T. Denge türleri

Bir cismin gerçek koşullardaki davranışını yargılamak için onun dengede olduğunu bilmek yeterli değildir. Yine de bu dengeyi değerlendirmemiz gerekiyor. Kararlı, kararsız ve kayıtsız dengeler vardır.

Vücudun dengesine denir sürdürülebilir, eğer ondan saparken, vücudu denge pozisyonuna döndüren kuvvetler ortaya çıkarsa (Şekil 1, konum 2). Kararlı dengede, vücudun ağırlık merkezi tüm yakındaki konumların en altında yer alır. Kararlı denge konumu, vücudun tüm yakın komşu konumlarına göre minimum potansiyel enerji ile ilişkilidir.

Vücudun dengesine denir dengesiz, eğer ondan en ufak bir sapma ile, vücuda etki eden kuvvetlerin sonucu, vücudun denge konumundan daha fazla sapmasına neden oluyorsa (Şekil 1, konum 1). Kararsız bir denge konumunda ağırlık merkezinin yüksekliği maksimumdur ve vücudun diğer yakın konumlarına göre potansiyel enerji maksimumdur.

Bir cismin herhangi bir yöne doğru yer değiştirmesinin, ona etki eden kuvvetlerde bir değişikliğe neden olmadığı ve cismin dengesinin korunduğu duruma denge denir. kayıtsız(Şekil 1 konum 3).

Kayıtsız denge, tüm yakın durumların sabit potansiyel enerjisiyle ilişkilidir ve ağırlık merkezinin yüksekliği, yeterince yakın tüm konumlarda aynıdır.

Dönme eksenine sahip bir cisim (örneğin, Şekil 2'de gösterilen O noktasından geçen bir eksen etrafında dönebilen tekdüze bir cetvel), cismin ağırlık merkezinden geçen dikey bir düz çizginin O noktasından geçmesi durumunda dengededir. dönme ekseni. Ayrıca, C ağırlık merkezi dönme ekseninden daha yüksekse (Şekil 2.1), o zaman denge konumundan herhangi bir sapma ile potansiyel enerji azalır ve O eksenine göre yerçekimi momenti, vücudu daha da saptırır. denge konumu. Bu istikrarsız bir denge durumudur. Ağırlık merkezi dönme ekseninin altındaysa (Şekil 2.2), denge stabildir. Ağırlık merkezi ile dönme ekseni çakışırsa (Şekil 2,3), denge konumu kayıtsızdır.

Bir destek alanına sahip bir vücut, eğer vücudun ağırlık merkezinden geçen dikey çizgi bu vücudun destek alanının ötesine geçmiyorsa dengededir; Bu durumda denge, yalnızca ağırlık merkezi ile destek arasındaki mesafeye (yani, Dünya'nın yerçekimi alanındaki potansiyel enerjisine) bağlı değildir. aynı zamanda bu vücudun destek alanının yeri ve büyüklüğü ile de ilgilidir.

Şekil 2 silindir şeklinde bir gövdeyi göstermektedir. Küçük bir açıyla eğilirse orijinal konumu 1 veya 2'ye dönecektir. Belirli bir açıyla eğilirse (konum 3) gövde devrilecektir. Belirli bir kütle ve destek alanı için, bir cismin stabilitesi daha yüksektir, ağırlık merkezi ne kadar alçaksa, yani. Vücudun ağırlık merkezini birleştiren düz çizgi ile destek alanının yatay düzlemle en uç temas noktası arasındaki açı o kadar küçük olur.

Denge, sisteme etki eden kuvvetlerin birbirleriyle dengede olduğu bir sistem durumudur. Denge kararlı, kararsız veya kayıtsız olabilir.

Denge kavramı doğa bilimlerindeki en evrensel kavramlardan biridir. İster bir yıldızın etrafında sabit yörüngelerde hareket eden gezegenlerden oluşan bir sistem, ister bir atol lagünündeki tropikal balık popülasyonu olsun, herhangi bir sistem için geçerlidir. Ancak bir sistemin denge durumu kavramını anlamanın en kolay yolu mekanik sistemler örneğidir. Mekanikte, bir sisteme etki eden tüm kuvvetler birbiriyle tamamen dengedeyse, yani birbirini iptal ediyorsa, sistemin dengede olduğu kabul edilir. Bu kitabı okuyorsanız, örneğin bir sandalyede oturuyorsanız, o zaman bir denge durumundasınız demektir, çünkü sizi aşağı çeken yerçekimi kuvveti, sandalyenin vücudunuza uyguladığı basınç kuvveti ile tamamen telafi edilir. altüst. Denge halinde olduğunuz için ne düşersiniz ne de yükselirsiniz.

