Fourier serisi teorisinden takip edildiği gibi, periyodik fonksiyonlarla ve bağımsız değişkenlerin sınırlı değişim aralığına sahip fonksiyonlarla ilgilenirken uygulanabilir (çünkü bu aralık, fonksiyonun periyodik olarak genişletilmesiyle tüm eksene genişletilebilir). Ancak pratikte periyodik fonksiyonlar nispeten nadirdir. Bu durum, periyodik olmayan fonksiyonların ele alınması için daha genel bir matematiksel aygıtın, yani Fourier integralinin ve buna dayalı olarak Fourier dönüşümünün yaratılmasını gerektirir.
Periyodik olmayan f(t) fonksiyonunu l®? için T=2l periyoduna sahip periyodik bir fonksiyonun limiti olarak ele alalım.
Periyodu 2l olan periyodik bir fonksiyon Fourier serisi açılımı olarak temsil edilebilir (bunun karmaşık formunu kullanacağız)
katsayılara ilişkin ifadeler şu şekildedir:
Frekanslar için aşağıdaki gösterimi tanıtalım:
Fourier serisindeki açılımı, (1)'de katsayıların (2) ve frekansın (3) ifadesini değiştirerek, tek bir formül biçiminde yazalım:
Periyodu 2l olan periyodik bir fonksiyonun ayrık spektrumu
Spektrumun noktaları arasındaki salınımların temel frekansına eşit olan minimum mesafeyi gösterelim;
ve bu gösterimi (4)'te tanıtın:
Bu gösterimde Fourier serisi bir fonksiyonun integral toplamına benzemektedir.
T=2l®'deki sınıra mı gidiyorsunuz? Periyodik olmayan bir fonksiyona göre, frekans aralığının sonsuz küçük hale geldiğini (bunu dw olarak gösteririz) ve spektrumun sürekli hale geldiğini buluruz. Matematiksel açıdan bakıldığında bu, ayrık bir küme üzerindeki toplamın, karşılık gelen değişken üzerindeki sonsuz limitler üzerindeki entegrasyonla değiştirilmesine karşılık gelir.
Bu ifade Fourier integral formülüdür.
2.2 Fourier dönüşümü formülleri.
Fourier integralini iki formülün süperpozisyonu olarak temsil etmek uygundur:
f(t) fonksiyonunun birinci formülüne göre karşılaştırılabilen F(w) fonksiyonuna onun adı verilir. Fourier dönüşümü. Buna karşılık, orijinal işlevi görüntüsünden bulmanızı sağlayan ikinci formül denir. ters Fourier dönüşümü. Doğrudan ve ters Fourier dönüşümleri için formüllerin simetrisine, 1/2p sabit faktörü ve üsteki işaret doğruluğuna kadar dikkat edelim.
Sembolik olarak, doğrudan ve ters Fourier dönüşümleri f(t)~F(w) olarak gösterilecektir.
Trigonometrik Fourier serisiyle bir benzetme yaparak, Fourier görüntüsünün (6) Fourier katsayısının bir analoğu olduğu (bkz. (2)) ve ters Fourier dönüşümünün (7) genişlemenin bir analoğu olduğu sonucuna varabiliriz. bir fonksiyonun trigonometrik Fourier serisine dönüştürülmesi (bkz. (1))).
Çarpanın, ters dönüşüm yerine doğrudan Fourier dönüşümüne atfedilebileceğini veya doğrudan ve ters dönüşümler için simetrik çarpanlar oluşturulabileceğini unutmayın. Önemli olan, her iki dönüşümün birlikte Fourier integral formülünü (5) oluşturmasıdır, yani. Doğrudan ve ters dönüşüm sırasında sabit faktörlerin çarpımı eşit olmalıdır..
Uygulanan amaçlar için, daha uygun olanın açısal frekans w değil, birinci oran w = 2pn ile ilişkili frekans n olduğunu unutmayın. ve Hertz (Hz) cinsinden ölçülür. Bu frekans açısından Fourier dönüşümü formülleri şöyle görünecektir:
Fourier dönüşümünün varlığı için kanıt olmadan yeterli koşulları formüle edelim.
- 1) f(t) - t'de sınırlı?(-?,?);
- 2) f(t) - t?(-?,?); üzerinde kesinlikle integrallenebilir;
- 3) f(t) fonksiyonunun süreksizlik noktalarının sayısı, maksimum ve minimumu sonludur.
Bir diğer yeterli koşul, fiziksel olarak sonlu sinyal gücü gereksinimine karşılık gelen, fonksiyonun gerçek ekseni üzerinde ikinci dereceden integrallenebilir olması gerekliliğidir.
Böylece, Fourier dönüşümünü kullanarak sinyali temsil etmenin iki yolu vardır: zaman f(t) ve frekans F(w).
- 2.3 Fourier dönüşümünün özellikleri.
- 1. Doğrusallık.
Eğer f(t)~F(w),g(t)~G(w),
sonra аf(t)+bg(t) ~aF(w)+bG(w).
Kanıt integrallerin doğrusal özelliklerine dayanmaktadır.
- 2. Parite.
- 2.1 Eğer f(t) bir gerçel çift fonksiyon ve f(t)~F(w) ise, o zaman F(w) da bir gerçel çift fonksiyondur.
Kanıt:
Tanım (6) ve Euler formülünü kullanarak şunu elde ederiz:
- -eşit işlev.
- 2.2 Eğer f(t) bir tek gerçel fonksiyon ise, F(w) bir tek sanal fonksiyondur.
2.3 Eğer f(t) keyfi bir gerçel fonksiyon ise, F(w)'nin bir çift gerçel kısmı ve bir tek sanal kısmı vardır.
Kanıt:
Parite 2'nin özellikleri aşağıdaki formülde özetlenebilir:
3. Benzerlik
Eğer f(t)~F(w), o zaman f(at)~.
- 4. Ön yargı.
- 4.1 Eğer f(t)~F(w) ise f(t-a)~.
Onlar. zaman gecikmesi, frekans alanında karmaşık bir üstel ile çarpmaya karşılık gelir.
4.2 Eğer f(t)~F(w), o zaman~.
Onlar. frekans kayması, zaman alanında karmaşık bir üstel ile çarpmaya karşılık gelir.
- 5. Eğer f(t)~F(w), o zaman
- 5.1 f’(t)~iwF(w),~
f(t)'nin n sürekli türevi varsa.
Kanıt:
eğer F(w)'nin n sürekli türevi varsa.
Kanıt:
- 2.4 Fourier dönüşümünü bulmanın en önemli örnekleri.
dikdörtgen dürtü nerede
Aynı zamanda Poisson integralini de hesaba kattık.
