Örtülü olarak belirtilen bir fonksiyonun türevi.
Parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun türevi

Bu makalede, yüksek matematik testlerinde sıklıkla karşılaşılan iki tipik göreve daha bakacağız. Malzemeye başarılı bir şekilde hakim olabilmek için en azından orta düzeyde türevler bulabilmelisiniz. Türevleri pratik olarak sıfırdan bulmayı iki temel derste öğrenebilirsiniz ve Karmaşık bir fonksiyonun türevi. Eğer farklılaştırma becerileriniz iyiyse, hadi gidelim.

Örtük olarak belirtilen bir fonksiyonun türevi

Veya kısacası örtülü bir fonksiyonun türevi. Örtük işlev nedir? Öncelikle tek değişkenli bir fonksiyonun tanımını hatırlayalım:

Tek değişkenli fonksiyon bağımsız değişkenin her değerinin, fonksiyonun yalnızca bir değerine karşılık geldiği bir kuraldır.

Değişken denir bağımsız değişken veya argüman.
Değişken denir bağımlı değişken veya işlev .

Şu ana kadar tanımlanan fonksiyonlara baktık. açık biçim. Bu ne anlama geliyor? Belirli örnekler kullanarak bir bilgilendirme yapalım.

İşlevi düşünün

Solda yalnız bir "oyuncumuzun" olduğunu görüyoruz ve sağda - yalnızca "X'ler". Yani, fonksiyon açıkça bağımsız değişken aracılığıyla ifade edilir.

Başka bir fonksiyona bakalım:

Değişkenlerin karıştığı yer burasıdır. Dahası hiçbir şekilde imkansız“Y”yi yalnızca “X” aracılığıyla ifade edin. Bu yöntemler nelerdir? Terimleri işaret değiştirerek parçadan parçaya aktarmak, parantezlerin dışına taşımak, orantı kuralına göre çarpanları atmak vb. Eşitliği yeniden yazın ve “y”yi açıkça ifade etmeye çalışın: . Denklemi saatlerce çarpıtıp çevirebilirsiniz ama başaramazsınız.

Sizi tanıştırayım: – örnek örtülü işlev.

Matematiksel analiz sırasında örtülü fonksiyonun olduğu kanıtlandı. var(ancak her zaman değil), bir grafiği vardır (tıpkı “normal” bir fonksiyon gibi). Örtülü işlev tamamen aynıdır var birinci türev, ikinci türev vb. Dedikleri gibi, cinsel azınlıkların tüm haklarına saygı duyulmaktadır.

Ve bu derste örtülü olarak belirtilen bir fonksiyonun türevini nasıl bulacağımızı öğreneceğiz. O kadar da zor değil! Tüm türev alma kuralları ve temel fonksiyonların türev tablosu yürürlükte kalır. Fark şu anda bakacağımız tuhaf bir anda.

Evet, size iyi haberi vereceğim - aşağıda tartışılan görevler, üç parçanın önünde taş olmadan oldukça katı ve net bir algoritmaya göre gerçekleştirilir.

Örnek 1

1) İlk aşamada her iki parçaya da vuruşlar ekliyoruz:

2) Türevin doğrusallık kurallarını kullanıyoruz (dersin ilk iki kuralı) Türevi nasıl bulunur? Çözüm örnekleri):

3) Doğrudan farklılaşma.
Nasıl ayırt edileceği tamamen açıktır. Vuruşların altında “oyunların” olduğu yerde ne yapmalı?

- utanç verici derecede, bir fonksiyonun türevi türevine eşittir: .

Nasıl ayırt edilir
İşte elimizde karmaşık fonksiyon. Neden? Görünüşe göre sinüsün altında sadece bir "Y" harfi var. Ama gerçek şu ki, yalnızca bir "y" harfi var - KENDİSİ BİR FONKSİYONDUR(Dersin başındaki tanıma bakınız). Dolayısıyla sinüs harici bir fonksiyondur ve dahili bir fonksiyondur. Karmaşık bir fonksiyonun türevini almak için kuralı kullanıyoruz :

Ürünü olağan kurala göre farklılaştırıyoruz :

Lütfen şunu unutmayın – aynı zamanda karmaşık bir fonksiyondur, herhangi bir “çın ve ıslıklı oyun” karmaşık bir işlevdir:

Çözümün kendisi şöyle görünmelidir:


Parantez varsa bunları genişletin:

4) Sol tarafta içinde asal olan “Y” içeren terimleri topluyoruz. Diğer her şeyi sağ tarafa taşıyın:

5) Sol tarafta türevi parantezlerden çıkarıyoruz:

6) Ve orantı kuralına göre bu parantezleri sağ taraftaki paydaya bırakıyoruz:

Türevi bulunmuştur. Hazır.

