Birçok fiziksel ve geometrik modelin incelenmesi sıklıkla parametrelerle ilgili problemlerin çözülmesine yol açar. Bazı üniversiteler, genellikle çok karmaşık olan ve çözümü için standart dışı bir yaklaşım gerektiren denklemlere, eşitsizliklere ve bunların sistemlerine de sınav kağıtlarında yer vermektedir. Okulda cebir dersinin en zor bölümlerinden biri olan bu bölüm, yalnızca birkaç seçmeli veya konu dersinde ele alınmaktadır.
Bana göre fonksiyonel grafik yöntemi, parametreli denklemleri çözmenin kolay ve hızlı bir yoludur.
Bilindiği gibi parametreli denklemlerle ilgili olarak problemin iki formülasyonu bulunmaktadır.
- Denklemi çözün (her parametre değeri için denklemin tüm çözümlerini bulun).
- Her biri için denklemin çözümlerinin verilen koşulları karşıladığı parametrenin tüm değerlerini bulun.
Bu yazıda, bulgusu ikinci dereceden bir denklemin çözümüne indirgenen kare üç terimlinin kökleriyle ilgili olarak ikinci tip bir problem ele alınmakta ve incelenmektedir.
Yazar, bu çalışmanın öğretmenlere dersler geliştirirken ve öğrencileri Birleşik Devlet Sınavına hazırlarken yardımcı olacağını umuyor.
1. Parametre nedir
Formun ifadesi Ah 2 + bx + c okul cebir dersinde ikinci dereceden trinomial adını verdiler X, Nerede a, b, c'ye gerçek sayılar verilmiştir ve, A=/= 0. İfadenin sıfır olduğu x değişkeninin değerlerine kare trinomiyalin kökleri denir. İkinci dereceden bir üç terimlinin köklerini bulmak için ikinci dereceden denklemi çözmeniz gerekir. Ah 2 + bх + c = 0.
Okul cebir dersindeki temel denklemleri hatırlayalım balta + b = 0;
aх2 + bх + c = 0. Kökleri aranırken değişkenlerin değerleri a, b, c, Denklemde yer alan değerler sabit kabul edilir ve verilir. Değişkenlerin kendilerine parametreler denir. Okul ders kitaplarında parametrenin tanımı bulunmadığından aşağıdaki en basit versiyonun temel alınmasını öneriyorum.
Tanım.Bir parametre, problemdeki değeri belirli bir sabit veya keyfi gerçek sayı veya önceden belirlenmiş bir kümeye ait bir sayı olarak kabul edilen bağımsız bir değişkendir.
2. Parametrelerle ilgili problemleri çözmek için temel türler ve yöntemler
Parametreli görevler arasında aşağıdaki ana görev türleri ayırt edilebilir.
- Bir parametrenin/parametrelerin herhangi bir değeri için veya önceden belirlenmiş bir kümeye ait parametre değerleri için çözülmesi gereken denklemler. Örneğin. Denklemleri çözün: balta = 1, (A - 2)x = bir 2 – 4.
- Parametrenin (parametreler) değerine bağlı olarak çözüm sayısını belirlemeniz gereken denklemler. Örneğin. Hangi parametre değerlerinde A denklem 4X 2 – 4balta + 1 = 0 tek bir kökü var mı?
- Gerekli parametre değerleri için çözüm kümesinin tanım alanında belirtilen koşulları karşıladığı denklemler.
Örneğin denklemin köklerinin bulunduğu parametre değerlerini bulun ( A - 2)X 2
–
2balta + bir + 3 =
0
Olumlu.
Bir parametreyle sorunları çözmenin ana yolları: analitik ve grafiksel.
Analitik- Bu, parametresi olmayan problemlerde cevabı bulmak için standart prosedürlerin tekrarlandığı, doğrudan çözüm adı verilen bir yöntemdir. Böyle bir görevin bir örneğine bakalım.
Görev No.1
Denklem a parametresinin hangi değerlerinde yapılır? X 2 – 2balta + bir 2 – 1 = 0'ın (1; 5) aralığına ait iki farklı kökü var mı?
Çözüm
X 2 –
2balta + bir 2 –
1 = 0.
Problemin koşullarına göre denklemin iki farklı kökü olması gerekir ve bu da ancak D > 0 koşuluyla mümkündür.
Elimizde: D = 4 A 2 – 2(A 2 – 1) = 4. Gördüğümüz gibi diskriminant a'ya bağlı değildir, dolayısıyla denklem a parametresinin herhangi bir değeri için iki farklı köke sahiptir. Denklemin köklerini bulalım: X 1 = A + 1, X 2
= A – 1
Denklemin kökleri (1; 5) aralığına ait olmalıdır, yani.
Yani saat 2'de<A < 4 данное уравнение имеет
два различных корня, принадлежащих промежутку (1;
5)
Cevap: 2<A < 4.
Söz konusu türdeki problemlerin çözümüne yönelik bu yaklaşım, ikinci dereceden denklemin diskriminantının "iyi" olduğu durumlarda mümkün ve rasyoneldir; herhangi bir sayının veya ifadenin tam karesidir veya denklemin kökleri Vieta'nın ters teoremi kullanılarak bulunabilir. O halde kökler irrasyonel ifadeleri temsil etmemektedir. Aksi takdirde bu tür sorunların çözümü teknik açıdan oldukça karmaşık prosedürleri gerektirir. İrrasyonel eşitsizlikleri çözmek ise öğrenciden yeni bilgiler almayı gerektirir.
Grafik- bu, grafiklerin (x; y) veya (x; a) koordinat düzleminde kullanıldığı bir yöntemdir. Bu çözümün netliği ve güzelliği, sorunu çözmenin hızlı bir yolunu bulmaya yardımcı olur. 1 numaralı problemi grafiksel olarak çözelim.
