Birinci mertebeden diferansiyel denklemler. Çözüm örnekleri.
Ayrılabilir değişkenli diferansiyel denklemler

Diferansiyel denklemler (DE). Bu iki kelime genellikle ortalama insanı korkutur. Diferansiyel denklemler birçok öğrenci için yasaklayıcı ve ustalaşması zor bir şey gibi görünmektedir. Uuuuuu... diferansiyel denklemler, tüm bunlardan nasıl kurtulabilirim?!

Bu görüş ve bu tutum temelden yanlıştır. DİFERANSİYEL DENKLEMLER - BASİT VE HATTA EĞLENCELİ. Diferansiyel denklemlerin nasıl çözüleceğini öğrenmek için bilmeniz ve yapabilmeniz gerekenler nelerdir? Dağınıklıkları başarılı bir şekilde incelemek için entegrasyon ve farklılaştırma konusunda iyi olmanız gerekir. Konular ne kadar iyi çalışılırsa Tek değişkenli bir fonksiyonun türevi Ve Belirsiz integral diferansiyel denklemleri anlamak o kadar kolay olacaktır. Daha fazlasını söyleyeceğim, eğer az ya da çok iyi entegrasyon becerileriniz varsa, o zaman konu neredeyse hakim olmuştur! Ne kadar çok farklı türden integral çözebilirseniz o kadar iyidir. Neden? Pek çok şeyi entegre etmeniz gerekecek. Ve farklılaşın. Ayrıca şiddetle tavsiye ederim bulmayı öğren.

Vakaların %95'inde test kağıtları 3 tür birinci dereceden diferansiyel denklem içerir: ayrılabilir denklemler bu dersimizde bakacağımız; homojen denklemler Ve doğrusal homojen olmayan denklemler. Difüzörleri incelemeye başlayanlar için dersleri tam olarak bu sırayla okumanızı tavsiye ederim ve ilk iki makaleyi inceledikten sonra ek bir atölyede becerilerinizi pekiştirmenin zararı olmaz - homojene indirgenen denklemler.

Daha da nadir türde diferansiyel denklemler vardır: toplam diferansiyel denklemler, Bernoulli denklemleri ve diğerleri. Son iki türden en önemlileri toplam diferansiyellerdeki denklemlerdir, çünkü bu diferansiyel denkleme ek olarak yeni malzemeyi de düşünüyorum - kısmi entegrasyon.

Eğer sadece bir veya iki gününüz kaldıysa, O ultra hızlı hazırlık için Orada yıldırım kursu pdf formatında.

Böylece yer işaretleri belirlendi - hadi gidelim:

Öncelikle olağan cebirsel denklemleri hatırlayalım. Değişkenler ve sayılar içerirler. En basit örnek: . Sıradan bir denklemi çözmek ne anlama gelir? Bu bulma anlamına gelir sayılar kümesi Bu denklemi sağlayanlar. Çocuk denkleminin tek bir kökü olduğunu fark etmek kolaydır: . Sırf eğlence olsun diye, bulunan kökü kontrol edip denklemimizde yerine koyalım:

– doğru eşitlik elde edilir, bu da çözümün doğru bulunduğu anlamına gelir.

Difüzörler hemen hemen aynı şekilde tasarlanmıştır!

Diferansiyel denklem ilk sipariş genel durumda içerir:
1) bağımsız değişken;
2) bağımlı değişken (fonksiyon);
3) fonksiyonun birinci türevi: .

Bazı 1. dereceden denklemlerde “x” ve/veya “y” olmayabilir ancak bu anlamlı değildir - önemli kontrol odasına gitmek öyleydi birinci türev ve yoktu yüksek mertebeden türevler – vb.

Bu ne anlama geliyor? Bir diferansiyel denklemi çözmek, bulmak anlamına gelir tüm fonksiyonların seti Bu denklemi sağlayanlar. Böyle bir işlevler kümesi genellikle şu biçime sahiptir (- keyfi bir sabit), buna denir diferansiyel denklemin genel çözümü.

Örnek 1

Diferansiyel denklemi çözün

Tam mühimmat. Nereden başlamalı çözüm?

Öncelikle türevi biraz farklı bir biçimde yeniden yazmanız gerekiyor. Çoğunuzun muhtemelen saçma ve gereksiz bulduğu hantal tanımlamayı hatırlıyoruz. Difüzörlerde kural budur!

İkinci adımda bunun mümkün olup olmadığına bakalım ayrı değişkenler? Değişkenleri ayırmak ne anlama geliyor? Kabaca konuşursak, sol tarafta ayrılmamız lazım sadece "Yunanlılar", A sağ tarafta organize etmek yalnızca "X'ler". Değişkenlerin bölünmesi "okul" manipülasyonları kullanılarak gerçekleştirilir: onları parantezlerin dışına koymak, terimleri işaret değişikliği ile bölümden bölüme aktarmak, orantı kuralına göre faktörleri bölümden bölüme aktarmak vb.

Farklılıklar ve tam çarpanlardır ve düşmanlıkların aktif katılımcılarıdır. Söz konusu örnekte, faktörler orantı kuralına göre atılarak değişkenler kolayca ayrılır:

Değişkenler ayrılır. Sol tarafta sadece “Y”ler, sağ tarafta ise sadece “X”ler var.

Bir sonraki aşama diferansiyel denklemin entegrasyonu. Çok basit, her iki tarafa da integraller koyuyoruz:

Tabii ki integral almamız gerekiyor. Bu durumda bunlar tablo halindedir:

Hatırladığımız gibi herhangi bir antiderivatife bir sabit atanır. Burada iki integral var ama sabiti bir kere yazmak yeterli (sabit + sabit hala başka bir sabite eşit olduğundan). Çoğu durumda sağ tarafa yerleştirilir.

Açıkçası, integraller alındıktan sonra diferansiyel denklemin çözüldüğü kabul edilir. Tek sorun bizim “y”miz “x” ile ifade edilmiyor yani çözüm sunuluyor örtülü olarak biçim. Örtük formdaki bir diferansiyel denklemin çözümüne denir diferansiyel denklemin genel integrali. Yani bu genel bir integraldir.

Bu formdaki cevap oldukça kabul edilebilir ancak daha iyi bir seçenek var mı? Haydi almaya çalışalım genel çözüm.

Lütfen, ilk tekniği hatırla, çok yaygındır ve sıklıkla pratik görevlerde kullanılır: İntegrasyondan sonra sağ tarafta bir logaritma görünüyorsa, çoğu durumda (ancak her zaman değil!) Sabitin logaritmanın altına yazılması da tavsiye edilir..

Yani, YERİNE girişler genellikle yazılır .

Bu neden gerekli? Ve “oyun”u ifade etmeyi kolaylaştırmak için. Logaritmanın özelliğini kullanma . Bu durumda:

Artık logaritmalar ve modüller kaldırılabilir:

Fonksiyon açıkça sunulmuştur. Bu genel çözümdür.

Cevap: genel çözüm: .

Birçok diferansiyel denklemin cevabını kontrol etmek oldukça kolaydır. Bizim durumumuzda bu oldukça basit bir şekilde yapılıyor, bulunan çözümü alıp farklılaştırıyoruz:

Daha sonra türevi orijinal denklemde yerine koyarız:

– doğru eşitlik elde edilir, bu da genel çözümün denklemi karşıladığı anlamına gelir ki bu da kontrol edilmesi gereken şeydir.

