Bir fonksiyonun artan, azalan ve ekstremum değerleri

Bir fonksiyonun artış, azalma ve ekstremum aralıklarını bulmak hem bağımsız bir görevdir hem de diğer görevlerin önemli bir parçasıdır. tam fonksiyon çalışması. Fonksiyonun artış, azalış ve ekstremum değerlerine ilişkin ilk bilgiler aşağıda verilmiştir. türev üzerine teorik bölümÖn çalışma için şiddetle tavsiye ettiğim (veya tekrarlama)– ayrıca aşağıdaki materyalin aynı temele dayanması nedeniyle esasen türev, bu makalenin uyumlu bir devamı niteliğindedir. Ancak zaman kısaysa, bugünkü dersten alınan örneklerin tamamen resmi bir şekilde uygulanması da mümkündür.

Ve bugün havada nadir görülen bir birlik ruhu var ve orada bulunan herkesin arzuyla yandığını doğrudan hissedebiliyorum. Türevini kullanarak bir fonksiyonu keşfetmeyi öğrenin. Bu nedenle makul, iyi, ebedi terminoloji hemen monitör ekranlarınızda belirir.

Ne için? Sebeplerden biri en pratik olanıdır: böylece belirli bir görevde genel olarak sizden ne istendiğinin netleşmesi için!

Fonksiyonun monotonluğu. Bir fonksiyonun ekstremum noktaları ve ekstremumları

Biraz fonksiyon düşünelim. Basitçe söylemek gerekirse, onun olduğunu varsayıyoruz. sürekli tüm sayı doğrusunda:

Her ihtimale karşı, özellikle yeni tanışan okuyucular için olası yanılsamalardan bir an önce kurtulalım. fonksiyonun sabit işaret aralıkları. Şimdi biz İLGİLİ DEĞİL, fonksiyonun grafiğinin eksene göre nasıl yerleştirildiği (eksenin kesiştiği yerde yukarıda, aşağıda). İkna edici olmak için eksenleri zihinsel olarak silin ve bir grafik bırakın. Çünkü ilginin yattığı yer burası.

İşlev artar Bir aralıkta, bu aralığın ilişkiyle birbirine bağlanan herhangi iki noktası için eşitsizlik doğrudur. Yani, argümanın daha büyük bir değeri, fonksiyonun daha büyük bir değerine karşılık gelir ve grafiği "aşağıdan yukarıya" doğru gider. Gösterim işlevi aralık boyunca büyür.

Aynı şekilde, fonksiyon azalır Belirli bir aralığın herhangi iki noktası için eşitsizlik doğru olacak şekilde bir aralıkta. Yani, argümanın daha büyük bir değeri, fonksiyonun daha küçük bir değerine karşılık gelir ve grafiği "yukarıdan aşağıya" doğru gider. Fonksiyonumuz aralıklarla azalır .

Bir fonksiyon belirli bir aralıkta artıyor veya azalıyorsa buna denir. kesinlikle monoton bu aralıkta. Monotonluk nedir? Kelimenin tam anlamıyla alın – monotonluk.

Ayrıca tanımlayabilirsiniz azalmayan işlev (ilk tanımda rahat durum) ve artmayan fonksiyon (2. tanımda yumuşatılmış durum). Bir aralıkta azalmayan veya artmayan bir fonksiyona, belirli bir aralıkta monoton fonksiyon denir (katı monotonluk, “basitçe” monotonluğun özel bir durumudur).

Teori aynı zamanda yarım aralıklar, bölümler de dahil olmak üzere bir fonksiyonun artışını/azalışını belirlemeye yönelik diğer yaklaşımları da dikkate alır, ancak başınıza yağ-yağ-yağ dökmemek için kategorik tanımlarla açık aralıklarla çalışmayı kabul edeceğiz. - bu daha açık ve birçok pratik sorunu çözmek için oldukça yeterli.

Böylece, makalelerimde "bir fonksiyonun monotonluğu" ifadesi neredeyse her zaman gizlenecek aralıklar katı monotonluk(kesinlikle artan veya kesinlikle azalan fonksiyon).

Bir noktanın mahallesi. Ardından öğrencilerin bulabildikleri her yere kaçtıkları ve köşelerde dehşet içinde saklandıkları sözler. ...her ne kadar gönderiden sonra Cauchy sınırları Muhtemelen artık saklanmıyorlar, sadece hafifçe titriyorlar =) Endişelenmeyin, artık matematiksel analiz teoremlerinin kanıtı olmayacak - tanımları daha kesin bir şekilde formüle etmek için çevreye ihtiyacım vardı ekstrem noktalar. Hatırlayalım:

Bir noktanın mahallesi Belirli bir noktayı içeren bir aralık denir ve kolaylık sağlamak için aralığın genellikle simetrik olduğu varsayılır. Örneğin bir nokta ve onun standart komşuluğu:

Aslında tanımlar:

Nokta denir kesin maksimum nokta, Eğer var onun mahallesi, herkes için değerleri noktanın kendisi dışında eşitsizliktir. Özel örneğimizde bu bir noktadır.

Nokta denir kesin minimum nokta, Eğer var onun mahallesi, herkes için değerleri noktanın kendisi dışında eşitsizliktir. Çizimde “a” noktası var.

Not : Komşuluk simetrisi gerekliliği hiç de gerekli değildir. Ayrıca önemli varoluşun gerçeği belirtilen koşulları karşılayan mahalle (küçük veya mikroskobik)

noktalar denir kesinlikle ekstremum noktalar ya da sadece ekstrem noktalar işlevler. Yani maksimum puanlar ve minimum puanlar için genelleştirilmiş bir terimdir.

“Aşırı” kelimesini nasıl anlıyoruz? Evet, monotonluk kadar doğrudan. Hız trenlerinin uç noktaları.

Monotonluk durumunda olduğu gibi, gevşek varsayımlar mevcuttur ve teoride daha da yaygındır. (tabii ki, dikkate alınan katı davalar da bu kapsamdadır!):

Nokta denir maksimum nokta, Eğer varçevresi öyle herkes için
Nokta denir minimum puan, Eğer varçevresi öyle herkes için Bu mahallenin değerleri, eşitsizliği barındırıyor.

Son iki tanıma göre, sabit bir fonksiyonun (veya bir fonksiyonun "düz bölümünün") herhangi bir noktasının hem maksimum hem de minimum nokta olarak kabul edildiğini unutmayın! Bu arada fonksiyon hem artmayan hem de azalmayan, yani monotondur. Bununla birlikte, bu düşünceleri teorisyenlere bırakacağız, çünkü pratikte neredeyse her zaman geleneksel "tepeler" ve "oyuklar" (çizime bakınız) benzersiz bir "tepenin kralı" veya "bataklığın prensesi" ile düşünürüz. Bir çeşitlilik olarak ortaya çıkar uç, yukarı veya aşağı yönlendirilmiş, örneğin noktadaki fonksiyonun minimumu.