Herhangi bir fonksiyonun örtülü olarak yeniden yazılabileceğini belirtmek ilginçtir. Örneğin, fonksiyon şu şekilde yeniden yazılabilir: . Ve az önce tartışılan algoritmayı kullanarak bunu ayırt edin. Aslında, "örtük işlev" ve "örtük işlev" ifadeleri bir anlamsal nüansta farklılık gösterir. “Örtülü olarak belirtilen işlev” ifadesi daha genel ve doğrudur, – bu işlev örtülü olarak belirtilmiştir, ancak burada “oyunu” ifade edebilir ve işlevi açıkça sunabilirsiniz. “Örtülü işlev” ifadesi, “oyunun” ifade edilemediği “klasik” örtülü işlevi ifade eder.

İkinci çözüm

Dikkat!İkinci yönteme ancak güvenle bulabilirseniz alışabilirsiniz. kısmi türevler. Calculus'a yeni başlayanlar ve acemiler, lütfen okumayın ve bu noktayı atlamayın aksi takdirde kafanız tamamen karışacaktır.

İkinci yöntemi kullanarak örtülü fonksiyonun türevini bulalım.

Tüm terimleri sol tarafa taşıyoruz:

Ve iki değişkenli bir fonksiyonu düşünün:

Daha sonra türevimiz aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:
Kısmi türevleri bulalım:

Böylece:

İkinci çözüm, bir kontrol yapmanızı sağlar. Ancak ödevin son versiyonunu yazmaları tavsiye edilmez, çünkü kısmi türevler daha sonra öğrenilir ve "Tek değişkenli bir fonksiyonun türevi" konusunu inceleyen bir öğrencinin henüz kısmi türevleri bilmemesi gerekir.

Birkaç örneğe daha bakalım.

Örnek 2

Örtülü olarak verilen bir fonksiyonun türevini bulun

Her iki parçaya da kontur ekleyin:

Doğrusallık kurallarını kullanıyoruz:

Türevlerin bulunması:

Tüm parantezlerin açılması:

Tüm terimleri sol tarafa, geri kalanını sağ tarafa taşıyoruz:

Son cevap:

Örnek 3

Örtülü olarak verilen bir fonksiyonun türevini bulun

Dersin sonunda tam çözüm ve örnek tasarım.

Farklılaşma sonrasında kesirlerin ortaya çıkması alışılmadık bir durum değildir. Bu gibi durumlarda kesirlerden kurtulmanız gerekir. İki örneğe daha bakalım.

Örnek 4

Örtülü olarak verilen bir fonksiyonun türevini bulun

Her iki parçayı da konturların altına alıyoruz ve doğrusallık kuralını kullanıyoruz:

Karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralını kullanarak türev alma ve bölümlerin farklılaşma kuralı :

Parantezleri genişletiyoruz:

Artık kesirden kurtulmamız gerekiyor. Bu daha sonra yapılabilir, ancak hemen yapmak daha mantıklıdır. Kesrin paydası içerir. Çarp Açık . Ayrıntılı olarak şöyle görünecek:

Bazen farklılaşmadan sonra 2-3 fraksiyon ortaya çıkar. Örneğin başka bir kesirimiz olsaydı, işlemin tekrarlanması gerekirdi - çarpma her bölümün her dönemi Açık

Sol tarafta onu parantezlerin dışına çıkardık:

Son cevap:

Örnek 5

Örtülü olarak verilen bir fonksiyonun türevini bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Tek şey, kesirden kurtulmadan önce kesirin üç katlı yapısından kurtulmanız gerekecek. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun türevi

Vurgu yapmayalım, bu paragrafta her şey de oldukça basit. Parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun genel formülünü yazabilirsiniz, ancak konuyu açıklığa kavuşturmak için hemen belirli bir örneği yazacağım. Parametrik formda fonksiyon iki denklemle verilir: . Çoğu zaman denklemler küme parantezleri altında değil, sırayla yazılır: , .

Değişkene parametre denir ve “eksi sonsuz”dan “artı sonsuza” kadar değerler alabilir. Örneğin değeri düşünün ve onu her iki denklemde değiştirin: . Veya insani terimlerle: "eğer x dörde eşitse, o zaman y de bire eşittir." Koordinat düzleminde bir noktayı işaretleyebilirsiniz ve bu nokta parametrenin değerine karşılık gelecektir. Benzer şekilde “te” parametresinin herhangi bir değeri için bir nokta bulabilirsiniz. "Normal" bir fonksiyona gelince, Amerikan Kızılderilileri için parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun tüm haklarına da saygı duyulur: bir grafik oluşturabilir, türevleri bulabilirsiniz vb. Bu arada, parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun grafiğini çizmeniz gerekiyorsa programımı kullanabilirsiniz.

