Bir fonksiyonun grafiğine teğet denklemi. Fonksiyonel denklemler

Teğet düz bir çizgidir fonksiyonun grafiğine bir noktada dokunan ve tüm noktaları fonksiyonun grafiğinden en kısa mesafede olan . Bu nedenle teğet, fonksiyonun grafiğine belirli bir açıda teğet geçer ve farklı açılardaki birkaç teğet, teğet noktasından geçemez. Bir fonksiyonun grafiğine teğet denklemler ve normal denklemler türev kullanılarak oluşturulur.

Teğet denklemi çizgi denkleminden türetilir .

Fonksiyonun grafiğine önce teğet denklemini, sonra da normal denklemini çıkaralım.

sen = kx + B .

İçinde k- açısal katsayı.

Buradan aşağıdaki girişi elde ederiz:

sen - sen 0 = k(X - X 0 ) .

Türev değeri F "(X 0 ) işlevler sen = F(X) bu noktada X0 eğime eşit k= tg φ bir noktadan çizilen bir fonksiyonun grafiğine teğet M0 (X 0 , sen 0 ) , Nerede sen0 = F(X 0 ) . Bu Türevin geometrik anlamı .

Böylece değiştirebiliriz k Açık F "(X 0 ) ve aşağıdakileri alın bir fonksiyonun grafiğine teğet denklemi :

sen - sen 0 = F "(X 0 )(X - X 0 ) .

Bir fonksiyonun grafiğine teğet denklemi oluşturmayı içeren problemlerde (ki bunlara yakında geçeceğiz), yukarıdaki formülden elde edilen denklemin şu şekilde azaltılması gerekir: genel formda düz bir çizginin denklemi. Bunu yapmak için tüm harf ve sayıları denklemin sol tarafına taşımanız ve sağ tarafta sıfır bırakmanız gerekir.

Şimdi normal denklem hakkında. Normal - bu, teğete dik fonksiyonun grafiğine teğet noktasından geçen düz bir çizgidir. Normal denklem :

(X - X 0 ) + F "(X 0 )(sen - sen 0 ) = 0

Isınmak için ilk örneği kendiniz çözmeniz ve ardından çözüme bakmanız istenir. Bu görevin okuyucularımız için “soğuk bir duş” olmayacağını ummak için her türlü neden var.

Örnek 0. Bir fonksiyonun grafiği için bir noktadaki teğet denklemi ve normal denklemi oluşturun M (1, 1) .

Örnek 1. Bir fonksiyonun grafiği için bir teğet denklem ve normal bir denklem yazın apsis teğet ise .

Fonksiyonun türevini bulalım:

Artık teğet denklemini elde etmek için teorik yardımda verilen girişin yerine koymamız gereken her şeye sahibiz. Aldık

Bu örnekte şanslıydık: eğim katsayısı sıfır çıktı, dolayısıyla denklemi ayrı ayrı genel formuna getirmeye gerek yoktu. Artık normal denklemi oluşturabiliriz:

Aşağıdaki şekilde: fonksiyonun grafiği bordo, teğet yeşil, normal ise turuncu renktedir.

Bir sonraki örnek de karmaşık değil: fonksiyon, öncekinde olduğu gibi, aynı zamanda bir polinomdur, ancak eğim sıfıra eşit olmayacaktır, bu nedenle denklemi genel bir forma getirmek için bir adım daha eklenecektir.

Örnek 2.

Çözüm. Teğet noktasının koordinatını bulalım:

Fonksiyonun türevini bulalım:

.

Teğet noktasındaki, yani teğetin eğimindeki türevin değerini bulalım:

Elde edilen tüm verileri "boş formüle" koyarız ve teğet denklemi elde ederiz:

Denklemi genel şekline getiriyoruz (sıfır dışındaki tüm harf ve rakamları sol tarafta topluyoruz ve sıfırı sağ tarafta bırakıyoruz):

Normal denklemi oluşturuyoruz:

Örnek 3. Fonksiyonun grafiğine apsis teğet noktası ise bir teğet denklem ve bir normal denklem yazınız.