Ah, kraliyetten bahsetmişken:
– anlamı denir maksimum işlevler;
– anlamı denir minimum işlevler.

Ortak ad – aşırılıklar işlevler.

Lütfen sözlerinize dikkat edin!

Ekstrem noktalar– bunlar “X” değerleridir.
Aşırılıklar– “oyun” anlamları.

! Not : Bazen listelenen terimler doğrudan fonksiyonun KENDİSİNİN GRAFİĞİ üzerinde yer alan “X-Y” noktalarına atıfta bulunur.

Bir fonksiyon kaç ekstrema sahip olabilir?

Yok, 1, 2, 3,... vb. sonsuza dek. Örneğin sinüsün sonsuz sayıda minimum ve maksimum değeri vardır.

ÖNEMLİ!"Maksimum fonksiyon" terimi aynı değil"bir fonksiyonun maksimum değeri" terimi. Değerin yalnızca yerel mahallede maksimum olduğunu ve sol üstte "daha havalı yoldaşların" bulunduğunu fark etmek kolaydır. Aynı şekilde “bir fonksiyonun minimumu” ile “bir fonksiyonun minimum değeri” aynı şey değildir ve çizimde değerin sadece belirli bir alanda minimum olduğunu görüyoruz. Bu bakımdan ekstrem noktalara da denir. yerel ekstremum noktaları ve ekstremum – yerel aşırılıklar. Yakınlarda yürürler ve dolaşırlar ve küresel kardeşler. Yani herhangi bir parabolün tepe noktasında küresel minimum veya küresel maksimum. Ayrıca, aşırı uç türleri arasında ayrım yapmayacağım ve açıklama daha çok genel eğitim amaçlı olarak dile getirildi - "yerel"/"küresel" ek sıfatları sizi şaşırtmamalı.

Teoriye yaptığımız kısa geziyi bir deneme çekimiyle özetleyelim: "Fonksiyonun monotonluk aralıklarını ve ekstremum noktalarını bulma" görevi ne anlama geliyor?

İfade sizi şunu bulmaya teşvik ediyor:

– artan/azalan fonksiyon aralıkları (azalmayan, artmayan çok daha az sıklıkla görülür);

– maksimum ve/veya minimum puanlar (varsa). Başarısızlığı önlemek için minimumları/maksimumları kendiniz bulmak daha iyidir ;-)

Bütün bunlar nasıl belirlenir? Türev fonksiyonunu kullanma!

Artan, azalan aralıklar nasıl bulunur?
Fonksiyonun ekstrem noktaları ve ekstremumları?

Aslında pek çok kural zaten biliniyor ve anlaşılıyor. türevin anlamı hakkında ders.

Teğet türev boyunca fonksiyonun arttığına dair sevindirici bir haber getiriyor tanım alanı.

Kotanjant ve türevi ile durum tam tersidir.

Ark sinüs aralık boyunca artar - buradaki türev pozitiftir: .
Fonksiyon tanımlı fakat türevlenebilir olmadığında. Ancak kritik noktada sağdan türev ve sağdan teğet vardır ve diğer kenarda da bunların sol yönlü karşılıkları vardır.

Ark kosinüs ve türevi için de benzer akıl yürütmenin sizin için çok zor olmayacağını düşünüyorum.

Yukarıdaki durumların tümü, bunların çoğu tablosal türevler, hatırlatırım, doğrudan şuradan takip edin türev tanımları.

Neden bir fonksiyonu türevini kullanarak araştıralım?

Bu fonksiyonun grafiğinin neye benzediğini daha iyi anlamak için: "aşağıdan yukarıya" gittiği yer, "yukarıdan aşağıya" gittiği yer, minimum ve maksimumlara ulaştığı yer (eğer ulaşıyorsa). Tüm fonksiyonlar o kadar basit değildir; çoğu durumda belirli bir fonksiyonun grafiği hakkında hiçbir fikrimiz yoktur.

Daha anlamlı örneklere geçip bunları düşünmenin zamanı geldi. Bir fonksiyonun monotonluk ve ekstremum aralıklarını bulmak için algoritma:

Örnek 1

Fonksiyonun artış/azalış aralıklarını ve ekstremumlarını bulun

Çözüm:

1) İlk adım bulmaktır bir fonksiyonun alanı ve ayrıca kesme noktalarını (varsa) not edin. Bu durumda fonksiyon tüm sayı doğrusu üzerinde süreklidir ve bu eylem bir dereceye kadar resmidir. Ancak bazı durumlarda burada ciddi tutkular alevlenir, bu yüzden paragrafı küçümsemeden ele alalım.

2) Algoritmanın ikinci noktası şundan kaynaklanmaktadır:

bir ekstremum için gerekli koşul:

Bir noktada bir ekstremum varsa o zaman değer de mevcut değildir.

Sonu kafanız mı karıştı? “Modül x” fonksiyonunun ekstremumu .

Şart gerekli ama yeterli değil ve bunun tersi her zaman doğru değildir. Dolayısıyla eşitlikten fonksiyonun noktasında maksimum veya minimuma ulaştığı sonucu henüz çıkmaz. Yukarıda klasik bir örnek zaten vurgulanmıştı - bu kübik bir parabol ve onun kritik noktasıdır.

Ancak öyle de olsa, bir ekstremum için gerekli koşul, şüpheli noktaların bulunması ihtiyacını zorunlu kılmaktadır. Bunu yapmak için türevi bulun ve denklemi çözün:

İlk makalenin başında fonksiyon grafikleri hakkında Bir örnek kullanarak hızlı bir şekilde parabolün nasıl oluşturulacağını anlattım. : “...birinci türevi alıp sıfıra eşitliyoruz: ...Yani denklemimizin çözümü: - parabolün tepe noktası tam da bu noktada...”. Sanırım artık herkes parabolün tepe noktasının neden tam olarak bu noktada bulunduğunu anladı =) Genel olarak burada da benzer bir örnekle başlamalıyız ama bu çok basit (bir çaydanlık için bile). Ayrıca dersin en sonunda bir analog var. bir fonksiyonun türevi. Bu nedenle dereceyi artıralım:

Örnek 2

Fonksiyonun monotonluk ve ekstremum aralıklarını bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Dersin sonunda tam bir çözüm ve problemin yaklaşık nihai örneği.

Kesirli-rasyonel fonksiyonlarla uzun zamandır beklenen buluşma anı geldi:

Örnek 3

Birinci türevi kullanarak bir fonksiyonu keşfedin

Bir ve aynı görevin ne kadar değişken biçimde yeniden formüle edilebileceğine dikkat edin.

Çözüm:

1) Fonksiyon noktalarda sonsuz süreksizliklere maruz kalır.

