Sayı doğrusunda eşitsizliklerin çözümü. Kesirli rasyonel eşitsizlikler

Önemli notlar!
1. Formüller yerine gobbledygook'u görürseniz önbelleğinizi temizleyin. Tarayıcınızda bunu nasıl yapacağınız burada yazılmıştır:
2. Makaleyi okumaya başlamadan önce, en yararlı kaynaklar için gezginimize dikkat edin.

Sadece bu yöntemi anlamanız ve avucunuzun içi gibi bilmeniz yeterli! Keşke rasyonel eşitsizlikleri çözmek için kullanıldığı için ve bu yöntemi doğru bildiğiniz için bu eşitsizlikleri çözmenin şaşırtıcı derecede basit olması nedeniyle. Biraz sonra size bu eşitsizlikleri çözerken nasıl zaman kazanabileceğinize dair birkaç sır anlatacağım. Peki merak ettin mi? O zaman gidelim!

Yöntemin özü eşitsizliği faktörlere ayırmak (konuyu tekrar edin) ve faktörlerin ODZ'sini ve işaretini belirlemektir; şimdi her şeyi açıklayacağım. En basit örneği ele alalım: .

Değişkene göre bölünme olmadığından ve burada herhangi bir radikal (kök) gözlemlenmediğinden buraya kabul edilebilir değerler aralığını () yazmaya gerek yoktur. Buradaki her şey bizim için zaten çarpanlara ayrılmıştır. Ama rahatlamayın, bunların hepsi size temelleri hatırlatmak ve özü anlamak için!

Diyelim ki aralık yöntemini bilmiyorsunuz, bu eşitsizliği nasıl çözersiniz? Mantıksal olarak yaklaşın ve zaten bildiklerinizin üzerine inşa edin. İlk olarak, parantez içindeki her iki ifade de sıfırdan büyük veya sıfırdan küçükse sol taraf sıfırdan büyük olacaktır, çünkü “Artı” için “artı”, “artı”yı, “eksi” için “eksi” ise “artı”yı verir, değil mi? Ve eğer parantez içindeki ifadelerin işaretleri farklıysa, sonunda sol taraf sıfırdan küçük olacaktır. Parantez içindeki ifadelerin negatif veya pozitif olacağı değerleri bulmak için neye ihtiyacımız var?

Bir denklemi çözmemiz gerekiyor, bu eşitsizlikle tamamen aynı, sadece işaret yerine bir işaret olacak, bu denklemin kökleri, faktörlerin daha büyük olacağı sınır değerlerini belirlememize izin verecek veya sıfırdan küçük.

Ve şimdi aralıkların kendisi. Aralık nedir? Bu, sayı doğrusunda belirli bir aralıktır, yani iki sayı arasında bulunan tüm olası sayılar - aralığın uçları. Bu aralıkları kafanızda hayal etmek o kadar kolay değil, bu yüzden aralık çizmek yaygındır, şimdi size öğreteceğim.

Bir eksen çiziyoruz; tüm sayı serileri onun üzerinde yer alıyor. Noktalar, fonksiyonun sıfırları olarak adlandırılan, ifadenin sıfıra eşit olduğu değerler olan eksen üzerinde çizilir. Bu noktalar "belirlenmiştir", bu da eşitsizliğin doğru olduğu değerler arasında olmadıkları anlamına gelir. Bu durumda delinirler çünkü eşitsizliği işaretleyin ve değil, yani kesinlikle daha büyük ve daha büyük veya eşit değil.

Sıfırı işaretlemenin gerekli olmadığını, burada dairelerin bulunmadığını, sadece eksen boyunca anlayış ve yönlendirme için olduğunu söylemek istiyorum. Tamam, ekseni çizdik, noktaları (daha doğrusu daireleri) koyduk, sonra ne olacak, bu bana çözmede nasıl yardımcı olacak? - sen sor. Şimdi aralıklarla aralıklardan x'in değerini alın ve bunları eşitsizliğinizin yerine koyun ve çarpmanın hangi işaretle sonuçlandığını görün.

Kısacası, örneğin alırsak, onu burada yerine koyarsak, işe yarayacaktır, bu da eşitsizliğin onu aldığımız noktadan itibaren tüm aralık boyunca (tüm aralık boyunca) geçerli olacağı anlamına gelir. Başka bir deyişle, eğer x 'den'e ise eşitsizlik doğrudur.

Aynısını, ile arasındaki aralık için de yapıyoruz, alıyoruz veya örneğin yerine koyuyoruz, işareti belirliyoruz, işaret “eksi” olacaktır. Ve aynısını, işaretin "artı" olduğu son, üçüncü aralık için de yapıyoruz. Çok fazla metin var ama yeterince net değil, değil mi?

Eşitsizliğe bir kez daha bakın.

Artık sonuç olarak elde edilecek işaretleri de aynı eksene uyguluyoruz. Örneğimde kesikli çizgi, eksenin pozitif ve negatif bölümlerini gösterir.

Eşitsizliğe bakın - çizime, tekrar eşitsizliğe - ve tekrar çizime net bir şey var mı? Şimdi eşitsizliğin hangi X aralıklarında doğru olacağını söylemeye çalışın. Doğru, 'den'ye eşitsizliği de 'den'ye doğru olacak, ama 'den'e kadar olan aralıkta eşitsizlik sıfırdır ve bu aralık bizi pek ilgilendirmiyor çünkü eşitsizliğin bir işareti var.

Artık anladığınıza göre yapmanız gereken tek şey cevabı yazmak! Yanıt olarak, sol tarafın sıfırdan büyük olduğu aralıkları yazıyoruz; bu, X'in eksi sonsuzdan eksi bire ve ikiden artı sonsuza kadar olan aralığa ait olduğu anlamına gelir. Parantezlerin, aralığın sınırlandığı değerlerin eşitsizliğin çözümü olmadığı, yani cevaba dahil edilmedikleri, ancak yalnızca örneğin şuna kadar olmadığını belirttiği anlamına geldiğini açıklığa kavuşturmak gerekir: çözüm.

Şimdi sadece aralığı çizmeniz gerekmeyecek bir örnek:

Eksene noktalar koymadan önce ne yapılması gerektiğini düşünüyorsunuz? Evet, bunu faktörlere ayırın:

Aralıklar çiziyoruz ve işaretleri yerleştiriyoruz, işaretin kesinlikle sıfırdan küçük olması nedeniyle noktaları deldiğimize dikkat edin:

Bu konunun başında söz verdiğim bir sırrı size söylemenin zamanı geldi! Peki ya size işareti belirlemek için her aralıktaki değerleri yerine koymanız gerekmediğini, ancak aralıklardan birinde işareti belirleyebileceğinizi ve geri kalandaki işaretleri değiştirebileceğinizi söylesem!

Böylece tabelaları asarken biraz zaman kazandık - Birleşik Devlet Sınavında kazanılan zamanın zarar vermeyeceğini düşünüyorum!

Cevabı yazıyoruz:

Şimdi kesirli rasyonel eşitsizliğin bir örneğini düşünün - her iki tarafın da rasyonel ifadeler olduğu bir eşitsizlik (bkz.).

Bu eşitsizlik hakkında ne söyleyebilirsiniz? Ve buna kesirli-rasyonel bir denklem olarak bakalım, ilk önce ne yapacağız? Hemen köklerin olmadığını görüyoruz, bu kesinlikle rasyonel olduğu anlamına geliyor, ancak o zaman bu bir kesirdir ve hatta paydada bir bilinmeyen var!

Doğru, ODZ'ye ihtiyacımız var!

Öyleyse daha da ileri gidelim, burada biri hariç tüm faktörler birinci dereceden bir değişkene sahip, ancak x'in ikinci dereceye sahip olduğu bir faktör var. Genellikle eşitsizliğin sol tarafının sıfır değeri aldığı noktalardan birinden geçtikten sonra işaretimiz değişti, bunun için her faktörde x'in neye eşit olması gerektiğini belirledik. Ama burada her zaman olumlu çünkü herhangi bir sayının karesi > sıfır ve pozitif bir terim.

Bunun eşitsizliğin anlamını etkileyeceğini düşünüyor musunuz? Bu doğru - etkilemeyecek! Eşitsizliği güvenli bir şekilde her iki parçaya bölebilir ve böylece bu faktörü ortadan kaldırabiliriz, böylece göze batmaz.

