Önceki paragrafta tartışılan grafiksel yöntemden daha güvenilirdir.

Değiştirme yöntemi

Bu yöntemi 7. sınıfta doğrusal denklem sistemlerini çözmek için kullandık. 7. sınıfta geliştirilen algoritma, iki x ve y değişkenli (tabii ki değişkenler başka harflerle de gösterilebilir, bu önemli değil) herhangi iki denklemden (doğrusal olmak zorunda değil) oluşan sistemleri çözmek için oldukça uygundur. Aslında bu algoritmayı önceki paragrafta iki basamaklı sayı probleminin bir denklem sistemi olan matematiksel bir modele yol açtığı durumlarda kullanmıştık. Yukarıdaki denklem sistemini ikame yöntemini kullanarak çözdük (bkz. § 4'teki örnek 1).

İki değişkenli x, y içeren iki denklem sistemini çözerken ikame yöntemini kullanmaya yönelik bir algoritma.

1. Sistemin bir denkleminden y'yi x cinsinden ifade edin.
2. Sonuçta elde edilen ifadeyi y yerine sistemin başka bir denkleminde değiştirin.
3. x için elde edilen denklemi çözün.
4. Üçüncü adımda bulunan denklemin köklerinden her birini, birinci adımda elde edilen y'den x'e kadar olan ifadede x yerine değiştirin.
5. Cevabı sırasıyla üçüncü ve dördüncü adımlarda bulunan değer çiftleri (x; y) şeklinde yazın.

4) Y'nin bulunan değerlerinin her birini birer birer x = 5 - 3 formülünde değiştirin. Eğer o zaman
5) (2; 1) çiftleri ve belirli bir denklem sisteminin çözümleri.

Cevap: (2; 1);

Cebirsel toplama yöntemi

Bu yöntem, yerine koyma yöntemi gibi, doğrusal denklem sistemlerini çözmek için kullanıldığı 7. sınıf cebir dersinden size tanıdık geliyor. Aşağıdaki örneği kullanarak yöntemin özünü hatırlayalım.

Örnek 2. Denklem sistemini çözme

Sistemin ilk denkleminin tüm terimlerini 3 ile çarpalım ve ikinci denklemi değiştirmeden bırakalım:
Sistemin ikinci denklemini birinci denkleminden çıkarın:

Orijinal sistemin iki denkleminin cebirsel olarak toplanması sonucunda verilen sistemin birinci ve ikinci denklemlerinden daha basit bir denklem elde edildi. Bu daha basit denklemle, belirli bir sistemin herhangi bir denklemini, örneğin ikincisini değiştirme hakkına sahibiz. Daha sonra verilen denklem sistemi daha basit bir sistemle değiştirilecektir:

Bu sistem ikame yöntemi kullanılarak çözülebilir. Bulduğumuz ikinci denklemden sistemin ilk denkleminde y yerine bu ifadeyi yerine koyarsak, şunu elde ederiz:

X'in bulunan değerlerini formülde değiştirmeye devam ediyor

Eğer x = 2 ise

Böylece sisteme iki çözüm bulduk:

Yeni değişkenleri tanıtma yöntemi

8. sınıf cebir dersinde tek değişkenli rasyonel denklemleri çözerken yeni bir değişken ekleme yöntemiyle tanıştınız. Denklem sistemlerini çözmek için kullanılan bu yöntemin özü aynıdır ancak teknik açıdan aşağıdaki örneklerde tartışacağımız bazı özellikler vardır.

Örnek 3. Denklem sistemini çözme

Yeni bir değişken tanıtalım. O halde sistemin ilk denklemi daha basit bir biçimde yeniden yazılabilir: Bu denklemi t değişkenine göre çözelim:

Bu değerlerin her ikisi de koşulu karşılar ve dolayısıyla t değişkenli rasyonel bir denklemin kökleridir. Ama bu ya x = 2y'yi bulduğumuz yer anlamına gelir, ya da
Böylece, yeni bir değişken ekleme yöntemini kullanarak, görünüşte oldukça karmaşık olan sistemin ilk denklemini iki daha basit denklem halinde "katmanlandırmayı" başardık:

x = 2 y; y - 2x.