Cebir dersinden bildiğiniz gibi, ikinci dereceden bir denklemin (ikinci dereceden trinomiyal) kökleri, karşılık gelen ikinci dereceden fonksiyonun sıfırlarıdır: Y = X 2
– 2Ah + A 2 – 1. Fonksiyonun grafiği bir paraboldür, dallar yukarı doğru yönlendirilir (ilk katsayı 1'dir). Problemin tüm gereksinimlerini karşılayan geometrik bir model şuna benzer.
Şimdi geriye kalan tek şey, gerekli koşulları kullanarak parabolü istenen konumda "sabitlemek".
- Parabolün eksenle iki kesişme noktası olduğundan X, sonra D > 0.
- Parabolün tepe noktası dikey çizgiler arasındadır X= 1 ve X= 5, dolayısıyla x o parabolünün tepe noktasının apsisi (1; 5) aralığına aittir, yani.
1 <X O< 5. - Bunu fark ediyoruz en(1) > 0, en(5) > 0.
Böylece problemin geometrik modelinden analitik modeline geçerek bir eşitsizlik sistemi elde ederiz.
Cevap: 2<A < 4.
Örnekten görülebileceği gibi, söz konusu türdeki problemleri çözmek için grafiksel bir yöntem, köklerin "kötü" olması durumunda mümkündür, yani. radikal işareti altında bir parametre içerir (bu durumda denklemin diskriminantı tam kare değildir).
İkinci çözüm yönteminde denklemin katsayıları ve fonksiyonun aralığı ile çalıştık. en = X 2 – 2Ah + A 2
– 1.
Bu çözüm yöntemi yalnızca grafiksel olarak adlandırılamaz çünkü burada bir eşitsizlik sistemini çözmemiz gerekiyor. Aksine, bu yöntem birleştirilmiştir: işlevsel ve grafik. Bu iki yöntemden ikincisi sadece zarif değil, aynı zamanda en önemlisidir, çünkü tüm matematiksel model türleri arasındaki ilişkiyi gösterir: problemin sözel bir açıklaması, geometrik bir model - ikinci dereceden bir üç terimli grafiği, analitik bir model. model - bir eşitsizlik sistemi tarafından geometrik bir modelin açıklaması.
Bu nedenle, ikinci dereceden bir üç terimlinin köklerinin, istenen parametre değerleri için tanım alanındaki belirli koşulları karşıladığı bir problemi ele aldık.
İkinci dereceden bir üç terimlinin kökleri istenen parametre değerleri için başka hangi olası koşulları karşılayabilir?
Ders konusu: "Kare trinomial ve kökleri."
Dersin amacı: Öğrencilere kare trinomial kavramını ve köklerini tanıtmak, binomun karesini kare trinomialden ayırmaya yönelik görevleri çözme becerilerini geliştirmek.
Ders şunları içerir dört ana aşama:
Bilgi kontrolü
Yeni malzemenin açıklaması
Üreme konsolidasyonu.
Eğitim takviyesi.
Refleks.
Aşama 1. Bilgi kontrolü.
Öğretmen önceki döngüdeki materyale dayalı olarak "karbon kopya gibi" bir matematiksel dikte gerçekleştirir. Dikte için iki renkli kartlar kullanılır: 1 seçenek için mavi, 2 seçenek için kırmızı.
Verilen analitik fonksiyon modellerinden yalnızca ikinci dereceden olanları seçin.
Seçenek 1. y=ax+4, y=45-4x, y=x²+4x-5, y=x³+x²-1.
Seçenek 2. y=8x-b, y=13+2x, y= -x²+4x, y=-x³+4x²-1.
İkinci dereceden fonksiyonların taslağını çizin. İkinci dereceden bir fonksiyonun koordinat düzlemindeki konumunu benzersiz bir şekilde belirlemek mümkün müdür? Cevabınızı gerekçelendirmeye çalışın.
İkinci dereceden denklemleri çözün.
Seçenek 1. a) x² +11x-12=0
B) x² +11x =0
Seçenek 2. a) x² -9x+20=0
B) x² -9 x =0
4. Denklemi çözmeden kökleri olup olmadığını bulun.
Seçenek 1. A) x² + x +12=0
Seçenek 2. A) x² + x - 12=0
Öğretmen ilk iki çiftten alınan cevapları kontrol eder. Alınan yanlış cevaplar tüm sınıfla tartışılır.
| Seçenek 1. | Seçenek 2. |
| 1. y=x²+4x-5 | 1. y= -x²+4x |
| 2. Dallar yukarı doğru ancak yeterli veri olmadığı için konum kesin olarak belirlenemiyor. | dallara ayrılır, ancak yeterli veri olmadığı için konumu kesin olarak belirlemek imkansızdır. |
| 3.a) –12; 1 b) –11;0 | 3.a) 4;5 b) 9;0 |
| 4. D0, iki kök var |
Aşama 2. Bir küme oluşturalım. İkinci dereceden trinomial göz önüne alındığında hangi ilişkilere sahipsiniz?
Bir küme oluşturma.
Olası cevaplar:
Kareyi dikkate almak için ikinci dereceden trinomial kullanılır. işlevler;
karenin sıfırlarını bulabilirsiniz. işlevler
Diskriminant değerini kullanarak kök sayısını tahmin edin.
Gerçek süreçleri vb. tanımlayın.
Yeni malzemenin açıklanması.
Paragraf 2. madde 3, s. 19-22.
İfadeler dikkate alınır ve ikinci dereceden bir trinomiyalin tanımı ve bir polinomun kökü verilir (daha önce tartışılan ifadelerin tartışılması sırasında)
Bir polinomun kökü tanımı formüle edilmiştir.
İkinci dereceden bir trinomiyalin tanımı formüle edilmiştir.
Bir trinomialin çözümüne ilişkin örnekler analiz edilmiştir:
İkinci dereceden bir üç terimlinin köklerini bulun.
