Soru:

Piramit tabana paralel bir düzlemle kesişiyor. Taban alanı 1690dm2, kesit alanı ise 10dm2’dir. Tepe noktasından itibaren sayıldığında kesme düzlemi piramidin yüksekliğini hangi oranda böler?

Cevaplar:

paralel bir düzlem buna benzer bir piramidi keser (h1/h)²=s1/s (h1/h)²=10/1690=1/169 h1/h=√1/169= 1/13 jndtn 1/13

Benzer sorular

• Konuyla ilgili test yapın: "Zarfların yazımı" Zarf son eklerinin yazılışını, zarflarla değil ayrı ve sürekli yazılışını, zarfların sürekli, ayrı, tireli yazılışını kontrol ediyoruz Seçenek 1. 1. Parantezleri açın. “Üçüncü tekerleği” işaretleyin: a) oturdu (hareketsiz); (yanlışlıkla) gördüm; yüksek sesle şarkı söyledi (değil); Olumsuz zarfların olduğu satırı vurgulayın: a) hiçbir şey; birdenbire; hiçbir yerde; oldukça fazla;

ÜÇÜNCÜ BÖLÜM

POLİhedra

1. PARALEL BORU VE PİRAMİT

Bir piramitteki paralel bölümlerin özellikleri

74. Teorem. Eğer piramit (çizim 83) tabana paralel bir düzlemle kesişirse:

1) yan kaburgalar ve yükseklik bu düzlem tarafından orantılı parçalara bölünür;

2) kesitte bir çokgen olduğu ortaya çıkıyor (Abcde ), tabana benzer;

3) Kesit alanları ve tabanlar tepe noktasına olan uzaklıklarının kareleri ile ilişkilidir.

1) Düz ab ve AB, iki paralel düzlemin (taban ve sekant) üçüncü düzlem ASB ile kesişme çizgisi olarak düşünülebilir; Bu yüzden ab||AB (§ 16). Aynı sebepten dolayı M.Ö.||MÖ, CD||CD, ... ve en||AM; bunun sonucunda

S A / A bir=S B / B B=S C / C C=...=S M / M M

2) ASB üçgenlerinin benzerliğinden ve A S B, ardından BSC ve B S C vb. çıktısını alıyoruz:

AB / ab= BS / bs; B.S. / bs= M.Ö. / M.Ö. ,

AB / ab= M.Ö. / M.Ö.

M.Ö. / M.Ö.=CS / CS; CS / CS= CD / CD M.Ö.'den / M.Ö.= CD / CD .

Ayrıca ABCDE ve çokgenlerinin geri kalan kenarlarının orantılılığını da kanıtlayacağız. Abcde. Üstelik bu çokgenler eşit karşılık gelen açılara sahip olduklarından (paralel ve aynı şekilde yönlendirilmiş kenarlardan oluşturuldukları için), o zaman benzerdirler.

3) Benzer çokgenlerin alanları, benzer kenarların kareleri ile ilişkilidir; Bu yüzden

75. Sonuç. Düzenli bir kesik piramidin, alt tabana benzer düzgün bir çokgen olan bir üst tabanı vardır ve yan yüzleri eşit ve ikizkenar yamuklardır.(çizim 83).

Bu yamuklardan herhangi birinin yüksekliğine denir özlü söz Düzenli kesik piramit.

76. Teorem. Eşit yükseklikte iki piramit tabanlara paralel düzlemlerle üstten aynı uzaklıkta kesilirse bölümlerin alanları tabanların alanlarıyla orantılıdır.

(Şekil 84) B ve B1 iki piramidin taban alanları olsun, H her birinin yüksekliği olsun, B Ve B 1 - tabanlara paralel ve köşelerden aynı mesafede kaldırılan düzlemlerin kesit alanları H.

Önceki teoreme göre elimizde:

77. Sonuç. Eğer B = B 1 ise, o zaman B = B 1, yani Eşit yüksekliğe sahip iki piramidin tabanları eşitse üstten eşit aralıklı bölümler de eşittir.

