Olasılığın klasik tanımı

Olasılık - Olasılık teorisinin temel kavramlarından biri. Bu kavramın çeşitli tanımları bulunmaktadır. Olasılık belirli bir olayın meydana gelme olasılığının derecesini karakterize eden bir sayıdır.

Olası test sonuçlarının her birine denir temel sonuç (temel olay). Tanımlar: ...,

Bizi ilgilendiren olayın meydana geldiği temel sonuçlara, elverişli.

Örnek: Bir torbada 4'ü siyah, 6'sı beyaz olmak üzere 10 adet aynı top vardır. Etkinlik: Torbadan beyaz bir top çekiliyor. Torbadan beyaz topların çekileceği olumlu sonuçların sayısı 4'tür.

Bir olay için elverişli temel sonuçların sayısının toplam sayılarına oranına olayın olasılığı denir; Örneğimizde

Olayın olasılığı Bu olay için olumlu sonuçların sayısının, tüm grubu oluşturan eşit derecede olası tüm uyumsuz temel sonuçların toplam sayısına oranını çağırın,

olay için elverişli temel sonuçların sayısı nerede; olası tüm temel test sonuçlarının sayısı.

Olasılığın özellikleri:

1. Güvenilir bir olayın olasılığı bire eşittir, yani.

2. İmkansız bir olayın olasılığı sıfırdır, yani. e.

3. Rastgele bir olayın olasılığı sıfır ile bir arasında pozitif bir sayıdır; e.

veya

1 ve 2 numaralı özellikler dikkate alındığında, herhangi bir olayın olasılığı eşitsizliği karşılar

4 . Kombinatoriklerin temel formülleri

Kombinatorik, belirli koşullara bağlı olarak, keyfi nitelikteki belirli bir sonlu öğe kümesinden yapılabilecek kombinasyonların sayısını inceler. Olasılıkları doğrudan hesaplarken sıklıkla kombinatorik formüller kullanılır. Bunlardan en yaygın olanı sunuyoruz.

Permütasyonlar aynı farklı unsurlardan oluşan ve yalnızca düzenlenme sıraları farklılık gösteren kombinasyonlardır.

Olası tüm permütasyonların sayısı

Nerede Öyle kabul ediliyor

Örnek.Üç basamaklı bir sayının görüntüsünde her basamak yalnızca bir kez göründüğünde, üç basamaklı sayıların sayısı şuna eşittir:

Yerleşimler farklı elementlerin, elementlerin bileşimi veya sıraları bakımından farklılık gösteren elementlerden oluşan kombinasyonlardır. Olası tüm yerleşimlerin sayısı

Örnek. Farklı renkteki 6 bayraktan 2'li gruplar halinde alınan sinyal sayısı:

Kombinasyonlar en az bir öğesinde farklılık gösteren öğelerin farklı öğelerinden oluşan kombinasyonlardır. Kombinasyon sayısı

Örnek. 10 parça içeren bir kutudan iki parça seçmenin yol sayısı:

Yerleştirme, permütasyon ve kombinasyon sayıları eşitlikle ilişkilidir

Kombinatorik problemleri çözerken aşağıdaki kurallar kullanılır:

Toplama Kuralı. Eğer bir nesne kümesinden bir nesne yollarla seçilebiliyorsa ve başka bir nesne de yollarla seçilebiliyorsa, o zaman ya seçilebilir ya da yollarla seçilebilir.

Ürün kuralı. Bir nesne, bir nesne koleksiyonundan yollarla seçilebiliyorsa ve bu tür her seçimden sonra nesne yollarla seçilebiliyorsa, o zaman bir nesne çifti, belirli bir sırayla, yollarla seçilebilir.

Bağıl frekans Ayrıca Olasılık teorisinin temel kavramıdır.

Bağıl frekans olaylar, olayın meydana geldiği deneme sayısının gerçekte gerçekleştirilen toplam deneme sayısına oranıdır ve aşağıdaki formülle belirlenir:

,

olayın denemelerdeki gerçekleşme sayısı, toplam deneme sayısı nerede.

Olasılık ve göreceli frekans tanımlarını karşılaştırdığımızda, olasılığı belirlemenin test gerektirmediği ve göreceli frekansı belirlemenin gerçek test gerektirdiği sonucuna varıyoruz.