Son integralin bulunması şu şekilde açıklanabilir. İntegrasyon eğrisi C, karmaşık düzlemde (t,w), gerçek eksene paralel (w sabit bir sayıdır) düz bir çizgidir. Bir skaler fonksiyonun kapalı bir döngü üzerindeki integrali sıfırdır. Sonsuzda kapanan bir C düz çizgisi ve gerçek bir t ekseninden oluşan kapalı bir döngü oluşturuyoruz. Çünkü sonsuzda integral fonksiyonu sıfıra yönelir, bu durumda kapanış eğrileri boyunca integraller sıfıra eşit olur. Bu, C düz çizgisi üzerindeki integralin, pozitif yönde geçen gerçek reel eksen boyunca alınan integrale eşit olduğu anlamına gelir.
2 .5 Sinyalin zaman-frekans gösterimi için belirsizlik ilkesi.
Dikdörtgen darbe örneğini kullanarak geçerliliği göstereceğiz belirsizlik ilkesi bir darbeyi aynı anda zaman içinde lokalize etmenin ve frekans seçiciliğini arttırmanın imkansız olması gerçeğinden oluşur.
5)'e göre, DT zaman alanındaki dikdörtgen darbenin genişliği 2T'ye eşittir. Frekans alanındaki merkezi tümseğin bitişik sıfırları arasındaki mesafeyi dikdörtgen bir darbenin Fourier görüntüsünün genişliği olarak alıyoruz. Fonksiyonun ilk sıfırları 'dadır.
Böylece elde ederiz
Bu nedenle, bir darbe zaman içinde ne kadar lokalize olursa, spektrumu o kadar fazla dağılır. Tersine, spektrumu azaltmak için darbeyi zaman içinde uzatmak zorunda kalıyoruz. Bu prensip her türlü dürtü için geçerlidir ve evrenseldir.
2.6 Evrişim ve özellikleri.
Bir sinyali filtrelerken evrişim ana prosedürdür.
Aşağıdaki integral olarak tanımlanırsa, periyodik olmayan f(t) ve h(t) fonksiyonlarının evrişimine h(t) fonksiyonu adını verelim:
Bu gerçeği sembolik olarak şu şekilde ifade edeceğiz.
Evrişim işlemi aşağıdaki özelliklere sahiptir.
- 1. Değişebilirlik.
Değişebilirliğin kanıtı t-t=t' değişkeni değiştirilerek elde edilebilir
- 2. İlişkisellik
Kanıt:
- 3. Dağıtıcılık
Bu özelliğin kanıtı doğrudan integrallerin doğrusal özelliklerinden kaynaklanır.
Sinyal işleme için Fourier yöntemindeki (Fourier dönüşüm formüllerinden sonra) en önemli şey evrişim teoremleridir. W yerine n frekansını kullanacağız çünkü Bu gösterimdeki evrişim teoremleri karşılıklı olarak tersinir olacaktır.
2.7 Evrişim teoremleri
Birinci evrişim teoremi.
Fonksiyonların doğrudan çarpımının Fourier dönüşümü, dönüşümlerin evrişimine eşittir
Kanıt:
O zaman olsun. Ters Fourier dönüşümünün tanımını kullanarak ve entegrasyon sırasını değiştirerek şunu elde ederiz:
Açısal frekans w açısından bu teoremin daha az evrensel bir biçimi vardır.
İkinci evrişim teoremi.
Fonksiyonların evrişiminin Fourier dönüşümü, dönüşümlerin doğrudan çarpımına eşittir.
Kanıt:
Örneğin dikdörtgen bir darbenin evrişimini düşünün
t'de f(t)=0 koşuluna göre<-T и приt>T. Benzer şekilde f(t-t)=0 için
t-t<-T и при t-t>Bağlamak. öznitelik>t+T ve öznitelik -2T'de Her iki durumu birleştirerek evrişim ifadesini elde ederiz: Böylece, dikdörtgen bir darbenin kendisiyle evrişimi üçgen bir darbe olacaktır (bazen bu fonksiyona L fonksiyonu denir). Evrişim teoremini kullanarak L fonksiyonunun Fourier dönüşümünü kolaylıkla elde edebiliriz. Pratikte fiziksel durumlar t anında sıfıra eşit fonksiyonlara karşılık gelir.<0. Это приводит к тому, что бесконечные пределы заменяются конечными. f(t) ve g(t) fonksiyonlarının evrişimini bulun Çünkü f(t)=0 att<0 и g(t-t)=0 при t-t<0,т.е. приt>T. İki f(t) ve g(t) fonksiyonunun karşılıklı korelasyon kavramını tanıtalım. burada t (-?,?) aralığında sürekli olarak değişen bir zaman kaymasıdır. Önemli bir kavram, bir fonksiyonun kendisiyle olan korelasyonudur ki buna otokorelasyon denir. Sinyal gücü ve enerji kavramını ele almaya devam edelim. Bu kavramların önemi her türlü bilgi aktarımının aslında bir enerji aktarımı olmasıyla açıklanmaktadır. Rasgele bir karmaşık f(t) sinyalini düşünün. Anlık sinyal gücü p(t) eşitlikle belirlenir Toplam enerji, sinyalin var olduğu tüm süre boyunca anlık gücün integraline eşittir: Sinyal gücü aynı zamanda frekansın bir fonksiyonu olarak da düşünülebilir. Bu durumda anlık frekans gücü şu şekilde gösterilir. Toplam sinyal enerjisi aşağıdaki formülle hesaplanır: Toplam sinyal enerjisi seçilen gösterime bağlı olmamalıdır. Zaman ve frekans gösterimlerinden hesaplanan toplam enerji değerlerinin eşleşmesi gerekir. Dolayısıyla sağ tarafları eşitleyerek eşitliği elde ederiz: Bu eşitlik, periyodik olmayan sinyaller için Parseval teoreminin içeriğini oluşturur. Bu teoremin kesin bir kanıtı “Genelleştirilmiş Fonksiyonlar” konusunu incelerken verilecektir. Benzer şekilde, iki farklı f(t) ve g(t) sinyalinin etkileşim enerjisini zaman ve frekans gösteriminde ifade ederek şunu elde ederiz: Parseval teoreminin matematiksel anlamını bulalım. Matematiksel açıdan integral, f(t) ve g(t) fonksiyonlarının skaler çarpımıdır ve (f,g) olarak gösterilir. Miktar f(t) fonksiyonunun normu olarak adlandırılır ve ile gösterilir. Bu nedenle, Parseval teoreminden, skaler çarpımın Fourier dönüşümü altında değişmez olduğu sonucu çıkar; Anlık sinyal gücü frekansın bir fonksiyonu olarak kabul edilir; , genel olarak kabul edilen başka bir isme sahiptir - güç spektrumu. Güç spektrumu, bir sinyalin frekans bileşiminin belirlenmesine olanak tanıyan spektral analizin ana