Aralıkları çizmenin zamanı geldi; bunu yapmak için, çarpanların sıfırdan büyük ve küçük olacağı sınır değerlerini belirlemeniz gerekir. Ama dikkat edin burada bir işaret var yani eşitsizliğin sol tarafının sıfır değerini aldığı noktayı seçmeyeceğiz, çözüm sayısına dahildir, böyle bir noktamız var, burası x'in bire eşit olduğu noktadır. Paydanın negatif olduğu noktayı renklendirecek miyiz? - Tabii ki değil!

Payda sıfır olmamalıdır, dolayısıyla aralık şöyle görünecektir:

Bu şemayı kullanarak cevabı kolayca yazabilirsiniz, sadece artık yeni bir braket türünün emrinizde olduğunu söyleyeceğim - kare! İşte bir parantez [ değerin çözüm aralığına dahil olduğunu söylüyor, yani. cevabın bir parçası, bu braket eksen üzerinde doldurulmuş (sabitlenmemiş) bir noktaya karşılık gelir.

Peki aynı cevabı aldınız mı?

Bunu faktörlere ayırıyoruz ve her şeyi bir tarafa taşıyoruz; sonuçta onunla karşılaştırmak için sağda sıfır bırakmamız yeterli:

Son dönüşümde paydayı olduğu kadar paydayı da elde etmek için eşitsizliğin her iki tarafını da çarptığım gerçeğine dikkatinizi çekerim. Bir eşitsizliğin her iki tarafı ile çarpıldığında eşitsizliğin işaretinin ters yönde değiştiğini unutmayın!!!

ODZ'yi yazıyoruz:

Aksi takdirde payda sıfıra gidecek ve hatırladığınız gibi sıfıra bölemezsiniz!

Katılıyorum, ortaya çıkan eşitsizlik pay ve paydayı azaltmak için cazip geliyor! Bu yapılamaz; bazı kararları veya ODZ'yi kaybedebilirsiniz!

Şimdi noktaları eksene kendiniz yerleştirmeye çalışın. Sadece noktaları çizerken, işarete göre eksen üzerinde gölgeli olarak çizilmiş gibi görünen değeri olan bir noktanın gölgeli olmayacağına dikkat etmeniz gerektiğini not edeceğim. oyulmuş! Neden sordun? Ve ODZ'yi hatırlayın, sıfıra bu şekilde bölmeyeceksiniz, değil mi?

Unutmayın, ODZ önce gelir! Tüm eşitsizlikler ve eşit işaretler bir şey söylüyorsa ve ODZ başka bir şey söylüyorsa, büyük ve güçlü ODZ'ye güvenin!

Pekala, aralıkları siz oluşturdunuz, eminim değişimle ilgili ipucumu anladınız ve bu şekilde elde ettiniz (aşağıdaki resme bakın) Şimdi üzerini çizin ve aynı hatayı bir daha yapmayın! Hangi hata? - sen sor.

Gerçek şu ki, bu eşitsizlikte faktör iki kez tekrarlandı (bunu nasıl azaltmaya çalıştığınızı hatırlıyor musunuz?). Dolayısıyla, eşitsizlikte bir faktör çift sayıda tekrarlanırsa, eksen üzerinde bu faktörü sıfıra çeviren bir noktadan (bu durumda bir noktadan) geçerken işaret tek ise değişmeyecektir; , sonra işaret değişir!

Aralıkları ve işaretleri olan aşağıdaki eksen doğru olacaktır:

Ve dikkat edelim ki ilgilendiğimiz işaret başlangıçtaki işaret değil (eşitsizliği ilk gördüğümüzde işaret oradaydı), dönüşümlerden sonra işaret olarak değişti, yani aralıklarla ilgileniyoruz bir işaretle.

Cevap:

Ayrıca, herhangi bir aralığa girmeyen eşitsizliğin köklerinin olduğu durumlar olduğunu da söyleyeceğim, yanıt olarak bunlar küme parantezleri içinde yazılıyor, örneğin: . Bu tür durumlar hakkında daha fazla bilgiyi ortalama düzeydeki makaleden okuyabilirsiniz.

Eşitsizliklerin aralık yöntemini kullanarak nasıl çözüleceğini özetleyelim:
Sağda yalnızca sıfır bırakarak her şeyi sol tarafa taşıyoruz;
ODZ'yi buluyoruz;
Aralıklardan birinden keyfi bir tane alıyoruz ve kökün ait olduğu aralıktaki işareti belirliyoruz, işaretleri değiştiriyoruz, eşitsizlikte birkaç kez tekrarlanan köklere dikkat ederek işaretin bunlardan geçerken değişip değişmediğine bağlı; tekrarlanma veya tekrarlanma sayısının eşitliği veya tekliği;
Yanıt olarak, noktalama işaretli ve delinmemiş noktaları gözlemleyerek (bkz. ODZ) aralarına gerekli parantez türlerini yerleştirerek aralıklar yazıyoruz.

Ve son olarak en sevdiğimiz bölüm “kendin yap”!

Örnekler:

Cevaplar:

ARALIK YÖNTEMİ. ORTA SEVİYE

Doğrusal fonksiyon

Formun bir fonksiyonuna doğrusal denir. Örnek olarak bir fonksiyonu ele alalım. At pozitif ve negatif at'tır. Nokta, () fonksiyonunun sıfırıdır. Bu fonksiyonun işaretlerini sayı ekseninde gösterelim:

“Fonksiyon noktadan geçerken işaret değiştirir” diyoruz.

Fonksiyonun işaretlerinin fonksiyon grafiğinin konumuna karşılık geldiği görülmektedir: grafik eksenin üzerindeyse işaret “ ”, altındaysa “ ” olur.

Ortaya çıkan kuralı keyfi bir doğrusal fonksiyona genelleştirirsek aşağıdaki algoritmayı elde ederiz:

Fonksiyonun sıfırını bulma;
Sayı ekseninde işaretliyoruz;
Sıfırın karşıt taraflarında fonksiyonun işaretini belirleriz.

İkinci dereceden fonksiyon

Umarım ikinci dereceden eşitsizlikleri nasıl çözeceğinizi hatırlıyorsunuzdur? Değilse konuyu okuyun. Size ikinci dereceden bir fonksiyonun genel formunu hatırlatmama izin verin: .

Şimdi ikinci dereceden fonksiyonun hangi işaretleri aldığını hatırlayalım. Grafiği bir paraboldür ve fonksiyon, parabolün eksenin üzerinde olduğu durumlar için " " işaretini ve parabolün eksenin altında olması durumunda " " işaretini alır:

Bir fonksiyonun sıfırları varsa (değerler), parabol ekseni iki noktada keser - karşılık gelen ikinci dereceden denklemin kökleri. Böylece eksen üç aralığa bölünür ve fonksiyonun işaretleri her kökten geçerken dönüşümlü olarak değişir.

Her seferinde parabol çizmeden işaretleri bir şekilde belirlemek mümkün müdür?

Kare bir trinomiyalin çarpanlara ayrılabileceğini hatırlayın:

Örneğin: .

Kökleri eksen üzerinde işaretleyelim:

Bir fonksiyonun işaretinin ancak kökten geçerken değişebileceğini hatırlıyoruz. Bu gerçeği kullanalım: Eksenin köklerle bölündüğü üç aralığın her biri için, fonksiyonun işaretini yalnızca keyfi olarak seçilen bir noktada belirlemek yeterlidir: aralığın geri kalan noktalarında işaret aynı olacaktır. .

Örneğimizde: parantez içindeki her iki ifade de pozitiftir (örneğin yerine koyun). Eksen üzerine “ ” işareti koyuyoruz:

Peki, (örneğin ikame) her iki parantez de negatif olduğunda, bu da çarpımın pozitif olduğu anlamına gelir:

işte bu aralık yöntemi: Her aralıktaki faktörlerin işaretlerini bilerek tüm çarpımın işaretini belirleriz.

Fonksiyonun hiç sıfır içermediği veya yalnızca bir tane olduğu durumları da ele alalım.

Eğer onlar orada değilse, o zaman kökler de yoktur. Bu da “kökten geçiş” olmayacağı anlamına gelir. Bu, fonksiyonun tüm sayı doğrusunda yalnızca bir işaret aldığı anlamına gelir. Bir fonksiyona yerleştirilerek kolayca belirlenebilir.

Yalnızca bir kök varsa parabol eksene dokunur, dolayısıyla fonksiyonun işareti kökten geçerken değişmez. Bu tür durumlar için nasıl bir kural üretebiliriz?