Çözüm. Teğet noktasının koordinatını bulalım:

Fonksiyonun türevini bulalım:

.

Teğet noktasındaki, yani teğetin eğimindeki türevin değerini bulalım:

.

Teğet denklemini buluyoruz:

Denklemi genel formuna getirmeden önce biraz “taramanız” gerekiyor: terimi terimle 4 ile çarpın. Bunu yapıp denklemi genel formuna getiriyoruz:

Normal denklemi oluşturuyoruz:

Örnek 4. Fonksiyonun grafiğine apsis teğet noktası ise bir teğet denklem ve bir normal denklem yazınız.

Çözüm. Teğet noktasının koordinatını bulalım:

.

Fonksiyonun türevini bulalım:

Teğet noktasındaki, yani teğetin eğimindeki türevin değerini bulalım:

.

Teğet denklemini elde ederiz:

Denklemi genel formuna getiriyoruz:

Normal denklemi oluşturuyoruz:

Teğet ve normal denklemleri yazarken sık karşılaşılan bir hata, örnekte verilen fonksiyonun karmaşık olduğunu fark etmemek ve türevini basit bir fonksiyonun türevi olarak hesaplamaktır. Aşağıdaki örnekler zaten karmaşık işlevler(ilgili ders yeni bir pencerede açılacaktır).

Örnek 5. Fonksiyonun grafiğine apsis teğet noktası ise bir teğet denklem ve bir normal denklem yazınız.

Çözüm. Teğet noktasının koordinatını bulalım:

Dikkat! Bu fonksiyon karmaşıktır, çünkü teğet argümanı (2 X) kendisi bir fonksiyondur. Dolayısıyla bir fonksiyonun türevini karmaşık bir fonksiyonun türevi olarak buluyoruz.

Bu nedenle, birinciden daha yüksek mertebedeki bir denklemi daha düşük mertebeden bir denkleme indirgemek için doğal bir istek vardır. Bazı durumlarda bu yapılabilir. Şimdi onlara bakalım.

1. y (n) =f(x) formundaki denklemler n kere sıralı integral ile çözülür
, ,… .
Örnek. xy""=1 denklemini çözün. Dolayısıyla y"=ln|x| + C 1 yazabiliriz ve tekrar integral aldığımızda sonunda y=∫ln|x| + C 1 x + C 2 elde ederiz.

2. F(x,y (k), y (k +1) ,..,y (n))=0 (yani, bilinmeyen bir fonksiyonu ve onun bazı türevlerini açıkça içermeyen) formundaki denklemlerde, y (k) = z(x) değişkeni değiştirilerek sıra azaltılır. Daha sonra y (k +1) =z"(x),...,y (n) = z (n - k) (x) olur ve F(x,z,z",..,z denklemini elde ederiz. (n - k)) n-k düzeyinde. Çözümü z = φ(x,C 1 ,C 2 ,…,C n) fonksiyonudur veya z'nin ne olduğunu hatırlayarak y (n-k) = φ(x,C 1 ,C 2 , denklemini elde ederiz, …, C n - k) tip 1 durumunda dikkate alınır.
Örnek 1. x 2 y"" = (y") denklemini çözün. 2. y"=z(x) ifadesini değiştirin. O zaman y""=z"(x)'i orijinal denklemde yerine koyarsak x 2 z"=z 2 elde ederiz. Değişkenleri ayırarak elde ederiz. Entegrasyon, elimizde , veya hangisi aynıdır, . Son ilişki, nereden şeklinde yazılır. Entegrasyon yapıyoruz, sonunda elde ediyoruz
Örnek 2. x 3 y"" +x 2 y"=1 denklemini çözün. Değişkenlerde değişiklik yapıyoruz: y"=z; y""=z"
x 3 z"+x 2 z=1. Değişkenlerde değişiklik yapıyoruz: z=u/x; z"=(u"x-u)/x 2
x 3 (u"x-u)/x 2 +x 2 u/x=1 veya u"x 2 -xu+xu=1 veya u"x^2=1. Gönderen: u"=1/x 2 veya du/ dx=1/x 2 veya u = int(dx/x 2) = -1/x+c 1
z=u/x olduğuna göre z = -1/x 2 +c 1 /x. y"=z olduğuna göre dy/dx=-1/x 2 +c 1 /x
y = int(c 1 dx/x-dx/x 2) =c 1 ln(x) + 1/x + c 2. Cevap: y = c 1 ln(x) + 1/x + c 2

