Matris sırası kavramıyla çalışmak için "Cebirsel tümleyenler ve küçükler. Küçüklerin ve cebirsel tümleyenlerin türleri" konusundan bilgiye ihtiyacımız olacak. Her şeyden önce bu, “matris minör” terimiyle ilgilidir, çünkü matrisin rütbesini tam olarak minörler aracılığıyla belirleyeceğiz.
Matris sıralaması sıfıra eşit olmayan en az bir tanenin bulunduğu küçüklerin maksimum sırasıdır.
Eşdeğer matrisler- rütbeleri birbirine eşit olan matrisler.
Daha ayrıntılı olarak açıklayalım. İkinci dereceden küçükler arasında sıfırdan farklı en az bir tane olduğunu varsayalım. Ve mertebesi ikiden büyük olan tüm küçükler sıfıra eşittir. Sonuç: Matrisin sıralaması 2'dir. Veya örneğin onuncu derecenin küçükleri arasında sıfıra eşit olmayan en az bir tane vardır. Sırası 10'dan büyük olan tüm küçükler sıfıra eşittir. Sonuç: Matrisin sırası 10'dur.
$A$ matrisinin sırası şu şekilde gösterilir: $\rang A$ veya $r(A)$. Sıfır matrisi $O$'ın sıralamasının sıfır olduğu varsayılır, $\rang O=0$. Size bir matris minör oluşturmak için satır ve sütunların üzerini çizmeniz gerektiğini, ancak matrisin içerdiğinden daha fazla satır ve sütunun üzerini çizmenin imkansız olduğunu hatırlatmama izin verin. Örneğin, $F$ matrisinin boyutu $5\times 4$ ise (yani 5 satır ve 4 sütun içeriyorsa), bu durumda küçüklerinin maksimum sırası dörttür. Artık beşinci dereceden reşit olmayanlar oluşturmak mümkün olmayacak çünkü 5 sütun gerektirecekler (ve elimizde sadece 4 sütun var). Bu, $F$ matrisinin sıralamasının dörtten fazla olamayacağı anlamına gelir; $\rang F≤4$.
Daha genel bir biçimde, yukarıdaki, eğer bir matris $m$ satır ve $n$ sütun içeriyorsa, bu durumda onun sıralaması $m$ ve $n$'ın en küçüğünü aşamaz, yani. $\rang A≤\min(m,n)$.
Prensip olarak, rütbenin tanımından itibaren onu bulma yöntemi izlenir. Tanım gereği bir matrisin rütbesini bulma süreci şematik olarak aşağıdaki gibi temsil edilebilir:
Bu diyagramı daha detaylı açıklayayım. En baştan akıl yürütmeye başlayalım, yani. $A$ matrisinin birinci dereceden küçüklerinden.
- Birinci dereceden tüm küçükler (yani, $A$ matrisinin elemanları) sıfıra eşitse, o zaman $\rang A=0$. Birinci dereceden küçükler arasında sıfıra eşit olmayan en az bir tane varsa, o zaman $\rang A≥ 1$ olur. İkinci dereceden küçükleri kontrol etmeye geçelim.
- İkinci dereceden tüm küçükler sıfıra eşitse, $\rang A=1$ olur. İkinci dereceden küçükler arasında sıfıra eşit olmayan en az bir tane varsa, o zaman $\rang A≥ 2$ olur. Üçüncü dereceden küçükleri kontrol etmeye geçelim.
- Üçüncü dereceden tüm küçükler sıfıra eşitse, o zaman $\rang A=2$. Üçüncü dereceden küçükler arasında sıfıra eşit olmayan en az bir tane varsa, o zaman $\rang A≥ 3$ olur. Dördüncü dereceden küçükleri kontrol etmeye geçelim.
- Eğer dördüncü dereceden tüm küçükler sıfıra eşitse, o zaman $\rang A=3$. Dördüncü dereceden küçükler arasında sıfıra eşit olmayan en az bir tane varsa, o zaman $\rang A≥ 4$ olur. Beşinci dereceden küçükleri kontrol etmeye geçiyoruz vb.
Bu sürecin sonunda bizi neler bekliyor? K'inci dereceden küçükler arasında sıfırdan farklı en az bir tane olması ve tüm (k+1) mertebeden küçüklerin sıfıra eşit olması mümkündür. Bu, k'nin, aralarında sıfıra eşit olmayan en az bir tanenin bulunduğu, küçüklerin maksimum sırası olduğu anlamına gelir; rütbe k'ye eşit olacaktır. Farklı bir durum söz konusu olabilir: k'inci dereceden minörler arasında sıfıra eşit olmayan en az bir tane olacak, ancak artık (k+1) mertebeden minörlerin oluşması mümkün olmayacaktır. Bu durumda matrisin rütbesi de k'ye eşittir. Kısacası, sıfır olmayan son minörün sırası matrisin sırasına eşit olacaktır.
Bir matrisin rütbesini bulma sürecinin tanımı gereği açıkça gösterileceği örneklere geçelim. Bu konudaki örneklerde matrislerin rütbesini sadece rütbe tanımını kullanarak bulacağımızı bir kez daha vurgulamak isterim. Diğer yöntemler (küçükleri sınırlama yöntemini kullanarak bir matrisin sıralamasını hesaplamak, temel dönüşümler yöntemini kullanarak bir matrisin sıralamasını hesaplamak) aşağıdaki konularda tartışılmaktadır.
Bu arada, 1 ve 2 numaralı örneklerde yapıldığı gibi, sıralamayı bulma prosedürünü en küçük sıradaki küçüklerle başlatmak hiç de gerekli değildir. Hemen daha yüksek düzeydeki reşit olmayanlara geçebilirsiniz (bkz. örnek No. 3).