En basit durumlarda fonksiyonu açıkça temsil etmek mümkündür. Birinci denklemdeki parametreyi ifade edelim: – ve bunu ikinci denklemde yerine koyun: . Sonuç sıradan bir kübik fonksiyondur.

Daha “ağır” vakalarda bu hile işe yaramaz. Ancak bunun önemi yok çünkü parametrik bir fonksiyonun türevini bulmanın bir formülü var:

“Te değişkenine göre oyunun” türevini buluyoruz:

Harf için doğal olarak tüm türev kuralları ve türev tablosu geçerlidir, dolayısıyla, Türev bulma sürecinde herhangi bir yenilik yok. Tablodaki tüm "X"leri zihinsel olarak "Te" harfiyle değiştirin.

“x”in te değişkenine göre türevini buluyoruz:

Şimdi geriye kalan tek şey bulunan türevleri formülümüzde yerine koymaktır:

Hazır. Fonksiyonun kendisi gibi türev de parametreye bağlıdır.

Gösterime gelince, bunu formülde yazmak yerine, alt simge olmadan basitçe yazabilirsiniz, çünkü bu "X'e göre" "düzenli" bir türevdir. Ancak literatürde her zaman bir seçenek vardır, bu yüzden standarttan sapmayacağım.

Örnek 6

Formülü kullanıyoruz

Bu durumda:

Böylece:

Parametrik bir fonksiyonun türevini bulmanın özel bir özelliği şudur: her adımda sonucu mümkün olduğunca basitleştirmek faydalıdır. Dolayısıyla ele alınan örnekte, bulduğumda kökün altındaki parantezleri açtım (gerçi bunu yapmamış olabilirim). Formüle ikame edildiğinde birçok şeyin iyi şekilde azaltılma ihtimali yüksektir. Tabii ki, beceriksiz cevaplara sahip örnekler var.

Örnek 7

Parametrik olarak belirtilen bir fonksiyonun türevini bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir.

Makalede Türevlerle ilgili en basit tipik problemler Bir fonksiyonun ikinci türevini bulmamız gereken örneklere baktık. Parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun ikinci türevini de bulabilirsiniz ve bu, aşağıdaki formül kullanılarak bulunur: . İkinci türevi bulmak için önce birinci türevi bulmanız gerektiği oldukça açıktır.

Örnek 8

Parametrik olarak verilen bir fonksiyonun birinci ve ikinci türevlerini bulun

İlk önce birinci türevi bulalım.
Formülü kullanıyoruz

Bu durumda:

Bulunan türevleri formülde yerine koyarız. Basitleştirme amacıyla trigonometrik formülü kullanıyoruz:

Vurgu yapmayalım, bu paragrafta her şey de oldukça basit. Parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun genel formülünü yazabilirsiniz, ancak konuyu açıklığa kavuşturmak için hemen belirli bir örneği yazacağım. Parametrik formda fonksiyon iki denklemle verilir: . Çoğu zaman denklemler küme parantezleri altında değil, sırayla yazılır: , .

Değişkene parametre denir ve “eksi sonsuz”dan “artı sonsuz”a kadar değerler alabilir. Örneğin değeri düşünün ve onu her iki denklemde değiştirin: . Veya insani terimlerle: "eğer x dörde eşitse, o zaman y de bire eşittir." Koordinat düzleminde bir noktayı işaretleyebilirsiniz ve bu nokta parametrenin değerine karşılık gelecektir. Benzer şekilde “te” parametresinin herhangi bir değeri için bir nokta bulabilirsiniz. "Normal" bir fonksiyona gelince, parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun Amerikan Kızılderilileri için tüm haklara da saygı duyulur: bir grafik oluşturabilir, türevleri bulabilirsiniz vb. Bu arada, parametrik olarak belirlenmiş bir fonksiyonun grafiğini çizmeniz gerekiyorsa, sayfadaki geometrik programımı indirin Matematiksel formüller ve tablolar.

En basit durumlarda fonksiyonu açıkça temsil etmek mümkündür. Birinci denklemdeki parametreyi ifade edelim: – ve bunu ikinci denklemde yerine koyun: . Sonuç sıradan bir kübik fonksiyondur.

