Burada en basit türevleri inceledik ve aynı zamanda türev alma kuralları ve türev bulmanın bazı teknik teknikleri hakkında da bilgi sahibi olduk. Bu nedenle, fonksiyonların türevleri konusunda pek iyi değilseniz veya bu makaledeki bazı noktalar tam olarak anlaşılamadıysa, önce yukarıdaki dersi okuyun. Lütfen ciddi bir ruh hali içine girin - materyal basit değil, ama yine de onu basit ve net bir şekilde sunmaya çalışacağım.

Uygulamada, karmaşık bir fonksiyonun türeviyle çok sık uğraşmanız gerekir, hatta diyebilirim ki, size türevleri bulma görevi verildiğinde hemen hemen her zaman.

Karmaşık bir fonksiyonun türevini almak için kuraldaki (No. 5) tabloya bakıyoruz:

Hadi çözelim. Öncelikle girişe dikkat edelim. Burada iki fonksiyonumuz var - ve mecazi anlamda konuşursak, fonksiyon fonksiyonun içinde yuvalanmıştır. Bu türdeki bir fonksiyona (bir fonksiyon diğerinin içine yerleştirildiğinde) karmaşık fonksiyon denir.

Fonksiyonu çağıracağım harici fonksiyon ve fonksiyon – dahili (veya iç içe geçmiş) fonksiyon.

! Bu tanımlar teorik değildir ve ödevlerin nihai tasarımında yer almamalıdır. Sadece materyali anlamanızı kolaylaştırmak için “dış işlev”, “iç işlev” gibi resmi olmayan ifadeler kullanıyorum.

Durumu açıklığa kavuşturmak için şunları göz önünde bulundurun:

Örnek 1

Bir fonksiyonun türevini bulun

Sinüs altında sadece "X" harfi değil, ifadenin tamamı var, dolayısıyla türevi tablodan hemen bulmak işe yaramayacak. Ayrıca ilk dört kuralın burada uygulanmasının imkansız olduğunu da fark ettik, bir fark var gibi görünüyor, ancak gerçek şu ki sinüs "parçalara ayrılamaz":

Bu örnekte, bir fonksiyonun karmaşık bir fonksiyon olduğu ve polinomun bir iç fonksiyon (gömme) ve bir dış fonksiyon olduğu açıklamalarımdan zaten sezgisel olarak açıktır.

İlk adım Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulurken yapmanız gereken şey Hangi fonksiyonun dahili, hangisinin harici olduğunu anlayın.

Basit örneklerde sinüsün altına bir polinomun gömülü olduğu açıkça görülmektedir. Peki ya her şey açık değilse? Hangi fonksiyonun harici ve hangisinin dahili olduğunu doğru bir şekilde nasıl belirleyebilirim? Bunu yapmak için zihinsel olarak veya taslak halinde yapılabilecek aşağıdaki tekniği kullanmanızı öneririm.

İfadesinin değerini hesaplamak için bir hesap makinesi kullanmamız gerektiğini hayal edelim (bir yerine herhangi bir sayı olabilir).

İlk önce neyi hesaplayacağız? Öncelikle aşağıdaki eylemi gerçekleştirmeniz gerekecek: bu nedenle polinom bir iç fonksiyon olacaktır:

ikinci olarak bulunması gerekecek, dolayısıyla sinüs - harici bir fonksiyon olacak:

Bizden sonra HEPSİ SATILDIİç ve dış fonksiyonlarda, karmaşık fonksiyonların farklılaşması kuralını uygulamanın zamanı geldi .

Karar vermeye başlayalım. Dersten Türevi nasıl bulunur? herhangi bir türevin çözümünün tasarımının her zaman böyle başladığını hatırlıyoruz - ifadeyi parantez içine alıyoruz ve sağ üst köşeye bir çizgi koyuyoruz:

Başta dış fonksiyonun türevini (sinüs) buluruz, temel fonksiyonların türevleri tablosuna bakarız ve şunu fark ederiz. Tüm tablo formülleri, “x”in karmaşık bir ifadeyle değiştirilmesi durumunda da geçerlidir, bu durumda:

Lütfen iç fonksiyonun değişmedi, dokunmuyoruz.

Peki, oldukça açık ki

Formülün uygulanmasının sonucu son haliyle şöyle görünür:

Sabit faktör genellikle ifadenin başına yerleştirilir:

Herhangi bir yanlış anlaşılma varsa çözümü bir kağıda yazıp açıklamaları tekrar okuyun.

Örnek 2

Bir fonksiyonun türevini bulun

Örnek 3

Bir fonksiyonun türevini bulun

Her zaman olduğu gibi şunu yazıyoruz:

Nerede harici bir fonksiyona sahip olduğumuzu ve nerede dahili bir fonksiyona sahip olduğumuzu bulalım. Bunu yapmak için (zihinsel olarak veya taslak halinde) ifadenin değerini hesaplamaya çalışırız. İlk önce ne yapmalısınız? Her şeyden önce, tabanın neye eşit olduğunu hesaplamanız gerekir: bu nedenle polinom bir iç fonksiyondur:

Ve ancak o zaman üs alma işlemi gerçekleştirilir, bu nedenle kuvvet fonksiyonu harici bir fonksiyondur:

Formüle göre , öncelikle dış fonksiyonun türevini, bu durumda dereceyi bulmanız gerekir. Gerekli formülü tabloda arıyoruz: . Bir kez daha tekrarlıyoruz: herhangi bir tablo formülü yalnızca “X” için değil aynı zamanda karmaşık bir ifade için de geçerlidir. Böylece, karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralını uygulamanın sonucu Sonraki:

Dış fonksiyonun türevini aldığımızda iç fonksiyonumuzun değişmediğini bir kez daha vurguluyorum:

Şimdi geriye kalan tek şey iç fonksiyonun çok basit bir türevini bulmak ve sonucu biraz değiştirmek:

Örnek 4

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir (cevap dersin sonunda verilecektir).