Örnek No.1
$A=\left(\begin(array)(ccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 matrisinin rütbesini bulun & 0 & 1 \end(array) \right)$.
Bu matrisin boyutu $3\time 5$'dır, yani. üç satır ve beş sütun içerir. 3 ve 5 sayılarından minimumu 3'tür, bu nedenle $A$ matrisinin sıralaması 3'ten fazla değildir, yani. $\rang A≤ 3$. Ve bu eşitsizlik açıktır, çünkü artık dördüncü dereceden küçükler oluşturamayacağız - onlar 4 satır gerektiriyor ve bizde sadece 3 tane var. Doğrudan belirli bir matrisin rütbesini bulma sürecine geçelim.
Birinci dereceden küçükler arasında (yani $A$ matrisinin elemanları arasında) sıfır olmayanlar vardır. Örneğin 5, -3, 2, 7. Genel olarak sıfır olmayan elemanların toplam sayısıyla ilgilenmiyoruz. Sıfır olmayan en az bir öğe var ve bu yeterli. Birinci dereceden küçükler arasında sıfırdan farklı en az bir tane bulunduğundan, $\rang A≥ 1$ olduğu sonucuna varırız ve ikinci dereceden küçükleri kontrol etmeye devam ederiz.
İkinci dereceden küçükleri keşfetmeye başlayalım. Örneğin, 1, No. 2 satırları ve 1, No. 4 numaralı sütunların kesişiminde şu küçük öğenin öğeleri vardır: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right| $. Bu determinant için ikinci sütunun tüm elemanları sıfıra eşittir, dolayısıyla determinantın kendisi de sıfıra eşittir, yani. $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=0$ (determinantların özellikleri konusundaki 3 numaralı özelliğe bakın). Veya bu determinantı, ikinci ve üçüncü dereceden determinantların hesaplanması bölümündeki 1 numaralı formülü kullanarak kolayca hesaplayabilirsiniz:
$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$
Test ettiğimiz ilk ikinci dereceden minörün sıfıra eşit olduğu ortaya çıktı. Bu ne anlama gelir? İkinci dereceden küçükleri daha fazla kontrol etme ihtiyacı hakkında. Ya hepsi sıfır olacak (ve sonra sıralama 1'e eşit olacak) ya da aralarında sıfırdan farklı en az bir küçük olacak. Öğeleri 1 No.lu, 2 No.lu satırlar ile 1 No.lu ve 5 No.lu sütunların kesişiminde bulunan ikinci dereceden bir minör yazarak daha iyi bir seçim yapmaya çalışalım: $\left|\begin( dizi)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array) \right|$. Bu ikinci dereceden minörün değerini bulalım:
$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array) \right|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$
Bu minör sıfıra eşit değil. Sonuç: İkinci dereceden küçükler arasında sıfır olmayan en az bir tane vardır. Bu nedenle $\rang A≥ 2$. Üçüncü dereceden küçükleri incelemeye geçmeliyiz.
Üçüncü dereceden küçükler oluşturmak için 2 numaralı sütunu veya 4 numaralı sütunu seçersek, bu tür küçükler sıfıra eşit olacaktır (çünkü sıfır sütunu içereceklerdir). Elemanları 1, 3, 5 numaralı sütunların ve 1, 2, 3 numaralı satırların kesişme noktasında bulunan yalnızca üçüncü dereceden bir minörü kontrol etmek kalır. Bu minörü yazıp değerini bulalım:
$$ \left|\begin(array)(ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end(array) \right|=-20-18-14 +16+21+15=0. $$
Yani üçüncü dereceden tüm küçükler sıfıra eşittir. Derlediğimiz sıfır olmayan son minör ikinci derecedendi. Sonuç: Aralarında sıfır olmayan en az bir tane bulunan küçüklerin maksimum sırası 2'dir. Bu nedenle $\rang A=2$.
Cevap: $\rang A=2$.
Örnek No.2
$A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 matrisinin rütbesini bulun \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end(array) \right)$.
Dördüncü dereceden bir kare matrisimiz var. Bu matrisin derecesinin 4'ü geçmediğini hemen belirtelim. $\rang A≤ 4$. Matrisin rütbesini bulmaya başlayalım.
Birinci dereceden küçükler arasında (yani $A$ matrisinin elemanları arasında) sıfıra eşit olmayan en az bir tane vardır, dolayısıyla $\rang A≥ 1$. İkinci dereceden küçükleri kontrol etmeye geçelim. Örneğin, 2, 3 numaralı satırlar ile 1 ve 2 numaralı sütunların kesişiminde aşağıdaki ikinci dereceden küçük değeri elde ederiz: $\left| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|$. Hadi hesaplayalım:
$$\sol| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|=0-10=-10. $$
İkinci dereceden küçükler arasında sıfıra eşit olmayan en az bir tane vardır, yani $\rang A≥ 2$.
Üçüncü dereceden küçüklere geçelim. Örneğin, elemanları 1, 3, 4 numaralı satırların ve 1, 2, 4 numaralı sütunların kesişiminde bulunan bir minör bulalım:
$$\sol | \begin(array) (cccc) -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end(array) \right|=105-105=0. $$
Bu üçüncü derece minörün sıfıra eşit olduğu ortaya çıktığı için başka bir üçüncü derece minörün araştırılması gerekir. Ya hepsi sıfıra eşit olacak (o zaman sıralama 2'ye eşit olacak) ya da aralarında sıfıra eşit olmayan en az bir tane olacak (o zaman dördüncü dereceden küçükleri incelemeye başlayacağız). Elemanları 2, 3, 4 numaralı satırların ve 2, 3, 4 numaralı sütunların kesişme noktasında bulunan üçüncü dereceden bir minör ele alalım:
$$\sol| \begin(array) (ccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end(array) \right|=-28. $$
Üçüncü dereceden küçükler arasında sıfır olmayan en az bir tane vardır, yani $\rang A≥ 3$. Dördüncü dereceden küçükleri kontrol etmeye geçelim.