Uzun süreli gözlemler, deneyler aynı koşullar altında yapıldığında bağıl frekansın kararlılık özelliğine sahip olduğunu göstermektedir. Bu özellik, farklı deney serilerinde, seriden seriye testlerin göreceli sıklığının çok az değişmesi ve belirli bir sabit sayı etrafında dalgalanması gerçeğinden oluşur. Bu sabit bir sayıdır ve olayın meydana gelme olasılığıdır.

Olasılığın klasik tanımının bazı dezavantajları vardır:

1) Temel test sonuçlarının sayısı sınırlıdır; pratikte bu sayı sonsuz olabilir;

2) çoğu zaman test sonucu bir dizi temel olay olarak temsil edilemez;

Bu nedenlerden dolayı klasik olasılık tanımının yanı sıra istatistiksel bir tanım da kullanılır: V kalite istatistiksel olasılık olaylar göreceli sıklıkta gerçekleşir.

Göreli frekans, olasılık ile birlikte olasılık teorisinin temel kavramlarına aittir.

Bağıl frekans olaylar, olayın meydana geldiği deneme sayısının gerçekte gerçekleştirilen toplam deneme sayısına oranıdır. Böylece olayın göreceli sıklığı A formülle belirlenir

K(A) = M/N,

Nerede M– olayın gerçekleşme sayısı, N– toplam test sayısı.

Olasılık ve göreceli sıklık tanımlarını karşılaştırdığımızda şu sonuca varıyoruz: Olasılığın tanımı testlerin gerçekten yapılmasını gerektirmez; bağıl frekansın belirlenmesi, testlerin gerçekten gerçekleştirildiğini varsayar. Başka bir deyişle, olasılık deneyden önce, bağıl frekans ise deneyden sonra hesaplanır.

Örnek 1. Denetim departmanı rastgele seçilmiş 80 parçadan oluşan bir partide 3 standart dışı parça buldu. Standart olmayan parçaların göreceli görülme sıklığı

K(A) =3/80.

Örnek 2. Hedefe 24 el ateş edildi ve 19 isabet kaydedildi. Göreceli hedef isabet oranı

K(A) =19/24.

Uzun vadeli gözlemler, eğer deneyler, her birinde test sayısı yeterince fazla olan aynı koşullar altında yapılırsa, bağıl frekansın kararlılık özelliği sergilediğini göstermiştir. Bu mülk farklı deneylerde bağıl frekansın çok az değiştiği(ne kadar az olursa o kadar çok test yapılır), sabit bir sayı etrafında dalgalanıyor. Bu sabit sayının olayın gerçekleşme olasılığı olduğu ortaya çıktı.

Dolayısıyla, eğer bağıl frekans deneysel olarak belirlenirse, elde edilen sayı yaklaşık bir olasılık değeri olarak alınabilir.

Göreceli frekans ve olasılık arasındaki ilişki aşağıda daha ayrıntılı ve daha kesin bir şekilde açıklanacaktır. Şimdi kararlılık özelliğini örneklerle açıklayalım.

Örnek 3.İsveç istatistiklerine göre, 1935'te kız doğumlarının göreceli sıklığı. Aylara göre aşağıdaki sayılarla karakterize edilir (sayılar Ocak ayından başlayarak ay sırasına göre düzenlenmiştir): 0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473

Göreceli sıklık 0,482 civarında dalgalanıyor ve bu da kız çocuk sahibi olma olasılığı için yaklaşık bir değer olarak alınabiliyor.

Farklı ülkelerden gelen istatistiksel verilerin yaklaşık olarak aynı bağıl frekans değerini verdiğini unutmayın.

Örnek 4. Birçok kez yazı tura atma deneyleri yapıldı ve bu deneylerde "armanın" görünme sayısının sayıldığı görüldü. Çeşitli deneylerin sonuçları Tablo 1'de verilmiştir.

Burada göreceli frekanslar 0,5 sayısından biraz sapmaktadır ve ne kadar küçükse test sayısı da o kadar fazladır. Örneğin 4040 denemede sapma 0,0069 iken 24000 denemede sadece 0,0005 olur. Yazı tura atıldığında "armanın" ortaya çıkma olasılığının 0,5 olduğunu hesaba katarsak, göreceli frekansın olasılık etrafında dalgalandığını bir kez daha görüyoruz.