3. Sırasıyla indirgenebilecek bir sonraki denklem, açıkça bağımsız bir değişken içermeyen F(y,y",y"",…,y (n))=0 formundaki bir denklemdir. denklem y" =p(y) değişkeninin değiştirilmesiyle azaltılır; burada p, y'ye bağlı olarak istenen yeni fonksiyondur. Daha sonra
= vb. Tümevarımla y (n) =φ(p,p",..,p (n-1)) elde ederiz. Orijinal denklemde yerine koyarak sırasını bir azaltırız.

Örnek. (y") 2 +2yy""=0 denklemini çözün. Standart yerine y"=p(y) koyarız, sonra y″=p′·p olur. Denklemde yerine koyarsak, şunu elde ederiz: Değişkenleri ayırarak p≠0 için integral alırız. veya aynı şey olan . Sonra veya. Son eşitliğin integralini alırsak, sonunda şunu elde ederiz: Değişkenleri ayırırken, p=0 için elde edilen y=C çözümünü kaybedebiliriz veya aynısı y"=0 için elde edilir, ancak bu yukarıda elde edilen çözümün içinde yer alır.

4. Bazen denklemin sırasını yukarıda tartışılanlardan farklı şekillerde düşürmenize olanak tanıyan bir özelliği fark etmek mümkündür. Bunu örneklerle gösterelim.

Örnekler.
1. yy"""=y′y″ denkleminin her iki tarafı da yy″'ye bölünürse, (lny″)′=(lny)′ şeklinde yeniden yazılabilecek bir denklem elde ederiz. Son ilişkiden şu sonuç çıkar: lny″=lny +lnC veya aynı şey, y″=Cy Sonuç, daha önce tartışılan türde ve daha düşük bir büyüklük sırası olan bir denklemdir.
2. Benzer şekilde, yy″=y′(y′+1) denklemi için veya (ln(y"+1))" = (lny)" denklemine sahibiz. Son ilişkiden şu sonuç çıkar: ln(y"+ 1) = lny + lnC 1 veya y"=C 1 y-1. Değişkenleri ayırıp integral aldığımızda ln(C 1 y-1) = C 1 x+C 2 elde ederiz.
Karar vermek sırayla azaltılabilen denklemlerözel bir servis kullanılarak mümkün

Bir x 0 noktasında sonlu türevi f (x 0) olan bir f fonksiyonu verilsin. Daha sonra f '(x 0) açısal katsayısına sahip olan (x 0 ; f (x 0)) noktasından geçen düz çizgiye teğet denir.

Türev x 0 noktasında mevcut değilse ne olur? İki seçenek var:

1. Grafiğe teğet de yoktur. Klasik bir örnek y = |x | fonksiyonudur. (0; 0) noktasında.
2. Teğet dikey hale gelir. Bu, örneğin (1; π /2) noktasındaki y = arcsin x fonksiyonu için doğrudur.

Teğet denklem

Dikey olmayan herhangi bir düz çizgi, k'nin eğim olduğu y = kx + b formundaki bir denklemle verilir. Teğet bir istisna değildir ve denklemini x 0 noktasında oluşturmak için fonksiyonun değerini ve bu noktadaki türevini bilmek yeterlidir.

O halde parça üzerinde türevi y = f '(x) olan bir y = f(x) fonksiyonu verilsin. Daha sonra herhangi bir x 0 ∈ (a ; b) noktasında bu fonksiyonun grafiğine aşağıdaki denklemle verilen bir teğet çizilebilir:

y = f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0)

Burada f '(x 0) x 0 noktasındaki türevin değeridir ve f (x 0) fonksiyonun kendisinin değeridir.

Görev. y = x 3 fonksiyonu verildiğinde. Bu fonksiyonun grafiğine x 0 = 2 noktasındaki teğet için bir denklem yazınız.