Böyle bir fonksiyonu çarpanlara ayırırsanız iki özdeş çarpan elde edersiniz:

Ve herhangi bir kare ifade negatif değildir! Bu nedenle fonksiyonun işareti değişmez. Bu gibi durumlarda, içinden geçerken işaretin değişmediği kökü bir kareyle daire içine alarak vurgulayacağız:

Böyle bir köke kat diyeceğiz.

Eşitsizliklerde aralık yöntemi

Artık ikinci dereceden herhangi bir eşitsizlik parabol çizmeden çözülebilir. İkinci dereceden fonksiyonun işaretlerini eksene yerleştirmek ve eşitsizliğin işaretine bağlı olarak aralıkları seçmek yeterlidir. Örneğin:

Kökleri eksen üzerinde ölçelim ve işaretleri yerleştirelim:

Eksenin " " işaretli kısmına ihtiyacımız var; Eşitsizlik katı olmadığından köklerin kendileri de çözüme dahil edilir:

Şimdi rasyonel bir eşitsizliği düşünün - her iki tarafı da rasyonel ifadeler olan bir eşitsizlik (bkz.).

Örnek:

Burada biri hariç tüm faktörler “doğrusal”dır, yani yalnızca birinci kuvvete kadar bir değişken içerirler. Aralık yöntemini uygulamak için bu tür doğrusal faktörlere ihtiyacımız var - köklerinden geçerken işaret değişir. Ancak çarpanın hiçbir kökü yoktur. Bu, her zaman pozitif olduğu anlamına gelir (bunu kendiniz kontrol edin) ve bu nedenle tüm eşitsizliğin işaretini etkilemez. Bu, eşitsizliğin sol ve sağ taraflarını ona bölebileceğimiz ve böylece ondan kurtulabileceğimiz anlamına gelir:

Artık her şey ikinci dereceden eşitsizliklerde olduğu gibi: Faktörlerin hangi noktalarda kaybolduğunu belirliyoruz, bu noktaları eksen üzerinde işaretliyoruz ve işaretleri düzenliyoruz. Çok önemli bir gerçeğe dikkatinizi çekmek istiyorum:

Cevap: . Örnek: .

Aralık yöntemini uygulayabilmek için eşitsizliğin parçalarından birinin olması gerekir. Bu nedenle sağ tarafı sola kaydıralım:

Pay ve payda aynı faktöre sahiptir, ancak onu azaltmak için acele etmeyin! Sonuçta bu noktayı vurgulamayı unutabiliriz. Bu kökü kat olarak işaretlemek daha iyidir, yani içinden geçerken işaret değişmeyecektir:

Cevap: .

Ve çok açıklayıcı bir örnek daha:

Yine pay ve paydanın aynı çarpanlarını iptal etmiyoruz, çünkü bunu yaparsak, noktayı özellikle delmeyi hatırlamamız gerekecek.

: tekrarlanan zamanlar;
: zamanlar;
: kez (payda ve paydada bir).

Çift sayı olması durumunda, öncekiyle aynısını yaparız: noktayı bir kareyle daire içine alırız ve kökten geçerken işareti değiştirmeyiz. Ancak tek sayı olması durumunda bu kural geçerli değildir: kökten geçerken işaret yine de değişecektir. Dolayısıyla böyle bir kökle sanki kat değilmiş gibi ek bir şey yapmıyoruz. Yukarıdaki kurallar tüm çift ve tek kuvvetler için geçerlidir.

Cevapta ne yazmalıyız?

İşaretlerin değişimi ihlal edilirse çok dikkatli olmanız gerekir çünkü eşitsizlik katı değilse cevap şunları içermelidir: tüm gölgeli noktalar. Ancak bazıları sıklıkla ayrı durur, yani gölgeli alana dahil edilmezler. Bu durumda, bunları cevaba yalıtılmış noktalar olarak ekliyoruz (küme parantezleri içinde):

Örnekler (kendiniz karar verin):

Cevaplar:

Faktörler arasında basit ise köktür çünkü şeklinde temsil edilebilir.
.

ARALIK YÖNTEMİ. ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA

Rasyonel eşitsizliklerin çözümünde aralık yöntemi kullanılır. Faktörlerin işaretlerinden ürünün işaretinin çeşitli aralıklarla belirlenmesinden oluşur.

Aralık yöntemini kullanarak rasyonel eşitsizlikleri çözmek için algoritma.

Sağda yalnızca sıfır bırakarak her şeyi sol tarafa taşıyoruz;
ODZ'yi buluyoruz;
Eşitsizliğin tüm köklerini eksene çiziyoruz;
Aralıklardan birinden keyfi bir tane alıyoruz ve kökün ait olduğu aralıktaki işareti belirliyoruz, işaretleri değiştiriyoruz, eşitsizlikte birkaç kez tekrarlanan köklere dikkat ederek işaretin bunlardan geçerken değişip değişmediğine bağlı; tekrarlanma veya tekrarlanma sayısının eşitliği veya tekliği;
Yanıt olarak, noktalama işaretli ve delinmemiş noktaları gözlemleyerek (bkz. ODZ) aralarına gerekli parantez türlerini yerleştirerek aralıklar yazıyoruz.

Neyse konu bitti. Eğer bu satırları okuyorsanız çok havalısınız demektir.

Çünkü insanların yalnızca %5'i bir konuda kendi başına ustalaşabiliyor. Ve eğer sonuna kadar okursanız, o zaman siz de bu %5'in içindesiniz!

Şimdi en önemli şey.

Bu konudaki teoriyi anladınız. Ve tekrar ediyorum, bu... bu gerçekten süper! Zaten akranlarınızın büyük çoğunluğundan daha iyisiniz.

Sorun şu ki bu yeterli olmayabilir...

Ne için?

Birleşik Devlet Sınavını başarıyla geçmek, üniversiteye kısıtlı bir bütçeyle girmek ve EN ÖNEMLİSİ ömür boyu.

Seni hiçbir şeye ikna etmeyeceğim, sadece tek bir şey söyleyeceğim...

İyi bir eğitim almış insanlar, almayanlara göre çok daha fazla kazanıyorlar. Bu istatistik.

Ancak asıl mesele bu değil.

Önemli olan DAHA MUTLU olmalarıdır (böyle çalışmalar var). Belki de önlerine çok daha fazla fırsat çıktığı ve hayat daha parlak hale geldiği için? Bilmiyorum...

Ama kendin düşün...

Birleşik Devlet Sınavında diğerlerinden daha iyi olmak ve sonuçta... daha mutlu olmak için ne gerekir?

BU KONUDAKİ SORUNLARI ÇÖZEREK ELİNİZİ KAZANIN.

Sınav sırasında sizden teori sorulmayacak.

İhtiyacın olacak zamana karşı sorunları çözmek.

Ve eğer bunları çözmediyseniz (ÇOK!), kesinlikle bir yerlerde aptalca bir hata yapacaksınız veya zamanınız olmayacak.

Sporda olduğu gibi - kesin olarak kazanmak için bunu birçok kez tekrarlamanız gerekir.

Koleksiyonu dilediğiniz yerde bulun, mutlaka çözümlerle, detaylı analizlerle ve karar ver, karar ver, karar ver!

Görevlerimizi kullanabilirsiniz (isteğe bağlı) ve elbette bunları öneririz.

Görevlerimizi daha iyi kullanmak için şu anda okuduğunuz YouClever ders kitabının ömrünün uzatılmasına yardımcı olmanız gerekir.

Nasıl? İki seçenek var:

Bu makaledeki tüm gizli görevlerin kilidini açın -
Ders kitabının 99 makalesinin tamamındaki tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın - Bir ders kitabı satın alın - 499 RUR

Evet, ders kitabımızda buna benzer 99 makale var ve tüm görevlere ve bunların içindeki tüm gizli metinlere erişim anında açılabilir.

Sitenin TÜM ömrü boyunca tüm gizli görevlere erişim sağlanır.

Ve sonuç olarak...

Görevlerimizi beğenmiyorsanız başkalarını bulun. Sadece teoride durmayın.

“Anlamak” ve “çözebilirim” tamamen farklı becerilerdir. İkisine de ihtiyacın var.

Sorunları bulun ve çözün!

