Şimdi çözeceğiz pozitif ve negatif sayılar. Öncelikle tanımları vereceğiz, gösterimi tanıtacağız, ardından pozitif ve negatif sayılara örnekler vereceğiz. Ayrıca pozitif ve negatif sayıların taşıdığı anlamsal yük üzerinde de duracağız.
Sayfada gezinme.
Pozitif ve Negatif Sayılar - Tanımlar ve Örnekler
Vermek pozitif ve negatif sayıları tanımlama bize yardım edecek. Kolaylık sağlamak için yatay olarak yerleştirildiğini ve soldan sağa yönlendirildiğini varsayacağız.
Tanım.
Koordinat çizgisinin orijinin sağında yer alan noktalarına karşılık gelen sayılara denir olumlu.
Tanım.
Koordinat çizgisinin orijinin solunda yer alan noktalarına karşılık gelen sayılara denir. negatif.
Orijine karşılık gelen sıfır sayısı ne pozitif ne de negatif bir sayıdır.
Negatif ve pozitif sayıların tanımından, tüm negatif sayılar kümesinin, tüm pozitif sayıların karşısındaki sayılar kümesi olduğu anlaşılmaktadır (gerekirse, sayıların karşısındaki makaleye bakın). Bu nedenle negatif sayılar her zaman eksi işaretiyle yazılır.
Artık pozitif ve negatif sayıların tanımlarını bildiğimize göre kolaylıkla verebiliriz. pozitif ve negatif sayılara örnekler. Pozitif sayılara örnek olarak 5, 792 ve 101,330 doğal sayıları verilebilir ve aslında herhangi bir doğal sayı pozitiftir. Pozitif rasyonel sayılara örnek olarak 4,67 ve 0,(12)=0,121212... sayıları, negatif rasyonel sayılara ise −11 , −51,51 ve −3,(3) sayıları verilebilir. Pozitif irrasyonel sayılara örnek olarak pi sayısı, e sayısı ve sonsuz periyodik olmayan ondalık kesir 809.030030003... verilebilir; negatif irrasyonel sayılara örnek olarak eksi pi, eksi e sayıları ve eşit sayı verilebilir. Son örnekte ifadenin değerinin negatif bir sayı olduğunun hiç de açık olmadığını belirtmek gerekir. Kesin olarak öğrenmek için bu ifadenin değerini ondalık kesir şeklinde almanız gerekir ve makalede bunu nasıl yapacağınızı anlatacağız. gerçek sayıların karşılaştırılması.
Bazen pozitif sayıların önünde bir artı işareti bulunur, tıpkı negatif sayıların önünde bir eksi işareti olduğu gibi. Bu durumlarda +5=5 olduğunu bilmelisiniz, 
vesaire. Yani +5 ve 5 vb. - bu aynı numaradır ancak farklı şekilde belirtilmiştir. Üstelik artı veya eksi işaretine göre pozitif ve negatif sayıların tanımlarına da rastlayabilirsiniz.
Tanım.
Artı işareti olan sayılara denir olumlu ve eksi işaretiyle – negatif.
Pozitif ve negatif sayıların sayıların karşılaştırılmasına dayanan başka bir tanımı daha vardır. Bu tanımı vermek için koordinat doğrusu üzerinde büyük sayıya karşılık gelen noktanın, küçük sayıya karşılık gelen noktanın sağında bulunduğunu hatırlamak yeterlidir.
Tanım.
Pozitif sayılar sıfırdan büyük sayılardır ve negatif sayılar sıfırdan küçük sayılardır.
Böylece sıfır türü, pozitif sayıları negatif olanlardan ayırır.
Elbette pozitif ve negatif sayıları okuma kuralları üzerinde de durmalıyız. Bir sayı + veya - işaretiyle yazılmışsa, işaretin adını söyleyin ve ardından sayıyı söyleyin. Örneğin +8 artı sekiz, - eksi bir virgül beşte iki olarak okunur. + ve − işaretlerinin adları büyük/küçük harfe göre reddedilmez. Doğru telaffuza bir örnek “a eşittir eksi üç” (eksi üç değil) ifadesidir.
Pozitif ve negatif sayıların yorumlanması
Bir süredir pozitif ve negatif sayıları tanımlıyoruz. Ancak hangi anlamı taşıdıklarını bilmek güzel olurdu? Bu konuya bakalım.
Pozitif sayılar bir varış, bir artış, bir miktar değer artışı ve benzeri olarak yorumlanabilir. Negatif sayılar ise tam tersi anlamına gelir; gider, eksiklik, borç, bazı değerlerin azalması vb. Bunu örneklerle anlayalım.
3 maddemiz var diyebiliriz. Burada pozitif sayı 3, sahip olduğumuz öğelerin sayısını gösterir. Negatif −3 sayısını nasıl yorumlayabilirsiniz? Örneğin -3 sayısı, stoklarımızda bulunmayan 3 ürünü birine vermemiz gerektiği anlamına gelebilir. Benzer şekilde kasada bize 3,45 bin ruble verildiğini söyleyebiliriz. Yani 3,45 sayısı bizim gelişimizle ilişkilidir. Buna karşılık -3,45'lik negatif bir sayı, bize bu parayı veren kasadaki paranın azaldığını gösterecektir. Yani -3,45 giderdir. Başka bir örnek: 17,3 derecelik bir sıcaklık artışı +17,3 pozitif bir sayı olarak, 2,4 derecelik bir sıcaklık düşüşü ise negatif bir sayı kullanılarak -2,4 derecelik bir sıcaklık değişimi olarak tanımlanabilir.
Pozitif ve negatif sayılar, çeşitli ölçüm cihazlarında belirli büyüklüklerin değerlerini tanımlamak için sıklıkla kullanılır. En erişilebilir örnek, üzerine hem pozitif hem de negatif sayıların yazıldığı bir ölçeğe sahip, sıcaklıkları ölçmek için bir cihazdır - bir termometre. Genellikle negatif sayılar mavi renkle gösterilir (karı, buzu ve sıfır santigrat derecenin altındaki sıcaklıklarda suyun donmaya başladığını sembolize eder) ve pozitif sayılar kırmızıyla yazılır (ateşin rengi, güneş, sıfır santigrat derecenin üzerindeki sıcaklıklarda) , buz erimeye başlar). Pozitif ve negatif sayıları kırmızı ve mavi olarak yazmak, sayıların işaretini vurgulamanız gerektiğinde diğer durumlarda da kullanılır.
Referanslar.
- Vilenkin N.Ya. ve diğerleri. 6. sınıf: genel eğitim kurumları için ders kitabı.
Diyelim ki Denis'in bir sürü tatlısı var - kocaman bir kutu. İlk önce Denis 3 şeker yedi. Sonra babam Denis'e 5 şeker verdi. Sonra Denis, Matvey'e 9 şeker verdi. Sonunda annem Denis'e 6 şeker verdi. Soru: Denis ilk başta sahip olduğundan daha fazla mı yoksa daha az mı şeker aldı? Daha fazlaysa ne kadar daha fazla? Daha azsa ne kadar daha az?
Bu görevle karıştırılmamak için bir numara kullanmak uygundur. Koşuldan tüm sayıları arka arkaya yazalım. Aynı zamanda Denis'in ne kadar şeker kazandığını gösteren sayıların önüne "+", Denis'in ne kadar şeker azaldığını gösteren sayıların önüne ise "-" işaretini koyacağız. Daha sonra tüm durum çok kısaca yazılacaktır:
− 3 + 5 − 9 + 6.
