11. sınıf

Sorun koşulları

1. Elektrikli su ısıtıcısının fiyatı yüzde 14 artarak 1.596 rubleye ulaştı. Fiyat artışından önce su ısıtıcısının maliyeti kaç rubleydi?
2. Grafik, motor torkunun dakikadaki devir sayısına bağımlılığını gösterir. Apsis ekseni dakikadaki devir sayısını gösterir ve ordinat ekseni N∙m cinsinden torku gösterir. Araç hızı (km/saat cinsinden) yaklaşık olarak aşağıdaki formülle ifade edilir: burada n, dakika başına motor devir sayısıdır. Torkun 120 N∙m'ye eşit olması için araba hangi minimum hızda hareket etmelidir? Cevabınızı saatte kilometre cinsinden verin.
   
3. Kare boyutu x olan kareli kağıt üzerinde ABC üçgeni gösteriliyor. BC kenarına indirilen yüksekliğinin uzunluğunu bulun.
4. Bilimsel konferans 5 gün boyunca yapılır. Toplam 75 rapor planlanıyor; ilk üç gün 17 rapor içeriyor, geri kalanlar dördüncü ve beşinci gün arasında eşit olarak dağıtılıyor. Konferansta Profesör M'nin bir raporu planlanıyor. Raporların sırası kurayla belirleniyor. Profesör M.'nin raporunun konferansın son gününde planlanma olasılığı nedir?
5. Denklemin kökünü bulun
6. ABCD dörtgeni bir dairenin içine yazılmıştır. ABC açısı 105 o, CAD açısı 35 o. ABD açısını bulun. Cevabınızı derece cinsinden verin.
7. Şekilde aralıkta tanımlanan bir fonksiyonun türevinin grafiği gösterilmektedir. Doğru parçasına ait fonksiyonun maksimum nokta sayısını bulun.
   
8. Top bir silindirin içine yazılmıştır. Kürenin yüzey alanı 111'dir. Silindirin toplam yüzey alanını bulun.
9. İfadenin anlamını bulun
10. Laboratuvardaki ekranda bir ampulün büyütülmüş görüntüsünü elde etmek için ana odak uzaklığı cm olan yakınsak bir mercek kullanılır. Mercek ile ampul arasındaki mesafe 30 ila 50 cm arasında değişebilir. Lensin ekrana uzaklığı 150 ila 180 cm arasında değişebilir. Oran karşılandığı takdirde ekrandaki görüntü net olacaktır. Ampulün, ekrandaki görüntüsünün net olması için lensten minimum mesafeye ne kadar uzağa yerleştirilebileceğini belirtin. Cevabınızı santimetre cinsinden ifade edin.
11. A ve B iskeleleri arasındaki mesafe 120 km'dir. Nehir boyunca A'dan B'ye bir sal yola çıktı ve bir saat sonra ondan sonra B noktasına varan bir yat yola çıktı ve hemen geri dönüp A'ya geri döndü. Bu sırada sal 24 km yol kat etmişti. Nehrin hızı 2 km/saat ise yatın durgun sudaki hızını bulunuz. Cevabınızı km/saat cinsinden verin.
12. Fonksiyonun maksimum noktasını bulun.
13. a) Denklemi çözün ; b) Bu denklemin doğru parçasına ait köklerini belirtiniz.
14. ABCD üçgen piramidinin AB ve BC kenarlarında sırasıyla M ve N noktaları işaretlenmiştir ve AM:MB = CN:NB = 3:1. P ve Q noktaları sırasıyla DA ve DC kenarlarının orta noktalarıdır.
    a) P,Q,M ve N noktalarının aynı düzlemde olduğunu kanıtlayın;
    b) Bu düzlemin piramidin hacmini bölme oranını bulun.
15. Eşitsizliği çöz
16. E noktası ABCD yamuğunun CD yan tarafının ortasıdır. AB tarafında K noktasını aldık, böylece SK ve AE doğruları paralel oldu. SC ve BE doğru parçaları O noktasında kesişiyor.
    a) CO=KO olduğunu kanıtlayın.
    b) BC üçgeninin alanı ABCD yamuğunun tamamının alanının 9/64'ü ise, BC yamuğunun tabanlarının AD: AD oranını bulun.
17. Temmuz ayında belli bir tutarda banka kredisi çekilmesi planlanıyor. İade koşulları aşağıdaki gibidir:
    - her Ocak ayında borç bir önceki yılın sonuna göre %r artar;
    - Her yılın şubat ayından haziran ayına kadar borcun bir kısmının ödenmesi gerekmektedir.
    777.600 ruble öderseniz kredinin 4 yıl içinde geri ödeneceği ve yılda 1.317.600 ruble öderseniz kredinin 2 yıl içinde tamamen geri ödeneceği biliniyorsa r'yi bulun?
18. Her biri için denklemin aralıkta tam olarak bir kökü olan parametrenin tüm değerlerini bulun.
19. 32 öğrencinin her biri ya iki testten birini ya da her ikisini de yazdı. Her çalışma için 0'dan 20'ye kadar tam sayı puan alabilirsiniz. İki test kağıdının her biri için ayrı ayrı ortalama puan 14'tü. Daha sonra her öğrenci kendi puanlarından en yüksek olanı adlandırdı (eğer öğrenci bir kağıt yazdıysa, o zaman bunun puanını verdi). Belirtilen noktaların aritmetik ortalamasının S'ye eşit olduğu ortaya çıktı.
    a) S durumuna bir örnek verin<14
    b) S'nin değeri 17'ye eşit olabilir mi?
    c) Her iki test de 12 öğrenci tarafından yazıldığında S'nin alabileceği en küçük değer nedir?

Ortaöğretim genel eğitim

UMK G.K. Muravin hattı. Cebir ve matematiksel analizin ilkeleri (10-11) (derinlemesine)

UMK Merzlyak hattı. Cebir ve analizin başlangıcı (10-11) (U)

Matematik

Matematikte Birleşik Devlet Sınavına hazırlık (profil düzeyi): ödevler, çözümler ve açıklamalar

Profil düzeyindeki sınav 3 saat 55 dakika (235 dakika) sürer.

Minimum eşik- 27 puan.

Sınav kağıdı içerik, karmaşıklık ve görev sayısı bakımından farklılık gösteren iki bölümden oluşur.

İşin her bir bölümünün tanımlayıcı özelliği, görevlerin biçimidir:

• bölüm 1, tam sayı veya son ondalık kesir şeklinde kısa bir cevabı olan 8 görev (görev 1-8) içerir;
• Bölüm 2, bir tamsayı veya son ondalık kesir şeklinde kısa bir cevabı olan 4 görevi (görevler 9-12) ve ayrıntılı bir cevabı olan (çözümün gerekçeleri ile birlikte tam bir kaydı) 7 görevi (görevler 13-19) içerir. alınan önlemler).

Panova Svetlana Anatolevna, okulun en yüksek kategorisindeki matematik öğretmeni, iş tecrübesi 20 yıl:

“Okul sertifikası alabilmek için, bir mezunun Birleşik Devlet Sınavı şeklinde, biri matematik olmak üzere iki zorunlu sınavı geçmesi gerekir. Rusya Federasyonu'nda Matematik Eğitiminin Geliştirilmesi Konseptine uygun olarak, matematikte Birleşik Devlet Sınavı iki seviyeye ayrılmıştır: temel ve uzmanlık. Bugün profil düzeyindeki seçeneklere bakacağız.”

Görev No.1- Birleşik Devlet Sınavı katılımcılarının 5. ila 9. sınıf ilköğretim matematik dersinde edinilen becerileri pratik etkinliklerde uygulama yeteneğini test eder. Katılımcının hesaplama becerisine sahip olması, rasyonel sayılarla çalışabilmesi, ondalık sayıları yuvarlayabilmesi ve bir ölçü birimini diğerine çevirebilmesi gerekmektedir.

Örnek 1. Peter'ın yaşadığı daireye bir soğuk su debimetresi (sayaç) takıldı. 1 Mayıs'ta sayaç 172 metreküp tüketim gösterdi. m su ve 1 Haziran'da - 177 metreküp. m. Fiyat 1 metreküp ise Peter, Mayıs ayında soğuk su için ne kadar ödemelidir? m soğuk su 34 ruble 17 kopek mi? Cevabınızı ruble olarak verin.