Sırada ne var? Ve sonra elde edilen iki basit denklemin her biri, henüz hatırlamadığımız x 2 - y 2 = 3 denklemine sahip bir sistemde sırasıyla ele alınmalıdır. Başka bir deyişle, problem iki denklem sisteminin çözümünden ibarettir:

Birinci sisteme, ikinci sisteme çözüm bulmamız ve ortaya çıkan tüm değer çiftlerini cevaba dahil etmemiz gerekiyor. İlk denklem sistemini çözelim:

Burada özellikle her şey hazır olduğuna göre yerine koyma yöntemini kullanalım: sistemin ikinci denkleminde x yerine 2y ifadesini yazalım. Aldık

x = 2y olduğundan sırasıyla x 1 = 2, x 2 = 2 buluruz. Böylece verilen sistemin iki çözümü elde edilir: (2; 1) ve (-2; -1). İkinci denklem sistemini çözelim:

Tekrar yerine koyma yöntemini kullanalım: sistemin ikinci denkleminde y yerine 2x ifadesini yazalım. Aldık

Bu denklemin kökleri yoktur, yani denklem sisteminin çözümü yoktur. Bu nedenle cevaba yalnızca ilk sistemin çözümlerinin dahil edilmesi gerekir.

Cevap: (2; 1); (-2;-1).

İki değişkenli iki denklem sistemini çözerken yeni değişkenler ekleme yöntemi iki versiyonda kullanılır. İlk seçenek: Sistemin yalnızca bir denkleminde yeni bir değişken tanıtılır ve kullanılır. Örnek 3'te olan da tam olarak budur. İkinci seçenek: Sistemin her iki denkleminde iki yeni değişken tanıtılır ve aynı anda kullanılır. Örnek 4'te de durum böyle olacaktır.

Örnek 4. Denklem sistemini çözme

İki yeni değişkeni tanıtalım:

O zaman şunu dikkate alalım

Bu, verilen sistemin çok daha basit bir biçimde yeniden yazılmasına olanak tanıyacaktır, ancak yeni a ve b değişkenlerine göre:

a = 1 olduğundan, a + 6 = 2 denkleminden şunu buluruz: 1 + 6 = 2; 6=1. Böylece a ve b değişkenleriyle ilgili olarak bir çözüm elde ettik:

X ve y değişkenlerine dönersek bir denklem sistemi elde ederiz

Bu sistemi çözmek için cebirsel toplama yöntemini uygulayalım:

O zamandan beri 2x + y = 3 denkleminden şunları buluyoruz:
Böylece x ve y değişkenleriyle ilgili olarak tek bir çözüm elde ettik:

Bu paragrafı kısa ama oldukça ciddi bir teorik tartışmayla bitirelim. Çeşitli denklemleri çözme konusunda zaten biraz deneyim kazandınız: doğrusal, ikinci dereceden, rasyonel, irrasyonel. Bir denklem çözmenin ana fikrinin, bir denklemden diğerine, daha basit ama verilene eşdeğer olana yavaş yavaş geçmek olduğunu biliyorsunuz. Önceki paragrafta iki değişkenli denklemler için denklik kavramını tanıttık. Bu kavram aynı zamanda denklem sistemleri için de kullanılır.

Tanım.

X ve y değişkenlerine sahip iki denklem sistemi, çözümleri aynıysa veya her iki sistemin de çözümü yoksa eşdeğer olarak adlandırılır.

Bu bölümde tartıştığımız her üç yöntem de (değiştirme, cebirsel toplama ve yeni değişkenlerin tanıtılması) eşdeğerlik açısından kesinlikle doğrudur. Başka bir deyişle, bu yöntemleri kullanarak, bir denklem sistemini daha basit ancak orijinal sisteme eşdeğer başka bir denklem sistemiyle değiştiriyoruz.

Denklem sistemlerini çözmek için grafiksel yöntem

Denklem sistemlerini ikame yöntemi, cebirsel toplama ve yeni değişkenlerin tanıtılması gibi yaygın ve güvenilir yollarla nasıl çözeceğimizi zaten öğrendik. Şimdi önceki derste incelediğiniz yöntemi hatırlayalım. Yani grafiksel çözüm yöntemi hakkında bildiklerinizi tekrarlayalım.

Denklem sistemlerini grafiksel olarak çözme yöntemi, belirli bir sisteme dahil olan ve aynı koordinat düzleminde bulunan belirli denklemlerin her biri için ve bunların noktalarının kesişme noktalarını bulmanın gerekli olduğu yerlerde bir grafik oluşturmayı içerir. grafikler. Bu denklem sistemini çözmek için bu noktanın koordinatları vardır (x; y).

Grafiksel bir denklem sisteminin ya tek bir doğru çözüme ya da sonsuz sayıda çözüme sahip olmasının ya da hiç çözümünün bulunmamasının yaygın bir durum olduğu unutulmamalıdır.