Kare binomunu kare trinomiyalden ayıralım.
3x²-36x+140=0.
Eylemin yaklaşık temelinin bir diyagramı hazırlanır.
Binomu kare trinomialden ayırma algoritması.
1. Baştaki kare katsayısının sayısal değerini belirleyin üç terimli.
2. Aynı işlemi gerçekleştirin ve 2. İfadeyi dönüştürün,
formülleri kullanarak eşdeğer dönüşümler
(ortak çarpanı parantezlerin dışına koyun; toplamın ve farkın karesi.
parantez içindeki ifadeyi dönüştür
bunu toplamın karesi formülüne göre oluşturmak
veya fark)
a²+2ab+b²= (a+c)² a²-2ab+b²= (a-c)²
Aşama 3. Ders kitabındaki tipik görevlerin çözülmesi (No. 60 a, c; 61 a, 64 a, c) Tahtada yapılır ve üzerine yorum yapılır.
Aşama 4. 2 seçenek üzerinde bağımsız çalışma (No. 60a, b; 65 a, b). Öğrenciler tahtadaki örnek çözümleri kontrol ederler.
Ödev: S.3 (teoriyi öğrenin, No. 56, 61g, 64g)
Refleks. Öğretmen şu görevi verir: Dersin her aşamasında ilerlemenizi bir çizim kullanarak değerlendirin ve bunu öğretmene teslim edin. (görev ayrı sayfalarda tamamlanır, bir örnek verilir).
Örnek: 
Resimdeki öğelerin sırasını kullanarak dersin hangi aşamasında bilgisizliğinizin hakim olduğunu belirleyin. Bu aşamayı kırmızıyla vurgulayın.
Konunun derinlemesine incelenmesine yönelik görevleri içeren “Kare trinomial ve kökleri” konulu 9. sınıf matematik dersi sunumu. Sunum ders boyunca sürekli kullanım için tasarlanmıştır. İçerikte çeşitli türlerdeki ödevler.
İndirmek:
Önizleme:
Sunum önizlemelerini kullanmak için bir Google hesabı oluşturun ve bu hesaba giriş yapın: https://accounts.google.com
Slayt başlıkları:
Plan maddesi Plan maddesi Plan maddesi Plan maddesi Plan maddesi Bilginin güncellenmesi Dersin konusunun incelenmesi Ansiklopedik referans Dinamik dakika Ödevi Kare trinomial ve kökleri matematik öğretmeni tarafından hazırlanmıştır: 1KK Radchenko Natalya Fedorovna
Bilginin güncellenmesi Dersin konusunun çalışılması Ansiklopedik referans Dinamik dakika Ödev Bilginin güncellenmesi ◊ 1 Fonksiyonlarla ilgili materyalin tekrarı; ◊ 2 İkinci dereceden denklem çözmenin teorik temelleri; ◊ 3 Vieta teoremi; ◊ 4 Toplam.
Bilgiyi güncelleme Materyal tekrarı: Bu fonksiyonlardan doğrusal azalan fonksiyonları belirtin: y= x²+12 y= -x-24 y= 9x+8 h= 23-23x h= 1/x² g= (x+16)² g = - 3
Bilgiyi güncelleme İkinci dereceden bir denklemin varlığı ve köklerinin sayısı nasıl belirlenir? İkinci dereceden bir denklem D = 2'nin diskriminantı nasıl hesaplanır. İkinci dereceden denklemin kökleri için formülleri adlandırın D>0, sonra x 1,2 = D = 0, sonra x =
Bilgiyi güncelleme t² - 2t – 3 = 0 3. Diskriminantı hesaplayın ve “İkinci dereceden denklemin kaç kökü vardır?” sorusunu cevaplayın. D= 16 >0, iki kök Köklerin çarpımı nedir? X 1 x 2 = - 3 5. Denklemin köklerinin toplamı nedir? X 1 + x 2 = 2 6. Köklerin işaretleri hakkında ne söylenebilir? Farklı işaretlerin kökleri 7. Seçim yaparak kökleri bulun. X 1 = 3, x 2 = -1
Dersin konusunun çalışılması ◊ 1 Dersin konusunun raporlanması; ◊ 2 “Kare trinomial ve kökleri” kavramının teorik temelleri; ◊ 3 Büyük düşünürlerin matematikle ilgili açıklamaları; ◊ 4 Konu örneklerinin analizi; Dersin konusunun incelenmesi Ansiklopedik referans Dinamik dakika Ödevi
Kare üç terimli ve kökleri Bir kare üç terimli, ax² + bx + c biçiminde bir polinomdur; burada x bir değişkendir, a, b ve c bazı sayılardır ve a≠ 0'dır. İkinci dereceden bir üç terimlinin kökü, bu üç terimlinin değerinin sıfır olduğu bir değişkenin değeridir. İkinci dereceden üç terimli ax² + bx + c'nin köklerini bulmak için ikinci dereceden ax² + bx + c =0 denklemini çözmeniz gerekir.
Kare trinomial ve kökleri İyi bir zihne sahip olmak yeterli değildir, önemli olan onu iyi kullanmaktır. R. Descartes Herkes tutarlı düşünebilmeli, kanıtlanabilir bir şekilde yargılayabilmeli ve yanlış sonuçları çürütebilmelidir: bir fizikçi ve bir şair, bir traktör sürücüsü ve bir kimyager. E. Kolman
Ansiklopedik referans ◊ 1 “Parametre” kavramı; ◊ 2 Rusça sözlüklerde ve yabancı kelimeler sözlüğünde “parametre” kelimesinin anlamı; ◊ 3 Parametrenin tanımı ve uygulama kapsamı; ◊ 4 Parametreli örnekler. Ansiklopedik referans Dinamik dakika Ödevi
Ansiklopedik referans PARAMETRE (Yunanca παραμετρέω'dan - ölçüyorum, ayrılıyorum). Matematiksel bir formülde yer alan ve bir olgu içinde veya belirli bir görev için sabit bir değeri koruyan miktar..., (mat.) Parametre, bir harfle ifade edilen ve sabit değerini yalnızca belirli bir durum koşulları altında koruyan sabit bir değerdir. verilen görev... “Yabancı kelimeler sözlüğü.” 3. m parametresinin hangi değerinde 2x ² + 2тх – m – 0,5 kare trinomialinin tek kökü vardır? Bu kökü bulun.