Üç fiziksel duruma karşılık gelen üç tür denge vardır.

Kararlı denge

Çoğu insanın genellikle “denge”den anladığı şey budur. Küresel bir kabın dibinde bir top hayal edin. Dinlenme halindeyken, Dünya'nın yerçekimi çekiminin hareketinin, kesinlikle yukarıya doğru yönlendirilen desteğin tepki kuvveti ile dengelendiği ve tıpkı siz sandalyenizde dinlenirken topun orada durduğu kasenin tam olarak merkezinde bulunur. . Topu merkezden uzağa doğru hareket ettirirseniz, yanlara ve kasenin kenarına doğru yuvarlarsanız, serbest bırakır bırakmaz, hemen kasenin ortasındaki en derin noktaya - yönünde - geri koşacaktır. kararlı denge konumu.

Sandalyede oturan siz, vücudunuz ve sandalyeden oluşan sistemin stabil bir denge halinde olması nedeniyle dinlenme halindesiniz. Bu nedenle, bu sistemin bazı parametreleri değiştiğinde - örneğin ağırlığınız arttığında, örneğin kucağınıza bir çocuk oturduğunda - maddi bir nesne olan sandalyenin konfigürasyonu öyle bir değişecektir ki, destek reaksiyonu artar - ve istikrarlı bir denge konumunda kalırsınız (olabilecek en fazla şey, altınızdaki yastığın biraz daha derine batmasıdır).

Doğada çeşitli sistemlerde (sadece mekanik sistemlerde değil) kararlı dengenin birçok örneği vardır. Örneğin bir ekosistemdeki avcı-av ilişkisini düşünün. Yırtıcı hayvanların ve kurbanlarının kapalı popülasyonlarının sayısının oranı hızla bir denge durumuna gelir - ormanda yıldan yıla o kadar çok tavşan var ki, göreceli olarak konuşursak, sürekli olarak o kadar çok tilki var. Herhangi bir nedenle avın popülasyon büyüklüğü keskin bir şekilde değişirse (örneğin tavşan doğum oranındaki artış nedeniyle), yırtıcı hayvanların sayısındaki hızlı artış nedeniyle ekolojik denge çok yakında yeniden kurulacaktır. Tavşan sayısı normale dönene ve açlıktan ölmeye başlayana kadar tavşanları hızlandırılmış bir hızla yok etmek, kendi popülasyonlarını normale döndürmek, bunun sonucunda hem tavşan hem de tilki popülasyon sayıları geri dönecek tavşanlar arasındaki doğum oranındaki artıştan önce gözlemlenen normla aynı. Yani, istikrarlı bir ekosistemde, sistem bundan saparsa sistemi istikrarlı bir denge durumuna döndürmeye çalışan iç güçler de (kelimenin fiziksel anlamında olmasa da) çalışır.

Benzer etkiler ekonomik sistemlerde de gözlemlenebilir. Bir ürünün fiyatındaki keskin bir düşüş, pazarlık avcılarının talebinde bir artışa, ardından envanterde bir azalmaya ve bunun sonucunda fiyatta bir artışa ve ürüne olan talebin düşmesine neden olur ve sistem geri dönene kadar bu böyle devam eder. arz ve talep arasında istikrarlı bir fiyat dengesi durumuna. (Doğal olarak, hem ekolojik hem de ekonomik gerçek sistemlerde, sistemi denge durumundan saptıracak dış faktörler etkili olabilir - örneğin tilkilerin ve/veya tavşanların mevsimsel olarak vurulması veya hükümetin fiyat düzenlemeleri ve/veya tüketim kotaları. Bu tür bir müdahale, denge kayması, bunun mekanikteki benzeri örneğin bir kasenin deformasyonu veya eğilmesi olabilir.)