Sabit farklı değerler vererek sonsuz sayıda sonuç elde edebilirsiniz. özel çözümler diferansiyel denklem. İşlevlerden herhangi birinin , vb. olduğu açıktır. diferansiyel denklemi karşılar.

Bazen genel çözüm denir fonksiyon ailesi. Bu örnekte genel çözüm doğrusal fonksiyonlar ailesidir veya daha kesin olarak doğru orantılılık ailesidir.

İlk örneği kapsamlı bir şekilde inceledikten sonra, diferansiyel denklemlerle ilgili birkaç saf soruyu yanıtlamak uygun olacaktır:

1)Bu örnekte değişkenleri ayırmayı başardık. Bu her zaman yapılabilir mi? Hayır, her zaman değil. Hatta çoğu zaman değişkenler birbirinden ayrılamaz. Örneğin, homojen birinci dereceden denklemlerönce onu değiştirmeniz gerekir. Diğer denklem türlerinde, örneğin birinci dereceden doğrusal homojen olmayan bir denklemde, genel bir çözüm bulmak için çeşitli teknik ve yöntemler kullanmanız gerekir. Birinci derste ele aldığımız ayrılabilir değişkenli denklemler, diferansiyel denklemlerin en basit türüdür.

2) Bir diferansiyel denklemin integrali her zaman mümkün müdür? Hayır, her zaman değil. İntegrali alınamayan “fantezi” bir denklem bulmak çok kolaydır; ayrıca alınamayan integraller de vardır. Ancak bu tür DE'ler yaklaşık olarak özel yöntemler kullanılarak çözülebilir. D'Alembert ve Cauchy garanti ediyor... ...uh, daha çok gizleniyorlar.şimdi daha çok okuyacağım, neredeyse "diğer dünyadan" diye ekliyordum.

3) Bu örnekte genel integral formunda bir çözüm elde ettik. . Genel bir integralden genel bir çözüm bulmak, yani “y”yi açıkça ifade etmek her zaman mümkün müdür? Hayır, her zaman değil. Örneğin: . Peki burada “Yunanca”yı nasıl ifade edersiniz?! Bu gibi durumlarda cevap genel integral olarak yazılmalıdır. Ayrıca bazen genel bir çözüm bulmak mümkün olabilir, ancak o kadar hantal ve beceriksizce yazılmıştır ki, cevabı genel bir integral şeklinde bırakmak daha iyidir.

4) ...belki şimdilik bu kadar yeter. Karşılaştığımız ilk örnekte bir diğer önemli nokta ancak "aptalları" yeni bilgi çığıyla örtmemek için bunu bir sonraki derse bırakacağım.

Acele etmeyeceğiz. Başka bir basit uzaktan kumanda ve başka bir tipik çözüm:

Örnek 2

Diferansiyel denklemin başlangıç ​​koşulunu karşılayan özel bir çözümünü bulun

Çözüm: duruma göre bulmanız gerekir özel çözüm Belirli bir başlangıç ​​koşulunu sağlayan DE. Sorunun bu formülasyonuna aynı zamanda denir. Cauchy sorunu.

İlk önce genel bir çözüm buluyoruz. Denklemde “x” değişkeni yok ama bu kafa karıştırmamalı, asıl önemli olan birinci türevinin olması.

Türevi gerekli biçimde yeniden yazıyoruz:

Açıkçası, değişkenler ayrılabilir; erkekler sola, kızlar sağa:

Denklemin integralini alalım:

Genel integral elde edilir. Burada yıldız işaretli bir sabit çizdim, gerçek şu ki çok yakında başka bir sabite dönüşecek.

Şimdi genel integrali genel bir çözüme dönüştürmeye çalışıyoruz (“y”yi açıkça ifade edin). Okuldaki eski güzel şeyleri hatırlayalım: . Bu durumda:

Göstergedeki sabit bir şekilde düzensiz görünüyor, bu yüzden genellikle dünyaya indiriliyor. Detaylı olarak olay şu şekilde oluyor. Derece özelliğini kullanarak fonksiyonu şu şekilde yeniden yazarız:

Eğer bir sabitse, o zaman aynı zamanda bir sabittir, onu şu harfle yeniden tanımlayalım:

Unutmayın, bir sabiti "yıkmak" ikinci teknik diferansiyel denklemleri çözerken sıklıkla kullanılır.

Yani genel çözüm şudur: . Bu güzel bir üstel fonksiyon ailesidir.

Son aşamada, verilen başlangıç ​​koşulunu karşılayan özel bir çözüm bulmanız gerekir. Bu da basittir.

Görev nedir? Almak gerekiyor çok koşulun karşılanması için sabitin değeri.

Farklı şekillerde biçimlendirilebilir, ancak bu muhtemelen en net yol olacaktır. Genel çözümde, "X" yerine sıfır, "Y" yerine de iki koyarız:



Yani,

Standart tasarım versiyonu:

Şimdi sabitin bulunan değerini genel çözüme yerleştiriyoruz:
– ihtiyacımız olan özel çözüm bu.

Cevap: özel çözüm:

Hadi kontrol edelim. Özel bir çözümün kontrol edilmesi iki aşamayı içerir:

Öncelikle bulunan belirli çözümün başlangıç ​​koşulunu gerçekten karşılayıp karşılamadığını kontrol etmeniz gerekir. “X” yerine sıfır koyarız ve ne olacağını görürüz:
- evet, aslında iki alındı, bu da başlangıç ​​koşulunun karşılandığı anlamına geliyor.

İkinci aşama zaten tanıdık. Ortaya çıkan özel çözümü alıp türevi buluyoruz:

Orijinal denklemde yerine koyarız:

– doğru eşitlik elde edilir.

Sonuç: Özel çözüm doğru bir şekilde bulunmuştur.

Daha anlamlı örneklere geçelim.

Örnek 3

Diferansiyel denklemi çözün

Çözüm: Türevi ihtiyacımız olan biçimde yeniden yazıyoruz:

Değişkenleri ayırmanın mümkün olup olmadığını değerlendiriyoruz? Olabilmek. İkinci terimi işaret değiştirerek sağa kaydırıyoruz:

Çarpanları orantı kuralına göre aktarıyoruz:

Değişkenler ayrıldı, her iki parçayı da entegre edelim:

Seni uyarmalıyım, kıyamet günü yaklaşıyor. Eğer iyi çalışmadıysanız belirsiz integraller, birkaç örnek çözdüyseniz, gidecek hiçbir yeriniz kalmaz - şimdi bu konularda uzmanlaşmanız gerekecek.

Sol tarafın integralini bulmak kolaydır; kotanjantın integralini derste incelediğimiz standart tekniği kullanarak ele alıyoruz. Trigonometrik fonksiyonların entegrasyonu geçen sene:

Sağ tarafta bir logaritmamız var ve ilk teknik önerime göre sabitin de logaritmanın altına yazılması gerekiyor.

Şimdi genel integrali basitleştirmeye çalışıyoruz. Elimizde yalnızca logaritmalar olduğundan, onlardan kurtulmak oldukça mümkün (ve gerekli). Kullanarak bilinen özellikler Logaritmaları mümkün olduğunca “paketliyoruz”. Bunu çok detaylı bir şekilde yazacağım:

Ambalaj barbarca parçalanmış durumda:

“Oyun”u ifade etmek mümkün mü? Olabilmek. Her iki parçanın da karelenmesi gerekir.

Ancak bunu yapmanıza gerek yok.