2) Kritik noktaları tespit ediyoruz. Birinci türevi bulup sıfıra eşitleyelim:

Denklemi çözelim. Payı sıfır olduğunda bir kesir sıfırdır:

Böylece üç kritik nokta elde ediyoruz:

3) Tespit edilen TÜM noktaları sayı doğrusu üzerinde çizeriz ve aralık yöntemi TÜREVİN işaretlerini tanımlarız:

Aralıkta bir nokta alıp türevin değerini hesaplamanız gerektiğini size hatırlatırım. ve işaretini belirleyin. Saymak bile değil, sözlü olarak "tahmin etmek" daha karlı. Örneğin aralığa ait bir noktayı alalım ve yerine koyma işlemini gerçekleştirelim: .

Dolayısıyla iki "artı" ve bir "eksi" bir "eksi" verir, bu da türevin tüm aralık boyunca negatif olduğu anlamına gelir.

Anladığınız gibi eylemin altı aralığın her biri için gerçekleştirilmesi gerekiyor. Bu arada, pay faktörünün ve paydanın herhangi bir aralıktaki herhangi bir nokta için kesinlikle pozitif olduğunu ve bunun görevi büyük ölçüde basitleştirdiğini unutmayın.

Yani türev bize FONKSİYONUN KENDİSİNİN şu kadar arttığını söyledi: ve kadar azalır. Aynı türdeki aralıkları birleştirme simgesiyle bağlamak uygundur.

Fonksiyonun maksimuma ulaştığı noktada:
Fonksiyonun minimuma ulaştığı noktada:

İkinci değeri neden yeniden hesaplamak zorunda olmadığınızı düşünün ;-)

Bir noktadan geçerken türev işaret değiştirmez, dolayısıyla fonksiyonun orada EKSTREMİ YOKTUR - hem azaldı hem de azalan kaldı.

! Önemli bir noktayı tekrarlayalım: noktalar kritik olarak kabul edilmez - bir işlev içerirler tanımlanmamış. Buna göre burada Prensipte hiçbir aşırılık olamaz(türev işaret değiştirse bile).

Cevap: fonksiyon şu kadar artar: ve azalır Fonksiyonun maksimum değerine ulaşıldığı noktada: , ve bu noktada – minimum: .

Monotonluk aralıkları ve ekstremum bilgisi, yerleşik bilgilerle birlikte asimptotlar zaten fonksiyon grafiğinin görünümü hakkında çok iyi bir fikir veriyor. Ortalama eğitime sahip bir kişi, bir fonksiyonun grafiğinin iki dikey asimptotu ve bir eğik asimptotu olduğunu sözlü olarak belirleyebilir. İşte kahramanımız:

Çalışmanın sonuçlarını bu fonksiyonun grafiğiyle ilişkilendirmeyi bir kez daha deneyin.
Kritik noktada ekstremum yoktur ancak grafik bükülmesi(kural olarak benzer durumlarda olur).

Örnek 4

Fonksiyonun ekstremumunu bulun

Örnek 5

Fonksiyonun monotonluk aralıklarını, maksimumlarını ve minimumlarını bulun

…bugün neredeyse bir nevi “küpün içindeki X” tatiline benziyor....
Soooo, galeride kim bunun için içki içmeyi teklif etti? =)

Her görevin kendine özgü nüansları ve teknik incelikleri vardır ve bunlar dersin sonunda yorumlanır.

Maksimum ve minimum noktalar, fonksiyonun belirli bir algoritmaya göre bulunan uç noktalarıdır. Bu, bir işlev ararken ana göstergedir. Belirli bir x0 komşuluğundaki tüm x'ler için f(x) eşitsizliği varsa, x0 noktası minimum noktadır. f(x0) (maksimum nokta için nesnel olarak ters eşitsizlik f(x) ? f(x0)'dır).

Talimatlar

1. Fonksiyonun türevini bulun. Türev, bir fonksiyonun belirli bir noktadaki başkalaşımını karakterize eder ve fonksiyonun artışının argümanın sıfıra yaklaşan artışına oranının sınırı olarak tanımlanır. Bunu bulmak için türev tablosunu kullanın. Diyelim ki y = x3 fonksiyonunun türevi y’ = x2'ye eşit olacak.

2. Bu türevi sıfıra eşitleyin (bu durumda x2=0).

3. Belirli bir ifadenin değişken değerini bulun. Bunlar, bu türevin 0'a eşit olacağı değerler olacaktır. Bunu yapmak için, ifadedeki x yerine, ifadenin tamamının sıfır olacağı rastgele sayıları değiştirin. Diyelim ki:2-2×2= 0(1-x)(1+x) = 0x1= 1, x2 = -1

4. Elde edilen değerleri koordinat çizgisine çizin ve elde edilen tüm aralıklar için türevin işaretini hesaplayın. Referansın önsözü olarak alınan koordinat çizgisi üzerinde noktalar işaretlenir. Aralıklardaki değeri hesaplamak için kriterleri karşılayan isteğe bağlı değerleri değiştirin. Diyelim ki -1 aralığına kadar bir önceki fonksiyon için -2 değerinin tercih edilmesine izin veriliyor. -1 ila 1 aralığında 0'ı, 1'den büyük değerler için 2'yi seçebilirsiniz. Bu sayıları türevde yerine koyun ve türevin işaretini bulun. Bu durumda x = -2 olan türev -0,24'e eşit olacaktır, yani. negatiftir ve bu aralıkta eksi işareti olacaktır. Eğer x=0 ise değer 2'ye eşit olacaktır, bu da bu aralığa pozitif işaret konulduğu anlamına gelir. Eğer x=1 ise türev de -0,24'e eşit olacaktır ve bu nedenle eksi konur.

5. Koordinat çizgisi üzerindeki bir noktadan geçerken türev işaretini eksiden artıya değiştirirse, bu minimum noktadır ve artıdan eksiye ise bu maksimum noktadır.

Bir fonksiyonun minimum noktalarıyla birlikte maksimum noktalarına ekstrem noktalar denir. Bu noktalarda işlev davranışın doğasını değiştirir. Ekstrem değerler sınırlı sayısal aralıklarda belirlenir ve her zaman yereldir.

Talimatlar

1. Yerel ekstremum bulma işlemine fonksiyon madenciliği denir ve fonksiyonun birinci ve ikinci türevlerine bakılarak gerçekleştirilir. Araştırmanıza başlamadan önce bu argüman değerleri aralığının olası değerlere ait olduğundan emin olun. Diyelim ki F=1/x fonksiyonu için x=0 argümanının değeri kabul edilemez. Veya Y=tg(x) fonksiyonu için argüman x=90° değerine sahip olamaz.

2. Y fonksiyonunun verilen her aralıkta türevlenebilir olduğundan emin olun. Y'nin birinci türevini bulun. Görünüşe göre, yerel maksimum noktasına ulaşmadan önce fonksiyon artar ve maksimumdan geçerken fonksiyon azalan hale gelir. Birinci türev, fiziksel anlamında, bir fonksiyonun başkalaşım hızını karakterize eder. Fonksiyon artarken bu sürecin hızı pozitif bir değerdir. Yerel maksimumdan geçerken fonksiyon azalmaya başlar ve fonksiyonun metamorfoz sürecinin hızı negatif olur. Bir fonksiyonun metamorfoz hızının sıfıra geçişi yerel maksimum noktasında meydana gelir.