Bu giriş örneğin şu şekilde okunabilir: “İlk Denis eksi üç şeker aldı. Sonra artı beş şeker. Sonra eksi dokuz şeker. Ve son olarak artı altı şeker.” “Eksi” kelimesi, cümlenin anlamını tam tersine çevirir. "Denis eksi üç şeker aldı" dediğimde bu aslında Denis'in üç şeker kaybettiği anlamına geliyor. “Artı” kelimesi ise tam tersine cümlenin anlamını doğruluyor. "Denis artı beş şeker aldı" ifadesi basitçe "Denis beş şeker aldı" ile aynı anlama gelir.
Yani ilk önce Denis eksi üç şeker aldı. Bu, Denis'in artık başlangıçta sahip olduğundan eksi üç şekere daha sahip olduğu anlamına geliyor. Kısaca şunu söyleyebiliriz: Denis'in eksi üç şekeri var.
Sonra Denis artı beş şeker aldı. Denis'in artık iki şekeri daha olduğunu anlamak çok kolay. Araç,
− 3 + 5 = + 2.
Sonra Denis eksi dokuz şeker aldı. Ve kaç tane şekeri vardı:
− 3 + 5 − 9 = + 2 − 9 = − 7.
Sonunda Denis +6 şeker daha aldı. Ve toplam şeker miktarı şöyle oldu:
− 3 + 5 − 9 + 6 = + 2 − 9 + 6 = − 7 + 6 = − 1.
Sıradan dilde bu, sonunda Denis'in başlangıçta sahip olduğundan bir tane daha az şekerle sonuçlandığı anlamına gelir. Sorun çözüldü.
“+” veya “-” işaretli hile çok yaygın olarak kullanılmaktadır. “+” işaretli sayılar denir olumlu. “-” işaretli sayılara denir negatif. 0 (sıfır) sayısı ne pozitif ne de negatiftir çünkü +0'ın -0'dan hiçbir farkı yoktur. Böylece serideki sayılarla ilgileniyoruz
..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, ...
Bu tür numaralara denir tamsayılar. Hiç işareti olmayan ve şu ana kadar üzerinde durduğumuz sayılara denir. doğal sayılar(Doğal sayılara yalnızca sıfır uygulanmaz).
Tamsayılar bir merdivenin basamakları olarak düşünülebilir. Sıfır numara sokakla aynı seviyede olan sahanlıktır. Buradan adım adım üst katlara çıkabileceğiniz gibi bodrum katına da inebilirsiniz. Bodruma inmemize gerek olmadığı sürece sadece doğal sayılar ve sıfır bize yeter. Doğal sayılar aslında pozitif tam sayılarla aynıdır.
Açıkça söylemek gerekirse, bir tamsayı bir adım numarası değil, merdivenleri yukarı çıkarma komutudur. Örneğin +3 sayısı üç basamak yukarı çıkmanız gerektiği, -5 sayısı ise beş basamak aşağı inmeniz gerektiği anlamına gelir. Basitçe, sıfır seviyesinden hareket etmeye başladığımızda bizi belirli bir adıma taşıyan adım sayısı olarak bir komut alınır.
Tamsayılarla hesaplamalar, yalnızca zihinsel olarak yukarı veya aşağı adımlar atarak kolayca yapılabilir - tabii ki çok büyük sıçramalar yapmanız gerekmediği sürece. Peki yüz veya daha fazla adım atlamanız gerektiğinde ne yapmalısınız? Sonuçta bu kadar uzun bir merdiven çizmeyeceğiz!
Ama neden olmasın? O kadar uzak bir mesafeden uzun bir merdiven çizebiliriz ki, tek tek basamaklar artık ayırt edilemez. O zaman merdivenimiz tek bir düz çizgiye dönüşecek. Ve sayfaya yerleştirmeyi daha kolay hale getirmek için, eğilmeden çizelim ve 0. adımın konumunu ayrı ayrı işaretleyelim.
İlk önce değerlerini uzun zamandır hesaplayabildiğimiz ifadelerin örneğini kullanarak böylesine düz bir çizgide nasıl atlayacağımızı öğrenelim. Bulmak gerekli olsun
Kesin olarak konuşursak, tamsayılarla uğraştığımız için şunu yazmalıyız:
Ancak satırın başındaki pozitif bir sayının genellikle “+” işareti yoktur. Merdivenlerden atlamak şuna benzer:
Çizginin üzerine çizilen iki büyük atlama (+42 ve +53) yerine, çizginin altına çizilen bir atlama yapabilirsiniz ve bu atlamanın uzunluğu elbette şuna eşittir:
Matematik dilinde bu tür çizimlere genellikle diyagram adı verilir. Her zamanki çıkarma örneğimiz için diyagram şöyle görünür:
Önce sağa büyük bir sıçrama yaptık, sonra sola doğru daha küçük bir sıçrama yaptık. Sonuç olarak sıfırın sağında kaldık. Ancak örneğin şu ifadede olduğu gibi başka bir durum da mümkündür:
Bu sefer sağa atlamanın sola atlamadan daha kısa olduğu ortaya çıktı: sıfırın üzerinden uçtuk ve kendimizi negatif sayıların bulunduğu adımların bulunduğu "bodrum" da bulduk. Sola atlayışımıza daha yakından bakalım. Toplamda 95 basamak çıktık. 53 basamak çıktıktan sonra 0'a ulaştık. Soru şu; bundan sonra kaç basamak çıktık? Tabii ki
Böylece, 0. adıma geldiğimizde 42 adım daha indik, bu da sonunda -42. adıma ulaştığımız anlamına geliyor. Bu yüzden,
53 − 95 = −(95 − 53) = −42.
Benzer şekilde, diyagramlar çizerek şunu tespit etmek kolaydır:
−42 − 53 = −(42 + 53) = −95;
−95 + 53 = −(95 − 53) = −42;
ve nihayet
−53 + 95 = 95 − 53 = 42.
Bu şekilde tam sayılar merdiveninin tamamında serbestçe dolaşmayı öğrendik.
Şimdi bu sorunu ele alalım. Denis ve Matvey şeker paketlerini paylaşıyor. Denis ilk başta Matvey'e 3 şeker paketi verdi ve ardından ondan 5 şeker paketi aldı. Matvey sonunda kaç tane şeker paketi aldı?
Ancak Denis 2 şeker paketi aldığından Matvey -2 şeker paketi aldı. Denis'in kârına bir eksi ekledik ve Matvey'in kârını elde ettik. Çözümümüz tek bir ifade olarak yazılabilir
−(−3 + 5) = −2.
Burada her şey basit. Ancak sorun ifadesini biraz değiştirelim. Denis'in önce Matvey'e 5 şeker paketi vermesine ve ardından ondan 3 şeker paketi almasına izin verin. Yine soru şu: Matvey sonunda kaç tane şeker paketi aldı?
Yine önce Denis’in “kârını” hesaplayalım:
−5 + 3 = −2.
Bu, Matvey'in 2 şeker paketi aldığı anlamına geliyor. Peki artık kararımızı tek bir ifade olarak nasıl yazabiliriz? Pozitif 2 sayısını elde etmek için negatif −2 sayısına ne eklersiniz? Bu sefer eksi işaretini atamamız gerektiği ortaya çıktı. Matematikçiler tekdüzeliğe çok düşkündürler. Benzer problemlerin çözümlerinin benzer ifadelerle yazılmasını sağlamaya çalışırlar. Bu durumda çözüm şöyle görünür:
−(−5 + 3) = −(−2) = +2.
Matematikçiler şu şekilde hemfikirdi: Pozitif bir sayıya eksi eklerseniz, o zaman negatif bir sayıya dönüşür ve negatif bir sayıya eksi eklerseniz, o zaman pozitif bir sayıya dönüşür. Bu çok mantıklı. Sonuçta eksi iki adım aşağı inmek artı iki adım yukarı çıkmakla aynı şeydir. Bu yüzden,
−(+2) = −2;
−(−2) = +2.
Resmi tamamlamak için şunu da not ediyoruz:
+(+2) = +2;
+(−2) = −2.