Üçüncü teknik ipucu: genel bir çözüm elde etmek için bir güce ulaşmak veya kök salmak gerekiyorsa, o zaman çoğu durumda bu eylemlerden kaçınmalı ve cevabı genel bir integral şeklinde bırakmalısınız. Gerçek şu ki, genel çözüm, büyük kökler, işaretler ve diğer çöplerle birlikte korkunç görünecek.

Bu nedenle cevabı genel bir integral şeklinde yazıyoruz. Bunu formda sunmak, yani mümkünse sağ tarafta yalnızca bir sabit bırakmak iyi bir uygulama olarak kabul edilir. Bunu yapmak şart değil ama profesörü memnun etmek her zaman faydalıdır ;-)

Cevap: genel integral:

! Not: Herhangi bir denklemin genel integrali birden fazla şekilde yazılabilir. Dolayısıyla sonucunuz önceden bilinen cevapla örtüşmüyorsa bu, denklemi yanlış çözdüğünüz anlamına gelmez.

Genel integral de oldukça kolay bir şekilde kontrol edilebilir, asıl önemli olan onu bulabilmektir. örtülü olarak belirtilen bir fonksiyonun türevi. Cevabı farklılaştıralım:

Her iki terimi de şununla çarpıyoruz:

Ve şuna bölün:

Orijinal diferansiyel denklem tam olarak elde edilmiştir, yani genel integral doğru olarak bulunmuştur.

Örnek 4

Diferansiyel denklemin başlangıç ​​koşulunu sağlayan özel bir çözümünü bulun. Kontrol gerçekleştirin.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir.

Algoritmanın iki aşamadan oluştuğunu hatırlatayım:
1) genel bir çözüm bulmak;
2) gerekli özel çözümü bulmak.

Kontrol ayrıca iki adımda gerçekleştirilir (Örnek No. 2'deki örneğe bakın), şunları yapmanız gerekir:
1) bulunan özel çözümün başlangıç ​​koşulunu karşıladığından emin olun;
2) Belirli bir çözümün genel olarak diferansiyel denklemi karşıladığını kontrol edin.

Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Örnek 5

Diferansiyel denklemin özel bir çözümünü bulun , başlangıç ​​koşulunu karşılıyor. Kontrol gerçekleştirin.

Çözüm:Öncelikle genel bir çözüm bulalım. Bu denklem zaten hazır diferansiyeller içerdiğinden çözüm basitleştirilmiştir. Değişkenleri ayırıyoruz:

Denklemin integralini alalım:

Soldaki integral tablo halindedir, sağdaki integral alınır bir fonksiyonu diferansiyel işaret altına alma yöntemi:

Genel integral elde edildi, genel çözümü başarıyla ifade etmek mümkün mü? Olabilmek. Her iki tarafa da logaritma asıyoruz. Pozitif oldukları için modül işaretleri gereksizdir:

(Umarım dönüşümü herkes anlamıştır, böyle şeylerin zaten bilinmesi gerekir)

Yani genel çözüm şudur:

Verilen başlangıç ​​koşuluna karşılık gelen özel bir çözüm bulalım.
Genel çözümde, "X" yerine sıfırı, "Y" yerine de ikinin logaritmasını kullanırız:

Daha tanıdık tasarım:

Sabitin bulunan değerini genel çözüme koyarız.

Cevap:özel çözüm:

Kontrol: Öncelikle başlangıç ​​koşulunun karşılanıp karşılanmadığını kontrol edelim:
- her şey uğultu halinde.

Şimdi bulunan özel çözümün diferansiyel denklemi sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim. Türevi bulma:

Orijinal denkleme bakalım: – diferansiyellerde sunulur. Kontrol etmenin iki yolu vardır. Bulunan türevden diferansiyeli ifade etmek mümkündür:

Bulunan özel çözümü ve elde edilen diferansiyeli orijinal denklemde yerine koyalım :

Temel logaritmik özdeşliği kullanıyoruz:

Doğru eşitlik elde edilir, bu da özel çözümün doğru şekilde bulunduğu anlamına gelir.

İkinci kontrol yöntemi yansıtılmıştır ve daha tanıdıktır: denklemden Türevi ifade edelim, bunun için tüm parçaları şu şekilde bölüyoruz:

Ve dönüştürülmüş DE'de elde edilen kısmi çözümü ve bulunan türevi yerine koyarız. Sadeleştirmeler sonucunda doğru eşitliğin de elde edilmesi gerekmektedir.

Örnek 6

Diferansiyel denklemi çözün. Cevabı genel bir integral biçiminde sunun.

Bu, kendi başınıza çözebileceğiniz, tam çözüm üretebileceğiniz ve ders sonunda cevaplayabileceğiniz bir örnektir.

Ayrılabilir değişkenli diferansiyel denklemleri çözerken ne gibi zorluklar sizi bekliyor?

1) Değişkenlerin ayrılabileceği her zaman açık değildir (özellikle bir “çaydanlık” için). Koşullu bir örneği ele alalım: . Burada faktörleri parantezlerden çıkarmanız ve kökleri ayırmanız gerekir: . Bundan sonra ne yapılacağı açık.

2) Entegrasyonun kendisiyle ilgili zorluklar. İntegraller genellikle en basitleri değildir ve bulma becerilerinde kusurlar varsa belirsiz integral, o zaman birçok difüzörle zor olacaktır. Ek olarak, "diferansiyel denklem basit olduğundan, en azından integrallerin daha karmaşık olmasına izin verin" mantığı, koleksiyon ve eğitim kılavuzları derleyicileri arasında popülerdir.

3) Sabitli dönüşümler. Herkesin fark ettiği gibi, diferansiyel denklemlerdeki sabit oldukça serbestçe ele alınabilir ve bazı dönüşümler yeni başlayanlar için her zaman net olmayabilir. Başka bir koşullu örneğe bakalım: . İçindeki tüm terimlerin 2 ile çarpılması tavsiye edilir: . Ortaya çıkan sabit aynı zamanda bir tür sabittir ve şu şekilde ifade edilebilir: . Evet ve sağ tarafta logaritma olduğundan, sabiti başka bir sabit biçiminde yeniden yazmanız önerilir: .

Sorun şu ki çoğu zaman indekslerle uğraşmazlar ve aynı harfi kullanırlar. Sonuç olarak karar kaydı aşağıdaki formu alır:

Ne tür bir sapkınlık? Orada hatalar var! Kesinlikle konuşursak, evet. Bununla birlikte, esas açısından bakıldığında herhangi bir hata yoktur, çünkü değişken bir sabitin dönüştürülmesinin bir sonucu olarak, yine de değişken bir sabit elde edilir.

Veya başka bir örnek, denklemin çözümü sırasında genel bir integralin elde edildiğini varsayalım. Bu cevap çirkin görünüyor, bu nedenle her terimin işaretinin değiştirilmesi tavsiye edilir: . Resmen burada başka bir hata daha var - sağ tarafa yazılması gerekiyor. Ancak gayri resmi olarak "eksi ce"nin hala bir sabit olduğu ima ediliyor ( ki bu da kolaylıkla herhangi bir anlam alabilir!) yani “eksi” koymanın bir anlamı yok ve aynı harfi kullanabilirsiniz.

Dikkatsiz bir yaklaşımdan kaçınmaya çalışacağım ve yine de sabitleri dönüştürürken onlara farklı indeksler atayacağım.

Örnek 7

Diferansiyel denklemi çözün. Kontrol gerçekleştirin.