matematiksel aracıdır. Sinyal güç spektrumuna ek olarak pratikte sırasıyla aşağıdaki şekilde tanımlanan genlik ve faz spektrumları da kullanılır: Sinyal güç spektrumu yoğunluğu f(t), otokorelasyon fonksiyonunun Fourier dönüşümüne eşittir Çapraz spektral sinyaller f(t) ve g(t)'nin yoğunluğu, korelasyon fonksiyonunun Fourier dönüşümüne eşittir. Her iki ifade de tek bir ifadede birleştirilebilir: Spektral yoğunluk, korelasyon fonksiyonunun Fourier dönüşümüne eşittir. Kanıt daha sonra genelleştirilmiş fonksiyon kavramı tanıtıldıktan sonra verilecektir. Fourier dönüşümü, fonksiyonları belirli bir gerçek değişkenle ilişkilendiren bir dönüşümdür. Bu işlem her farklı sesi algıladığımızda gerçekleştirilir. Kulak, bilincimizin ancak yüksek matematiğin ilgili bölümünü inceledikten sonra gerçekleştirebildiği otomatik bir "hesaplama" yapar. İnsan işitme organı, sesin (katı, sıvı veya gazlı bir ortamda dalga biçiminde yayılan elastik bir ortamda şartlandırılmış parçacıkların salınım hareketi) sıralı ses seviyeleri spektrumu şeklinde sunulması sonucunda bir dönüşüm oluşturur. Farklı yükseklikteki tonlardan. Daha sonra beyin bu bilgiyi tanıdık bir sese dönüştürür. Ses dalgalarının veya diğer salınımlı süreçlerin dönüşümü (ışık radyasyonu ve okyanus gelgitlerinden yıldız veya güneş aktivitesi döngülerine kadar) matematiksel yöntemler kullanılarak da gerçekleştirilebilir. Böylece, bu teknikleri kullanarak, salınımlı süreçleri bir dizi sinüzoidal bileşen olarak, yani bir deniz dalgası gibi minimumdan maksimuma, sonra tekrar minimuma hareket eden dalgalı eğriler olarak temsil ederek fonksiyonları genişletmek mümkündür. Fourier dönüşümü, işlevi belirli bir frekansa karşılık gelen her sinüzoidin fazını veya genliğini tanımlayan bir dönüşümdür. Faz, eğrinin başlangıç noktasını, genlik ise yüksekliğini temsil eder. Fourier dönüşümü (örnekler fotoğrafta gösterilmiştir) bilimin çeşitli alanlarında kullanılan çok güçlü bir araçtır. Bazı durumlarda ışık, termal veya elektrik enerjisinin etkisi altında ortaya çıkan dinamik süreçleri tanımlayan oldukça karmaşık denklemleri çözme aracı olarak kullanılır. Diğer durumlarda, kimya, tıp ve astronomi alanındaki çeşitli deneysel gözlemleri doğru bir şekilde yorumlayabilmeniz sayesinde karmaşık titreşim sinyallerindeki düzenli bileşenleri belirlemenize olanak tanır. Bu yöntemi ilk kullanan kişi Fransız matematikçi Jean Baptiste Fourier'dir. Daha sonra onun adıyla anılan dönüşüm, başlangıçta termal iletkenlik mekanizmasını tanımlamak için kullanıldı. Fourier tüm yetişkin yaşamını ısının özelliklerini inceleyerek geçirdi. Cebirsel denklemlerin köklerini belirleyen matematik teorisine çok büyük katkılarda bulundu. Fourier, Politeknik Okulu'nda analiz profesörü, Mısırbilim Enstitüsü sekreteriydi ve Torino'ya giden yolun inşası sırasında (liderliği altında 80 bin kilometrekareden fazla toprak) kendisini öne çıkardığı imparatorluk hizmetindeydi. sıtma bataklıkları kurutuldu). Ancak tüm bu güçlü faaliyet, bilim insanının matematiksel analizle uğraşmasını engellemedi. 1802'de katılarda ısının yayılmasını açıklayan bir denklem türetti. 1807'de bilim adamı bu denklemi çözmek için "Fourier dönüşümü" adı verilen bir yöntem keşfetti. Bilim adamı, termal iletkenlik mekanizmasını tanımlamak için matematiksel bir yöntem kullandı. Hesaplamada hiçbir zorluğun olmadığı uygun bir örnek, bir kısmı ateşe batırılmış bir demir halka boyunca termal enerjinin yayılmasıdır. Deneyleri yürütmek için Fourier bu halkanın bir kısmını kızgın bir şekilde ısıttı ve onu ince kuma gömdü. Daha sonra karşı taraftan ateş ölçümü yaptı. Başlangıçta ısı dağılımı düzensizdir: halkanın bir kısmı soğuk, diğeri sıcaktır; bu bölgeler arasında keskin bir sıcaklık farkı gözlemlenebilir. Ancak ısı metalin tüm yüzeyine yayıldıkça daha düzgün hale gelir. Yani çok geçmeden bu süreç sinüzoid şeklini alır. İlk başta grafik, tam olarak kosinüs veya sinüs fonksiyonundaki değişim yasalarına göre düzgün bir şekilde artar ve aynı şekilde düzgün bir şekilde azalır. Dalga yavaş yavaş düzleşir ve bunun sonucunda sıcaklık halkanın tüm yüzeyinde aynı hale gelir. Bu yöntemin yazarı, başlangıçtaki düzensiz dağılımın tamamen bir dizi temel sinüzoide ayrıştırılabileceğini öne sürdü. Her birinin kendi fazı (başlangıç konumu) ve kendi maksimum sıcaklığı olacaktır. Ayrıca, bu tür bileşenlerin her biri, halka etrafında tam bir tur atarak minimumdan maksimuma ve geriye doğru tam sayıda kez değişir. Bir periyoda sahip olan bileşene temel harmonik, iki veya daha fazla periyoda sahip olan değere ise ikinci denir vb. Bu nedenle maksimum sıcaklığı, fazı veya konumu tanımlayan matematiksel fonksiyona dağılım fonksiyonunun Fourier dönüşümü denir. Bilim adamı, matematiksel olarak tanımlanması zor olan tek bir bileşeni, kullanımı kolay bir araca, birlikte orijinal dağılımı veren kosinüs ve sinüs serilerine indirgedi. Bu analizi halka şeklindeki katı bir nesne yoluyla ısı yayılımının dönüşümüne uygulayan matematikçi, sinüzoidal bileşenin periyotlarının arttırılmasının hızlı zayıflamaya yol açacağını düşündü. Bu durum temel ve ikinci harmoniklerde açıkça görülmektedir. İkincisinde, sıcaklık tek