Karmaşık bir fonksiyonun türevine ilişkin anlayışınızı pekiştirmek için yorumsuz bir örnek vereceğim, kendi başınıza anlamaya çalışın, dış fonksiyonun nerede ve iç fonksiyonun nerede olduğunu, görevlerin neden bu şekilde çözüldüğünü düşünün.

Örnek 5

a) Fonksiyonun türevini bulun

b) Fonksiyonun türevini bulun

Örnek 6

Bir fonksiyonun türevini bulun

Burada bir kökümüz var ve kökü farklılaştırabilmek için onun bir güç olarak temsil edilmesi gerekiyor. Böylece öncelikle fonksiyonu türev almaya uygun forma getiriyoruz:

Fonksiyonu analiz ettiğimizde, üç terimin toplamının bir iç fonksiyon olduğu, bir güce yükselmenin ise bir dış fonksiyon olduğu sonucuna varıyoruz. Karmaşık fonksiyonların farklılaşma kuralını uyguluyoruz :

Dereceyi yine bir radikal (kök) olarak temsil ediyoruz ve iç fonksiyonun türevi için toplamın türevini almak için basit bir kural uyguluyoruz:

Hazır. Ayrıca ifadeyi parantez içinde ortak bir paydaya indirgeyebilir ve her şeyi bir kesir olarak yazabilirsiniz. Elbette güzel, ancak hantal uzun türevler elde ettiğinizde bunu yapmamak daha iyidir (kafanın karışması, gereksiz bir hata yapılması kolaydır ve öğretmenin kontrol etmesi sakıncalı olacaktır).

Örnek 7

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir (cevap dersin sonunda verilecektir).

Bazen karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralı yerine bir bölümün türevini alma kuralını kullanabileceğinizi belirtmek ilginçtir. ancak böyle bir çözüm alışılmadık bir sapkınlık gibi görünecek. İşte tipik bir örnek:

Örnek 8

Bir fonksiyonun türevini bulun

Burada bölümün farklılaşma kuralını kullanabilirsiniz ancak karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralına göre türevini bulmak çok daha karlı:

Fonksiyonu türev için hazırlıyoruz - eksiyi türev işaretinden çıkarıyoruz ve kosinüsü paya yükseltiyoruz:

Kosinüs bir iç fonksiyondur, üstel ise harici bir fonksiyondur.
Kuralımızı kullanalım :

Dahili fonksiyonun türevini buluyoruz ve kosinüsü tekrar sıfırlıyoruz:

Hazır. Ele alınan örnekte işaretlerin karıştırılmaması önemlidir. Bu arada kuralı kullanarak çözmeye çalışın , yanıtların eşleşmesi gerekir.

Örnek 9

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir (cevap dersin sonunda verilecektir).

Şu ana kadar karmaşık bir fonksiyonda yalnızca bir yuvalamanın olduğu durumlara baktık. Pratik görevlerde, iç içe geçmiş bebekler gibi, 3 veya hatta 4-5 fonksiyonun aynı anda iç içe geçtiği türevleri sıklıkla bulabilirsiniz.

Örnek 10

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu fonksiyonun eklerini anlayalım. Deneysel değeri kullanarak ifadeyi hesaplamaya çalışalım. Hesap makinesine nasıl güvenebiliriz?

İlk önce bulmanız gerekir; bu, ark sinüsünün en derin gömme olduğu anlamına gelir:

Bu birin ark sinüsünün karesi alınmalıdır:

Ve son olarak yedinin bir kuvvetini alıyoruz:

Yani, bu örnekte üç farklı fonksiyonumuz ve iki yerleştirmemiz var; en içteki fonksiyon ark sinüs, en dıştaki fonksiyon ise üstel fonksiyondur.

Karar vermeye başlayalım

Kurala göre Öncelikle dış fonksiyonun türevini almanız gerekir. Türev tablosuna bakıyoruz ve üstel fonksiyonun türevini buluyoruz: Tek fark, "x" yerine karmaşık bir ifadeye sahip olmamızdır ve bu, bu formülün geçerliliğini ortadan kaldırmaz. Yani, karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralını uygulamanın sonucu Sonraki.

Üstel (e üzeri x kuvveti) ve üstel fonksiyonun (a üzeri x kuvveti) türevi için formüllerin kanıtı ve türetilmesi. e^2x, e^3x ve e^nx'in türevlerini hesaplama örnekleri. Yüksek dereceli türevler için formüller.

Bir üssün türevi üssün kendisine eşittir (e üzeri x'in türevi e üzeri x'e eşittir):
(1) (e x )' = e x.