Çözüm:

1) Aylık harcanan su miktarını bulun:

177 - 172 = 5 (m küp)

2) Boşa harcanan suya ne kadar para ödeyeceklerini bulalım:

34,17 5 = 170,85 (ovmak)

Cevap: 170,85.

Görev No.2- en basit sınav görevlerinden biridir. Mezunların çoğunluğu bununla başarılı bir şekilde başa çıkıyor, bu da fonksiyon kavramının tanımına dair bilgi sahibi olduğunu gösteriyor. Gereksinimlere göre 2 numaralı görev türü kodlayıcı, edinilen bilgi ve becerilerin pratik faaliyetlerde kullanılmasına ilişkin bir görevdir ve günlük yaşam. Görev No. 2, fonksiyonların tanımlanması, kullanılması, nicelikler arasındaki çeşitli gerçek ilişkilerin tanımlanması ve grafiklerinin yorumlanmasından oluşur. Görev No. 2 tablolarda, diyagramlarda ve grafiklerde sunulan bilgileri çıkarma yeteneğini test eder. Mezunların, bir fonksiyonun değerini, argümanın değerinden, fonksiyonu belirlemenin çeşitli yollarıyla belirleyebilmeleri ve grafiğine dayalı olarak fonksiyonun davranışını ve özelliklerini tanımlayabilmeleri gerekir. Ayrıca bir fonksiyon grafiğinden en büyük veya en küçük değeri bulmanız ve çalışılan fonksiyonların grafiklerini oluşturabilmeniz gerekir. Sorunun koşullarını okurken, diyagramı okurken yapılan hatalar rastgeledir.

#ADVERTISING_INSERT#

Örnek 2.Şekil, bir madencilik şirketinin bir hissesinin Nisan 2017'nin ilk yarısındaki değişim değerindeki değişimi gösteriyor. 7 Nisan'da işadamı bu şirketin 1.000 hissesini satın aldı. 10 Nisan'da satın aldığı hisselerin dörtte üçünü, 13 Nisan'da ise kalan hisselerin tamamını sattı. İş adamı bu operasyonlar sonucunda ne kadar kaybetti?

Çözüm:

2) 1000 · 3/4 = 750 (hisse) - satın alınan tüm hisselerin 3/4'ünü oluşturur.

6) 247500 + 77500 = 325000 (ovmak) - işadamı satıştan sonra 1000 hisse aldı.

7) 340.000 – 325.000 = 15.000 (ovmak) - işadamı tüm işlemler sonucunda kaybetti.

Cevap: 15000.

Görev No.3- Birinci bölümün temel düzeydeki bir görevi olup, Planimetri dersinin içeriğine göre geometrik şekillerle eylem gerçekleştirme becerisini test etmektedir. Görev 3, kareli kağıt üzerindeki bir şeklin alanını hesaplama yeteneğini, açıların derece ölçümlerini hesaplama yeteneğini, çevre hesaplamasını vb. Test eder.

Örnek 3. Hücre boyutu 1 cm x 1 cm olan kareli kağıt üzerinde gösterilen dikdörtgenin alanını bulun (şekle bakın). Cevabınızı santimetre kare cinsinden verin.

Çözüm: Belirli bir şeklin alanını hesaplamak için Tepe formülünü kullanabilirsiniz:

Belirli bir dikdörtgenin alanını hesaplamak için Peak formülünü kullanırız:

Örnek 4.Çemberin üzerinde 5 kırmızı ve 1 mavi nokta işaretlenmiştir. Hangi çokgenlerin daha büyük olduğunu belirleyin: tüm köşeleri kırmızı olanlar veya köşelerinden biri mavi olanlar. Cevabınızda bazılarının diğerlerinden kaç tane daha fazla olduğunu belirtin.

Çözüm: 1) Kombinasyon sayısı formülünü kullanalım N tarafından elemanlar k:

köşelerinin tamamı kırmızıdır.

3) Tüm köşeleri kırmızı olan bir beşgen.

4) 10 + 5 + 1 = tüm köşeleri kırmızı olan 16 çokgen.

üstleri kırmızı olan veya üst kısmı mavi olan.

üstleri kırmızı olan veya üst kısmı mavi olan.

8) Kırmızı köşeleri ve bir mavi köşesi olan bir altıgen.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = tüm köşeleri kırmızı veya bir köşesi mavi olan 42 çokgen.

10) 42 – 16 = mavi noktayı kullanan 26 çokgen.

11) 26 – 16 = 10 çokgen – köşelerinden biri mavi nokta olan çokgen, tüm köşeleri yalnızca kırmızı olan çokgenlerden kaç tane daha fazladır.

Cevap: 10.

Görev No.5- İlk bölümün temel seviyesi, en basit denklemleri (irrasyonel, üstel, trigonometrik, logaritmik) çözme yeteneğini test eder.

Örnek 5. Denklem 2'yi çözün 3 + X= 0,4 5 3 + X .

Çözüm. Bu denklemin her iki tarafını da 5 3 +'ya bölün X≠ 0, şunu elde ederiz

buradan 3 + çıkıyor X = 1, X = –2.

Cevap: –2.

Görev No. 6 planimetride geometrik nicelikleri (uzunluklar, açılar, alanlar) bulmak, gerçek durumları geometri dilinde modellemek. Geometrik kavram ve teoremleri kullanarak oluşturulmuş modellerin incelenmesi. Zorlukların kaynağı, kural olarak, planimetrinin gerekli teoremlerinin bilgisizliği veya yanlış uygulanmasıdır.

Bir üçgenin alanı ABC 129'a eşittir. Almanya– orta çizgi yana paralel AB. Yamuğun alanını bulun ABED.

Çözüm.Üçgen CDEüçgene benzer TAKSİ tepe noktasındaki açı olduğundan iki açıda C genel, açı СDE açıya eşit TAKSİ karşılık gelen açılar olarak Almanya || AB sekant AC. Çünkü Almanya koşuluna göre bir üçgenin orta çizgisidir, ardından orta çizginin özelliğine göre | Almanya = (1/2)AB. Bu, benzerlik katsayısının 0,5 olduğu anlamına gelir. Benzer şekillerin alanları benzerlik katsayısının karesi ile ilişkilidir, dolayısıyla

Buradan, SABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Görev No.7- Türevin bir fonksiyonun çalışmasına uygulanmasını kontrol eder. Başarılı uygulama, türev kavramına ilişkin anlamlı, resmi olmayan bilgi gerektirir.

Örnek 7. Fonksiyonun grafiğine git sen = F(X) apsis noktasında X 0 bu grafiğin (4; 3) ve (3; –1) noktalarından geçen doğruya dik bir teğet çizilir. Bulmak F′( X 0).

Çözüm. 1) Verilen iki noktadan geçen doğrunun denklemini kullanıp (4; 3) ve (3; –1) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulalım.

(sen – sen 1)(X 2 – X 1) = (X – X 1)(sen 2 – sen 1)

(sen – 3)(3 – 4) = (X – 4)(–1 – 3)

(sen – 3)(–1) = (X – 4)(–4)

–sen + 3 = –4X+ 16| · (–1)

sen – 3 = 4X – 16

sen = 4X– 13, nerede k 1 = 4.

2) Teğetin eğimini bulun k 2, çizgiye dik olan sen = 4X– 13, nerede k 1 = 4, formüle göre:

3) Teğet açı, fonksiyonun teğet noktasındaki türevidir. Araç, F′( X 0) = k 2 = –0,25.

Cevap: –0,25.

Görev No.8- sınav katılımcılarının temel stereometri bilgisini, şekillerin yüzey alanlarını ve hacimlerini, dihedral açıları bulmaya yönelik formülleri uygulama yeteneğini, benzer şekillerin hacimlerini karşılaştırmayı, geometrik şekiller, koordinatlar ve vektörler vb. ile eylemler gerçekleştirebilme becerisini test eder.

Bir kürenin çevrelediği küpün hacmi 216'dır. Kürenin yarıçapını bulun.

Çözüm. 1) V küp = A 3 (burada A– küpün kenarının uzunluğu), dolayısıyla

A 3 = 216

A = 3 √216

2) Küre bir küpün içine yazıldığı için kürenin çapının uzunluğunun küpün kenarının uzunluğuna eşit olduğu anlamına gelir, dolayısıyla D = A, D = 6, D = 2R, R = 6: 2 = 3.