Dördüncü dereceden herhangi bir küçük, $A$ matrisinin dört satırının ve dört sütununun kesişiminde bulunur. Başka bir deyişle, dördüncü dereceden küçük, $A$ matrisinin determinantıdır, çünkü bu matris 4 satır ve 4 sütun içerir. Bu matrisin determinantı “Determinantın sırasının azaltılması. Determinantın bir satırda (sütun) ayrıştırılması” konusunun 2 numaralı örneğinde hesaplanmıştır, bu yüzden sadece bitmiş sonucu alalım:
$$\sol| \begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end (dizi)\sağ|=86. $$
Yani dördüncü dereceden minör sıfıra eşit değil. Artık beşinci dereceden reşit olmayanlar oluşturamıyoruz. Sonuç: Aralarında sıfırdan farklı en az bir kişinin bulunduğu küçüklerin en yüksek sırası 4'tür. Sonuç: $\rang A=4$.
Cevap: $\rang A=4$.
Örnek No.3
$A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 matrisinin rütbesini bulun \end( dizi) \right)$.
Hemen bu matrisin 3 satır ve 4 sütun içerdiğini, yani $\rang A≤ 3$ olduğunu belirtelim. Önceki örneklerde sıralamayı bulma sürecine en küçük (birinci) mertebeden küçükleri dikkate alarak başladık. Burada reşit olmayanları mümkün olan en yüksek düzende hemen kontrol etmeye çalışacağız. $A$ matrisi için bunlar üçüncü dereceden küçüklerdir. Öğeleri 1, 2, 3 numaralı satırların ve 2, 3, 4 numaralı sütunların kesişme noktasında yer alan üçüncü dereceden bir minörü ele alalım:
$$\sol| \begin(array) (ccc) 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end(array) \right|=-8-60-20=-88. $$
Yani, aralarında sıfıra eşit olmayan en az bir tane bulunan en yüksek küçükler sırası 3'tür. Bu nedenle matrisin sırası 3'tür, yani. $\rang A=3$.
Cevap: $\rang A=3$.
Genel olarak, bir matrisin rütbesini tanım gereği bulmak, genel durumda oldukça emek yoğun bir iştir. Örneğin, $5\time 4$ boyutunda nispeten küçük bir matrisin 60 ikinci dereceden küçükleri vardır. Ve bunlardan 59'u sıfıra eşit olsa bile, 60. minör sıfırdan farklı olabilir. O zaman bu matrisin 40 parçasından oluşan üçüncü dereceden küçükleri incelemeniz gerekecek. Genellikle küçüklerin sınırlanması yöntemi veya eşdeğer dönüşüm yöntemi gibi daha az hantal yöntemler kullanmaya çalışırlar.
Daha önce kare matris için 
1. sıradaki minör kavramı tanıtıldı 
eleman 
. Bunun düzen determinantına verilen isim olduğunu hatırlayalım. 
, determinanttan elde edilen 
üzerini çizerek 
çizgi ve 
sütun.
Şimdi minörün genel kavramını tanıtalım. Biraz düşünelim mutlaka kare değil matris 
. Hadi biraz seçelim 
satır numaraları 
Ve 
sütun numaraları 
.
Tanım.
Küçük sipariş 
matrisler 
(seçilen satır ve sütunlara karşılık gelen) sıra determinantı olarak adlandırılır 
, seçilen satır ve sütunların kesişiminde bulunan elemanlardan oluşur; sayı
.
Her matris belirli bir mertebeden o kadar küçük sayıya sahiptir 
, satır numaralarını kaç farklı şekilde seçebilirsiniz? 
ve sütunlar 
.
Tanım. Matriste 
boyutlar 
küçük sipariş 
isminde temel, sıfırdan farklıysa ve tüm küçükler uygunsa 
sıfıra eşit veya küçük derece 
matriste 
hiç de bile.
Bir matrisin birkaç farklı temel minöre sahip olabileceği açıktır, ancak tüm temel minörler aynı sıraya sahiptir. Aslında, eğer tüm küçükler düzenliyse 
sıfıra eşitse, mertebenin tüm küçükleri sıfıra eşittir 
ve dolayısıyla tüm yüksek dereceler.
Tanım. Matris sıralaması Temel minör mertebesine veya başka bir deyişle sıfır dışında minörlerin bulunduğu en büyük mertebeye denir. Bir matrisin tüm elemanları sıfıra eşitse, böyle bir matrisin sıralaması tanım gereği sıfır olarak kabul edilir.
Matris sıralaması 
sembolüyle göstereceğiz 
. Rankın tanımından matris için şu sonucu çıkar: 
boyutlar 
oran doğrudur.
Bir matrisin rütbesini hesaplamanın iki yolu
A) Sınırlandırıcı küçük yöntem
Matriste bir minörün bulunmasına izin verin 
-inci dereceden, sıfırdan farklı. Sadece reşit olmayanları düşünelim 
-th sipariş, bir minör (kenar) içeren 
: eğer hepsi sıfıra eşitse, matrisin rütbesi 
. Aksi takdirde, sınırdaki küçükler arasında sıfır olmayan bir küçük vardır. 