Bu bize uzun zamandır tanıdık olan şeylere yeni bir bakış atma fırsatı veriyor. İfade verilsin
Bu girişin anlamı farklı şekillerde hayal edilebilir. Eski usulle +3 pozitif sayısının +5 pozitif sayısından çıkarıldığını varsayabilirsiniz:
Bu durumda +5 denir indirgenebilir, +3 - indirilebilir ve ifadenin tamamı fark. Okulda tam da bunu öğretiyorlar. Ancak “azaltılmış” ve “çıkarılmış” kelimeleri okul dışında hiçbir yerde kullanılmaz ve son sınavdan sonra unutulabilir. Aynı girdiyle ilgili olarak, negatif sayı −3'ün pozitif sayı +5'e eklendiğini söyleyebiliriz:
+5 ve −3 sayılarına denir şartlar ve ifadenin tamamı miktar. Bu toplamda yalnızca iki terim vardır, ancak genel olarak toplam istediğiniz kadar terimden oluşabilir. Aynı şekilde ifade
eşit hakla iki pozitif sayının toplamı olarak düşünülebilir:
ve pozitif ve negatif sayılar arasındaki fark olarak:
(+5) − (−3).
Tam sayıları tanıdıktan sonra mutlaka parantez açma kurallarını netleştirmemiz gerekiyor. Parantezlerin önünde bir “+” işareti varsa, bu tür parantezler kolayca silinebilir ve içlerindeki tüm sayılar işaretlerini korur, örneğin:
+(+2) = +2;
+(−2) = −2;
+(−3 + 5) = −3 + 5;
+(−3 − 5) = −3 − 5;
+(5 − 3) = 5 − 3
ve benzeri.
Parantezlerin önünde “-” işareti varsa, parantezi silerken içindeki tüm sayıların işaretlerini de değiştirmeliyiz:
−(+2) = −2;
−(−2) = +2;
−(−3 + 5) = +3 − 5 = 3 − 5;
−(−3 − 5) = +3 + 5 = 3 + 5;
−(5 − 3) = −(+5 − 3) = −5 + 3;
ve benzeri.
Aynı zamanda Denis ve Matvey arasındaki şeker ambalajlarının değişimiyle ilgili sorunu da akılda tutmakta fayda var. Örneğin son satır şu şekilde elde edilebilir. Denis'in önce Matvey'den 5 şeker paketi aldığını, ardından -3 tane daha aldığını düşünüyoruz. Toplamda, Denis 5 − 3 şeker ambalajı aldı ve Matvey aynı sayıyı aldı, ancak ters işaretle, yani -(5 − 3) şeker ambalajı. Ancak aynı sorun, Denis'in her aldığında Matvey'in verdiğini akılda tutarak başka bir şekilde de çözülebilir. Bu, Matvey'in ilk başta −5 şeker paketi aldığı ve ardından bir +3 daha aldığı ve sonuçta −5 + 3 verdiği anlamına gelir.
Doğal sayılar gibi tamsayılar da birbirleriyle karşılaştırılabilir. Örneğin şu soruyu soralım: Hangi sayı daha büyük: −3 mü yoksa −1 mi? Tam sayılarla merdivene bakalım ve -1'in -3'ten büyük olduğu ve dolayısıyla -3'ün -1'den küçük olduğu hemen anlaşılıyor:
−1 > −3;
−3 < −1.
Şimdi açıklığa kavuşturalım: -1, -3'ten ne kadar fazladır? Başka bir deyişle, −3. adımdan −1. adıma geçmek için kaç adım tırmanmanız gerekir? Bu sorunun cevabını -1 ile -3 sayıları arasındaki fark olarak yazabiliriz:
− 1 − (−3) = −1 + 3 = 3 − 1 = 2.
Basamaklardan yukarı atlayarak bunun böyle olup olmadığını kontrol etmek kolaydır. İşte ilginç bir soru daha: 3 sayısı 5 sayısından ne kadar büyüktür? Veya hangisi aynı şeydir: 5. adımdan 3. adıma geçmek için kaç basamak çıkmanız gerekir? Yakın zamana kadar bu soru kafamızı karıştırırdı. Ancak artık cevabı rahatlıkla yazabiliriz:
3 − 5 = − 2.
Aslında, eğer 5. adımdaysak ve −2 adım daha yukarı çıkarsak, tam olarak 3. adıma ulaşacağız.
Görevler
2.3.1. Aşağıdaki ifadelerin anlamı nedir?
Denis babama eksi üç şeker verdi.
Matvey, Denis'ten eksi iki yaş büyük.
Dairemize ulaşmak için eksi iki kat aşağı inmeniz gerekiyor.
2.3.2. Bu tür ifadeler mantıklı mı?
Denis'in eksi üç şekeri var.
Eksi iki inek çayırda otluyor.
Yorum. Bu sorunun benzersiz bir çözümü yoktur. Bu açıklamaların anlamsız olduğunu söylemek elbette yanlış olmaz. Ve aynı zamanda onlara çok açık bir anlam da verilebilir. Diyelim ki Denis'in ağzına kadar tatlılarla dolu büyük bir kutusu var ama bu kutunun içindekiler sayılmıyor. Ya da diyelim ki sürüden iki inek çayırda otlamaya çıkmadı ama bir sebepten dolayı ahırda kaldı. En tanıdık ifadelerin bile belirsiz olabileceğini akılda tutmakta fayda var:
Denis'in üç şekeri var.
Bu açıklama, Denis'in başka bir yerde kocaman bir kutu şeker sakladığı olasılığını dışlamıyor, ancak bu tatlılar basitçe sessiz kalıyor. Aynı şekilde “Beş rublem var” dediğimde tüm servetimin bu olduğunu kastetmiyorum.
2.3.3. Çekirge, Denis'in dairesinin bulunduğu kattan başlayarak merdivenlerden yukarı atlıyor. Önce 2 basamak aşağıya, sonra 5 basamak yukarıya ve son olarak da 7 basamak aşağıya atladı. Çekirge kaç adım ve hangi yöne doğru hareket etti?
2.3.4. İfadelerin anlamını bulun:
− 6 + 10;
− 28 + 76;
vesaire.
− 6 + 10 = 10 − 6 = 4.
2.3.5. İfadelerin anlamını bulun:
8 − 20;
34 − 98;
vesaire.
8 − 20 = − (20 − 8) = − 12.
2.3.6. İfadelerin anlamını bulun:
− 4 − 13;
− 48 − 53;
vesaire.
− 4 − 13 = − (4 + 13) = − 17.
2.3.7. Aşağıdaki ifadeler için parantez içinde belirtilen sıraya göre hesaplamalar yaparak değerleri bulun. Daha sonra parantezleri açın ve ifadelerin anlamlarının aynı kaldığından emin olun. Şekerlerle ilgili bu şekilde çözülebilecek problemler oluşturun.
25 − (−10 + 4);
25 + (− 4 + 10);
vesaire.
25 − (− 10 + 4) = 25 − (−(10 − 4)) = 25 − (−6) = 25 + 6 = 31.
25 − (− 10 + 4) = 25 + 10 − 4 = 35 − 4 = 31.
“Denis'in 25 şekeri vardı. Babama eksi on şeker ve Matvey'e dört şeker verdi. Kaç şekeri var?
Pozitif ve negatif sayılar
Koordinat çizgisi
Düz gidelim. Üzerine 0 (sıfır) noktasını işaretleyelim ve bu noktayı başlangıç noktası alalım.
Koordinatların başlangıç noktasından sağa doğru düz bir çizgide hareketin yönünü bir okla gösteriyoruz. Bu doğrultuda 0 noktasından itibaren pozitif sayıları çizeceğiz.
Yani sıfır dışında bizim tarafımızdan bilinen sayılara pozitif denir.
Bazen pozitif sayılar “+” işaretiyle yazılır. Örneğin "+8".