Görev No. 9- Mezunların cebirsel ifadeleri dönüştürme ve basitleştirme becerisine sahip olmasını gerektirir. Kısa cevapla artan zorluk seviyesine sahip 9 numaralı görev. Birleşik Devlet Sınavının "Hesaplamalar ve Dönüşümler" bölümündeki görevler çeşitli türlere ayrılmıştır:

sayısal rasyonel ifadelerin dönüşümü;

cebirsel ifadeleri ve kesirleri dönüştürme;

sayısal/harf irrasyonel ifadelerin dönüştürülmesi;

dereceli eylemler;

logaritmik ifadelerin dönüştürülmesi;

1. sayısal/harf trigonometrik ifadeleri dönüştürme.

Örnek 9. cos2α = 0,6 olduğu biliniyorsa tanα'yı hesaplayın ve

Çözüm. 1) Çift argüman formülünü kullanalım: cos2α = 2 cos 2 α – 1 ve bulalım

Bu tan 2 α = ± 0,5 anlamına gelir.

3) Koşula göre

bu, α'nın ikinci çeyreğin açısı olduğu ve tgα olduğu anlamına gelir< 0, поэтому tgα = –0,5.

Cevap: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Görev No. 10- Öğrencilerin edinilen erken bilgi ve becerileri pratik faaliyetlerde ve günlük yaşamda kullanma yeteneğini test eder. Bunların matematikte değil fizikte problemler olduğunu söyleyebiliriz ancak gerekli tüm formüller ve miktarlar şartta verilmiştir. Sorunlar doğrusal veya ikinci dereceden bir denklemin veya doğrusal veya ikinci dereceden bir eşitsizliğin çözülmesine indirgenir. Dolayısıyla bu tür denklem ve eşitsizlikleri çözebilmek ve cevabını belirleyebilmek gerekir. Cevap tam sayı veya sonlu ondalık kesir olarak verilmelidir.

İki kütleli cisim M= Her biri 2 kg, aynı hızla hareket ediyor v= 10 m/s birbirine 2α açıyla. Kesinlikle esnek olmayan çarpışmaları sırasında açığa çıkan enerji (joule cinsinden), şu ifadeyle belirlenir: Q = mv 2 günah 2 α. Çarpışma sonucunda en az 50 jul enerji açığa çıkacak şekilde cisimler hangi en küçük 2α açısında (derece cinsinden) hareket etmelidir?
Çözüm. Sorunu çözmek için, 2α ∈ (0°; 180°) aralığında Q ≥ 50 eşitsizliğini çözmemiz gerekiyor.

mv 2 günah 2 α ≥ 50

2 10 2 günah 2 α ≥ 50

200 günah 2 α ≥ 50

α ∈ (0°; 90°) olduğundan, yalnızca çözeceğiz

Eşitsizliğin çözümünü grafiksel olarak gösterelim:

α ∈ (0°; 90°) koşuluna göre 30° ≤ α anlamına gelir< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Görev No. 11- tipiktir ancak öğrenciler için zor olduğu ortaya çıktı. Zorluğun ana kaynağı matematiksel bir modelin oluşturulmasıdır (bir denklemin oluşturulması). Görev No. 11, sözlü problemleri çözme yeteneğini test eder.

Örnek 11. Bahar tatilinde 11. sınıf öğrencisi Vasya, Birleşik Devlet Sınavına hazırlanmak için 560 pratik problemini çözmek zorunda kaldı. 18 Mart'ta okulun son gününde Vasya 5 problemi çözdü. Sonra her gün bir önceki güne göre aynı sayıda problemi daha fazla çözdü. Tatilin son günü olan 2 Nisan'da Vasya'nın kaç sorunu çözdüğünü belirleyin.

560 = (5 + A 16) 8,

5 + A 16 = 560: 8,

5 + A 16 = 70,

A 16 = 70 – 5

A 16 = 65.

Cevap: 65.

Görev No. 12- Öğrencilerin fonksiyonlarla işlem yapma becerilerini test etmek, türevi bir fonksiyonun çalışmasına uygulayabilmek.

Fonksiyonun maksimum noktasını bulun sen= 10ln( X + 9) – 10X + 1.

Çözüm: 1) Fonksiyonun tanım tanım kümesini bulun: X + 9 > 0, X> –9, yani x ∈ (–9; ∞).

2) Fonksiyonun türevini bulun:

4) Bulunan nokta (–9; ∞) aralığına aittir. Fonksiyonun türevinin işaretlerini belirleyelim ve fonksiyonun davranışını şekilde gösterelim:

İstenilen maksimum nokta X = –8.

a) 2log 3 2 (2cos) denklemini çözün X) – 5log 3 (2cos) X) + 2 = 0

b) Bu denklemin parçaya ait tüm köklerini bulun.

Çözüm: a) Log 3 (2cos) olsun X) = T, sonra 2 T 2 – 5T + 2 = 0,

b) Segment üzerinde bulunan kökleri bulun.

Şekil verilen segmentin köklerinin ait olduğunu göstermektedir.

Silindirin tabanının dairesinin çapı 20, silindirin generatrix'i 28'dir. Düzlem, tabanını 12 ve 16 uzunluğundaki kirişler boyunca keser. Akorlar arasındaki mesafe 2√197'dir.

a) Silindirin taban merkezlerinin bu düzlemin bir tarafında olduğunu kanıtlayın.

b) Bu düzlem ile silindirin taban düzlemi arasındaki açıyı bulun.

Çözüm: a) 12 uzunluğundaki bir kiriş taban çemberinin merkezinden = 8 uzaklıkta ve 16 uzunluğundaki bir kiriş de benzer şekilde 6 uzaklıkta bulunmaktadır. silindirlerin tabanları ya 8 + 6 = 14 ya da 8 − 6 = 2'dir.

O zaman akorlar arasındaki mesafe ya

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

Koşula göre, kirişlerin çıkıntılarının silindir ekseninin bir tarafında yer aldığı ikinci durum gerçekleştirildi. Bu, eksenin silindir içindeki bu düzlemle kesişmediği, yani tabanların silindirin bir tarafında yer aldığı anlamına gelir. Kanıtlanması gereken şey.

b) Bazların merkezlerini O 1 ve O 2 olarak gösterelim. Tabanın merkezinden 12 uzunluğunda bir kirişle bu kirişe (daha önce belirtildiği gibi uzunluğu 8'dir) ve diğer tabanın merkezinden diğer kirişe dik bir açıortay çizelim. Bu akorlara dik olarak aynı β düzleminde bulunurlar. Küçük akorun orta noktasına B, daha büyük akorun A ve A'nın ikinci tabana izdüşümüne - H (H ∈ β) diyelim. O zaman AB,AH ∈ β ve dolayısıyla AB,AH kirişe, yani tabanın verilen düzlemle kesiştiği düz çizgiye diktir.

Bu, gerekli açının şuna eşit olduğu anlamına gelir:

Görev No. 15- Ayrıntılı bir yanıtla artan karmaşıklık düzeyi, artan karmaşıklık düzeyinin ayrıntılı bir yanıtıyla görevler arasında en başarılı şekilde çözülen eşitsizlikleri çözme yeteneğini test eder.

Örnek 15. Eşitsizliği çözün | X 2 – 3X| günlük 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2 .

Çözüm: Bu eşitsizliğin tanım alanı (–1; +∞) aralığıdır. Üç durumu ayrı ayrı düşünün:

1) izin ver X 2 – 3X= 0, yani X= 0 veya X= 3. Bu durumda bu eşitsizlik doğru olur, dolayısıyla bu değerler çözüme dahil edilir.

2) Şimdi izin ver X 2 – 3X> 0, yani X∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). Ayrıca bu eşitsizlik şu şekilde yeniden yazılabilir: ( X 2 – 3X) günlük 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2 ve pozitif bir ifadeye böl X 2 – 3X. Günlük 2'yi alıyoruz ( X + 1) ≤ –1, X + 1 ≤ 2 –1 , X≤ 0,5 –1 veya X≤ –0,5. Tanımın alanını dikkate alarak, X ∈ (–1; –0,5].