Teğet denklemi: y = f '(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Bize x 0 = 2 noktası verilmiştir, ancak f (x 0) ve f '(x 0) değerlerinin hesaplanması gerekecektir.

Öncelikle fonksiyonun değerini bulalım. Burada her şey kolay: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Şimdi türevini bulalım: f '(x) = (x 3)' = 3x 2;
Türevde x 0 = 2'yi yerine koyarız: f '(x 0) = f '(2) = 3 2 2 = 12;
Toplamda şunu elde ederiz: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Bu teğet denklemidir.

Görev. f (x) = 2sin x + 5 fonksiyonunun grafiğine x 0 = π /2 noktasındaki teğet için bir denklem yazın.

Bu sefer her eylemi ayrıntılı olarak açıklamayacağız - yalnızca temel adımları göstereceğiz. Sahibiz:

f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f '(x) = (2sin x + 5)' = 2cos x;
f'(x 0) = f'(π /2) = 2cos (π /2) = 0;

Teğet denklemi:

y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

İkinci durumda düz çizginin yatay olduğu ortaya çıktı çünkü açısal katsayısı k = 0. Bunda yanlış bir şey yok - sadece bir uç noktaya rastladık.

Denklem verilsin f(x) = 0 . Sayı X Belirli bir denklemin kökü, eğer denklemde yerine konulduğunda onu eşitliğe dönüştürüyorsa denir. f(x) = 0 . Sayı X bir fonksiyonun sıfırı denir f(x) .Bir denklemin köklerini belirli bir doğrulukla bulmak iki aşamaya ayrılabilir:

1) köklerin ayrılması, yani denklemin bir kökünü içeren aralıkların oluşturulması;

2) seçilen aralığa ait kökün belirli bir doğrulukla hesaplanması.

Eğer fonksiyon biliniyorsa f(x) süreklidir ve segmentin uçlarını alır [a, b] farklı işaretlerin anlamları, yani f(a)× f(b)< 0 , o zaman bu parçanın içinde fonksiyonun sıfırı vardır.

Denklemin kökünü ayırmak (veya yerelleştirmek) f(x) = 0 tanım alanında sürekli bir fonksiyon için f(x) fonksiyon değerleri tablosu oluşturabilirsiniz y = f(x) belirli bir argüman değişikliği aralığında X . Argümanın bazı bitişik değerleri için fonksiyon değerleri farklı işaretlere sahipse, fonksiyonun sıfırı bunların arasında bulunur.

Denklem verilsin f(x) = 0 , burada fonksiyon f(x) segmentte sürekli [a, b] Ve f(a)× f(b)< 0 .Bu denklemin kökünü hesaplamak için
x О[a, b] bu segmentin ortası x 1 = 0,5(a+b) . Eğer f(x1) ¹ 0 , ardından hesaplamalara devam etmek için bu segmentin parçalarından birini seçin
[a, x 1] veya [x 1, b] , bunun sonunda fonksiyon f(x) zıt işaretlere sahiptir. Yeni bölümün uçları belirtilir 1 Ve b 1 . Yeni segment [a 1, b 1] tekrar ikiye bölünür ve hesaplamalar belirtilen şemaya göre yapılır, vb. Sonuç ya belirli bir aşamadaki belirli bir denklemin tam köküdür ya da iç içe geçmiş bir dizi bölümdür. [a, b] ,
[a 1, b 1] , … , [bir n, b n] , ... öyle ki:

f(a n)× f(b n)< 0 , n =1, 2, …

Sayı X - dizilerin genel limiti (BİR) Ve (bn) – denklemin köküdür f(x) = 0 .

Çözüm hatasının tahmini N Hesaplamaların -inci adımı formuna sahiptir.

2.2 Denklemleri ve eşitsizlikleri çözme metodolojisi

Denklemler ve eşitsizlikler, okul matematik dersinde geleneksel bir konudur ve en basit denklemlerin ve eşitsizliklerin tanıtıldığı alt sınıflardan, aritmetik işlemlerin özelliklerine dayanan bir teorinin tanıtılmasına ve son sınıfta bitene kadar geniş bir yer kaplar. aşkın denklemlerin çözüldüğü dereceler.