Dinamik duraklama ◊ 1 Bir “problem problemini” çözme; ◊ 2 Tarihsel arka plan: geçmişten gelen mektup; Dinamik Dakika Ödevi
Dinamik duraklama t parametresinin hangi değerinde 2х ² + 2тх – т – 0,5 = 0 kare trinomial tek bir köke sahiptir? Bu kökü bulun. İkinci dereceden denklemin bir kökü vardır D=0 D= b² - 4ac; a=2, b=2m, c= - m – 0,5 D= (2m)² - 4 2 (- m – 0,5) = 4m² + 8m +4 D=0, 4m² + 8m +4 = 0 m² + 2m +1 = 0 (m + 1)² = 0 m= - 1 Bulunan m değerini orijinal denklemde yerine koyun: 2x ² - 2x + 1 – 0,5 = 0 4x ² - 4x + 1 = 0 ( 2x – 1 ) ² =0 2x -1 =0 x = 0,5
Dinamik duraklama Ödevde, 8. sınıf öğrencilerinden ikinci dereceden bir trinomiyalin (x² - 5x +7) ² - 2(x² - 5x +7) - 3 köklerini bulmaları istendi. Vitya düşündükten sonra şu şekilde mantık yürüttü: önce şunu yapmalısınız: parantezleri açın, ardından benzer terimleri getirin. Ancak Styopa, bunu çözmenin daha basit bir yolu olduğunu ve parantezleri açmaya hiç gerek olmadığını söyledi. Vita'nın akılcı bir çözüm bulmasına yardım edin
Dinamik duraklama İkinci dereceden bir üç terimlinin köklerini bulma ve ikinci dereceden denklemler oluşturma sorunları eski Mısır matematik papirüsünde zaten bulunmaktadır. Kökleri bulma ve denklemleri çözmenin genel kuralı: ax ² + bx = c, burada a > 0, b ve c herhangi bir değerdir ve Brahmagupta (MS 7. yüzyıl) tarafından formüle edilmiştir. Brahmagupta ikinci dereceden bir denklemin negatif bir kökü olabileceğini henüz bilmiyordu. Bhaskara Acharya (12. yüzyıl) denklemin katsayıları arasındaki ilişkileri formüle etti. Bir sürü sorun çıkardı.
Genelleme, ödev ◊ 1 Parametreli alıştırmaları çözme: çeşitli görev türleri; ◊ 2 Çalışılan konunun özeti; ◊ 3 Ödev: seviyeye göre. Ev ödevi
Genelleme, ödev İkinci dereceden üç terimli (x-4)² +(4y-12)²'nin köklerini bulun. Her biri için ikinci dereceden üç terimli x²+ 4 x + 2ax+8a+1'in bir çözümü olan a parametresinin değerlerini bulun. Ev ödevi: s.3; Grup 1: No. 45 (c, d), No. 49 (c, d); Grup 2: a) x²-6x+2ax+4a kare trinomialinin çözümünün olmadığı a parametresinin değerini bulun; b) İkinci dereceden üç terimli (2x-6)²+(3y-12)²'nin köklerini bulun
şablonun kaynağı Natalia Vladimirovna Chernakova Kimya ve biyoloji öğretmeni, Devlet Eğitim Kurumu NPO Arkhangelsk Bölgesi “Meslek Okulu No. 31” “http://pedsovet.su/”
En yüksek kategorinin öğretmeni: Minaichenko N.S., spor salonu No. 24, Sevastopol
8. sınıfta ders: "Kare trinomial ve kökleri"
Ders türü : yeni bilgi dersi.
Dersin amacı:
İkinci dereceden bir üç terimlinin doğrusal faktörlere ayrıştırılması ve kesirlerin azaltılması hakkındaki bilgileri pekiştirmek ve geliştirmek için öğrenci etkinlikleri düzenlemek;
Cebir sınavını başarılı bir şekilde geçmeye hazırlanmak için tüm çarpanlara ayırma yöntemlerine ilişkin bilgiyi uygulama becerilerini geliştirmek: parantezleme, kısaltılmış çarpma formüllerini kullanma ve gruplama yöntemleri;
konuya bilişsel ilginin gelişmesi, mantıksal düşünmenin oluşması ve çarpanlara ayırma kullanılırken öz kontrolün oluşması için koşullar yaratın.
Teçhizat: multimedya projektörü, ekran, sunum: “Kare üçlünün kökleri”, bulmaca, test, çalışma notları.
Temel Kavramlar . İkinci dereceden bir trinomialın çarpanlara ayrılması.
Öğrencilerin bağımsız faaliyetleri. Problem çözümünde ikinci dereceden bir üç terimlinin çarpanlara ayrılmasına ilişkin teoremin uygulanması.
Ders Planı
Sorun çözme.Öğrenci sorularına cevaplar
IV. Bilgi edinmenin birincil testi. Refleks
Öğretmenin mesajı.
Öğrenci mesajı
V. Ödev
Tahtaya yazma
Metodolojik yorum:
Bu konu “Cebirsel ifadelerin özdeş dönüşümleri” bölümünde temel bir konudur. Bu nedenle, öğrencilerin otomatik olarak yalnızca örneklerdeki çarpanlara ayırma formüllerini görebilmeleri değil, aynı zamanda bunları denklem çözme, ifadeleri dönüştürme, özdeşlikleri kanıtlama gibi diğer görevlerde de uygulayabilmeleri önemlidir.