3) Son olarak şunu düşünelim X 2 – 3X < 0, при этом X∈ (0; 3). Bu durumda orijinal eşitsizlik (3) şeklinde yeniden yazılacaktır. X – X 2) günlük 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2. Pozitif 3'e böldükten sonra X – X 2, log 2'yi alıyoruz ( X + 1) ≤ 1, X + 1 ≤ 2, X≤ 1. Bölgeyi dikkate alarak, X ∈ (0; 1].

Elde edilen çözümleri birleştirerek şunu elde ederiz: X ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Cevap: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Görev No. 16- ileri seviye, ikinci bölümde ayrıntılı bir cevapla verilen görevleri ifade eder. Görev, geometrik şekiller, koordinatlar ve vektörlerle eylem gerçekleştirme yeteneğini test eder. Görev iki nokta içeriyor. İlk noktada görevin kanıtlanması, ikinci noktada ise hesaplanması gerekir.

Açısı 120° olan bir ABC ikizkenar üçgeninde, BD ortayağı A köşesine çizilir. DEFH dikdörtgeni ABC üçgeninin içine yazılmıştır, böylece FH kenarı BC doğru parçası üzerinde ve E köşesi AB doğru parçası üzerinde yer alır. a) FH = 2DH olduğunu kanıtlayın. b) AB = 4 ise DEFH dikdörtgeninin alanını bulun.

Çözüm: A)

1) ΔBEF – dikdörtgen, EF⊥BC, ∠B = (180° – 120°): 2 = 30°, bu durumda bacağın 30° açının karşısında yer alması özelliği ile EF = BE.

2) EF = DH = olsun X, bu durumda BE = 2 X, BF = X√3 Pisagor teoremine göre.

3) ΔABC ikizkenar olduğundan ∠B = ∠C = 30˚ anlamına gelir.

BD, ∠B'nin açıortayıdır, bu da ∠ABD = ∠DBC = 15˚ anlamına gelir.

4) ΔDBH’yi dikdörtgen olarak düşünün, çünkü DH⊥BC.

√3 – 1 = 2 – X

X = 3 – √3

EF = 3 – √3

2) S DEFH = ED EF = (3 – √3 ) 2(3 – √3 )

S DEFH = 24 – 12√3.

Cevap: 24 – 12√3.

Örnek 17. Dört yıl boyunca 20 milyon ruble tutarında bir depozitonun açılması planlanıyor. Banka, her yılın sonunda mevduatını yılbaşındaki büyüklüğüne göre %10 oranında artırıyor. Ayrıca üçüncü ve dördüncü yılların başında yatırımcı yıllık olarak depozitosunu yeniler. X milyon ruble, nerede X - tüm sayı. En büyük değeri bulun X bankanın dört yıl içinde mevduata 17 milyon rubleden az tahakkuk edeceği.

Çözüm:İlk yılın sonunda katkı 20 + 20 · 0,1 = 22 milyon ruble ve ikinci yılın sonunda - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 milyon ruble olacak. Üçüncü yılın başında katkı (milyon ruble cinsinden) (24,2 +) olacaktır. X) ve sonunda - (24,2 + X) + (24,2 + X)· 0,1 = (26,62 + 1,1 X). Dördüncü yılın başında katkı (26,62 + 2,1) olacaktır. X), ve sonunda - (26,62 + 2,1 X) + (26,62 + 2,1X) 0,1 = (29,282 + 2,31 X). Koşula göre eşitsizliğin geçerli olduğu en büyük x tam sayısını bulmanız gerekir

(29,282 + 2,31X) – 20 – 2X < 17

29,282 + 2,31X – 20 – 2X < 17

0,31X < 17 + 20 – 29,282

0,31X < 7,718

Bu eşitsizliğin en büyük tamsayı çözümü 24 sayısıdır.

Cevap: 24.

ne de A eşitsizlik sistemi

tam olarak iki çözümü var mı?

Çözüm: Bu sistem şu şekilde yeniden yazılabilir:

İlk eşitsizliğin çözüm kümesini düzlem üzerinde çizersek, yarıçapı 1 olan ve merkezi (0, A). İkinci eşitsizliğin çözüm kümesi, fonksiyonun grafiğinin altında kalan düzlemin parçasıdır sen = | X| – A, ve ikincisi fonksiyonun grafiğidir
sen = | X| , aşağı kaydırıldı A. Bu sistemin çözümü her bir eşitsizliğin çözüm kümelerinin kesişimidir.

Sonuç olarak, bu sistemin yalnızca Şekil 2'de gösterilen durumda iki çözümü olacaktır. 1.

Çemberin çizgilerle temas noktaları sistemin iki çözümü olacaktır. Düz çizgilerin her biri eksenlere 45° açıyla eğimlidir. Yani bu bir üçgen PQR– dikdörtgen ikizkenarlar. Nokta Q koordinatları vardır (0, A) ve nokta R– koordinatlar (0, – A). Ayrıca segmentler halkla ilişkiler Ve Güç kalitesi 1'e eşit olan dairenin yarıçapına eşittir. Bu şu anlama gelir:

İzin vermek sn toplam N aritmetik ilerleme terimleri ( bir p). biliniyor ki Sn + 1 = 2N 2 – 21N – 23.

a) Formülü sağlayın N bu ilerlemenin üçüncü dönemi.

b) En küçük mutlak toplamı bulun Sn.

c) En küçüğü bulun N, hangisinde Sn bir tamsayının karesi olacaktır.

Çözüm: a) Açıkça görülüyor ki BİR = Sn – Sn– 1. Bu formülü kullanarak şunu elde ederiz:

Sn = S (N – 1) + 1 = 2(N – 1) 2 – 21(N – 1) – 23 = 2N 2 – 25N,

Sn – 1 = S (N – 2) + 1 = 2(N – 1) 2 – 21(N – 2) – 23 = 2N 2 – 25N+ 27

Araç, BİR = 2N 2 – 25N – (2N 2 – 29N + 27) = 4N – 27.

B) O zamandan beri Sn = 2N 2 – 25N, ardından işlevi düşünün S(X) = | 2X 2 – 25x|. Grafiği şekilde görülebilir.

Açıkçası, en küçük değer, fonksiyonun sıfırlarına en yakın tamsayı noktalarında elde edilir. Açıkçası bunlar noktalar X= 1, X= 12 ve X= 13. Çünkü, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = |2 · 144 – 25 · 12| = 12, S(13) = |S 13 | = |2 · 169 – 25 · 13| = 13 ise en küçük değer 12'dir.

c) Önceki paragraftan şu sonuç çıkıyor: sn başlayarak olumlu N= 13. Çünkü Sn = 2N 2 – 25N = N(2N– 25), o zaman bu ifadenin tam kare olduğu bariz durum şu şekilde gerçekleşir: N = 2N– 25, yani N= 25.

13'ten 25'e kadar olan değerleri kontrol etmeye devam ediyor:

S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13, S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 23 21, S 24 = 24 23.

Daha küçük değerler için ortaya çıkıyor N tam bir kare elde edilmez.

Cevap: A) BİR = 4N– 27; b) 12; 25.

________________

*Mayıs 2017'den bu yana, birleşik yayın grubu "DROFA-VENTANA", Rus Ders Kitabı şirketinin bir parçası olmuştur. Şirket ayrıca Astrel yayınevini ve LECTA dijital eğitim platformunu da içeriyor. Rusya Federasyonu Hükümeti Finans Akademisi mezunu, İktisadi Bilimler Adayı, DROFA yayınevinin dijital eğitim alanındaki yenilikçi projelerinin başkanı Alexander Brychkin (ders kitaplarının elektronik formları, Rus Elektronik Okulu, dijital eğitim platformu) LECTA) Genel Müdür olarak atandı. DROFA yayınevine katılmadan önce, yayın holdingi EKSMO-AST'ın stratejik gelişimi ve yatırımlarından sorumlu başkan yardımcısı olarak görev yaptı. Bugün, "Rusça Ders Kitabı" yayınevi Federal Listede yer alan en büyük ders kitabı portföyüne sahiptir - 485 başlık (özel okullar için ders kitapları hariç yaklaşık% 40). Şirketin yayınevleri, ülkenin üretken potansiyelinin geliştirilmesi için gerekli olan fizik, çizim, biyoloji, kimya, teknoloji, coğrafya, astronomi alanlarında Rus okullarındaki en popüler ders kitabı setlerine sahiptir. Şirketin portföyünde, eğitim alanında Cumhurbaşkanlığı Ödülü'ne layık görülen ilkokullara yönelik ders kitapları ve öğretim yardımcıları yer alıyor. Bunlar, Rusya'nın bilimsel, teknik ve üretim potansiyelinin geliştirilmesi için gerekli olan konu alanlarındaki ders kitapları ve kılavuzlardır.