Kısaltmak adına, pozitif bir sayının önündeki "+" işareti genellikle atlanır ve "+8" yerine sadece 8 yazılır.
Bu nedenle “+3” ve “3” aynı sayıdır, yalnızca farklı şekilde belirtilir.
Uzunluğunu bir olarak aldığımız bir parçayı seçelim ve onu 0 noktasından birkaç kez sağa doğru hareket ettirelim. İlk parçanın sonunda 1 sayısı, ikincinin sonunda - 2 sayısı vb. yazılır. 
Birim parçasını orijinden sola koyarsak negatif sayılar elde ederiz: -1; -2; vesaire.
Negatif sayılar sıcaklık (sıfırın altında), akış - yani negatif gelir, derinlik - negatif yükseklik ve diğerleri gibi çeşitli miktarları belirtmek için kullanılır.
Şekilden de görülebileceği gibi, negatif sayılar bizim tarafımızdan zaten bilinen sayılardır, yalnızca eksi işaretiyle: -8; -5.25 vb.
- 0 sayısı ne pozitif ne de negatiftir.
Sayı ekseni genellikle yatay veya dikey olarak konumlandırılır.
Koordinat çizgisi dikey olarak yerleştirilmişse, orijinden yukarı yön genellikle pozitif kabul edilir ve orijinden aşağı yön negatiftir.
Ok pozitif yönü gösterir.
Düz çizgi işaretlendi:
. başlangıç noktası (nokta 0);
. birim segmenti;
. ok pozitif yönü gösterir;
isminde koordinat çizgisi
veya sayı ekseni.
Koordinat doğrusu üzerinde zıt sayılar
Koordinat doğrusu üzerinde sağda ve solda 0 noktasına aynı uzaklıkta bulunan iki A ve B noktasını işaretleyelim.
Bu durumda OA ve OB segmentlerinin uzunlukları aynıdır.
Bu, A ve B noktalarının koordinatlarının yalnızca işaret bakımından farklı olduğu anlamına gelir. 
A ve B noktalarının da orijine göre simetrik olduğu söylenir.
A noktasının koordinatı pozitif “+2”, B noktasının koordinatı eksi “-2” işaretine sahiptir.
A (+2), B (-2).
- Yalnızca işaretleri farklı olan sayılara zıt sayılar denir. Sayısal (koordinat) eksenin karşılık gelen noktaları orijine göre simetriktir.
Her sayı sadece bir tane zıt sayı var. Sadece 0 sayısının karşıtı yoktur ama kendisinin karşıtıdır diyebiliriz.
"-a" gösterimi "a"nın karşıt sayısı anlamına gelir. Bir harfin pozitif veya negatif bir sayıyı gizleyebileceğini unutmayın.
Örnek:
-3, 3'ün zıttıdır.
Bunu bir ifade olarak yazıyoruz:
-3 = -(+3)
Örnek:
-(-6), -6 negatif sayısının zıttıdır. Yani -(-6) pozitif bir sayı 6'dır.
Bunu bir ifade olarak yazıyoruz:
-(-6) = 6
Negatif Sayılar Ekleme
Pozitif ve negatif sayıların toplamı sayı doğrusu kullanılarak analiz edilebilir.
Sayıyı belirten noktanın sayı ekseni boyunca nasıl hareket ettiğini zihinsel olarak hayal ederek, bir koordinat çizgisine küçük modülo sayılarının eklenmesini gerçekleştirmek uygundur.
Bir sayı alalım örneğin 3. Bunu sayı ekseninde A noktasıyla gösterelim.
Sayıya pozitif sayı olan 2'yi ekleyelim. Bu, A noktasının pozitif yönde yani sağa doğru iki birim parça hareket ettirilmesi gerektiği anlamına gelecektir. Sonuç olarak koordinat 5 olan B noktasını elde ederiz.
3 + (+ 2) = 5
Pozitif bir sayıya (örneğin 3) negatif bir sayı eklemek için A noktasının negatif yönde yani sola 5 birim hareket etmesi gerekir.
Bu durumda B noktasının koordinatı -2'dir.
Dolayısıyla sayı doğrusu kullanılarak rasyonel sayıların toplanma sırası şu şekilde olacaktır:
. koordinat çizgisi üzerinde birinci terime eşit bir koordinatla bir A noktasını işaretleyin;
. ikinci sayının önündeki işarete karşılık gelen yönde ikinci terimin modülüne eşit bir mesafeye hareket ettirin (artı - sağa, eksi - sola);
. eksende elde edilen B noktası bu sayıların toplamına eşit olacak bir koordinata sahip olacaktır.
Örnek.
- 2 + (- 6) =
- 2 noktasından sola doğru hareket edersek (6'nın önünde eksi işareti olduğundan), - 8 elde ederiz.
- 2 + (- 6) = - 8
Aynı işaretli sayıların toplanması
Modül kavramını kullanırsanız rasyonel sayıları eklemek daha kolay olabilir.
İşaretleri aynı olan sayıları toplamamız gerekiyor.
Bunu yapmak için sayıların işaretlerini atıp bu sayıların modüllerini alıyoruz. Modülleri toplayalım ve bu sayıların ortak toplamının önüne işaret koyalım.
Örnek. 
Negatif sayıların eklenmesine bir örnek.
(- 3,2) + (- 4,3) = - (3,2 + 4,3) = - 7,5
- Aynı işarete sahip sayıları toplamak için, bunların modüllerini eklemeniz ve toplamın önüne, terimlerden önceki işareti koymanız gerekir.
Farklı işaretli sayıların toplanması
Sayıların farklı işaretleri varsa, aynı işaretli sayıları toplarken olduğundan biraz farklı davranırız.
. Rakamların önündeki işaretleri atıyoruz yani modüllerini alıyoruz.
. Büyük modülden küçük olanı çıkarıyoruz.
. Farkın önüne daha büyük modüllü sayıdaki işareti koyduk.
Negatif ve pozitif bir sayının toplanmasına bir örnek.
0,3 + (- 0,8) = - (0,8 - 0,3) = - 0,5
Karışık sayıların eklenmesine bir örnek.
İhtiyacınız olan farklı işaretlerin sayısını eklemek için:
. küçük modülü büyük modülden çıkarın;
. Ortaya çıkan farkın önüne, modülü daha büyük olan sayının işaretini koyun.
Negatif Sayılarla Çıkarma
Bildiğiniz gibi çıkarma, toplamanın tersidir.
Eğer a ve b pozitif sayılarsa, b sayısını a sayısından çıkarmak, b sayısına eklendiğinde a sayısını veren bir c sayısını bulmak anlamına gelir.
a - b = c veya c + b = a
Çıkarma tanımı tüm rasyonel sayılar için geçerlidir. yani pozitif ve negatif sayıların çıkarılması ilave edilerek değiştirilebilir.
- Bir sayıdan başka bir sayı çıkarmak için, karşıt sayıyı çıkarılan sayıya eklemeniz gerekir.
Veya başka bir deyişle, b sayısını çıkarmanın toplamayla aynı olduğunu ancak b'nin tersi sayı olduğunu söyleyebiliriz.
a - b = a + (- b)
Örnek.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2
Örnek.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2
- Aşağıdaki ifadeleri hatırlamakta fayda var.
- 0 - bir = - bir
- bir - 0 = bir
- a - a = 0
Negatif sayılarla çıkarma kuralları
Yukarıdaki örneklerden de görüldüğü gibi bir b sayısını çıkarmak, b sayısının tersiyle yapılan bir toplamadır.
Bu kural yalnızca daha büyük bir sayıdan daha küçük bir sayı çıkarırken geçerli değildir, aynı zamanda daha küçük bir sayıdan daha büyük bir sayıyı çıkarmanıza da olanak tanır, yani iki sayının farkını her zaman bulabilirsiniz.