Üstel bir fonksiyonun a tabanlı türevi, fonksiyonun kendisinin a'nın doğal logaritması ile çarpımına eşittir:
(2) .

Üstel sayının türevinin formülünün türetilmesi, e üzeri x üssü

Üstel, güç tabanı aşağıdaki limit olan e sayısına eşit olan üstel bir fonksiyondur:
.
Burada ya doğal sayı ya da gerçek sayı olabilir. Daha sonra üstel sayının türevi için formül (1)'i türetiyoruz.

Üstel türev formülünün türetilmesi

e üzeri x'in üstel kuvvetini düşünün:
y = ex.
Bu fonksiyon herkes için tanımlanmıştır.
(3) .

x değişkenine göre türevini bulalım.
Tanım gereği türev aşağıdaki limittir: Bu ifadeyi bilinen matematiksel özelliklere ve kurallara indirgeyecek şekilde dönüştürelim. Bunu yapmak için aşağıdaki gerçeklere ihtiyacımız var:
(4) ;
A)Üs özelliği:
(5) ;
B) Logaritmanın özelliği:
(6) .
İÇİNDE)
Logaritmanın sürekliliği ve sürekli bir fonksiyon için limitlerin özelliği: Burada limiti olan bir fonksiyon var ve bu limit pozitif.
(7) .

G)
;
.

İkinci dikkat çekici sınırın anlamı:
Bu gerçekleri limitimize (3) uygulayalım. Özelliği (4) kullanıyoruz:
.
Bir değişiklik yapalım.
.

Daha sonra ; .
.

Üstel sayının sürekliliği nedeniyle,
Bu nedenle, ne zaman , .
.

Sonuç olarak şunu elde ederiz:
.
Bir değişiklik yapalım.
.

Daha sonra . , tarihinde. Ve elimizde:

Logaritma özelliğini (5) uygulayalım:

.
(8)
Daha sonra

(6) özelliğini uygulayalım. Pozitif bir limit olduğundan ve logaritma sürekli olduğundan: Burada da dikkat çeken ikinci limiti (7) kullandık. Daha sonra Böylece üstelin türevi için formül (1)'i elde ettik.
;
.
Üstel bir fonksiyonun türevinin formülünün türetilmesi
.

e üzeri x'in yüksek dereceli türevleri

Şimdi daha yüksek mertebeden türevleri bulalım. Önce üsse bakalım:
(14) .
(1) .

Fonksiyon (14)'ün türevinin fonksiyon (14)'ün kendisine eşit olduğunu görüyoruz. (1)'in farklılığını alarak ikinci ve üçüncü dereceden türevleri elde ederiz:
;
.

Bu, n'inci dereceden türevin de orijinal fonksiyona eşit olduğunu gösterir:
.

Üstel fonksiyonun yüksek dereceli türevleri

Şimdi derece tabanı a olan üstel bir fonksiyonu düşünün:
.
Birinci dereceden türevini bulduk:
(15) .

(15)'in farklılığını alarak ikinci ve üçüncü dereceden türevleri elde ederiz:
;
.

Her farklılaşmanın orijinal fonksiyonun çarpımına yol açtığını görüyoruz.
.

Bu nedenle, n'inci dereceden türev aşağıdaki forma sahiptir:

Buraya geldiğinizden beri muhtemelen bu formülü ders kitabında zaten görmüşsünüzdür.

ve şöyle bir yüz yapın: Dostum, endişelenme! Aslında her şey çok çirkin. Kesinlikle her şeyi anlayacaksınız. Sadece bir istek - makaleyi okuyun zamanını ayır

, her adımı anlamaya çalışın. Olabildiğince basit ve net yazdım ama yine de fikri anlamanız gerekiyor. Ve makaledeki görevleri çözdüğünüzden emin olun.

Karmaşık fonksiyon nedir?

Başka bir daireye taşındığınızı ve bu nedenle eşyaları büyük kutulara paketlediğinizi hayal edin. Okul yazı malzemeleri gibi bazı küçük eşyaları toplamanız gerektiğini varsayalım. Onları büyük bir kutuya atarsanız, diğer şeylerin arasında kaybolurlar. Bunu önlemek için, önce bunları örneğin bir torbaya koyarsınız, sonra onu büyük bir kutuya koyarsınız ve ardından mühürlersiniz. Bu “karmaşık” süreç aşağıdaki şemada gösterilmektedir:

Görünüşe göre matematiğin bununla ne ilgisi var? Evet, karmaşık bir fonksiyonun TAMAMEN AYNI şekilde oluşmasına rağmen! Sadece defterleri ve kalemleri değil, \(x\) “paketliyoruz”, ancak “paketler” ve “kutular” farklı.

Örneğin, x'i alıp onu bir fonksiyona "paketleyelim":

Sonuç olarak elbette \(\cos⁡x\) elde ederiz. Bu bizim “şey çantamız”. Şimdi bunu bir "kutuya" koyalım - örneğin kübik bir fonksiyona paketleyelim.

Sonunda ne olacak? Evet, doğru, "bir kutuda bir torba eşya" olacak, yani "kosinüs X küp". Ortaya çıkan tasarım karmaşık bir fonksiyondur. Basit olandan şu bakımdan farklıdır: BİR X'e arka arkaya BİRÇOK "etki" (paket) uygulanır

ve "işlevden işleve" - ​​"ambalaj içinde ambalaj" ortaya çıkıyor.