); showPlots(;0 noAxes0 );

Pirinç. 1.10: Dikdörtgen Paralel Borulu

1.3 Bir piramitteki paralel bölümlerin özellikleri

1.3.1 Piramitte kesiklerle ilgili teoremler

Eğer piramit (1.11) tabana paralel bir düzlemle kesişiyorsa:

1) yan kaburgalar ve yükseklik bu düzlem tarafından orantılı parçalara bölünür;

2) kesitte tabana benzer bir çokgen (abcde) elde edilir;

3) Kesit alanları ve tabanlar tepe noktasına olan uzaklıklarının kareleri ile ilişkilidir.

1) Ab ve AB düz çizgileri, iki paralel düzlemin (taban ve kesen) üçüncü ASB düzlemiyle kesişme çizgileri olarak düşünülebilir; bu nedenle abkAB. Aynı nedenle bckBC, cdkCD.... ve amkAM; bunun sonucunda

aA Sa = bB Sb = cC Sc = ::: = mM Sm :

2) ASB ve aSb üçgenlerinin, ardından BSC ve bSc vb. üçgenlerinin benzerliğinden şunu elde ederiz:

AB ab = BS bS; BS bS = BC bc ;

AB ab = BC bc :

BC bc = CS cS ; CS cS = CD cd;

BC bc = CD cd

ABCDE ve abcde çokgenlerinin geri kalan kenarlarının orantılılığını da kanıtlayacağız. Ayrıca, bu çokgenlerin karşılık gelen açıları da eşit olduğundan (paralel ve aynı yöndeki kenarlardan oluştuğu için), bu durumda benzerdirler. Benzer çokgenlerin alanları, benzer kenarların kareleri ile ilişkilidir; Bu yüzden

AB ab = AS as = M msS ;

[ 0A 0; 0 B 0; 0 C 0; 0 D 0; 0 E 0; 0 ve 0; 0 b 0; 0 c 0; 0 d 0; 0 M 0; 0 m 0; 0 S 0];

); showPlots(;0 noAxes0 );

1.3.2 Sonuç

Düzgün kesik piramidin üst tabanı alt tabana benzer şekilde düzgün çokgen olup, yan yüzleri eşit ve ikizkenar yamuktur (1.11).

Bu yamuklardan herhangi birinin yüksekliğine düzenli kesik piramidin özeti denir.

1.3.3 Bir piramitte paralel bölüm teoremi

Eşit yükseklikte iki piramit tabanlara paralel düzlemlerle üstten aynı uzaklıkta kesilirse bölümlerin alanları tabanların alanlarıyla orantılıdır.

(1.12) B ve B1 iki piramidin taban alanları, H her birinin yüksekliği, b ve b1 tabanlara paralel ve köşelerden aynı h uzaklığında çıkan düzlemlerin kesit alanları olsun.

Önceki teoreme göre elimizde:

Bir piramidi nasıl inşa edebilirsiniz? Uçakta R Bir çokgen oluşturalım, örneğin ABCDE beşgeni. uçak dışında R S noktasını alalım. S noktasını çokgenin tüm noktalarına parçalarla bağlayarak SABCDE piramidini elde ederiz (Şekil).

S noktasına denir tepe ve ABCDE çokgeni temel bu piramit. Böylece, tepesi S ve tabanı ABCDE olan bir piramit, M ∈ ABCDE olan tüm parçaların birleşimidir.

SAB, SBC, SCD, SDE, SEA üçgenlerine denir yan yüzler piramitler, yan yüzlerin ortak kenarları SA, SB, SC, SD, SE - yan kaburgalar.

Piramitler denir üçgen, dörtgen, p-açılı tabanın kenar sayısına bağlı olarak. Şek. Üçgen, dörtgen ve altıgen piramitlerin görüntüleri verilmiştir.