Bu konu ikinci dereceden bir trinomialin çarpanlara ayrılmasına odaklanmaktadır:
balta+ bx + c = a(x – x)(x – x
),
nerede x ve x – ikinci dereceden denklemin kökleri ax + bx + c = 0.
Bu, öğrencinin görüş alanını genişletmenize, üzerinde çalışılan materyali kullanarak ona standart olmayan bir durumda düşünmeyi öğretmenize olanak tanır; İkinci dereceden bir üç terimliyi çarpanlara ayırma formülünü kullanarak:
cebirsel kesirleri azaltma yeteneği;
cebirsel ifadeleri basitleştirme yeteneği;
denklemleri çözme yeteneği;
Kimlikleri kanıtlama yeteneği.
Ana ders içeriği:
a) 3x + 5x – 2;
b) –x + 16x – 15;
c) x – 12x + 24;
d) –5x + 6x – 1.
№2. Kesri azaltın:
№3. İfadeyi basitleştirin:
№4. Denklemi çözün:
B) 
Ders ilerlemesi:
I. Bilginin güncellenmesi aşaması.
Öğrenme faaliyetleri için motivasyon.
a) tarihten:
B) bulmaca:
Zihninizi ısıtın-eğitin – bulmaca:
Yatay:
1) İkinci derecenin köküne … denir. (kare)
2) Denklemin gerçek eşitliğe (köklere) dönüştüğü değişkenin değerleri
3) Bilinmeyeni içeren eşitliğe... (denklem) denir.
4) Hintli bilim adamıİkinci dereceden denklemlerin çözümüne ilişkin genel kuralı ortaya koyan kişi (Brahmagupta)
5) İkinci dereceden denklemin katsayıları... (sayılar)
6) Denklemleri çözmek için geometrik bir yöntem icat eden antik Yunan bilim adamı (Öklid)
7) İkinci dereceden bir denklemin katsayıları ve köklerine ilişkin teorem (Vieta)
8) “ayırt edici”, ikinci dereceden bir denklemin köklerini belirleme – bu... (ayırt edici)
Ek olarak:
D>0 ise kaç kök var? (iki)
D=0 ise kaç kök var? (bir)
Eğer D<0, сколько корней? (нет действительных корней)
Yatay ve dikey ders konusu: “Kare üç terimli”
b) motivasyon:
Bu konu “Cebirsel ifadelerin özdeş dönüşümleri” bölümünde temel bir konudur. Bu nedenle, yalnızca örneklerde çarpanlara ayırma formüllerini görebilmeniz değil, aynı zamanda bunları diğer görevlerde de uygulayabilmeniz önemlidir: kesirleri azaltma, denklem çözme, ifadeleri dönüştürme, özdeşlikleri kanıtlama gibi.
Bugün ikinci dereceden trinomialin çarpanlarına ayrılmasına odaklanacağız:
II. Yeni materyal öğrenme.
Konu: Kare trinomial ve kökleri.
Birçok değişkenli polinomların genel teorisi, okul dersinin kapsamının çok ötesine geçer. Bu nedenle kendimizi tek bir gerçek değişkenin polinomlarını incelemekle ve yalnızca en basit durumlarda sınırlandıracağız. Standart forma indirgenmiş tek değişkenli polinomları ele alalım.
Bir polinomun kökü polinomun değerinin sıfıra eşit olduğu bir değişkenin değeridir. Bu, bir polinomun köklerini bulmak için onu sıfıra eşitlemeniz gerektiği anlamına gelir; denklemi çöz.
Birinci dereceden bir polinomun kökü 
bulması kolay 
. Muayene: 
.
İkinci dereceden bir üç terimlinin kökleri denklem çözülerek bulunabilir: 
.
İkinci dereceden bir denklemin köklerine ilişkin formülü kullanarak şunu buluruz:
; 
Eğer 
Ve 
-bir kare trinomiyalin kökleri 
, Nerede 
≠ 0,
O .
Kanıt:
İkinci dereceden üç terimlinin aşağıdaki dönüşümlerini gerçekleştirelim:
=
=
=
=
=
=
=
=
Diskriminant olduğundan 
, şunu elde ederiz:
=
=
Parantez içindeki kareler farkı formülünü uygulayalım ve şunu elde edelim:
=
=
,
Çünkü ; . Teorem kanıtlandı.
Ortaya çıkan formüle formül denirİkinci dereceden bir üç terimlinin çarpanlara ayrılması.
III. Beceri ve yeteneklerin oluşumu.
№1. İkinci dereceden üç terimliyi çarpanlarına ayırın:
a) 3x + 5x – 2;Çözüm:
Cevap: 3x+5x–2=3(x+2)(x-)=(x+2)(3x-1)
Tahtada:
b) –5x + 6x – 1;
Ek olarak:
c) x – 12x + 24;
d) –x + 16x – 15.
№2. Kesri azaltın:
A)
№4. Denklemi çözün:
B)
IV. Bilgi edinmenin birincil testi.
A) Test.
Seçenek 1.
1. İkinci dereceden üç terimlinin köklerini bulun:2x 2 -9x-5
Cevap:
2. Eşitliğin doğru olması için üç noktanın yerine hangi polinomun konulması gerekir:
b) Seçeneklerin karşılıklı doğrulanması (cevaplar ve değerlendirme parametreleri gösterilmiştir).
c) Yansıma.
V. Ödev.
Matematik sınavlarının uygulanması, parametrelerle ilgili problemlerin hem mantıksal hem de teknik açıdan en zor problemler olduğunu ve bu nedenle bunları çözme yeteneğinin, bir sınavın herhangi bir düzeyde başarılı bir şekilde geçilmesini büyük ölçüde belirlediğini göstermektedir.