Daha “ağır” vakalarda bu hile işe yaramaz. Ancak bunun önemi yok çünkü parametrik bir fonksiyonun türevini bulmanın bir formülü var:

“Te değişkenine göre oyunun” türevini buluyoruz:

Harf için doğal olarak tüm türev kuralları ve türev tablosu geçerlidir, dolayısıyla, Türev bulma sürecinde herhangi bir yenilik yok. Tablodaki tüm "X"leri zihinsel olarak "Te" harfiyle değiştirin.

“x”in te değişkenine göre türevini buluyoruz:

Şimdi geriye kalan tek şey bulunan türevleri formülümüzde yerine koymaktır:

Hazır. Fonksiyonun kendisi gibi türev de parametreye bağlıdır.

Gösterime gelince, bunu formülde yazmak yerine, alt simge olmadan basitçe yazabilirsiniz, çünkü bu "X'e göre" "düzenli" bir türevdir. Ancak literatürde her zaman bir seçenek vardır, bu yüzden standarttan sapmayacağım.

Örnek 6

Formülü kullanıyoruz

Bu durumda:

Böylece:

Parametrik bir fonksiyonun türevini bulmanın özel bir özelliği şudur: her adımda sonucu mümkün olduğunca basitleştirmek faydalıdır. Dolayısıyla ele alınan örnekte, bulduğumda kökün altındaki parantezleri açtım (gerçi bunu yapmamış olabilirim). Formüle ikame edildiğinde birçok şeyin iyi şekilde azaltılma ihtimali yüksektir. Tabii ki, beceriksiz cevaplara sahip örnekler var.

Örnek 7

Parametrik olarak belirtilen bir fonksiyonun türevini bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir.

Makalede Türevlerle ilgili en basit tipik problemler Bir fonksiyonun ikinci türevini bulmamız gereken örneklere baktık. Parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun ikinci türevini de bulabilirsiniz ve bu, aşağıdaki formül kullanılarak bulunur: . İkinci türevi bulmak için önce birinci türevi bulmanız gerektiği oldukça açıktır.

Örnek 8

Parametrik olarak verilen bir fonksiyonun birinci ve ikinci türevlerini bulun

İlk önce birinci türevi bulalım.
Formülü kullanıyoruz

Bu durumda:

Bulunan türevleri formülde yerine koyar. Basitleştirme amacıyla trigonometrik formülü kullanıyoruz:

Parametrik bir fonksiyonun türevini bulma probleminde, çoğu zaman basitleştirme amacıyla şunun kullanılması gerektiğini fark ettim: trigonometrik formüller . Bunları hatırlayın veya el altında bulundurun ve her ara sonucu ve yanıtı basitleştirme fırsatını kaçırmayın. Ne için? Şimdi türevini almamız gerekiyor ve bu açıkça türevini bulmaktan daha iyi.

İkinci türevi bulalım.
Şu formülü kullanıyoruz: .

Formülümüze bakalım. Payda önceki adımda zaten bulunmuştur. Geriye “te” değişkenine göre birinci türevin türevi olan payı bulmak kalıyor:

Formülü kullanmaya devam ediyor:

Malzemeyi güçlendirmek için kendi başınıza çözmeniz için birkaç örnek daha sunuyorum.

Örnek 9

Örnek 10

Parametrik olarak belirtilen bir işlevi bulun ve bulun

Size başarılar diliyorum!

Umarım bu ders faydalı olmuştur ve artık örtülü olarak belirtilen fonksiyonların türevlerini ve parametrik fonksiyonlardan kolayca bulabilirsiniz.

Çözümler ve cevaplar:

Örnek 3: Çözüm:






Böylece:

Fonksiyon çeşitli şekillerde belirtilebilir. Bunu belirtmek için kullanılan kurala bağlıdır. Fonksiyonu belirtmenin açık biçimi y = f(x) şeklindedir. Açıklamasının imkansız veya uygunsuz olduğu zamanlar vardır. (a; b) aralığı boyunca t parametresi için hesaplanması gereken çok sayıda (x; y) çifti varsa. 0 ≤ t ile x = 3 cos t y = 3 sin t sistemini çözmek için< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

Parametrik fonksiyonun tanımı

Buradan x = φ (t), y = ψ (t)'nin bir t ∈ (a; b) değeri için tanımlandığını ve x = φ (t) için ters bir t = Θ (x) fonksiyonuna sahip olduğumuzu elde ederiz, o zaman y = ψ (Θ (x)) formundaki bir fonksiyonun parametrik denklemini belirtmekten bahsediyoruz.

Bir fonksiyonu incelemek için x'e göre türevi aramanın gerekli olduğu durumlar vardır. y x " = ψ " (t) φ " (t) formunda parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun türevinin formülünü ele alalım, 2. ve n. mertebeden türev hakkında konuşalım.

Parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun türevinin formülünün türetilmesi

t ∈ a için tanımlanmış ve türevlenebilir x = φ (t), y = ψ (t) elimizde; b, burada x t " = φ " (t) ≠ 0 ve x = φ (t), bu durumda t = Θ (x) formunun ters bir fonksiyonu vardır.

Başlangıç ​​olarak parametrik bir görevden açık bir göreve geçmelisiniz. Bunu yapmak için, x argümanının olduğu y = ψ (t) = ψ (Θ (x)) formunda karmaşık bir fonksiyon elde etmeniz gerekir.

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulma kuralına dayanarak, y " x = ψ Θ (x) = ψ " Θ x · Θ " x sonucunu elde ederiz.

Bu, t = Θ (x) ve x = φ (t)'nin ters fonksiyon formülü Θ " (x) = 1 φ " (t)'den ters fonksiyonlar olduğunu gösterir, bu durumda y " x = ψ " Θ (x) Θ " (x) = ψ " (t) φ " (t) .

Farklılaşma kuralına göre bir türev tablosu kullanarak birkaç örneği çözmeyi düşünelim.

Örnek 1

x = t 2 + 1 y = t fonksiyonunun türevini bulun.

Çözüm

Koşul olarak φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t, buradan φ " (t) = t 2 + 1 ", ψ " (t) = t " = 1 sonucunu elde ederiz. Türetilmiş formülü kullanmalı ve cevabı forma yazmalısınız:

y " x = ψ " (t) φ " (t) = 1 2 t

Cevap: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1 .

Bir h fonksiyonunun türevi ile çalışırken, t parametresi, türevin değerleri ile argümanla parametrik olarak tanımlanmış fonksiyon arasındaki bağlantıyı kaybetmemek için aynı t parametresi aracılığıyla x argümanının ifadesini belirtir. bu değerlerin karşılık geldiği.

Parametrik olarak verilen bir fonksiyonun ikinci dereceden türevini belirlemek için, elde edilen fonksiyonun birinci dereceden türevinin formülünü kullanmanız gerekir, sonra şunu elde ederiz:

y "" x = ψ " (t) φ " (t) " φ " (t) = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " ( t) 2 φ " (t) = ψ "" (t) · φ " (t) - ψ " (t) · φ "" (t) φ " (t) 3 .

Örnek 2

Verilen x = cos (2 t) y = t 2 fonksiyonunun 2. ve 2. dereceden türevlerini bulun.

Çözüm

Koşula göre φ (t) = cos (2 t), ψ (t) = t 2 olduğunu buluruz.

Daha sonra dönüşümden sonra

φ " (t) = cos (2 t) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ψ (t) = t 2 " = 2 t

Bundan şu sonuç çıkar: y x ​​" = ψ " (t) φ " (t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) .

1. dereceden türevin formunun x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) olduğunu elde ederiz.

Çözmek için ikinci dereceden türev formülünü uygulamanız gerekir. Formun bir ifadesini alıyoruz

y x "" = - t sin (2 t) φ " t = - t " sin (2 t) - t (sin (2 t)) " sin 2 (2 t) - 2 günah (2 t) = = 1 günah (2 t) - t cos (2 t) (2 t) " 2 günah 3 (2 t) = günah (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 günah 3 (2 t)

Daha sonra parametrik bir fonksiyon kullanarak 2. dereceden türevi belirleme

x = cos (2 t) y x "" = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Benzer bir çözüm başka bir yöntem kullanılarak çözülebilir. Daha sonra

φ " t = (çünkü (2 t)) " = - günah (2 t) 2 t " = - 2 günah (2 t) ⇒ φ "" t = - 2 günah (2 t) " = - 2 günah (2 t) " = - 2 çünkü (2 t) · (2 ​​t) " = - 4 çünkü (2 t) ψ " (t) = (t 2) " = 2 t ⇒ ψ "" (t) = ( 2 t)" = 2

Buradan şunu anlıyoruz

y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 günah (2 t) - 2 t (- 4 cos (2 t)) - 2 günah 2 t 3 = = günah (2 t) - 2 t çünkü (2 t) 2 s ben n 3 (2 t)

Cevap: y "" x = sin (2 t) - 2 t çünkü (2 t) 2 s ben n 3 (2 t)

Parametrik olarak tanımlanmış fonksiyonlara sahip yüksek dereceli türevler de benzer şekilde bulunur.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Fonksiyonun parametrik bir şekilde belirtilmesine izin verin:
(1)
parametre adı verilen bazı değişkenler nerede? Ve fonksiyonların değişkenin belirli bir değerinde türevleri olsun.
(2)

Üstelik fonksiyon noktanın belirli bir komşuluğunda da ters fonksiyona sahiptir.
;
.