Kararsız denge

Ancak her denge istikrarlı değildir. Bir bıçağın üzerinde dengede duran bir top hayal edin. Bu durumda kesinlikle aşağıya doğru yönlendirilen yerçekimi kuvvetinin, yukarıya doğru yönlendirilen destek reaksiyonunun kuvveti ile de tamamen dengelendiği açıktır. Ancak topun merkezi, bıçak hattı üzerinde bulunan dinlenme noktasından bir milimetre bile saptığında (ve bunun için zayıf bir kuvvet etkisi yeterlidir), denge anında bozulacak ve topun dengesi bozulacaktır. yer çekimi kuvveti topu giderek ondan daha uzağa sürüklemeye başlayacaktır.

Dengesiz doğal dengeye bir örnek, küresel ısınma dönemleri yeni buzul çağlarıyla dönüşümlü olduğunda ve bunun tersi olduğunda Dünya'nın ısı dengesidir ( santimetre. Milankovitch döngüleri). Gezegenimizin ortalama yıllık yüzey sıcaklığı, yüzeye ulaşan toplam güneş ışınımı ile Dünya'nın uzaya doğru toplam termal ışınımı arasındaki enerji dengesi tarafından belirlenmektedir. Bu ısı dengesi şu şekilde kararsız hale gelir. Bazı kışlar normalden daha fazla kar yağar. Gelecek yaz fazla karı eritmeye yetecek kadar ısı olmayacak ve ayrıca aşırı kar nedeniyle Dünya yüzeyinin güneş ışınlarının daha büyük bir kısmını eskisinden daha büyük bir kısmını uzaya geri yansıtması nedeniyle yaz normalden daha soğuk olacak. . Bu nedenle, bir sonraki kış bir öncekinden daha karlı ve soğuk geçiyor ve bir sonraki yaz yüzeyde daha da fazla kar ve buz bırakarak güneş enerjisini uzaya yansıtıyor... Böyle bir küresel iklim sistemi, termal dengenin başlangıç noktasından ne kadar saparsa, iklimi kendisinden uzaklaştıran süreçler de o kadar hızlı gelişiyor. Sonuçta, dünyanın kutup bölgelerindeki yüzeyinde, uzun yıllar süren küresel soğuma boyunca, kilometrelerce buzul katmanları oluşur ve bu katmanlar kaçınılmaz olarak daha düşük ve daha düşük enlemlere doğru hareket ederek gezegene bir sonraki buzul çağını getirir. Dolayısıyla küresel iklimden daha istikrarsız bir denge hayal etmek zor.

Bir tür kararsız denge olarak adlandırılan yarı kararlı, veya yarı-kararlı denge. Dar ve sığ bir oyukta bir top hayal edin - örneğin, bir artistik patinajın bıçağının yukarıya doğru çevrilmiş hali. Denge noktasından hafif bir sapma - bir veya iki milimetre - topu oluğun merkezinde denge durumuna döndürecek kuvvetlerin ortaya çıkmasına yol açacaktır. Bununla birlikte, topu yarı kararlı denge bölgesinin ötesine taşımak için biraz daha fazla kuvvet yeterli olacaktır ve top, patenin bıçağından düşecektir. Yarı kararlı sistemler, kural olarak, bir süre denge durumunda kalma özelliğine sahiptir, daha sonra dış etkilerdeki herhangi bir dalgalanmanın bir sonucu olarak ondan "koparlar" ve kararsızların geri dönüşü olmayan bir süreç karakteristiğine "çökerler". sistemler.

Belirli lazer kurulum türlerinin çalışma maddesinin atomlarında yarı kararlı dengenin tipik bir örneği gözlenir. Lazer çalışma sıvısının atomlarındaki elektronlar, yarı kararlı atomik yörüngeleri işgal eder ve onları yarı kararlı bir yörüngeden daha düşük kararlı bir yörüngeye “çarpan”, yeni bir ışık kuantumu yayan ilk ışık kuantumu geçişine kadar üzerlerinde kalırlar. geçen atom, sırayla bir sonraki atomun elektronunu yarı kararlı bir yörüngenin dışına atar, vb. Sonuç olarak, tutarlı fotonların çığ benzeri bir radyasyon reaksiyonu başlatılır ve aslında bir lazer ışını oluşturulur. , herhangi bir lazerin etkisinin temelini oluşturur.

