafından İngiliz Foxhound ve Alman tazılarının melezlenmesi sonucu İsveç'te. Hamilton'un HoundHound'u şunları ifade eder:

Buna uyuyorlar ve bu nedenle bu prensip modern fiziğin temel hükümlerinden biridir. Yardımıyla elde edilen hareket denklemlerine Euler-Lagrange denklemleri denir.

İlkenin ilk formülasyonu o yıl P. Maupertuis tarafından verildi ve optik ve mekaniğe uygulanabilir olduğu düşünülerek evrensel doğasına hemen işaret edildi. Bu prensipten ışığın yansıma ve kırılma yasalarını çıkardı.

Hikaye

Maupertuis bu prensibe, Evrenin mükemmelliğinin doğada belirli bir ekonomi gerektirdiği ve gereksiz enerji harcamalarıyla çeliştiği hissinden yola çıkarak varmıştır. Doğal hareket belli bir miktarı minimuma indirecek şekilde olmalıdır. Tek yapması gereken bu değeri bulmaktı ve bunu yapmaya devam etti. Sistem içindeki hareket süresinin (zamanının), şimdi sistemin kinetik enerjisi dediğimiz değerin iki katı kadar çarpımıydı.

Euler (içinde "Réflexions sur quelques loix générales de la doğa", 1748) en az eylem ilkesini benimser ve eyleme "çaba" adını verir. Statikteki ifadesi, şimdi potansiyel enerji diyeceğimiz şeye karşılık gelir, dolayısıyla statikteki en az etki ifadesi, bir denge konfigürasyonu için minimum potansiyel enerji koşuluna eşdeğerdir.

Klasik mekanikte

En az etki ilkesi, Lagrangian ve Hamiltonian mekanik formülasyonlarının temel ve standart temelini oluşturur.

Öncelikle yapımına şu şekilde bakalım: Lagrange mekaniği. Bir serbestlik derecesine sahip fiziksel bir sistem örneğini kullanarak, bir eylemin (genelleştirilmiş) koordinatlara (bir serbestlik derecesi durumunda - bir koordinat) göre işlevsel olduğunu, yani şu şekilde ifade edildiğini hatırlayalım: öyle ki fonksiyonun akla gelebilecek her versiyonu belirli bir sayıyla - bir eylemle - ilişkilendirilir (Bu anlamda, işlevsel olarak bir eylemin, herhangi bir fonksiyonun iyi tanımlanmış bir sayıyı hesaplamasına izin veren bir kural olduğunu söyleyebiliriz - aynı zamanda eylem denir). Eylem şuna benziyor:

genelleştirilmiş koordinata bağlı olarak sistemin Lagrange'ı nerede, zamana göre ve ayrıca muhtemelen açıkça zamana göre ilk türevi. Sistemin daha fazla sayıda serbestlik derecesi varsa, Lagrangian daha fazla sayıda genelleştirilmiş koordinata ve bunların zamana göre ilk türevlerine bağlıdır. Dolayısıyla eylem, vücudun yörüngesine bağlı olarak skaler bir fonksiyoneldir.

Eylemin bir skaler olması, onu herhangi bir genelleştirilmiş koordinatta yazmayı kolaylaştırır, asıl mesele, sistemin konumunun (konfigürasyonunun) açıkça onlar tarafından karakterize edilmesidir (örneğin, Kartezyen koordinatlar yerine bunlar kutupsal olabilir) koordinatlar, sistemin noktaları arasındaki mesafeler, açılar veya bunların işlevleri vb. .d.).

Eylem, ne kadar "vahşi" ve "doğal olmayan" olursa olsun, tamamen keyfi bir yörüngeye göre hesaplanabilir. Bununla birlikte, klasik mekanikte, tüm olası yörüngeler arasında, bedenin gerçekten ilerleyeceği tek bir yol vardır. Sabit hareket ilkesi, vücudun gerçekte nasıl hareket edeceği sorusunun cevabını tam olarak verir:

Bu, eğer sistemin Lagrange'ı verilirse, varyasyonlar hesabını kullanarak, önce hareket denklemlerini (Euler-Lagrange denklemleri) elde edip sonra bunları çözerek vücudun tam olarak nasıl hareket edeceğini belirleyebileceğimiz anlamına gelir. Bu, yalnızca mekaniğin formülasyonunun ciddi şekilde genelleştirilmesine değil, aynı zamanda en basit ve en kolay çözülen denklemlerin elde edilmesinde çok yararlı olabilecek Kartezyen olanlarla sınırlı olmamak üzere, her özel problem için en uygun koordinatların seçilmesine de olanak tanır.