Okul kursunda bu “paketlerin” çok az türü vardır, yalnızca dört tanesi:

Şimdi X'i önce 7 tabanlı bir üstel fonksiyona, sonra da bir trigonometrik fonksiyona "paketleyelim". Şunu elde ederiz:

Şimdi x'i iki kez trigonometrik fonksiyonlara "paketleyelim", önce içeri, sonra içeri:

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

Basit, değil mi?

Şimdi fonksiyonları kendiniz yazın; burada x:
- önce bir kosinüse, ardından \(3\) tabanlı üstel bir fonksiyona "paketlenir";
- önce beşinci kuvvete, sonra da teğete;
- ilk olarak \(4\) tabanının logaritmasına göre , sonra kuvvet \(-2\).

Makalenin sonunda bu görevin cevaplarını bulun.

X'i iki değil üç kez “paketleyebilir miyiz”? Evet, sorun değil! Ve dört, beş ve yirmi beş kere. Örneğin burada x'in \(4\) kez "paketlendiği" bir fonksiyon var:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4))))\)

Ancak bu tür formüller okul uygulamalarında bulunamayacaktır (öğrenciler daha şanslıdır, onlarınki ise daha karmaşık olabilir☺).

Karmaşık bir işlevi "paketten çıkarmak"

Önceki fonksiyona tekrar bakın. “Paketleme” sırasını çözebilir misiniz? X'in ilk önce neye doldurulduğu, sonra ne olduğu vb. sonuna kadar devam eder. Yani hangi fonksiyon hangisinin içinde yuvalanmıştır? Bir parça kağıt alın ve ne düşündüğünüzü yazın. Bunu yukarıda yazdığımız gibi oklu bir zincirle veya başka bir şekilde yapabilirsiniz.

Şimdi doğru cevap şu: önce x, \(4\)'üncü kuvvete "paketlendi", sonra sonuç sinüs şeklinde paketlendi, o da \(2\) tabanına göre logaritmaya yerleştirildi. ve sonunda tüm bu yapı beşli güçlere dolduruldu.

Yani diziyi TERS SİPARİŞTE geri sarmanız gerekir. Ve işte bunu nasıl daha kolay yapabileceğinize dair bir ipucu: hemen X'e bakın - ondan dans etmelisiniz. Birkaç örneğe bakalım.

Örneğin, şu fonksiyon şöyledir: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). X'e bakıyoruz - önce ona ne olacak? Ondan alınmıştır. Ve daha sonra? Sonucun tanjantı alınır. Sıra aynı olacaktır:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Başka bir örnek: \(y=\cos⁡((x^3))\). Analiz edelim - önce X'in küpünü aldık, sonra sonucun kosinüsünü aldık. Bu, dizinin şöyle olacağı anlamına gelir: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Dikkat edin, işlev ilkine (resimlerin olduğu yer) benziyor. Ancak bu tamamen farklı bir fonksiyondur: burada küpün içinde x var (yani, \(\cos⁡((x·x·x))))\) ve küpün içinde kosinüs \(x\) ( yani, \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Bu fark, farklı "paketleme" dizilerinden kaynaklanmaktadır.

Son örnek (içinde önemli bilgiler bulunan): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Burada ilk önce x ile aritmetik işlemler yaptığımız, ardından sonuçtan sinüs aldığımız açıktır: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). Ve bu önemli bir noktadır: Aritmetik işlemler kendi başlarına fonksiyon olmamasına rağmen burada aynı zamanda bir “paketleme” yöntemi olarak da hareket ederler. Gelin bu inceliği biraz daha derinlemesine inceleyelim.

Yukarıda söylediğim gibi, basit fonksiyonlarda x bir kez, karmaşık fonksiyonlarda ise iki veya daha fazla "paketlenir". Dahası, basit fonksiyonların (toplamları, farkları, çarpmaları veya bölmeleri) herhangi bir kombinasyonu da basit bir fonksiyondur. Örneğin, \(x^7\) basit bir fonksiyondur ve \(ctg x\) de öyle. Bu, tüm kombinasyonlarının basit işlevler olduğu anlamına gelir:

\(x^7+ ctg x\) - basit,
\(x^7· cot x\) – basit,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – basit, vb.

Ancak böyle bir kombinasyona bir fonksiyon daha uygulanırsa iki “paket” olacağından karmaşık bir fonksiyon haline gelecektir. Diyagrama bakınız:

Tamam, şimdi devam et. “Sarma” fonksiyonlarının sırasını yazın:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Cevaplar yine yazının sonunda.

İç ve dış işlevler

Neden işlev yerleştirmeyi anlamamız gerekiyor? Bu bize ne sağlıyor? Gerçek şu ki, böyle bir analiz olmadan yukarıda tartışılan fonksiyonların türevlerini güvenilir bir şekilde bulamayız.