3. Sonuç olarak, artan fonksiyon segmentinde, ilk türevi, bu aralıktaki argümanın tüm değerleri için pozitiftir. Ve tam tersi - fonksiyonun azaldığı bölgede birinci türevin değeri sıfırdan küçüktür. Yerel maksimum noktasında birinci türevin değeri sıfırdır. Görünüşe göre, bir fonksiyonun yerel maksimumunu tespit etmek için, bu fonksiyonun birinci türevinin sıfıra eşit olduğu noktayı tespit etmek gerekir. Çalışma xx kapsamındaki segmentteki argümanın herhangi bir değeri için? – olumsuz.

4. x'i bulmak için mi? Y’=0 denklemini çözün. Fonksiyonun bu noktadaki ikinci türevi sıfırdan küçükse, Y(x?)'nin değeri yerel maksimum olacaktır. Y'nin ikinci türevini bulun”, x = x argümanının değerini elde edilen ifadede yerine koyabilir misiniz? ve hesaplamaların sonucunu sıfırla karşılaştırın.

5. Diyelim ki -1'den 1'e kadar olan aralıktaki Y=-x?+x+1 fonksiyonunun Y'=-2x+1 sabit türevi var. x=1/2 noktasında türev sıfırdır ve bu noktadan geçerken türevin işareti “+”dan “-”ye değişir. Y”=-2 fonksiyonunun ikinci türevi. Y=-x?+x+1 fonksiyonunun nokta nokta grafiğini çizin ve apsis x=1/2 olan noktanın sayı ekseninin belirli bir bölümünde yerel bir maksimum olup olmadığını kontrol edin.

Konuyla ilgili video

Faydalı tavsiyeler
Türevi bulmak için gerekli değerleri hesaplayan ve sonucu görüntüleyen çevrimiçi hizmetler vardır. Bu tür sitelerde 5. dereceye kadar türevleri tespit etmek mümkündür.

Bir fonksiyonun ekstremumu nedir ve bir ekstremum için gerekli koşul nedir?

Bir fonksiyonun ekstremumu, fonksiyonun maksimum ve minimumudur.

Bir fonksiyonun maksimum ve minimum (ekstrem) için gerekli koşul şudur: f(x) fonksiyonunun x = a noktasında bir ekstremumu varsa, o zaman bu noktada türev ya sıfırdır, ya sonsuzdur ya da sıfırdır. var olmak.

Bu koşul gereklidir ancak yeterli değildir. X = a noktasındaki türev sıfıra, sonsuza gidebilir veya fonksiyon bu noktada bir ekstremuma sahip olmadan var olmayabilir.

Bir fonksiyonun ekstremumu (maksimum veya minimum) için yeterli koşul nedir?

İlk koşul:

Eğer x = a noktasına yeterli yakınlıkta f?(x) türevi a'nın solunda pozitif ve sağında negatif ise, o zaman x = a noktasında f(x) fonksiyonu şuna sahiptir: maksimum

Eğer x = a noktasına yeterli yakınlıkta f?(x) türevi a'nın solunda negatif ve sağında pozitif ise, o zaman x = a noktasında f(x) fonksiyonu şuna sahiptir: minimum f(x) fonksiyonunun burada sürekli olması şartıyla.

Bunun yerine, bir fonksiyonun ekstremumu için ikinci yeterli koşulu kullanabilirsiniz:

x = a noktasında birinci türev f?(x) sıfır olsun; f??(a) ikinci türevi negatifse, f(x) fonksiyonunun x = a noktasında maksimumu vardır, pozitifse minimumu vardır.

Bir fonksiyonun kritik noktası nedir ve nasıl bulunur?

Bu, fonksiyonun bir uç noktaya (yani maksimum veya minimum) sahip olduğu fonksiyon argümanının değeridir. Onu bulmak için ihtiyacın var türevi bul f?(x) fonksiyonu ve bunu sıfıra eşitleyerek, denklemi çöz f?(x) = 0. Bu denklemin kökleri ve bu fonksiyonun türevinin mevcut olmadığı noktalar kritik noktalardır, yani bir ekstremum olabilecek argümanın değerleridir. Bakılarak kolaylıkla tespit edilebilirler. türev grafiği: fonksiyonun grafiğinin apsis ekseniyle (Ox ekseni) kesiştiği ve grafiğin süreksizliklere maruz kaldığı argümanın değerleriyle ilgileniyoruz.

Örneğin, bulalım bir parabolün ekstremumu.

Fonksiyon y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Fonksiyonun türevi: y?(x) = 6x + 2

Denklemi çözün: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

Bu durumda kritik nokta x0=-1/3 olur. Fonksiyonun sahip olduğu bu argüman değeridir. ekstremum. Ona bulmak işlevin yerine “x” yerine ifadede bulunan sayıyı yazın:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Bir fonksiyonun maksimum ve minimumu nasıl belirlenir? en büyük ve en küçük değerleri?

Türevin işareti x0 kritik noktasından geçerken “artı”dan “eksi”ye değişirse, o zaman x0 maksimum nokta; türevin işareti eksiden artıya değişirse x0 minimum puan; işaret değişmezse, x0 noktasında ne maksimum ne de minimum vardır.

Ele alınan örnek için:

Kritik noktanın solundaki argümanın keyfi bir değerini alıyoruz: x = -1

x = -1'de türevin değeri y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 olacaktır (yani işareti “eksi”).

Şimdi kritik noktanın sağındaki argümanın keyfi bir değerini alıyoruz: x = 1

x = 1'de türevin değeri y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 olacaktır (yani işareti “artı”dır).

Gördüğünüz gibi kritik noktadan geçerken türevin işareti eksiden artıya değişti. Bu, x0 kritik değerinde minimum bir noktaya sahip olduğumuz anlamına gelir.

Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri aralıkta(bir segment üzerinde) aynı prosedür kullanılarak bulunur, ancak belki de tüm kritik noktaların belirtilen aralıkta olmayacağı gerçeği dikkate alınır. Aralığın dışındaki kritik noktalar değerlendirme dışı bırakılmalıdır. Aralığın içinde yalnızca bir kritik nokta varsa, bu noktanın ya maksimumu ya da minimumu olacaktır. Bu durumda fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini belirlemek için fonksiyonun aralığın uçlarındaki değerlerini de dikkate alıyoruz.

Örneğin fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulalım

y(x) = 3sin(x) - 0,5x

aralıklarla:

Yani fonksiyonun türevi

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

3cos(x) - 0,5 = 0 denklemini çözüyoruz

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ±arccos(0,16667) + 2πk.