Denklemler ve eşitsizlikler, uygulamalı olanlar da dahil olmak üzere çeşitli problemlerin çevrildiği ve matematiksel modellerinin oluşturulduğu dil olan cebirsel aygıtı temsil eder.

Denklemleri ve eşitsizlikleri çözmek için fonksiyonların monotonluğunu kullanma. En sık karşılaşılan fikirlerden biri, aşağıdaki basit eşitsizliğin çözülmesiyle iyi bir şekilde örneklendirilmiştir:

1. Eşitsizliği çözün:.

Çözüm. İki standart çözüm vardır: kare alma (sağlanan
; eğer
, eşitsizlik sağlanır) ve bilinmeyenin değiştirilmesi
.

Başka bir yöntemi ele alalım - standart dışı. Sol tarafta yer alan fonksiyon monoton bir şekilde artarken, birinci kısımdaki fonksiyon azalmaktadır. Açık grafiksel değerlendirmelerden, denklem şu şekildedir:
X 0 bu denklemin çözümüdür, o zaman
olacak ve bu eşitsizliğin çözümü
. Anlam X 0'ı seçmek kolaydır: X 0 = 1.

Cevap.
.

2. Denklemi çözün:
.

Çözüm. Bu denklemin bariz bir çözümü var X= 1. Başka çözümün olmadığını kanıtlayalım. Her iki parçayı da ikiye bölelim , alıyoruz
. Sol taraf monoton olarak azalan bir fonksiyondur. Sonuç olarak her değerini bir kez alır, yani. Bu denklemin benzersiz bir çözümü var.

Cevap. X = 1.

Dolayısıyla bu iki örneğin çözümlerinin dayandığı temel fikir oldukça basittir: F(X) monoton olarak artar ve φ (X) monoton olarak azalırsa denklem F(X) = φ (X) en fazla bir çözümü vardır ve eğer X = X 0 bu denklemin çözümüdür, o zaman X > X 0 (X her iki işlevin kapsamındadır F(X) Ve φ (X) ) irade F(X) > φ (X) ve ne zaman X X 0 olacak

F(X) φ (X) .

Bu fikrin bir modifikasyonuna dikkat etmeye değer: eğer F(X) monotonik bir fonksiyondur, o zaman eşitlikten F(X) = F(sen) şu şekildedir X = sen .

3.Denklemi çözün:.

Çözüm . Denklemi dönüştürelim:

.

İşlevi düşünün
.

Bunu ne zaman kanıtlayalım T > 1 bu fonksiyon monoton olarak azalır. Bu, örneğin standart bir şekilde yapılabilir: türevi bulun

ve bunu ne zaman kanıtla T > 1
. Başka bir yol gösterelim:

.

Ortaya çıkan fonksiyon açıkça azalıyor (taban artar, logaritmanın işareti altında fonksiyon azalır).

Denklemimiz şu şekildedir: , yani . Solda artan bir fonksiyon var, bu nedenle çözüm benzersizdir, seçimle kolayca bulunur: X = 4.

Cevap. X = 4 .

Formun denklemleriF ( F ( X )) = X . Bu tür denklemleri çözerken aşağıdaki teorem faydalıdır:

Eğer y = f(x) monoton olarak artan bir fonksiyon ise denklemler

F(X) = X(A)

F (F (X)) = X (B)

eş değer.

Kanıt. Denklemin (B), denklem (A)'nın bir sonucu olduğu gerçeği açıktır: herhangi bir kök (A), (B)'yi karşılar. (Eğer

F (X 0 ) = X 0 , O F (F (X 0 )) = F (X 0 ) = X 0 .). (B) denkleminin herhangi bir kökünün (A) denklemini sağladığını kanıtlayalım. İzin vermek X 0 öyle ki F (F (X 0 )) = X 0 . Varsayalım ki F (X 0 ) ≠ X 0 ve kesinlik için F (X 0 ) > X 0. Daha sonra F (F (X 0 )) > F (X 0 ) > X 0, varsayımla çelişiyor ( F (F (X 0 )) = X 0). Teorem kanıtlandı.