Şimdi bu çözümlerin her birine daha ayrıntılı olarak bakalım. Dolayısıyla, bir denklem sisteminin, sistemin denklemlerinin grafikleri olan doğrular kesişmesi durumunda benzersiz bir çözümü olabilir. Eğer bu çizgiler paralelse, böyle bir denklem sisteminin kesinlikle hiçbir çözümü yoktur. Sistemin denklemlerinin doğrudan grafikleri çakışırsa, böyle bir sistem birçok çözüm bulmayı sağlar.

Şimdi 2 bilinmeyenli iki denklemden oluşan bir sistemi grafiksel yöntemle çözmek için kullanılan algoritmaya bakalım:

Öncelikle 1. denklemin grafiğini oluşturuyoruz;
İkinci adım, ikinci denklemle ilgili bir grafik oluşturmak olacaktır;
Üçüncü olarak grafiklerin kesişim noktalarını bulmamız gerekiyor.
Sonuç olarak denklem sisteminin çözümü olacak her kesişme noktasının koordinatlarını elde ederiz.

Bir örnek kullanarak bu yönteme daha ayrıntılı olarak bakalım. Bize çözülmesi gereken bir denklem sistemi veriliyor:

Denklemleri çözme

1. Öncelikle şu denklemin grafiğini oluşturacağız: x2+y2=9.

Ancak denklemlerin bu grafiğinin orijinde merkezi olan bir daire olacağını ve yarıçapının üçe eşit olacağını belirtmeliyiz.

2. Bir sonraki adımımız şu şekilde bir denklemin grafiğini çizmek olacaktır: y = x – 3.

Bu durumda düz bir çizgi çizip (0;−3) ve (3;0) noktalarını bulmalıyız.

3. Bakalım elimizde ne var. Doğrunun çemberi A ve B noktalarından ikisinde kestiğini görüyoruz.

Şimdi bu noktaların koordinatlarını arıyoruz. Koordinatların (3;0) A noktasına, koordinatların (0;−3) ise B noktasına karşılık geldiğini görüyoruz.

Peki sonuç olarak ne elde ederiz?

Doğru daireyi kestiğinde elde edilen (3;0) ve (0;−3) sayıları sistemin her iki denkleminin de çözümleridir. Ve bundan, bu sayıların aynı zamanda bu denklem sisteminin çözümleri olduğu sonucu çıkıyor.

Yani bu çözümün cevabı (3;0) ve (0;−3) sayılarıdır.

İki bilinmeyenli doğrusal denklem kavramına zaten aşinayız. Denklemler bir problemde tek tek veya birkaç denklemde aynı anda mevcut olabilir. Bu gibi durumlarda denklemler bir denklem sistemi halinde birleştirilir.

Doğrusal denklem sistemi nedir

Denklem sistemi- bunlar, tüm ortak çözümlerini bulmanın gerekli olduğu iki veya daha fazla denklemdir. Genellikle bir denklem sistemi yazmak için bunlar bir sütuna yazılır ve ortak bir küme parantezi çizilir. Doğrusal denklem sisteminin bir kaydı aşağıda sunulmuştur.

( 4x + 3y = 6
( 2x + y = 4

Bu giriş, iki değişkenli iki denklem sisteminin verildiği anlamına gelir. Eğer sistemde üç denklem olsaydı o zaman üç denklemli bir sistemden bahsediyor olurduk. Ve bu herhangi bir sayıda denklem için böyle devam eder.

Bir sistemdeki tüm denklemler doğrusal ise, o zaman bir doğrusal denklem sisteminin verildiğini söyleriz. Yukarıdaki örnekte iki doğrusal denklemden oluşan bir sistem sunulmaktadır. Yukarıda belirtildiği gibi sistemin genel çözümleri olabilir. Aşağıda “genel çözüm” kavramından bahsedeceğiz.

Çözüm nedir?

İki bilinmeyenli iki denklemden oluşan bir sistemin çözümü, bir (x,y) sayı çiftidir; öyle ki, bu sayıları sistemin denklemlerinde yerine koyarsak, sistemin denklemlerinin her biri gerçek bir eşitliğe dönüşür.

Örneğin iki doğrusal denklemden oluşan bir sistemimiz var. İlk denklemin çözümü, bu denklemi sağlayan tüm sayı çiftleri olacaktır.

İkinci denklemin çözümü bu denklemi sağlayan sayı çiftleri olacaktır. Hem birinci hem de ikinci denklemi sağlayan bir sayı çifti varsa, bu sayı çifti, iki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sisteminin çözümü olacaktır.