geçişte iki kez maksimum ve minimum değerlere ulaşır ve ilkinde yalnızca bir kez. İkinci harmonikte ısının kat ettiği mesafenin temel harmoniktekinin yarısı kadar olacağı ortaya çıktı. Ayrıca ikincideki eğim de birinciye göre iki kat daha dik olacaktır. Sonuç olarak, daha yoğun olan ısı akışı iki kat daha kısa bir mesafe kat ettiğinden, bu harmonik, zamanın bir fonksiyonu olarak temel olandan dört kat daha hızlı bozulacaktır. Sonrakilerde bu süreç daha da hızlı ilerleyecek. Matematikçi, bu yöntemin, sıcaklığın zaman içindeki ilk dağılımı sürecini hesaplamaya izin verdiğine inanıyordu. Fourier dönüşümü algoritması o dönemde matematiğin teorik temellerine meydan okuyordu. On dokuzuncu yüzyılın başında Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre ve Biot gibi önde gelen bilim adamları, onun başlangıç sıcaklık dağılımının temel harmonik ve daha yüksek frekanslar şeklinde bileşenlere ayrıştırıldığı yönündeki açıklamasını kabul etmediler. Ancak Bilimler Akademisi, matematikçinin elde ettiği sonuçları göz ardı edemedi ve ona ısı iletimi yasalarının teorisi ve bunun fiziksel deneylerle karşılaştırılması nedeniyle bir ödül verdi. Fourier yaklaşımında ana itiraz, süreksiz fonksiyonun sürekli olan birkaç sinüzoidal fonksiyonun toplamı ile temsil edilmesi gerçeğinden kaynaklanıyordu. Sonuçta düz ve eğri çizgilerin kırılmasını anlatıyorlar. Bilim insanının çağdaşları, süreksiz fonksiyonların ikinci dereceden, doğrusal, sinüzoidal veya üstel gibi sürekli olanların bir kombinasyonu ile tanımlandığı benzer bir durumla hiç karşılaşmamıştı. Eğer matematikçi ifadelerinde haklıysa, o zaman bir trigonometrik fonksiyonun sonsuz serisinin toplamının tam bir adım fonksiyonuna indirgenmesi gerekirdi. O zamanlar böyle bir açıklama saçma görünüyordu. Ancak şüphelere rağmen bazı araştırmacılar (örneğin Claude Navier, Sophie Germain) araştırmalarının kapsamını genişletti ve konuyu termal enerjinin dağılımı analizinin ötesine taşıdı. Bu arada matematikçiler, çeşitli sinüzoidal fonksiyonların toplamının süreksiz bir fonksiyonun tam temsiline indirgenip indirgenemeyeceği sorusuyla işkence görmeye devam etti. Bu teori iki yüzyıl boyunca gelişti ve bugün nihayet oluşturuldu. Onun yardımıyla, uzaysal veya zamansal fonksiyonlar kendi frekansı, fazı ve genliği olan sinüzoidal bileşenlere ayrılır. Bu dönüşüm iki farklı matematiksel yöntemle elde edilir. Bunlardan ilki, orijinal fonksiyonun sürekli olduğu durumda, ikincisi ise birçok ayrık bireysel değişiklikle temsil edildiği durumda kullanılır. İfade, ayrı aralıklarla tanımlanan değerlerden elde edilirse, o zaman ayrı frekanslara sahip birkaç sinüzoidal ifadeye bölünebilir - en düşükten ve daha sonra ana olanın üstünde iki, üç kez vb. Bu toplam genellikle Fourier serisi olarak adlandırılır. İlk ifadeye her gerçek sayı için bir değer verilirse, bu, tüm olası frekanslardaki birkaç sinüzoide ayrıştırılabilir. Buna genellikle Fourier integrali denir ve çözüm, fonksiyonun integral dönüşümlerini ifade eder. Dönüşümün nasıl elde edildiğine bakılmaksızın, her frekans için iki sayı belirtilmelidir: genlik ve frekans. Bu değerler tek bir şekilde ifade edilir Karmaşık değişkenlerin ifadeleri Teorisi ile birlikte Fourier dönüşümü, çeşitli elektrik devrelerini tasarlarken, mekanik titreşimleri analiz ederken, dalga yayılım mekanizmasını incelerken ve daha fazlasında hesaplamaların yapılmasını mümkün kıldı. Günümüzde bu sürecin incelenmesi esas olarak bir işlevden dönüştürülmüş biçimine ve geri dönüşümüne yönelik etkili yöntemlerin bulunmasına indirgenmektedir. Bu çözüme doğrudan ve ters Fourier dönüşümü denir. Bu ne anlama geliyor? Doğrudan Fourier dönüşümünü gerçekleştirmek için matematiksel yöntemleri kullanabileceğiniz gibi analitik yöntemleri de kullanabilirsiniz. Pratikte kullanıldığında bazı zorluklar ortaya çıkmasına rağmen, çoğu integral zaten bulunmuş ve matematik referans kitaplarına dahil edilmiştir. Sayısal yöntemler kullanarak formu deneysel verilere dayanan ifadeleri veya integralleri tablolarda yer almayan ve analitik formda sunulması zor olan fonksiyonları hesaplayabilirsiniz. Bilgisayar teknolojisinin ortaya çıkmasından önce, bu tür dönüşümlerin hesaplamaları çok sıkıcıydı; dalga fonksiyonunu tanımlayan noktaların sayısına bağlı olan çok sayıda aritmetik işlemin manuel olarak yürütülmesini gerektiriyordu. Hesaplamaları kolaylaştırmak için bugün yenilerinin uygulanmasını mümkün kılan özel programlar var. Böylece 1965'te James Cooley ve John Tukey "hızlı Fourier dönüşümü" olarak bilinen yazılımı yarattılar. Bir eğriyi analiz ederken çarpma sayısını azaltarak hesaplama süresinden tasarruf etmenizi sağlar. Hızlı Fourier Dönüşümü yöntemi, bir eğriyi çok sayıda tekdüze örnek değere bölmeye dayanır. Buna göre puan sayısında aynı azalma ile çarpma sayısı yarıya indirilir. Bu süreç bilimin çeşitli alanlarında kullanılmaktadır: fizik, sinyal işleme, kombinatorik, olasılık teorisi, kriptografi, istatistik, oşinoloji, optik, akustik, geometri ve diğerleri. Uygulamasının zengin olanakları, "Fourier dönüşümünün özellikleri" olarak adlandırılan bir dizi kullanışlı özelliğe dayanmaktadır. Şimdi onlara bakalım. 