-inci sıra ve tüm prosedür tekrarlanır.
Örnek 9
. Bir matrisin rütbesini bulun 
küçükleri sınırlama yöntemiyle.
İkinci dereceden bir minör seçelim 
. Seçilen minörün sınırında yalnızca bir üçüncü dereceden minör var 
. Hadi hesaplayalım.
Yani bu küçük 
temel ve matrisin sırası sırasına eşittir, yani. 
Matrisin boyutları çok küçük değilse, temeli ararken küçükleri bu şekilde yinelemenin büyük hesaplamalarla ilişkili bir görev olduğu açıktır. Bununla birlikte, temel dönüşümleri kullanarak bir matrisin rütbesini bulmanın daha basit bir yolu vardır.
B) Temel dönüşüm yöntemi
Tanım. Temel matris dönüşümleri Aşağıdaki dönüşümler denir:
bir dizgiyi sıfırdan farklı bir sayıyla çarpmak;
bir satıra başka bir satır eklemek;
hatların yeniden düzenlenmesi;
aynı sütun dönüşümleri.
Dönüşüm 1 ve 2, öğe öğe gerçekleştirilir.
Birinci ve ikinci türdeki dönüşümleri birleştirerek, kalan dizelerin doğrusal bir kombinasyonunu herhangi bir dizeye ekleyebiliriz.
Teorem. Temel dönüşümler matrisin sıralamasını değiştirmez.
(Kanıt yok)
Bir matrisin rütbesini hesaplamak için pratik bir yöntem fikri
temel dönüşümlerin yardımıyla bu matris 
görünüme yol açmak
,
(5)
"çapraz" elemanların bulunduğu 
sıfırdan farklıdır ve “köşegen” olanların altında bulunan elemanlar sıfıra eşittir. Matris çağırmayı kabul edelim 
bu tür üçgen (aksi halde diyagonal, trapez veya merdiven olarak adlandırılır). Matris indirgeme sonrası 
üçgen forma hemen şunu yazabiliriz 
.
Aslında, 
(çünkü temel dönüşümler sıralamayı değiştirmez). Fakat matris 
sıfır olmayan bir küçük sıra var 
:
,
ve herhangi bir küçük düzen 
boş dizeyi içerir ve bu nedenle sıfıra eşittir.
Şimdi pratik formüle geçelim. sıralama hesaplama kuralı matrisler 
temel dönüşümleri kullanma: matrisin sıralamasını bulmak için 
temel dönüşümler kullanılarak üçgen forma getirilmelidir 
. O zaman matrisin rütbesi 
ortaya çıkan matristeki sıfır olmayan satırların sayısına eşit olacaktır 
.
Örnek 10.
Bir matrisin rütbesini bulun 
temel dönüşümler yöntemiyle
Çözüm.
Birinci ve ikinci satırları yer değiştirelim (ikinci satırın ilk elemanı -1 olduğundan ve onunla dönüşüm yapmak uygun olacağından). Sonuç olarak buna eşdeğer bir matris elde ederiz.
Haydi belirtelim 
-matrisin bu satırı- 
. Orijinal matrisi üçgen forma indirgememiz gerekiyor. İlk çizgiyi öncü çizgi olarak kabul edeceğiz; tüm dönüşümlere katılacak, ancak kendisi değişmeden kalacak.
İlk aşamada ilk eleman hariç ilk sütunda sıfır almamızı sağlayacak dönüşümler gerçekleştireceğiz. Bunu yapmak için, ilk satırı ikinci satırdan 2 ile çarparak çıkarın. 
, ilkini üçüncü satıra ekle 
ve üçüncüsünden birinciyi çıkarıyoruz, 3 ile çarpıyoruz 
Rütbesi bu matrisin rütbesine denk gelen bir matris elde ederiz. Aynı harfle gösterelim 
:
.
Matrisi (5)'e indirgememiz gerektiğinden, ikinciyi dördüncü sıradan çıkarıyoruz. Bu durumda elimizde:
.
Üçgen bir matris elde edilir ve şu sonuca varabiliriz: 
, yani sıfır olmayan satırların sayısı. Kısaca sorunun çözümü şu şekilde yazılabilir:
Her matriste iki sıra ilişkilendirilebilir: bir satır sırası (satır sisteminin sırası) ve bir sütun sırası (sütun sisteminin sırası).
Teorem
Bir matrisin satır sıralaması sütun sıralamasına eşittir.
Matris sıralaması
Tanım
Matris sıralaması$A$, satır veya sütun sisteminin sıralamasıdır.
$\operatorname(rang) A$ ile gösterilir
Pratikte bir matrisin rütbesini bulmak için şu ifade kullanılır: Bir matrisin rütbesi, matrisi basamak formuna indirgedikten sonra sıfır olmayan satırların sayısına eşittir.
Bir matrisin satırları (sütunları) üzerindeki temel dönüşümler matrisin sırasını değiştirmez.
Bir adım matrisinin sırası, sıfır olmayan satırlarının sayısına eşittir.