Kayıtsız Denge

Kararlı ve kararsız denge arasındaki bir ara durum, sistemdeki herhangi bir noktanın bir denge noktası olduğu ve sistemin başlangıç hareketsiz noktasından sapmasının sistem içindeki kuvvetler dengesinde hiçbir şeyi değiştirmediği sözde kayıtsız dengedir. BT. Tamamen pürüzsüz, yatay bir masa üzerinde bir top hayal edin; onu nereye hareket ettirirseniz hareket ettirin, denge halinde kalacaktır.

Buradan, eğer cisme uygulanan tüm dış kuvvetlerin geometrik toplamı sıfıra eşitse, o zaman cisim hareketsizdir veya düzgün doğrusal hareket halindedir. Bu durumda vücuda uygulanan kuvvetlerin birbirini dengelediğini söylemek gelenekseldir. Bileşke hesaplanırken cisme etki eden tüm kuvvetler kütle merkezine uygulanabilir.

Dönmeyen bir cismin dengede olabilmesi için cisme uygulanan tüm kuvvetlerin bileşkesinin sıfıra eşit olması gerekir.

$(\overrightarrow(F))=(\overrightarrow(F_1))+(\overrightarrow(F_2))+...= 0$

Bir cisim belirli bir eksen etrafında dönebiliyorsa, denge için tüm kuvvetlerin sonucunun sıfır olması yeterli değildir.

Bir kuvvetin dönme etkisi sadece büyüklüğüne değil aynı zamanda kuvvetin etki çizgisi ile dönme ekseni arasındaki mesafeye de bağlıdır.

Dönme ekseninden kuvvetin etki çizgisine çizilen dikmenin uzunluğuna kuvvetin kolu denir.

Kuvvet modülü $F$ ile kol d'nin çarpımına kuvvet momenti M denir. Cismi saat yönünün tersine döndürme eğiliminde olan kuvvetlerin momentleri pozitif kabul edilir.

Momentler kuralı: Sabit bir dönme eksenine sahip bir cisim, bu eksene göre cisme uygulanan tüm kuvvetlerin momentlerinin cebirsel toplamı sıfıra eşitse dengededir:

Genel durumda, bir cisim ötelemeli olarak hareket edebildiğinde ve dönebildiğinde, denge için her iki koşulun da karşılanması gerekir: ortaya çıkan kuvvetin sıfıra eşit olması ve kuvvetlerin tüm momentlerinin toplamının sıfıra eşit olması. Bu koşulların ikisi de barış için yeterli değildir.

Şekil 1. Kayıtsız denge. Tekerlek yatay bir yüzeyde yuvarlanıyor. Ortaya çıkan kuvvet ve kuvvetlerin momenti sıfıra eşittir

Yatay bir yüzey üzerinde yuvarlanan bir tekerlek, kayıtsız dengeye bir örnektir (Şekil 1). Tekerlek herhangi bir noktada durdurulursa dengede olacaktır. Kayıtsız dengenin yanı sıra mekanik, kararlı ve kararsız denge durumları arasında ayrım yapar.

Vücudun bu durumdan küçük sapmalarıyla, vücudu denge durumuna döndürme eğiliminde olan kuvvetler veya kuvvet momentleri ortaya çıkarsa, denge durumuna kararlı denir.

Vücudun dengesiz bir denge durumundan küçük bir sapması ile, vücudu denge konumundan çıkarma eğiliminde olan kuvvetler veya kuvvet momentleri ortaya çıkar. Düz bir yatay yüzey üzerinde yatan bir top, kayıtsız bir denge durumundadır.

Şekil 2. Bir topun bir destek üzerindeki çeşitli denge türleri. (1) -- kayıtsız denge, (2) -- kararsız denge, (3) -- kararlı denge

Küresel bir çıkıntının üst noktasında bulunan bir top, kararsız dengeye bir örnektir. Son olarak küresel girintinin tabanındaki top kararlı bir denge durumundadır (Şekil 2).