Piramidin tepesinden ve tabanın köşegeninden geçen düzleme denir. diyagonal ve sonuçta ortaya çıkan bölüm diyagonal.Şek. Şekil 186 altıgen piramidin çapraz bölümlerinden biri gölgelendirilmiştir.

Piramidin tepesinden taban düzlemine çizilen dik parçaya piramidin yüksekliği denir (bu parçanın uçları piramidin tepesi ve dikin tabanıdır).

Piramit denir doğru Piramidin tabanı düzgün bir çokgen ise ve piramidin tepe noktası merkeze yansıtılıyorsa.

Düzenli bir piramidin tüm yan yüzleri uyumlu ikizkenar üçgenlerdir. Düzenli bir piramitte tüm yan kenarlar eşittir.

Düzgün bir piramidin tepe noktasından çizilen yan yüzünün yüksekliğine ne denir? özlü söz piramitler. Düzenli bir piramidin tüm özleri uyumludur.

Tabanın kenarını şu şekilde belirlersek A ve özgeçmiş aracılığıyla H o zaman piramidin bir yan yüzünün alanı 1/2'dir Ah.

Piramidin tüm yan yüzlerinin alanlarının toplamına denir. yan yüzey alanı piramit ve S tarafı ile gösterilir.

Düzenli bir piramidin yan yüzeyi aşağıdakilerden oluştuğundan N o zaman uyumlu yüzler

S tarafı = 1/2 ah= P H / 2 ,

burada P piramidin tabanının çevresidir. Buradan,

S tarafı = P H / 2

yani. Düzenli bir piramidin yan yüzeyinin alanı, tabanın çevresi ile apothemin çarpımının yarısına eşittir.

Piramidin toplam yüzey alanı formülle hesaplanır

S = S ocn. + S tarafı. .

Piramidin hacmi, Socn tabanının alanının çarpımının üçte birine eşittir. H yüksekliğine kadar:

V = 1/3 S ana. N.

Bunun ve diğer bazı formüllerin türetilmesi sonraki bölümlerden birinde verilecektir.

Şimdi farklı bir şekilde piramit inşa edelim. S köşesine sahip çokyüzlü bir açı, örneğin beş yüzlü bir açı verilsin (Şek.).

Bir uçak çizelim R böylece belirli bir çokyüzlü açının tüm kenarlarını farklı A, B, C, D, E noktalarında keser (Şek.). O halde SABCDE piramidi, çokyüzlü bir açı ile yarım uzayın sınırla kesişimi olarak düşünülebilir. R, S tepe noktasının bulunduğu yer.

Açıkçası, piramidin tüm yüzlerinin sayısı isteğe bağlı olabilir, ancak dörtten az olamaz. Üçgen açı bir düzlemle kesiştiğinde dört tarafı olan üçgen bir piramit elde edilir. Herhangi bir üçgen piramit bazen denir dörtyüzlü yani tetrahedron anlamına gelir.

Kesilmiş piramit Piramidin taban düzlemine paralel bir düzlemle kesişmesi durumunda elde edilebilir.

Şek. Dörtgen kesik bir piramidin görüntüsü verilmiştir.

Kesik piramitler de denir üçgen, dörtgen, n-gonal tabanın kenar sayısına bağlı olarak. Kesik bir piramidin yapısından iki tabanı olduğu anlaşılmaktadır: üst ve alt. Kesik bir piramidin tabanları, kenarları çiftler halinde paralel olan iki çokgendir. Kesik piramidin yan yüzleri yamuktur.

Yükseklik kesik piramit, üst tabanın herhangi bir noktasından alt tabanın düzlemine çizilen dikey bir bölümdür.

Düzenli kesik piramit Düzenli bir piramidin taban ile tabana paralel kesit düzlemi arasında kalan kısmına denir. Düzenli bir kesik piramidin (yamuk) yan yüzünün yüksekliğine denir özlü söz.

Düzenli bir kesik piramidin uyumlu yan kenarlara sahip olduğu, tüm yan yüzlerin uyumlu olduğu ve tüm özdeyişlerin uyumlu olduğu kanıtlanabilir.