Çözüm: Bu denklem değişkenlerin ayrılmasına izin verir. Değişkenleri ayırıyoruz:

İntegral alalım:

Buradaki sabiti logaritma olarak tanımlamaya gerek yok çünkü bundan işe yarar bir şey çıkmayacak.

Cevap: genel integral:

Kontrol edin: Cevabın türevini alın (örtük işlev):

Her iki terimi de şu şekilde çarparak kesirlerden kurtuluruz:

Orijinal diferansiyel denklem elde edilmiştir, yani genel integral doğru olarak bulunmuştur.

Örnek 8

DE'nin özel bir çözümünü bulun.
,

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Tek ipucu, burada genel bir integral elde edeceğiniz ve daha doğrusu, belirli bir çözüm bulmayı değil, ama kısmi integral. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

6.1. TEMEL KAVRAMLAR VE TANIMLAR

Matematik ve fizik, biyoloji ve tıptaki çeşitli problemleri çözerken, incelenen süreci tanımlayan değişkenleri birbirine bağlayan bir formül biçiminde işlevsel bir ilişkiyi hemen kurmak çoğu zaman mümkün değildir. Genellikle bağımsız değişkene ve bilinmeyen fonksiyona ek olarak türevlerini de içeren denklemleri kullanmanız gerekir.

Tanım. Bağımsız bir değişkeni, bilinmeyen bir fonksiyonu ve onun çeşitli mertebelerdeki türevlerini birbirine bağlayan denklem denir. diferansiyel.

Bilinmeyen bir fonksiyon genellikle belirtilir y(x) ya da sadece sen, ve türevleri - sen", sen" vesaire.

Başka tanımlamalar da mümkündür, örneğin: sen= x(t) ise x"(t), x""(t)- türevleri ve T- bağımsız değişken.

Tanım. Bir fonksiyon bir değişkene bağlıysa, o zaman diferansiyel denklem denir. Genel görünüm sıradan diferansiyel denklem:

veya

Fonksiyonlar F Ve F bazı argümanlar içermeyebilir, ancak denklemlerin diferansiyel olması için bir türevin varlığı şarttır.

Tanım.Diferansiyel denklemin sırası içerdiği en yüksek türevin mertebesine denir.

Örneğin, x 2 y"- sen= 0, y" + sin X= 0 birinci dereceden denklemlerdir ve sen"+ 2 sen"+ 5 sen= X- ikinci dereceden denklem.

Diferansiyel denklemleri çözerken, keyfi bir sabitin ortaya çıkmasıyla ilişkili olan entegrasyon işlemi kullanılır. Entegrasyon eylemi uygulanırsa N kez, o zaman, açıkçası, çözüm şunları içerecektir: N keyfi sabitler.

6.2. BİRİNCİ DERECEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER

Genel görünüm birinci dereceden diferansiyel denklem ifadeyle belirlenir

Denklem açıkça içermeyebilir X Ve sen, ama mutlaka y'yi içerir".

Denklem şu şekilde yazılabilirse

daha sonra türevine göre çözülmüş birinci dereceden bir diferansiyel denklem elde ederiz.

Tanım. Birinci dereceden diferansiyel denklemin (6.3) (veya (6.4)) genel çözümü, çözüm kümesidir , Nerede İLE- keyfi sabit.

Bir diferansiyel denklemin çözüm grafiğine denir integral eğrisi.

Keyfi bir sabit vermek İLE farklı değerlerde kısmi çözümler elde edilebilir. Uçakta xOy genel çözüm, her bir özel çözüme karşılık gelen bir integral eğri ailesidir.

Bir nokta belirlerseniz bir (x 0, y 0), o zaman kural olarak bir dizi fonksiyondan integral eğrisinin geçmesi gereken yer Biri özel bir çözüm olarak seçilebilir.

Tanım.Özel karar Bir diferansiyel denklemin keyfi sabitler içermeyen çözümüdür.

Eğer genel bir çözümdür, o halde durumdan

bir sabit bulabilirsin İLE. Koşul denir başlangıç ​​durumu.

Başlangıç ​​koşulunu karşılayan diferansiyel denklem (6.3) veya (6.4)'e özel bir çözüm bulma problemi en isminde Cauchy sorunu. Bu sorunun her zaman bir çözümü var mı? Cevap aşağıdaki teoremde bulunmaktadır.

Cauchy teoremi(bir çözümün varlığı ve tekliği teoremi). Diferansiyel denklemi açıklayalım sen"= f(x,y) işlev f(x,y) ve o

kısmi türev bazılarında tanımlanmış ve sürekli

bölge D, bir nokta içeren Daha sonra bölgede D var

Denklemin başlangıç ​​koşulunu sağlayan tek çözümü en

Cauchy teoremi, belirli koşullar altında benzersiz bir integral eğrisinin olduğunu belirtir. sen= f(x), bir noktadan geçmek Teoremin koşullarının sağlanmadığı noktalar

Cauchies denir özel. Bu noktalarda kırılıyor F(x, y) veya.

Ya birkaç integral eğri ya da hiçbiri tek bir noktadan geçmiyor.

Tanım.Çözüm (6.3), (6.4) formunda bulunursa F(x, y, C)= 0, y'ye göre izin verilmiyor, o zaman çağrılır genel integral diferansiyel denklem.

Cauchy teoremi yalnızca bir çözümün var olduğunu garanti eder. Çözüm bulmanın tek bir yöntemi olmadığından, yalnızca bazı türdeki birinci dereceden diferansiyel denklemleri dikkate alacağız. karelemeler.

Tanım. Diferansiyel denklem denir karesel olarak integrallenebilir, eğer çözümünü bulmak fonksiyonları entegre etmekten geçiyorsa.

6.2.1. Ayrılabilir değişkenli birinci dereceden diferansiyel denklemler

Tanım. Birinci dereceden diferansiyel denkleme denklem denir ayrılabilir değişkenler

Denklemin (6.5) sağ tarafı, her biri yalnızca bir değişkene bağlı olan iki fonksiyonun çarpımıdır.

Örneğin, denklem ayıran bir denklemdir

değişkenlerle
ve denklem

(6.5) formunda temsil edilemez.

Bunu göz önünde bulundurarak (6.5)’i formda yeniden yazıyoruz

Bu denklemden, diferansiyellerin yalnızca karşılık gelen değişkene bağlı fonksiyonlar olduğu, ayrılmış değişkenlere sahip bir diferansiyel denklem elde ederiz:

Terimi terime entegre ederek, elimizdeki

burada C = C 2 - C 1 - keyfi sabit. İfade (6.6), denklem (6.5)'in genel integralidir.

Denklemin (6.5) her iki tarafını da bölerek, aşağıdaki çözümleri kaybedebiliriz: Gerçekten eğer en

O açıkça denklemin (6.5) bir çözümüdür.

Örnek 1. Denklemi tatmin eden bir çözüm bulun

durum: sen= 6 X= 2 (y(2) = 6).

Çözüm. Değiştireceğiz sen" Daha sonra . Her iki tarafı da çarpın

dx,çünkü daha sonraki entegrasyon sırasında ayrılmak imkansızdır dx paydada:

ve sonra her iki parçayı da bölerek denklemi elde ederiz,

hangisi entegre edilebilir? İntegral alalım:

Daha sonra ; potansiyelleştirirsek y = C elde ederiz. (x + 1) - ob-

genel çözüm.