1. Fonksiyon dönüşümü doğrusal bir operatördür ve uygun normalizasyonla üniterdir. Bu özellik Parseval teoremi veya genel durumda Plancherel teoremi veya Pontryagin düalizmi olarak bilinir. 2. Dönüşüm tersine çevrilebilir. Üstelik ters sonuç, doğrudan çözümle hemen hemen aynı forma sahiptir. 3. Sinüzoidal temel ifadeler kendilerine ait farklılaştırılmış fonksiyonlardır. Bu, böyle bir temsilin sabit bir faktörle sıradan cebirsel temsillere dönüştüğü anlamına gelir. 4. Evrişim teoremine göre bu süreç karmaşık bir işlemi basit bir çarpma işlemine dönüştürür. 5. Ayrık Fourier dönüşümü, "hızlı" yöntem kullanılarak bilgisayarda hızlı bir şekilde hesaplanabilir. 1. Çoğu zaman bu terim, belirli açısal frekanslara ve genliklere sahip karmaşık üstel ifadelerin toplamı olarak kareyle integrallenebilir herhangi bir ifadeyi sağlayan sürekli bir dönüşümü belirtmek için kullanılır. Bu türün sabit katsayılarda farklılık gösterebilen birkaç farklı formu vardır. Sürekli yöntem, matematik referans kitaplarında bulunabilecek bir dönüşüm tablosu içerir. Genelleştirilmiş bir durum, belirli bir sürecin gerekli gerçek güce yükseltilebildiği kesirli bir dönüşümdür. 2. Sürekli yöntem, sınırlı bir bölgede bulunan çeşitli periyodik işlevler veya ifadeler için tanımlanan ve bunları sinüzoid dizileri olarak temsil eden Fourier serilerinin önceki tekniğinin bir genellemesidir. 3. Ayrık Fourier dönüşümü. Bu yöntem bilgisayar teknolojisinde bilimsel hesaplamalar ve dijital sinyal işleme için kullanılır. Bu tür hesaplamaları gerçekleştirmek için sürekli Fourier integralleri yerine ayrık bir küme üzerinde tek tek noktaları, periyodik veya sınırlı alanları tanımlayan fonksiyonlara sahip olmak gerekir. Bu durumda sinyal dönüşümü sinüzoidlerin toplamı olarak temsil edilir. Aynı zamanda “hızlı” yöntemin kullanılması, herhangi bir pratik problem için ayrık çözümlerin kullanılmasına olanak tanır. 4. Pencereli Fourier dönüşümü klasik yöntemin genelleştirilmiş bir şeklidir. Standart çözümden farklı olarak, belirli bir değişkenin tüm varoluş aralığını kapsayan bir çözüm kullanıldığında, orijinal değişkenin (zaman) korunması koşuluyla burada yalnızca yerel frekans dağılımı özellikle ilgi çekicidir. 5. İki boyutlu Fourier dönüşümü. Bu yöntem iki boyutlu veri dizileriyle çalışmak için kullanılır. Bu durumda dönüşüm önce bir yönde, sonra diğer yönde gerçekleştirilir. Bugün Fourier yöntemi bilimin çeşitli alanlarında sağlam bir şekilde yerleşmiştir. Örneğin, 1962'de DNA çift sarmalının şekli, Fourier analizi kullanılarak, ikincisi DNA liflerinin kristallerine odaklanarak keşfedildi ve bunun sonucunda radyasyon kırınımıyla elde edilen görüntü filme kaydedildi. Bu resim, belirli bir kristal yapıya Fourier dönüşümü kullanıldığında genlik değeri hakkında bilgi sağladı. Faz verileri, DNA'nın kırınım haritasının benzer kimyasal yapıların analiz edilmesiyle elde edilen haritalarla karşılaştırılmasıyla elde edildi. Sonuç olarak biyologlar, orijinal işlevi olan kristal yapıyı restore ettiler. Fourier dönüşümleri uzay araştırmalarında, yarı iletken ve plazma fiziğinde, mikrodalga akustiğinde, oşinografide, radarda, sismolojide ve tıbbi muayenelerde büyük bir rol oynamaktadır. Fourier dönüşümü gibi harika bir matematik aracının varlığını genel olarak herkesin bildiğine inanıyorum. Ancak bazı nedenlerden dolayı üniversitelerde o kadar zayıf öğretiliyor ki, nispeten az sayıda insan bu dönüşümün nasıl çalıştığını ve nasıl doğru kullanılması gerektiğini anlıyor. Bu arada bu dönüşümün matematiği şaşırtıcı derecede güzel, basit ve zariftir. Herkesi Fourier dönüşümü ve analog sinyallerin hesaplamalı işleme için etkili bir şekilde dijital sinyallere nasıl dönüştürülebileceğiyle ilgili konu hakkında biraz daha fazlasını öğrenmeye davet ediyorum. Karmaşık formüller ve Matlab kullanmadan aşağıdaki soruları cevaplamaya çalışacağım: Okuyucunun bir integralin ne olduğunu, karmaşık bir sayıyı (modülü ve argümanının yanı sıra), fonksiyonların evrişimini ve ayrıca Dirac delta fonksiyonunun ne olduğuna dair en azından "uygulamalı" bir fikri anladığı varsayımından yola çıkacağım. öyle. Bilmiyorsanız sorun değil, yukarıdaki bağlantıları okuyun. Bu metin boyunca "fonksiyonların çarpımı" derken "noktasal çarpma"yı kastedeceğim Muhtemelen alışılagelmiş Fourier dönüşümünün, isminden de tahmin edebileceğiniz gibi, bir fonksiyonu diğerine dönüştüren, yani x(t) gerçek değişkeninin her fonksiyonunu kendi fonksiyonuyla ilişkilendiren bir tür şey olduğu gerçeğiyle başlamalıyız. spektrum veya Fourier görüntüsü y (w): Analojiler verirsek, anlam bakımından benzer bir dönüşümün örneği, örneğin farklılaşma, bir fonksiyonun türevine dönüştürülmesi olabilir. Yani, Fourier dönüşümü esasen türev alma işlemiyle aynı işlemdir ve genellikle fonksiyonun üzerine üçgen bir "başlık" çizilerek benzer şekilde gösterilir. Fourier dönüşümü, gerçel sayılar için de tanımlanabilen farklılaşmanın tersine, daha genel karmaşık sayılarla her zaman "çalışır". Bu nedenle, karmaşık sayılar bir değil, gerçek sayılarla çalışan bir grafikteki iki koordinat tarafından belirlendiğinden, bu dönüşümün sonuçlarının görüntülenmesinde sürekli sorunlar