Hareketli ortalama yöntemini kullanarak tahmin geliştirme. Sorun çözümü örneği

Zaman serisini analiz etmenin görevlerinden biri, incelenen göstergenin seviyelerinde zaman içinde meydana gelen değişim modellerini oluşturmaktır.

Bazı durumlarda nesne gelişiminin bu modeli, zaman serisinin seviyeleri tarafından oldukça açık bir şekilde yansıtılır. Bununla birlikte, serinin seviyeleri çeşitli değişikliklere uğradığında bu tür dinamik serilerle sıklıkla karşılaşılmaktadır. Bu gibi durumlarda, belirli bir süre boyunca oldukça istikrarlı olan ana gelişme eğilimini belirlemek için dinamik serilerin işlenmesinde özel teknikler kullanılır.

Bir dizi dinamiğin seviyeleri, çeşitli rastgele koşullar da dahil olmak üzere birçok uzun vadeli ve kısa vadeli faktörün birleşik etkisi altında oluşur. Aynı zamanda, bir serinin düzeyindeki değişikliklerdeki ana eğilimi belirlemek, serinin rastgele etkilerden arınmış niceliksel ifadesini gerektirir. Dinamiklerdeki eğilimleri belirlemek için çeşitli yöntemler vardır. Ana trendi belirleme yöntemlerinden biri aralıkları genişletme yöntemidir. Bu yöntem seri düzeylerinin ait olduğu zaman dilimlerinin genişletilmesine dayanmaktadır. Örneğin, bir dizi günlük üretim çıktısının yerini bir dizi aylık üretim çıktısı alır, vb.

Başka bir yöntem ise hareketli ortalama yöntemi. Yöntemin özü, başlangıç ​​seviyelerini belirli dönemler için aritmetik ortalamalarla değiştirmektir. Bu durumda öncelikle zaman serisi için düzeltme aralığı belirlenir. . Küçük rastgele dalgalanmaların düzeltilmesi gerekiyorsa, düzeltme aralığı mümkün olduğu kadar büyük alınır; Daha küçük dalgalanmalar nazikçe korunarak yumuşatma aralığı azaltılır. Diğer tüm şeyler eşit olduğunda yumuşatma aralığının tek alınması önerilir. Düzeltme işleminde zaman serisinin ilk seviyeleri için aritmetik ortalaması hesaplanır; bu, yumuşatma aralığının ortasında yer alan serinin seviyesinin düzeltilmiş değeri olacaktır. Daha sonra yumuşatma aralığı bir seviye sağa kaydırılır, aritmetik ortalamanın hesaplanması tekrarlanır, vb. Zaman serisinin yumuşatılmış seviyelerini hesaplamak için formül kullanılır:

(5.6)

Bu prosedürün sonucu seri seviyelerinin düzeltilmiş değerleri; ilk iken seviyeler ve serinin son seviyeleri kaybolur (düzeltilmez).

Bu yumuşatma (seviyeleştirme) yöntemi üstel yumuşatma ile tamamlanır. Bu yöntemin özelliği, yumuşatılmış bir seviye bulma prosedüründe yalnızca serinin önceki seviyelerinin belirli bir ağırlıkla alınan değerlerinin kullanılmasıdır. Orijinal zaman serisi için ise seviyelerin karşılık gelen düzeltilmiş değerleri ile gösterilir, daha sonra üstel düzeltme aşağıdaki formüle göre gerçekleştirilir:

yumuşatma parametresi nerede; indirim faktörü denir.

Serinin tüm seviyeleri için yukarıdaki yineleme ilişkisini (5.7) kullanarak, birinciden başlayarak zamanın anına kadar, üstel ortalamayı, yani bu yöntemle düzeltilen serinin seviye değerini elde edebiliriz, önceki tüm seviyelerin ağırlıklı ortalamasıdır:

, (5.8)

başlangıç ​​koşullarını karakterize eden miktar nerede.

Ekonomik zaman serilerinin işlenmesine ilişkin pratik problemlerde, yumuşatma parametresinin değerinin 0,1 ila 0,3 aralığında seçilmesi (makul olmayan bir şekilde) önerilir. Optimum parametre değerini seçmek için henüz kesin bir öneri yoktur. Bazı durumlarda R. Brown, değerin düzeltilmiş serinin uzunluğuna göre belirlenmesini önerir:

Başlangıç ​​parametresine gelince, belirli problemlerde serinin ilk seviyesinin değerine eşit veya alınır. , veya serinin ilk birkaç teriminin aritmetik ortalamasına eşit, örneğin terimler:

So değerinin seçilmesine yönelik yukarıdaki prosedür, ilk düzeyler için düzeltilmiş ve orijinal seriler arasında iyi bir uyum sağlar. Zaman serisinin sağ ucuna yaklaşıldığında, seçilen parametre ile bu yöntemle yumuşatılan değerler, orijinal serinin karşılık gelen değerlerinden önemli ölçüde farklılaşmaya başlarsa, başka bir yumuşatma parametresine geçmeniz gerekir. Bu yumuşatma yöntemiyle, düzeltilmiş zaman serisinin ne başlangıç ​​ne de son seviyelerinin kaybolmadığını unutmayın.