[-9; 9]:

x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (aralığa dahil değildir)

x = -arccos(0,16667) – 2π*1 = -7,687

x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (aralığa dahil değildir)

Fonksiyon değerlerini argümanın kritik değerlerinde buluyoruz:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

[-9; 9] fonksiyon x = -4,88'de en büyük değere sahiptir:

x = -4,88, y = 5,398,

ve en küçüğü - x = 4,88'de:

x = 4,88, y = -5,398.

[-6; -3] tek bir kritik noktamız var: x = -4,88. Fonksiyonun x = -4,88'deki değeri y = 5,398'e eşittir.

Aralığın sonunda fonksiyonun değerini bulun:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

[-6; -3] fonksiyonun en büyük değerine sahibiz

y = 5,398, x = -4,88'de

en küçük değer -

x = -3'te y = 1,077

Bir fonksiyon grafiğinin bükülme noktaları nasıl bulunur ve dışbükey ve içbükey taraflar nasıl belirlenir?

Y = f(x) doğrusundaki tüm bükülme noktalarını bulmak için, ikinci türevi bulmanız, onu sıfıra eşitlemeniz (denklemi çözmeniz) ve ikinci türevin sıfır olduğu tüm x değerlerini test etmeniz gerekir, sonsuzdur veya yoktur. Bu değerlerden birinden geçerken ikinci türev işaret değiştirirse, fonksiyonun grafiği bu noktada bir bükülmeye sahiptir. Eğer değişmezse bükülme olmaz.

f denkleminin kökleri? (x) = 0, fonksiyonun ve ikinci türevinin olası süreksizlik noktalarının yanı sıra, fonksiyonun tanım bölgesini bir dizi aralığa böler. Aralıklarının her birindeki dışbükeylik, ikinci türevin işaretiyle belirlenir. İncelenen aralıktaki bir noktadaki ikinci türev pozitifse, o zaman y = f(x) doğrusu yukarıya doğru içbükeydir, negatifse aşağıya doğru içbükeydir.

İki değişkenli bir fonksiyonun ekstremumunu nasıl bulabilirim?

Spesifikasyon tanım kümesinde türevlenebilir f(x,y) fonksiyonunun ekstremumunu bulmak için şunlara ihtiyacınız vardır:

1) kritik noktaları bulun ve bunun için denklem sistemini çözün

fх? (x,y) = 0, yani? (x,y) = 0

2) her kritik nokta P0(a;b) için farkın işaretinin değişmeden kalıp kalmadığını araştırın

tüm (x;y) noktaları için P0'a yeterince yakın. Fark pozitif kalırsa, P0 noktasında minimumumuz olur, negatifse maksimumumuz olur. Eğer fark işaretini korumuyorsa P0 noktasında ekstremum yoktur.

Bir fonksiyonun ekstremumları daha fazla sayıda argüman için benzer şekilde belirlenir.

Bakır sülfat nerede kullanılır?
Bakır sülfat şu şekilde ayrılır: Bakır(I) sülfat Bakır(II) sülfat Bakır(II) sülfat (CuSO4) - bakır sülfat - beyaz kristaller, suda oldukça çözünür. Bununla birlikte, sulu çözeltilerden ve en azından küçük bir nem içeriğine sahip havada mavi pentahidrat CuSO4.5H2O kristalleşir.

J1 vizesi ile hangi işlerde çalışma yasaktır?
Work and Travel USA (ABD'de Work and Travel), yaz aylarını Amerika'da geçirebileceğiniz, yasal olarak hizmet sektöründe çalışıp seyahat edebileceğiniz popüler bir öğrenci değişim programıdır. Programın tarihçesi Work & Travel, hükümetlerarası değişim programı Culture Exchange Pro'ya dahildir.

Peugeot 307'de hangi lambalar takılı?
Peugeot 307 otomobillerinde 2 tip far vardır: 2001-2005 modelleri için. 2005-2007 modelleri için “Dorestayl”, “Restayl” Dorestayl ve Restayl'in farları birbirinin yerine kullanılamaz! Peugeot 30 otomobillerinde arka lambalar

Vajinal atrezi nasıl tedavi edilir?
Atrezi İnsan vücudundaki herhangi bir açıklığın veya kanalın konjenital yokluğu veya anormal daralması. Biliyer atrezi safra kanallarını etkiler ve bebeklerde tıkanma sarılığına neden olur; Çocuk zamanında ameliyat edilmezse hastalık ölümcül olabilir. Triküspit kapağın atrezisi ile intrakardiyak kan akışı bozulur (kan akışı

"Şimdi Çıkar" TV programının resmi web sitesi nedir?
“Hemen çıkar” - STS kanalında TV şovu. Programın sunucuları, giyim tarzlarını değiştirerek, esas olarak dahili olarak kahramanları daha iyiye doğru değiştirmeye çalışıyor; bundan sonra kahramanlar dönüşür, depresyonu ve diğer yaşam zorluklarını unutarak kendilerini yeniden takdir etmeye ve sevmeye başlarlar. Program sunucuları: Natalya St

Site nedir
İngilizce'den web sitesi. - site - yer; konum, konumWeb sitelerine aynı zamanda “düğümler”, “World Wide Web'in düğümleri” de denir. Bir web sitesinin birbirine bağlı web belgelerinin (yani HTML belgelerinin) bir koleksiyonu olduğunu söyleyebilir miyiz? Çoğu zaman bir kişinin veya kuruluşun sanal projeksiyonu

iPhone için neden "iReveilPro" programına ihtiyacınız var?
iPhone SMS, MMS mySMS - SMS istemcisi için uygulama programları. iRealSMS - SMS istemcisi. bitSMS - SMS istemcisi. SwirlyMMS bir MMS istemcisidir. Alibi SMS - S gönder

İnternette Smolensk NPP'nin resmi web sitesini nerede bulabilirim?
Bugün Rusya, üretilen elektriğin yaklaşık %16'sını üreten 10 nükleer santral (24,2 GW kurulu güce sahip toplam 32 güç ünitesi) işletmektedir. Aynı zamanda, Rusya'nın Avrupa kısmında nükleer enerjinin payı %30'a, Kuzey-Batı'da ise %37'ye ulaşıyor. Federal Targeted Pro'ya göre

Gıda zehirlenmesinden sonra nasıl yenir?
Gıda zehirlenmesi (gıda zehirlenmesi), belirli bir türdeki mikroorganizmalarla büyük ölçüde kirlenmiş veya vücut için toksik olan mikrobiyal veya mikrobiyal olmayan nitelikteki maddeler içeren gıdaların tüketilmesi sonucu ortaya çıkan akut, nadiren kronik bir hastalıktır. Belirtiler Çoğu zaman, gıda zehirlenmesinin belirtileri tüketimden 1-2 saat sonra ortaya çıkar.