Fark pozitif bir sayı, negatif bir sayı veya sıfır sayı olabilir.
Negatif ve pozitif sayılarda çıkarma örnekleri.
. - 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
. - 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
. 5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
Parantez sayısını azaltmanıza olanak tanıyan işaret kuralını hatırlamak uygundur.
Artı işareti sayının işaretini değiştirmez yani parantez önünde artı varsa parantez içindeki işaret değişmez.
+ (+ bir) = + bir
+ (- a) = - a
Parantezlerin önündeki eksi işareti parantez içindeki sayının işaretini tersine çevirir.
- (+ a) = - a
- (- a) = + a
Eşitliklerden, parantezlerin önünde ve içinde aynı işaretler varsa "+", işaretler farklıysa "-" elde ettiğimiz açıktır.
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0
Parantez içinde tek bir sayı değil de sayıların cebirsel toplamı olsa bile işaret kuralı korunur.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n
Parantez içinde birden fazla sayı varsa ve parantezlerin önünde eksi işareti varsa bu durumda bu parantez içindeki tüm sayıların önündeki işaretlerin değişmesi gerektiğini unutmayın.
İşaret kuralını hatırlamak için bir sayının işaretlerini belirleyen bir tablo oluşturabilirsiniz.
Sayılar için işaret kuralı
Veya basit bir kural öğrenin.
- İki olumsuz bir olumlu yapar,
- Artı çarpı eksi eşittir eksi.
Negatif Sayılarla Çarpma
Bir sayının modülü kavramını kullanarak pozitif ve negatif sayıları çarpma kurallarını formüle ediyoruz.
Aynı işaretli sayıların çarpımı
Karşılaşabileceğiniz ilk durum aynı işaretli sayıların çarpımıdır.
Aynı işaretli iki sayıyı çarpmak için:
. sayıların modüllerini çarpın;
. ortaya çıkan çarpımın önüne “+” işareti koyun (cevap yazarken soldaki ilk rakamın önündeki “artı” işareti atlanabilir).
Negatif ve pozitif sayıları çarpma örnekleri.
. (- 3) . (- 6) = + 18 = 18
. 2 . 3 = 6
Sayıları farklı işaretlerle çarpma
İkinci olası durum ise farklı işaretlere sahip sayıların çarpımıdır.
İki sayıyı farklı işaretlerle çarpmak için yapmanız gerekenler:
. sayıların modüllerini çarpın;
. Ortaya çıkan eserin önüne “-” işareti koyun.
Negatif ve pozitif sayıları çarpma örnekleri.
. (- 0,3) . 0,5 = - 1,5
. 1,2 . (- 7) = - 8,4
Çarpma işaretleri kuralları
Çarpma için işaret kuralını hatırlamak çok basittir. Bu kural parantez açma kuralıyla örtüşmektedir.
- İki olumsuz bir olumlu yapar,
- Artı çarpı eksi eşittir eksi.
Yalnızca çarpma işleminin olduğu "uzun" örneklerde çarpımın işareti negatif çarpanların sayısına göre belirlenebilir.
Şu tarihte: eşit olumsuz faktörlerin sayısı, sonuç olumlu olacaktır ve garip miktar - negatif.
Örnek.
(- 6) . (- 3) . (- 4) . (- 2) . 12 . (- 1) =
Örnekte beş olumsuz faktör var. Bu, sonucun işaretinin “eksi” olacağı anlamına gelir.
Şimdi işaretlere dikkat etmeden modüllerin çarpımını hesaplayalım.
6 . 3 . 4 . 2 . 12 . 1 = 1728
Orijinal sayıların çarpılmasının nihai sonucu şöyle olacaktır:
(- 6) . (- 3) . (- 4) . (- 2) . 12 . (- 1) = - 1728
Sıfır ve bir ile çarpma
Faktörler arasında sıfır veya pozitif bir sayı varsa çarpma bilinen kurallara göre yapılır.
. 0. bir = 0
. A. 0 = 0
. A. 1 = bir
Örnekler:
. 0 . (- 3) = 0
. 0,4 . 1 = 0,4
Negatif birlik (-1), rasyonel sayıların çarpılmasında özel bir rol oynar.
- (-1) ile çarpıldığında sayı tersine çevrilir.
Gerçek ifadede bu özellik şöyle yazılabilir:
A. (- 1) = (- 1) . bir = - bir
Rasyonel sayıların toplanması, çıkarılması ve çarpılması sırasında pozitif sayılar ve sıfır için belirlenen işlem sırası korunur.
Negatif ve pozitif sayıların çarpılmasına bir örnek.
Negatif sayıları bölme
Bölmenin çarpmanın tersi olduğunu hatırlayarak negatif sayıları nasıl böleceğinizi anlamak kolaydır.
Eğer a ve b pozitif sayılarsa, a sayısını b sayısına bölmek, b ile çarpıldığında a sayısını veren bir c sayısını bulmak anlamına gelir.
Bölmenin bu tanımı, bölenler sıfır olmadığı sürece tüm rasyonel sayılar için geçerlidir.
Dolayısıyla örneğin (-15) sayısını 5 sayısına bölmek, 5 sayısıyla çarpıldığında (-15) sayısını veren bir sayı bulmak anlamına gelir. Bu sayı (-3) olacaktır, çünkü
(- 3) . 5 = - 15
Araç
(- 15) : 5 = - 3
Rasyonel sayıları bölme örnekleri.
1. 10: 5 = 2, çünkü 2 . 5 = 10
2. (- 4) : (- 2) = 2, çünkü 2 . (- 2) = - 4
3. (- 18) : 3 = - 6, çünkü (- 6) . 3 = - 18
4. 12: (- 4) = - 3, çünkü (- 3) . (-4) = 12
Örneklerden, aynı işaretli iki sayının bölümünün pozitif bir sayı olduğu (örnek 1, 2) ve farklı işaretli iki sayının bölümünün negatif bir sayı olduğu (örnek 3,4) açıktır.
Negatif sayıları bölme kuralları
Bir bölümün modülünü bulmak için, bölenin modülünü bölenin modülüne bölmeniz gerekir.
Yani, aynı işaretlere sahip iki sayıyı bölmek için yapmanız gerekenler:
. Sonucun önüne “+” işareti koyun.
Aynı işaretli sayıların bölünmesine örnekler:
. (- 9) : (- 3) = + 3
. 6: 3 = 2
İki sayıyı farklı işaretlerle bölmek için yapmanız gerekenler:
. temettü modülünü bölenin modülüne bölün;
. Sonucun önüne “-” işareti koyun.
Sayıları farklı işaretlerle bölme örnekleri:
. (- 5) : 2 = - 2,5
. 28: (- 2) = - 14
Bölüm işaretini belirlemek için aşağıdaki tabloyu da kullanabilirsiniz.
Bölme için işaretler kuralı
Yalnızca çarpma ve bölmenin yer aldığı "uzun" ifadeleri hesaplarken işaret kuralını kullanmak çok uygundur. Örneğin bir kesri hesaplamak için
Lütfen payda 2 eksi işareti bulunduğunu ve bunların çarpıldığında artı değerini vereceğini unutmayın. Paydada ayrıca çarpıldığında eksi işareti verecek üç eksi işareti vardır. Bu nedenle sonuçta sonuç eksi işaretiyle çıkacaktır.
Kesirin azaltılması (sayı modülleriyle daha fazla işlem) öncekiyle aynı şekilde gerçekleştirilir:
- Sıfırın sıfırdan farklı bir sayıya bölümü sıfırdır.
- 0: a = 0, a ≠ 0
- Sıfıra bölemezsiniz!
Bire bölmenin önceden bilinen tüm kuralları rasyonel sayılar kümesi için de geçerlidir.
. bir: 1 = bir
. a: (- 1) = - a
. bir: bir = 1
burada a herhangi bir rasyonel sayıdır.