16.02.15 Viktor Gavrilov

38133 0

Zaman serisi, zamanla değişen değerler dizisidir. Bu yazıda bu tür dizilerle çalışmaya yönelik bazı basit ama etkili yaklaşımlardan bahsetmeye çalışacağım. Bu tür verilerin pek çok örneği vardır: döviz fiyatları, satış hacimleri, müşteri talepleri, çeşitli uygulamalı bilimlerdeki veriler (sosyoloji, meteoroloji, jeoloji, fizikteki gözlemler) ve çok daha fazlası.

Seriler, bizi ilgilendiren değerdeki değişikliklerin tüm geçmişini gözlemlememize olanak tanıdığından, verileri tanımlamanın yaygın ve önemli bir biçimidir. Bu bize bir miktarın “tipik” davranışını ve bu davranıştan sapmaları yargılama fırsatı verir.

Zaman serisinin özelliklerini açıkça göstermenin mümkün olacağı bir veri seti seçme göreviyle karşı karşıya kaldım. Uluslararası havayolu yolcu trafiği istatistiklerini kullanmaya karar verdim çünkü bu veri seti çok açık ve bir bakıma standart haline geldi (http://robjhyndman.com/tsdldata/data/airpass.dat, kaynak Time Series Data Library, R. J. Hyndman). Seri, 1949'dan 1960'a kadar olan dönemde aylık uluslararası havayolu yolcularının sayısını (bin olarak) tanımlamaktadır.

Satırlarla çalışmak için ilginç bir araç olan “” her zaman elimde olduğundan, onu kullanacağım. Verileri bir dosyaya aktarmadan önce, değerlerin zamana bağlı olması için tarihin bulunduğu bir sütun ve her gözlem için serinin adının bulunduğu bir sütun eklemeniz gerekir. Aşağıda, zaman serisi analiz aracından doğrudan İçe Aktarma Sihirbazı'nı kullanarak Prognoz Platformuna aktardığım kaynak dosyamın nasıl göründüğünü görebilirsiniz.

Genellikle bir zaman serisiyle yaptığımız ilk şey, onu bir grafik üzerinde çizmek olur. Prognoz Platformu, bir seriyi çalışma kitabına sürükleyerek grafik oluşturmanıza olanak tanır.

Grafikteki zaman serisi

Seri adının sonundaki 'M' sembolü, serinin aylık dinamiklere sahip olduğu (gözlemler arasındaki aralık bir aydır) anlamına gelir.

Zaten grafikten serinin iki özelliği gösterdiğini görüyoruz:

• eğilim– grafiğimizde bu, gözlemlenen değerlerde uzun vadeli bir artıştır. Eğilimin neredeyse doğrusal olduğu görülebilir.
• mevsimsellik– grafikte bunlar değerdeki periyodik dalgalanmalardır. Zaman serisi konusuna ilişkin bir sonraki yazımızda periyodu nasıl hesaplayabileceğimizi öğreneceğiz.

Serimiz oldukça "düzgün", ancak yukarıda açıklanan iki özelliğe ek olarak başka bir özelliği gösteren seriler de var - "gürültü" varlığı, yani. şu veya bu şekilde rastgele varyasyonlar. Böyle bir serinin bir örneğini aşağıdaki grafikte görebilirsiniz. Bu, rastgele bir değişkenle karıştırılmış bir sinüs dalgasıdır.

Serileri analiz ederken, yapılarını belirlemek ve tüm ana bileşenleri (trend, mevsimsellik, gürültü ve diğer özelliklerin yanı sıra gelecek dönemlerde değerdeki değişikliklere ilişkin tahminler yapabilme yeteneği) değerlendirmekle ilgileniyoruz.

Serilerle çalışırken gürültünün varlığı çoğu zaman serinin yapısını analiz etmeyi zorlaştırır. Etkisini ortadan kaldırmak ve serilerin yapısını daha iyi görebilmek için seri yumuşatma yöntemlerini kullanabilirsiniz.

Serileri yumuşatmanın en basit yöntemi hareketli ortalamadır. Buradaki fikir, seri dizisindeki herhangi bir tek sayıdaki nokta için, merkezi noktayı kalan noktaların aritmetik ortalamasıyla değiştirmektir:

Nerede x ben– başlangıç ​​satırı, ben– düzleştirilmiş seri.