Devam etmek için iki kavrama daha ihtiyacımız olacak: iç ve dış işlevler. Bu çok basit bir şey, üstelik bunları yukarıda zaten analiz etmiştik: En baştaki benzetmemizi hatırlarsak, o zaman iç fonksiyon bir "paket", dış fonksiyon ise bir "kutu" dur. Onlar. X'in ilk olarak "sarıldığı" şey bir iç fonksiyondur ve dahili fonksiyonun "sarıldığı" şey zaten dıştır. Neden olduğu açık - dışarıda, bu da dış anlamına geliyor.

Bu örnekte: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), \(\log_2⁡x\) işlevi dahilidir ve
- harici.

Ve bunda: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) dahilidir ve
- harici.

Karmaşık fonksiyonların analizine ilişkin son uygulamayı tamamlayın ve sonunda hepimizin başladığı şeye geçelim; karmaşık fonksiyonların türevlerini bulacağız:

Tablodaki boşlukları doldurun:

Karmaşık bir fonksiyonun türevi

Bravo, nihayet bu konunun "patronuna" ulaştık - aslında karmaşık bir fonksiyonun türevine ve özellikle de makalenin başındaki o çok korkunç formüle.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Bu formül şu şekilde okunur:

Karmaşık bir fonksiyonun türevi, dış fonksiyonun sabit bir iç fonksiyona göre türevi ile iç fonksiyonun türevinin çarpımına eşittir.

Ve hemen kelimelere göre ayrıştırma şemasına bakın, böylece neyle ne yapacağınızı anlarsınız:

“Türev” ve “ürün” tabirlerinin sıkıntı yaratmamasını diliyorum. “Karmaşık fonksiyon” - bunu zaten çözdük. İşin püf noktası "bir dış fonksiyonun sabit bir iç fonksiyona göre türevi"dir. Nedir?

Cevap: Bu, yalnızca dış fonksiyonun değiştiği ve iç fonksiyonun aynı kaldığı bir dış fonksiyonun olağan türevidir. Hala net değil mi? Tamam, bir örnek kullanalım.

Bir \(y=\sin⁡(x^3)\) fonksiyonumuz olsun. Buradaki iç fonksiyonun \(x^3\) olduğu ve dış fonksiyonun olduğu açıktır.
. Şimdi dış kısmın sabit iç bölgeye göre türevini bulalım.

Türev nedir?

Türev tablosu.

Türev yüksek matematiğin temel kavramlarından biridir. Bu dersimizde bu kavramı tanıtacağız. Katı matematiksel formülasyonlar ve kanıtlar olmadan birbirimizi tanıyalım.

Bu tanıdık şunları yapmanızı sağlayacaktır:

Türevlerle ilgili basit görevlerin özünü anlayın;

Bu en basit görevleri başarıyla çözün;

Türevlerle ilgili daha ciddi derslere hazırlanın.

İlk olarak - hoş bir sürpriz.)

Türevin kesin tanımı limitler teorisine dayanmaktadır ve olay oldukça karmaşıktır. Bu çok üzücü. Ancak türevlerin pratik uygulaması kural olarak bu kadar kapsamlı ve derin bilgi gerektirmez!

Okuldaki ve üniversitedeki çoğu görevi başarıyla tamamlamak için şunu bilmek yeterlidir: sadece birkaç terim- görevi anlamak ve sadece birkaç kural- çözmek için. Hepsi bu. Bu beni mutlu ediyor.

Hadi tanışmaya başlayalım mı?)

Terimler ve tanımlar.

İlköğretim matematikte birçok farklı matematiksel işlem vardır. Toplama, çıkarma, çarpma, üs alma, logaritma vb. Bu işlemlere bir işlem daha eklerseniz temel matematik daha da yükselir. Bu yeni operasyonun adı farklılaşma. Bu operasyonun tanımı ve anlamı ayrı derslerde tartışılacaktır.

Burada farklılaşmanın bir fonksiyon üzerinde basit bir matematiksel işlem olduğunu anlamak önemlidir. Herhangi bir işlevi alırız ve onu belirli kurallara göre dönüştürürüz. Sonuç yeni bir fonksiyon olacaktır. Bu yeni fonksiyonun adı: türev.

Farklılaşma- bir fonksiyon üzerinde eylem.

Türev- bu eylemin sonucu.

Tıpkı örneğin, toplam- toplamanın sonucu. Veya özel- bölmenin sonucu.

Terimleri bildiğiniz için en azından görevleri anlayabilirsiniz.) Formülasyonlar aşağıdaki gibidir: bir fonksiyonun türevini bulma; türevini alalım; işlevi ayırt etmek; türevi hesapla vesaire. Hepsi bu aynı şey. Elbette türevi bulmanın (farklılaşmanın) problemin çözümündeki adımlardan sadece biri olacağı daha karmaşık görevler de vardır.

Türev, fonksiyonun sağ üst köşesinde bir çizgi ile gösterilir. Bunun gibi: sen" veya f"(x) veya S"(t) ve benzeri.

Okuma igrek vuruşu, x'ten ef vuruşu, te'den es vuruşu, yani anlamışsındır...)

Bir asal aynı zamanda belirli bir fonksiyonun türevini de gösterebilir, örneğin: (2x+3)", (X 3 )" , (sinx)" vesaire. Türevler genellikle diferansiyeller kullanılarak gösterilir, ancak bu derste bu tür gösterimleri dikkate almayacağız.