Örnek
Egzersiz yapmak.$ A=\left(\begin(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (4) & (8) & (18) & ( matrisinin rütbesini bulun 7) \ \ (10) & (18) & (40) & (17) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(array)\right) $
Çözüm. Satırlarındaki temel dönüşümleri kullanarak, $A$ matrisini basamak formuna indirgeyebiliriz. Bunu yapmak için önce ikinci ikisini üçüncü satırdan çıkarın:
$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (4) & (8) & (18) & (7) \\ (2) & (2) & (4) & (3) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(array)\right) $$
İkinci satırdan dördüncü satırı 4 ile çarparak çıkarıyoruz; üçüncüden - dörtte ikiden:
$$ A \sim \left(\begin(array)(rrrr)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (-20) & (-50) & (-5 ) \\ (0) & (-12) & (-30) & (-3) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(array)\right) $$
İlk beşi ikinci satıra, üçüncü üçü de üçüncü satıra ekliyoruz:
$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(array)\right) $$
Birinci ve ikinci satırları değiştirin:
$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(array)\right) $$
$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(1) & (7) & (17) & (3) \\ (0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) & (0)\end(array)\right) \Rightarrow \operatöradı(rang) A=2 $$
Cevap.$ \operatöradı(çaldı) A=2 $
Küçükleri sınırlama yöntemi
Bir matrisin rütbesini bulmanın başka bir yöntemi de bu teoreme dayanmaktadır - küçük kenar yöntemi. Bu yöntemin özü, alt sıralardan başlayıp üst sıralara doğru ilerleyen küçükleri bulmaktır. $n$'ıncı sıranın küçük değeri sıfıra eşit değilse ve $n+1$'ıncı sıranın tüm küçükleri sıfıra eşitse, o zaman matrisin sırası $n$'a eşit olacaktır.
Örnek
Egzersiz yapmak. Matrisin rütbesini bulun $ A=\left(\begin(array)(rrrr)(1) & (2) & (-1) & (-2) \\ (2) & (4) & (3) & (0 ) \\ (-1) & (-2) & (6) & (6)\end(array)\right) $ küçük kenar yöntemini kullanarak.
Çözüm. Minimum dereceden küçükler, $A$ matrisinin elemanlarına eşit olan birinci dereceden küçüklerdir. Örneğin minör $ M_(1)=1 \neq 0 $ 'ı düşünün. ilk satır ve ilk sütunda bulunur. Bunu ikinci satır ve ikinci sütunun yardımıyla sınırlıyoruz, küçük $ M_(2)^(1)=\left| \begin(array)(ll)(1) & (2) \\ (2) & (4)\end(array)\right|=0 $ ; İkinci dereceden başka bir minör ele alalım, bunun için ikinci satır ve üçüncü sütunun yardımıyla $M_1$ minörünü sınırlıyoruz, sonra $ M_(2)^(2)=\left| \begin(array)(rr)(1) & (-1) \\ (2) & (3)\end(array)\right|=5 \neq 0 $ , yani matrisin rütbesi ikiden az değil. Daha sonra, küçük $ M_(2)^(2) $ sınırındaki üçüncü dereceden küçükleri ele alıyoruz. Bu tür iki küçük vardır: üçüncü sıranın ikinci sütunla veya dördüncü sütunla birleşimi. Bu küçükleri hesaplayalım.
Herhangi bir matris A emir m×n koleksiyon olarak değerlendirilebilir M dize vektörleri veya N sütun vektörleri.
Rütbe matrisler A emir m×n doğrusal olarak bağımsız sütun vektörlerinin veya satır vektörlerinin maksimum sayısıdır.
Matris sıralaması ise A eşittir R, sonra şöyle yazılır:
Bir matrisin rütbesini bulma
İzin vermek A keyfi sıra matrisi M× N. Bir matrisin rütbesini bulmak için A Gauss eleme yöntemini buna uyguluyoruz.
Eğer elemenin herhangi bir aşamasında baş eleman sıfıra eşitse, o zaman bu çizgiyi baş elemanın sıfırdan farklı olduğu çizgiyle değiştireceğimize dikkat edin. Böyle bir satırın olmadığı ortaya çıkarsa, bir sonraki sütuna vb. geçin.
Direkt Gauss eleme işleminden sonra ana köşegenin altındaki elemanları sıfıra eşit olan bir matris elde ederiz. Ayrıca sıfır satır vektörleri de olabilir.
Sıfır olmayan satır vektörlerinin sayısı matrisin sırası olacaktır A.
Bütün bunlara basit örneklerle bakalım.
Örnek 1.
İlk satırı 4 ile çarpıp ikinci satıra ekleyerek, ilk satırı 2 ile çarpıp üçüncü satıra eklersek:
İkinci satırı -1 ile çarpıp üçüncü satıra ekleyin:
Sıfır olmayan iki satır aldık ve bu nedenle matrisin rütbesi 2'dir.
Örnek 2.
Aşağıdaki matrisin rütbesini bulalım:
İlk satırı -2 ile çarpın ve ikinci satıra ekleyin. Benzer şekilde, ilk sütunun üçüncü ve dördüncü satırlarının elemanlarını sıfırlıyoruz:
İkinci sütunun üçüncü ve dördüncü satırlarının elemanlarını ikinci satıra karşılık gelen satırları -1 sayısıyla çarparak toplayalım.
Bir matrisin rütbesi önemli bir sayısal özelliktir. Bir matrisin rütbesini bulmayı gerektiren en tipik problem, doğrusal cebirsel denklemler sisteminin tutarlılığını kontrol etmektir. Bu yazıda matris sıralaması kavramını vereceğiz ve onu bulma yöntemlerini ele alacağız. Materyali daha iyi anlamak için çeşitli örneklerin çözümlerini ayrıntılı olarak analiz edeceğiz.
Sayfada gezinme.
Bir matrisin rütbesinin ve gerekli ek kavramların belirlenmesi.