Antik çağlardan beri pratik problemlerin çözümünde nicelik ve niceliklerin karşılaştırılması gerekli olmuştur. Aynı zamanda, homojen miktarların karşılaştırılmasının sonuçlarını ifade eden daha fazla ve daha az, daha yüksek ve daha düşük, daha hafif ve daha ağır, daha sessiz ve daha yüksek, daha ucuz ve daha pahalı vb. kelimeler ortaya çıktı.

Az ve çok kavramları, nesnelerin sayılması, niceliklerin ölçülmesi ve karşılaştırılması ile bağlantılı olarak ortaya çıktı. Örneğin Antik Yunan matematikçileri, herhangi bir üçgenin bir kenarının diğer iki kenarının toplamından küçük olduğunu ve üçgenin büyük tarafının büyük açının karşısında yer aldığını biliyorlardı. Arşimed çevreyi hesaplarken, herhangi bir dairenin çevresinin çapın üç katına eşit olduğunu ve fazlalığın çapın yedide birinden az, ancak çapın on yetmiş katından fazla olduğunu tespit etti.

> ve b işaretlerini kullanarak sayılar ve nicelikler arasındaki ilişkileri sembolik olarak yazın. İki sayının işaretlerden biriyle bağlandığı kayıtlar: > (büyüktür), Daha düşük derecelerde de sayısal eşitsizliklerle karşılaştınız. Eşitsizliklerin doğru ya da yanlış olabileceğini biliyorsunuz. Örneğin, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) doğru bir sayısal eşitsizliktir, 0,23 > 0,235 ise yanlış bir sayısal eşitsizliktir.

Bilinmeyenleri içeren eşitsizlikler, bilinmeyenlerin bazı değerleri için doğru, bazıları için ise yanlış olabilir. Örneğin 2x+1>5 eşitsizliği x = 3 için doğru, x = -3 için yanlıştır. Bir bilinmeyenli bir eşitsizlik için görevi belirleyebilirsiniz: eşitsizliği çözün. Uygulamada eşitsizlikleri çözme sorunları, denklem çözme sorunlarından daha az sıklıkta ortaya konulmaz ve çözülmez. Örneğin, birçok ekonomik sorun doğrusal eşitsizlik sistemlerinin incelenmesi ve çözümüne bağlıdır. Matematiğin birçok dalında eşitsizlikler denklemlerden daha yaygındır.

Bazı eşitsizlikler, örneğin bir denklemin kökü gibi belirli bir nesnenin varlığını kanıtlamanın veya çürütmenin tek yardımcı aracı olarak hizmet eder.

Sayısal eşitsizlikler

Tam sayıları ve ondalık kesirleri karşılaştırabilirsiniz. Paydaları aynı ancak payları farklı olan sıradan kesirleri karşılaştırma kurallarını öğrenin; payları aynı fakat paydaları farklı. Burada herhangi iki sayıyı farklarının işaretini bularak nasıl karşılaştıracağınızı öğreneceksiniz.

Sayıları karşılaştırmak pratikte yaygın olarak kullanılmaktadır. Örneğin, bir ekonomist planlanan göstergeleri gerçek olanlarla karşılaştırır, bir doktor hastanın ateşini normalle karşılaştırır, bir tornacı işlenmiş bir parçanın boyutlarını bir standartla karşılaştırır. Tüm bu durumlarda bazı sayılar karşılaştırılır. Sayıların karşılaştırılması sonucunda sayısal eşitsizlikler ortaya çıkar.

Tanım. a-b farkı pozitif ise a sayısı b sayısından büyüktür. a-b farkı negatif ise a sayısı b sayısından küçüktür.

a, b'den büyükse şöyle yazarlar: a > b; a, b'den küçükse şunu yazarlar: a Dolayısıyla, a > b eşitsizliği, a - b farkının pozitif olduğu anlamına gelir, yani. a - b > 0. Eşitsizlik a Aşağıdaki üç ilişkiden herhangi iki a ve b sayısı için a > b, a = b, a a ve b sayılarını karşılaştırmak, >, = veya işaretlerinden hangisinin olduğunu bulmak anlamına gelir Teorem. a > b ve b > c ise a > c olur.

Teorem. Eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayıyı eklerseniz eşitsizliğin işareti değişmeyecektir.
Sonuçlar. Herhangi bir terim, bu terimin işaretinin tersiyle değiştirilmesiyle eşitsizliğin bir kısmından diğerine taşınabilir.

Teorem. Eşitsizliğin her iki tarafı aynı pozitif sayı ile çarpılırsa eşitsizliğin işareti değişmeyecektir. Eşitsizliğin her iki tarafı aynı negatif sayı ile çarpılırsa eşitsizliğin işareti ters yönde değişir.
Sonuçlar. Eşitsizliğin her iki tarafı da aynı pozitif sayıya bölünürse eşitsizliğin işareti değişmeyecektir. Eşitsizliğin her iki tarafı da aynı negatif sayıya bölünürse eşitsizliğin işareti ters yönde değişir.

Sayısal eşitliklerin terim terim toplanıp çarpılabileceğini biliyorsunuz. Daha sonra eşitsizliklerle benzer eylemlerin nasıl gerçekleştirileceğini öğreneceksiniz. Eşitsizlikleri terim terim toplama ve çarpma yeteneği pratikte sıklıkla kullanılır. Bu eylemler, ifadelerin anlamlarını değerlendirme ve karşılaştırma sorunlarının çözülmesine yardımcı olur.

Çeşitli problemleri çözerken çoğu zaman eşitsizliklerin sol ve sağ taraflarını terim terim eklemek veya çarpmak gerekir. Aynı zamanda bazen eşitsizliklerin arttığı veya çoğaldığı da söylenir. Örneğin bir turist ilk gün 20 km'den fazla, ikinci gün 25 km'den fazla yürüdüyse iki günde 45 km'den fazla yürüdüğünü söyleyebiliriz. Benzer şekilde bir dikdörtgenin uzunluğu 13 cm'den ve genişliği 5 cm'den az ise bu dikdörtgenin alanının 65 cm2'den az olduğunu söyleyebiliriz.

Bu örnekleri değerlendirirken aşağıdakiler kullanıldı: Eşitsizliklerin toplanması ve çarpımı ile ilgili teoremler:

Teorem. Aynı işaretli eşitsizlikleri toplarken aynı işaretli bir eşitsizlik elde edilir: a > b ve c > d ise, o zaman a + c > b + d.

Teorem. Sol ve sağ tarafları pozitif olan aynı işaretli eşitsizlikleri çarparken aynı işaretli bir eşitsizlik elde edilir: a > b, c > d ve a, b, c, d pozitif sayılar ise, o zaman ac > bd.

> (büyüktür) ve 1/2, 3/4 b, c işaretli eşitsizlikler Tam eşitsizliklerin işaretleri ile birlikte > ve Aynı şekilde \(a \geq b \) eşitsizliği a sayısının şu olduğu anlamına gelir: b'den büyük veya ona eşit, yani b'den küçük değil.

\(\geq \) işaretini veya \(\leq \) işaretini içeren eşitsizliklere katı olmayan eşitsizlikler denir. Örneğin \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) katı eşitsizlikler değildir.

Katı eşitsizliklerin tüm özellikleri katı olmayan eşitsizlikler için de geçerlidir. Üstelik, katı eşitsizlikler için işaretler zıt kabul ediliyorsa ve bir dizi uygulamalı problemi çözmek için bir denklem veya denklem sistemi biçiminde bir matematiksel model oluşturmanız gerektiğini biliyorsanız. Daha sonra birçok problemin çözümüne yönelik matematiksel modellerin bilinmeyenli eşitsizlikler olduğunu öğreneceksiniz. Bir eşitsizliği çözme kavramı tanıtılacak ve belirli bir sayının belirli bir eşitsizliğin çözümü olup olmadığının nasıl test edileceği gösterilecektir.

Form eşitsizlikleri
a ve b'ye sayıların verildiği ve x'in bilinmeyen olduğu \(ax > b, \quad ax) denir bir bilinmeyenli doğrusal eşitsizlikler.

Tanım. Bir bilinmeyenli eşitsizliğin çözümü, bu eşitsizliğin gerçek sayısal eşitsizliğe dönüştüğü bilinmeyenin değeridir. Bir eşitsizliği çözmek, onun tüm çözümlerini bulmak veya hiçbirinin olmadığını tespit etmek anlamına gelir.

Denklemleri en basit denklemlere indirgeyerek çözdünüz. Benzer şekilde, eşitsizlikleri çözerken, özellikleri kullanarak bunları basit eşitsizlikler biçimine indirgemeye çalışırız.