Aşağıda bu algoritmayı iki serimize uygulamanın sonucunu görebilirsiniz. Prognoz Platform varsayılan olarak kenar yumuşatma işleminin 5 puntoluk pencere boyutunda kullanılmasını önerir ( k yukarıdaki formülümüzde 2'ye eşit olacaktır). Lütfen, yumuşatılmış sinyalin artık gürültüden çok fazla etkilenmediğini, ancak gürültüyle birlikte doğal olarak serinin dinamikleri hakkında bazı yararlı bilgilerin de kaybolduğunu unutmayın. Düzleştirilmiş serinin ilkinden (ve aynı zamanda sonuncusundan) yoksun olduğu da açıktır. k puan. Bunun nedeni, yumuşatmanın pencerenin orta noktasında (bizim durumumuzda üçüncü nokta) yapılması, ardından pencerenin bir nokta kaydırılması ve hesaplamaların tekrarlanmasıdır. İkinci rastgele seri için, serinin yapısını daha iyi tanımlamak için 30'luk bir pencereyle yumuşatmayı kullandım çünkü seri çok sayıda noktaya sahip "yüksek frekanslı".

Hareketli ortalama yönteminin bazı dezavantajları vardır:

• Hareketli ortalamanın hesaplanması verimsizdir. Her nokta için ortalamanın yeniden hesaplanması gerekir. Önceki bir nokta için hesaplanan sonucu tekrar kullanamayız.
• Hareketli ortalama serinin ilk ve son noktalarına genişletilemez. Eğer ilgilendiğimiz noktalar bunlarsa bu durum sorun yaratabilir.
• Hareketli ortalama serinin dışında tanımlanmaz ve sonuç olarak tahmin için kullanılamaz.

Üstel yumuşatma

Tahmin için de kullanılabilecek daha gelişmiş bir yumuşatma yöntemi, bazen yaratıcılarından sonra Holt-Winters yöntemi olarak da adlandırılan üstel düzeltmedir.

Bu yöntemin birkaç varyasyonu vardır:

• trendi veya mevsimselliği olmayan seriler için tek yumuşatma;
• trendi olan ancak mevsimselliği olmayan seriler için çift yumuşatma;
• Hem trend hem de sezonsallık içeren seriler için üçlü yumuşatma.

Üstel düzeltme yöntemi, geçerli adımdaki bilgileri kullanarak önceki adımda hesaplanan değerleri güncelleyerek düzgünleştirilmiş bir serinin değerlerini hesaplar. Önceki ve mevcut adımlardan gelen bilgiler kontrol edilebilecek farklı ağırlıklarla alınır.

Tekli yumuşatmanın en basit versiyonunda oran şöyledir:

Parametre α geçerli adımdaki yumuşatılmamış değer ile önceki adımdaki yumuşatılmış değer arasındaki ilişkiyi tanımlar. Şu tarihte: α =1 sadece orijinal serinin noktalarını alacağız, yani. herhangi bir yumuşatma olmayacak. Şu tarihte: α =0 satırda yalnızca önceki adımlardan düzeltilmiş değerleri alacağız, yani. seri sabit hale gelecektir.

Düzleştirmenin neden üstel olarak adlandırıldığını anlamak için ilişkiyi yinelemeli olarak genişletmemiz gerekir:

İlişkiden, serinin önceki tüm değerlerinin mevcut düzeltilmiş değere katkıda bulunduğu açıktır, ancak katkıları, parametrenin derecesinin artması nedeniyle üstel olarak azalır. α .

Ancak verilerde bir eğilim varsa, basit düzeltme bunun gerisinde kalacaktır (veya değerleri almak zorunda kalacaksınız) α 1'e yakın, ancak bu durumda yumuşatma yetersiz olacaktır). Çift üstel yumuşatma kullanmanız gerekir.

Çift yumuşatma zaten iki denklem kullanır; bir denklem, eğilimi mevcut ve önceki düzeltilmiş değerler arasındaki fark olarak değerlendirir, ardından basit düzeltmeyle eğilimi düzeltir. İkinci denklem basit durumda olduğu gibi yumuşatma gerçekleştirir, ancak ikinci terim önceki yumuşatılmış değer ile trendin toplamını kullanır.

Üçlü yumuşatma bir bileşen daha içerir; mevsimsellik ve başka bir denklem kullanır. Bu durumda, mevsimsel bileşenin iki çeşidi vardır: toplamsal ve çarpımsal. İlk durumda mevsimsel bileşenin genliği sabittir ve zamana göre serinin temel genliğine bağlı değildir. İkinci durumda serinin taban genliğindeki değişiklikle birlikte genlik de değişir. Grafikten de anlaşılacağı üzere durum tam olarak budur. Seri büyüdükçe mevsimsel dalgalanmaların şiddeti de artıyor.

İlk satırımızın hem trendi hem de mevsimselliği olduğundan, bunun için üçlü yumuşatma parametrelerini seçmeye karar verdim. Prognoz Platformunda bunu yapmak oldukça kolaydır çünkü parametre değeri güncellendiğinde platform düzleştirilmiş serinin grafiğini hemen yeniden çizer ve orijinal serimizi ne kadar iyi tanımladığını görsel olarak anında görebilirsiniz. Aşağıdaki değerlere karar verdim:

Zaman serileri ile ilgili bir sonraki yazımda periyodu nasıl hesapladığıma bakacağız.