Bir matrisin rütbesinin tanımını dile getirmeden önce, küçük kavramını iyi anlamalısınız ve bir matrisin küçüklerini bulmak, determinantı hesaplama becerisi anlamına gelir. Bu nedenle, gerekirse makalenin teorisini, bir matrisin determinantını bulma yöntemlerini ve determinantın özelliklerini hatırlamanızı öneririz.
mertebesinden bir A matrisi alalım. k, m ve n sayılarının en küçüğünü aşmayan bir doğal sayı olsun; 
.
Tanım.
Küçük k'inci sıra A matrisi, önceden seçilmiş k satır ve k sütunda yer alan A matrisinin elemanlarından oluşan sıralı bir kare matrisin determinantıdır ve A matrisinin elemanlarının düzeni korunur.
Başka bir deyişle, A matrisinde (p–k) satırları ve (n–k) sütunları silersek ve geri kalan öğelerden, A matrisinin öğelerinin düzenini koruyarak bir matris oluşturursak, o zaman determinantı ortaya çıkan matris, A matrisinin k mertebesinden bir minördür.
Bir örnek kullanarak matris minör tanımına bakalım.
Matris'i düşünün 
.
Bu matrisin birkaç birinci dereceden küçüklerini yazalım. Örneğin, A matrisinin üçüncü satırını ve ikinci sütununu seçersek, bu durumda seçimimiz birinci dereceden bir minöre karşılık gelir. 
. Başka bir deyişle, bu minörü elde etmek için A matrisinin birinci ve ikinci satırlarının yanı sıra birinci, üçüncü ve dördüncü sütunlarının da üzerini çizdik ve kalan elemandan bir determinant oluşturduk. A matrisinin ilk satırını ve üçüncü sütununu seçersek, o zaman bir minör elde ederiz. 
.
Dikkate alınan birinci dereceden reşit olmayanların elde edilmesine ilişkin prosedürü açıklayalım 
Ve 
.
Dolayısıyla bir matrisin birinci dereceden küçükleri matris elemanlarının kendisidir.
Birkaç ikinci dereceden küçükleri gösterelim. İki satır ve iki sütun seçin. Örneğin birinci ve ikinci satırları, üçüncü ve dördüncü sütunları alın. Bu seçimle ikinci dereceden bir minörümüz var 
. Bu minör, A matrisinin üçüncü satırı, birinci ve ikinci sütunları silinerek de oluşturulabilir.
A matrisinin ikinci dereceden bir diğer minörü ise .
Bu ikinci dereceden küçüklerin yapısını örnekleyelim 
Ve 
.
Benzer şekilde A matrisinin üçüncü dereceden küçükleri de bulunabilir. A matrisinde yalnızca üç satır olduğundan hepsini seçiyoruz. Bu satırların ilk üç sütununu seçersek üçüncü dereceden bir minör elde ederiz. 
A matrisinin son sütununun üzeri çizilerek de oluşturulabilir.
Başka bir üçüncü derece minör 
A matrisinin üçüncü sütununun silinmesiyle elde edilir.
İşte bu üçüncü dereceden küçüklerin yapısını gösteren bir şekil 
Ve 
.
Belirli bir A matrisi için üçüncüden daha yüksek dereceli küçükler yoktur, çünkü .
Mertebeden bir A matrisinin k'inci mertebeden kaç tane küçük elemanı vardır?
K dereceli reşit olmayanların sayısı şu şekilde hesaplanabilir: 
Ve 
- sırasıyla p'den k'ye ve n'den k'ye kombinasyonların sayısı.
p'ye n düzeyindeki A matrisinin k düzeyindeki tüm küçüklerini nasıl oluşturabiliriz?
Birçok matris satır numarasına ve birçok sütun numarasına ihtiyacımız olacak. Her şeyi yazıyoruz p elemanlarının k'ye göre kombinasyonları(k dereceli bir minör oluştururken A matrisinin seçilen satırlarına karşılık geleceklerdir). Her satır numarası kombinasyonuna, k sütun numarasının n elemanının tüm kombinasyonlarını sırayla ekliyoruz. A matrisinin satır numaraları ve sütun numaralarından oluşan bu kombinasyonlar, k mertebesindeki tüm küçüklerin oluşturulmasına yardımcı olacaktır.
Bir örnekle bakalım.
Örnek.
Matrisin tüm ikinci dereceden küçüklerini bulun.
Çözüm.
Orijinal matrisin sırası 3'e 3 olduğundan, ikinci derecenin toplam küçükleri şöyle olacaktır: 
.
A matrisinin 3 ila 2 satır sayısının tüm kombinasyonlarını yazalım: 1, 2; 1, 3 ve 2, 3. 3 ila 2 sütun numarasının tüm kombinasyonları 1, 2'dir; 1, 3 ve 2, 3.
A matrisinin birinci ve ikinci satırlarını alalım. Bu satırlar için sırasıyla birinci ve ikinci sütunları, birinci ve üçüncü sütunları, ikinci ve üçüncü sütunları seçerek küçükleri elde ederiz. 
Birinci ve üçüncü satırlar için benzer sütun seçenekleriyle şunu elde ederiz: 
İkinci ve üçüncü satırlara birinci ve ikinci, birinci ve üçüncü, ikinci ve üçüncü sütunları eklemeye devam ediyor: 
Böylece A matrisinin ikinci dereceden dokuz minörünün tamamı bulundu.
Artık matrisin rütbesini belirlemeye geçebiliriz.
Tanım.
Matris sıralaması matrisin sıfır olmayan minörünün en yüksek mertebesidir.
A matrisinin rütbesi Rank(A) olarak gösterilir. Ayrıca Rg(A) veya Rang(A) isimlerini de bulabilirsiniz.
Matris sıralaması ve matris minör tanımlarından, sıfır matrisin sıralamasının sıfıra eşit olduğu ve sıfır olmayan bir matrisin sıralamasının birden az olmadığı sonucuna varabiliriz.