İkinci derece eşitsizlikleri tek değişkenle çözme

Form eşitsizlikleri
\(ax^2+bx+c >0 \) ve \(ax^2+bx+c burada x bir değişkendir, a, b ve c bazı sayılardır ve \(a \neq 0 \), denir tek değişkenli ikinci dereceden eşitsizlikler.

Eşitsizliğin çözümü
\(ax^2+bx+c >0 \) veya \(ax^2+bx+c, \(y= ax^2+bx+c \) fonksiyonunun pozitif veya negatif aldığı aralıkların bulunması olarak düşünülebilir değerler Bunu yapmak için, \(y= ax^2+bx+c\) fonksiyonunun grafiğinin koordinat düzleminde nasıl konumlandığını analiz etmek yeterlidir: parabolün dallarının yönlendirildiği yer - yukarı veya aşağı, ister yukarı ister aşağı parabol x eksenini kesiyor ve eğer kesişiyorsa hangi noktalarda.

Tek değişkenli ikinci derece eşitsizlikleri çözme algoritması:
1) kare üç terimli \(ax^2+bx+c\)'nin diskriminantını bulun ve üç terimlinin kökleri olup olmadığını bulun;
2) Üç terimlinin kökleri varsa, bunları x ekseni üzerinde işaretleyin ve işaretli noktalar aracılığıyla dalları a > 0 için yukarıya veya 0 için aşağıya veya 3) için aşağıya doğru yönlendirilen şematik bir parabol çizin. x ekseni üzerinde, nokta parabollerinin x ekseninin üzerinde (eğer eşitsizliği \(ax^2+bx+c >0\) çözüyorlarsa) veya x ekseninin altında (eğer eşitsizliği çözüyorlarsa) bulunduğu aralıkları bulun. eşitsizlik
\(ax^2+bx+c Eşitsizlikleri aralık yöntemini kullanarak çözme

İşlevi düşünün
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

Bu fonksiyonun tanım kümesi tüm sayılar kümesidir. Fonksiyonun sıfırları -2, 3, 5 sayılarıdır. Fonksiyonun tanım tanım kümesini \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( aralıklarına bölerler. 3; 5) \) ve \( (5; +\infty)\)

Belirtilen aralıkların her birinde bu fonksiyonun işaretlerinin ne olduğunu bulalım.

(x + 2)(x - 3)(x - 5) ifadesi üç faktörün çarpımıdır. Bu faktörlerin her birinin söz konusu aralıklardaki işareti tabloda belirtilmiştir:

Genel olarak fonksiyon formülle verilsin
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
burada x bir değişkendir ve x 1, x 2, ..., x n birbirine eşit olmayan sayılardır. x 1 , x 2 , ..., xn sayıları fonksiyonun sıfırlarıdır. Tanım kümesinin fonksiyonun sıfırlarına bölündüğü aralıkların her birinde fonksiyonun işareti korunur ve sıfırdan geçerken işareti değişir.

Bu özellik formdaki eşitsizlikleri çözmek için kullanılır
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) burada x 1, x 2, ..., x n birbirine eşit olmayan sayılardır

Dikkate alınan yöntem eşitsizliklerin çözümüne aralık yöntemi denir.

Eşitsizliklerin aralık yöntemini kullanarak çözümüne örnekler verelim.

Eşitsizliği çözün:

\(x(0,5-x)(x+4) Açıkçası, f(x) = x(0,5-x)(x+4) fonksiyonunun sıfırları \(x=0, \; x= \ noktalarıdır) frac(1)(2) , \; x=-4 \)

Fonksiyonun sıfırlarını sayı eksenine çizeriz ve her aralığın işaretini hesaplarız:

Fonksiyonun sıfırdan küçük veya sıfıra eşit olduğu aralıkları seçip cevabı yazıyoruz.

Bu derste daha karmaşık eşitsizlikler için aralık yöntemini kullanarak rasyonel eşitsizlikleri çözmeye devam edeceğiz. Kesirli doğrusal ve kesirli ikinci dereceden eşitsizliklerin ve ilgili problemlerin çözümünü ele alalım.

Şimdi eşitsizliğe dönelim

İlgili bazı görevlere bakalım.

Eşitsizliğin en küçük çözümünü bulun.

Eşitsizliğin doğal çözümlerinin sayısını bulun

Eşitsizliğin çözüm kümesini oluşturan aralıkların uzunluğunu bulun.

2. Doğa Bilimleri Portalı ().

3. Bilgisayar bilimleri, matematik, Rus dili () giriş sınavlarına 10-11. sınıfların hazırlanmasına yönelik elektronik eğitim ve metodolojik kompleks.

5. Eğitim Merkezi “Öğretim Teknolojisi” ().

6. College.ru'nun matematik bölümü ().

1. Mordkovich A.G. ve diğerleri Cebir 9. sınıf: Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için problem kitabı / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina, vb. - 4. baskı. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 s.: hasta. 28(b,c); 29(b,c); 35(a,b); 37(b,c); 38(a).

Aralık yöntemi(veya bazen aralık yöntemi olarak da adlandırıldığı gibi) eşitsizlikleri çözmek için evrensel bir yöntemdir. Çeşitli eşitsizliklerin çözümü için uygundur, ancak en uygun olanı rasyonel eşitsizlikler tek değişkenle. Bu nedenle, okul cebir dersinde aralık yöntemi özellikle rasyonel eşitsizliklerle yakından bağlantılıdır ve diğer eşitsizliklerin onun yardımıyla çözülmesine neredeyse hiç dikkat edilmez.

Bu yazıda aralık yöntemini ayrıntılı olarak analiz edeceğiz ve eşitsizlikleri tek değişkenle çözmenin tüm inceliklerine bu yöntemi kullanarak değineceğiz. Eşitsizlikleri aralık yöntemini kullanarak çözmek için bir algoritma sunarak başlayalım. Daha sonra hangi teorik yönlere dayandığını açıklayıp algoritmanın adımlarını analiz edeceğiz, özellikle aralıklardaki işaretlerin belirlenmesi üzerinde detaylı olarak duracağız. Bundan sonra uygulamaya geçeceğiz ve birkaç tipik örnekle ilgili çözümleri göstereceğiz. Ve sonuç olarak, aralık yöntemini genel haliyle (yani rasyonel eşitsizliklere atıfta bulunmadan), diğer bir deyişle genelleştirilmiş aralık yöntemini ele alacağız.

Sayfada gezinme.

Algoritma

Okulda aralık yöntemini tanımak f(x) formundaki eşitsizlikleri çözmekle başlar.<0 (знак неравенства может быть и другим ≤, >veya ≥), burada f(x) ya bir çarpım olarak temsil edilir doğrusal binomlar x değişkeni için 1 ve/veya kare trinomialler baş katsayısı 1 olan ve negatif bir ayrımcıya sahip olan ve bunların dereceleri veya bu tür polinomların oranı. Açıklık sağlamak için bu tür eşitsizliklere örnekler veriyoruz: (x−5)·(x+5)≤0 , (x+3)·(x 2 −x+1)·(x+2) 3 ≥0, .

Daha fazla konuşmayı anlamlı kılmak için, hemen yukarıdaki türdeki eşitsizlikleri aralık yöntemini kullanarak çözmek için bir algoritma yazalım ve sonra neyi, nasıl ve nedenini çözeceğiz. Yani, aralık yöntemini kullanarak:

Öncelikle payın sıfırları ve paydanın sıfırları bulunur. Bunun için eşitsizliğin sol tarafındaki ifadenin pay ve paydası sıfıra eşitlenir ve ortaya çıkan denklemler çözülür.
Bundan sonra bulunan sıfırlara karşılık gelen noktalar tire ile işaretlenir. Ölçeğe uymanın gerekli olmadığı şematik bir çizim yeterlidir, asıl mesele noktaların birbirine göre konumuna uymaktır: daha küçük koordinata sahip nokta, noktanın solunda bulunur. daha büyük koordinat Bundan sonra, bunların nasıl tasvir edilmesi gerektiği netleşiyor: düzenli veya delikli (boş bir merkezle). Katı bir eşitsizliği çözerken (işaretli< или >) tüm noktalar delikli olarak gösterilmektedir. Katı olmayan bir eşitsizliği çözerken (≤ veya ≥ işaretiyle), paydanın sıfırlarına karşılık gelen noktalar delinir ve kısa çizgilerle işaretlenmiş kalan noktalar sıradandır. Bu noktalar koordinat çizgisini birkaç sayısal aralığa böler.
Daha sonra f(x) ifadesinin işaretleri, her aralıkta çözülen eşitsizliğin sol tarafından belirlenir (bunun nasıl yapıldığını aşağıdaki paragraflardan birinde ayrıntılı olarak anlatacağız) ve üstüne + veya − yerleştirilir. üzerlerinde tanımlanan işaretlere uygun olarak.
Son olarak imzalı eşitsizliği çözerken< или ≤ изображается штриховка над промежутками, отмеченными знаком −, а при решении неравенства со знаком >veya ≥ - + işaretiyle işaretlenmiş boşlukların üzerine. Sonuç, eşitsizliğin istenen çözümüdür.