Tipik olarak 0,2 ile 0,4 arasındaki değerler ilk yaklaşımlar olarak kabul edilebilir. Prognoz Platformu ayrıca ek parametreli bir model kullanıyor ɸ Bu da trendi sönümleyerek gelecekte bir sabite yaklaşmasını sağlar. İçin ɸ Normal modele karşılık gelen 1 değerini aldım.

Ben de son 2 yıldır bu yöntemi kullanarak seri değerlerinin tahminini yaptım. Aşağıdaki şekilde tahminin başlangıç ​​noktasını üzerinden bir çizgi çizerek işaretledim. Gördüğünüz gibi, orijinal seri ve düzeltilmiş seri, tahmin dönemi de dahil olmak üzere oldukça iyi örtüşüyor - bu kadar basit bir yöntem için fena değil!

Prognoz Platformu ayrıca parametre değerleri alanında sistematik bir arama kullanarak ve düzleştirilmiş serilerin orijinalinden karesel sapmalarının toplamını en aza indirerek optimum parametre değerlerini otomatik olarak seçmenize olanak tanır.

Açıklanan yöntemler çok basittir, uygulanması kolaydır ve zaman serilerinin yapısını analiz etmek ve tahmin etmek için iyi bir başlangıç ​​noktasıdır.

Bir sonraki makalede zaman serileri hakkında daha fazla bilgi edinin.

Ekonomik göstergelerin zaman serilerini yumuşatma konusuna geçelim. Çoğu zaman, dinamik serilerin seviyeleri dalgalanırken, ekonomik bir olgunun zaman içinde gelişmesindeki eğilim, seviyelerin bir yönde veya başka yönde rastgele sapmalarıyla gizlenir. Trend modellerine dayalı tahmin yöntemlerinin daha fazla uygulanması da dahil olmak üzere, incelenen sürecin gelişim eğilimini açıkça belirlemek için zaman serileri yumuşatılır (hizalanır). Dolayısıyla yumuşatma, rastgele bileşenin ortadan kaldırılması olarak düşünülebilir.  T bir zaman serisi modelinden.

Mekanik yumuşatmanın en basit yöntemi basit hareketli ortalama yöntemi. Zaman serisinde ilk sen 1 , sen 2 , sen 3 ,…, ey N yumuşatma aralığı belirlenir t (t< п). Küçük rastgele dalgalanmaların düzeltilmesi gerekiyorsa, düzeltme aralığı mümkün olduğu kadar büyük alınır; Daha küçük dalgalanmaların korunması gerekiyorsa yumuşatma aralığı azaltılır. Diğer tüm şeyler eşit olduğunda yumuşatma aralığının tek alınması önerilir. İlki için T zaman serisinin seviyeleri, aritmetik ortalamaları hesaplanır; bu, yumuşatma aralığının ortasında yer alan serinin seviyesinin düzeltilmiş değeri olacaktır. Daha sonra yumuşatma aralığı bir seviye sağa kaydırılır, aritmetik ortalamanın hesaplanması tekrarlanır, vb.

Bir serinin düzeltilmiş düzeylerini hesaplamak için formül uygulanır

tek için M;

hatta T formül daha karmaşık hale geliyor.

Bu prosedürün sonucu p - t + 1 seri seviyelerinin düzeltilmiş değerleri; ilk iken R ve en son R serinin seviyeleri kaybolur (düzeltilmez).

tuhaflık üstel yöntemyumuşatma yumuşatmayı bulma prosedüründe bu var Ben Seviyenin sadece serinin önceki seviyelerinin değerleri kullanılır ( Ben-1, Ben-2,...), belirli bir ağırlıkla alınır ve seri seviyesinin düzeltilmiş değerinin belirlendiği zaman noktasından uzaklaştıkça gözlemin ağırlığı azalır.

Orijinal zaman serisi için ise sen 1 , sen 2 , sen 3 ,…, sen N seviyelerin karşılık gelen düzeltilmiş değerleri şu şekilde gösterilir: S T , t = 1,2, …, P, daha sonra üstel yumuşatma aşağıdaki formüle göre gerçekleştirilir

Burada S 0 – başlangıç ​​koşullarını karakterize eden miktar.

Ekonomik zaman serilerinin işlenmesindeki pratik problemlerde, yumuşatma parametresinin değerinin 0,1 ila 0,3 aralığında seçilmesi tavsiye edilir.

Örnek 4.4. Lewplan'ın üç aylık satış hacimlerini inceleyen Örnek 1'e dönelim. Bu verilere bir eklemeli modelin karşılık geldiğini zaten öğrendik; Aslında satış hacimleri şu şekilde ifade edilebilir:

Y = U + V + E.