ortaya çıkar. Kural olarak en uygun yol, karmaşık sayıları bir modül ve bir argüman biçiminde temsil etmek ve bunları iki ayrı grafik olarak ayrı ayrı çizmektir: Karmaşık değer argümanının grafiğine bu durumda sıklıkla "faz spektrumu" adı verilir ve modülün grafiğine genellikle "genlik spektrumu" denir. Genlik spektrumu genellikle daha fazla ilgi çeker ve bu nedenle spektrumun "faz" kısmı sıklıkla atlanır. Bu yazımızda “genlik” konusuna da odaklanacağız ancak grafiğin eksik faz kısmının varlığını da unutmamak gerekiyor. Ek olarak, karmaşık bir değerin olağan modülü yerine, genellikle 10 ile çarpılan ondalık logaritması çizilir ve sonuç, değerleri desibel (dB) cinsinden görüntülenen logaritmik bir grafiktir. Logaritmik grafikte çok negatif olmayan sayıların (-20 dB veya daha az) “normal” grafikte neredeyse sıfır sayıya karşılık geldiğini lütfen unutmayın. Bu nedenle, bu tür grafiklerdeki çeşitli spektrumların uzun ve geniş "kuyrukları", kural olarak "sıradan" koordinatlarda görüntülendiğinde pratikte ortadan kaybolur. İlk bakışta bu kadar garip bir gösterimin rahatlığı, çeşitli işlevlere ait Fourier görüntülerinin çoğu zaman kendi aralarında çoğaltılmasının gerekmesinden kaynaklanmaktadır. Karmaşık değerli Fourier görüntülerinin bu şekilde noktasal olarak çoğaltılmasıyla, bunların faz spektrumları eklenir ve genlik spektrumları çarpılır. Birincisini yapmak kolaydır, ikincisi ise nispeten zordur. Bununla birlikte, genliklerin logaritmaları genlikler çarpıldığında toplanır, bu nedenle logaritmik genlik grafikleri, faz grafikleri gibi basitçe noktasal olarak toplanabilir. Ek olarak, pratik problemlerde sinyalin "genliği" ile değil "gücü" (genliğin karesi) ile çalışmak genellikle daha uygundur. Logaritmik ölçekte, her iki grafik de (genlik ve güç) aynı görünür ve yalnızca katsayı bakımından farklılık gösterir - güç grafiğindeki tüm değerler, genlik ölçeğindeki değerlerin tam olarak iki katı kadar büyüktür. Buna göre, güç dağılımını frekansa göre (desibel cinsinden) çizmek için hiçbir şeyin karesini alamazsınız, ancak ondalık logaritmayı hesaplayıp 20 ile çarpabilirsiniz. Sıkıldın mı? Biraz daha bekleyin, yazının grafiklerin nasıl yorumlanacağını anlatan sıkıcı kısmını yakında bitireceğiz :). Ancak bundan önce anlaşılması gereken son derece önemli bir şey var: Yukarıdaki spektrum grafiklerinin tümü bazı sınırlı değer aralıkları (özellikle pozitif sayılar) için çizilmiş olsa da, bu grafiklerin tümü aslında artı ve eksi sonsuzluğa devam ediyor. Grafikler, genellikle parametrenin negatif değerleri için yansıtılan ve daha büyük ölçekte görüntülendiğinde belirli bir adımla periyodik olarak tekrarlanan grafiğin bazı "en anlamlı" kısımlarını basitçe gösterir. Grafiklerde neyin çizildiğine karar verdikten sonra Fourier dönüşümünün kendisine ve özelliklerine dönelim. Bu dönüşümü tanımlamanın, küçük ayrıntılarda farklılık gösteren (farklı normalleştirmeler) birkaç farklı yolu vardır. Örneğin üniversitelerimizde spektrumu açısal frekans (saniyedeki radyan) cinsinden tanımlayan Fourier dönüşümünün normalizasyonunu sıklıkla kullanıyorlar. Spektrumu sıradan frekans (hertz) cinsinden tanımlayan daha uygun bir Batı formülasyonu kullanacağım. Bu durumda doğrudan ve ters Fourier dönüşümleri soldaki formüllerle belirlenir ve bu dönüşümün ihtiyaç duyacağımız bazı özellikleri sağdaki yedi noktadan oluşan bir listeyle belirlenir: Bu özelliklerden ilki doğrusallıktır. Fonksiyonların bazı doğrusal kombinasyonlarını alırsak, bu kombinasyonun Fourier dönüşümü, bu fonksiyonların Fourier görüntülerinin aynı doğrusal kombinasyonu olacaktır. Bu özellik, karmaşık fonksiyonların ve bunların Fourier görüntülerinin daha basit olanlara indirgenmesine olanak tanır. Örneğin, frekansı f ve genliği a olan sinüzoidal bir fonksiyonun Fourier dönüşümü, f ve -f noktalarında bulunan ve a/2 katsayısına sahip iki delta fonksiyonunun birleşimidir: Farklı frekanslara sahip bir dizi sinüzoidin toplamından oluşan bir fonksiyon alırsak, o zaman doğrusallık özelliğine göre, bu fonksiyonun Fourier dönüşümü karşılık gelen bir delta fonksiyonları setinden oluşacaktır. Bu, "bir fonksiyonun spektrumunda frekans f, a genliğine karşılık geliyorsa, o zaman orijinal fonksiyon, biri şu şekilde olacak olan sinüzoidlerin toplamı olarak temsil edilebilir" ilkesine göre spektrumun naif ama görsel bir yorumunu vermemize olanak tanır. frekansı f ve genliği 2a olan bir sinüzoid.” Kesin olarak konuşursak, bu yorum yanlıştır, çünkü delta fonksiyonu ve grafikteki nokta tamamen farklı şeylerdir, ancak daha sonra göreceğimiz gibi, ayrık Fourier dönüşümleri için gerçeklerden o kadar da uzak olmayacaktır. Fourier dönüşümünün ikinci özelliği, genlik spektrumunun sinyalin zaman kaymasından bağımsız olmasıdır. Bir fonksiyonu x ekseni boyunca sola veya sağa hareket ettirirsek yalnızca faz spektrumu değişecektir. Üçüncü özellik, orijinal fonksiyonun zaman ekseni (x) boyunca uzatılmasının (sıkıştırılmasının), Fourier görüntüsünü frekans ölçeği (w) boyunca orantılı olarak sıkıştırmasıdır (uzatmasıdır). Özellikle, sonlu süreli bir sinyalin spektrumu her zaman sonsuz genişliktedir ve bunun tersine, sonlu