§ 7. Klasik olasılık tanımının sınırlamaları. İstatistiksel olasılık

Olasılığın klasik tanımı, bir denemenin temel sonuçlarının sayısının sonlu olduğunu varsayar. Pratikte olası sonuç sayısının sonsuz olduğu testlerle karşılaşmak oldukça yaygındır. Bu gibi durumlarda klasik tanım geçerli değildir. Bu durum tek başına klasik tanımın sınırlılığını göstermektedir. Belirtilen dezavantajın üstesinden özellikle geometrik olasılıklar getirilerek (bkz. § 8) ve tabii ki aksiyomatik olasılık kullanılarak (bkz. § 3, açıklama) gelinebilir.

Klasik tanımın en zayıf yanı, bir testin sonucunu bir dizi temel olay biçiminde temsil etmenin çoğu zaman imkansız olmasıdır. Temel olayların eşit derecede mümkün olduğunu düşünmenin nedenlerini belirtmek daha da zordur. Genellikle, temel test sonuçlarının eş-olasılığının simetri hususlarına dayandığı söylenir. Örneğin kalıbın düzenli bir çokyüzlü (küp) şekline sahip olduğu ve homojen bir malzemeden yapıldığı varsayılmaktadır. Ancak simetri hususlarının kullanılabileceği problemler pratikte çok nadirdir. Bu nedenle olasılığın klasik tanımının yanı sıra, istatistiksel tanım başta olmak üzere başka tanımlar da kullanılmaktadır: Göreceli frekans veya buna yakın bir sayı, bir olayın istatistiksel olasılığı olarak alınır.Örneğin, yeterince fazla sayıda deneme sonucunda bağıl frekansın 0,4 sayısına çok yakın olduğu ortaya çıkarsa, bu sayı olayın istatistiksel olasılığı olarak alınabilir.

Olasılığın klasik tanımdan (bkz. § 3) kaynaklanan özelliklerinin, olasılığın istatistiksel tanımında da korunduğunu doğrulamak kolaydır. Gerçekten de, eğer olay güvenilirse, o zaman M =N ve bağıl frekans

M/N = N/N = 1,

onlar. güvenilir bir olayın istatistiksel olasılığı (klasik tanımda olduğu gibi) bire eşittir.

Eğer olay imkansızsa, o zaman M= 0 ve dolayısıyla bağıl frekans

0/N = 0,

onlar. İmkansız bir olayın istatistiksel olasılığı sıfırdır.

Herhangi bir olay için 0 M N ve dolayısıyla bağıl frekans

0 M/N 1,

onlar. herhangi bir olayın istatistiksel olasılığı sıfır ile bir arasındadır.

Bir olayın istatistiksel olasılığının varlığı için A gerekli:

a) En azından prensip olarak, her birinde bir olayın söz konusu olduğu sınırsız sayıda test gerçekleştirme olanağı. A oluşur veya oluşmaz;

b) göreceli oluşum sıklıklarının kararlılığı A Yeterince fazla sayıda testin çeşitli serilerinde.

İstatistiksel tanımın dezavantajı istatistiksel olasılığın belirsizliğidir; Yani verilen örnekte bir olayın olasılığı olarak sadece 0,4 değil 0,39 da alınabilir; 0,41 vb.

Geometrik olasılıklar

Klasik olasılık tanımının sonsuz sayıda sonuç içeren denemelere uygulanamaması dezavantajının üstesinden gelmek için, geometrik olasılıklar– bir noktanın bir alana (bir düzlemin parçası, bir parçası vb.) çarpma olasılığı.

Bölüme izin ver ben bir segmentin parçasını oluşturur L. Bir bölüm için L rastgele bir nokta atıldı. Bu, aşağıdaki varsayımların yerine getirilmesi anlamına gelir: ayar noktası, segment üzerinde herhangi bir noktada olabilir L, bir noktanın bir doğru parçasına düşme olasılığı ben bu segmentin uzunluğuyla orantılıdır ve segmente göre konumuna bağlı değildir L. Bu varsayımlar altında, bir noktanın bir doğru parçasına düşme olasılığı ben eşitlikle belirlenir

P= Uzunluk ben/ Uzunluk L.

Örnek 1. Bir bölüm için O.A. uzunluk L sayı ekseni Öküz rastgele bir nokta yerleştirildi B(X). Segmentlerden küçük olanın olasılığını bulun O.B. Ve B.A. daha büyük bir uzunluğa sahip L

Çözüm. Segmenti bölelim O.A. noktalar C Ve D 3 eşit parçaya bölünür. Görev şartı yerine getirilecek, eğer nokta B(X) segmente düşüyor CD uzunluk L/3. Gerekli olasılık

P = (L /3)/L = 1/3.