Mevsimsel bileşenin etkisini ortadan kaldırmak için hareketli ortalama yöntemini kullanacağız. İlk dört değerin eklenmesiyle 1998 yılı toplam satışları elde edilir. Bu toplamın dörde bölünmesiyle 1998 yılının her çeyreğinin ortalama satış puanı elde edilir.

(239 + 201 +182 + 297)/4 = 229,75;
(201+182+297+324)/4 vb.

Ortaya çıkan değer, yılın ortalama değerini temsil ettiğinden artık mevsimsel bir bileşen içermiyor. Artık yılın ortası için trend değerine ilişkin bir tahminimiz var; II. ve III. çeyrekler arasında ortada yer alan bir nokta için. Üçer aylık aralıklarla sıralı olarak ilerlerseniz Nisan - Mart 1998 (251), Temmuz - Haziran 1998 (270,25) vb. döneme ait üç aylık ortalama değerleri hesaplayabilirsiniz. Bu prosedür, orijinal veri seti için dört noktalı hareketli ortalamalar oluşturmanıza olanak tanır. Ortaya çıkan hareketli ortalamalar seti, istenen eğilimin en iyi tahminini temsil eder.

Artık elde edilen trend değerleri mevsimsel bileşenin tahminlerini bulmak için kullanılabilir. Biz şunları bekliyoruz:

e – sen = V + e.

Ne yazık ki, dört noktalı ortalamaların hesaplanmasıyla elde edilen eğilim tahminleri, gerçek verilerden çok farklı zaman noktalarına atıfta bulunmaktadır. 229,75'e eşit olan ilk tahmin, 1998'in ortalarına denk gelen noktayı temsil ediyor, yani. II ve III çeyreklerdeki fiili satış hacimleri aralığının merkezinde yer almaktadır. 251'e eşit olan ikinci tahmin, üçüncü ve dördüncü çeyreklerdeki gerçek değerler arasında yer alıyor. Çeyreğin gerçek değerleri ile aynı zaman aralıklarına karşılık gelen, mevsimsellikten arındırılmış ortalama değerlere ihtiyacımız var. Mevsimsellikten arındırılmış ortalamaların konumu, her bir değer çifti için ortalamaların daha fazla hesaplanmasıyla zaman içinde kaydırılır. İlk tahminlerin ortalamasını Temmuz - Eylül 1998'e odaklayarak bulalım, yani.

(229,75 + 251)/2 = 240,4.

Bu, Temmuz - Eylül 1999 için mevsimsellikten arındırılmış ortalamadır. Bu, mevsimsellikten arındırılmış değere denir. merkezli hareketli ortalama, doğrudan Temmuz-Eylül 1998 gerçek değeri olan 182 ile karşılaştırılabilir. Bunun, zaman serisinin ilk iki veya son iki çeyreği için herhangi bir eğilim tahmini olmadığı anlamına geldiğini unutmayın. Bu hesaplamaların sonuçları Tablo 4.5'te verilmiştir.

Her çeyrek için, hata veya artık içeren mevsimsel bileşen tahminlerimiz bulunmaktadır. Mevsimsel bileşeni kullanmadan önce aşağıdaki iki adımı uygulamamız gerekiyor. Yılın her mevsimi için mevsimsel tahminlerin ortalama değerlerini bulalım. Bu prosedür bazı hata değerlerini azaltacaktır. Son olarak, ortalama değerleri, toplamları sıfır olacak şekilde aynı sayı kadar artırarak veya azaltarak ayarlıyoruz. Bu, bir bütün olarak yıl için mevsimsel bileşenin değerlerinin ortalamasını almak için gereklidir.

Tablo 4.5. Mevsimsel bileşenin tahmini

Tablo 4.6. Mevsimsel bileşenin ortalama değerlerinin hesaplanması

Düzeltme faktörü şu şekilde hesaplanır: Mevsimsel bileşenlere ilişkin tahminlerin toplamı 4'e bölünür. Tablonun son sütununda. 4.5 bu tahminler ilgili üç aylık değerler altında kaydedilir. Prosedürün kendisi tabloda verilmiştir. 4.6.

Mevsimsel bileşenin değeri, diyagramın analizine dayanarak örnek 4.1'de vardığımız sonuçları bir kez daha doğrulamaktadır. İki kış dönemi satış hacimleri ortalama trend değerini yaklaşık 40 bin adet aşarken, iki yaz dönemi satış hacimleri ortalamanın 21 ve 62 bin adet altında kaldı. sırasıyla.

Benzer bir prosedür, herhangi bir zaman dilimi için mevsimsel değişimin belirlenmesinde de geçerlidir. Örneğin, mevsim haftanın günleriyse, günlük mevsimsel bileşenin etkisini ortadan kaldırmak için hareketli ortalama da hesaplanır, ancak dört değil yedi puanla. Bu hareketli ortalama, hafta ortası trend değerini temsil eder; perşembe günü; böylece merkezleme işlemine duyulan ihtiyaç ortadan kalkar.