Görevleri anlamayı öğrendiğimizi varsayalım. Geriye sadece bunları nasıl çözeceğinizi öğrenmek kalıyor.) Bir kez daha hatırlatayım: türevi bulmak Bir fonksiyonun belirli kurallara göre dönüştürülmesi.Şaşırtıcı bir şekilde, bu kuralların çok azı var.

Bir fonksiyonun türevini bulmak için yalnızca üç şeyi bilmeniz gerekir. Tüm farklılaşmanın dayandığı üç sütun. İşte bu üç sütun:

1. Türev tablosu (farklılaşma formülleri).

3. Karmaşık bir fonksiyonun türevi.

Sırayla başlayalım. Bu dersimizde türev tablosuna bakacağız.

Türev tablosu.

Dünyada sonsuz sayıda fonksiyon vardır. Bu setin arasında pratik kullanım açısından en önemli işlevler bulunmaktadır. Bu işlevler doğanın tüm yasalarında bulunur. Bu işlevlerden, tıpkı tuğlalardan olduğu gibi, diğerlerini de inşa edebilirsiniz. Bu fonksiyon sınıfına denir temel işlevler. Okulda incelenen bu fonksiyonlardır - doğrusal, ikinci dereceden, hiperbol vb.

Fonksiyonların "sıfırdan" farklılaştırılması, yani. Türevin tanımı ve limitler teorisine göre bu oldukça emek yoğun bir şeydir. Ve matematikçiler de insandır, evet, evet!) Böylece kendilerinin (ve bizim) hayatlarımızı basitleştirdiler. Bizden önce temel fonksiyonların türevlerini hesapladılar. Sonuç, her şeyin hazır olduğu bir türevler tablosudur.)

İşte burada, en popüler işlevlere yönelik bu plaka. Solda temel bir fonksiyon, sağda ise onun türevi var.

	İşlev sen	y fonksiyonunun türevi sen"
1	C (sabit değer)	C" = 0
2	X	x" = 1
3	x n (n - herhangi bir sayı)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	günah x	(sin x)" = cosx
	çünkü x	(çünkü x)" = - sin x
	tgx
	ctgx
5	ark sin x
	arkcos x
	arktan x
	arkctg x
4	A X
	e X
5	kayıt A X
	lx ( a = e)

Bu türev tablosundaki üçüncü fonksiyon grubuna dikkat etmenizi öneririm. Bir kuvvet fonksiyonunun türevi en yaygın olmasa da en yaygın formüllerden biridir! İpucunu anladınız mı?) Evet, türev tablosunu ezbere bilmeniz tavsiye edilir. Bu arada, bu göründüğü kadar zor değil. Daha fazla örnek çözmeye çalışın, tablonun kendisi hatırlanacaktır!)

Türevin tablo değerini bulmak, anladığınız gibi, en zor iş değildir. Bu nedenle, bu tür görevlerde sıklıkla ek çipler bulunur. Ya görevin ifadesinde ya da tabloda görünmeyen orijinal işlevinde...

Birkaç örneğe bakalım:

1. y = x fonksiyonunun türevini bulun 3

Tabloda böyle bir fonksiyon bulunmamaktadır. Ancak bir kuvvet fonksiyonunun genel formda bir türevi vardır (üçüncü grup). Bizim durumumuzda n=3. Bu yüzden n yerine üç koyuyoruz ve sonucu dikkatlice yazıyoruz:

(X 3) " = 3x 3-1 = 3x 2

İşte bu.

Cevap: y" = 3x 2

2. y = sinx fonksiyonunun x = 0 noktasındaki türevinin değerini bulun.

Bu görev, önce sinüsün türevini bulmanız ve ardından değeri yerine koymanız gerektiği anlamına gelir x = 0 bu türevin içine. Tam olarak bu sırayla! Aksi takdirde, orijinal fonksiyonun yerine hemen sıfır koyarlar... Bizden orijinal fonksiyonun değerini değil, değerini bulmamız isteniyor. onun türevi. Türev, hatırlatmama izin verin, yeni bir fonksiyondur.

Tableti kullanarak sinüsü ve karşılık gelen türevi buluyoruz:

y" = (sin x)" = cosx

Sıfırı türevin yerine koyarız:

y"(0) = çünkü 0 = 1

Cevap bu olacak.

3. Fonksiyonu farklılaştırın:

Ne, ilham veriyor mu?) Türev tablosunda böyle bir fonksiyon yok.

Bir fonksiyonun türevini almanın basitçe bu fonksiyonun türevini bulmaktan ibaret olduğunu hatırlatmama izin verin. Temel trigonometriyi unutursanız fonksiyonumuzun türevini aramak oldukça zahmetlidir. Tablonun hiçbir faydası yok...

Ama eğer fonksiyonumuzun olduğunu görürsek çift ​​açılı kosinüs, o zaman her şey hemen daha iyi olur!

Evet, evet! Orijinal işlevi dönüştürmenin farklılaşmadan önce oldukça kabul edilebilir! Ve bu hayatı çok daha kolay hale getiriyor. Çift açılı kosinüs formülünü kullanarak:

Onlar. bizim zorlu fonksiyonumuz bundan başka bir şey değil y = cosx. Ve bu bir tablo fonksiyonudur. Hemen şunu elde ederiz:

Cevap: y" = - sin x.