Görev 1

Eğer \(74\) kişi \(40\%\) oluşturursa, o zaman \(74:2=37\) kişi \(20\%\) oluşturur. Bu nedenle, \(100\%\) \(37\cdot 5=185\) kişidir.

Cevap: 185

Görev 2

Grafik, santigrat derece cinsinden ifade edilen su sıcaklığının, ısıtılmasının başlangıcından itibaren sayılan süreye bağımlılığını göstermektedir. Apsis ekseni dakika cinsinden zamanı, ordinat ekseni ise sıcaklığı gösterir. Grafikten su sıcaklığının \(3\) dakikadan \(8\) dakikaya kaç derece değiştiğini belirleyin. Cevabınızı santigrat derece cinsinden verin.

Grafik, ısıtmanın başlamasından \(3\) dakika sonra su sıcaklığının \(40^\circ C\'ye eşit olduğunu, \(8\) dakika sonra sıcaklığın \(90^\circ C\'ye eşit olduğunu) gösterir. \), dolayısıyla \(3\)'den \(8\) dakikaya kadar sıcaklık \(90-40=50^\circ C\) kadar değişti.

Cevap: 50

Görev 3

Kareli kağıtta bir \(ABC\) üçgeni görülüyor. Bu üçgenin \(AB\) kenarına paralel orta çizgisini bulun.

Bir üçgenin orta çizgisi paralel olduğu kenarın yarısına eşit olduğundan, \(AB\)'ye paralel orta çizgi \(0,5 AB\)'ye eşit olacaktır. \(AB=5\) olduğundan orta çizgi \(2,5\)'ye eşittir.

Cevap: 2.5

Görev 4

\(500\) okul çocuğu Matematik Olimpiyatlarına geldi. Dört sınıfa yerleştirildiler: Üç sınıfta her biri \(150\) kişi, dördüncü sınıfta ise \(50\) kişi vardı. Rastgele seçilen bir öğrencinin küçük bir sınıfta bir Olimpiyat yazma olasılığını bulun.

Olasılığı uygun sonuçların sayısının tüm sonuçların sayısına oranı olarak arayacağız. Küçük bir oditoryumda \(50\) koltuk bulunduğundan uygun koltuk sayısı \(50\) olur. Toplam yer \(500\) . Bu nedenle olasılık \[\dfrac(50)(500)=0,1.\]'e eşittir.

Cevap: 0,1

Görev 5

Görev 6

Kenarları \(21\) ve \(28\) olan bir paralelkenar verilmiştir. Kısa kenara uzunluğu \(20\)'ye eşit olan bir yükseklik çizilir. Uzun tarafa çizilen yüksekliğin uzunluğunu bulun.

Çizime bakalım. Paralelkenarın alanı bir kenarın çarpımı ile bu kenara çizilen yüksekliğin çarpımına eşit olduğundan, belirli bir paralelkenarın alanı \(21\cdot 20\) veya \(28\cdot)'a eşittir. H\) . Buradan, \

Cevap: 15

Görev 7

Şekilde \(y = f(x)\) fonksiyonunun türevinin grafiği gösterilmektedir. Apsis ekseninde işaretlenmiş yedi nokta vardır: \(x_1\) , \(x_2\) , \(x_3\) , \(x_4\) , \(x_5\) , \(x_6\) , \(x_7\ ). Bu noktalardan kaç tanesinde \(f(x)\) fonksiyonu artar?

Fonksiyon, türevinin değerinin pozitif olduğu noktalarda artar. Dolayısıyla şekil türevin grafiğini gösterdiğinden türevin grafiğinin x ekseninin ÜSTÜNDE yer aldığı noktalar bizim için uygundur. Bunlar \(x_3, x_4, x_5, x_6, x_7\) noktalarıdır. Toplamda böyle 5 nokta var.

Cevap: 5

Görev 8

Silindirik bir kaba \(32\) cm seviyeye kadar su döküldü. Taban yarıçapı taban yarıçapının 4 katı olan başka bir silindirik kaba dökülürse su hangi seviyeye ulaşır? ilk gemiden mi? Cevabı cm cinsinden verin.

Birinci kabın tabanının yarıçapı \(R_1\)'e ve ikinci kabın tabanının yarıçapı \(R_2\)'ye eşit olsun. Sonra \(R_2=4R_1\) . Bir kaptan diğerine su aktarıldığında suyun hacminin sabit kaldığını unutmayın. Su birinci kaptayken hacmi, yüksekliği \(32\) ve taban yarıçapı \(R_1\) : \(V=\pi R_1^2\cdot 32\) olan bir silindirin hacmine eşittir. İkinci kaba döküldüğünde hacmi, yüksekliği \(h\) (bu değerin bulunması gerekir) ve taban yarıçapı \(R_2\), yani \(V=) olan bir silindirin hacmine eşittir. \pi R_2^2\cdot h\ ) . Ama sonra: \[\pi R_1^2\cdot 32=\pi R_2^2\cdot h \quad\Rightarrow\quad h=\left(\dfrac(R_1)(R_2)\right)^2\cdot 32=\left( \dfrac14\sağ)^2\cdot 32=2.\]

Cevap: 2

Görev 9

İfadenin anlamını bulun \

Formdaki ifadeyi yeniden yazalım. \ Çift açılı kosinüs formülü \(2\cos^2x-1=\cos 2x\) kullanıldığında, ifade şu şekilde yeniden yazılacaktır: \

Cevap: -3

Görev 10

Ses sinyallerinin kaynağı ve alıcısı belirli bir ortamda birbirine doğru düz bir çizgide hareket ederek birbirine yaklaştığında, alıcı tarafından kaydedilen ses sinyalinin frekansı orijinal sinyalin frekansıyla çakışmaz \(f_0=140) \) Hz ve aşağıdaki ifadeyle belirlenir: \ burada \(c\) ortamdaki sinyal yayılma hızıdır (m/s cinsinden), \(u=15\) m/s ve \(v=14\) m/s alıcının hızlarıdır ve ortama göre kaynak sırasıyla. Ortamdaki sinyal yayılımının hangi maksimum hızında \(c\) (m/s cinsinden) alıcıdaki sinyal frekansı \(f\) en az \(145\) Hz olacaktır?

\(f\geqslant 145\) olacak şekilde bir \(c\) bulmamız gerektiğinden, eşitsizliği çözmemiz gerekiyor \ Bu eşitsizliği aralık yöntemini kullanarak çözerek \(c\in \) elde ederiz. Dolayısıyla bu tür \(c\) değerleri için \(f\) değeri en az \(145\) olacaktır. O halde \(c\)'nin en büyük değeri \(826\) olur.

Cevap: 826

Görev 11

Durgun suda hızı \(27\) km/saat olan bir motorlu gemi, akışla A noktasından B noktasına doğru hareket etmektedir. Motorlu gemi B noktasına vardığında \(5\) kadar durdu. saat sonra A noktasına geri dönmüştür. Geminin A'dan ayrıldıktan \(32\) saat sonra A noktasına döndüğü bilinmektedir. Nehrin hızı \(1\) km olduğuna göre gemi kaç kilometre yol kat etmiştir? /H?

A ve B noktaları arasındaki mesafe \(S\)'ye eşit olsun. Daha sonra gemi harcandı \[\dfrac(S)(27+1)\quad (\small(\text(saat)))\] Daha sonra 5 saat süren B noktasında mola verdi ve B'den A'ya giden yolda harcadı. \[\dfrac(S)(27-1)\quad (\small(\text(saat)))\] Toplamda 32 saat harcadı, dolayısıyla \[\dfrac S(27+1)+5+\dfrac S(27-1)=32 \quad\Rightarrow\quad 54S=26\cdot 27\cdot 28\quad\Rightarrow\quad S=13\cdot 28 \] Daha sonra gemi toplamda \(2S\) kilometre yol kat etti veya \

Cevap: 728

Görev 12

Fonksiyonun minimum noktasını bulun\

ODZ fonksiyonları: \((x+10)^7> 0 \quad\Leftrightarrow\quad x>-10.\)

Bir fonksiyonun minimum noktaları, türevin işaretini “\(-\)”den “\(+\)”ye (soldan sağa bakıldığında) değiştirdiği noktalardır. Türevi, sıfırlarını ve bulunmadığı noktaları bulalım ve elde edilen aralıkların işaretlerini hesaplayalım. \ Türevin sıfırları: \ ODZ'de türev işaretler:

Bu nedenle \(x=-9\) minimum noktadır.