Pozitif sayılar için bilinen çarpma ve bölme sonuçları arasındaki ilişkiler, tüm rasyonel sayılar için (sıfır hariç) aynı kalır:
. eğer bir . b = c; a = c: b; b = c: a;
. eğer a: b = c; bir = c. B; b = a: c
Bu bağımlılıklar bilinmeyen faktörü, böleni ve böleni bulmak (denklemleri çözerken) ve ayrıca çarpma ve bölme sonuçlarını kontrol etmek için kullanılır.
Bilinmeyeni bulma örneği.
X. (- 5) = 10
x = 10: (- 5)
x = - 2
Kesirlerde eksi işareti
(-5) sayısını 6'ya, 5 sayısını (-6)'ya bölün.
Sıradan bir kesrin gösterimindeki doğrunun aynı bölme işareti olduğunu hatırlatıyor ve bu işlemlerin her birinin bölümünü negatif kesir şeklinde yazıyoruz.
Dolayısıyla bir kesirdeki eksi işareti şu şekilde olabilir:
. bir kesirden önce;
. payda;
. paydada. 
- Negatif kesirler yazarken kesrin önüne eksi işareti konularak paydan paydaya veya paydadan paya aktarılabilir.
Bu genellikle kesirlerle çalışırken hesaplamaları kolaylaştırmak için kullanılır.
Örnek. Eksi işaretini parantezin önüne yerleştirdikten sonra, farklı işaretli sayıların eklenmesi kurallarına göre küçük olanı büyük modülden çıkardığımızı lütfen unutmayın. 
Kesirlerde işaret aktarımının açıklanan özelliğini kullanarak, verilen kesirlerden hangisinin daha büyük bir modüle sahip olduğunu bulmadan hareket edebilirsiniz.
Önceki Assembler dili derslerinden işlemcinin ikili sayılarla çalıştığını, bu sayıların pozitif ya da negatif olabileceğini biliyoruz. Ve bugün size pozitif (işaretsiz) ve negatif (işaretli) sayıların ne olduğunu detaylı olarak anlatacağım.
Pozitif sayılar
Sayı pozitifse, bu basitçe ondalık bir sayının ikili sayıya dönüştürülmesinin sonucunu temsil eder. Pozitif sayıları temsil etmek için özel kodlama kullanılır. Bu durumda en anlamlı bit sayının işaretini gösterir. İşaret biti sıfırsa sayı pozitiftir, aksi halde negatiftir.
Intel işlemci ailesinde her tür veri için temel depolama birimi bayttır. Bir bayt sekiz bitten oluşur. Aşağıdaki tablo, işlemcinin çalışabileceği pozitif tam sayıların olası değer aralıklarını göstermektedir:
Sayılarla çalışırken, değeri 255'ten fazla olmayan bir sayının bir bayta, 65.535'ten fazla olmayan bir sayının bir kelimeye vb. yazılabileceğini unutmayın. Örneğin bir bayt ile çalışırken 255 + 1 toplama işlemini yaparsanız sonuç 256 sayısı olmalıdır. Ancak sonucu bir bayta yazarsanız sonuç 256 değil 0 olacaktır. Bu durum “taşma” durumlarında ortaya çıkar.
Taşma, bir işlemin sonucunun o sonuç için tasarlanan kayda uymamasıdır. Ayrıca taşma varsa sonuç sıfır değil başka bir sayı olabilir.
Negatif sayılar
Negatif sayıların bilgisayarlarda gösterimi bazı zorluklarla karşılaşmaktadır. Negatif bir sayının sayısal bir anlamı yoktur; daha ziyade gelecekteki bir eylemi, gelecekte yeniden ortaya çıkan nesnelerden birkaç tane daha çıkarmamız gerektiği gerçeğini sembolize eder.
Negatif sayılar eksi işareti olan sayılardır.
Negatif sayıların olası değerlerinin aralıkları:
Bir sayının işaretini belirtmek için bir rakam (bit) yeterlidir. Tipik olarak işaret biti sayının en anlamlı bitini kaplar. Bir sayının en anlamlı biti 0 ise sayı pozitif kabul edilir. Bir sayının en anlamlı rakamı 1 ise sayı negatif kabul edilir.
Assembly dilinde programlama yaparken önemli bir noktanın dikkate alınması gerekir: “Sayıların temsil aralığının sınırlandırılması.”
Örneğin pozitif bir değişkenin boyutu 1 byte ise toplam 256 farklı değer alabilir. Bu, onu 255'ten (111111112) büyük bir sayıyı temsil etmek için kullanamayacağımız anlamına gelir. Aynı negatif değişken için maksimum değer 127 (011111112) ve minimum -128 (100000002) olacaktır. Aralık, 2 ve 4 baytlık değişkenler için benzer şekilde tanımlanır.
Negatif Sayıların Tarihi
Nesneleri sayarken doğal sayıların ortaya çıktığı bilinmektedir. İnsanın nicelikleri ölçme ihtiyacı ve ölçüm sonucunun her zaman tam sayı olarak ifade edilememesi, doğal sayılar kümesinin genişlemesine yol açmıştır. Sıfır ve kesirli sayılar tanıtıldı.
Sayı kavramının tarihsel gelişim süreci burada bitmedi. Ancak sayı kavramını genişletmenin ilk itici gücü her zaman insanların tamamen pratik ihtiyaçları değildi. Aynı zamanda matematik problemlerinin kendisi de sayı kavramının genişletilmesini gerektiriyordu. Negatif sayıların ortaya çıkmasıyla da tam olarak böyle oldu. Pek çok problemin, özellikle de denklemlerle ilgili olanların çözümü, daha büyük bir sayının daha küçük bir sayıdan çıkarılmasını içeriyordu. Bu, yeni sayıların tanıtılmasını gerektiriyordu.
Negatif sayılar ilk olarak Antik Çin'de yaklaşık 2100 yıl önce ortaya çıktı. Ayrıca pozitif ve negatif sayıların nasıl toplanıp çıkarılacağını da biliyorlardı; çarpma ve bölme kuralları uygulanmıyordu.
II.Yüzyılda. M.Ö. e. Çinli bilim adamı Zhang Can, Dokuz Bölümde Aritmetik kitabını yazdı. Kitabın içeriğinden bunun tamamen bağımsız bir çalışma olmadığı, Zhang Can'dan çok önce yazılmış diğer kitapların yeniden işlenmesi olduğu açıkça görülüyor. Negatif niceliklerle bilimde ilk kez bu kitapta karşılaşıyoruz. Bizim onları anlama ve uygulama şeklimizden farklı şekilde anlaşılırlar. Negatif niceliklerin doğası ve onlarla çalışmanın kuralları hakkında tam ve net bir anlayışa sahip değil. Her negatif sayıyı bir borç, her pozitif sayıyı da mülk olarak anladı. Negatif sayılarla işlemleri bizim yaptığımız gibi değil, borç mantığıyla yaptı. Örneğin, bir borca bir borç daha eklerseniz sonuç mülk değil borç olur (yani bizimkine göre (- x) + (- x) = - 2x. O zamanlar eksi işareti bilinmiyordu, dolayısıyla Borç ifade eden sayıları ayırt edebilmek için Zhan Can, bunları özelliği ifade eden sayılardan farklı bir mürekkeple (pozitif) yazdı.