Düz şekil olsun G düz bir figürün parçasını oluşturur G. Yerleştirmek G Rastgele bir nokta atılıyor. Bu, aşağıdaki varsayımların yapılması anlamına gelir: Atılan nokta şeklin herhangi bir noktasında olabilir G, atılan bir noktanın bir rakama çarpma olasılığı G bu şeklin alanıyla orantılıdır ve göreli konumuna bağlı değildir. G, formdan da değil G. Bu varsayımlar altında, bir noktanın bir rakama çarpma olasılığı şu şekildedir: G eşitlikle belirlenir

P= Alan G/ Kare G.

Örnek 2. Düzlem üzerinde yarıçapları sırasıyla 5 ve 10 cm olan iki eşmerkezli daire çizilir. Büyük bir daireye rastgele atılan bir noktanın, oluşturulan dairelerin oluşturduğu halkaya düşme olasılığını bulun. Bir noktanın düz bir şekle düşme olasılığının bu şeklin alanıyla orantılı olduğu ve büyük daireye göre konumuna bağlı olmadığı varsayılmaktadır.

Çözüm. Halkanın alanı (şekil G)

S g= p(10 2 - 5 2) = 75 p.

Büyük bir dairenin alanı (şekil G)

SG= p10 2 = 100 p.

Gerekli olasılık

P= 75 p/(100 p) = 0,75.

Örnek 3. Sinyal cihazı iki cihazdan sinyal alır ve sinyallerin her birinin alınması, geçen sürenin herhangi bir anında eşit derecede mümkündür. T. Sinyalin varış anları birbirinden bağımsızdır. Sinyalin alındığı anlar arasındaki fark azsa alarm tetiklenir T(T<T). Alarmın zamanında çalma olasılığını bulun T, eğer cihazların her biri bir sinyal gönderiyorsa.

Çözüm. Sırasıyla birinci ve ikinci cihazlardan gelen sinyallerin varış anlarını şu şekilde belirtelim: X Ve sen. Problemin koşullarından dolayı çift eşitsizliklerin sağlanması gerekir: 0 X T, 0 sen T Dikdörtgen koordinat sistemini dikkate alalım xOy. Bu sistemde çift eşitsizlikler karenin herhangi bir noktasının koordinatları ile karşılanır. OTAT(Şekil 1).

Dolayısıyla bu kare bir şekil olarak kabul edilebilir G sinyallerin varış anlarının tüm olası değerlerini temsil eden noktaların koordinatları.

Sinyalin alındığı anlar arasındaki fark azsa alarm tetiklenir T yani Eğer sen-X<T en sen>X Ve X-sen<T en X>sen veya aynı olan şey,

sen<X+T en sen>X, (*)

sen >X-T en sen<X. (**)

Eşitsizlik (*) şeklin bu noktaları için geçerlidir G, çizginin üstünde yer alan sen = X ve çizginin altında sen = X+T;eşitsizlik (**) çizginin altındaki noktalar için geçerlidir sen= X ve düz çizginin üstünde sen = X-T.

Şekil 1'den görülebileceği gibi. Koordinatları (*) ve (**) eşitsizliklerini karşılayan tüm noktalar gölgeli altıgene aittir. Yani bu altıgen bir şekil olarak düşünülebilir G zamanın uygun anları olan noktaların koordinatları X Ve sen.

Gerekli olasılık

P= Pl. G/ Pl. G = (T 2 - (T - T) 2)/T 2 = (T(2T - T))/T 2 .

Not1. Verilen tanımlar geometrik olasılığın genel tanımının özel durumlarıdır. Bir bölgenin ölçüsünü (uzunluk, alan, hacim) mes ile belirtirsek, rastgele atılan (yukarıdaki anlamda) bir noktanın bölgeye düşme olasılığı G– bölgenin bir kısmı G, eşittir

P=mes G/mes G.