İlk verileri kullanarak keyfi bir sabit belirleriz ve bunları genel çözüme koyarız.

Sonunda elde ettik sen= 2(x + 1) özel bir çözümdür. Ayrılabilir değişkenlere sahip denklemlerin çözümüne ilişkin birkaç örneğe daha bakalım.

Örnek 2. Denklemin çözümünü bulun

Çözüm. Bunu göz önünde bulundurarak , alıyoruz .

Denklemin her iki tarafının integralini alırsak,

Neresi

Örnek 3. Denklemin çözümünü bulun Çözüm. Denklemin her iki tarafını da diferansiyel işareti altındaki değişkenle örtüşmeyen bir değişkene bağlı olan faktörlere böleriz, yani. ve entegre edin. Sonra alırız

ve nihayet

Örnek 4. Denklemin çözümünü bulun

Çözüm. Ne elde edeceğimizi bilmek. Bölüm

lim değişkenleri. Daha sonra

Bütünleşerek şunu elde ederiz

Yorum.Örnek 1 ve 2'de gerekli fonksiyon: sen açıkça ifade edilmiştir (genel çözüm). Örnek 3 ve 4'te - örtülü olarak (genel integral). Gelecekte kararın şekli belirtilmeyecektir.

Örnek 5. Denklemin çözümünü bulun Çözüm.

Örnek 6. Denklemin çözümünü bulun , tatmin edici

durum y(e)= 1.

Çözüm. Denklemi formda yazalım.

Denklemin her iki tarafının çarpılması dx ve sonra şunu elde ederiz

Denklemin her iki tarafını da entegre ederek (sağ taraftaki integral kısım kısım alınır), şunu elde ederiz:

Ama duruma göre sen= 1'de X= e. Daha sonra

Bulunan değerleri yerine koyalım İLE genel çözüme göre:

Ortaya çıkan ifadeye diferansiyel denklemin kısmi çözümü denir.

6.2.2. Birinci mertebeden homojen diferansiyel denklemler

Tanım. Birinci dereceden diferansiyel denklem denir homojen, eğer formda temsil edilebiliyorsa

Homojen bir denklemi çözmek için bir algoritma sunalım.

1.Bunun yerine sen yeni bir fonksiyon tanıtalımO zaman ve bu nedenle

2.İşlev açısından sen denklem (6.7) şu formu alır

yani değiştirme, homojen bir denklemi ayrılabilir değişkenlere sahip bir denkleme indirger.

3. Denklem (6.8)'i çözerek, önce u'yu sonra da sen=ux.

Örnek 1. Denklemi çöz Çözüm. Denklemi formda yazalım.

Değiştirmeyi yapıyoruz:
Daha sonra

Değiştireceğiz

dx ile çarpın: Şuna göre böl: X ve üzerinde Daha sonra

Denklemin her iki tarafını karşılık gelen değişkenler üzerinden entegre ettikten sonra,

veya eski değişkenlere dönersek sonunda şunu elde ederiz:

Örnek 2.Denklemi çöz Çözüm.İzin vermek Daha sonra

Denklemin her iki tarafını da şuna bölelim: x2: Parantezleri açıp terimleri yeniden düzenleyelim:

Eski değişkenlere geçerek nihai sonuca ulaşıyoruz:

Örnek 3.Denklemin çözümünü bulun buna göre

Çözüm.Standart değiştirme gerçekleştirme aldık

veya

veya

Bu, özel çözümün şu forma sahip olduğu anlamına gelir: Örnek 4. Denklemin çözümünü bulun

Çözüm.

Örnek 5.Denklemin çözümünü bulun Çözüm.

Bağımsız çalışma

Ayrılabilir değişkenlere sahip diferansiyel denklemlerin çözümlerini bulun (1-9).

Homojen diferansiyel denklemlere bir çözüm bulun (9-18).

6.2.3. Birinci dereceden diferansiyel denklemlerin bazı uygulamaları

Radyoaktif bozunma sorunu

Ra'nın (radyum) zamanın her anında bozunma hızı, mevcut kütlesiyle orantılıdır. Başlangıçta Ra'nın var olduğu ve Ra'nın yarı ömrünün 1590 yıl olduğu biliniyorsa, Ra'nın radyoaktif bozunma yasasını bulun.

Çözüm.Şimdilik Ra kütlesi şöyle olsun: X= x(t) g ve Daha sonra bozunma oranı Ra eşittir

Sorunun koşullarına göre

Nerede k

Son denklemdeki değişkenleri ayırıp entegre edersek, şunu elde ederiz:

Neresi

Belirlemek için C başlangıç ​​koşulunu kullanıyoruz: ne zaman .

Daha sonra ve bu nedenle,

Orantılılık faktörü k ek koşuldan belirlenir:

Sahibiz

Buradan ve gerekli formül

Bakteriyel üreme oranı problemi

Bakterilerin üreme hızı sayılarıyla orantılıdır. Başlangıçta 100 bakteri vardı. 3 saat içinde sayıları ikiye katlandı. Bakteri sayısının zamana bağımlılığını bulun. Bakteri sayısı 9 saat içinde kaç kat artacak?

Çözüm.İzin vermek X- bir seferde bakteri sayısı T. Daha sonra duruma göre;

Nerede k- orantılılık katsayısı.

Buradan Durumdan biliniyor ki . Araç,

Ek koşuldan . Daha sonra

Aradığınız fonksiyon:

Peki ne zaman T= 9 X= 800, yani 9 saat içinde bakteri sayısı 8 kat arttı.

Enzim miktarını arttırma sorunu

Bira mayası kültüründe aktif enzimin büyüme hızı, başlangıçtaki miktarıyla orantılıdır. X. Başlangıçtaki enzim miktarı A bir saat içinde ikiye katlandı. Bağımlılığı bulun

x(t).

Çözüm. Koşula göre, sürecin diferansiyel denklemi şu şekildedir:

buradan

Ancak . Araç, C= A ve daha sonra

Şu da biliniyor ki

Buradan,

6.3. İKİNCİ DERECE DİFERANSİYEL DENKLEMLER

6.3.1. Temel Kavramlar

Tanım.İkinci dereceden diferansiyel denklem bağımsız değişkeni, istenen fonksiyonu ve onun birinci ve ikinci türevlerini birbirine bağlayan ilişkiye denir.

Özel durumlarda denklemde x eksik olabilir, en veya y". Bununla birlikte, ikinci dereceden bir denklem mutlaka y'yi içermelidir." Genel durumda, ikinci dereceden diferansiyel denklem şu şekilde yazılır:

veya mümkünse ikinci türeve göre çözülmüş formda:

Birinci dereceden bir denklemde olduğu gibi, ikinci dereceden bir denklemin de genel ve özel çözümleri olabilir. Genel çözüm şudur:

Özel Bir Çözüm Bulmak

başlangıç ​​koşulları altında - verilen

sayılar) denir Cauchy sorunu. Geometrik olarak bu, integral eğrisini bulmamız gerektiği anlamına gelir. en= y(x), Belirli bir noktadan geçerken ve bu noktada bir teğete sahip olan

pozitif eksen yönü ile hizalanır Öküz belirtilen açı. e. (Şekil 6.1). Denklemin (6.10) sağ tarafı ise Cauchy probleminin benzersiz bir çözümü vardır. aralıksız

süreksizdir ve göre sürekli kısmi türevleri vardır ah, ah" başlangıç ​​noktasının bazı mahallelerinde

Sabitleri bulmak için özel bir çözüme dahil edildiğinde sistemin çözülmesi gerekir

Pirinç. 6.1.İntegral eğri

Talimatlar

Denklem şu şekilde sunuluyorsa: dy/dx = q(x)/n(y), bunları ayrılabilir değişkenlere sahip diferansiyel denklemler olarak sınıflandırın. Diferansiyellerdeki koşulu şu şekilde yazarak çözülebilirler: n(y)dy = q(x)dx. Daha sonra her iki tarafı da entegre edin. Bazı durumlarda çözüm bilinen fonksiyonlardan alınan integraller şeklinde yazılır. Örneğin dy/dx = x/y durumunda q(x) = x, n(y) = y elde ederiz. ydy = xdx şeklinde yazın ve integralini alın. y^2 = x^2 + c olmalıdır.

