Olası kombinasyon Olasılık teorisi ve matematiksel istatistik

KENDİNİ KONTROL İÇİN PRATİK GÖREVLER
Kombinatorik
1, 3, 5, 7, 9 rakamlarından, sayıda tek bir rakamın tekrarlanmaması koşuluyla kaç farklı beş basamaklı sayı oluşturulabilir?

Çekilişe 7 takımın katılması durumunda üç ödülün dağıtılması için kaç seçenek vardır?

Grupta 33 kişi varsa, iki öğrenci konferansa kaç farklı şekilde seçilebilir?

Denklemleri çöz
a) 13 EMBED Denklemi.3 1415. b) 13 EMBED Denklemi.3 1415.
0, 1, 2, 5, 7 rakamlarından, her sayının aynı rakamları içermemesi şartıyla, 5'e bölünebilen kaç tane dört basamaklı sayı oluşturulabilir?

15 kişilik bir gruptan bir ustabaşı ve 4 ekip üyesi seçilmelidir. Bu kaç farklı şekilde yapılabilir?

Mors kodu harfleri sembollerden (noktalar ve çizgiler) oluşur. Her harfin en fazla beş karakter içermesini şart koşarsanız kaç harf çizebilirsiniz?

Yedi farklı renkteki şeritlerden dört renkli şeritler kaç farklı şekilde yapılabilir?

Dokuz aday arasından dört farklı pozisyona dört kişi kaç farklı şekilde seçilebilir?

6 karttan 3'ünü kaç farklı şekilde seçebilirsiniz?

Mezuniyet öncesinde 30 kişilik bir grup öğrenci fotoğraf alışverişinde bulundu. Kaç adet fotoğraf kartı dağıtıldı?

10 misafir bir sofraya 10 yere kaç farklı şekilde oturabilir?

Tek turlu bir şampiyonada 20 futbol takımı kaç oyun oynamalıdır?

Her takımda 6 kişi olmak üzere 12 kişi takımlara kaç farklı şekilde dağıtılabilir?

Olasılık teorisi
Torbanın içinde 7 kırmızı ve 6 mavi top bulunmaktadır. Torbadan aynı anda iki top çekiliyor. Her iki topun da kırmızı olma olasılığı nedir (A olayı)?

Dokuz farklı kitap bir rafa rastgele dizilmiştir. Dört belirli kitabın yan yana yerleştirilme olasılığını bulun (C olayı).

10 biletten 2'si kazanıyor Rastgele alınan 5 biletten birinin kazanma olasılığını belirleyin.

Bir kart destesinden (52 kart) rastgele 3 kart çekiliyor. Üç, yedi ve as olma olasılığını bulun.

Bir çocuk bölünmüş alfabenin beş harfiyle oynuyor: A, K, R, Sh, Y. Harfler rastgele bir sıraya dizildiğinde "Çatı" kelimesini alma olasılığı nedir?

Kutuda 6 beyaz ve 4 kırmızı top vardır. Rastgele iki top alınıyor. Aynı renk olma olasılığı nedir?

Birinci torbada 6 siyah ve 4 beyaz top, ikinci torbada ise 5 siyah ve 7 beyaz top bulunmaktadır. Her torbadan bir top çekiliyor. Her iki topun da beyaz olma olasılığı nedir?

Rastgele değişken, matematiksel beklenti ve rastgele değişkenin varyansı
Tek atışta isabet olasılığı 0,4 ise, altı atışta hedefe isabet eden isabet sayısı için bir dağılım kanunu çizin.

Bir öğrencinin ihtiyacı olan kitabı kütüphanede bulma olasılığı 0,3'tür. Şehirde dört kütüphane varsa ziyaret edeceği kütüphane sayısına göre bir dağıtım kanunu çizin.

Avcı, ilk vuruşa kadar oyuna ateş eder, ancak en fazla dört atış yapmayı başarır. Hedefi tek atışta vurma olasılığı 0,7 ise, ıskalama sayısının varyansını bulun.