Temel gelişme eğilimi (eğilim) bir olgunun düzeyinde zaman içinde meydana gelen, rastgele dalgalanmalardan arınmış, düzgün ve istikrarlı bir değişim olarak adlandırılır.

Görev, çeşitli rastgele faktörlerin etkisinden bağımsız olarak bir serideki seviyelerdeki değişikliklerdeki genel eğilimi belirlemektir. Bu amaçla zaman serileri, aralıkların genişletilmesi ve zaman serilerinin yumuşatılması yöntemleriyle işlenir.

Yumuşatma yöntemleri iki sınıfa ayrılabilir: analitik ve algoritmik.

Analitik Yaklaşım, araştırmacının düzenli, rastgele olmayan bir bileşeni tanımlayan bir fonksiyonun genel formunu belirleyebileceği varsayımına dayanmaktadır. Örneğin, bir zaman serisinin dinamiklerinin görsel ve anlamlı ekonomik analizine dayanarak trend bileşeninin üstel bir fonksiyon kullanılarak tanımlanabileceği varsayılmaktadır. .

Daha sonra, bir sonraki aşamada, modelin bilinmeyen katsayılarının istatistiksel bir değerlendirmesi gerçekleştirilecek ve ardından zaman parametresinin karşılık gelen değeri “t” ile değiştirilerek zaman rad seviyelerinin düzeltilmiş değerleri belirlenecektir. ” ortaya çıkan denklemin içine.

Algoritmik yaklaşımda, analitik yaklaşımın doğasında bulunan kısıtlayıcı varsayımlar terk edilir. Bu sınıfın prosedürü, rastgele olmayan bileşenin dinamiklerini tek bir fonksiyon kullanarak tanımlamayı içermez; araştırmacıya yalnızca herhangi bir "t" zamanında rastgele olmayan bileşeni hesaplamak için bir algoritma sağlar. Hareketli ortalamaları kullanarak zaman ışınlarını yumuşatmaya yönelik yöntemler bu yaklaşıma aittir. Zaman serilerindeki ana trendi incelemenin en basit yöntemlerinden biri aralıkları genişletmektir. Dinamik serilerin seviyelerini içeren zaman periyotlarının genişlemesine dayanır (aynı zamanda aralık sayısı da azalır). Örneğin, günlük çıktının bir kısmı, aylık çıktının bir kısmıyla değiştirilir, vb. Genişletilmiş aralıklarla hesaplanan ortalama, ana gelişme eğiliminin yönünü ve doğasını (büyümenin hızlanması veya yavaşlaması) belirlememize olanak tanır.

Zaman serilerini yumuşatmaya yönelik çeşitli tekniklerin özü, zaman serisinin gerçek seviyelerini, dalgalanmalara daha az duyarlı olan hesaplanmış seviyelerle değiştirmektir. Zaman serilerini yumuşatarak temel eğilimi belirlemek de yapılabilir. hareketli ortalama yöntemini kullanarak

Düzeltme algoritması basit hareketli ortalama aşağıdaki adım sırası ile temsil edilebilir.

1. Serinin (1 > n) ardışık 1 düzeyini içeren yumuşatma aralığı S'nin uzunluğunu belirleyin. Yumuşatma aralığı ne kadar geniş olursa dalgalanmaların o kadar fazla emildiği ve gelişme eğiliminin daha yumuşak, daha yumuşak olduğu unutulmamalıdır. Dalgalanmalar ne kadar güçlüyse yumuşatma aralığı da o kadar geniş olmalıdır.

2. Gözlem periyodunun tamamı bölümlere ayrılmıştır; yumuşatma aralığı I'e eşit bir adımla seri boyunca "kaymaktadır".

3. Her kesiti oluşturan rad düzeylerinden aritmetik ortalamalar hesaplanır.

4. Her bölümün ortasında yer alan serinin gerçek değerlerini karşılık gelen ortalama değerlerle değiştirin.

Bu durumda, düzeltme aralığı 1'in uzunluğunu tek sayı I = 2p + 1 şeklinde almak uygundur, çünkü bu durumda hareketli ortalamanın elde edilen değerleri aralığın orta terimine düşer. . Parametre p =(m-1)/2; burada m, yumuşatma periyodunun süresidir (5,7,9, 11,13).

Ortalama değeri hesaplamak için yapılan gözlemlere aktif düzeltme bölümü adı verilir.

1 = 2p + 1 tek değeri ile hareketli ortalama aşağıdaki formülle belirlenebilir:

t zamanındaki hareketli ortalamanın değeri nerede;

i-ro seviyesinin gerçek değeri; 2р+1 - yumuşatma aralığının uzunluğu.