Grafik çözümü

Grafiksel olarak doğrusal bir denklemin çözümü, düzlemdeki belirli bir doğrunun tüm noktalarıdır.

Bir doğrusal denklem sistemi için birkaç düz çizgimiz olacaktır (denklem sayısına göre). Ve denklem sisteminin çözümü TÜM çizgilerin kesiştiği nokta olacaktır. Eğer böyle bir nokta yoksa sistemin çözümü de olmayacaktır. Tüm doğruların kesiştiği nokta bu doğruların her birine ait olduğundan çözüme genel denir.

Bu arada, bir sistemin denklemlerinin grafiklerini çizmek ve ortak noktalarını bulmak, bir denklem sistemini çözmenin yollarından biridir. Bu yönteme grafik denir.

Doğrusal denklemleri çözmenin diğer yolları

İki değişkenli doğrusal denklem sistemlerini çözmenin başka yolları da vardır. İki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemlerinin çözümü için temel yöntemler.

Talimatlar

Ekleme yöntemi.
Kesinlikle birbirinin altına iki tane yazmanız gerekir:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
Rasgele seçilen (sistemden) denklemde, halihazırda bulunan "oyun" yerine 11 sayısını ekleyin ve ikinci bilinmeyeni hesaplayın:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
Bu denklem sisteminin cevabı x=116, y=11'dir.

Grafik yöntemi.
Bir denklem sisteminde doğruların matematiksel olarak yazıldığı noktanın koordinatlarını pratik olarak bulmayı içerir. Her iki doğrunun grafiği aynı koordinat sisteminde ayrı ayrı çizilmelidir. Genel görünüm: – y=khx+b. Düz bir çizgi oluşturmak için iki noktanın koordinatlarını bulmak yeterlidir ve x keyfi olarak seçilir.
Sistem verilsin: 2x – y=4

Y=-3x+1.
İlki kullanılarak düz bir çizgi oluşturulur, kolaylık olması açısından yazılmalıdır: y=2x-4. X için (daha kolay) değerler bulun, bunu denklemde yerine koyun, çözün ve y'yi bulun. Düz bir çizginin inşa edildiği iki nokta elde ediyoruz. (resme bakınız)
x 0 1

y -4 -2
İkinci denklem kullanılarak düz bir çizgi oluşturulur: y=-3x+1.
Ayrıca düz bir çizgi oluşturun. (resme bakınız)

1-5
Grafikteki iki oluşturulmuş çizginin kesişme noktasının koordinatlarını bulun (eğer çizgiler kesişmiyorsa, denklem sisteminde böyle bir şey yoktur).

Konuyla ilgili video

Yararlı tavsiye

Aynı denklem sistemini üç farklı şekilde çözerseniz cevap aynı olacaktır (eğer çözüm doğruysa).

Kaynaklar:

• 8. sınıf cebir
• iki bilinmeyenli denklemi çevrimiçi çözme
• İkili doğrusal denklem sistemlerini çözme örnekleri

Sistem denklemler her biri bir dizi değişken içeren matematiksel kayıtların bir koleksiyonudur. Bunları çözmenin birkaç yolu vardır.

İhtiyacın olacak

• -cetvel ve kalem;
• -hesap makinesi.

Talimatlar

a1x + b1y = c1 ve a2x + b2y = c2 formuna sahip doğrusal denklemlerden oluşan sistemin çözüm sırasını ele alalım. Burada x ve y bilinmeyen değişkenlerdir ve b,c serbest terimlerdir. Bu yöntemi uygularken her sistem, her denkleme karşılık gelen noktaların koordinatlarını temsil eder. Başlangıç ​​olarak her durumda bir değişkeni diğerine göre ifade edin. Daha sonra x değişkenini istediğiniz sayıda değere ayarlayın. İki tanesi yeterli. Denklemde yerine koy ve y'yi bul. Bir koordinat sistemi oluşturun, ortaya çıkan noktaları işaretleyin ve içinden bir çizgi çizin. Sistemin diğer kısımları için de benzer hesaplamaların yapılması gerekmektedir.

Oluşturulan doğruların kesişmesi ve tek bir ortak noktaya sahip olması durumunda sistemin benzersiz bir çözümü vardır. Birbirine paralel ise uyumsuzdur. Ve doğrular birbiriyle birleştiğinde sonsuz sayıda çözümü olur.

Bu yöntem çok görsel olarak kabul edilir. En büyük dezavantajı hesaplanan bilinmeyenlerin yaklaşık değerlere sahip olmasıdır. Daha doğru sonuçlar cebirsel yöntemler olarak adlandırılan yöntemlerle sağlanır.