Dağılım yasası tablo tarafından veriliyorsa, X rastgele değişkeninin matematiksel beklentisini bulun:

X
1
2
3
4

R
0,3
0,1
0,2
0,4

Tesiste dört otomatik hat çalışmaktadır. Bir vardiya sırasında ilk satırın ayar gerektirmemesi olasılığı 0,9, ikinci - 0,8, üçüncü - 0,75, dördüncü - 0,7'dir. Vardiya sırasında ayar gerektirmeyecek çizgi sayısının matematiksel beklentisini bulunuz.
Dağılım yasasını bilerek X rastgele değişkeninin varyansını bulun:

X
0
1
2
3
4

R
0,2
0,4
0,3
0,08
0,02

V. CEVAPLAR

Kombinatorik
1. 13 EMBED Denklemi.3 1415. 2. 13 EMBED Denklemi.3 1415. 3. 13 EMBED Denklemi.3 1415. 4. a) 13 EMBED Denklemi.3 1415, 5; b) 13 EMBED Denklemi.3 1415. 5. 13 EMBED Denklemi.3 1415. 6.13 EMBED Denklemi.3 1415. 7. 13 EMBED Denklemi.3 1415. 8. 13 EMBED Denklemi.3 1415. 9.13 EMBED Denklemi.3 1415. 10.13 EMBED Denklemi.3 1415. 11. 13 EMBED Denklemi.3 1415. 12. 13 EMBED Denklemi.3 1415. 13. 190. 14. 924.

Olasılık teorisi
1. 13 EMBED Denklemi.3 1415 2.13 EMBED Denklemi.3 1415 3. 13 EMBED Denklemi.3 1415 4. 13 EMBED Denklemi.3 14155. 13 EMBED Denklemi.3 14156.13 EMBED Denklemi.3 1415 7. 13 EMBED Denklemi. 3 1415

Rastgele değişken, bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi ve varyansı.
1.
0
1
2
3
4
5
6

0,046656
0,186624
0,311040
0,276480
0,138240
0,036864
0,004096

2.
1
2
3
4

0,3
0,21
0,147
0,343

3. 13 EMBED Denklemi.3 1415 4. 13 EMBED Denklemi.3 1415 5.13 EMBED Denklemi.3 1415 6.13 EMBED Denklemi.3 1415.

Kök Giriş Eksikliği Yerel Eksikliği Yerel Değerlendirme Yerel Eksiklik Yerel Eksiklik Yerel Eksiklik Yerel Değerlendirme Ana Bağışlı Yerel Değerlendirme Yerel Eksiklik Durumu Ana Bağışlı Yerel Değerlendirme Ana Ekibi Ana Ekonomi Anequation Anequation Anequation Anequation Native

Boyut: piksel

Sayfadan göstermeye başlayın:

Deşifre metni

1 1 Kombinatoriğin temel kavramları 1 Ek Tanım 1'den n'e kadar olan tüm doğal sayıların çarpımına n-faktöriyel denir ve yazılı Örnek 4'ü Hesaplayın! 3! N! 1 3 n 4!-3!= ! 5! Örnek Hesapla! 7! 5! 5!! Bu harflerin üç harfi verilsin: 7 1! Permütasyonlar 5 3 A, B, C ABC / ACB / BCA / CAB / CBA / BAC'ın mümkün olan tüm kombinasyonlarını yapalım (toplam kombinasyonlar) Sadece harf sırasına göre birbirlerinden farklı olduklarını görüyoruz. Tanım N elemanın kombinasyonları birbirlerinden yalnızca elemanların sırasına göre farklılık gösterenlere permütasyon denir. Permütasyonlar n sembolüyle gösterilir; burada n, her permütasyonda yer alan elemanların sayısıdır 3 3! Permütasyonların sayısı n formülü veya faktöriyel kullanılarak hesaplanabilir: n n 1 n 3 1 n n! Yani, formüle göre üç elementin permütasyon sayısı yukarıda tartışılan örneğin sonucuyla örtüşmektedir. 5 0 Örnek Hesapla,! ! !- 5! 5! -1 5! 5! 1 5 0! ! 1! Örnek 1, 3, 4, 5 rakamlarından, sayıda tek bir rakamın tekrarlanmaması koşuluyla kaç farklı beş basamaklı sayı oluşturulabilir?

2 5! Örnek Yarışmaya dört takım katılmıştır. Aralarında yer paylaşımı için kaç seçenek mümkündür? 4! Yerleşimler Dört harf olsun A, B, C, D Sadece iki harften oluşan tüm kombinasyonları oluşturun: AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC Bunu görüyoruz her şey ortaya çıkan kombinasyonlar harf veya sıra bakımından farklılık gösterir (BA ve AB kombinasyonları farklı kabul edilir) Tanım n öğenin m öğelerinin, öğelerin kendisinde veya öğelerin sırasına göre birbirinden farklı olan kombinasyonlarına yerleşim denir. Yerleşimler, her kombinasyondaki n A m n öğe sayısı ile gösterilir; burada m, mevcut tüm öğelerin sayısıdır, A n m m! (mn)! Örnek Çekilişe 7 takım katılırsa, üç ödülün dağıtılması için kaç seçenek vardır? 3 7! 7! A! 4! 10 Örnek 0, 1, 8, 9 rakamlarından kaç farklı dört basamaklı sayı oluşturulabilir? 4 10! 10! A!! Örnek Toplam 8 akademik konu varsa ve bunlardan yalnızca üçü günlük programa dahil edilebiliyorsa, bir gün için kaç program seçeneği oluşturulabilir? 3 8! 8! A! 5! Örnek Beş başvuran için üç kuponun çeşitli profillerdeki sanatoryumlara dağıtılması için kaç seçenek derlenebilir? 3 5! 5! A!!