Her aktif bölüm için ağırlıklı bir hareketli ortalama oluştururken, merkezi seviyenin değeri, aritmetik ağırlıklı ortalama formülüyle belirlenen hesaplanan değerle değiştirilir:

ağırlık katsayıları nerede.

Basit hareketli ortalama, aktif yumuşatma bölümünde yer alan bir serinin tüm seviyelerini eşit ağırlıklarla () dikkate alır ve ağırlıklı ortalama, belirli bir seviyenin serinin ortasındaki seviyeye çıkarılmasına bağlı olarak her seviyeye bir ağırlık atar. aktif bölüm. Bunun nedeni, basit bir hareketli ortalamayla, her aktif bölümdeki yumuşatmanın düz bir çizgi boyunca (birinci dereceden polinom) gerçekleştirilmesi ve ağırlıklı hareketli ortalamayla yumuşatıldığında daha yüksek dereceli polinomların kullanılmasıdır. Bu nedenle basit hareketli ortalama yöntemi, ağırlıklı hareketli ortalama yönteminin özel bir durumu olarak değerlendirilebilir. Ağırlık katsayıları en küçük kareler yöntemi kullanılarak belirlenir ve her aktif bölüm için aynı olacağından aktif yumuşatma bölümünde yer alan seri seviyelerinde her seferinde yeniden hesaplanmasına gerek yoktur. Aşağıdaki tablo yumuşatma aralığının uzunluğuna bağlı olarak ağırlıklandırma katsayılarını göstermektedir.

Tablo 1.8.2 Ağırlıklı hareketli ortalamaya ilişkin ağırlıklandırma katsayıları.

Ağırlıklardan beri simetrik merkezi seviyeye göre ise tablo sembolik bir gösterim kullanır: ağırlıklar aktif bölümün seviyelerinin yarısı için verilir; düzgünleştirme alanının merkezinde bulunan seviyeye ilişkin ağırlık tahsis edilir. Geri kalan seviyeler için ağırlıklar simetrik olarak yansıtılabildiğinden verilmemiştir.

Katsayıların önemli özelliklerine dikkat edelim:

1. Merkezi seviyeye göre simetriktirler;

2. Başvurulan genel çarpan dikkate alınarak ağırlıkların toplamı
parantezler bire eşittir;

3. Hem pozitif hem de negatif ağırlıkların varlığı
yumuşatılmış eğrinin çeşitli kıvrımları korumasına olanak tanır
eğilim eğrisi.

Bahsedilen dinamik radyal yumuşatma yöntemleri (aralıkların genişletilmesi ve hareketli ortalama yöntemi), az çok rastgele ve dalga benzeri dalgalanmalardan arınmış olarak, yalnızca olgunun gelişiminin genel eğilimini belirlemeyi mümkün kılar. Ancak bu yöntemleri kullanarak genelleştirilmiş bir istatistiksel eğilim modeli elde etmek mümkün değildir.

Bir zaman serisinin seviyelerindeki zaman içindeki değişimlerin ana eğilimini ifade eden niceliksel bir model sağlamak amacıyla, zaman serisinin analitik hizalaması kullanılır.

İyileşmek kenar değerleri

Aktif bölümün uzunluğunu içeren hareketli ortalama kullanıldığında

1=2p+1 serinin ilk ve son “p” seviyeleri yumuşatılamaz, değerleri kaybolur. Açıkçası, son noktaların değerlerinin kaybı önemli bir dezavantajdır çünkü araştırmacı için "taze" veriler en büyük bilgi değerine sahiptir.

Basit hareketli ortalama kullanırken bir zaman serisinin kayıp değerlerini kurtarmanıza olanak tanıyan tekniklerden birine bakalım. Bunu yapmak için ihtiyacınız var:

Sondaki ortalama mutlak artışı hesaplayın
aktif site;

Bir zaman serisinin sonunda düzeltilmiş değerlerin "p"sini alın
ortalama mutlak değeri sırayla ekleyerek
son düzeltilmiş değere kadar artırın.

Bir zaman serisinin ilk seviyelerini tahmin etmek için benzer bir prosedür uygulanabilir.

Kenar değerlerini geri yüklemenin başka bir olası yolunu düşünelim. Analiz edilen zaman serisinin ilk kayıp seviyelerinin "p"sini ve son kayıp seviyelerinin "p"sini belirlemek için, serinin geri kalan üyeleriyle aynı derecedeki yaklaşık polinomlar kullanılarak elde edilen hesaplanan değerleri kullanabilirsiniz. . Ayrıca polinomların bilinmeyen katsayıları zaman serisinin ilk ve son düzeylerine göre 1=2p+1'e göre belirlenmektedir.