Rusya Federasyonu İçişleri Organları Çalışanları Günü ne zaman?
Rusya'da kutlanan mesleki bayramlar Ocak: 11 Ocak - Doğa Koruma Alanları ve Milli Parklar Günü; 12 Ocak Savcılık Günüdür; 13 Ocak—Rusya Basın Günü; 21 Ocak - Mühendislik Birlikleri Günü; 25 Ocak - Donanma Navigatörü Günü; 25 Ocak

Anlam

En büyük

Anlam

En az

Maksimum nokta

Asgari puan

Bir ekstrem fonksiyonun noktalarını bulma problemleri standart bir şemaya göre 3 adımda çözülür.

1. Adım. Fonksiyonun türevini bulun

• Temel fonksiyonların türev formüllerini ve türevi bulmak için türev almanın temel kurallarını hatırlayın.

y'(x)=(x3−243x+19)'=3x2−243.

2. Adım. Türevin sıfırlarını bulun

• Türevin sıfırlarını bulmak için elde edilen denklemi çözün.

3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9.

3. Adım. Ekstrem noktaları bulun

• Türevin işaretlerini belirlemek için aralık yöntemini kullanın;
• Minimum noktada türev sıfıra eşittir ve işareti eksiden artıya, maksimum noktada artıdan eksiye değişir.

Aşağıdaki sorunu çözmek için bu yaklaşımı kullanalım:

y=x3−243x+19 fonksiyonunun maksimum noktasını bulun.

1) Türevi bulun: y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243;

2) y′(x)=0 denklemini çözün: 3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9;

3) Türev x>9 ve x için pozitiftir<−9 и отрицательная при −9

Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri nasıl bulunur?

Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma problemini çözmek gerekli:

• Fonksiyonun segment (aralık) üzerindeki uç noktalarını bulun.
• Segmentin uçlarındaki değerleri bulun ve ekstrem noktalardaki ve segmentin uçlarındaki değerlerden en büyük veya en küçük değeri seçin.

Birçok göreve yardımcı olur teorem:

Bir doğru parçası üzerinde yalnızca bir uç nokta varsa ve bu minimum nokta ise, fonksiyonun en küçük değerine bu noktada ulaşılır. Bu bir maksimum nokta ise en büyük değere orada ulaşılır.

14. Belirsiz integral kavramı ve temel özellikleri.

Eğer fonksiyon F(X X, Ve k– sayı, o zaman

Kısaca konuşursak: sabit integral işaretinden çıkarılabilir.

Eğer işlevler F(X) Ve G(X) aralığın antiderivatifleri var X, O

Kısaca konuşursak: toplamın integrali integrallerin toplamına eşittir.

Eğer fonksiyon F(X) aralığın antiderivatifi var X, daha sonra bu aralığın iç noktaları için:

Kısaca konuşursak: integralin türevi integrale eşittir.

Eğer fonksiyon F(X) aralıkta süreklidir X ve bu aralığın iç noktalarında türevlenebilirse, o zaman:

Kısaca konuşursak: Bir fonksiyonun diferansiyelinin integrali, bu fonksiyon artı integral sabitine eşittir.

Kesin bir matematiksel tanım verelim belirsiz integral kavramları.

Formun bir ifadesine denir fonksiyonun integrali f(x) , Nerede f(x) - verilen (bilinen) integral fonksiyonu, dx - diferansiyel X , sembolü her zaman mevcut olacak şekilde dx .

Tanım. Belirsiz integralçağrılan fonksiyon F(x) + C keyfi bir sabit içeren C diferansiyeli şuna eşit olan integrand ifade f(x)dx , yani veya Fonksiyon çağrılır antiderivatif fonksiyon. Bir fonksiyonun antitürevi sabit bir değere kadar belirlenir.

Şunu hatırlatalım; diferansiyel fonksiyon ve aşağıdaki gibi tanımlanır:

Sorun bulma belirsiz integral böyle bir fonksiyon bulmaktır türev bu da integrale eşittir. Bu fonksiyon bir sabite kadar doğru olarak belirlenir, çünkü sabitin türevi sıfırdır.

Mesela biliniyor, sonra ortaya çıkıyor burada keyfi bir sabit var.

Sorun bulma belirsiz integral işlevler ilk bakışta göründüğü kadar basit ve kolay değildir. Çoğu durumda, çalışma becerisinin olması gerekir belirsiz integraller, pratikle ve süreklilikle gelen bir deneyim olmalı Belirsiz integral örneklerinin çözümü.Şu gerçeği göz önünde bulundurmaya değer belirsiz integraller bazı işlevlerden (oldukça fazla vardır) temel işlevlerde alınmaz.

15. Temel belirsiz integraller tablosu.

Temel formüller

16. İntegral toplamının limiti olarak belirli integral. İntegralin geometrik ve fiziksel anlamı.

y=ƒ(x) fonksiyonunun [a; b], a< b. Выполним следующие действия.

1. x 0 = a, x 1, x 2, ..., x n = B (x 0) noktalarını kullanma

2. Her kısmi parçada, i = 1,2,...,n, i є ile rastgele bir nokta seçin ve içindeki fonksiyonun değerini, yani ƒ(i ile) değerini hesaplayın.

3. ƒ fonksiyonunun (i ile) bulunan değerini karşılık gelen kısmi parçanın ∆x i =x i -x i-1 uzunluğu ile çarpın: ƒ (i ile) ∆x i.

4. Tüm bu çarpımların toplamını S n yapalım:

(35.1) formunun toplamına, [a; B]. En büyük kısmi parçanın uzunluğunu λ ile gösterelim: λ = maksimum ∆x i (i = 1,2,..., n).

5. n → ∞ λ→0 olacak şekilde integral toplamının (35.1) limitini bulalım.

Bu durumda S n integral toplamının bir I limiti varsa, bu, [a; b] kısmi doğru parçaları üzerinde veya içlerindeki noktaların seçimine bağlı değilse, bu durumda I sayısına, [a; b] ve şöyle gösterilir:

a ve b sayılarına sırasıyla integralin alt ve üst limitleri denir, ƒ(x) - integral fonksiyonu, ƒ(x) dx - integral, x - integralin değişkeni, segment [a; b] - entegrasyon alanı (bölümü).

y=ƒ(x) fonksiyonu, bunun için [a; b] Bu aralıkta integrallenebilir denilen belirli bir integral vardır.

Şimdi belirli bir integralin varlığına ilişkin bir teorem formüle edelim.

Teorem 35.1 (Cauchy). Eğer y = ƒ(x) fonksiyonu [a; b], o zaman belirli integral

Bir fonksiyonun sürekliliğinin integrallenebilirliği için yeterli bir koşul olduğuna dikkat edin. Bununla birlikte, bazı süreksiz fonksiyonlar için, özellikle üzerinde sonlu sayıda süreksizlik noktası bulunan bir aralıkla sınırlı herhangi bir fonksiyon için belirli bir integral de mevcut olabilir.

Belirli integralin tanımından (35.2) doğrudan çıkan bazı özelliklerini belirtelim.