Parametrelerle ilgili problemlerde, bilinmeyen niceliklerin yanı sıra, sayısal değerleri özel olarak belirtilmese de bilinen ve belirli bir sayısal kümede belirtilen nicelikler ortaya çıkar. Bu durumda koşulun içerdiği parametreler, çözümün mantıksal ve teknik seyrini ve yanıtın biçimini önemli ölçüde etkiler. Bu tür problemler “514 Parametreli Problemler” kitabında bulunabilir. İlköğretim matematik literatüründe parametrelerle ilgili problemler içeren birçok ders kitabı, problem kitabı ve metodolojik el kitabı bulunmaktadır. Ancak bunların çoğu dar bir konu yelpazesini kapsıyor ve asıl vurguyu problem çözme mantığından ziyade tarife koyuyor. Ek olarak, kitapların en başarılıları uzun zamandır bibliyografik olarak nadir hale geldi. Çalışmanın sonunda, çalışmanın konusuyla ilgili açıklamaların bir sınıflandırmasının derlenmesine yardımcı olan kitapların ve makalelerin bir listesi bulunmaktadır. Bunlardan en önemlisi A. Kh. Schachmeister'in Parametreli Denklemler ve Eşitsizlikler kılavuzudur.
Bu çalışmanın temel amacı, temel cebir dersindeki bazı önemli boşlukları doldurmak ve ikinci dereceden bir denklemin köklerinin konumuyla ilgili problemlerin çözümünü önemli ölçüde basitleştirebilecek ikinci dereceden bir fonksiyonun özelliklerini kullanma gerçeklerini ortaya koymaktır. bazı karakteristik noktalara saygı göstererek.
İşin hedefleri:
Bir kare üç terimlinin köklerinin sayı doğrusu üzerindeki konumuna ilişkin olası durumları belirleyin;
İkinci dereceden denklemleri, ikinci dereceden bir üç terimlinin köklerinin sayı doğrusu üzerindeki konumuna dayalı bir parametreyle çözmenize olanak tanıyan algoritmaları belirleyin;
Gerekli seviyeden daha karmaşık problemleri çözmeyi öğrenin; serbest kullanım düzeyinde bir dizi teknik ve entelektüel matematik becerisine hakim olmak; Okul matematik dersinin bir parçası olarak matematik kültürünü geliştirmek.
Çalışmanın amacı: kare bir trinomiyalin köklerinin bir koordinat çizgisi üzerindeki konumu.
Araştırma konusu: parametreli ikinci dereceden denklemler.
Araştırma yöntemleri. Bir parametreyle problemleri incelemenin ana yöntemleri: analitik, grafiksel ve birleşik (fonksiyonel - grafiksel). Analitik, parametresi olmayan problemlerde cevabı bulmak için standart prosedürlerin tekrarlandığı, doğrudan çözüm adı verilen bir yöntemdir. Grafik, koordinat düzlemindeki (x; y) grafikleri kullanan bir yöntemdir. Grafik yöntemin netliği, bir sorunu çözmenin hızlı bir yolunu bulmaya yardımcı olur. Bu iki yöntemden ikincisi sadece zarif değil, aynı zamanda en önemlisidir, çünkü tüm matematiksel model türleri arasındaki ilişkiyi gösterir: problemin sözel bir açıklaması, geometrik bir model - ikinci dereceden bir üç terimli grafiği, analitik bir model. model - ikinci dereceden bir fonksiyonun grafiğinden tanımlanan matematiksel ifadelere dayanarak derlenen bir eşitsizlik sistemi tarafından geometrik bir modelin açıklaması.
Çoğu durumda, ikinci dereceden denklemlerin bir parametreyle çözülmesi hantal dönüşümlere yol açar. Hipotez: İkinci dereceden bir fonksiyonun özelliklerini kullanmak, çözümü önemli ölçüde basitleştirecek ve onu rasyonel eşitsizliklerin çözümüne indirgeyecektir.
Ana kısım. İkinci dereceden bir üç terimlinin köklerinin koordinat çizgisi üzerindeki konumu
Sayı doğrusu üzerinde m ve n noktalarına göre m olacak şekilde f(x)=ax2+bx+c kare trinomialinin köklerinin konumuyla ilgili bazı ifadeleri ele alalım.
x1 ve x2 ikinci dereceden üç terimlinin kökleridir,
D=b2-4ac- kare trinomiyalin diskriminantı, D≥0.
m, n, m1, m2, n1, n2 - verilen sayılar.
Tüm argümanlar a>0 için dikkate alınır;
Birinci ifade
M sayısının üç terimli karenin kökleri arasında yer alması için (x1
Kanıt.
sağlanan x1
Geometrik yorumlama
Denklemin kökleri x1 ve x2 olsun. a > 0 f(x) için
Problem 1. x2-(2k+1)x + 3k-4=0 denkleminin hangi k değerleri için biri 2'den küçük, diğeri 2'den büyük iki kökü vardır?
Çözüm. f(x)=x2-(2k+1)x + 3k-4; x1
k>-2 için x2-(2k+1)x + 3k-4=0 denkleminin biri 2'den küçük, diğeri 2'den büyük olmak üzere iki kökü vardır.
Cevap: k>-2.
Problem 2. kx2+(3k-2)x + k-3=0 denkleminin hangi k değerleri için farklı işaretli kökleri vardır?
Bu problem şu şekilde formüle edilebilir: 0 sayısı bu denklemin kökleri arasında hangi k değerleri için bulunur?
Çözüm (1 yönlü) f(x)= kx2+(3k-2)x + k-3; x1
Yöntem 2 (Vieta teoremini kullanarak). İkinci dereceden bir denklemin kökleri (D>0) ve c/a varsa
Problem 3. (k2-2)x2+(k2+k-1)x – k3+k2=0 denkleminin hangi k değerleri için biri k'den küçük, diğeri k'den büyük iki kökü vardır? k?
f(x)=(k2-2)x2+(k2+k-1)x – k3+k2; x1 Bulunan kümeden k değerlerini değiştirerek, bu değerler için k D>0 olduğundan emin oluruz.