Zaman serilerinin derinlemesine analizi, daha karmaşık matematiksel istatistik yöntemlerinin kullanılmasını gerektirir. Zaman serisinde önemli bir rastgele hata (gürültü) varsa, iki basit teknikten biri kullanılır: aralıkları genişleterek yumuşatma veya seviyelendirme ve grup ortalamalarını hesaplama. Bu yöntem, "gürültü" bileşenlerinin çoğunun aralıklar içinde yer alması durumunda serinin görünürlüğünü artırmanıza olanak tanır. Bununla birlikte, eğer “gürültü” periyodiklikle tutarlı değilse, gösterge düzeylerinin dağılımı kaba hale gelir ve bu da zaman içinde olguda meydana gelen değişikliklerin ayrıntılı bir analizinin yapılması olasılığını sınırlar.

Ortalama serinin göstergelerini yumuşatmak için yaygın olarak kullanılan bir yöntem olan hareketli ortalamalar kullanılırsa daha doğru özellikler elde edilir. Serinin başlangıç ​​değerlerinden belirli bir zaman aralığında ortalamaya geçişi esas alır. Bu durumda, her bir sonraki göstergeyi hesaplarken zaman aralığı, zaman serisi boyunca kayıyor gibi görünmektedir.

Zaman serisindeki eğilimler belirsiz olduğunda veya döngüsel olarak yinelenen aykırı değerlerin (aykırı değerler veya müdahale) performansı üzerinde güçlü bir etki olduğunda hareketli ortalamanın kullanılması faydalıdır.

Düzeltme aralığı ne kadar büyük olursa, hareketli ortalama grafiği de o kadar düzgün görünür. Düzeltme aralığının değeri seçilirken zaman serisinin değerinden ve yansıtılan dinamiğin anlamlı anlamından hareket etmek gerekir. Çok sayıda kaynak noktasına sahip geniş bir zaman serisi, daha büyük yumuşatma zaman aralıklarının (5, 7, 10 vb.) kullanılmasına olanak tanır. Mevsimsel olmayan bir seriyi düzeltmek için hareketli ortalama prosedürü kullanılıyorsa, çoğu zaman düzeltme aralığı 3 veya 5'e eşit olarak alınır. https://tvoipolet.ru/iz-moskvi-v-nyu-jork/ - mükemmel Moskova'dan New York'a uçuş için havayolu seçme fırsatı

Verimi yüksek (30 c/ha'dan fazla) çiftliklerin hareketli ortalama sayısının hesaplanmasına bir örnek verelim (Tablo 10.3).

Tablo 10.3 Aralıkları hareketli ortalamayla genişleterek zaman serisini yumuşatma

Hareketli ortalama hesaplamalarına örnekler:

1982(84 + 94 + 92) / 3 = 90,0;

1983 (94 + 92 + 83) / 3 = 89,7;

1984(92 + 83 + 91) / 3 = 88,7;

1985(83 + 91 + 88) / 3 = 87,3.

Bir program hazırlanır. Apsis ekseninde yıllar, ordinat ekseninde ise yüksek verimli işletme sayısı gösterilmektedir. Çiftlik sayısının koordinatları grafikte gösterilmiş ve elde edilen noktalar kesikli çizgi ile birbirine bağlanmıştır. Daha sonra hareketli ortalamanın yıllara göre koordinatları grafikte gösterilir ve noktalar düz, kalın bir çizgiyle bağlanır.

Daha karmaşık ve etkili bir yöntem, çeşitli yaklaşım fonksiyonlarını kullanarak dinamik serileri yumuşatmaktır (düzeltmektir). Genel eğilimin ve dinamiğin ana ekseninin düzgün bir seviyesini oluşturmanıza olanak tanır.

Matematiksel fonksiyonları kullanan en etkili yumuşatma yöntemi basit üstel yumuşatmadır. Bu yöntem, aşağıdaki formüle göre serinin önceki tüm gözlemlerini dikkate alır:

S t = α∙X t + (1 - α ) ∙S t - 1 ,

burada S t - t zamanındaki her yeni yumuşatma; S t - 1 - önceki t -1 zamanındaki düzeltilmiş değer; X t - serinin t zamanındaki gerçek değeri; α yumuşatma parametresidir.

Eğer α = 1 ise önceki gözlemler tamamen göz ardı edilir; α = 0 olduğunda mevcut gözlemler göz ardı edilir; 0 ile 1 arasındaki α değerleri ara sonuçlar verir. Bu parametrenin değerlerini değiştirerek en uygun hizalama seçeneğini seçebilirsiniz. Optimum α değerinin seçimi, orijinal ve hizalanmış eğrilerin elde edilen grafik görüntülerinin analiz edilmesiyle veya hesaplanan noktaların karesel hatalarının (hatalarının) toplamı dikkate alınarak gerçekleştirilir. Bu yöntemin pratik kullanımı bilgisayar kullanılarak MS Excel'de yapılmalıdır. Üstel düzeltme fonksiyonu kullanılarak veri dinamiği modelinin matematiksel bir ifadesi elde edilebilir.