Açıklama 2. Klasik tanımda, güvenilir (imkansız) bir olayın olasılığı bire (sıfır) eşittir; Bunun tersi ifadeler de doğrudur (örneğin, bir olayın olasılığı sıfırsa olay imkansızdır). Olasılığın geometrik bir tanımı durumunda, bunun tersi ifadeler geçerli değildir. Örneğin, atılan bir noktanın bölgedeki belirli bir noktaya çarpma olasılığı G sıfırdır ancak bu olay gerçekleşebilir ve dolayısıyla imkansız değildir.

Görevler

1. Kutuda 5'i boyalı 50 adet aynı parça bulunmaktadır. Tek parça rastgele alınır. Çıkarılan parçanın boyanma olasılığını bulun

Cevap vermek. P = 0,1.

2. Bir zar atılıyor. Çift sayıda puan alma olasılığını bulun.

Cevap vermek. P = 0,5.

3. Çekilişe katılanlar kutudan 1'den 100'e kadar sayıların bulunduğu jetonları çekerler. Rastgele çekilen ilk jeton sayısının 5 sayısını içermemesi olasılığını bulun.

Cevap vermek. P = 0,81.

4. Torbada 5 adet birbirinin aynı küp vardır. Her küpün tüm yüzlerinde şu harflerden biri yazılıdır: o, p, p, s, t Teker teker uzatılmış ve “bir” şeklinde dizilmiş küplerin üzerinde “spor” kelimesinin okunabilmesi olasılığını bulun. astar".

Cevap vermek. P = 1/120.

5. Altı özdeş kartın her birinin üzerinde şu harflerden biri yazılıdır: a, t, m, p, s, o. Kartlar iyice karıştırılır. Teker teker çekilen ve “tek satır” halinde dizilmiş dört kartta “kablo” kelimesinin okunma olasılığını bulun.

Cevap vermek. P = 1/ = 1/360.

6. Tüm kenarları renkli olan bir küp, aynı büyüklükte bin küp halinde kesilir ve bunlar daha sonra iyice karıştırılır. Rasgele çizilen bir küpün yüzlerinin renkli olma olasılığını bulun: a) bir; b) iki; c) üç.

Cevap vermek. a)0,384; b)0,096; c)0,008.

7. Tamamen karıştırılmış 28 domino taşından rastgele bir taş çekiliyor. İlk kemiğin: a) çift olduğu ortaya çıkarsa; rastgele çekilen ikinci kemiğin birincinin yanına yerleştirilme olasılığını bulun; b) çift yoktur.

Cevap vermek. a)2/9; b)4/9.

8. Kilidin ortak bir eksende beş diski vardır. Her disk, üzerine farklı harflerin yazıldığı altı sektöre bölünmüştür. Kilit yalnızca her diskin kilit gövdesine göre belirli bir konumu işgal etmesi durumunda açılır. Disklerin rastgele yerleştirilmesi durumunda kilidin açılma olasılığını bulun.

Cevap vermek. P = 1/6 5 .

9. Sekiz farklı kitap bir rafa rastgele yerleştiriliyor. Belirli iki kitabın yan yana yerleştirilme olasılığını bulun.

Cevap vermek. P= 7*2!*6!/8! = ¼.

10. Kütüphanede her biri 4 ruble değerinde olan beş kitap, birer ruble tutarında üç kitap ve her biri 3 ruble değerinde olan iki kitap olmak üzere on farklı kitap bulunmaktadır. Rastgele alınan iki kitabın 5 rubleye mal olma olasılığını bulun.

Cevap vermek. P =

11. 100 parçalık bir partide teknik kontrol departmanı 5 standart dışı parça keşfetti. Standart olmayan parçaların göreceli görülme sıklığı nedir?

Cevap vermek. w = 0,05.

12. Tüfekle ateş ederken hedefi vurmanın göreceli sıklığı 0,85'e eşitti. Toplam 120 el ateş edildiğinde isabet sayısını bulunuz.

Cevap vermek. 102 isabet.

13. Bir bölüm için O.A. uzunluk L sayı ekseni Öküz rastgele bir nokta yerleştirildi B(X).Doğrulardan küçük olanın olasılığını bulun. O.B. Ve B.A. daha az bir uzunluğa sahip L/3. Bir noktanın bir doğru parçasına düşme olasılığının parçanın uzunluğu ile orantılı olduğu ve sayı eksenindeki konumuna bağlı olmadığı varsayılmaktadır.

Cevap vermek. P = 2/3.