Bir denklem sisteminin herhangi bir çözümü kontrol edilmeye değerdir. Bunu yapmak için, ortaya çıkan değerleri değişkenlerin yerine koyun. Çözümünü çeşitli yöntemler kullanarak da bulabilirsiniz. Sistemin çözümü doğruysa herkesin aynı çıkması gerekir.

Genellikle terimlerden birinin bilinmediği denklemler vardır. Bir denklemi çözmek için bu sayılarla belirli bir dizi eylemi hatırlamanız ve gerçekleştirmeniz gerekir.

İhtiyacın olacak

• - bir kağıt parçası;
• - kalem veya kurşun kalem.

Talimatlar

Önünüzde 8 tavşan olduğunu ve sadece 5 havucunuzun olduğunu hayal edin. Bir düşünün, her tavşanın bir tane alması için yine de daha fazla havuç almanız gerekiyor.

Bu problemi bir denklem şeklinde sunalım: 5 + x = 8. x'in yerine 3 sayısını koyalım. Gerçekten 5 + 3 = 8.

X'in yerine bir sayı koyduğunuzda, 8'den 5'i çıkardığınızda yaptığınız şeyin aynısını yapmış olursunuz. bilinmiyor terim, bilinen terimi toplamdan çıkarın.

Diyelim ki 20 tavşanınız ve sadece 5 havucunuz var. Hadi telafi edelim. Denklem, içinde yer alan harflerin yalnızca belirli değerleri için geçerli olan bir eşitliktir. Anlamı bulunması gereken harflere denir. Bir bilinmeyenli bir denklem yazın, buna x adını verin. Tavşan problemimizi çözerken şu denklemi elde ederiz: 5 + x = 20.

20 ile 5 arasındaki farkı bulalım. Çıkarma yaparken, çıkarıldığı sayı azaltılan sayıdır. Çıkarılan sayıya denir ve nihai sonuca fark denir. Yani x = 20 – 5; x = 15. Tavşanlar için 15 adet havuç almanız gerekiyor.

Kontrol edin: 5 + 15 = 20. Denklem doğru çözülmüştür. Elbette konu bu kadar basit olanlara gelince kontrol etmeye gerek yok. Ancak elinizde üç basamaklı, dört basamaklı vb. rakamlardan oluşan denklemler varsa, çalışmanızın sonucundan kesinlikle emin olmak için mutlaka kontrol etmeniz gerekir.

Konuyla ilgili video

Yararlı tavsiye

Bilinmeyen eksiyi bulmak için çıkanı farka eklemeniz gerekir.

Bilinmeyen çıkanı bulmak için farkı eksiden çıkarmanız gerekir.

İpucu 4: Üç bilinmeyenli üç denklemden oluşan bir sistem nasıl çözülür?

Üç bilinmeyenli üç denklemden oluşan bir sistemin, yeterli sayıda denklem olmasına rağmen çözümleri olmayabilir. Değiştirme yöntemini veya Cramer yöntemini kullanarak çözmeyi deneyebilirsiniz. Cramer yöntemi, sistemi çözmenin yanı sıra, bilinmeyenlerin değerlerini bulmadan önce sistemin çözülebilir olup olmadığını değerlendirmenize olanak tanır.

Talimatlar

Yerine koyma yöntemi, bir bilinmeyenden diğer iki bilinmeyene kadar sırayla ardışık olarak elde edilen sonucun sistem denklemlerinde yerine konulmasından oluşur. Genel olarak üç denklemden oluşan bir sistem verilsin:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

İlk denklemdeki x'i ifade edin: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - ve ikinci ve üçüncü denklemlerde yerine koyun, ardından ikinci denklemde y'yi ifade edin ve üçüncüde yerine koyun. Sistem denklemlerinin katsayıları aracılığıyla z için doğrusal bir ifade elde edeceksiniz. Şimdi "geriye" gidin: z'yi ikinci denklemde değiştirin ve y'yi bulun, ardından z ve y'yi birinci denklemde yerine koyun ve x'i çözün. Süreç genel olarak z bulunmadan önceki şekilde gösterilmektedir. Genel biçimde daha fazla yazmak çok zahmetli olacaktır; pratikte yerine koyarak üç bilinmeyeni de kolayca bulabilirsiniz.