Çin matematiğinde pozitif nicelikler “chen” olarak adlandırıldı ve kırmızıyla, negatif nicelikler ise “fu” olarak adlandırıldı ve siyahla gösterildi. Bu tasvir yöntemi Çin'de 12. yüzyılın ortalarına kadar, Li Ye negatif sayılar için daha uygun bir tanımlama önerene kadar kullanıldı - negatif sayıları temsil eden sayıların üzeri sağdan sola çapraz bir çizgiyle çizildi. Çinli bilim adamları negatif miktarları borç, pozitif miktarları ise mülk olarak açıklasalar da, bu rakamlar anlaşılmaz göründüğünden ve bunlarla ilgili eylemler belirsiz olduğundan yine de bunların yaygın kullanımından kaçındılar. Sorun olumsuz bir çözüme yol açtıysa, sonunda olumlu bir çözüm elde edilecek şekilde (Yunanlılar gibi) koşulu değiştirmeye çalıştılar.
5-6. yüzyıllarda Hint matematiğinde negatif sayılar ortaya çıktı ve çok yaygınlaştı. Hesaplamalar için o zamanın matematikçileri, üzerinde sayıların sayma çubukları kullanılarak tasvir edildiği bir sayma tahtası kullandılar. O dönemde + ve – işaretleri bulunmadığından pozitif sayılar kırmızı çubuklarla, negatif sayılar ise siyah çubuklarla gösterilerek “borç” ve “eksiklik” olarak adlandırılıyordu. Pozitif sayılar “özellik” olarak yorumlandı. Çin'den farklı olarak Hindistan'da çarpma ve bölme kuralları zaten biliniyordu. Hindistan'da negatif sayılar, tıpkı bizim şu anda yaptığımız gibi, sistematik olarak kullanılıyordu. Zaten seçkin Hintli matematikçi ve gökbilimci Brahmagupta'nın (598 - yaklaşık 660) çalışmasında şunu okuyoruz: “mülk ve mülk mülktür, iki borcun toplamı borçtur; özellik ve sıfırın toplamı özelliktir; iki sıfırın toplamı sıfırdır... Sıfırdan çıkarılan borç mal olur, mülk ise borç olur. Malın borçtan, borcun maldan alınması gerekiyorsa, bedelini alırlar.”
Hintli matematikçiler denklemleri çözerken negatif sayılar kullandılar ve çıkarmanın yerini eşit derecede zıt bir sayıyla toplama aldı.
Hintli matematikçiler, negatif sayıların yanı sıra, ondalık sayı sistemi oluşturmalarına olanak tanıyan sıfır kavramını da tanıttılar. Ancak uzun bir süre boyunca sıfır bir sayı olarak kabul edilmedi; Latince'de “nullus” hayır, sayının yokluğu anlamına geliyor. Ve ancak 10 yüzyıl sonra, 17. yüzyılda koordinat sisteminin kullanılmaya başlanmasıyla sıfır bir sayı haline geldi.
Yunanlılar da ilk başta işaret kullanmadılar. Eski Yunan bilim adamı Diophantus, negatif sayıları hiç tanımıyordu ve bir denklemi çözerken negatif bir kök elde edilirse, onu "erişilemez" olarak attı. Ve Diophantus, negatif köklerden kaçınacak şekilde problemleri formüle etmeye ve denklemler oluşturmaya çalıştı, ancak çok geçmeden İskenderiyeli Diophantus, çıkarma işlemini işaretle göstermeye başladı.
Negatif sayılar uzun süredir kullanılmasına rağmen, tamamen gerçek olmadıkları düşünülerek bir miktar güvensizlikle karşılandılar, mülk-borç olarak yorumlanmaları kafa karışıklığına neden oldu: Mülk ve borçlar nasıl "eklenebilir" ve "çıkarılabilir"?
Avrupa'da tanınma bin yıl sonra geldi. Negatif miktar fikrine, 13. yüzyılın başında, borçlarla ilgili mali sorunları çözmek için de bunu ortaya koyan ve negatif miktarların alınması gerektiği fikrine varan Pisalı Leonardo (Fibonacci) tarafından oldukça yakından yaklaşıldı. olumlu olanların zıt anlamlısı. O yıllarda sözde matematik düelloları geliştirildi. II. Frederick'in saray matematikçileriyle yapılan bir problem çözme yarışmasında, Pisalı Leonardo'dan (Fibonacci) bir problemi çözmesi istendi: birkaç kişinin başkentini bulmak gerekiyordu. Fibonacci negatif bir değer aldı. Fibonacci, "Bu durum, kişinin sermayesi değil borcu olduğunu varsaymadığımız sürece imkansızdır" dedi.
1202 yılında kayıplarını hesaplamak için ilk kez negatif sayıları kullandı. Ancak negatif sayılar ilk kez 15. yüzyılın sonlarında Fransız matematikçi Chuquet tarafından açıkça kullanıldı.
Ne var ki 17. yüzyıla kadar negatif sayılar “katmanlıydı” ve uzun süre “yanlış”, “hayali” veya “saçma” olarak adlandırıldılar. Hatta 17. yüzyılda ünlü matematikçi Blaise Pascal, hiçlikten küçük sayı olamayacağı için 0-4 = 0'ı savunmuş ve 19. yüzyıla kadar matematikçiler negatif sayıları anlamsız bulup hesaplamalarında sıklıkla göz ardı etmişti. ..
Bombelli ve Girard ise tam tersine, negatif sayıların oldukça kabul edilebilir ve yararlı olduğunu, özellikle de bir şeyin eksikliğini göstermeyi düşünüyorlardı. O zamanların bir yankısı, modern aritmetikte çıkarma işleminin ve negatif sayıların işaretinin cebirsel olarak tamamen farklı kavramlar olmasına rağmen aynı sembolle (eksi) gösterilmesidir.
İtalya'da borç verenler borç miktarını ve borçlunun adının önüne eksimiz gibi bir çizgi koyarlar ve borçlu parayı geri verdiğinde bunun üzerini çizerler, böylece bizim artımız gibi görünürdü. Bir artıyı üstü çizili bir eksi olarak düşünebilirsiniz!
İşaretli pozitif ve negatif sayılar için modern gösterim
“+” ve “-” Alman matematikçi Widmann tarafından kullanıldı.
Alman matematikçi Michael Stiefel, “Tam Aritmetik” (1544) adlı kitabında, negatif sayılar kavramını ilk kez sıfırdan küçük (hiçten küçük) sayılar olarak tanıttı. Bu, negatif sayıları haklı çıkarma konusunda ileriye doğru atılmış çok büyük bir adımdı. Negatif sayıları bir borç olarak değil, tamamen farklı, yeni bir şekilde görmeyi mümkün kıldı. Ancak Stiefel negatif sayıları saçma olarak nitelendirdi; kendi sözleriyle, onlarla ilgili eylemler "aynı zamanda saçma bir şekilde, altüst oluyor."
Stiefel'den sonra bilim adamları negatif sayılarla işlemleri daha güvenli bir şekilde yapmaya başladılar.
Sorunlara olumsuz çözümler giderek daha fazla muhafaza ediliyor ve yorumlanıyor.
17. yüzyılda Büyük Fransız matematikçi Rene Descartes, negatif sayıları sayı doğrusunda sıfırın soluna koymayı önerdi. Artık her şey bize çok basit ve anlaşılır geliyor ama bu fikre ulaşmak için Çinli bilim adamı Zhang Can'dan Descartes'a kadar on sekiz yüzyıllık bilimsel düşünce çalışması gerekti.
Descartes'ın eserlerinde negatif sayılar, dedikleri gibi, gerçek bir yorum aldı. Descartes ve takipçileri onları olumlu olanlarla eşit bir temelde tanıdı. Ancak negatif sayılarla yapılan işlemlerde her şey net değildi (örneğin onlarla çarpma), bu nedenle birçok bilim adamı negatif sayıları gerçek sayılar olarak tanımak istemedi. Negatif sayıların özü ve negatif sayıların gerçek sayı olarak tanınıp tanınmayacağı konusunda bilim adamları arasında büyük ve uzun bir tartışma çıktı. Bu tartışma Descartes'tan sonra yaklaşık 200 yıl sürmüştür. Bu dönemde matematik bir bilim olarak çok gelişti ve her adımda negatif sayılarla karşılaşıldı. Negatif sayılar olmadan matematik düşünülemez, imkansız hale geldi. Giderek artan sayıda bilim adamı, negatif sayıların gerçek sayılar olduğunu, gerçekte var olan sayıların da pozitif sayılar kadar gerçek olduğunu açıkça ortaya koydu.