Yukarıdaki algoritmanın okul ders kitaplarındaki aralık yöntemi tanımıyla tutarlı olduğuna dikkat edin.

Yöntem neye dayanıyor?

Aralık yönteminin altında yatan yaklaşım, sürekli bir fonksiyonun aşağıdaki özelliğinden dolayı gerçekleşir: (a, b) aralığında f fonksiyonu sürekliyse ve yok olmuyorsa, o zaman bu aralıkta sabit bir işaret tutar (eklerdik) benzer bir özellik (−∞, a) ve (a, +∞) sayıları için de geçerlidir. Ve bu özellik, Bolzano-Cauchy teoreminden kaynaklanmaktadır (bunun değerlendirilmesi okul müfredatının kapsamı dışındadır), formülasyonu ve kanıtı gerekirse kitapta bulunabilir.

Önceki paragrafta belirtilen forma sahip f(x) ifadeleri için, aralıklardaki işaretin sabitliği, sayısal eşitsizliklerin özelliklerinden başlayarak ve sayıları aynı sayılarla çarpma ve bölme kurallarını dikkate alarak başka bir şekilde gerekçelendirilebilir. işaretler ve farklı işaretler.

Örnek olarak eşitsizliği düşünün. Pay ve paydanın sıfırları sayı doğrusunu üç aralığa (−∞, −1), (−1, 5) ve (5, +∞) böler. (−∞, −1) aralığında eşitsizliğin sol tarafındaki ifadenin sabit işaretli olduğunu gösterelim (başka bir aralık da alabiliriz, mantığı da aynı olacaktır). Bu aralıktan herhangi bir t sayısını alalım. Açıkça t eşitsizliğini tatmin edecek<−1 , и так как −1<5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t<5 . Из этих неравенств в силу свойств числовых неравенств следует, что t+1<0 и t−5<0. То есть, t+1 и t−5 – отрицательные числа, не зависимо от того, какое конкретно число t мы возьмем из промежутка (−∞, −1) . Тогда позволяет констатировать, что значение выражения будет положительным, откуда следует, что значение выражения будет положительным при любом значении x из промежутка (−∞, −1) . Итак, на указанном промежутке выражение имеет постоянный знак, причем, это знак +.

Böylece aralıkların işaretlerini belirleme konusuna sorunsuz bir şekilde yaklaştık, ancak pay ve paydanın sıfırlarını bulmayı içeren aralık yönteminin ilk adımını atlamayacağız.

Pay ve paydanın sıfırları nasıl bulunur?

Birinci paragrafta belirtilen türden bir kesirin pay ve paydasının sıfırlarını bulmak genellikle herhangi bir sorun yaratmaz. Bunun için pay ve paydadan gelen ifadeler sıfıra eşitlenir ve ortaya çıkan denklemler çözülür. Bu tür denklemleri çözme ilkesi makalede ayrıntılı olarak anlatılmıştır. Denklemleri çarpanlara ayırma yöntemiyle çözme. Burada kendimizi sadece bir örnekle sınırlayacağız.

Kesri düşünün ve pay ve paydasının sıfırlarını bulun. Payın sıfırlarıyla başlayalım. Payı sıfıra eşitliyoruz, x·(x−0,6)=0 denklemini elde ediyoruz, buradan x=0 ve x−0,6=0 iki denklem kümesine geçiyoruz, buradan iki kök 0 ve 0,6 buluyoruz . Bunlar payın gerekli sıfırlarıdır. Şimdi paydanın sıfırlarını buluyoruz. Hadi bir denklem kuralım x 7 ·(x 2 +2·x+7) 2 ·(x+5) 3 =0, x 7 =0, (x 2 +2 x+7) 2 =0, (x+5) 3 =0 ve ardından x=0, x 2 +2 x+7 olmak üzere üç denklemden oluşan bir diziye eşdeğerdir =0 , x+5=0 . Bu denklemlerden birincisinin kökü bellidir, 0'dır, ikinci denklemin diskriminantı negatif olduğundan kökleri yoktur ve üçüncü denklemin kökü -5'tir. Böylece paydanın sıfırlarını bulduk, iki tane vardı: 0 ve −5. 0'ın hem payda sıfır, hem de paydada sıfır olduğunu unutmayın.

Genel durumda pay ve paydanın sıfırlarını bulmak için, eşitsizliğin sol tarafı bir kesir olduğunda, ancak mutlaka rasyonel olması gerekmediğinde, pay ve payda da sıfıra eşitlenir ve karşılık gelen denklemler çözülür.

Aralıklardaki işaretler nasıl belirlenir?

Eşitsizliğin sol tarafındaki ifadenin işaretini her aralıkta belirlemenin en güvenilir yolu, bu ifadenin değerini her aralığın herhangi bir noktasında hesaplamaktır. Bu durumda aralıkta istenilen işaret, bu aralığın herhangi bir noktasındaki ifadenin değerinin işaretiyle çakışır. Bunu bir örnekle açıklayalım.

Eşitsizliği ele alalım . Sol tarafındaki ifadenin payında sıfır yoktur ve paydadaki sıfır -3 sayısıdır. Sayı doğrusunu (−∞, −3) ve (−3, +∞) olmak üzere iki aralığa ayırır. Üzerlerindeki işaretleri belirleyelim. Bunu yapmak için bu aralıklardan bir nokta alın ve içindeki ifadenin değerlerini hesaplayın. Hesaplamaların kolay yapılabilmesi için bu tür noktaların alınmasının tavsiye edildiğini hemen belirtelim. Örneğin, ilk aralıktan (−∞, −3) −4 alabiliriz. x=−4 için elimizde , eksi işaretli (negatif) bir değer aldığından bu aralıkta eksi işareti olacaktır. İkinci aralığın (−3, +∞) işaretini belirlemeye geçiyoruz. Ondan 0 almak uygundur (eğer aralığa 0 dahil edilirse, x=0'da hesaplamalar en basit olduğu için her zaman onu almanız önerilir). x=0'da elimizde . Bu değerin artı işareti (pozitif) vardır, dolayısıyla bu aralıkta artı işareti olacaktır.

İşaretleri belirlemeye yönelik, aralıklardan birinde işareti bulup korumak veya sıfırdan bitişik aralığa geçerken onu değiştirmekten oluşan başka bir yaklaşım daha vardır. Aşağıdaki kurala uymalısınız. Payın sıfırından geçerken, ancak payda değil veya paydanın sıfırından geçerken, ancak pay değil, bu sıfırı veren ifadenin derecesi tek ise işaret değişir, çift ise değişmez. . Ve hem payın sıfırı hem de paydanın sıfırı olan bir noktadan geçerken, bu sıfırı veren ifadelerin kuvvetlerinin toplamı tek ise işaret değişir, çift ise değişmez.

Bu arada eşitsizliğin sağ tarafındaki ifade bu makalenin ilk paragrafının başında belirtilen şekle sahipse en sağdaki boşlukta artı işareti olacaktır.

Her şeyi açıklığa kavuşturmak için bir örneğe bakalım.