O halde fonksiyon (1)'in, parametrik formda aşağıdaki formüllerle belirlenen noktada bir türevi vardır:

Burada ve fonksiyonların ve değişkene (parametreye) göre türevleridir.

Genellikle şu şekilde yazılırlar:
.
O halde sistem (2) şu şekilde yazılabilir:
.
Kanıt
.

Koşullara göre fonksiyonun ters fonksiyonu vardır. olarak belirtelim

O zaman orijinal fonksiyon karmaşık bir fonksiyon olarak temsil edilebilir:

Karmaşık ve ters fonksiyonların diferansiyel kurallarını kullanarak türevini bulalım:
.
Kural kanıtlandı.
.
İkinci şekilde kanıt
.

Fonksiyonun noktadaki türevinin tanımına dayanarak türevi ikinci şekilde bulalım:
Gösterimi tanıtalım:
; ;
; .
Daha sonra önceki formül şu şekli alır:
.
Fonksiyonun noktanın komşuluğunda ters fonksiyona sahip olmasından yararlanalım.
.

Koşullara göre fonksiyonun ters fonksiyonu vardır. olarak belirtelim

Aşağıdaki gösterimi tanıtalım:

Kesrin payını ve paydasını şuna bölün:
(1)

Formül (2)'yi kullanarak yine parametrik olarak belirlenen birinci türevi buluruz:
(2)

Birinci türevi değişkenle gösterelim:
.
Daha sonra bir fonksiyonun değişkene göre ikinci türevini bulmak için, fonksiyonun değişkene göre birinci türevini bulmanız gerekir.
(3)
Bir değişkenin bir değişkene bağımlılığı da parametrik bir şekilde belirtilir:

(3)'ü formül (1) ve (2) ile karşılaştırdığımızda şunu buluruz:
.
Şimdi sonucu ve fonksiyonları aracılığıyla ifade edelim.
.

Bunu yapmak için türev kesir formülünü yerine koyalım ve uygulayalım:

Daha sonra
.

Buradan fonksiyonun değişkene göre ikinci türevini elde ederiz:

Ayrıca parametrik formda da verilmektedir. İlk satırın şu şekilde de yazılabileceğini unutmayın:
;
.

İşleme devam ederek üçüncü ve daha yüksek dereceli bir değişkenden fonksiyonların türevlerini elde edebilirsiniz.

Türev için bir notasyon eklememiz gerekmediğine dikkat edin.

Bunu şu şekilde yazabilirsiniz:

Örnek 1
Parametrik olarak tanımlanan bir fonksiyonun türevini bulun:
;
.
Çözüm

.
göre türevlerini buluyoruz.

.
göre türevlerini buluyoruz.

Türev tablosundan şunları buluyoruz:
.

Uygularız:

Burada .

Gerekli türev:

Bunu şu şekilde yazabilirsiniz:

Cevap
.

Örnek 2

.

Parametre aracılığıyla ifade edilen fonksiyonun türevini bulun:

.

Güç fonksiyonları ve köklerine ilişkin formülleri kullanarak parantezleri genişletelim:
.

Uygularız:

Türevi bulma:

Türevi bulma.

Bunu şu şekilde yazabilirsiniz:

Bunu yapmak için bir değişken tanıtıyoruz ve karmaşık bir fonksiyonun türevine ilişkin formülü uyguluyoruz.

İstenilen türevi buluyoruz:

Örnek 3

Örnek 1'de parametrik olarak tanımlanan fonksiyonun ikinci ve üçüncü dereceden türevlerini bulun:
.
Örnek 1'de birinci dereceden türevi bulduk:
.
Tanımı tanıtalım.
.

O halde fonksiyon 'a göre türevdir.

Parametrik olarak belirtilir:

'ye göre ikinci türevi bulmak için, 'ye göre birinci türevi bulmamız gerekir.
.
ile ayırt edelim.
.

Örnek 1'de türevini bulduk:
.

göre ikinci dereceden türev, aşağıdakilere göre birinci dereceden türeve eşittir:

Böylece parametrik forma göre ikinci dereceden türevi bulduk:
;
;
;
;
;
;
;
;
.

Uygularız:

Şimdi üçüncü dereceden türevi buluyoruz. Tanımı tanıtalım.