Teorem monoton olarak azalan bir fonksiyon için doğru mu?

Yorum. Eğer sen = F (X) monoton olarak artarsa, herhangi biri için k denklemler
Ve F (X) = X eşdeğerdir.

Bu teoremin kullanımına ilişkin birkaç örnek verelim.

1. Denklemi çözün:
.

Çözüm Denklemi yeniden yazalım.
. İşlevi düşünün
. Bu fonksiyon monoton olarak artar. Denklemimiz var

F (F (X)) = X. Teoreme uygun olarak onu eşdeğer denklemle değiştiririz F (X) = X veya .

Cevap.

2. Denklemi çözün:

.

Çözüm. Denklemi dönüştürelim:
.

Bu denklem şuna benzer: F (F (X)) = X, Nerede
.

Teoreme göre eşdeğer bir denklemimiz var:
,

Cevap.
.

3. Denklem sistemini çözme:
.

Çözüm. Fonksiyonu ele alalım. Çünkü

Herkesin önünde T, O F (T) artar.

Sistemin formu var sen = F (X), z = F (sen), X = F (z), onlar. X = F (F (F (X))).

Teoreme göre X denklemi karşılıyor F (X) = X veya

Cevap.(0, 0, 0), (-1, -1, -1).

Söz konusu fonksiyonların ekstrem özelliklerinin kullanılması. Derecelendirmeler. Bu noktanın ana fikirleri örneklerde oldukça açık bir şekilde görülmektedir:

1. Denklemi çözün:
.

Çözüm. Bu denklemin sol tarafı 2'yi, sağ tarafı da 2'yi geçmiyor. Dolayısıyla eşitlik ancak sol ve sağ tarafların 2'ye eşit olması durumunda, yani; X = 0.

Yorum. Denklemin bir kısmında yer alan bir fonksiyonun en küçük değerinin diğer kısmında yer alan bir fonksiyonun en büyük değerine eşit olması durumu genelleştirilebilir. Daha genel bir durum formdaki denklemlerdir F (X) = φ (X) , bunun için
hepsi için kabul edilebilir X(resmi olarak bu denklemi şu şekilde yeniden yazabiliriz:

F (X) = φ (X) = 0, sonuç olarak daha önce ele alınan duruma geliyoruz, çünkü sağ taraftaki en büyük değer sıfırdır).

2. Denklemi çözün:.

Bu denklemin çözümünün olmadığını kanıtlayalım. Hadi sonuca geçelim (güçlendir):
.

Geometrik ortalama ile aritmetik ortalama arasındaki eşitsizliğe dayanarak sol tarafı tahmin edelim.

:

onlar. sol taraf sağa göre daha küçüktür. Denklemin çözümü yoktur.

Cevap.Çözüm yok.

3. Denklem sistemini çözün:

Çözüm. Bunu kanıtlayalım.

Kesinlik için izin ver X 5 > X 4, o zaman elde ettiğimiz ilk iki denklemden
ve hatta daha fazlası. Sonra üçüncü ve dördüncüden elde ederiz
ve hatta daha fazlası
. Bulduğumuz son çiftten . Sonuç bir çelişkidir (ve
yani , ancak öyle varsayılmıştı
).

Araç,
, buradan
vb. tüm bilinmeyenler birbirine eşittir.

Cevap.(0, 0, 0, 0,0);
.

Formülasyonları standart olmayan ve denklemler veya eşitsizlikler içeren problemler. Bu kategori özellikle belirli bir denklemin kök sayısının belirlenmesi, belirli bir aralıkta bir kökün varlığının kanıtlanması ve belirli bir aralıkta bir denklem veya eşitsizliğin çözülmesinin gerekli olduğu problemleri içerir. Birkaç örneğe bakalım.

1. Denklemin kanıtlandığını kanıtlayın
bir pozitifi var karar ve bir olumsuz karar. matematik öğretme yöntemleri ortalama okul: Ders Kitabı. öğrenci el kitabı...