bu sistemin Hamilton fonksiyonu nerede; - (genelleştirilmiş) koordinatlar, - eşlenik (genelleştirilmiş) dürtüler; bunlar, zamanın her bir anında sistemin dinamik durumunu karakterize eder ve her biri zamanın bir fonksiyonudur, dolayısıyla sistemin evrimini (hareketini) karakterize eder. Bu durumda sistemin hareket denklemlerini Hamilton kanonik denklemleri formunda elde edebilmek için bu şekilde yazılan eylemin tümü ve için bağımsız olarak değiştirilmesi gerekir.

Sorunun koşullarından hareket yasasını prensipte bulmak mümkünse, o zaman bunun otomatik olarak gerçekleştiğine dikkat edilmelidir. Olumsuz gerçek hareket sırasında durağan bir değer alan bir fonksiyonel oluşturmanın mümkün olduğu anlamına gelir. Bir örnek, bir elektromanyetik alanda elektrik yüklerinin ve monopollerin (manyetik yükler) ortak hareketidir. Hareket denklemleri durağan eylem ilkesinden türetilemez. Benzer şekilde, bazı Hamilton sistemleri bu prensipten türetilemeyen hareket denklemlerine sahiptir.

Örnekler

Önemsiz örnekler, Euler-Lagrange denklemleri aracılığıyla çalışma ilkesinin kullanımının değerlendirilmesine yardımcı olur. Serbest parçacık (kütle M ve hız v) Öklid uzayında düz bir çizgide hareket eder. Euler-Lagrange denklemleri kullanılarak bu durum kutupsal koordinatlarda aşağıdaki gibi gösterilebilir. Potansiyelin yokluğunda Lagrange fonksiyonu basitçe kinetik enerjiye eşittir.

ortogonal bir koordinat sisteminde.

Kutupsal koordinatlarda kinetik enerji ve dolayısıyla Lagrange fonksiyonu şu şekilde olur:

Denklemlerin radyal ve açısal bileşenleri sırasıyla şöyle olur:

Bu iki denklemi çözmek

Burada tüm x(t) yörüngeleri üzerinde sonsuz çoklu fonksiyonel entegrasyon için koşullu bir gösterim bulunmaktadır ve bu Planck sabitidir. Prensip olarak, kuantum mekaniğindeki evrim operatörünü incelerken üstel eylemin kendisinin göründüğünü (veya görünebileceğini) vurguluyoruz, ancak tam bir klasik (kuantum olmayan) analoğa sahip sistemler için, bunun olağan olana tam olarak eşit olduğunu vurguluyoruz. klasik eylem.

Bu ifadenin klasik limitteki (yeterince büyük, yani sanal üstelin çok hızlı salınımları için) matematiksel analizi, bu integraldeki tüm olası yörüngelerin ezici çoğunluğunun limitte (resmi olarak ) birbirini iptal ettiğini gösterir. Hemen hemen her yol için, faz kaymasının tam tersi olacağı ve bunların katkısının sıfır olacağı bir yol vardır. Yalnızca eylemin aşırı değere yakın olduğu (çoğu sistem için minimuma) yörüngeler azaltılmaz. Bu, karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisinden elde edilen tamamen matematiksel bir gerçektir; Örneğin, sabit faz yöntemi buna dayanmaktadır.

Sonuç olarak, parçacık, kuantum mekaniği yasalarıyla tam uyum içinde, tüm yörüngeler boyunca eşzamanlı olarak hareket eder, ancak normal koşullar altında yalnızca durağanlığa yakın (yani klasik) yörüngeler gözlemlenen değerlere katkıda bulunur. Kuantum mekaniği yüksek enerjiler sınırında klasik mekaniğe dönüştüğü için bunun şöyle olduğunu varsayabiliriz. Eylemin durağanlığının klasik ilkesinin kuantum mekaniksel türetilmesi.

Kuantum alan teorisinde

Kuantum alan teorisinde de durağan etki ilkesi başarıyla uygulanmaktadır. Buradaki Lagrangian yoğunluğu karşılık gelen kuantum alanlarının operatörlerini içerir. Her ne kadar burada özünde (klasik limit ve kısmen klasikler hariç) eylemin durağanlığı ilkesinden değil, bu alanların konfigürasyonu veya faz uzayındaki yörüngeler boyunca Feynman entegrasyonu hakkında konuşmak daha doğru olsa da - kullanarak az önce bahsedilen Lagrangian yoğunluğu.