Cramer'in yöntemi, bir sistem matrisi oluşturmak ve bu matrisin determinantının yanı sıra üç yardımcı matrisin daha hesaplanmasından oluşur. Sistem matrisi denklemlerin bilinmeyen terimlerinin katsayılarından oluşur. Denklemlerin sağ tarafındaki sayıları içeren bir sütun, sağ taraflarındaki bir sütun. Sistemde kullanılmaz ancak sistem çözümünde kullanılır.

Konuyla ilgili video

lütfen aklınızda bulundurun

Sistemdeki tüm denklemler diğer denklemlerden bağımsız olarak ek bilgi sağlamalıdır. Aksi takdirde sistem eksik belirlenecek ve kesin bir çözüm bulmak mümkün olmayacaktır.

Yararlı tavsiye

Denklem sistemini çözdükten sonra bulunan değerleri orijinal sisteme yerleştirin ve tüm denklemleri karşıladıklarını kontrol edin.

Kendi başına denklemüç ile bilinmiyor birçok çözümü vardır, bu nedenle çoğu zaman iki denklem veya koşulla desteklenir. İlk verilerin ne olduğuna bağlı olarak kararın gidişatı büyük ölçüde bağlı olacaktır.

İhtiyacın olacak

• - üç bilinmeyenli üç denklemden oluşan bir sistem.

Talimatlar

Üç sistemden ikisinde üç bilinmeyenden yalnızca ikisi varsa, bazı değişkenleri diğerleri cinsinden ifade etmeye çalışın ve bunları yerine koyun. denklemüç ile bilinmiyor. Bu durumda amacınız durumu normale dönüştürmektir. denklem bilinmeyen bir kişiyle. Eğer öyleyse, sonraki çözüm oldukça basittir; bulunan değeri diğer denklemlerde yerine koyun ve diğer tüm bilinmeyenleri bulun.

Bazı denklem sistemleri bir denklemden diğerine çıkarılabilir. İki bilinmeyenin aynı anda iptal edilmesi için bir değişkeni veya bir değişkeni çarpmanın mümkün olup olmadığına bakın. Böyle bir fırsat varsa, bundan yararlanın; büyük olasılıkla sonraki çözüm zor olmayacaktır. Bir sayıyla çarparken hem sol hem de sağ tarafı çarpmanız gerektiğini unutmayın. Aynı şekilde denklemlerde çıkarma işlemi yaparken sağ tarafın da çıkarılması gerektiğini unutmamalısınız.

Önceki yöntemler yardımcı olmadıysa, herhangi bir denklemi üç ile çözmenin genel yöntemini kullanın. bilinmiyor. Bunu yapmak için denklemleri a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3 biçiminde yeniden yazın. Şimdi x için bir katsayılar matrisi (A), bilinmeyenler matrisi (X) ve serbest değişkenler matrisi (B) oluşturun. Lütfen katsayılar matrisini bilinmeyenler matrisiyle çarparak serbest terimler matrisi elde edeceğinizi, yani A*X=B elde edeceğinizi unutmayın.

Önce A matrisinin (-1) üssünü bulun, sıfıra eşit olmaması gerektiğine dikkat edin. Bundan sonra, ortaya çıkan matrisi B matrisiyle çarpın, sonuç olarak tüm değerleri gösteren istenen X matrisini alacaksınız.

Cramer yöntemini kullanarak üç denklemli bir sistemin çözümünü de bulabilirsiniz. Bunu yapmak için sistem matrisine karşılık gelen üçüncü dereceden determinantı ∆ bulun. Daha sonra karşılık gelen sütunların değerleri yerine serbest terimlerin değerlerini değiştirerek art arda üç determinant daha bulun: ∆1, ∆2 ve ∆3. Şimdi x'i bulun: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Kaynaklar:

• üç bilinmeyenli denklemlerin çözümleri

Bir denklem sistemini çözmeye başladığınızda bunların ne tür denklemler olduğunu bulun. Doğrusal denklemleri çözme yöntemleri oldukça iyi incelenmiştir. Doğrusal olmayan denklemler çoğunlukla çözülmez. Her biri pratik olarak bireysel olan yalnızca bir özel durum vardır. Bu nedenle çözüm tekniklerinin incelenmesi doğrusal denklemlerle başlamalıdır. Bu tür denklemler tamamen algoritmik olarak bile çözülebilir.