Doğru kesilmişse N-kömür piramidi içinden A Ve bnüst ve alt tabanların kenar uzunluklarını ve içinden geçenleri belirtin H kısa çizginin uzunluğu ise piramidin her bir yan yüzünün alanı eşittir

1 / 2 (A + bn) H

Piramidin tüm yan yüzlerinin alanlarının toplamına yan yüzeyinin alanı denir ve S tarafı olarak adlandırılır. . Açıkçası, doğru bir kesik için N-kömür piramidi

S tarafı = N 1 / 2 (A + bn) H.

Çünkü baba= P ve nb n= P 1 - kesik piramidin tabanlarının çevresi, o zaman

S tarafı = 1/2 (P + P 1) H,

yani, düzenli bir kesik piramidin yan yüzeyinin alanı, tabanlarının çevreleri ile apothemin toplamının çarpımının yarısına eşittir.

Piramidin tabanına paralel bölüm

1) yan kaburgalar ve yükseklik orantılı parçalara bölünecektir;

2) kesitte tabana benzer bir çokgen elde edeceksiniz;

3) Kesit alanları ve tabanlar üstten uzaklıklarının kareleri ile ilişkilidir.

Üçgen piramit teoremini kanıtlamak yeterlidir.

Paralel düzlemler paralel doğrular boyunca üçüncü bir düzlemle kesiştiği için (AB) || (A 1 B 1), (BC) ||(B 1 C 1), (AC) || (A 1 C 1) (şek.).

Paralel çizgiler bir açının kenarlarını orantılı parçalara ayırır ve bu nedenle

$$ \frac(\left|(SA)\right|)(\left|(SA_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1)\right| )=\frac(\left|(SC)\right|)(\left|(SC_1)\right|) $$

Bu nedenle ΔSAB ~ ΔSA 1 B 1 ve

$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1 )\sağ|) $$

ΔSBC ~ ΔSB 1 C 1 ve

$$ \frac(\left|(BC)\right|)(\left|(B_(1)C_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1 )\right|)=\frac(\left|(SC)\right|)(\left|(SC_1)\right|) $$

Böylece,

$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(BC)\right|)(\left|(B_ (1)C_1)\sağ|)=\frac(\left|(AC)\right|)(\left|(A_(1)C_1)\right|) $$

ABC ve A 1 B 1 C 1 üçgenlerinin karşılık gelen açıları, kenarları paralel ve aynı olan açılar gibi uyumludur. Bu yüzden

ΔABC ~ ΔA 1 B 1 C 1

Benzer üçgenlerin alanları, karşılık gelen kenarların kareleri ile ilişkilidir:

$$ \frac(S_(ABC)(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(AB)\right|^2)(\left|(A_(1)B_1)\right|^2 ) $$

$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(SH)\right|)(\left|(SH_1 )\sağ|) $$

Buradan,

$$ \frac(S_(ABC)(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(SH)\right|^2)(\left|(SH_1)\right|^2) $$

Teorem. Eşit yükseklikte iki piramit tabanlara paralel düzlemlerle üstten aynı uzaklıkta kesilirse bölümlerin alanları tabanların alanlarıyla orantılıdır.

(Şekil 84) B ve B1 iki piramidin taban alanları olsun, H her birinin yüksekliği olsun, B Ve B 1 - tabanlara paralel ve köşelerden aynı mesafede kaldırılan düzlemlerin kesit alanları H.

Önceki teoreme göre elimizde:

$$ \frac(b)(B)=\frac(h^2)(H^2)\: ve \: \frac(b_1)(B_1)=\frac(h^2)(H^2) $ $
Neresi
$$ \frac(b)(B)=\frac(b_1)(B_1)\: veya \: \frac(b)(b_1)=\frac(B)(B_1) $$

Sonuçlar. Eğer B = B 1 ise, o zaman B = B 1, yani Eşit yüksekliğe sahip iki piramidin tabanları eşitse üstten eşit aralıklı bölümler de eşittir.