14. Yarıçap dairesinin içinde R Rastgele bir nokta atılıyor. Bir noktanın daire içine alınmış bir karenin içinde olma olasılığını bulun. Bir noktanın kareye düşme olasılığının karenin alanıyla orantılı olduğu ve daireye göre konumuna bağlı olmadığı varsayılmaktadır.

P = 7/16.

İkinci bölüm

isminde bağıl frekans ( veya sıklık) olaylar A ele alınan bir dizi deneyde.

Olayın göreceli sıklığı aşağıdaki gibidir özellikler:

1. Herhangi bir olayın sıklığı sıfır ile bir arasındadır;

2. İmkansız bir olayın frekansı sıfırdır, yani.

3. Güvenilir bir olayın frekansı 1'dir, yani.

4. Birbiriyle bağdaşmayan iki olayın toplamının frekansı, frekansın toplamına eşittir
bu olaylar, yani. eğer öyleyse

Frekansın başka bir temel özelliği daha vardır: istatistiksel kararlılığın özelliği: artan sayıda deneyle (ör. N) bazı sabit sayılara yakın değerler alır (derler ki: frekans sabitlenir, belirli bir sayıya yaklaşır, frekans belirli bir sayı etrafında dalgalanır veya değerleri belirli bir sayı etrafında gruplanır).

Yani, örneğin, bir yazı tura atma deneyinde (K. Pearson) - 12.000 ve 24.000 atışlı armanın ortaya çıkma sıklığının sırasıyla 0,5015 ve 0,5005'e eşit olduğu ortaya çıktı, yani. frekans sayıya yaklaşır. Gözlemlere göre erkek çocuk sahibi olma sıklığı 0,515 civarında dalgalanıyor.

Olasılık teorisinin yalnızca göreceli frekansın kararlılığının varsayıldığı belirsiz sonucu olan kütlesel rastgele olayları incelediğine dikkat edin.

Olasılığın istatistiksel tanımı

Rastgele bir olayı matematiksel olarak incelemek için olayın niceliksel bir değerlendirmesini yapmak gerekir. Bazı olayların meydana gelme ihtimalinin diğerlerinden daha fazla (“daha ​​muhtemel”) olduğu açıktır. Bu değerlendirme bir olayın olasılığı, onlar. söz konusu deneyde meydana gelme olasılığının derecesini ifade eden bir sayı. Olasılığın çeşitli matematiksel tanımları vardır; hepsi birbirini tamamlar ve genelleştirir.

Herhangi bir sayıda tekrarlanabilen ("tekrarlanan testler yapılır" derler) ve içinde bazı olayların gözlemlendiği bir deney düşünün. A.

İstatistiksel olasılık olaylar A yeterince fazla sayıda deneme (deney) boyunca A olayının bağıl sıklığının dalgalandığı sayıdır.

Olayın olasılığı A sembolüyle gösterilir R(A). Bu tanıma göre:

.

(1.2)

Göreceli frekans ve olasılığın yakınlığının matematiksel gerekçesi R(A) bazı olayların A J. Bernoulli'nin teoremi olarak hizmet eder.

Olasılıklar R(A) 1-4 bağıl frekansın özellikleri atfedilir:

1. Herhangi bir olayın istatistiksel olasılığı sıfır ile bir arasındadır;

2. İmkansız bir olayın istatistiksel olasılığı sıfırdır;

3. Güvenilir bir olayın istatistiksel olasılığı 1'e eşittir, yani.

4. Birbiriyle bağdaşmayan iki olayın toplamının istatistiksel olasılığı, bu olayların sıklığının toplamına eşittir; eğer öyleyse

Olasılığı belirlemenin gerçek deneyime dayanan istatistiksel yöntemi, bu kavramın içeriğini tam olarak ortaya koymaktadır. İstatistiksel tanımın dezavantajı istatistiksel olasılığın belirsizliğidir; Yani yazı tura atma örneğinde olasılık olarak yalnızca 0,5 sayısını değil aynı zamanda 0,49 veya 0,51 vb. sayısını da alabilirsiniz. Olasılığı güvenilir bir şekilde belirlemek için çok sayıda testin yapılması gerekir ve bu her zaman kolay veya ucuz değildir.