Talimatlar

Öğrenme sürecinize, iki bilinmeyenli X ve Y içeren iki doğrusal denklem sistemini eleme yoluyla nasıl çözeceğinizi öğrenerek başlayın. a11*X+a12*Y=b1 (1); a21*X+a22*Y=b2 (2). Denklemlerin katsayıları konumlarını gösteren indekslerle gösterilir. Böylece a21 katsayısı ikinci denklemde ilk sırada yazıldığını vurgulamaktadır. Genel olarak kabul edilen gösterimde sistem, birbirinin altında bulunan ve sağda veya solda küme paranteziyle ortaklaşa gösterilen denklemlerle yazılır (daha fazla ayrıntı için bkz. Şekil 1a).

Denklemlerin numaralandırılması keyfidir. Değişkenlerden birinin önünde 1 katsayısı veya en azından bir tamsayı bulunan en basit olanı seçin. Eğer bu denklem (1) ise, o zaman diyelim ki bilinmeyen Y'yi X cinsinden ifade edin (Y'yi hariç tutma durumu). Bunu yapmak için, (1)'i a12*Y=b1-a11*X (veya X hariç tutulduğunda a11*X=b1-a12*Y) biçimine dönüştürün ve ardından Y=(b1-a11*X)/a12 . İkincisini denklem (2)'de yerine koyarsak, a21*X+a22*(b1-a11*X)/a12=b2 yazın. Bu denklemi X için çözün.
a21*X+a22*b1/a12-a11*a22*X/a12=b2; (a21-a11*a22/a12)*X=b2-a22*b1/a12;
X=(a12* b2-a22*b1)/(a12*a21-a11*a22) veya X=(a22* b1-a12*b2)/(a11*a22-a12*a21).
Y ve X arasında bulunan bağlantıyı kullanarak, sonunda ikinci bilinmeyen Y=(a11* b2-a21*b1)/(a11*a22-a12*a21) elde edeceksiniz.

Sistem belirli sayısal katsayılarla belirtilmiş olsaydı, hesaplamalar daha az zahmetli olurdu. Ancak genel çözüm, bulunan bilinmeyenlerin tamamen aynı olduğu gerçeğini dikkate almayı mümkün kılar. Evet, paylar da yapılarında bazı modeller gösteriyor. Denklem sisteminin boyutu ikiden büyük olsaydı, yok etme yöntemi çok hantal hesaplamalara yol açacaktı. Bunlardan kaçınmak için tamamen algoritmik çözümler geliştirildi. Bunlardan en basiti Cramer algoritmasıdır (Cramer formülleri). Çünkü n denklemin genel denklem sistemini bulmalısınız.

n bilinmeyenli n doğrusal cebirsel denklem sistemi şu şekle sahiptir (bkz. Şekil 1a). İçinde, аij sistemin katsayılarıdır,
xj – bilinmeyenler, bi – serbest terimler (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Böyle bir sistem kompakt bir şekilde AX=B matris formunda yazılabilir. Burada A sistem katsayılarının matrisidir, X bilinmeyenlerin sütun matrisidir, B serbest terimlerin sütun matrisidir (bkz. Şekil 1b). Cramer'in yöntemine göre her bilinmeyen xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). Katsayı matrisinin determinantına ∆ ana, ∆i'ye yardımcı denir. Her bilinmeyen için, yardımcı determinant, ana determinantın i'inci sütununun serbest terimlerden oluşan bir sütunla değiştirilmesiyle bulunur. İkinci ve üçüncü dereceden sistemler için Cramer yöntemi Şekil 1'de ayrıntılı olarak sunulmaktadır. 2.

Sistem, her biri iki veya daha fazla bilinmeyen içeren iki veya daha fazla eşitliğin birleşimidir. Okul müfredatında kullanılan doğrusal denklem sistemlerini çözmenin iki ana yolu vardır. Bunlardan birine yöntem, diğerine ise toplama yöntemi denir.

İki denklemli bir sistemin standart formu

Toplama yöntemini kullanarak sistemi çözme

Örneğin iki denklemden oluşan bir sistemin verildiğini varsayalım. Bunlardan birincisi 2x+4y=8 biçiminde, ikincisi ise 6x+2y=6 biçimindedir. Görevi tamamlama seçeneklerinden biri, ikinci denklemi -2 katsayısıyla çarpmaktır, bu da onu -12x-4y=-12 formuna götürecektir. Doğru katsayı seçimi, bir sistemi toplama yöntemini kullanarak çözme sürecindeki kilit görevlerden biridir, çünkü bilinmeyenleri bulma prosedürünün tüm ilerleyişini belirler.

Şimdi sistemin iki denklemini eklemek gerekiyor. Açıkçası, katsayıları eşit değerde ancak işareti zıt olan değişkenlerin karşılıklı yok edilmesi -10x=-4 formunun oluşmasına yol açacaktır. Bundan sonra, x = 0,4 sonucunun açıkça ortaya çıktığı bu basit denklemi çözmek gerekir.