İleri düzey mezunlar ve öğrenciler için örnek:

4. Fonksiyonun türevini bulun:

Türev tablosunda elbette böyle bir fonksiyon yoktur. Ama temel matematiği, kuvvetlerle yapılan işlemleri hatırlarsanız... O zaman bu fonksiyonu basitleştirmek oldukça mümkün. Bunun gibi:

Ve x'in onda bir kuvveti zaten bir tablo fonksiyonudur! Üçüncü grup, n=1/10. Doğrudan formüle göre yazıyoruz:

İşte bu. Cevap bu olacak.

Umarım türev almanın ilk ayağı olan türev tablosuyla ilgili her şey açıktır. Geriye kalan iki balinayla ilgilenmeye devam ediyor. Bir sonraki dersimizde türev almanın kurallarını öğreneceğiz.

Türev nasıl bulunur, türev nasıl alınır? Bu dersimizde fonksiyonların türevlerini nasıl bulacağımızı öğreneceğiz. Ancak bu sayfayı incelemeden önce metodolojik materyali tanımanızı şiddetle tavsiye ederim.Okul matematik dersi için sıcak formüller. Referans kılavuzu sayfada açılabilir veya indirilebilir Matematiksel formüller ve tablolar . Ayrıca oradan ihtiyacımız olacakTürev tablosu, yazdırmak daha iyidir; yalnızca şimdi değil, aynı zamanda çevrimdışı olarak da sık sık başvurmanız gerekecektir.

Yemek yemek? Hadi başlayalım. Size iki haberim var: iyi ve çok iyi. İyi haber şu: Türevleri nasıl bulacağınızı öğrenmek için türevin ne olduğunu bilmenize veya anlamanıza gerek yok. Üstelik bir fonksiyonun türevinin tanımını, türevin matematiksel, fiziksel, geometrik anlamını daha sonra sindirmek daha uygundur, çünkü teorinin yüksek kalitede incelenmesi bence bir dizi çalışmanın yapılmasını gerektirir. diğer konuların yanı sıra bazı pratik deneyimler.

Ve şimdi görevimiz aynı türevlere teknik olarak hakim olmaktır. İyi haber şu ki türev almayı öğrenmek o kadar da zor değil; bu görevi çözmek (ve açıklamak) için oldukça net bir algoritma var; örneğin integralleri veya limitleri öğrenmek daha zordur.

Konuyu aşağıdaki sırayla incelemenizi tavsiye ederim: ilk olarak, Bu makale. O zaman en önemli dersi okumalısın Karmaşık bir fonksiyonun türevi . Bu iki temel sınıf becerilerinizi sıfırdan geliştirecek. Daha sonra makalede daha karmaşık türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz. Kompleks türevler.

Logaritmik türev. Çıta çok yüksekse önce konuyu okuyun Türevlerle ilgili en basit tipik problemler. Yeni materyale ek olarak ders, daha basit türev türlerini de kapsamaktadır ve türev alma tekniğinizi geliştirmek için harika bir fırsattır. Ek olarak, test kağıtları neredeyse her zaman örtülü veya parametrik olarak belirtilen fonksiyonların türevlerini bulma konusunda görevler içerir. Bir de şöyle bir ders var: Örtülü ve parametrik olarak tanımlanmış fonksiyonların türevleri.

Fonksiyonların türevlerini nasıl bulacağınızı size adım adım erişilebilir bir biçimde öğretmeye çalışacağım. Tüm bilgiler basit kelimelerle ayrıntılı olarak sunulmaktadır.

Aslında hemen bir örneğe bakalım: Örnek 1

Fonksiyonun türevini bulun Çözüm:

Bu en basit örnektir, lütfen bunu temel fonksiyonların türevleri tablosunda bulun. Şimdi çözüme bakalım ve ne olduğunu analiz edelim mi? Ve şu şey oldu:

Çözümün sonucunda fonksiyona dönüşen bir fonksiyonumuz vardı.

Oldukça basit bir şekilde ifade etmek gerekirse, türevi bulmak için

işlevi belirli kurallara göre başka bir işleve dönüştürmeniz gerekir. . Türev tablosuna tekrar bakın; orada fonksiyonlar başka fonksiyonlara dönüşüyor. Tek kişi

istisna üstel fonksiyondur;

kendine dönüşür. Türev bulma işlemine denirfarklılaşma.

Gösterim: Türev veya ile gösterilir.

DİKKAT, ÖNEMLİ! Vuruş yapmayı (gerekliyse) veya fazladan vuruş yapmayı (gerekli değilse) unutmak BÜYÜK BİR HATADIR! Bir fonksiyon ve onun türevi iki farklı fonksiyondur!

Türev tablomuza dönelim. Bu tablodan arzu edilir ezberlemek: Bazı temel fonksiyonların türev ve türevlerinin kuralları, özellikle:

sabitin türevi:

Sabit bir sayı nerede; bir güç fonksiyonunun türevi:

Özellikle:,,.

Neden hatırladın? Bu bilgi türevlerle ilgili temel bilgidir. Ve öğretmenin "Bir sayının türevi nedir?" sorusuna cevap veremezseniz, o zaman üniversitedeki çalışmalarınız sizin için sona erebilir (şahsen iki gerçek hayat vakasına aşinayım). Ayrıca türevlerle karşılaştığımızda hemen hemen her zaman kullanmak zorunda kaldığımız en yaygın formüller bunlardır.