genişlikteki spektrum her zaman sınırsız süreli bir sinyale karşılık gelir. Dördüncü ve beşinci özellikler belki de en kullanışlı olanlardır. Fonksiyonların evrişimini Fourier görüntülerinin noktasal çarpımına ve bunun tersini, yani fonksiyonların noktasal çarpımını Fourier görüntülerinin evrişimine indirgemeyi mümkün kılarlar. Biraz ileride bunun ne kadar kullanışlı olduğunu göstereceğim. Altıncı özellik Fourier görüntülerinin simetrisinden bahseder. Özellikle, bu özellikten, gerçek değerli bir fonksiyonun (yani herhangi bir "gerçek" sinyalin) Fourier dönüşümünde genlik spektrumunun her zaman çift bir fonksiyon olduğu ve faz spektrumunun (eğer -pi aralığına getirilirse) olduğu sonucu çıkar. ...pi) tuhaf bir şey. Bu nedenle spektrumun negatif kısmı neredeyse hiçbir zaman spektrum grafiklerinde çizilmez; gerçek değerli sinyaller için herhangi bir yeni bilgi sağlamaz (ancak tekrar ediyorum, sıfır da değildir). Son olarak, son yedinci özellik, Fourier dönüşümünün sinyalin "enerjisini" koruduğunu söylüyor. Yalnızca enerjisi sonlu olan sonlu süreli sinyaller için anlamlıdır ve bu tür sinyallerin spektrumunun sonsuzda hızla sıfıra yaklaştığını öne sürer. Tam olarak bu özellik nedeniyle spektrum grafikleri genellikle sinyalin yalnızca enerjiden aslan payını taşıyan "ana" kısmını gösterir - grafiğin geri kalanı basitçe sıfıra eğilimlidir (ancak yine sıfır değildir). Bu 7 özellikle donanmış olarak, sürekli bir sinyali bir sayı dizisine dönüştürmemize olanak tanıyan sinyal "sayısallaştırma" matematiğine bakalım. Bunu yapmak için “Dirac tarağı” olarak bilinen bir işlevi almamız gerekiyor: Bir Dirac tarağı, sıfırdan başlayıp T adımıyla devam eden, birlik katsayılı delta fonksiyonlarının periyodik bir dizisidir. Sinyallerin sayısallaştırılması için T, mümkün olduğu kadar küçük bir sayı olarak seçilir, T<<1. Фурье-образ этой функции - тоже гребенка Дирака, только с гораздо большим шагом 1/T и несколько меньшим коэффициентом (1/T). С математической точки зрения, дискретизация сигнала по времени - это просто поточечное умножение исходного сигнала на гребенку Дирака. Значение 1/T при этом называют частотой дискретизации: Sürekli bir fonksiyon yerine, böyle bir çarpma sonrasında belirli bir yükseklikte bir dizi delta darbesi elde edilir. Ayrıca, Fourier dönüşümünün 5. özelliğine göre, elde edilen ayrık sinyalin spektrumu, orijinal spektrumun karşılık gelen Dirac tarağı ile bir evrişimidir. Evrişimin özelliklerine dayanarak, orijinal sinyalin spektrumunun, frekans ekseni boyunca 1/T'lik bir adımla sonsuz sayıda "kopyalandığını" ve sonra toplandığını anlamak kolaydır. Orijinal spektrumun sonlu bir genişliği varsa ve yeterince yüksek bir örnekleme frekansı kullandıysak, orijinal spektrumun kopyalarının üst üste gelmeyeceğini ve bu nedenle birbirleriyle toplanmayacağını unutmayın. Böyle "çökmüş" bir spektrumdan orijinali geri yüklemenin kolay olacağını anlamak kolaydır - spektrum bileşenini sıfır bölgesinde almak, sonsuza giden ekstra kopyaları "kesmek" yeterli olacaktır. Bunu yapmanın en basit yolu, spektrumu -1/2T...1/2T aralığında T'ye ve bu aralığın dışında sıfıra eşit dikdörtgen bir fonksiyonla çarpmaktır. Böyle bir Fourier dönüşümü sinc(Tx) fonksiyonuna karşılık gelir ve özellik 4'e göre böyle bir çarpma, delta fonksiyonlarının orijinal dizisinin sinc(Tx) fonksiyonu ile evrişimine eşdeğerdir. Yani, Fourier dönüşümünü kullanarak, orijinal sinyali zaman örneklenmiş bir sinyalden kolayca yeniden yapılandırmanın bir yoluna sahibiz; bu, en az iki katı bir örnekleme frekansı kullanmamız koşuluyla çalışır (spektrumdaki negatif frekansların varlığı nedeniyle). orijinal sinyalde mevcut olan maksimum frekanstan daha yüksektir. Bu sonuç yaygın olarak bilinmektedir ve “Kotelnikov/Shannon-Nyquist teoremi” olarak adlandırılmaktadır. Ancak artık fark edilmesi kolay olduğundan (kanıtın anlaşılması), bu sonuç, yaygın yanılgıların aksine, yeterli, ama değil gerekli Orijinal sinyali geri yükleme koşulu. İhtiyacımız olan tek şey, sinyali örnekledikten sonra spektrumun bizi ilgilendiren kısmının birbiriyle örtüşmemesini sağlamak ve eğer sinyal yeterince dar bant ise (spektrumun sıfır olmayan kısmının küçük bir "genişliğine" sahipse), bu durumda bu sonuç genellikle sinyalin maksimum frekansının iki katından çok daha düşük bir örnekleme frekansında elde edilebilir. Bu tekniğe "alt örnekleme" (alt örnekleme, bant geçiren örnekleme) denir ve her türlü radyo sinyalinin işlenmesinde oldukça yaygın olarak kullanılır. Örneğin, 88 ila 108 MHz frekans bandında çalışan bir FM radyoyu alırsak, onu dijitalleştirmek için Kotelnikov teoreminin varsaydığı 216 MHz yerine yalnızca 43,5 MHz frekansına sahip bir ADC kullanabiliriz. Ancak bu durumda yüksek kaliteli bir ADC'ye ve iyi bir filtreye ihtiyacınız olacaktır. Yüksek frekansların daha düşük frekanslarla "çoğaltılmasının" (takma ad), sonucu geri dönülemez şekilde "bozan" sinyal örneklemenin doğrudan bir özelliği olduğunu belirtmeme izin verin. Bu nedenle, eğer sinyal prensip olarak yüksek dereceli frekanslar içeriyorsa (yani neredeyse her zaman), ADC'nin önüne bir analog filtre yerleştirilir ve gereksiz her şey doğrudan