Cevap: -9

Görev 13

a) Denklemi çözün \[\log_4(2^(2x)-\sqrt3\cos x-\sin2x)=x\]

b) Bu denklemin doğru parçasına ait tüm köklerini listeleyin \(\left[-\dfrac(\pi)2;\dfrac(3\pi)2\right]\)

a) ODZ denklemleri: \(2^(2x)-\sqrt3\cos x-\sin2x>0\). Denklemi ODZ kullanarak çözelim. Dönüştürülebilir: \[\begin(aligned) &2^(2x)-\sqrt3\cos x-\sin2x=4^x \ (*)\quad\Rightarrow\quad -\sqrt3\cos x-\sin2x=0 \quad\Rightarrow \\ &\Rightarrow\quad 2\sin x\cos x+\sqrt3\cos x=0\quad\Rightarrow\quad \cos x(2\sin x+\sqrt3)=0\end(aligned)\] Bu denklemin çözümleri \(\cos x=0\) ve \(\sin x=-\dfrac(\sqrt3)2\) olacaktır: \[\left[\begin(toplanmış)\begin(aligned) &x=\dfrac(\pi)2+\pi n, n\in\mathbb(Z)\\ &x=-\dfrac(\pi)3+ 2\pi m, m\in\mathbb(Z)\\ &x=-\dfrac(2\pi)3+2\pi k, k\in\mathbb(Z) \end(hizalanmış)\end(toplandı) \Sağ.\] Bu köklerin ODZ'ye uygun olup olmadığını kontrol edelim. Bu kökler \((*)\) denkleminden ve tüm \(x\) için \(4^x>0\) denkleminden elde edildiğinden, bu kökleri denklemde yerine koyarken \(( *)\) ayrıca her zaman \(>0\) olacaktır. Ve bu ODZ. Sonuç olarak tüm kökler ODZ'yi karşılar.

b) Kökleri alalım. \[\begin(aligned) &-\dfrac(\pi)2\leqslant \dfrac(\pi)2+\pi n\leqslant \dfrac(3\pi)2 \quad\Leftrightarrow\quad -1\leqslant n \leqslant 1\quad\Rightarrow \quad n=-1; 0; 1\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac(\pi)2; \dfrac(\pi)2; \dfrac(3\pi)2\\ & -\dfrac(\pi)2\leqslant -\dfrac(\pi)3+2\pi m\leqslant \dfrac(3\pi)2 \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac1(12)\leqslant m\leqslant \dfrac(11)(12)\quad\Rightarrow\quad m=0\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac(\pi)3\\ &-\dfrac (\pi)2\leqslant -\dfrac(2\pi)3+2\pi k\leqslant \dfrac(3\pi)2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac1(12)\leqslant k\leqslant \dfrac( 13)(12)\quad\Rightarrow\quad k=1\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac(4\pi)3 \end(aligned)\]

Cevap:

A) \(x=\dfrac(\pi)2+\pi n, -\dfrac(\pi)3+2\pi m, -\dfrac(2\pi)3+2\pi k, n,m,k \in\mathbb(Z)\)

B) \(-\dfrac(\pi)2; -\dfrac(\pi)3; \dfrac(\pi)2; \dfrac(4\pi)3; \dfrac(3\pi)2\)

Görev 14

Dörtgen piramidin \(SABCD\) tabanı \(ABCD\) ve \(AB=3\sqrt2\) , \(BC=6\) dikdörtgenidir. Piramidin yüksekliğinin tabanı dikdörtgenin merkezidir. \(A\) ve \(C\) köşelerinden \(AP\) ve \(CQ\) dikmeleri \(SB\) kenarına bırakılır.

a) \(P\)'nin \(BQ\) doğru parçasının orta noktası olduğunu kanıtlayın.

b) Eğer \(SD=9\) ise \(SBA\) ve \(SBC\) yüzleri arasındaki açıyı bulun.

a) \(O\), \(ABCD\) dikdörtgeninin köşegenlerinin kesişme noktası olsun. O halde \(SO\) piramidin yüksekliğidir. Dikdörtgenin köşegenleri eşit olduğundan ve kesişme noktasına göre ikiye bölündüğünden \(AO=BO=CO=DO\) olur. Buradan, \(\üçgen AOS=\üçgen BOS=\üçgen COS=\üçgen DOS\), buradan \(AS=BS=CS=DS\) . \(AS=x\) olarak gösterelim.
\(ASB\) yüzünü düşünün. Hadi \(SK\perp AB\) yapalım. Sonra \(KB=0,5 AB=1,5\sqrt2\) . Daha sonra \[\dfrac(KB)(SB)=\cos \angle SBA=\dfrac(BP)(BA) \quad\Rightarrow\quad BP=\dfrac 9x\]\(CSB\) yüzünü düşünün. Hadi \(SH\perp CB\) yapalım. O halde \(HB=0,5 CB=3\) . Daha sonra \[\dfrac(HB)(SB)=\cos \angle SBC=\dfrac(BQ)(BC) \quad\Rightarrow\quad BQ=\dfrac (18)x\] Bu nedenle \Chtd.

b) \(x=9\) koşuluna göre. Yüzünde \(CSB\) \(PH\parallel CQ\) olduğuna dikkat edin (çünkü \(PH\), \(\triangle CQB\)'de orta çizgidir) Bu nedenle, \(PH\perp SB\) . Bu nedenle, tanım gereği, \(\angle APH\), \(SBC\) ve \(SBA\) yüzleri arasındaki dihedral açının doğrusal açısıdır. Bunu \(\triangle APH\)'deki kosinüs teoremini kullanarak bulalım.

\(BP=\frac9(x)=1\) . Bu nedenle, \(\triangle ABP\)'den Pisagor teoremine göre: \(AP^2=18-1=17\) .
\(\triangle HBP\)'den Pisagor teoremine göre: \(HP^2=9-1=8\) .
\(\triangle ABH\)'den Pisagor teoremine göre: \(AH^2=18+9=27\) .
Bu nedenle, \(\triangle APH\)'den kosinüs teoremine göre: \[\cos \angle APH=\dfrac(AP^2+HP^2-AH^2)(2\cdot AP\cdot HP)= -\dfrac1(2\sqrt(34))\] Bu nedenle, \(SAB\) ve \(SCB\) yüzleri arasındaki açı şuna eşittir: \[\angle APH=\arccos\left(-\dfrac1(2\sqrt(34))\right)\]

Cevap:

B) \(\arccos\left(-\frac1(2\sqrt(34))\right)\)

Görev 15

Eşitsizliği çöz \[\dfrac(2^x)(2^x-8)+\dfrac(2^x+8)(2^x-4) +\dfrac(66)(4^x-12\cdot 2^x +32)\leqslant 0\]

\(2^x=t\) değişikliğini yapalım, o zaman eşitsizlik şu şekli alacaktır: \[\begin(aligned) &\dfrac(t)(t-8)+\dfrac(t+8)(t-4)+\dfrac(66)(t^2-12t+32)\leqslant 0 \ quad\Leftrightarrow\quad \dfrac(t(t-4)+(t^2-8^2)+66)((t-8)(t-4))\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\\ &\ Leftrightarrow\quad \dfrac(2t^2-4t+2)((t-8)(t-4))\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac(2(t-1)^2)((t -8)(t-4))\leqslant 0 \end(aligned)\] Bu eşitsizliği aralık yöntemini kullanarak çözelim:

O zaman çözüm olacak \[\sol[\begin(toplandı)\begin(hizalandı) &t=1\\ &4 O zaman cevap: \

Cevap:

\(\(0\)\fincan(2;3)\)