Önümüzde eşitsizlik olsun ve bunu aralık yöntemini kullanarak çözüyoruz. Bunu yapmak için pay 2, 3, 4'ün sıfırlarını ve payda 1, 3, 4'ün sıfırlarını buluyoruz, bunları önce koordinat çizgisi üzerinde tire ile işaretliyoruz

daha sonra paydanın sıfırlarını delikli noktaların görüntüleri ile değiştiririz

ve katı olmayan bir eşitsizliği çözdüğümüz için kalan çizgileri sıradan noktalarla değiştiriyoruz

Ve sonra aralıklarla işaretleri tanımlama anı gelir. Bu örnekten önce de fark ettiğimiz gibi, en sağdaki aralıkta (4, +∞) bir + işareti olacaktır:

Sağdan sola boşluktan boşluğa doğru ilerleyerek kalan işaretleri belirleyelim. Bir sonraki aralığa (3, 4) geçerek koordinat 4 olan noktadan geçiyoruz. Bu hem payın hem de paydanın sıfırıdır, bu sıfırlar (x−4) 2 ve x−4 ifadelerini verir, kuvvetlerinin toplamı 2+1=3 olur ve bu tek sayıdır, yani Bu noktadan geçerken tabelayı değiştirmeniz gerekiyor. Bu nedenle, (3, 4) aralığında bir eksi işareti olacaktır:

Koordinatı 3 olan noktadan geçerken (2, 3) aralığına doğru ilerliyoruz. Bu aynı zamanda hem payın hem de paydanın sıfırıdır, (x−3) 3 ve (x−3) 5 ifadeleriyle verilir, kuvvetlerinin toplamı 3+5=8 olur ve bu çift sayıdır. sayı, dolayısıyla işaret değişmeden kalacaktır:

(1, 2) aralığına doğru ilerliyoruz. Ona giden yol, koordinat 2 olan bir nokta tarafından engelleniyor. Bu payın sıfırıdır, x−2 ifadesiyle verilir, derecesi 1'dir yani tektir, dolayısıyla bu noktadan geçerken işareti değişecektir:

Son olarak, son aralıktaki (−∞, 1) işaretini belirlemek kalır. Buna ulaşmak için koordinat 1'in olduğu noktayı aşmamız gerekiyor. Bu paydanın sıfırıdır, (x−1)4 ifadesiyle verilir, derecesi 4 yani çifttir, dolayısıyla bu noktadan geçerken işareti değişmeyecektir. Böylece tüm işaretleri belirledik ve çizim aşağıdaki formu alıyor:

Bir ifadenin değerinin hesaplanması büyük miktarda iş gerektirdiğinde, dikkate alınan yöntemin kullanımının özellikle haklı olduğu açıktır. Örneğin, ifadenin değerini hesaplayın aralığın herhangi bir noktasında .

Aralık yöntemini kullanarak eşitsizlikleri çözme örnekleri

Artık aralık yöntemini kullanarak eşitsizlikleri çözmeye yetecek kadar sunulan tüm bilgileri bir araya getirebilir ve çeşitli örneklerin çözümlerini analiz edebilirsiniz.

Örnek.

Eşitsizliği çöz .

Çözüm.

Bu eşitsizliği aralık yöntemini kullanarak çözelim. Açıkçası, payın sıfırları 1 ve -5, paydanın sıfırları ise 1'dir. Bunları sayı doğrusu üzerinde işaretleriz, koordinatları olan noktalar ve 1 paydanın sıfırları olarak işaretlenmiştir ve −5 payının geri kalan sıfırı sıradan bir nokta ile temsil edilir, çünkü katı olmayan bir eşitsizliği çözüyoruz:

Artık sıfırlardan geçerken işareti koruma veya değiştirme kuralına bağlı kalarak aralıklara işaretler koyuyoruz. En sağdaki boşluğun üzerinde + işareti olacaktır (bu, eşitsizliğin sol tarafındaki ifadenin bu boşluğun bir noktasındaki değeri hesaplanarak kontrol edilebilir, örneğin x=3'te). İşaretten geçerken değişiriz, 1'den geçerken aynı bırakırız, -5'ten geçerken yine işareti değiştirmeden bırakırız:

Eşitsizliği ≤ işaretiyle çözdüğümüz için geriye − işaretiyle işaretlenen aralıkların üzerine gölgelendirme yapmak ve ortaya çıkan görüntüden cevabı yazmak kalıyor.

O halde aradığımız çözüm şudur: .

Adil olmak gerekirse, vakaların büyük çoğunluğunda rasyonel eşitsizlikleri çözerken, aralık yöntemini kullanarak çözmeyi mümkün kılmak için öncelikle gerekli forma dönüştürülmeleri gerektiğine dikkat çekelim. Bu tür dönüşümlerin nasıl gerçekleştirileceğini makalede ayrıntılı olarak ele alacağız. rasyonel eşitsizlikleri çözmeŞimdi eşitsizliklerin kaydında kare trinomiyallerle ilgili önemli bir noktayı gösteren bir örnek vereceğiz.

Örnek.

Eşitsizliğin çözümünü bulun .

Çözüm.

Bu eşitsizliğin ilk bakışta formunun aralık yönteminin uygulanmasına uygun olduğu görülmektedir. Ancak onun notasyonundaki ikinci dereceden üç terimlilerin ayırıcılarının gerçekten negatif olup olmadığını kontrol etmekten zarar gelmez. Vicdanımızı rahatlatmak için bunları çözelim. Üç terimli x 2 +3 x+3 için şunu elde ederiz: D=3 2 −4 1 3=−3<0 , а для трехчлена x 2 +2·x−8 получаем D’=1 2 −1·(−8)=9>0. Bu, bu eşitsizliğin istenilen şekle getirilmesi için dönüşümlerin gerekli olduğu anlamına gelir. Bu durumda, trinomial x 2 +2 x−8'i (x+4) (x−2) olarak temsil etmek ve ardından eşitsizliği aralık yöntemini kullanarak çözmek yeterlidir. .

Genelleştirilmiş aralık yöntemi

Genelleştirilmiş aralık yöntemi f(x) formundaki eşitsizlikleri çözmenize olanak tanır<0 (≤, >, ≥), burada f(x) bir x değişkeniyle keyfidir. Haydi yazalım genelleştirilmiş aralık yöntemini kullanarak eşitsizlikleri çözmek için algoritma:

Öncelikle f'ye ve bu fonksiyonun sıfırlarına ihtiyacınız var.
Tanım alanının sınır noktaları, bireysel noktalar da dahil olmak üzere, sayı doğrusu üzerinde işaretlenir. Örneğin, bir fonksiyonun etki alanı küme ise
(−5, 1]∪(3)∪ ((−6, 4) aralığındaki işareti tanımlamıyoruz, çünkü bu, fonksiyonun tanım kümesinin bir parçası değildir.) Bunu yapmak için bir nokta alın her aralıktan (örneğin 16, 8 , 6 ve −8) f fonksiyonunun değerini hesaplayın:

Fonksiyonun hesaplanan değerlerinin pozitif veya negatif olduğunun nasıl öğrenildiğine dair sorularınız varsa, makaledeki materyali inceleyin. sayıların karşılaştırılması.

Az önce tanımladığımız işaretleri yerleştirip boşlukların üzerine eksi işaretiyle gölgeleme uyguluyoruz:

Cevapta iki aralığın birleşimini − işaretiyle yazıyoruz, elimizde (−∞, −6]∪(7, 12) var. −6'nın cevaba dahil olduğuna dikkat edin (karşılık gelen nokta katıdır, deliksizdir) Gerçek şu ki, bu fonksiyonun sıfırı değil (katı bir eşitsizliği çözerken cevaba dahil etmeyeceğiz), tanım alanının sınır noktası (siyah değil renklidir) ve fonksiyonun bu noktadaki değeri negatiftir (karşılık gelen aralıkta eksi işaretiyle kanıtlandığı gibi), yani eşitsizliği karşılar ancak cevaba 4'ün (tüm aralığın yanı sıra) dahil edilmesi gerekmez. ∪(7, 12) .

Referanslar.
1. Cebir: 9. sınıf: eğitici. genel eğitim için kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 16. baskı. - M.: Eğitim, 2009. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-021134-5.
2. Mordkoviç A.G. Cebir. 9. sınıf. 2 saat içinde Bölüm 1. Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için ders kitabı / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. baskı, silindi. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 s.: hasta. ISBN 978-5-346-01752-3.
3. Cebir ve analizin başlangıcı: Proc. 10-11 sınıflar için. genel eğitim kurumlar / A.N. Kolmogorov, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsyn ve diğerleri; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. baskı - M.: Eğitim, 2004. - 384 s.: - ISBN 5-09-013651-3.
4. Kudryavtsev L.D. Matematiksel analiz dersi (iki cilt halinde): Üniversite ve yüksekokul öğrencileri için ders kitabı. – M.: Daha yüksek. okul, 1981, cilt 1. – 687 s., hasta.
Aralık yöntemi Kesirli rasyonel eşitsizlikleri çözmenin basit bir yolu. Bir değişkene bağlı olan, rasyonel (veya kesirli-rasyonel) ifadeler içeren eşitsizliklerin adıdır.