Çözüm sürecindeki son adım, değişkenlerden birinin bulunan değerini, sistemdeki orijinal eşitliklerden herhangi birinin yerine koymaktır. Örneğin, ilk denklemde x=0,4 yerine 2*0,4+4y=8 ifadesini elde edebilirsiniz; buradan y=1,8 elde edilir. Dolayısıyla x=0,4 ve y=1,8 örnek sistemin kökleridir.

Köklerin doğru bulunduğundan emin olmak için bulunan değerleri sistemin ikinci denkleminde yerine koyarak kontrol etmekte fayda vardır. Örneğin, bu durumda 0,4*6+1,8*2=6 biçiminde bir eşitlik elde ederiz ki bu doğrudur.

Konuyla ilgili video

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve gelecek etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

• Gerekirse - yasaya, adli prosedüre uygun olarak, yasal işlemlerde ve/veya kamunun talepleri veya Rusya Federasyonu'ndaki devlet kurumlarının talepleri temelinde - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit etmemiz halinde, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

İki değişkenli bir doğrusal denklemin genel formu ax + by + c = 0'dır. İçinde a, b ve c katsayılardır - bazı sayılar; ve x ve y değişkenlerdir; bulunması gereken bilinmeyen sayılardır.

İki değişkenli bir doğrusal denklemin çözümü bir x ve y sayısı çiftidir; bunun için ax + x + c = 0 gerçek bir eşitliktir.

İki değişkenli (örneğin, 3x + 2y – 1 = 0) belirli bir doğrusal denklemin bir çözüm kümesi, yani denklemin doğru olduğu bir sayı çiftleri kümesi vardır. İki değişkenli bir doğrusal denklem, koordinat düzleminde düz bir çizgi olan y = kx + m formundaki doğrusal bir fonksiyona dönüştürülür. Bu doğru üzerinde yer alan tüm noktaların koordinatları, iki değişkenli bir doğrusal denklemin çözümleridir.

ax + by + c = 0 şeklinde iki doğrusal denklem verilirse ve her ikisinin de çözümü olacak x ve y değerlerinin bulunması gerekiyorsa, o zaman şunu söylememiz gerekir: denklem sistemini çöz. Bir denklem sistemi ortak bir küme parantezinin altına yazılır. Örnek:

Karşılık gelen doğrusal fonksiyonların grafikleri olan doğrular kesişmiyorsa (yani birbirine paralel değilse), bir denklem sisteminin çözümü olamaz. Çözümün olmadığı sonucuna varmak için iki değişkenli her iki doğrusal denklemi y = kx + m formuna dönüştürmek yeterlidir. Eğer k her iki denklemde de aynı sayı ise sistemin çözümü yoktur.

Bir denklem sisteminin iki özdeş denklemden oluştuğu ortaya çıkarsa (ki bu hemen belli olmayabilir, ancak dönüşümlerden sonra), o zaman sonsuz sayıda çözümü vardır. Bu durumda belirsizlikten bahsediyoruz.

Diğer tüm durumlarda sistemin tek bir çözümü vardır. Bu sonuç, paralel olmayan herhangi iki doğrunun yalnızca bir noktada kesişebileceği gerçeğinden çıkarılabilir. Hem birinci çizgide hem de ikincide yer alacak olan bu kesişme noktasıdır, yani hem birinci denklemin hem de ikincinin çözümü olacaktır. Bu nedenle bir denklem sisteminin çözümüdür. Ancak x ve y değerlerine (genellikle problemin koşullarına göre) belirli kısıtlamaların getirildiği durumları şart koşmak gerekir. Örneğin x > 0, y > 0. Bu durumda denklem sisteminin bir çözümü olsa da, koşulu sağlamasa bile, verilen koşullar altında denklem sisteminin çözümü olmadığı sonucuna varılır. .

Bir denklem sistemini çözmenin üç yolu vardır:

1. Seçim yöntemiyle. Çoğu zaman bunu yapmak çok zordur.
2. Grafik yöntemi. Koordinat düzleminde iki düz çizgi (karşılık gelen denklemlerin fonksiyonlarının grafikleri) çizildiğinde ve bunların kesişme noktası bulunduğunda. Kesişme noktasının koordinatları kesirli sayılar ise bu yöntem doğru sonuçlar vermeyebilir.
3. Cebirsel yöntemler. Çok yönlü ve güvenilirdirler.