Tanım gereği bir matrisin rütbesini bulma.
Yani bir matrisin rütbesini bulmanın ilk yöntemi şudur: küçükleri sayma yöntemi. Bu yöntem matrisin rütbesinin belirlenmesine dayanmaktadır.
A mertebesinden bir matrisin rütbesini bulmamız gerekiyor.
Kısaca anlatalım algoritma reşit olmayanları numaralandırarak bu sorunu çözmek.
Matrisin sıfırdan farklı en az bir elemanı varsa, matrisin sıralaması en az bire eşittir (çünkü sıfıra eşit olmayan birinci dereceden bir minör vardır).
Daha sonra ikinci dereceden küçüklere bakıyoruz. İkinci dereceden tüm küçükler sıfıra eşitse, matrisin rütbesi bire eşittir. İkinci dereceden sıfır olmayan en az bir küçük varsa, üçüncü dereceden küçükleri numaralandırmaya devam ederiz ve matrisin sırası en az ikiye eşittir.
Benzer şekilde, üçüncü dereceden tüm küçüklerin sıfır olması durumunda matrisin sıralaması ikidir. Sıfır dışında en az bir üçüncü dereceden küçük varsa, o zaman matrisin sırası en az üç olur ve dördüncü dereceden küçüklerin numaralandırılmasına geçeriz.
Matrisin sıralamasının p ve n sayılarından en küçüğünü aşamayacağını unutmayın.
Örnek.
Matrisin rütbesini bulun 
.
Çözüm.
Matris sıfırdan farklı olduğundan sıralaması birden az değildir.
İkinci dereceden küçük 
sıfırdan farklıdır, dolayısıyla A matrisinin rütbesi en az ikidir. Üçüncü dereceden küçükleri saymaya devam ediyoruz. Bunların toplamı 
şeyler. 
Üçüncü dereceden tüm küçükler sıfıra eşittir. Bu nedenle matrisin rütbesi ikidir.
Cevap:
Sıra(A) = 2 .
Küçükleri sınırlama yöntemini kullanarak bir matrisin rütbesini bulma.
Daha az hesaplama çalışmasıyla sonucu elde etmenize olanak tanıyan bir matrisin rütbesini bulmanın başka yöntemleri de vardır.
Böyle bir yöntem kenar küçük yöntemi.
Hadi ilgilenelim kenar minör kavramı.
A matrisinin (k+1)'inci mertebesindeki küçük bir M ok'un, eğer minör M ok'a karşılık gelen matris minöre karşılık gelen matrisi "içeriyorsa", A matrisinin k mertebesindeki küçük bir M ile sınırlandığı söylenir. M .
Başka bir deyişle, sınırdaki küçük M'ye karşılık gelen matris, sınırdaki küçük M ok'a karşılık gelen matristen bir satır ve bir sütunun elemanları silinerek elde edilir.
Örneğin, matrisi düşünün 
ve ikinci dereceden bir minör alın. Sınırdaki tüm küçükleri yazalım: 
Küçükleri sınırlama yöntemi aşağıdaki teorem ile doğrulanmaktadır (formülasyonunu kanıt olmadan sunuyoruz).
Teorem.
Eğer p'ye n düzeyindeki bir A matrisinin k'inci dereceden küçüklerini çevreleyen tüm küçükler sıfıra eşitse, bu durumda A matrisinin (k+1) düzeyindeki tüm küçükleri sıfıra eşittir.
Bu nedenle, bir matrisin rütbesini bulmak için yeterince sınırlayıcı olan tüm küçüklerin üzerinden geçmek gerekli değildir. A mertebesinden bir matrisin k'inci mertebesinden küçük olanın sınırındaki küçüklerin sayısı aşağıdaki formülle bulunur: 
. A matrisinin k'inci derecedeki küçüklerinin sınırında, A matrisinin (k + 1) dereceli küçüklerinin sayısından daha fazla küçük olmadığına dikkat edin. Bu nedenle, çoğu durumda, küçükleri sınırlama yöntemini kullanmak, tüm küçükleri basitçe numaralandırmaktan daha karlıdır.
Küçükleri sınırlama yöntemini kullanarak matrisin rütbesini bulmaya devam edelim. Kısaca anlatalım algoritma bu yöntem.
A matrisi sıfırdan farklıysa, A matrisinin sıfırdan farklı herhangi bir elemanını birinci dereceden küçük olarak alırız. Sınırdaki küçüklere bakalım. Hepsi sıfıra eşitse matrisin rütbesi bire eşittir. Sıfırdan farklı en az bir sınırdaki küçük varsa (sıralaması ikidir), o zaman onun sınırdaki küçüklerini dikkate almaya devam ederiz. Hepsi sıfırsa Rank(A) = 2 olur. Eğer en az bir sınırdaki küçük sıfır değilse (sıralaması üçtür), o zaman onun sınırdaki küçüklerini dikkate alırız. Ve benzeri. Sonuç olarak, A matrisinin (k + 1)'inci mertebesindeki tüm sınırdaki küçükler sıfıra eşitse Rank(A) = k veya olmayan bir matris varsa Rank(A) = min(p, n) sıranın küçük sınırındaki sıfır küçük (min( p, n) – 1) .
Bir örnek kullanarak bir matrisin rütbesini bulmak için küçükleri sınırlama yöntemine bakalım.
Örnek.
Matrisin rütbesini bulun 
küçükleri sınırlama yöntemiyle.
Çözüm.