Görev 16

\(E\) noktası, yamuğun \(ABCD\) \(CD\) tarafının ortasıdır. \(AB\) tarafında, \(CK\) ve \(AE\) doğruları paralel olacak şekilde bir \(K\) noktası alınır. \(CK\) ve \(BE\) doğru parçaları \(O\) noktasında kesişiyor.

a) \(CO=OK\) olduğunu kanıtlayın.

b) Üçgenin alanı \(BCK\) \(\dfrac9(64)\) tüm yamuğun alanı \ ise, yamuğun tabanlarının oranını \(BC:AD\) bulun (ABCD\) .

a) \(AE\) ve \(BC\)'yi \(P\) noktasındaki kesişime kadar uzatın:

Daha sonra \(\angle AED=\angle CEP\) dikey olarak, \(\angle ADE=\angle PCE\) çapraz olarak \(AD\paralel BP\) ve \(CD\) sekantında uzanır. Bu nedenle, yan ve iki bitişik açı boyunca \(\üçgen AED=\üçgen CEP\). Sonra \(AD=CP\) , \(AE=EP\) .
\(CK\paralel AP\) olduğundan, o zaman \(\üçgen BKO\sim \üçgen ABE\) ve \(CBO\sim \triangle PBE\) dolayısıyla, \[\dfrac(KO)(AE)=\dfrac(BO)(BE)=\dfrac(OC)(EP) \quad\Rightarrow\quad \dfrac(KO)(OC)=\dfrac(AE)(EP )=1\] Böylece, \(KO=OC\) , hd.

b) O zamandan beri \(\üçgen AED=\üçgen CEP\), sonra \(S_(ABCD)=S_(ABP)\) . Böylece, \ Beri \(\üçgen BCK\sim \üçgen ABP\), o zaman alanları benzerlik katsayısının karesi ile ilişkilidir, bu nedenle, \ Bu nedenle, \(BC:BP=3:8\) , yani \(BC:AD=BC:CP=3:5\) .

Cevap:

b) \(3:5\)

Görev 17

Temmuz 2020’de belli bir tutarda banka kredisi çekilmesi planlanıyor. İade koşulları aşağıdaki gibidir:
- her Ocak ayında borç bir önceki yılın sonuna göre \(30\%\) artar;
- Her yılın şubat ayından haziran ayına kadar borcun bir kısmının tek seferde ödenmesi gerekmektedir.
Kredinin tamamen üç eşit ödemede (yani 3 yıl içinde) geri ödendiği ve ödeme tutarının bankadan alınan tutarı \(156\,060\) aştığı biliniyorsa bankadan kaç ruble alınmıştır? ) ruble?

Ödünç alınan miktar \(A\) ruble olsun. Kredinin yıllık ödemeler halinde geri ödeneceğini unutmayın. \(t=1.3\) ile gösterip bir tablo oluşturalım: \[\begin(array)(|l|l|l|c|) \hline \text(Yıl numarası) & \text(Tahakkuk öncesi borç)\% & \text(Tahakkuk sonrası borç)\% & \text( Ödeme)\\ \hline 1 & A & tA & x\\ \hline 2 & tA-x & t(tA-x) &x\\ \hline 3 & t(tA-x)-x& t(t(tA-) x)-x) &x\\ \hline \end(array)\] Daha sonra son ödemeden sonra borç şuna eşit olacaktır: \ Dolayısıyla \(3x-A=156\,060\) koşuluna göre, \[\dfrac(3At^3)(t^2+t+1)-A=156\.060 \quad\Rightarrow\quad 3\cdot 2.197A-3.99A=156060\cdot 3.99 \quad\ Rightarrow\quad A=\dfrac(156060\cdot 3990)(2601)=60\cdot 3990=239\,400\]\(x_3\) tatmin edici \((2)\) . Ayrıca \(x_1\) kökünün \(\) segmentine ait olduğunu unutmayın.
Üç durumu ele alalım:

1) \(a>0\) . O halde \(x_2>3\) , \(x_3<3\) , следовательно, \(x_2\notin .\) Тогда уравнение будет иметь один корень на \(\) в одном из двух случаях:
- \(x_1\) \((2)\)'yi karşılıyor, \(x_3\) \((1)\)'yi karşılamıyor veya \(x_1\) ile çakışıyor veya \((1)\)'yi karşılıyor, ancak \(\) segmentine dahil edilmez (yani \(0\)'den küçüktür);
- \(x_1\) \((2)\)'yi karşılamaz, \(x_3\) \((1)\)'i sağlar ve \(x_1\)'e eşit değildir.
Hem \(x_3\) öğesinin sıfırdan küçük olamayacağını hem de \((1)\) öğesini karşılayamayacağını (yani, \(\frac35\) değerinden büyük olamayacağını unutmayın.) Bu açıklama göz önüne alındığında, vakalar aşağıdaki gruba kaydedilmiştir: \[\left[ \begin(toplanmış)\begin(aligned) &\begin(cases) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3-a\leqslant \dfrac35\ end(cases)\\ &\begin(cases) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3-a> Bu kümeyi çözersek ve \(a>0\) değerini hesaba katarsak şunu elde ederiz: \

2) \(a=0\) . O zaman \(x_2=x_3=3\in .\) Bu durumda \(x_1\)'nin \((2)\)'yi karşıladığını ve \(x_2=3\)'nin \((1)\)'yi karşıladığını unutmayın, o zaman orada \(\) üzerinde iki kökü olan bir denklemdir. Bu \(a\) değeri bize uymuyor.

3)\(bir<0\) . Тогда \(x_2<3\) , \(x_3>3\) ve \(x_3\notin \) . 1. maddeye benzer şekilde mantık yürüterek seti çözmeniz gerekir: \[\left[ \begin(toplanmış)\begin(aligned) &\begin(cases) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3+a\leqslant \dfrac35\ end(cases)\\ &\begin(cases) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3+a> \dfrac35\end(case) \end(aligned) \end(toplandı)\sağ.\] Verilen popülasyonu çözmek ve bunu hesaba katmak \(1, 2, 3, \dots, 99\) . O halde yüz sayının toplamı, sayılar arasında \(230\) olması durumunda mümkün olan en küçük toplamdır. Hadi hesaplayalım: \[\dfrac(1+99)2\cdot 99+230=5180>5120\] Koşulla bir çelişkimiz var, dolayısıyla cevap: hayır.

b) Tahtada \(14\) sayısının olmadığını varsayalım. Tekrar sayıları artan şekilde sıralayalım ve sayılara bakalım: \(1, 2, \noktalar, 13, 15, \noktalar, 101\). İlk sayı için, ikinci sayı için vb. mümkün olan en küçük değeri aldık. O zaman tüm bu sayıların toplamı, keyfi yüz doğal sayının toplamları arasında mümkün olan en küçük toplamdır. Şuna eşittir: \[\dfrac(1+101)2\cdot 101-14=5137>5120\] Yine koşulla bir çelişkiyle karşılaştık, bu nedenle cevap: hayır.

c) Sayılar arasında \(14\)'ün katı olan dört sayı olduğunda bir örnek verelim (bunlar \(14, 28, 42, 56\ sayılarıdır)): \ \(14\) 'un katı olan dört sayıdan daha az sayı olamayacağını kanıtlayalım.
\(1\) ile \(100\) arasında bir sayı kümesi alalım. Bu kümedeki sayıların toplamı \(5050\)'dir. Bu, yüz farklı doğal sayının mümkün olan minimum toplamıdır. \(14\)'in katları olan sayılara garip diyelim. Bu sette 7 tane garip sayı var. Kümemizdeki sayıların minimum toplamını korurken, kümemizdeki garip sayıların sayısını azaltacağız.
Bu nedenle, sayıların toplamının minimum olması için en büyük garip sayıyı kaldırmalıyız - bu \(98\) . O zaman karşılığında başka bir sayı daha eklemek zorunda kalacak (tuhaf değil!). Bu tür en küçük sayı \(101\)'dir. Bundan sonra \(5053\) 'a eşit minimum tutarı elde ederiz. \(5120\) 'dan küçük, bu yüzden devam edeceğiz.
Aynı işlemi yaparak \(98, 84, 70\) garip sayılarını da kaldıralım. Bunun yerine \(101, 102, 103\) ekleyelim. Bu durumda \(5104\) değerine eşit bir minimum miktar elde ederiz. Bu işlemi tekrar yaptıktan sonra, yani \(56\)'yı kaldırıp \(104\) ekleyerek, \(5120\)'den büyük olan minimum \(5152\) miktarını elde ederiz. Kümemizdeki sayıların toplamının minimal olmasından dolayı bir çelişki elde ediyoruz.