Doğrusala denklemler Denklemleri “birinci” ile ilişkilendirin. Türevleriyle birlikte bilinmeyen bir fonksiyon böyle bir denklemin yalnızca birinci derecesine girer. Doğrusal, dy/dx + f(x) = j(x) biçimindedir; burada f(x) ve g(x), x'e bağlı fonksiyonlardır. Çözüm bilinen fonksiyonlardan alınan integraller kullanılarak yazılmıştır.

Birçok diferansiyel denklemin ikinci dereceden denklemler olduğuna (ikinci türevleri içeren) dikkat edin. Örneğin, basit harmonik hareket denklemi genel biçimde yazılmıştır: md 2x/dt 2 = –kx. Bu tür denklemlerin belirli çözümleri vardır. Basit harmonik hareket denklemi oldukça önemli bir şeyin örneğidir: sabit katsayılı doğrusal diferansiyel denklemler.

Sorun koşullarında yalnızca bir doğrusal denklem varsa, o zaman size çözüm bulabileceğiniz ek koşullar verilmiştir. Bu koşulları bulmak için sorunu dikkatlice okuyun. Eğer değişkenler x ve y mesafeyi, hızı ve ağırlığı belirtir; x≥0 ve y≥0 sınırını ayarlamaktan çekinmeyin. X veya y'nin elma sayısını vb. gizlemesi oldukça mümkündür. – o zaman değerler yalnızca olabilir. Eğer x oğlunun yaşı ise babasından büyük olamayacağı açıktır, dolayısıyla bunu problemin koşullarında belirtin.

Kaynaklar:

• tek değişkenli denklem nasıl çözülür

Diferansiyel ve integral hesaptaki problemler, üniversitelerde incelenen yüksek matematiğin bir dalı olan matematiksel analiz teorisinin pekiştirilmesinde önemli unsurlardır. Diferansiyel denklemİntegral yöntemiyle çözüldü.

Talimatlar

Diferansiyel hesap .'nin özelliklerini araştırır. Ve tam tersi, bir fonksiyonun entegre edilmesi belirli özelliklere izin verir, yani. Bir fonksiyonun türevlerini veya diferansiyellerini kendisi bulmak için. Bu diferansiyel denklemin çözümüdür.

Herhangi bir şey, bilinmeyen bir miktar ile bilinen veriler arasındaki ilişkidir. Diferansiyel denklem durumunda, bilinmeyenin rolü fonksiyon tarafından, bilinen miktarların rolü ise onun türevleri tarafından oynanır. Ek olarak, ilişki bağımsız bir değişken içerebilir: F(x, y(x), y'(x), y''(x),…, y^n(x)) = 0, burada x bir bilinmeyendir değişken, y(x) belirlenecek fonksiyondur, denklemin sırası türevin (n) maksimum sırasıdır.

Böyle bir denkleme adi diferansiyel denklem denir. İlişki birkaç bağımsız değişken ve fonksiyonun bu değişkenlere göre kısmi türevlerini (diferansiyellerini) içeriyorsa, denklem kısmi diferansiyel denklem olarak adlandırılır ve şu şekilde olur: x∂z/∂y - ∂z/∂x = 0 burada z(x, y) gerekli fonksiyondur.

Dolayısıyla diferansiyel denklemlerin nasıl çözüleceğini öğrenmek için ters türevleri bulmanız gerekir; problemi farklılaşmanın tersi yönünde çözeriz. Örneğin: y’ = -y/x birinci dereceden denklemi çözün.

Çözüm Y' yerine dy/dx yazın: dy/dx = -y/x.

Denklemi entegrasyona uygun bir forma indirgeyin. Bunu yapmak için her iki tarafı da dx ile çarpın ve y:dy/y = -dx/x'e bölün.

İntegral: ∫dy/y = - ∫dx/x + Сln |y| = - ln |x| +C.

Bu çözüme genel diferansiyel denklem denir. C, değerleri kümesi denklemin çözüm kümesini belirleyen bir sabittir. C'nin herhangi bir spesifik değeri için çözüm benzersiz olacaktır. Bu çözüm diferansiyel denklemin kısmi çözümüdür.

Yüksek mertebeden denklemlerin çoğunu çözme derece karekökleri bulmak için net bir formül yok denklemler. Ancak daha yüksek dereceli bir denklemi daha görsel bir forma dönüştürmenize olanak tanıyan çeşitli indirgeme yöntemleri vardır.

Talimatlar

Yüksek dereceli denklemleri çözmenin en yaygın yöntemi genişletmedir. Bu yaklaşım, tamsayı köklerinin, serbest terimin bölenlerinin seçilmesi ve ardından genel polinomun (x – x0) formuna bölünmesinin bir kombinasyonudur.

Örneğin x^4 + x³ + 2 x² – x – 3 = 0 denklemini çözün. Çözüm: Bu polinomun serbest terimi -3 olduğundan tamsayı bölenleri ±1 ve ±3 sayıları olabilir. Bunları denklemde birer birer yerine koyun ve özdeşliği elde edip etmediğinizi öğrenin: 1: 1 + 1 + 2 – 1 – 3 = 0.

İkinci kök x = -1. (x + 1) ifadesine bölün. Ortaya çıkan (x - 1)·(x + 1)·(x² + x + 3) = 0 denklemini yazın. Derece ikinciye indirgenmiştir, bu nedenle denklemin iki kökü daha olabilir. Bunları bulmak için ikinci dereceden denklemi çözün: x² + x + 3 = 0D = 1 – 12 = -11

Diskriminant negatif bir değerdir, bu da denklemin artık gerçek kökleri olmadığı anlamına gelir. Denklemin karmaşık köklerini bulun: x = (-2 + i·√11)/2 ve x = (-2 – i·√11)/2.

Daha yüksek dereceli bir denklemi çözmenin başka bir yöntemi de değişkenleri ikinci dereceden hale getirecek şekilde değiştirmektir. Bu yaklaşım denklemin tüm kuvvetleri çift olduğunda kullanılır, örneğin: x^4 – 13 x² + 36 = 0

Şimdi orijinal denklemin köklerini bulun: x1 = √9 = ±3; x2 = √4 = ±2.

İpucu 10: Redoks Denklemleri Nasıl Belirlenir?

Kimyasal reaksiyon, bileşimlerinde bir değişiklik olduğunda ortaya çıkan maddelerin dönüşüm sürecidir. Reaksiyona giren maddelere başlangıç ​​maddeleri, bu işlem sonucunda oluşan maddelere ise ürünler denir. Kimyasal bir reaksiyon sırasında başlangıç ​​​​maddelerini oluşturan elementlerin oksidasyon durumları değişir. Yani başkasının elektronlarını alıp kendi elektronlarını verebilirler. Her iki durumda da yükleri değişir. Bu tür reaksiyonlara redoks reaksiyonları denir.