İkinci ifade(a)
Bir kare trinomiyalin köklerinin m (x1) sayısından küçük olması için
İspat: x1-m>0, x2-m 0; m2-mx1-mx2+x1x2>0; m2-(x1+x2)m+x1x2
Problem 4. x2-(3k+1)x+2k2+4k-6=0 denkleminin kökleri parametrenin hangi değerlerinde -1'den küçüktür?
D≥0; (3k+1)2-4(2k2+4k-6) ≥0; (k-5)2≥0; k- herhangi biri; x0-3/2; k0. 1+(3k+1)+(2k2+4k-6)>0. 2(k+4)(k-1/2)>0. k1/2
İkinci ifade (b)
Bir kare trinomiyalin köklerinin m (m) sayısından büyük olması için
D ≥0; x0>m; af(m)>0.
Eğer koşul m m. m (x1; x2) aralığına ait olmadığından a > 0 ve f(m) için f(m) > O
Tersine, eşitsizlik sisteminin sağlanmasına izin verin. D > 0 koşulu x1 ve x2 (x1 m) köklerinin varlığını ifade eder.
Geriye x1 > m olduğunu göstermek kalıyor. Eğer D = 0 ise x1 = x2 > m olur. D > 0 ise f(x0) = -D/4a ve af(x0) 0 olur, dolayısıyla x0 ve m noktalarında fonksiyon zıt işaretli değerleri alır ve x1 (m; x0) aralığına aittir.
Problem 5. m parametresinin hangi değerleri için x2-(3m+1)x+2m2+4m-6=0 a) denkleminin kökleri 1'den büyüktür? b) -1'den küçük mü?
Çözüm a) D≥0; D≥0; (3m+1)2-4(2m2+4m-6) ≥0; x0>m; x0>1; ½(3m+1)>1; f(m)>0. f(1)>0. 1-(3m+1)+(2m2+4m-6)>0.
(m-5)2≥0; m - herhangi bir m>1/3; m>1/3;
(2km-3)(m+2)>0. m3/2. Cevap: m>3/2.
b) D≥0; (3m+1)2-4(2m2+4m-6)≥0; (m-5)2 ≥0; m - herhangi bir x0-3/2; m0. 1+(3m+1)+(2m2+4m-6)>0. 2(m+4)(m-1/2)>0. m1/2.
Problem 6. Parametrenin hangi değerlerinde kx2-(2k +1)x+3 k -1=0 denkleminin kökleri 1'den büyüktür?
Çözüm. Açıkçası, problem şuna eşdeğerdir: m parametresinin hangi değerleri için ikinci dereceden bir üç terimlinin kökleri 1'den büyüktür?
D≥0; D≥0 (2k+1)2-4k (3k-1) ≥0; 8k2-8k-1≤0; x0>m; x0>1 (2k+1)/ (2k) >1; 2k+1 > 2k; af(m)>0. af(1)>0. k(k-(2k+1)+(3k-1)) >0. 2k2-2k>0.
Bu sistemi çözdüğümüzde şunu buluyoruz:
Üçüncü ifade
Bir kare trinomiyalin köklerinin m sayısından büyük ve n (m) sayısından küçük olması için
D ≥0; m 0 af(n)>0.
Grafiğin karakteristik özelliklerine dikkat edelim.
1) Denklemin kökleri vardır, yani D > 0.
2) Simetri ekseni x = m ve x = n çizgileri arasında yer alır, yani m
3) x = m ve x = n noktalarında grafik OX ekseninin üzerinde yer alır, dolayısıyla f(m) > 0 ve f(n) > 0 (m'de)
İstenilen parametre değerleri için yukarıda sıralanan koşullar (1; 2; 3) gerekli ve yeterlidir.
Problem 7. Hangi m x2-2mx+m2-2m+5=0 için sayılar mutlak değer olarak 4'ü geçmez?
Çözüm. Sorunun koşulu şu şekilde formüle edilebilir: -4 ilişkisi m için ne yapar?
Sistemden m değerlerini buluyoruz
D > 0; m2 - (m2 – 2m + 5) ≥ 0;
4 ≤ x0 ≤ 4; -4 ≤ m≤ 4; f(-4)≥ 0; 16 + 8m+ m2 – 2m + 5 ≥ 0; f(4)≥0; 16-8m + m2-2m + 5 ≥0; çözümü segment olan . Cevap: M.
Problem 8. İkinci dereceden üç terimlinin kökleri hangi m değerleri için?
(2m - 2)x2 + (m+1)x + 1 -1'den büyük ama 0'dan küçük mü?
Çözüm. m değerleri sistemden bulunabilir
D≥0; (m+1)2-4(2m-2) ≥ 0;
(2m - 2)/(-1) > 0 (2m -2)(2m -2 -m -1 +1) > 0;
(2m-2)f(0)>0; (2m-2)>0;
Cevap: m > 2.
Dörtlü ifade(ler)
Kare üç terimlinin küçük kökünün (m;n) aralığına ait olması ve büyük olanın (m) aralığına ait olmaması için
D ≥0; af(m)>0 af(n)
İkinci dereceden bir üç terimlinin grafiği OX eksenini (m; n) aralığında tam olarak bir kez keser. Bu, x=m ve x=n noktalarında kare trinomiyalin farklı işaretlerin değerlerini aldığı anlamına gelir.
Problem 10. a parametresinin hangi değerleri için ikinci dereceden x2+2ax+a=0 denkleminin yalnızca küçük kökü X(0;3) aralığına aittir.