Sabit dönme eksenine sahip bir cisim için her üç denge türü de mümkündür. Kayıtsızlık dengesi, dönme ekseni kütle merkezinden geçtiğinde ortaya çıkar. Kararlı ve kararsız dengede kütle merkezi dönme ekseninden geçen dikey bir düz çizgi üzerindedir. Üstelik kütle merkezi dönme ekseninin altındaysa denge durumu kararlı hale gelir. Kütle merkezi eksenin üzerinde yer alıyorsa denge durumu kararsızdır (Şekil 3).

Şekil 3. O eksenine sabitlenmiş homojen dairesel bir diskin kararlı (1) ve kararsız (2) dengesi; C noktası diskin kütle merkezidir; $(\overrightarrow(F))_t\ $-- yerçekimi; $(\overrightarrow(F))_(y\ )$-- eksenin elastik kuvveti; d - omuz

Özel bir durum, bir vücudun bir destek üzerindeki dengesidir. Bu durumda elastik destek kuvveti tek bir noktaya uygulanmaz, gövde tabanına dağıtılır. Vücudun kütle merkezinden geçen dikey bir çizgi destek alanından, yani destek noktalarını birleştiren çizgilerin oluşturduğu konturun içinden geçiyorsa vücut dengededir. Bu çizgi destek alanıyla kesişmezse vücut devrilir.

Sorun 1

Eğik düzlem yatayla 30o açı yapacak şekilde eğimlidir (Şekil 4). Üzerinde kütlesi m = 2 kg olan bir P cismi bulunmaktadır. Sürtünme ihmal edilebilir. Bir bloktan atılan bir iplik eğik düzlemle 45o açı yapıyor. P cismi Q yükünün hangi ağırlığında dengede olacaktır?

Şekil 4

Vücut üç kuvvetin etkisi altındadır: yerçekimi kuvveti P, ipliğin Q yüküyle gerilmesi ve düzlemin yanından düzleme dik yönde baskı yapan elastik kuvvet F. P kuvvetini bileşenlerine ayıralım: $\overrightarrow(P)=(\overrightarrow(P))_1+(\overrightarrow(P))_2$. Koşul $(\overrightarrow(P))_2=$ Denge için, hareketli blok tarafından kuvvetin iki katına çıktığı dikkate alındığında, $\overrightarrow(Q)=-(2\overrightarrow(P))_1$ olması gerekir . Dolayısıyla denge koşulu: $m_Q=2m(sin \widehat((\overrightarrow(P))_1(\overrightarrow(P))_2)\ )$. Elde ettiğimiz değerleri yerine koyarsak: $m_Q=2\cdot 2(sin \left(90()^\circ -30()^\circ -45()^\circ \right)\ )=1.035\ kg$ .

Rüzgar olduğunda bağlı balon, Dünya üzerinde kablonun bağlı olduğu noktanın üzerinde asılı kalmaz (Şekil 5). Kablo gerginliği 200 kg, düşeyle açı a=30$()^\circ$. Rüzgar basıncının kuvveti nedir?

Statik, mekaniğin cisimlerin denge koşullarını inceleyen dalıdır.

Newton'un ikinci yasasından, bir cisme uygulanan tüm dış kuvvetlerin geometrik toplamı sıfıra eşitse, o zaman cismin hareketsiz olduğu veya düzgün doğrusal hareket ettiği sonucu çıkar. Bu durumda vücuda uygulanan kuvvetlerin olduğunu söylemek gelenekseldir. denge birbirine göre. Hesaplarken sonuç Bir cisme etki eden tüm kuvvetler uygulanabilir kütle merkezi .

Dönmeyen bir cismin dengede olabilmesi için cisme uygulanan tüm kuvvetlerin bileşkesinin sıfıra eşit olması gerekir.

Şek. 1.14.1, üç kuvvetin etkisi altındaki katı bir cismin dengesinin bir örneğini verir. Kesişme noktası O kuvvetlerin etki çizgileri ve ağırlık uygulama noktasıyla (kütle merkezi) çakışmıyor C), ancak dengede bu noktalar zorunlu olarak aynı dikey üzerindedir. Sonucu hesaplarken tüm kuvvetler bir noktaya indirgenir.