1. Belirli integral, integral değişkeninin tanımından bağımsızdır:

Bu, integral toplamının (35.1) ve dolayısıyla limitinin (35.2) belirli bir fonksiyonun argümanının hangi harfle gösterildiğine bağlı olmadığı gerçeğinden kaynaklanmaktadır.

2. Aynı integral limitlerine sahip belirli bir integral sıfıra eşittir:

3. Herhangi bir gerçel sayı için c.

17. Newton-Leibniz formülü. Belirli bir integralin temel özellikleri.

Fonksiyona izin ver y = f(x) segmentte sürekli Ve F(x) bu segmentteki fonksiyonun antiderivatiflerinden biridir, o zaman Newton-Leibniz formülü: .

Newton-Leibniz formülü denir integral hesabının temel formülü.

Newton-Leibniz formülünü kanıtlamak için üst limiti değişken olan bir integral kavramına ihtiyacımız var.

Eğer fonksiyon y = f(x) segmentte sürekli , o zaman argüman için formun integrali üst sınırın bir fonksiyonudur. Bu fonksiyonu gösterelim ve bu fonksiyon süreklidir ve eşitlik doğrudur .

Aslında, argümanın artışına karşılık gelen fonksiyonun artışını yazalım ve belirli integralin beşinci özelliğini ve onuncu özelliğin sonucunu kullanalım:

Nerede .

Bu eşitliği formda yeniden yazalım. . Bir fonksiyonun türevinin tanımını hatırlarsak ve 'deki limite gidersek, şunu elde ederiz. Yani bu fonksiyonun antiderivatiflerinden biridir. y = f(x) segmentte . Böylece tüm antiderivatiflerin kümesi F(x) olarak yazılabilir , Nerede İLE– keyfi sabit.

Haydi hesaplayalım F(a) belirli integralin birinci özelliğini kullanarak: , buradan, . Hesaplarken bu sonucu kullanalım F(b): yani . Bu eşitlik kanıtlanabilir Newton-Leibniz formülünü verir .

Bir fonksiyonun artışı genellikle şu şekilde gösterilir: . Bu gösterimi kullanarak Newton-Leibniz formülü şu şekli alır: .

Newton-Leibniz formülünü uygulamak için antiderivatiflerden birini bilmemiz yeterlidir. y=F(x) integral fonksiyonu y=f(x) segmentte ve bu antiderivatifin bu segmentteki artışını hesaplayın. Makale entegrasyon yöntemleri, antiderivatifi bulmanın ana yollarını tartışıyor. Daha açıklayıcı olması açısından Newton-Leibniz formülünü kullanarak belirli integrallerin hesaplanmasına ilişkin birkaç örnek verelim.

Örnek.

Belirli integralin değerini Newton-Leibniz formülünü kullanarak hesaplayın.

Çözüm.

Başlangıç ​​olarak, integralin aralıkta sürekli olduğuna dikkat edelim. dolayısıyla üzerinde integrallenebilir. (Belirli bir integrali olan fonksiyonlar bölümünde integrallenebilir fonksiyonlardan bahsetmiştik.)

Belirsiz integraller tablosundan, bir fonksiyon için argümanın tüm gerçek değerleri için (ve dolayısıyla için) antitürevler kümesinin şu şekilde yazıldığı açıktır: . Bunun terstürevini alalım C=0: .

Artık belirli integrali hesaplamak için Newton-Leibniz formülünü kullanmaya devam ediyoruz: .

18. Belirli integralin geometrik uygulamaları.

BELİRLİ İNTEGRALİN GEOMETRİK UYGULAMALARI

Dikdörtgen S.K.	Parametrik olarak belirtilen fonksiyon	Polyarnaya S.K.
Düzlem figürlerin alanlarının hesaplanması
Bir düzlem eğrinin yay uzunluğunun hesaplanması
Devrimin yüzey alanının hesaplanması

Vücut hacminin hesaplanması

Paralel bölümlerin bilinen alanlarından bir cismin hacminin hesaplanması:

Dönen cismin hacmi: ; .

Örnek 1. Y=sinx eğrisinin düz çizgilerle sınırladığı şeklin alanını bulun

Çözüm:Şeklin alanını bulma:

Örnek 2. Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın

Çözüm: Bu fonksiyonların grafiklerinin kesişim noktalarının apsisini bulalım. Bunu yapmak için denklem sistemini çözüyoruz

Buradan buluyoruz x 1 =0, x 2 =2,5.

19. Diferansiyel kontrol kavramı. Birinci mertebeden diferansiyel denklemler.

Diferansiyel denklem- bir fonksiyonun türevinin değerini fonksiyonun kendisi, bağımsız değişkenin değerleri ve sayılar (parametreler) ile birleştiren bir denklem. Denklemde yer alan türevlerin sırası farklı olabilir (resmi olarak hiçbir şeyle sınırlı değildir). Türevler, fonksiyonlar, bağımsız değişkenler ve parametreler bir denklemde çeşitli kombinasyonlarda görünebilir veya biri hariç tümü tamamen mevcut olmayabilir. Bilinmeyen bir fonksiyonun türevlerini içeren her denklem diferansiyel denklem değildir. Örneğin, diferansiyel denklem değildir.

Kısmi diferansiyel denklemler(PDF) çeşitli değişkenlerin bilinmeyen fonksiyonlarını ve bunların kısmi türevlerini içeren denklemlerdir. Bu tür denklemlerin genel formu şu şekilde temsil edilebilir:

bağımsız değişkenler nerede ve bu değişkenlerin bir fonksiyonudur. Kısmi diferansiyel denklemlerin sırası, sıradan diferansiyel denklemlerle aynı şekilde belirlenebilir. Kısmi diferansiyel denklemlerin bir diğer önemli sınıflandırması, özellikle ikinci dereceden denklemler için eliptik, parabolik ve hiperbolik tipte denklemlere bölünmesidir.

Hem adi diferansiyel denklemler hem de kısmi diferansiyel denklemler ikiye ayrılabilir doğrusal Ve doğrusal olmayan. Bilinmeyen fonksiyon ve türevleri denklemin yalnızca birinci derecesine giriyorsa (ve birbirleriyle çarpılmıyorsa) bir diferansiyel denklem doğrusaldır. Bu tür denklemler için çözümler, fonksiyonlar uzayının afin bir alt uzayını oluşturur. Doğrusal diferansiyel denklemler teorisi, doğrusal olmayan denklemler teorisinden çok daha derin bir şekilde geliştirilmiştir. Doğrusal diferansiyel denklemin genel görünümü N-inci sıra:

Nerede ben(X) denklemin katsayıları adı verilen bağımsız değişkenin bilinen fonksiyonlarıdır. İşlev R(X) sağ tarafta denir ücretsiz üye(bilinmeyen fonksiyona bağlı olmayan tek terim) Doğrusal denklemlerin önemli bir özel sınıfı, doğrusal diferansiyel denklemlerdir. sabit katsayılar.