1. Örneğin aşağıdaki eşitsizliği düşünün

Aralık yöntemi, sorunu birkaç dakika içinde çözmenizi sağlar.

Bu eşitsizliğin sol tarafında kesirli bir rasyonel fonksiyon var. Rasyonel çünkü kökler, sinüsler veya logaritmalar içermiyor; yalnızca rasyonel ifadeler içeriyor. Sağdaki sıfır.

Aralık yöntemi, kesirli rasyonel fonksiyonun aşağıdaki özelliğine dayanmaktadır.

Kesirli bir rasyonel fonksiyon yalnızca sıfıra eşit olduğu veya mevcut olmadığı noktalarda işaret değiştirebilir.

İkinci dereceden bir üç terimlinin nasıl çarpanlara ayrıldığını, yani formun bir ifadesini hatırlayalım.

İkinci dereceden denklemin kökleri nerede ve nelerdir?

Bir eksen çizip pay ve paydanın sıfıra gittiği noktaları yerleştiriyoruz.

Paydanın sıfırları ve noktalı noktalardır, çünkü bu noktalarda eşitsizliğin sol tarafındaki fonksiyon tanımlanmamıştır (sıfıra bölemezsiniz). Eşitsizlik katı olmadığından pay ve -'nin sıfırları gölgelidir. Eşitsizliğimiz sağlandığında, her iki tarafı da sıfıra eşit olduğundan.

Bu noktalar ekseni aralıklara böler.

Bu aralıkların her birinde eşitsizliğimizin sol tarafındaki kesirli rasyonel fonksiyonun işaretini belirleyelim. Kesirli bir rasyonel fonksiyonun yalnızca sıfıra eşit olduğu veya sıfıra eşit olmadığı noktalarda işaret değiştirebileceğini hatırlıyoruz.

Bu, pay veya paydanın sıfıra gittiği noktalar arasındaki aralıkların her birinde, eşitsizliğin sol tarafındaki ifadenin işaretinin "artı" veya "eksi" olarak sabit olacağı anlamına gelir.
Ve bu nedenle, bu aralıkların her birinde fonksiyonun işaretini belirlemek için bu aralığa ait herhangi bir noktayı alırız. Bizim için uygun olan.

. Örneğin eşitsizliğin sol tarafındaki ifadenin işaretini kontrol edin. "Parantezlerin" her biri negatiftir. Sol tarafta bir işaret var.

Sonraki aralık: . adresindeki tabelayı kontrol edelim. Sol tarafın işaretinin olarak değiştiğini görüyoruz.

Hadi alalım. İfade pozitif olduğunda - bu nedenle, ile arasındaki aralığın tamamı boyunca pozitiftir.

Eşitsizliğin sol tarafı negatif olduğunda."> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

Ve son olarak class="tex" alt="x>7

İfadenin hangi aralıklarla pozitif olduğunu bulduk. Geriye sadece cevabı yazmak kalıyor:

Cevap: . Lütfen dikkat: işaretler aralıklar arasında değişmektedir. Bu oldu çünkü.

Her noktadan geçerken, doğrusal faktörlerden tam olarak biri işaret değiştirirken geri kalanı değişmeden kaldı

Aralık yönteminin çok basit olduğunu görüyoruz. Kesirli-rasyonel eşitsizliği aralık yöntemini kullanarak çözmek için, onu şu forma indiririz: Veya"> !} class = "tex" alt = "\genfrac())()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0

, veya , veya .

(sol tarafta kesirli-rasyonel bir fonksiyon, sağ tarafta ise sıfır).
Daha sonra pay veya paydanın sıfıra gittiği noktaları sayı doğrusu üzerinde işaretliyoruz.
Bu noktalar, sayı doğrusunun tamamını aralıklara böler ve bunların her birinde kesirli rasyonel fonksiyon işaretini korur.
Bunu, belirli bir aralığa ait herhangi bir noktada ifadenin işaretini kontrol ederek yaparız. Daha sonra cevabı yazıyoruz. İşte bu.

Ancak şu soru ortaya çıkıyor: işaretler her zaman değişiyor mu? Hayır, her zaman değil! Dikkatli olmalı ve işaretleri mekanik ve düşüncesizce yerleştirmemelisiniz.

2. Başka bir eşitsizliği ele alalım.

Class = "tex" alt = "\genfrac())()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \ sol(x-3 \sağ))>0"> !}

Noktaları tekrar eksene yerleştirin. Noktalar ve paydanın sıfırları olduğundan deliklidir. Eşitsizlik katı olduğu için bu nokta da kesiliyor.

Pay pozitif olduğunda paydadaki her iki faktör de negatiftir. Bu, örneğin belirli bir aralıktan herhangi bir sayı alınarak kolayca kontrol edilebilir. Sol tarafta şu işaret var:

Pay pozitif olduğunda; Paydadaki ilk faktör pozitif, ikinci faktör negatiftir. Sol tarafta şu işaret var:

Durum aynı! Pay pozitiftir, paydadaki ilk faktör pozitif, ikincisi negatiftir. Sol tarafta şu işaret var:

Son olarak class="tex" alt="x>3 ile"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

İfadenin hangi aralıklarla pozitif olduğunu bulduk. Geriye sadece cevabı yazmak kalıyor:

İşaretlerin değişimi neden bozuldu? Çünkü bir noktadan geçerken çarpan bundan “sorumludur” işareti değiştirmedi. Sonuç olarak eşitsizliğimizin sol tarafının tamamı işaret değiştirmedi.

Çözüm: doğrusal çarpan eşit bir kuvvetse (örneğin kare), o zaman bir noktadan geçerken sol taraftaki ifadenin işareti değişmez. Derecenin tek olması durumunda işaret elbette değişir.

3. Daha karmaşık bir durumu ele alalım. Eşitsizliğin katı olmaması nedeniyle öncekinden farklıdır:

Sol taraf önceki problemdekiyle aynıdır. İşaretlerin resmi aynı olacaktır:

Belki cevap aynı olacaktır? HAYIR! Bir çözüm eklenir Bunun nedeni eşitsizliğin hem sol hem de sağ tarafının sıfıra eşit olmasıdır - dolayısıyla bu nokta bir çözümdür.

İfadenin hangi aralıklarla pozitif olduğunu bulduk. Geriye sadece cevabı yazmak kalıyor:

Bu durum genellikle matematikte Birleşik Devlet Sınavındaki problemlerde ortaya çıkar. Başvuru sahiplerinin tuzağa düştüğü ve puan kaybettiği nokta burasıdır. Dikkat olmak!

4. Pay veya payda doğrusal faktörlere dahil edilemiyorsa ne yapmalı? Bu eşitsizliği düşünün:

Bir kare trinomial çarpanlara ayrılamaz: diskriminant negatiftir, kök yoktur. Ama bu iyi! Bu, herkes için ifadenin işaretinin aynı ve özellikle pozitif olduğu anlamına gelir. Bununla ilgili daha fazla bilgiyi ikinci dereceden fonksiyonların özellikleri hakkındaki makalede okuyabilirsiniz.

Artık eşitsizliğimizin her iki tarafını da herkes için pozitif olan bir değere bölebiliriz. Eşdeğer bir eşitsizliğe varalım:

Aralık yöntemi kullanılarak kolayca çözülebilir.

Lütfen eşitsizliğin her iki tarafını da pozitif olduğundan emin olduğumuz bir değere böldüğümüzü unutmayın. Elbette genel olarak bir eşitsizliği işareti bilinmeyen bir değişkenle çarpmamalı veya bölmemelisiniz.

5 . Görünüşte oldukça basit olan başka bir eşitsizliği ele alalım:

Sadece onu çarpmak istiyorum. Ama biz zaten akıllıyız ve bunu yapmayacağız. Sonuçta hem olumlu hem de olumsuz olabilir. Eşitsizliğin her iki tarafı da negatif bir değerle çarpılırsa eşitsizliğin işaretinin değişeceğini biliyoruz.

Bunu farklı yapacağız - her şeyi tek bir parçada toplayıp ortak bir paydaya getireceğiz. Sağ taraf sıfır kalacak:

Class = "tex" alt = "\genfrac())()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

Ve bundan sonra - başvurun aralık yöntemi.