orijinal sinyalde "kesilir" (çünkü örneklemeden sonra) bunu yapmak için çok geç olacak). Analog cihazlar olarak bu filtrelerin özellikleri ideal değildir, bu nedenle sinyalde bir miktar "hasar" meydana gelir ve pratikte bundan spektrumdaki en yüksek frekansların kural olarak güvenilmez olduğu sonucu çıkar. Bu sorunu azaltmak için, sinyal genellikle aşırı örneklenir, giriş analog filtresi daha düşük bir bant genişliğine ayarlanır ve ADC'nin teorik olarak mevcut frekans aralığının yalnızca alt kısmı kullanılır. Bu arada bir diğer yaygın yanılgı da DAC çıkışındaki sinyalin "adımlar" halinde çekilmesidir. "Adımlar", T genişliğinde ve 1 yüksekliğinde dikdörtgen bir fonksiyona sahip örneklenmiş bir sinyal dizisinin evrişimine karşılık gelir: Bu dönüşümün sinyal spektrumu, bu dikdörtgen fonksiyonun Fourier görüntüsü ile çarpılır ve benzer bir dikdörtgen fonksiyon için yine sinc(w) olur, karşılık gelen dikdörtgenin genişliği ne kadar fazla olursa "uzar". Böyle bir “DAC” ile örneklenen sinyalin spektrumu bu spektrum ile nokta nokta çarpılır. Bu durumda, spektrumun "ekstra kopyalarına" sahip gereksiz yüksek frekanslar tamamen kesilmez, aksine spektrumun "yararlı" kısmının üst kısmı zayıflatılır. Pratikte elbette bunu kimse yapmıyor. Bir DAC oluşturmak için birçok farklı yaklaşım vardır, ancak anlam olarak ağırlıklandırma tipi bir DAC'ye en yakın olsa bile, DAC'deki dikdörtgen darbeler, tam tersine, mümkün olduğu kadar kısa olacak şekilde seçilir (deltanın gerçek dizisine yaklaşık olarak). Spektrumun yararlı kısmının aşırı bastırılmasını önlemek için işlevler). Ortaya çıkan geniş bant sinyalindeki "ekstra" frekanslar, sinyalin bir analog alçak geçiş filtresinden geçirilmesiyle neredeyse her zaman iptal edilir, böylece dönüştürücünün "içinde" veya özellikle çıkışında "dijital adımlar" olmaz. Ancak Fourier dönüşümüne geri dönelim. Önceden örneklenmiş bir sinyal dizisine uygulanan yukarıda açıklanan Fourier dönüşümüne Ayrık Zamanlı Fourier Dönüşümü (DTFT) adı verilir. Böyle bir dönüşümle elde edilen spektrum her zaman 1/T-periyodiktir, dolayısıyla DTFT spektrumu tamamen dt = aralığındaki değerleri ile belirlenir. = (1/2p)s(t)H(w") exp(-j(w-w")t) dw"dt = (1/2p)H(w") dw"s(t) exp(-j(w-w")t) dt = = (1/2p)H(w") S(w-w") dw" = (1/2p) H(w) * S(w). (4.29) Böylece, Koordinat formundaki fonksiyonların çarpımı, bu fonksiyonların Fourier görüntülerinin evrişimi yoluyla frekans temsilinde görüntülenir, açısal frekanslar kullanılırken s(t) ve h(t) fonksiyonlarının doğrudan ve ters Fourier dönüşümlerinin asimetrisini hesaba katan normalleştirme faktörü (1/2p) ile .
9. Evrişim türevi iki fonksiyon s"(t) = d/dt. (4.26) ve (4.28) ifadelerini kullanarak şunu elde ederiz: s"(t) = jw = (jw X(w)) Y(w) = X(w) (jw Y(w). s"(t) = x"(t) * y(t) = x(t) * y"(t). Bu ifade, bir sinyalin türevini hesaplamanıza olanak tanırken aynı anda onu bir yumuşatma fonksiyonunun türevi olan bir ağırlıklandırma fonksiyonuyla (örneğin bir Gaussian) yumuşatır.
10. Güç spektrumları.
Genel formda sinyal gücünün zaman fonksiyonu şu ifadeyle belirlenir: w(t) = s(t) s * (t) = |s(t)| 2. Buna göre spektral güç yoğunluğu, s(t) s * (t) çarpımının Fourier dönüşümüne eşittir; bu, bu fonksiyonların Fourier görüntülerinin evrişimi ile spektral temsilde gösterilecektir: W(f) = S(f) * S * (f) =S(f) S * (f-v) dv. (4.30) Ancak f frekansının tüm mevcut değerleri için, bu ifadenin sağ tarafındaki integral S(f)·S * (f) çarpımına eşittir, çünkü v ≠ 0 kaymasının tüm değerleri için, S(f) ve S*(f-v) harmoniklerinin ortogonalliğine göre bunların çarpımları sıfıra eşittir. Buradan: W(f) = S(f) * S * (f) = |S(f)| 2. (4.31) Güç spektrumu, genellikle enerji spektrumu olarak adlandırılan, negatif olmayan gerçek bir fonksiyondur. Güç spektrumu, sinyal spektrumunun modülünün karesi olarak frekans bileşenleri hakkında faz bilgisi içermez ve bu nedenle sinyalin güç spektrumundan yeniden oluşturulması imkansızdır. Bu aynı zamanda farklı faz özelliklerine sahip sinyallerin aynı güç spektrumuna sahip olabileceği anlamına da gelir. Özellikle sinyal kayması güç spektrumuna yansımaz. Frekans alanındaki sinyal etkileşim güç fonksiyonları için buna göre sinyal etkileşim güç frekans spektrumlarına sahibiz: W xy (f) = X(f) Y*(f), W yx (f) = Y(f) X*(f), W xy (f) = W* yx (f) Sinyal etkileşimi güç fonksiyonları, Re'nin çift fonksiyon ve Im'in tek fonksiyon olduğu x(t) ve y(t) fonksiyonlarının her ikisi de gerçek olsa bile karmaşıktır. Bu nedenle, etkileşim gücü fonksiyonlarının entegrasyonu sırasında sinyal etkileşiminin toplam enerjisi, yalnızca spektrumun gerçek kısmı tarafından belirlenir: X(f) Y*(f) df. Parseval eşitliğinden, sinyallerin skaler çarpımının ve Fourier dönüşümüne göre normun değişmez olduğu sonucu çıkar: áx(t),y(t)ñ = áX(f),Y(f)ñ, ||x(t)|| 2 = ||X(f)|| 2. Spektrumları dairesel frekanslarda (w cinsinden) temsil ederken verilen eşitliklerin sağ tarafının 1/2p faktörünü içermesi gerektiğini unutmamalıyız.
Matematiksel Fourier dönüşümü
Tarihsel arka plan
Termal iletkenlik analizi
Analizin özü
Çağdaşlara meydan okuma
200 yıllık tarih
Bugün Fourier dönüşümü
Fourier dönüşümünü uygulama
Fourier dönüşümünün çeşitleri
Çözüm