A matrisinin a 1 1 elemanı sıfırdan farklı olduğundan, onu birinci dereceden küçük olarak alıyoruz. Sıfırdan farklı olan sınırdaki küçük bir değeri aramaya başlayalım: 
Sıfırdan farklı ikinci dereceden bir kenar minör bulunur. Sınırdaki küçüklere bakalım (onların 
şeyler): 
İkinci dereceden minörün sınırındaki tüm minörler sıfıra eşittir, dolayısıyla A matrisinin rütbesi ikiye eşittir.
Cevap:
Sıra(A) = 2 .
Örnek.
Matrisin rütbesini bulun 
sınırdaki küçükleri kullanmak.
Çözüm.
Birinci dereceden sıfır olmayan bir küçük olarak, A matrisinin a 1 1 = 1 öğesini alıyoruz. İkinci dereceden çevredeki minör 
sıfıra eşit değil. Bu küçük, üçüncü dereceden bir küçükle sınırlanmıştır 
. Sıfıra eşit olmadığından ve onu çevreleyen tek bir minör olmadığından, A matrisinin rütbesi üçe eşittir.
Cevap:
Sıra(A) = 3 .
Temel matris dönüşümlerini kullanarak sıralamayı bulma (Gauss yöntemi).
Bir matrisin rütbesini bulmanın başka bir yolunu düşünelim.
Aşağıdaki matris dönüşümlerine temel denir:
- bir matrisin satırlarının (veya sütunlarının) yeniden düzenlenmesi;
- bir matrisin herhangi bir satırının (sütununun) tüm elemanlarının sıfırdan farklı rastgele bir k sayısıyla çarpılması;
- Bir satırın (sütun) elemanlarına, matrisin başka bir satırının (sütununun) karşılık gelen elemanlarının rastgele bir k sayısıyla çarpılmasıyla eklenmesi.
B matrisine A matrisinin eşdeğeri denir, eğer B, sonlu sayıda temel dönüşüm kullanılarak A'dan elde ediliyorsa. Matrislerin denkliği “~” simgesiyle gösterilir yani A ~ B şeklinde yazılır.
Temel matris dönüşümlerini kullanarak bir matrisin sırasını bulmak şu ifadeye dayanır: eğer B matrisi, sonlu sayıda temel dönüşüm kullanılarak A matrisinden elde ediliyorsa, Rank(A) = Rank(B) .
Bu ifadenin geçerliliği matrisin determinantının özelliklerinden kaynaklanmaktadır:
- Bir matrisin satırları (veya sütunları) yeniden düzenlenirken determinantının işareti değişir. Sıfıra eşitse satırlar (sütunlar) yeniden düzenlendiğinde sıfıra eşit kalır.
- Bir matrisin herhangi bir satırının (sütununun) tüm elemanlarını sıfırdan farklı bir k sayısı ile çarparken, elde edilen matrisin determinantı, orijinal matrisin determinantının k ile çarpımına eşittir. Orijinal matrisin determinantı sıfıra eşitse, herhangi bir satır veya sütunun tüm elemanlarını k sayısıyla çarptıktan sonra ortaya çıkan matrisin determinantı da sıfıra eşit olacaktır.
- Bir matrisin belirli bir satırının (sütununun) elemanlarına, matrisin başka bir satırının (sütununun) karşılık gelen elemanlarının belirli bir k sayısıyla çarpılması, onun determinantını değiştirmez.
Temel dönüşüm yönteminin özü rütbesini bulmamız gereken matrisin temel dönüşümler kullanılarak yamuk olana (belirli bir durumda üst üçgen olana) indirgenmesinden oluşur.
Bu neden yapılıyor? Bu tür matrislerin sıralamasını bulmak çok kolaydır. En az bir sıfır olmayan öğe içeren satır sayısına eşittir. Ve temel dönüşümler yapılırken matrisin sıralaması değişmediğinden, ortaya çıkan değer orijinal matrisin sıralaması olacaktır.
Dönüşümlerden sonra elde edilmesi gereken matrislerin örneklerini veriyoruz. Görünümleri matrisin sırasına bağlıdır.
Bu resimler A matrisini dönüştüreceğimiz şablonlardır.
Hadi tarif edelim yöntem algoritması.
Sıfır olmayan bir A matrisinin (p, n'ye eşit olabilir) rütbesini bulmamız gerekiyor.
Bu yüzden, . A matrisinin ilk satırının tüm elemanlarını ile çarpalım. Bu durumda A(1) ile gösterilen eşdeğer bir matris elde ederiz: 
Ortaya çıkan A (1) matrisinin ikinci satırının elemanlarına, ilk satırın karşılık gelen elemanlarını ile çarparak ekleriz. Üçüncü satırın elemanlarına, ilk satırın karşılık gelen elemanlarını ile çarparak ekleriz. Ve bu şekilde p'inci satıra kadar devam eder. Eşdeğer bir matris alalım, onu A (2) olarak gösterelim: 
Ortaya çıkan matrisin ikinciden p'ye kadar sıralarda yer alan tüm elemanları sıfıra eşitse, bu matrisin sırası bire eşittir ve sonuç olarak orijinal matrisin sırası eşittir. birine.
İkinciden p'ye kadar olan çizgiler sıfır olmayan en az bir öğe içeriyorsa, dönüşümleri gerçekleştirmeye devam ederiz. Üstelik tamamen aynı şekilde hareket ediyoruz, ancak yalnızca A (2) matrisinin şekilde işaretlenen kısmı ile. 
Eğer öyleyse, A (2) matrisinin satırlarını ve (veya) sütunlarını “yeni” eleman sıfır olmayacak şekilde yeniden düzenleriz.