Belirli integralleri bulurken karşı karşıya kaldığımız görevi hatırlayalım:

veya dy = f(x)dx. Onun çözümü:

ve iş belirsiz integralin hesaplanmasına gelir. Pratikte daha karmaşık bir görevle daha sık karşılaşılır: fonksiyonun bulunması senşeklinde bir ilişkiyi sağladığı biliniyorsa

Bu ilişki bağımsız değişkenle ilgilidir X, bilinmeyen işlev sen ve mertebeye kadar türevleri N dahil, denir .

Bir diferansiyel denklem, şu veya bu dereceden türevlerin (veya diferansiyellerin) işareti altındaki bir fonksiyonu içerir. En yüksek sıraya sıra denir (9.1) .

Diferansiyel denklemler:

- ilk sipariş,

İkinci derece

- beşinci derece vb.

Belirli bir diferansiyel denklemi sağlayan fonksiyona çözümü denir , veya integral . Bunu çözmek, tüm çözümlerini bulmak anlamına gelir. Gerekli fonksiyon için ise sen tüm çözümleri veren bir formül elde etmeyi başardık, sonra onun genel çözümünü bulduğumuzu söylüyoruz , veya genel integral .

Genel çözüm içerir N keyfi sabitler ve benziyor

ile ilgili bir ilişki elde edilirse x, y Ve N izin verilmeyen bir biçimde keyfi sabitler sen -

bu durumda böyle bir ilişkiye denklem (9.1)'in genel integrali denir.

Cauchy sorunu

Her özel çözüme, yani belirli bir diferansiyel denklemi karşılayan ve keyfi sabitlere bağlı olmayan her özel fonksiyona özel çözüm denir. , veya kısmi bir integral. Genel çözümlerden özel çözümler (integraller) elde etmek için sabitlere belirli sayısal değerler verilmelidir.

Belirli bir çözümün grafiğine integral eğrisi denir. Tüm kısmi çözümleri içeren genel çözüm, bir integral eğri ailesidir. Birinci dereceden bir denklem için bu aile, denklem için keyfi bir sabite bağlıdır. N-inci sipariş - itibaren N keyfi sabitler.

Cauchy problemi denklem için özel bir çözüm bulmaktır. N-th sipariş, tatmin edici N başlangıç ​​koşulları:

bununla n sabiti c 1, c 2,..., cn belirlenir.

1. dereceden diferansiyel denklemler

Türevine göre çözülmemiş 1. dereceden diferansiyel denklem için şu forma sahiptir:

veya nispeten izin verilen için

Örnek 3.46. Denklemin genel çözümünü bulun

Çözüm. Bütünleşerek şunu elde ederiz

burada C keyfi bir sabittir. C'ye belirli sayısal değerler atarsak belirli çözümler elde ederiz, örneğin,

Örnek 3.47. 100 r tahakkuğa tabi olarak bankaya yatırılan para miktarının arttığını düşünün Yıllık bileşik faiz. Başlangıçtaki para miktarı Yo olsun ve sonunda Yx olsun X yıllar. Faiz yılda bir kez hesaplanırsa,

burada x = 0, 1, 2, 3,.... Faiz yılda iki kez hesaplandığında şunu elde ederiz:

burada x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Faiz hesaplanırken N yılda bir kez ve eğer x 0, 1/n, 2/n, 3/n,... sıralı değerlerini alır, ardından

1/n = h'yi belirtin, o zaman önceki eşitlik şöyle görünecektir:

Sınırsız büyütme ile N(saatte ) limitte sürekli faiz tahakkuku ile para miktarını artırma sürecine geliyoruz:

Dolayısıyla sürekli değişimle açıkça görülüyor ki X para arzındaki değişim kanunu 1. dereceden diferansiyel denklem ile ifade edilir. Y x bilinmeyen bir fonksiyon olduğunda, X- bağımsız değişken, R- devamlı. Bu denklemi çözelim, bunun için aşağıdaki gibi yeniden yazalım:

Neresi , veya , burada P, e C'yi belirtir.

Y(0) = Yo başlangıç ​​koşullarından P: Yo = Pe o'yu buluruz, buradan Yo = P olur. Bu nedenle çözüm şu şekildedir:

İkinci ekonomik sorunu ele alalım. Makroekonomik modeller aynı zamanda gelir veya Y çıktısındaki değişiklikleri zamanın fonksiyonu olarak tanımlayan 1. dereceden doğrusal diferansiyel denklemlerle de tanımlanır.

Örnek 3.48. Milli gelir Y'nin değeriyle orantılı bir oranda artmasına izin verin:

ve devlet harcama açığının orantı katsayısı ile gelir Y ile doğru orantılı olmasına izin verin Q. Harcama açığı ulusal borcun artmasına neden olur D:

Başlangıç ​​koşulları Y = Yo ve D = Do t = 0'da. İlk denklemden Y= Yoe kt. Y'yi değiştirerek dD/dt = qYoe kt elde ederiz. Genel çözüm şu şekildedir:
D = (q/ k) Yoe kt +С, burada С = sabit, başlangıç ​​koşullarından belirlenir. Başlangıç ​​koşullarını yerine koyarsak Do = (q/ k)Yo + C elde ederiz. Yani son olarak,

D = Do +(q/ k)Yo (e kt -1),

bu, ulusal borcun aynı oranda arttığını gösteriyor k Milli gelirle aynı.

En basit diferansiyel denklemleri ele alalım N mertebeden, bunlar formun denklemleridir

Genel çözümü kullanılarak elde edilebilir. N kez entegrasyonlar.

Örnek 3.49. y """ = cos x örneğini düşünün.

Çözüm. Bütünleşerek şunu buluruz

Genel çözüm şu şekildedir:

Doğrusal diferansiyel denklemler

Ekonomide yaygın olarak kullanılırlar; bu tür denklemleri çözmeyi düşünelim. Eğer (9.1) şu şekle sahipse:

o zaman buna doğrusal denir, burada рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) fonksiyonları verilir. f(x) = 0 ise (9.2)'ye homojen, aksi takdirde homojen olmayan denir. Denklemin (9.2) genel çözümü, herhangi bir özel çözümünün toplamına eşittir. y(x) ve buna karşılık gelen homojen denklemin genel çözümü:

Eğer р o (x), р 1 (x),..., р n (x) katsayıları sabitse, o zaman (9.2)

(9.4) sabit mertebe katsayılı doğrusal diferansiyel denklem olarak adlandırılır N .

(9.4) için şu forma sahiptir:

Genelliği kaybetmeden, p o = 1'i ayarlayabilir ve (9.5) formunu şu şekilde yazabiliriz:

k'nin bir sabit olduğu y = e kx formunda bir çözüm (9.6) arayacağız. Sahibiz: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . Ortaya çıkan ifadeleri (9.6)'da yerine koyarsak, şunu elde ederiz:

(9.7) cebirsel bir denklemdir, bilinmeyeni k, karakteristik denir. Karakteristik denklemin derecesi vardır N Ve N aralarında hem çoklu hem de karmaşık olabilen kökler. k 1 , k 2 ,..., k n gerçek ve farklı olsun, o zaman - özel çözümler (9.7) ve genel

Sabit katsayılı doğrusal homojen ikinci dereceden diferansiyel denklemi düşünün:

Karakteristik denklemi şu şekildedir:

(9.9)

diskriminantı D = p 2 - 4q, D'nin işaretine bağlı olarak üç durum mümkündür.