Eğer vücut yapabiliyorsa döndürmek bir eksene göre, sonra onun dengesi için Tüm kuvvetlerin sonucunun sıfır olması yeterli değildir.

Bir kuvvetin dönme etkisi sadece büyüklüğüne değil aynı zamanda kuvvetin etki çizgisi ile dönme ekseni arasındaki mesafeye de bağlıdır.

Dönme ekseninden kuvvetin etki çizgisine çizilen dikmenin uzunluğuna denir. güçlü omuz.

Kol başına kuvvet modülünün çarpımı D isminde kuvvet anı M. Vücudu saat yönünün tersine döndürme eğiliminde olan kuvvetlerin momentleri pozitif kabul edilir (Şekil 1.14.2).

Anların Kuralı : Sabit bir dönme eksenine sahip bir cisim, bu eksene göre cisme uygulanan tüm kuvvetlerin momentlerinin cebirsel toplamı sıfıra eşitse dengededir:

Uluslararası Birim Sisteminde (SI) kuvvetlerin momentleri şu şekilde ölçülür: NNewton- metre (N∙m) .

işte dengeyle ilgili oyunun ekran görüntüsü

Yatay bir yüzey üzerinde yuvarlanan bir tekerlek - bir örnek kayıtsız denge(Şekil 1.14.3). Tekerlek herhangi bir noktada durdurulursa dengede olacaktır. Kayıtsız dengenin yanı sıra mekanik, durumlar arasında ayrım yapar sürdürülebilir Ve dengesiz denge.

Vücudun bu durumdan küçük sapmalarıyla, vücudu denge durumuna döndürme eğiliminde olan kuvvetler veya kuvvet momentleri ortaya çıkarsa, denge durumuna kararlı denir.

Vücudun dengesiz bir denge durumundan küçük bir sapması ile, vücudu denge konumundan çıkarma eğiliminde olan kuvvetler veya kuvvet momentleri ortaya çıkar.

Düz bir yatay yüzey üzerinde yatan bir top, kayıtsız bir denge durumundadır. Küresel bir çıkıntının tepesinde bulunan bir top, kararsız dengeye bir örnektir. Son olarak küresel girintinin altındaki top kararlı bir denge durumundadır (Şekil 1.14.4).

Özel bir durum, bir vücudun bir destek üzerindeki dengesidir. Bu durumda elastik destek kuvveti tek bir noktaya uygulanmaz, gövde tabanına dağıtılır. Bir cisim dengededir; eğer cismin kütle merkezinden geçen dikey bir çizgi bu noktadan geçerse destek alanı yani destek noktalarını birleştiren çizgilerin oluşturduğu konturun içinde. Bu çizgi destek alanıyla kesişmezse vücut devrilir. Bir cismin bir destek üzerindeki dengesinin ilginç bir örneği, efsaneye göre Galileo tarafından cisimlerin serbest düşme yasalarını incelerken kullanılan İtalya'nın Pisa kentindeki eğik kuledir (Şekil 1.14.6). Kule, 55 m yüksekliğinde ve 7 m yarıçapında silindir şeklindedir. Kulenin tepesi dikeyden 4,5 m sapmıştır.

Kulenin kütle merkezinden geçen dikey bir çizgi, kulenin merkezinden yaklaşık 2,3 m uzakta tabanla kesişiyor. Böylece kule denge halindedir. Tepesinin dikeyden sapması 14 m'ye ulaştığında denge bozulacak ve kule düşecek. Görünüşe göre bu çok kısa sürede gerçekleşmeyecek.

Kararlı ve kararsız dengenin açık bir örneği, ağır bir topun pürüzsüz bir yüzey üzerindeki davranışıdır (Şekil 1.5). Sezgi ve deneyim, içbükey bir yüzeye yerleştirilen topun, dışbükey ve eyer şeklindeki yüzeylerden yuvarlanırken yerinde kalacağını göstermektedir. Topun içbükey bir yüzey üzerindeki konumu sabittir, ancak dışbükey ve eyer şeklindeki yüzeyler üzerindeki topun konumu kararsızdır. Benzer şekilde, bir menteşe ile birbirine bağlanan iki düz çubuk, çekme kuvveti altında kararlı bir denge konumunda ve bir sıkıştırma kuvveti altında kararsız bir konumdadır (Şekil 1.6).