İÇİNDE Gerçekte, basit tablo örnekleri nadirdir; genellikle türevleri bulurken ilk önce türev kuralları ve ardından temel fonksiyonların türevleri tablosu kullanılır.

İÇİNDE bu bağlantının dikkate alınmasına devam ediyoruzfarklılaşma kuralları:

1) Türev işaretinden sabit bir sayı çıkarılabilir (ve çıkarılmalıdır)

Sabit bir sayı nerede (sabit) Örnek 2

Bir fonksiyonun türevini bulun

Türev tablosuna bakalım. Kosinüsün türevi orada ama bizde .

Kuralı kullanmanın zamanı geldi, türevin işaretinden sabit faktörü çıkarıyoruz:

Şimdi kosinüsümüzü tabloya göre dönüştürüyoruz:

Sonucu biraz "taramanız" tavsiye edilir - eksi işaretini ilk sıraya koyarken aynı zamanda parantezlerden kurtulun:

2) Toplamın türevi, türevlerin toplamına eşittir

Bir fonksiyonun türevini bulun

Karar verelim. Muhtemelen zaten fark ettiğiniz gibi, bir türevi bulurken her zaman gerçekleştirilen ilk adım, ifadenin tamamını parantez içine almak ve sağ üst köşeye bir asal sayı koymaktır:

İkinci kuralı uygulayalım:

Farklılaşma için tüm köklerin ve kuvvetlerin formda temsil edilmesi gerektiğini ve paydada olmaları durumunda, o zaman

onları yukarı taşıyın. Bunun nasıl yapılacağı öğretim materyallerimde tartışılmaktadır.

Şimdi türev almanın ilk kuralını hatırlayalım - türevin işareti dışındaki sabit faktörleri (sayıları) alıyoruz:

Genellikle çözüm sırasında bu iki kural aynı anda uygulanır (uzun bir ifadeyi tekrar yazmamak için).

Konturların altında bulunan tüm işlevler temel tablo işlevleridir; tabloyu kullanarak dönüşümü gerçekleştiriyoruz:

Artık vuruş olmadığından ve türev bulunduğundan her şeyi olduğu gibi bırakabilirsiniz. Ancak bunun gibi ifadeler genellikle basitleştirir:

Formun tüm güçlerinin tekrar kök şeklinde temsil edilmesi tavsiye edilir,

Negatif üslü kuvvetler – paydaya atın. Bunu yapmak zorunda olmasanız da bu bir hata olmayacaktır.

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu örneği kendiniz çözmeye çalışın (cevabını dersin sonunda verin).

3) Fonksiyonların çarpımının türevi

Görünüşe göre benzetme şu formülü öneriyor ...., ancak sürpriz şu ki:

Bu alışılmadık bir kuraldır(aslında diğerleri gibi) şunu takip eder: türev tanımları. Ancak şimdilik teoriyi bir kenara bırakacağız; şimdi nasıl çözüleceğini öğrenmek daha önemli:

Bir fonksiyonun türevini bulun

Burada bağlı olarak iki fonksiyonun çarpımı var. Önce garip kuralımızı uyguluyoruz, sonra türev tablosunu kullanarak fonksiyonları dönüştürüyoruz:

Zor? Hiç de değil, bir çaydanlık için bile oldukça erişilebilir.

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu fonksiyon iki fonksiyonun (bir kare trinomial ve bir logaritma) toplamını ve çarpımını içerir. Okuldan çarpma ve bölmenin toplama ve çıkarmaya göre öncelikli olduğunu hatırlıyoruz.

Burada da durum aynı. İLK olarak ürün farklılaştırma kuralını kullanıyoruz:

Şimdi parantez için ilk iki kuralı kullanıyoruz:

Türev kurallarının vuruşlara uygulanması sonucunda elimizde yalnızca temel fonksiyonlar kalıyor; türev tablosunu kullanarak bunları başka fonksiyonlara dönüştürüyoruz:

Türev bulma konusunda biraz tecrübeye sahip olduğumuzda, basit türevlerin bu kadar ayrıntılı bir şekilde tanımlanmasına gerek yok gibi görünüyor. Genel olarak, genellikle sözlü olarak karar verilir ve hemen yazılır. .

Bir fonksiyonun türevini bulun Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir (cevap dersin sonunda)

4) Bölüm fonksiyonlarının türevi

Tavanda bir kapak açıldı, paniğe kapılmayın, bu bir aksaklık. Ama acı gerçek şu:

Bir fonksiyonun türevini bulun

Burada eksik olan – toplam, fark, çarpım, kesir…. Nereden başlamalı? Şüpheler var, hiç şüphe yok, ancak HER DURUMDA önce parantez çizeriz ve sağ üst köşeye bir vuruş koyarız:

Şimdi parantez içindeki ifadeye bakıyoruz, bunu nasıl sadeleştirebiliriz? Bu durumda, ilk kurala göre türevin işaretini çıkarmanın tavsiye edildiği bir faktör fark ediyoruz:

Aynı zamanda payda artık ihtiyaç duyulmayan parantezlerden de kurtuluyoruz. Genel olarak konuşursak, türevi bulurken sabit faktörler