Daha sonra fonksiyonun parametrik bir şekilde belirtilen birinci dereceden türevini bulmamız gerekiyor:

x, y değişkenlerinin üçüncü bir t değişkeninin (parametre adı verilen) fonksiyonları olduğu bir düzlem üzerinde bir çizgi tanımlamayı düşünün:

Her bir değer için T belirli bir aralıktan itibaren belirli değerler karşılık gelir X Ve y, bir dolayısıyla düzlemin belirli bir M(x,y) noktası. Ne zaman T belirli bir aralıktaki tüm değerlerin üzerinden geçer, ardından nokta M (x, y) bir satırı tanımlar L. Denklemlere (2.2) parametrik çizgi denklemleri denir L.

Eğer x = φ(t) fonksiyonunun tersi t = Ф(x) varsa, o zaman bu ifadeyi y = g(t) denkleminde yerine koyarsak, y = g(Ф(x)) elde ederiz; bu, şunu belirtir: sen bir fonksiyonu olarak X. Bu durumda denklemlerin (2.2) fonksiyonu tanımladığını söylüyoruz. sen parametrik olarak.

Örnek 1.İzin vermek M(x,y)– yarıçaplı bir daire üzerinde rastgele bir nokta R ve orijine odaklanmıştır. İzin vermek T– eksen arasındaki açı Öküz ve yarıçap OM(bkz. Şekil 2.3). Daha sonra x, y aracılığıyla ifade edilir T:

Denklemler (2.3) bir çemberin parametrik denklemleridir. t parametresini denklemlerden (2.3) hariç tutalım. Bunu yapmak için her denklemin karesini alır ve eklersek şunu elde ederiz: x 2 + y 2 = R 2 (cos 2 t + sin 2 t) veya x 2 + y 2 = R 2 – Kartezyen denklemde bir dairenin denklemi koordinat sistemi. İki fonksiyonu tanımlar: Bu fonksiyonların her biri parametrik denklemlerle (2.3) verilir, ancak birinci fonksiyon ve ikincisi için.

Örnek 2. Parametrik denklemler

yarı eksenli bir elips tanımlayın a, b(Şekil 2.4). Parametrenin denklemlerden hariç tutulması T elipsin kanonik denklemini elde ederiz:

Örnek 3. Bir sikloid, eğer bu daire düz bir çizgide kaymadan yuvarlanıyorsa, bir daire üzerinde yatan bir nokta ile tanımlanan bir çizgidir (Şekil 2.5). Sikloidin parametrik denklemlerini tanıtalım. Yuvarlanan dairenin yarıçapı şöyle olsun: A, nokta M Sikloidi tanımlayan hareketin başlangıcı koordinatların kökenine denk geliyordu.

Koordinatları belirleyelim X, y puan M daire bir açıyla döndükten sonra T
(Şekil 2.5), t = ÐMCB. Yay uzunluğu M.B. segmentin uzunluğuna eşit O.B.çember kaymadan yuvarlandığından dolayı

OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),

y = AM = CB – CD = a – maliyet = a(1 – maliyet).

Böylece sikloidin parametrik denklemleri elde edilir:

Bir parametreyi değiştirirken T 0'dan 2π daire bir tur döner ve nokta M bir sikloidin bir yayını tanımlar. Denklemler (2.5) şunu verir: sen bir fonksiyonu olarak X. Her ne kadar fonksiyon x = a(t – sint) ters bir işlevi vardır, ancak temel işlevler cinsinden ifade edilmez, dolayısıyla işlev y = f(x) temel işlevlerle ifade edilmez.

Denklemler (2.2) ile parametrik olarak tanımlanan bir fonksiyonun türevini ele alalım. Belirli bir t değişim aralığında x = φ(t) fonksiyonu ters fonksiyona sahiptir t = F(x), Daha sonra y = g(Ф(x)). İzin vermek x = φ(t), y = g(t) türevleri var ve x"t≠0. Karmaşık fonksiyonların farklılaşması kuralına göre y"x=y"t×t"x. Ters fonksiyonun türevini alma kuralına dayanarak, bu nedenle:

Ortaya çıkan formül (2.6), parametrik olarak belirtilen bir fonksiyonun türevini bulmayı sağlar.

Örnek 4. Fonksiyonun sen, bağlı olarak X, parametrik olarak belirtilir:

Çözüm. .
Örnek 5. Eğimi bulun k parametrenin değerine karşılık gelen M 0 noktasında sikloide teğettir.
Çözüm. Sikloid denklemlerinden: y" t = asint, x" t = a(1 – maliyet), Bu yüzden

Bir noktada teğet eğim M0 değerine eşit t 0 = π/4:

DİFERANSİYEL FONKSİYONU

Fonksiyonun bu noktada olmasına izin verin x 0 türevi vardır. Tanım gereği:
bu nedenle limitin özelliklerine göre (Bölüm 1.8), burada A– sonsuz küçük Δx → 0. Buradan

Δy = f "(x0)Δx + α×Δx. (2.7)

Δx → 0 olduğundan, eşitlikteki ikinci terim (2.7), ile karşılaştırıldığında daha yüksek mertebeden sonsuz küçüktür. , bu nedenle Δy ve f " (x 0)×Δx eşdeğerdir, sonsuz küçüktür (f "(x 0) ≠ 0 için).