Daha fazla genelleme

Daha geniş anlamda, bir eylem, bir konfigürasyon alanından bir dizi gerçek sayıya eşlemeyi tanımlayan bir işlevsel olarak anlaşılır ve genel olarak bir integral olması gerekmez, çünkü yerel olmayan eylemler prensipte en azından mümkündür. teorik olarak. Ayrıca, bir konfigürasyon uzayının mutlaka bir fonksiyon uzayı olması gerekmez çünkü değişmeli olmayan bir geometriye sahip olabilir.

Tüm integral ve bazı diferansiyel ilkelerin altında yatan fikir, mekanik bir sistemin gerçek hareketinin belirli bir fiziksel niceliğe aşırılık kazandırdığı konumdur. Bu konumun matematiksel formülasyonu için, daha önce olduğu gibi, gerçek hareketin yanı sıra, bir dizi düşünülebilir hareketin de dikkate alınması ve bunların iyi tanımlanmış gereksinimlere tabi kılınması gereklidir.

İntegral ilkelerinin formülasyonu konfigürasyon uzayında gerçekleştirilir. Serbestlik derecesine sahip bir sistem için genelleştirilmiş koordinatların
, sistemin konfigürasyonunu belirli bir zamanda tanımlamak , karşılık gelen Kartezyen koordinatlar olarak kabul edilir -boyutlu uzay, bir konfigürasyon uzayıdır. Zamanla mekanik bir sistemin durumu değişir ve bu sistemi temsil eden nokta belli bir eğriyi tanımlar. Sistemin hareketini temsil eden noktanın bu eğri boyunca hareketi olarak düşünmek uygundur. Zaman bu husus bir parametredir ve yörüngenin her noktası bir veya daha fazla değere karşılık gelir .

Sistemin her andaki konfigürasyon yörüngesindeki konumuyla ilgileniyorsak , o zaman başka bir eksen eklemeniz gerekir
. Daha sonra ele aldığımız sistemin hareketinin “çok boyutlu bir grafiğini” elde edeceğiz. Çok boyutlu bir grafiğin belirli düzlemlere izdüşümleri de incelenebilir, örneğin (Şekil 2.7). resimde A, B temsil eden noktanın anlardaki izdüşümleridir Ve Buna göre düz çizgi gerçeği, kesikli çizgi ise akla gelebilecek hareketlerden birini temsil ediyor.

İntegral ilkesi, bir sistemin gerçek hareketinin sonlu (sonsuz derecede küçük değil!) bir zaman periyodunda nasıl gerçekleştiğine ilişkin bir ifadedir.
. O ana kadar sistemde neler vardı? , ilgilenmiyoruz. Ancak zamanın başlangıç ​​ve son anları sabit olduğundan, mekanik sistemin o andaki akla gelebilecek tüm hareketler için geçerli olduğuna inanılmaktadır. bir noktadan geçer A, şu anda - İÇİNDE; bu noktalar sistemin gerçek hareketindeki başlangıç ​​ve son konumlarına karşılık gelir.

Mekanik sistemlerin hareketi üzerindeki konumun en genel formülasyonu, en az etki ilkesi olarak adlandırılan ilkede bulunur (buna Hamilton-Ostrogradsky ilkesi de denir):

Mekanik bir sistemin zaman aralığındaki gerçek hareketiileöyle ki eylem fonksiyonu adı verilen integral ve eşit

, (60.7)

Nerede
-- belirli bir mekanik sistemin Lagrange'ının bir ekstremumu (minimum) vardır. Değişken değişiklik göstermez.

Başka bir deyişle, gerçek hareket sırasında eylemin değişimi sıfır olmalıdır.

(61.7)

tüm konfigürasyon yörüngelerinin zaman zaman sağlanması şartıyla Ve gerçek hareketin başlangıç ​​ve bitiş noktalarından geçin;

Bu ilke, D'Alembert'in diferansiyel ilkesinin aksine, sistemin bir bütün olarak sonlu bir zaman periyodundaki hareketi hakkında bir ifade içermesi anlamında integraldir.
. Aslında Lagrange denklemleri bundan çıkar, dolayısıyla en az etki ilkesinden mekanik bir sistemin tüm dinamiğinin elde edildiği söylenebilir.