1. Eğer D>0 ise, k 1 ve k 2 (9.9) kökleri gerçel ve farklıdır ve genel çözüm şu şekildedir:

Çözüm. Karakteristik denklem: k 2 + 9 = 0, dolayısıyla k = ± 3i, a = 0, b = 3, genel çözüm şu şekildedir:

y = C 1 çünkü 3x + C 2 sin 3x.

2. dereceden doğrusal diferansiyel denklemler, P fiyatındaki değişim oranının stok büyüklüğüne bağlı olduğu, mal stokları içeren web tipi bir ekonomik model incelenirken kullanılır (bkz. Paragraf 10). Arz ve talep fiyatın doğrusal fonksiyonlarıysa, yani

a, reaksiyon hızını belirleyen bir sabittir, bu durumda fiyat değişimi süreci diferansiyel denklemle tanımlanır:

Belirli bir çözüm için sabit alabiliriz

anlamlı denge fiyatı Sapma homojen denklemi karşılar

(9.10)

Karakteristik denklem aşağıdaki gibi olacaktır:

Terimin pozitif olması durumunda. Haydi belirtelim . Karakteristik denklemin kökleri k 1,2 = ± i w, dolayısıyla genel çözüm (9.10) şu şekildedir:

burada C ve keyfi sabitlerdir, başlangıç ​​koşullarından belirlenirler. Zaman içinde fiyat değişimi yasasını elde ettik:

Adi diferansiyel denklem bağımsız bir değişkeni, bu değişkenin bilinmeyen bir fonksiyonunu ve onun çeşitli derecelerdeki türevlerini (veya diferansiyellerini) ilişkilendiren bir denklemdir.

Diferansiyel denklemin sırası içerdiği en yüksek türevin mertebesine denir.

Sıradan olanlara ek olarak kısmi diferansiyel denklemler de incelenmektedir. Bunlar bağımsız değişkenlerle ilgili denklemler, bu değişkenlerin bilinmeyen bir fonksiyonu ve aynı değişkenlere göre kısmi türevleridir. Ama biz sadece dikkate alacağız adi diferansiyel denklemler ve bu nedenle konuyu kısaltmak adına "sıradan" kelimesini çıkaracağız.

Diferansiyel denklem örnekleri:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Denklem (1) dördüncü dereceden, denklem (2) üçüncü dereceden, denklemler (3) ve (4) ikinci dereceden, denklem (5) birinci derecedendir.

Diferansiyel denklem N Bu mertebenin mutlaka açık bir fonksiyon içermesi gerekmez; birinciden ikinciye tüm türevleri N-inci dereceden ve bağımsız değişken. Belirli derecelerin açık türevlerini, bir fonksiyonu veya bağımsız bir değişkeni içeremez.

Örneğin, denklem (1)'de açıkça üçüncü ve ikinci dereceden türevler ve bir fonksiyon yoktur; denklem (2)'de - ikinci dereceden türev ve fonksiyon; denklem (4)'te - bağımsız değişken; denklemde (5) - fonksiyonlar. Yalnızca denklem (3) açıkça tüm türevleri, fonksiyonu ve bağımsız değişkeni içerir.

Diferansiyel denklem çözme her fonksiyon çağrılır y = f(x) denklemde yerine konulduğunda bir kimliğe dönüşür.

Bir diferansiyel denklemin çözümünü bulma sürecine denir entegrasyon.

Örnek 1. Diferansiyel denklemin çözümünü bulun.

Çözüm. Bu denklemi formda yazalım. Çözüm, fonksiyonu türevinden bulmaktır. İntegral hesabından bilindiği gibi orijinal fonksiyon, bir antiderivatiftir;

işte bu bu diferansiyel denklemin çözümü . İçinde değişiklik C farklı çözümler elde edeceğiz. Birinci mertebeden diferansiyel denklemin sonsuz sayıda çözümünün olduğunu öğrendik.

Diferansiyel denklemin genel çözümü N sıra, bilinmeyen fonksiyona göre açıkça ifade edilen ve aşağıdakileri içeren çözümdür: N bağımsız keyfi sabitler, yani

Örnek 1'deki diferansiyel denklemin çözümü geneldir.

Diferansiyel denklemin kısmi çözümü keyfi sabitlerin belirli sayısal değerlerin verildiği bir çözüme denir.

Örnek 2. Diferansiyel denklemin genel çözümünü ve özel çözümünü bulun. .

Çözüm. Denklemin her iki tarafının diferansiyel denklemin mertebesine eşit sayıda integralini alalım.

,

.

Sonuç olarak genel bir çözüm elde ettik -

Verilen bir üçüncü dereceden diferansiyel denklemin

Şimdi belirtilen koşullar altında belirli bir çözüm bulalım. Bunu yapmak için keyfi katsayılar yerine değerlerini değiştirin ve elde edin

.

Diferansiyel denkleme ek olarak başlangıç ​​​​koşulu da verilirse, böyle bir problem denir. Cauchy sorunu . Değerleri ve denklemin genel çözümüne yerleştirin ve keyfi bir sabitin değerini bulun C ve sonra bulunan değer için denklemin özel bir çözümü C. Cauchy sorununun çözümü budur.

Örnek 3.Örnek 1'deki diferansiyel denklem için Cauchy problemini çözün.

Çözüm. Başlangıç ​​koşulundaki değerleri genel çözüme koyalım sen = 3, X= 1. Bunu elde ederiz

Bu birinci mertebeden diferansiyel denklem için Cauchy probleminin çözümünü yazıyoruz:

Diferansiyel denklemleri çözmek, en basit olanları bile, karmaşık fonksiyonlar da dahil olmak üzere iyi entegrasyon ve türev becerileri gerektirir. Bu, aşağıdaki örnekte görülebilir.

Örnek 4. Diferansiyel denklemin genel çözümünü bulun.

Çözüm. Denklem öyle bir biçimde yazılmıştır ki, her iki tarafı da hemen entegre edebilirsiniz.

.

Değişkeni değiştirerek (ikame) entegrasyon yöntemini uyguluyoruz. O zaman öyle olsun.

Almak için gerekli dx ve şimdi - dikkat - bunu karmaşık bir fonksiyonun farklılaşma kurallarına göre yapıyoruz, çünkü X ve karmaşık bir işlev vardır ("elma" bir karekökün çıkarılmasıdır veya aynı şey olan "yarım"ın kuvvetine yükseltilir ve "kıyma" kökün altındaki ifadenin ta kendisidir):

İntegrali buluyoruz:

Değişkene geri dönelim X, şunu elde ederiz:

.

Bu, birinci dereceden diferansiyel denklemin genel çözümüdür.

Diferansiyel denklemlerin çözümünde yalnızca yüksek matematiğin önceki bölümlerinden alınan beceriler değil, aynı zamanda ilkokul, yani okul matematiği becerileri de gerekli olacaktır. Daha önce de belirtildiği gibi, herhangi bir mertebeden bir diferansiyel denklemde bağımsız bir değişken, yani bir değişken olmayabilir. X. Okuldan unutulmamış (ancak kime bağlı olarak) oranlar hakkında bilgi sahibi olmak bu sorunun çözülmesine yardımcı olacaktır. Bu bir sonraki örnek.