Ancak sezgi yalnızca en basit durumlarda doğru cevabı verebilir; Daha karmaşık sistemler için sezgi tek başına yeterli değildir. Örneğin, Şekil 2'de gösterilen nispeten basit mekanik sistem için bile. Şekil 1.7a'da, sezgi yalnızca, çok düşük yay sertliği ile topun tepedeki denge konumunun kararsız olacağını ve yay sertliğinin artmasıyla birlikte kararlı hale gelmesi gerektiğini önerebilir. Şekil 2'de gösterilen için. Şekil 2.3, b'de menteşelerle bağlanan çubuklardan oluşan bir sistemin sezgisine dayanarak, kuvvet, yay sertliği ve çubukların uzunluğu arasındaki ilişkiye bağlı olarak bu sistemin başlangıçtaki denge konumunun kararlı veya kararsız olduğu söylenebilir.

Mekanik bir sistemin dengesinin kararlı mı yoksa kararsız mı olduğuna karar vermek için analitik kararlılık işaretlerinin kullanılması gerekir. Mekanikte bir denge konumunun kararlılığını incelemeye yönelik en genel yaklaşım, denge konumundan sapmalar üzerine bir sistemin toplam potansiyel enerjisindeki değişikliklerin incelenmesine dayanan enerji yaklaşımıdır.

Denge konumunda, muhafazakar bir mekanik sistemin toplam potansiyel enerjisi durağan bir değere sahiptir ve Lagrange teoremine göre, bu değer toplam potansiyel enerjinin minimumuna karşılık geliyorsa denge konumu kararlıdır. Matematiksel inceliklere girmeden, bu genel hükümleri basit örneklerle açıklayacağız.

Şekil 2'de gösterilen sistemlerde Şekil 1.5'te toplam potansiyel enerji topun dikey yer değiştirmesiyle orantılı olarak değişir. Top alçaldıkça potansiyel enerjisi doğal olarak azalır. Top yükselirse potansiyel enerji artar. Dolayısıyla içbükey yüzeyin en alt noktası toplam potansiyel enerjinin minimumuna karşılık gelir ve topun bu noktadaki denge konumu kararlıdır. Dışbükey yüzeyin tepesi, toplam potansiyel enerjinin (bu durumda maksimum değer) sabit değerine karşılık gelir, ancak minimum değerine karşılık gelmez. Dolayısıyla topun denge konumu burada kararsızdır. Eyer şeklindeki yüzeydeki sabit nokta da toplam potansiyel enerjinin minimumuna karşılık gelmez (buna mini-maks noktası denir) ve topun denge konumu burada kararsızdır. Son durum çok tipiktir. Kararsız bir denge durumunda potansiyel enerjinin maksimum değerine hiç ulaşmaması gerekir. Toplam potansiyel enerjinin sabit olduğu ancak minimum olmadığı her durumda denge konumu kararlı olmayacaktır.

Şekil 2'de gösterilen için. Çubuk sisteminin Şekil 1.6'sına göre, çekme kuvveti altında çubukların dikey sapmasız konumunun minimum potansiyel enerjiye karşılık geldiğini ve dolayısıyla kararlı olduğunu tespit etmek de kolaydır. Sıkıştırma kuvveti altında çubukların sapmamış konumu maksimum potansiyel enerjiye karşılık gelir ve kararsızdır.

Okuyucuya, Şekil 2'de gösterilen sistemlerin kararlılığı için koşulları oluşturma fırsatı verdikten sonra. 1.7, önceki paragrafta tartışılan iki soruna dönelim.

Elastik sistemin toplam potansiyel enerjisi (sabit bir terime kadar, bunu ihmal ettik), iç deformasyon enerjisi U ile dış kuvvetlerin potansiyelinin toplamıdır:

Dikey kuvvetle yüklenen elastik mafsallı bir çubuğun toplam potansiyel enerjisi için bir ifade oluşturalım (bkz. Şekil 1.1). Elastik bir mafsalın deformasyon enerjisi. Sabit bir terime kadar dış kuvvetlerin potansiyeli, ters işaretle alınan kuvvetin ve uygulama noktasının dikey yer değiştirmesinin çarpımına eşittir, yani. Bu nedenle toplam potansiyel enerji

Söz konusu sistemin bir serbestlik derecesi vardır: deforme olmuş durumu tamamen bağımsız bir parametre ile tanımlanır. Açı böyle bir parametre olarak alınır, dolayısıyla sistemin kararlılığını incelemek için toplam potansiyel enerjinin açıya göre türevlerini bulmak gerekir.