Fonksiyonlara izin ver
, gerçek hareketi tanımlayın, yani.
-bu işlevler minimumu vardır. Bir dizi fonksiyonu ele alalım
Nerede
- fonksiyonların varyasyonları
karşılaştırıldığında küçük olduğu varsayılmaktadır.
itibaren tüm zaman aralığı boyunca ile . Üstelik her şey
ilişkileri tatmin eder (62.7). Sözde ilk varyasyonu hesaplayalım Lagrange fonksiyonunun genelleştirilmiş koordinatlara bağlı olabileceğini akılda tutarak , genelleştirilmiş hızlar
ve zaman :

Çünkü
, ikinci dönem
parçalarla entegre edilebilir ve

.

Koşullar nedeniyle (62.7), tutar

kaybolur ve kalan integral keyfi değerler için sıfıra eşit olacaktır.
yalnızca integralin toplamının her terimi sıfıra gittiğinde. Böylece 2. türden Lagrange denklemlerini elde ederiz.

. (63.7)

Bir fonksiyonun ekstremum problemini çözerek, fonksiyonun ekstremum değere ulaştığı noktanın bulunduğu sonlu bir denklemler sisteminin elde edildiğini hatırlamakta fayda var. Bu durumda, ekstrem problemin ikinci dereceden diferansiyel denklem sistemi tarafından verilen bir fonksiyonel çözümüyle karşı karşıyayız. Bu denklemlerden, konfigürasyon uzayında fonksiyonlarla tanımlanan bir çizgi bulunur.
işlevselliğin minimuma ulaştığı nokta. Bu çizgiye ekstremal denir.

Belirli bir mekanik model oluşturmanın görevi hareket denklemlerini derlemek olduğundan, aslında sistemin dinamiğinin tek bir fonksiyon tarafından belirlendiğini görüyoruz - Lagrangian, çünkü sorunu çözen bu fonksiyondur. Dolayısıyla bir sistemin Lagrange'ı, dinamik problemlerle bağlantılı olarak incelenmesi gerekli olan ilginç bir fiziksel nesnedir. Özellikle, en az eylem ilkesinden, fonksiyonun olduğu açıktır. yalnızca keyfi bir koordinat ve zaman fonksiyonunun toplam türevinin eklenmesiyle tanımlanır. Bu şu şekilde anlaşılmalıdır: Hareket denklemleriyle tanımlanan bir sistem birden fazla Lagrange fonksiyonuna karşılık gelir . Gerçekten de olsun
ile ilgili oran

(64.7)

,

.

Ama o zamandan beri
,

ve dolayısıyla fonksiyonlar kullanılarak elde edilen Lagrange denklemleri Ve
, aynıdır. (64.7) formunun Lagrange fonksiyonunun tanımındaki belirsizlik, hareket denklemlerini etkilemez ve her biri
(64.7) sınıfından, sistemin dinamiklerini benzersiz bir şekilde oluşturma problemini çözer.

Lagrange denklem sisteminin önemli bir özelliği kovaryanstır. Bu, Lagrange denklemlerinin genelleştirilmiş koordinatların nokta dönüşümleri altında formunu koruduğu anlamına gelir 4

yani genelleştirilmiş koordinatlar kullanılırken Lagrange denklemleri aynı forma sahip olacaktır:

,

genelleştirilmiş koordinatları kullanırken olduğu gibi :

.

Lagrange denklemlerinin dönüşüm (65.7) altında kovaryant olduğunu doğrudan kanıtlayalım. Haydi inşa edelim
:

ve türevleri

,

HAMILTON - OSTROGRAD PRENSİBİ

Sabit eylem ilkesi - genel integral klasik mekaniğin varyasyon ilkesi, U. tarafından kuruldu.

İdeal durağan bağlantılarla sınırlanan ve M. V. Ostrogradsky tarafından durağan olmayan bağlantılara genelleştirilen holonomik sistemler için Hamilton. G.-O'ya göre.