Çözüm. İkinci dereceden üç terimli y(x) = x2-2ax+a'yı düşünün. Grafik bir paraboldür. Parabolün dalları yukarı doğru yönlendirilmiştir. x1 kare trinomiyalin küçük kökü olsun. Problemin koşullarına göre x1 (0;3) aralığına aittir. Problemin koşullarını sağlayan geometrik bir model çizelim.
Eşitsizlik sistemine geçelim.
1) y(0)>0 ve y(3) 0 olduğunu not ediyoruz. Dolayısıyla bu koşulun eşitsizlikler sistemine yazılmasına gerek yoktur.
Böylece aşağıdaki eşitsizlik sistemini elde ederiz:
Cevap: a>1.8.
Dördüncü ifade (b)
Kare trinomiyalin büyük kökünün (m; n) aralığına ait olması ve küçük olanın (x1) aralığına ait olmaması için
D ≥0; af(m) 0.
Dördüncü ifade (birleşik)
Yorum. Sorunun şu şekilde formüle edilmesine izin verin: parametrenin hangi değerleri için denklemin bir kökü (b;m) aralığına ait, diğeri değil? Bu sorunu çözmek için iki alt durum arasında ayrım yapmaya gerek yoktur; cevabı f(m) f(n) eşitsizliğinden buluruz.
D ≥0; f(m)f(n)
Problem 11. m ne için x2-mх+6=0 denkleminin yalnızca bir kökü 2. koşulu karşılıyor?
Çözüm. İfade 4(b)'ye dayanarak m'nin değerini f(2)f(5) (10 – 2m)(31 – 5m) m2 - 24 = 0 koşulundan buluruz, yani m = ±2√6 için, (2; 5) aralığına ait olmayan m = -2√6 x = - √6 için, m = 2√6 x =√6, (2; 5) aralığına aittir.
Cevap: m (2√6) U (5; 31/5).
Beşinci ifade
İkinci dereceden bir üç terimlinin köklerinin (x1) ilişkisini sağlaması için
D ≥0; af(m)Problem 12. x2+2(m-3)x + m2-6m eşitsizliğinin geçerli olduğu tüm m değerlerini bulun.
Çözüm. Koşul gereği, (0; 2) aralığı x2 + 2(m - 3)x + m2 – 6m eşitsizliğinin çözüm kümesinde yer almalıdır. Açıklama 5'e dayanarak, sistemden m değerlerini buluyoruz eşitsizliklerin f(0) ≤ 0;m2-6m ≤ 0; m f(2) ≤ 0, 4 + 4(m-3) + m2-6m ≤ 0, m [-2;4], dolayısıyla m.
Cevap: M.
Altıncı ifade
Kare trinomiyalin küçük kökünün (m1; m2) aralığına, büyük kökünün ise (n1; n2) (m2) aralığına ait olması için
D ≥0; af(m1)>0; af(m2)Bu ifade, 4a ve 4b ifadelerinin birleşimidir. İlk iki eşitsizlik x1(m1, n1) olmasını garanti eder ve son iki eşitsizlik x2(m2, n2) olmasını garanti eder,
Problem 13. x2 - (2m + l)x + m2 + m- 2 = 0 denkleminin köklerinden biri hangi noktada 1 ile 3 sayıları arasında ve ikincisi - 4 ile 6 sayıları arasında yer almaktadır?
Çözüm. 1 yol. a = 1 olduğu düşünülürse m'nin değerleri f(1) > 0 sisteminden bulunabilir; 1 -2m- 1+m2 + m-2 >0; m2-m-2>0 m (-∞;-1) U (2;+∞) f(3)
4(4) 0; 36-12m-6 + m2 + m-2 0 m (-∞;4)U (7;+∞), dolayısıyla m(2; 4).
Cevap: m(2; 4).
Böylece f(x)=ax2+bx+ kare trinomiyalinin köklerinin sayı doğrusu üzerinde belirli noktalara göre konumu ile ilgili ifadeler oluşturduk.
Çözüm
Çalışmam sırasında, serbest kullanım düzeyinde bir dizi teknik ve matematiksel beceriye hakim oldum ve okul matematik dersinin bir parçası olarak matematik kültürümü geliştirdim.
Çalışma sonucunda belirlenen hedefe ulaşıldı: İkinci dereceden bir denklemin köklerinin belirli karakteristik noktalara göre konumuyla ilgili problemlerin çözümünü önemli ölçüde basitleştirmeyi mümkün kılan ikinci dereceden fonksiyonun özellikleri oluşturuldu. Bir kare üç terimlinin köklerinin sayı doğrusu üzerindeki konumuna ilişkin olası durumlar belirlenmiştir. İkinci dereceden denklemlerin sayı doğrusu üzerindeki ikinci dereceden üç terimli köklerinin konumuna dayalı bir parametreyle çözülmesine izin veren algoritmalar tanımlanmıştır; gerekli seviyeden daha yüksek karmaşıklığa sahip görevler çözüldü. Eserin sayfa sayısının sınırlı olması nedeniyle eser sadece 12 probleme çözüm sunmaktadır. Elbette, çalışmada tartışılan problemler başka yollarla da çözülebilir: ikinci dereceden bir denklemin kökleri için formüller kullanmak, köklerin özelliğini kullanmak (Vieta teoremi).
Aslında önemli sayıda sorun çözüldü. Bu nedenle, "Köklerinin koordinat çizgisi üzerindeki konumuyla ilgili kare üç terimlinin özelliklerinin uygulanmasına ilişkin problemlerin çözümü" tasarım ve araştırma çalışması konusunda bir problemler koleksiyonu oluşturulmasına karar verildi. Ayrıca çalışmanın sonucu (tasarım ve araştırma çalışmasının ürünü), “Parametrelerle problem çözme” seçmeli konusunun derslerinde kullanılabilecek bir bilgisayar sunumudur.