İfadenin (1.6) 'ya göre farklılaştırılmasıyla şunu elde ederiz:

Toplam potansiyel enerjinin birinci türevini sıfıra eşitleyerek daha önce doğrudan çubuğun denge koşullarından elde edilen denklem (1.1)'e ulaşırız. İkinci türevin işaretinin incelenmesi, bulunan denge konumlarından hangisinin kararlı olduğunu belirlememizi sağlar.

İki bağımsız çözüme (1.2) karşılık gelen çubuğun denge konumlarının stabilitesini inceleyelim. Bunlardan ilki, çubuğun dikey sapmasız pozisyonuna karşılık gelir.

Bu denge konumu için ifade (1.8)'e göre

Toplam potansiyel enerji minimum olduğunda ve çubuğun dikey konumu kararlı olduğunda, toplam potansiyel enerji maksimum olduğunda ve çubuğun dikey konumu kararsız olduğunda.

Çubuğun sapmış bir konumdaki stabilitesini incelemek için çözümlerden (1.2) ikincisini ifade (1.8)'de yerine koyalım:

Eğer , o zaman toplam enerjinin ikinci türevi pozitiftir, o zamandan beri ve çubuğun sapmış konumu, ki bu da mümkündür, her zaman kararlıdır.

Bu noktada toplam enerjinin ikinci türevi sıfıra eşit olduğundan, iki çözümün kesişme noktasına karşılık gelen denge konumunun kararlı mı yoksa kararsız mı olduğu belirsizliğini koruyor. Matematiksel analiz sürecinden bilindiği gibi, bu gibi durumlarda durağan bir noktayı incelemek için daha yüksek türevler kullanılmalıdır. Sıralı olarak farklılaşarak buluruz

İncelenen noktada üçüncü türev sıfır, dördüncü ise pozitiftir. Sonuç olarak, bu noktada toplam potansiyel enerji minimumdur ve çubuğun sapmasız denge konumu stabildir.

Elastik mafsallı bir çubuğun çeşitli denge pozisyonlarının stabilitesine ilişkin çalışmanın sonuçları Şekil 2'de sunulmaktadır. 1.8. Aynı zamanda sistemin toplam potansiyel enerjisindeki değişimi de gösterir. Noktalar, toplam potansiyel enerjinin ve kararlı sapmış denge konumlarının minimumlarına karşılık gelir; nokta Çubuğun maksimum enerjisi ve kararsız dikey denge konumu.

Toplam potansiyel enerji için bir ifade oluşturalım. Şekil 2'de gösterilmiştir. 1.2. Çubuk bir açı kadar saptırıldığında yay bir miktar uzar ve yayın deformasyon enerjisi ifadesiyle belirlenir. Toplam potansiyel enerjinin ikinci türevi şuna eşittir:

Böylece, noktasında ikinci türev negatiftir ve çubuk sisteminin sapmış denge konumu kararsızdır.

İki çözümün (1.4) kesişme noktalarına karşılık gelen denge konumları kararsızdır (örneğin, çubuğun 'deki sapmamış konumu). Bu noktalardaki yüksek türevlerin işaretlerini belirleyerek bunu doğrulamak kolaydır.

Şek. Şekil 1.9 çalışmanın sonuçlarını ve farklı yük seviyelerinde toplam potansiyel enerjideki değişimlerin karakteristik eğrilerini göstermektedir.

En basit örneklerde gösterilen elastik sistemlerin statik denge konumlarının kararlılığını inceleme yöntemi, daha karmaşık sistemlerde de kullanılır.

Elastik sistem daha karmaşık hale geldikçe, uygulanmasındaki teknik zorluklar artar, ancak temel temel - minimum toplam potansiyel enerjinin koşulu - tamamen korunur.