Sistemin başlangıç ​​ve son konumlarının ve hareket zamanının gerçek hareketle aynı olduğu kinematik olarak mümkün olan benzer hareketlerle karşılaştırıldığında sabit bir değere sahiptir. Burada T - kinetik, U- potansiyel enerji, L-T-U Sistemin Lagrange fonksiyonu. Bazı durumlarda doğru, yalnızca fonksiyonelin durağan noktasına karşılık gelmez. S, ama aynı zamanda ona en az önemi veriyor. Bu nedenle G.-O. sıklıkla denir en az eylem ilkesi. Potansiyel olmayan aktif kuvvetler durumunda Fv Eylemin durağanlık koşulu d S= 0, koşulla değiştirilir

Yaktı.: Hamilton W., İngiliz Bilimi İlerletme Derneği'nin Dördüncü Toplantısı Raporu, L., 1835, s. 513-18; Ostrogradsky M., "Mem. de 1" Acad. des Sci. de St-Petershourg", 1850, t. 8, no. 3, s. 33-48.

V. V. Rumyantsev.

Matematik ansiklopedisi. - M .: Sovyet Ansiklopedisi.

I. M. Vinogradov.

1977-1985.

Diğer sözlüklerde "HAMILTON - OSTROGRAD PRENSİBİ" nin ne olduğunu görün:

Fisher ilkesi, doğadaki canlı türlerinin baskın cinsiyet oranının neden yaklaşık 1:1 olduğunu açıklayan evrimsel bir modeldir; her iki cinsiyetten daha fazla bireyin üretilmesini sağlayan genlerin bulunduğu ... ... Vikipedi

Hamilton (aynı zamanda basitçe Hamilton ilkesi), daha doğrusu eylemin durağanlığı ilkesi, bir fiziksel sistemin hareket denklemlerini durağan (çoğunlukla aşırı, genellikle yerleşik gelenekle bağlantılı olarak) arayarak elde etme yöntemi... .. Vikipedi

Huygens'e göre dalga kırılması ... Wikipedia Bilim metodolojisinde ifade, eski, iyi test edilmiş bir teorinin varlığında herhangi bir yeni bilimsel teorinin onunla tamamen çelişmediği, ancak bazı aşırı yaklaşımlarda (özel durum) aynı sonuçları verdiği yönündedir. Mesela kanun... ... Vikipedi

Zamana göre ayrık kontrol süreçleri için Pontryagin'in ayrık maksimum ilkesi. Böyle bir işlem için sonlu fark operatörü geçerli olmayabilir, ancak bunun sürekli analogu için sonlu fark operatörünün diferansiyel bir operatörle değiştirilmesiyle elde edilir... ... Matematik Ansiklopedisi

Veya Hamilton ilkesi, mekanik ve matematiksel fizikte, diferansiyel hareket denklemlerinin elde edilmesine hizmet eder. Bu prensip, hangi kuvvetlere maruz olursa olsun, tüm maddi sistemler için geçerlidir; Öncelikle bunu şu şekilde ifade edeceğiz... Ansiklopedik Sözlük F.A. Brockhaus ve I.A. Efron

Kuantum varsayımı. mekanik, fizikselinin tesadüfünü gerektirir. klasik sonuçlarla büyük kuantum sayılarının sınırlayıcı durumundaki sonuçlar. teoriler. S. p.'de kuantumun olduğu ortaya çıkıyor. etkiler yalnızca mikro nesneler dikkate alındığında anlamlıdır, şu durumlarda... ... Fiziksel ansiklopedi

Hamilton'un varyasyon ilkesi - Hamiltono variacinis principas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. Hamilton varyasyon ilkesi vok. Hamiltonsches Variationsprinzip, n rus. Hamilton'un varyasyon ilkesi, m pranc. Prensip varyasyonel d'Hamilton, m … Fizikos terminų žodynas

- (dalga mekaniği), mikropartiküllerin (elementler, atomlar, moleküller, atom çekirdekleri) ve bunların sistemlerinin (örneğin kristaller) tanım yöntemini ve hareket yasalarını ve ayrıca parçacıkları karakterize eden miktarlar arasındaki ilişkiyi belirleyen bir teori ve sistemler, fiziksel boyutlar... ... Ansiklopedik Sözlük F.A. Brockhaus ve I.A. Efron

Bu terimin başka anlamları da vardır, bkz. Eylem (fizik). Eylem Boyutu L2MT−1 Fizikte eylem, skaler bir fiziksel niceliktir ve ... Wikipedia

Kitaplar

• Ekonomik sistemin hareket ilkeleri. Monograf, Kusner Yuri Semenovich, Tsarev Igor Gennadievich. Ekonomik sistemin temel hareket denklemleri analitik biçimde sunulmuş ve hareketini kontrol etmek için yeterli yöntemleri bulma sorunu çözülmüştür. Matematiksel aygıt kullanıldı...