Böylece, Δy fonksiyonunun artışı, ilk f "(x 0)×Δx olan iki terimden oluşur. ana kısım Δy artışı, Δx'e göre doğrusal (f "(x 0)≠ 0 için).

Diferansiyel x 0 noktasındaki f(x) fonksiyonuna, fonksiyonun artışının ana kısmı denir ve şöyle gösterilir: ölmek veya df(x0). Buradan,

df (x0) =f "(x0)×Δx. (2,8)

Örnek 1. Bir fonksiyonun diferansiyelini bulun ölmek ve y = x 2 fonksiyonu için Δy fonksiyonunun artışı:
1) keyfi X ve Δ X; 2) x 0 = 20, Δx = 0,1.

Çözüm

1) Δy = (x + Δx) 2 – x 2 = x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 – x 2 = 2xΔx + (Δx) 2, dy = 2xΔx.

2) Eğer x 0 = 20, Δx = 0,1 ise Δy = 40×0,1 + (0,1) 2 = 4,01; dy = 40×0,1= 4.

Eşitliği (2.7) şu şekilde yazalım:

Δy = dy + a×Δx. (2.9)

Δy artışı diferansiyelden farklıdır ölmekΔx'e kıyasla daha yüksek dereceden sonsuz küçük bir değere kadar, bu nedenle yaklaşık hesaplamalarda, Δx yeterince küçükse yaklaşık Δy ≈ dy eşitliği kullanılır.

Δy = f(x 0 + Δx) – f(x 0) olduğunu düşünürsek yaklaşık bir formül elde ederiz:

f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)

Örnek 2. Yaklaşık olarak hesaplayın.

Çözüm. Dikkate almak:

Formül (2.10)'u kullanarak şunu elde ederiz:

Yani ≈ 2,025.

Diferansiyelin geometrik anlamını ele alalım df(x 0)(Şekil 2.6).

y = f(x) fonksiyonunun grafiğine M 0 (x0, f(x 0)) noktasında bir teğet çizelim, φ KM0 teğeti ile Ox ekseni arasındaki açı olsun, sonra f"( x 0) = tanφ ΔM0NP'den:
PN = tgφ×Δx = f "(x 0)×Δx = df(x 0). Ancak PN, x x 0'dan x 0 + Δx'e değiştikçe teğet ordinatın artışıdır.

Sonuç olarak, f(x) fonksiyonunun x 0 noktasındaki diferansiyeli, teğetin ordinatındaki artışa eşittir.

Fonksiyonun diferansiyelini bulalım
y = x. (x)" = 1 olduğundan dx = 1×Δx = Δx olur. Bağımsız değişken x'in diferansiyelinin artışına eşit olduğunu varsayacağız, yani dx = Δx.

Eğer x keyfi bir sayı ise, o zaman (2.8) eşitliğinden df(x) = f "(x)dx elde ederiz, dolayısıyla .
Dolayısıyla, bir y = f(x) fonksiyonunun türevi, diferansiyelinin argümanın diferansiyeline oranına eşittir.

Bir fonksiyonun diferansiyelinin özelliklerini ele alalım.

Eğer u(x), v(x) türevlenebilir fonksiyonlar ise, aşağıdaki formüller geçerlidir:

Bu formülleri kanıtlamak için bir fonksiyonun toplamı, çarpımı ve bölümü için türev formülleri kullanılır. Örneğin formül (2.12)'yi kanıtlayalım:

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.

Karmaşık bir fonksiyonun diferansiyelini ele alalım: y = f(x), x = φ(t), yani. y = f(φ(t))

O halde dy = y" t dt, ancak y" t = y" x ×x" t, yani dy =y" x x" t dt. dikkate alındığında,

x" t = dx olursa, dy = y" x dx =f "(x)dx elde ederiz.

Dolayısıyla, x =φ(t) olan karmaşık bir fonksiyonun diferansiyeli y = f(x) dy = f "(x)dx biçimine sahiptir; bu, x'in bağımsız bir değişken olduğu durumla aynıdır. Bu özellik denir diferansiyel formunun değişmezliği A.