Olasılığın klasik tanımı

Bir olayın olasılığını belirlemenin, deneyin sonlu sayıda sonuçlarından herhangi birinin eşitliğine dayalı basit bir yolu vardır. Deneyin şu şekilde gerçekleştirilmesine izin verin: N olarak temsil edilebilecek sonuçlar tam bir uyumsuz grup eşit derecede mümkün olaylar. Bu tür sonuçlara denir şans, şans, temel olaylar, deneyim - klasik. Öyle bir deneyimden bahsediyorlar ki, vaka şeması veya vazo şeması(çünkü böyle bir deney için olasılıksal problem, farklı renklerde toplar içeren kavanozlarla ilgili eşdeğer bir problemle değiştirilebilir).

Olayın oluşmasına yol açan w durumu A, isminde uygun onun için (veya olumlu), yani. w durumu olayı gerektirir A: .

Olayın olasılığı A sayı oranı denir M bu olayın lehine olan vakaların toplam sayısına göre N vakalar, yani

Tanımlama ile birlikte R(A) bir olayın olasılığı için A kullanılan notasyon R yani p=P(A).

Olasılığın klasik tanımından aşağıdakiler çıkar: özellikler:

1. Herhangi bir olayın olasılığı sıfır ile bir arasındadır;

2. İmkansız bir olayın olasılığı sıfırdır, yani.

3. Güvenilir bir olayın olasılığı 1'dir, yani.

4. Uyumsuz olayların toplamının olasılığı, bu olayların sıklığının toplamına eşittir; eğer öyleyse

Örnek 1.3. Bir kavanozda 12 beyaz ve 8 siyah top bulunmaktadır. Rastgele çekilen bir topun beyaz olma olasılığı nedir?

Çözüm:

İzin vermek A– beyaz bir topun çekilmesinden oluşan bir olay. Bunun eşit derecede mümkün olan tüm vakaların sayısı olduğu açıktır. Olayın lehine vaka sayısı A, 12'ye eşittir, yani. . Sonuç olarak, formül (1.3)'e göre elimizde: , yani. .

Olasılıkların geometrik tanımı

Olasılığın geometrik tanımı, deneyin sonuçlarının eşit derecede mümkün olduğu ve PES'in sonsuz sayılamayan bir küme olduğu durumlarda kullanılır. Düzlemde alanı olan ve Ω bölgesinin içinde olan bir Ω bölgesini ele alalım. , bölge D alanlı SD(bkz. Şekil 6).

Ω bölgesinde rastgele bir nokta seçiliyor X. Bu seçim şu şekilde yorumlanabilir. bir noktaya değinmek X bölgeyeΩ. Bu durumda bir noktanın Ω bölgesine girişi güvenilir bir olaydır. D- rastgele. Ω bölgesinin tüm noktalarının eşit olduğu varsayılır (tüm temel olaylar eşit derecede mümkündür), yani. atılan bir noktanın Ω bölgesindeki herhangi bir noktaya çarpabileceği ve bu bölgeye girme olasılığı D bu alanın alanıyla orantılıdır ve konumuna ve şekline bağlı değildir. Olaya izin verin, yani. Atılan nokta alana düşecek D.

Göreceli frekans. Bağıl frekans kararlılığı

Göreli frekans, olasılık ile birlikte olasılık teorisinin temel kavramlarına aittir.

Bağıl frekans olaylar, olayın meydana geldiği deneme sayısının gerçekte gerçekleştirilen toplam deneme sayısına oranıdır. Böylece A olayının bağıl sıklığı aşağıdaki formülle belirlenir:

burada m olayın meydana gelme sayısıdır, n ise toplam deneme sayısıdır.

Olasılık ve göreceli sıklık tanımlarını karşılaştırdığımızda şu sonuca varıyoruz: Olasılığın tanımı testlerin gerçekten yapılmasını gerektirmez; bağıl frekansın belirlenmesi, testlerin gerçekten gerçekleştirildiğini varsayar. Başka bir deyişle olasılık deneyden önce, bağıl frekans ise deneyden sonra hesaplanır.

Örnek 1. Denetim departmanı rastgele seçilmiş 80 parçadan oluşan bir partide 3 standart dışı parça buldu. Standart olmayan parçaların göreceli görülme sıklığı

Örnek 2. Hedefe 24 el ateş edildi ve 19 isabet kaydedildi. Göreceli hedef isabet oranı

Uzun vadeli gözlemler, eğer deneyler, her birinde test sayısı yeterince fazla olan aynı koşullar altında yapılırsa, bağıl frekansın kararlılık özelliği sergilediğini göstermiştir. Bu mülk farklı deneylerde bağıl frekansın çok az değiştiği (ne kadar az olursa, o kadar çok test yapılır), belirli bir sabit sayı etrafında dalgalandığı. Bu sabit sayının olayın gerçekleşme olasılığı olduğu ortaya çıktı.