Negatif sayılar matematikteki yerini pek kazanamadı. Bilim adamları ne kadar onlardan kaçınmaya çalışsalar da. Ancak bunda her zaman başarılı olamadılar. Hayat bilime yeni ve yeni görevler sundu ve bu görevler giderek daha çok Çin, Hindistan ve Avrupa'da olumsuz çözümlere yol açtı. Sadece 19. yüzyılın başında. Negatif sayılar teorisi gelişimini tamamladı ve "saçma sayılar" evrensel olarak tanındı.
Her fizikçi sürekli olarak sayılarla uğraşır: Daima bir şeyler ölçer, hesaplar, hesaplar. Kağıtlarının her yerinde sayılar, sayılar ve rakamlar var. Fizikçinin notlarına yakından bakarsanız, sayıları yazarken sıklıkla “+” ve “-” işaretlerini kullandığını göreceksiniz.
Fizikte pozitif ve özellikle negatif sayılar nasıl ortaya çıkıyor?
Bir fizikçi, çevremizdeki nesnelerin ve olayların çeşitli özelliklerini tanımlayan çeşitli fiziksel niceliklerle ilgilenir. Bir binanın yüksekliği, okuldan eve olan uzaklık, insan vücudunun kütlesi ve sıcaklığı, arabanın hızı, teneke kutunun hacmi, elektrik akımının gücü, suyun kırılma indisi, enerjinin gücü. nükleer bir patlama, elektrotlar arasındaki voltaj, ders veya teneffüs süresi, metal bir topun elektrik yükü - bunların hepsi fiziksel niceliklerdir. Fiziksel bir miktar ölçülebilir.
Bir nesnenin veya doğa olayının herhangi bir özelliğinin ölçülebileceğini ve dolayısıyla fiziksel bir nicelik olduğunu düşünmemek gerekir. Bu kesinlikle doğru değil. Örneğin şöyle diyoruz: “Etrafta ne güzel dağlar var! Ve aşağıda ne güzel bir göl var! Ve şu kayanın üzerinde ne güzel bir ladin ağacı var! Ama dağların, gölün ya da bu yalnız ladinin güzelliğini ölçemeyiz!” Bu, güzellik gibi bir özelliğin fiziksel bir nicelik olmadığı anlamına gelir.
Fiziksel büyüklüklerin ölçümü cetvel, saat, terazi vb. ölçü aletleri kullanılarak yapılır.
Dolayısıyla fizikteki sayılar, fiziksel büyüklüklerin ölçülmesinin bir sonucu olarak ortaya çıkar ve ölçüm sonucunda elde edilen bir fiziksel miktarın sayısal değeri, bu fiziksel miktarın nasıl tanımlandığına; Kullanılan ölçü birimlerinden.
Sıradan bir sokak termometresinin ölçeğine bakalım.
Ölçek 1'de gösterilen forma sahiptir. Üzerinde yalnızca pozitif sayılar basılmıştır ve bu nedenle sıcaklığın sayısal değerini belirtirken ek olarak 20 santigrat dereceyi (sıfırın üstü) açıklamak gerekir. Bu fizikçiler için sakıncalıdır - sonuçta kelimeleri bir formüle koyamazsınız! Bu nedenle fizikte negatif sayılardan oluşan bir ölçek kullanılır.
Dünyanın fiziki haritasına bakalım. Üzerindeki kara alanları yeşil ve kahverenginin çeşitli tonlarına, denizler ve okyanuslar ise mavi ve maviye boyanmıştır. Her rengin kendi yüksekliği (kara için) veya derinliği (denizler ve okyanuslar için) vardır. Harita üzerinde belirli bir rengin ne kadar yüksekliğe (derinliğe) sahip olduğunu gösteren bir derinlik ve yükseklik ölçeği çizilir,
Böyle bir ölçek kullanarak, sayıyı herhangi bir ek kelime olmadan belirtmek yeterlidir: pozitif sayılar, deniz yüzeyinin üzerinde bulunan karadaki çeşitli yerlere karşılık gelir; Negatif sayılar deniz yüzeyinin altındaki noktalara karşılık gelir.
Ele aldığımız yükseklik ölçeğinde Dünya Okyanuslarındaki su yüzeyinin yüksekliği sıfır olarak alınmıştır. Bu ölçek jeodezi ve haritacılıkta kullanılır.
Bunun aksine, günlük yaşamda genellikle dünya yüzeyinin yüksekliğini (bulunduğumuz yerdeki) sıfır yükseklik olarak alırız.
3.1 Eski çağlarda yıllar nasıl sayılırdı?
Farklı ülkelerde farklıdır. Örneğin Eski Mısır'da ne zaman yeni bir kral tahta çıksa, yılların sayımı da yeniden başlardı. Kralın saltanatının ilk yılı ilk yıl, ikincisi ise ikinci yıl olarak kabul edildi. Bu kral öldüğünde ve yenisi iktidara geldiğinde, ilk yıl yeniden başladı, sonra ikincisi, üçüncüsü. Dünyanın en eski şehirlerinden biri olan Roma'da yaşayanların kullandığı yıl sayımı farklıydı. Romalılar şehrin kurulduğu yılı ilk, ertesi yılı ikinci vb. olarak kabul ediyorlardı.
Kullandığımız yıl sayımı uzun zaman önce ortaya çıktı ve Hıristiyan dininin kurucusu İsa Mesih'e duyulan saygıyla ilişkilendirildi. İsa Mesih'in doğumundan itibaren yıl sayma yöntemi farklı ülkelerde yavaş yavaş benimsendi. Ülkemizde üç yüz yıl önce Çar Büyük Petro tarafından tanıtılmıştır. Mesih'in Doğuşu'ndan hesaplanan zamana BİZİM ÇAĞ diyoruz (ve bunu N.E. olarak kısaltılmış biçimde yazıyoruz). Çağımız iki bin yıldır devam ediyor.
Çözüm
Çoğu kişi negatif sayıları bilir, ancak negatif sayıların gösterimi yanlış olan bazıları da vardır.
Negatif sayılar en çok kesin bilimler, matematik ve fizikte yaygındır.
Fizikte negatif sayılar, fiziksel büyüklüklerin ölçümleri ve hesaplamaları sonucunda ortaya çıkar. Negatif sayı - elektrik yükünün miktarını gösterir. Coğrafya ve tarih gibi diğer bilimlerde negatif bir sayı, örneğin deniz seviyesinin altında ve tarihte - MÖ 157 gibi kelimelerle değiştirilebilir. e.
Edebiyat
1. Büyük bilimsel ansiklopedi, 2005.
2. Vigasin A. A., “Eski Dünya Tarihi”, 5. sınıf ders kitabı, 2001.
3. Vygovskaya V.V. “Matematikte ders temelli gelişmeler: 6. sınıf” - M.: VAKO, 2008
4. “Pozitif ve negatif sayılar”, 6. sınıf matematik ders kitabı, 2001.
5. Çocuk ansiklopedisi “Dünyayı biliyorum”, Moskova, “Aydınlanma”, 1995.
6.. “Matematik Çalışmak”, eğitim yayını, 1994.
7. “Ortaokulda matematik öğretiminde tarihselciliğin unsurları”, Moskova, “Prosveshchenie”, 1982
8. Nurk E.R., Telgmaa A.E. “Matematik 6. sınıf”, Moskova, “Aydınlanma”, 1989
9. “Okulda matematik tarihi”, Moskova, “Prosveshchenie”, 1981.