Doğrusal denklemlerin bir alt sınıfı şunlardır: homojen diferansiyel denklemler - serbest terim içermeyen denklemler: R(X) = 0. Homojen diferansiyel denklemler için süperpozisyon ilkesi geçerlidir: böyle bir denklemin kısmi çözümlerinin doğrusal bir kombinasyonu da onun çözümü olacaktır. Diğer tüm doğrusal diferansiyel denklemlere denir heterojen diferansiyel denklemler.

Doğrusal olmayan diferansiyel denklemler genel durumda bazı özel sınıflar dışında gelişmiş çözüm yöntemlerine sahip değildir. Bazı durumlarda (belirli yaklaşımlar kullanılarak) doğrusal hale getirilebilir. Örneğin, harmonik bir osilatörün doğrusal denklemi matematiksel bir sarkacın doğrusal olmayan denkleminin bir yaklaşımı olarak düşünülebilir küçük genlikler durumunda, sen≈ günah sen.

· - sabit katsayılı ikinci dereceden homojen diferansiyel denklem. Çözüm, belirli bir çözüm için ayrı ayrı belirtilen başlangıç ​​koşullarından belirlenen ve keyfi sabitler olan bir işlevler ailesidir. Bu denklem özellikle döngüsel frekansı 3 olan harmonik bir osilatörün hareketini tanımlar.

· Newton'un ikinci yasası diferansiyel denklem şeklinde yazılabilir Nerede M- vücut ağırlığı, X- koordinatı, F(X, T) - koordinatlı bir cisme etki eden kuvvet X zamanın bir noktasında T. Çözümü, belirtilen kuvvetin etkisi altında vücudun yörüngesidir.

· Bessel diferansiyel denklemi, ikinci dereceden değişken katsayılı sıradan bir doğrusal homojen denklemdir: Çözümleri Bessel fonksiyonlarıdır.

· Homojen olmayan, doğrusal olmayan, 1. dereceden adi diferansiyel denklem örneği:

Bir sonraki örnek grubunda bilinmeyen bir fonksiyon var sen iki değişkene bağlıdır X Ve T veya X Ve sen.

· Birinci dereceden homojen doğrusal kısmi diferansiyel denklem:

· Tek boyutlu dalga denklemi - ikinci dereceden hiperbolik tipte sabit katsayılı kısmi türevlerde homojen bir doğrusal denklem, bir ipin salınımını tanımlar, eğer - koordinat ile bir noktada ipin sapması X zamanın bir noktasında T ve parametre A dizenin özelliklerini ayarlar:

· İki boyutlu uzayda Laplace denklemi, mekanik, termal iletkenlik, elektrostatik, hidrolik gibi birçok fiziksel problemde ortaya çıkan, sabit katsayılı, ikinci dereceden eliptik tipte homojen bir doğrusal kısmi diferansiyel denklemdir:

· Korteweg-de Vries denklemi, solitonlar da dahil olmak üzere durağan doğrusal olmayan dalgaları tanımlayan üçüncü dereceden doğrusal olmayan kısmi diferansiyel denklem:

20. Ayrılabilen diferansiyel denklemler. Doğrusal denklemler ve Bernoulli yöntemi.

Birinci dereceden doğrusal diferansiyel denklem, bilinmeyen bir fonksiyona ve onun türevine göre doğrusal olan bir denklemdir. Öyle görünüyor

Bu makalede irrasyonel bir fonksiyonun maksimum (minimum) noktalarını bulmanın birkaç örneğine bakacağız. Çözüm algoritması, önceki makalelerden birinde benzer görevlere sahip makalelerde defalarca özetlenmiştir.

Bir sorunuz olabilir: Rasyonel bir işlevin irrasyonel olandan farkı nedir?İrrasyonel bir fonksiyonda, basit bir deyişle, argüman kökün altındadır veya derecesi bir kesirdir (indirgenemez kesir). Başka bir soru -Maksimum (minimum) puanlarını bulmadaki farklar nelerdir? Hiç bir şey.

Maksimum (minimum) noktaları belirleme görevlerini çözme prensibi ve algoritması aynıdır. Sadece materyalin rahatlığı ve sistematik hale getirilmesi için, onu birkaç makaleye böldüm - rasyonel, logaritmik, trigonometrik ve diğerlerini ayrı ayrı değerlendirdim, bir segmentteki irrasyonel bir fonksiyonun en büyük (en küçük) değerini bulmak için hala birkaç örnek kaldı. Onları da değerlendireceğiz.

Argümanın bir derecesi olduğunda türevin nasıl bulunacağını ayrıntılı olarak anlatayım; bu aşağıdaki tüm örneklerde kullanılıyor.

Formülün kendisi:

Yani, belli bir dereceye kadar bir argümanımız varsa ve türevi bulmamız gerekiyorsa, o zaman derecenin bu değerini yazar, argümanla çarparız ve derecesi bir kat daha az olur, örneğin:

Derece kesirli bir sayıysa, her şey aynıdır:

Sonraki an! Elbette köklerin ve güçlerin özelliklerini hatırlamanız gerekir:

Yani, örnekte örneğin ifadeyi (veya köke benzer bir şeyi) görüyorsanız:

Daha sonra çözerken türevi hesaplamak için x üzeri kuvvet olarak temsil edilmelidir, şöyle olacaktır:

Tablonun geri kalan türevlerini ve türev alma kurallarını bilmelisiniz!!!

Farklılaşma kuralları:

Örneklere bakalım:

77451. y = x 3/2 – 3x + 1 fonksiyonunun minimum noktasını bulun

Türevin sıfırlarını bulalım:

Denklemi çözüyoruz:

X = 4 noktasında türevin işareti negatiften pozitife değişir, yani bu nokta minimum noktadır.

Cevap: 4

77455. Fonksiyonun maksimum noktasını bulun

Verilen fonksiyonun türevini bulalım:

Türevin sıfırlarını bulalım:

Denklemi çözüyoruz:

Fonksiyonun türevinin işaretlerini belirleyelim ve fonksiyonun davranışını şekilde gösterelim. Bunu yapmak için, ortaya çıkan aralıklardan keyfi değerleri türevin yerine koyalım:

X = 4 noktasında türevin işareti pozitiften negatife değişir, yani bu nokta maksimum noktadır.

Cevap: 4

77457. Fonksiyonun maksimum noktasını bulun

Verilen fonksiyonun türevini bulalım:

Türevin sıfırlarını bulalım:

Denklemin çözümü:

Fonksiyonun türevinin işaretlerini belirleyelim ve fonksiyonun davranışını şekilde gösterelim. Bunu yapmak için, ortaya çıkan aralıklardan keyfi değerleri türevin yerine koyalım:

X = 9 noktasında türevin işareti pozitiften negatife değişir, yani bu nokta maksimum noktadır.

Cevap: 9