Dolayısıyla, eğer bağıl frekans deneysel olarak belirlenirse, elde edilen sayı yaklaşık bir olasılık değeri olarak alınabilir.

Göreceli frekans ve olasılık arasındaki ilişki aşağıda daha ayrıntılı ve daha kesin bir şekilde açıklanacaktır. Şimdi kararlılık özelliğini örneklerle açıklayalım.

Örnek 3.İsveç istatistiklerine göre, 1935 yılı için aylara göre kız doğumlarının göreceli sıklığı aşağıdaki sayılarla karakterize edilir (sayılar Ocak ayından başlayarak ay sırasına göre düzenlenmiştir): 0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0.473.

Göreceli sıklık 0,482 civarında dalgalanıyor ve bu da kız çocuk sahibi olma olasılığı için yaklaşık bir değer olarak alınabiliyor.

Farklı ülkelerden gelen istatistiksel verilerin yaklaşık olarak aynı bağıl frekans değerini verdiğini unutmayın.

Örnek 4. Yazı-tura atma deneyleri birçok kez yapıldı ve “armanın” kaç kez ortaya çıktığı sayıldı. Çeşitli deneylerin sonuçları tabloda verilmiştir. 1.

Burada bağıl frekanslar 0,5 sayısından biraz sapmaktadır ve test sayısı arttıkça akım daha azdır. Örneğin 4040 denemede sapma 0,0069, 24.000 denemede ise yalnızca 0,0005'tir. Yazı tura atıldığında "armanın" ortaya çıkma olasılığının 0,5 olduğunu hesaba katarsak, yine göreli sıklığın olduğunu görüyoruz. olasılık etrafında dalgalanır.

Klasik tanımla, bir olayın olasılığı P(A)=m/n eşitliğiyle belirlenir; burada m, A olayının meydana gelmesine uygun temel test sonuçlarının sayısıdır; n, olası temel test sonuçlarının toplam sayısıdır.

Temel sonuçların tam bir grup oluşturduğu ve eşit derecede mümkün olduğu varsayılmaktadır.

A olayının bağıl sıklığı: W(A)=m/n, burada m, A olayının meydana geldiği denemelerin sayısıdır; n, gerçekleştirilen toplam test sayısıdır.

İstatistiksel olarak belirlenirken bir olayın olasılığı, o olayın bağıl sıklığı olarak alınır.

Örnek: İki zar atılıyor. Atılan kenarlardaki puanların toplamının çift olması ve zarlardan en az birinin yanında altı gelmesi olasılığını bulun.

Çözüm: “İlk” zarın düşen tarafında bir puan,..., altı puan görünebilir. "İkinci" zar atıldığında benzer altı temel sonuç mümkündür. Böylece “birinci”yi atmanın sonuçlarının her biri “ikinciyi” atmanın sonuçlarıyla birleştirilebilir. temel test sonuçlarının toplam sayısı 6*6=36'dır. Bu sonuçlar tam bir grup oluşturur ve kemiklerin simetrisi nedeniyle eşit derecede mümkündür. Etkinlik için 5 hamle uygundur: 1)6,2;2)6,4;3)6,6;4)2,6;5)4,6;

Gerekli olasılık: P(A)=5/36

İlgilendiğiniz bilgileri bilimsel arama motoru Otvety.Online'da da bulabilirsiniz. Arama formunu kullanın:

Konu 3 hakkında daha fazla bilgi. Göreli frekans. Bağıl frekansların kararlılığı. Olasılığın istatistiksel tanımı:

1. 4. Olasılığın klasik tanımı. Bir olayın göreceli görülme sıklığı. İstatistiksel olasılık. Geometrik olasılık.
2. 27. Numunenin istatistiksel olarak belirlenmesi. Varyasyon serileri ve bunların grafiksel gösterimi. Frekansların çokgeni ve histogramı (göreceli frekanslar).
3. 39. Bir aralık varyasyon serisinin oluşturulması. Frekansların ve bağıl frekansların histogramı.
4. 4. Bağımsız testlerde bağıl frekansın sabit olasılıktan sapma olasılığı