Birleşik devlet sınavını geçmek sadece genel ortaöğretimin sonunda bir zorunluluk değil, aynı zamanda üniversitelere giriş sınavının da bir parçasıdır. Matematiksel veya teknik odaklı ana dallara kaydolmaya karar veren okul çocukları, matematiğin yalnızca temel düzeyini değil, aynı zamanda uzmanlık düzeyini de alırlar. Özelliklerini, uygulama ve test zamanlamasını ve sonuçlarla ilgili bazı noktaları ele alalım.

Birleşik Devlet Sınavının yapılmasına ilişkin prosedür, 273 sayılı “Rusya Federasyonu'nda Eğitime İlişkin” Federal Kanun ile belirlenir.

Sınav sonuçları ne zaman belli olacak?

Resmi program teslimatı belirledi Matematikte Birleşik Devlet Sınavı 2018 1 Haziran Cuma günü profil yönü. Gibi rezerv günü ana döngüde tarih vurgulanır 25 Haziran ve 2 Temmuz tüm dersleri geçmek için yedek bir gün olmaya devam ediyor.

Ayrılma matematik sınavı seviyelere geçen yıl gerçekleşti. Farklılar bir dizi işarete göre:

• Derecelendirme sistemi. Konuya ilişkin temel bilgi düzeyi beş puanlık bir ölçekte değerlendirilir (minimum 3 puan belirlenmiştir). Temel ders notu 100 puan üzerinden değerlendirilir;
• Bir sonraki fark temel ve uzmanlık düzeyindeki sınavlara girmektir eğitim kurumlarına kabul için yüksek ve orta profesyonel seviye. Bu nedenle, temel seviye kolejler, okullar ve üniversitelerdeki beşeri bilimler bölümleri için yeterlidir. Teknik uzmanlıklara giriş sınavlarında matematiğin varlığı, başvuru sahibinin profil seviyesini geçmesini gerektirir;
• Çeşitli sınav yapıları. Veritabanı kısa cevaplı 20 problemden oluşmaktadır. Profil sınavı çok daha zordur ve 2 bölümden oluşur.

Birleşik Devlet Sınav sistemi, okul mezunlarının konunun temel ve uzmanlık bölümünü kısıtlama olmaksızın almalarına olanak tanır. Bu, üniversitelere girme şansınızı önemli ölçüde artırır.

Birleşik Devlet Sınavı sonuçlarının işlenmesi belirli son teslim tarihleri ​​ve prosedürleri vardır:

• Formların bölgelerde taranması ve işlenmesi – 4 güne kadar;
• Sonuçların federal düzeyde işlenmesi - 7 güne kadar;
• Sonuçların bölgelere gönderilmesi – 1 gün;
• Sonuçların devlet sınav komisyonu tarafından onaylanması - en fazla 1 gün;
• Sonuçların duyurulması – 1 gün.

Dolayısıyla sonuçların doğrulanması ve yayımlanması için gereken süre 2 haftayı geçmemektedir. Matematikte profil düzeyinde Birleşik Devlet Sınavı 2018'in sonuçları en geç 17 Haziran'a kadar bilinecek.

Sonucunuzu nasıl öğrenirsiniz?

Geçmiş sınavın sonuçlarını öğrenin birkaç yolla yapılabilir:

• Birleşik Devlet Sınavının resmi portalı www.ege.edu.ru;
• Sınavın yapıldığı okul veya diğer kurumlardaki bilgilendirme standlarında;
• Bölge birimlerinde veya eğitim komitelerinde;
• Bazı bölgelerde özel web siteleri veya telefon yardım hatları oluşturulmaktadır.

Sonucunuzu kontrol edin mevcutsa mümkündür:

• Öğeyi ileten kişinin tam adı;
• Sınav sırasında kimlik tespiti için kullanılan pasaport veya diğer belgenin numarası;
• Her sınav katılımcısına atanan bir kimlik kodu.

Sınav sonuçlarına ilişkin bilgiler ücretsizdir ve Birleşik Devlet Sınavı katılımcılarına ve ebeveynlerine ücretsiz olarak sağlanmaktadır.

Matematikte Erken Birleşik Devlet Sınavı

Bir dizi okul çocuğu, sözde matematikte Birleşik Devlet Sınavını zaten geçti. erken dönem. Öğrencinin ana sahneye katılamaması durumunda katılıma izin verilir. Sebepler şunları içerebilir:

• Planlanan tedavi;
• Sağlık kurumlarında rekreasyon;
• Yarışmalara, olimpiyatlara ve diğer eğitici veya yaratıcı etkinliklere katılım.

2017 yılında matematiğin erken tamamlanması gerçekleşti 31 Mart ve 14 Nisan(rezerv günü). 4,8 bin öğrenci temel seviyeyi, yaklaşık 17 bin ise uzmanlık seviyesini geçti.

Plana göre, matematik 2017'deki erken Birleşik Devlet Sınavının sonuçlarının 11 Nisan'da açıklanması gerekiyordu, ancak çok daha önce - 7'sinde - yayınlandı.

Çalışmanızı nerede görebilirim?

Sınavı geçtikten sonra çalışmanızı elektronik ortamda görüntüleyebilirsiniz. Taraması, Birleşik Devlet Sınavı portalındaki kişisel hesabınızda mevcuttur. Şu durumlarda erişim izni verilir:

• Birleşik devlet sınavına katılan bir katılımcı için bir kimlik kodunun mevcudiyeti;
• Tam adı ve pasaport numarası.

Sonuçların açıklanmasından sonra katılımcı verilen puanları kabul etmiyorsa, bu durumda İtiraz için 2 gün Sınav Komisyonuna sunulur. Başvuru 2 nüsha halinde yazılır ve değerlendirilmek üzere komisyona sunulur. 5 Haziran'a kadar sorunların çözümleri tekrar gözden geçirilecek ve değerlendirmenin değiştirilmesi veya onaylanması kararı verilecek.

Sınav nasıl puanlanıyor? Birleşik Devlet Sınav sistemi, sonuçları değerlendirmek için birincil ve test puanlarının yanı sıra bunları birbirine dönüştürmek için özel bir ölçek kullanır. CMM çözümleri (kontrol ve ölçüm malzemeleri) birincil noktalarda değerlendirilir ve daha sonra tabloya göre test puanlarına dönüştürülür. Sınavın nihai sonucu, atılan test puanının sayısıdır.

İlköğretim puanlarını test puanlarına dönüştürmek için bir ölçeğin geliştirilmesi her yıl gerçekleştirilmekte ve okul çocuklarının genel hazırlık düzeyi dikkate alınmaktadır.

Başarılı için 2018'de uzmanlık matematiğini geçmek Minimum rakamı çevirmeniz gerekiyor:

• 6 birincil nokta;
• 27 test noktası.

2018 yılında matematikte Birleşik Devlet Sınavına tekrar girme tarihi

Bir numara var Birleşik Devlet Sınavını geçmek için ek son tarihler. Öğrencinin, iyi bir nedenden dolayı, ana günde dersi geçememesi durumunda kullanılabilirler. Özel matematik için bu:

• 25 Haziran– ana sahnede rezerve günü;
• 2 Temmuz– Birleşik Devlet Sınavının ana kısmı için herhangi bir konuyu alabileceğiniz yedek gün.

Eylül ayında uzmanlık matematiğini yeniden alma fırsatının bir takım koşulları vardır:

• Eğer bir öğrenci temel matematiği geçmişse, bu yıl uzmanlık seviyesini tekrar almasına izin verilmeyecektir. Birleşik Devlet Sınavına tekrar girme fırsatı ancak gelecek yıl ortaya çıkacak;
• Her iki matematik sınavından da (temel ve ileri düzey) başarısız olunması durumunda öğrenci hangisini tekrar alacağına karar verebilir.

Matematiği tekrar al Eylül ayı için planlandı 7 Eylül. Rezerv günü 15 Eylül'dür.