3 Kombinasyon Tanımı Kombinasyonlar, birbirlerinden en az bir öğe kadar farklılık gösteren m öğelerinin n'ye kadar olası tüm kombinasyonlarıdır (burada m ve n doğal sayılardır ve n

4 Rastgele bir olay, meydana gelme sayısının test sayısına oranıyla karakterize edilebilir; bu olayların her birinde, tüm testlerde aynı koşullar altında meydana gelebilir veya meydana gelmeyebilir. Olasılık teorisi, matematiğin bir dalıdır. Hangi rastgele olguların (olayların) incelendiği ve kitlesel tekrarları sırasında örüntülerin belirlendiği bu örüntüleri kaydetmek ve keşfetmek için bazı temel kavram ve tanımları tanıtacağız. Tanım: Birkaç farklı sonucu olan, gerçekleştirilen herhangi bir eylem, olgu, gözlem. Belirli bir dizi koşula test adı verilir. Örneğin, bir paranın tekrar tekrar atılması, herhangi bir parçanın üretilmesi işlemine test denir. Tanım Bu eylemin veya gözlemin sonucuna, örneğin, rastgele bir olay adı verilir. Yazı tura atıldığında bir sayının ortaya çıkması rastgele bir olaydır, çünkü olmuş olabilir veya olmayabilir. Tanım Tüm olası olaylardan herhangi bir özel olayla ilgileniyorsak, buna istenen olay (veya istenen sonuç) adını vereceğiz. Söz konusu olayların tümü eşit derecede olası, eşit gerçekleşme şansına sahip olanlar olarak değerlendirilecektir. Yani zar atıldığında 1 puan, 3, 4, 5 veya puan ortaya çıkabilir ve bu test sonuçları da eşit derecede mümkündür. Fırsat eşitliği, belirli koşullara bağlı olarak eşitlik, bireysel test sonuçlarının simetrisi anlamına gelir. Olaylar genellikle Latin alfabesinin büyük harfleriyle gösterilir: A, B, C, D Tanım Olaylardan herhangi ikisinin bir arada meydana gelmemesi durumunda olaylar uyumsuz olarak adlandırılır. Belirli bir deney Aksi takdirde olaylara uyumlu denir. Bu nedenle, para atarken sayının görünümü armanın eşzamanlı görünümünü hariç tutar; bu uyumsuz olaylara bir örnektir 4

5 Başka bir örnek ele alalım. Hedefe bir daire, bir eşkenar dörtgen ve bir üçgen çizilsin. Bir atış yapılır. A olayı çembere, B olayı eşkenar dörtgene, C olayı üçgene çarpar. ve C, C ve B tutarsızdır Tanım Belirli bir testte mutlaka meydana geliyorsa olay güvenilir olarak adlandırılır. Örneğin, bir kazan-kazan piyango bileti kazanmak güvenilir bir olaydır Güvenilir olaylar U harfiyle gösterilir. Tanım Bir olay şu durumda imkansız olarak adlandırılır: belirli bir deneyde gerçekleşemez Örneğin, bir zar atıldığında 7 puan almak imkansızdır V harfiyle gösterilen imkansız olay Tanımı Tam bir olaylar sistemi A 1, A, A 3, A n uyumsuz olaylar dizisidir Belirli bir test sırasında bunlardan en az birinin gerçekleşmesi zorunludur. Dolayısıyla, bir oyun zarını atarken bir, iki, üç, dört, beş, altı puan kaybı, tüm bu olaylar olduğundan, tam bir olaylar sistemidir. uyumsuzdur ve bunlardan en az birinin gerçekleşmesi zorunludur. Tanım Eğer tam bir sistem iki olaydan oluşuyorsa, bu tür olaylar zıt olarak adlandırılır ve A ve A olarak gösterilir. Örnek 45 üzerinden bir piyango bileti vardır “b” Olayı A'dır: o bir kazanan ve B olayı da onun kazanan olmamasıdır. Bu olaylar birbiriyle uyumsuz mudur? Örnek Bir kutuda 30 adet numaralı top var Aşağıdaki olaylardan hangisinin imkansız, güvenilir, tersi olduğunu belirleyin: numaralı bir top çıkarıldı (; çift numaralı bir top çıkarıldı (tek numaralı bir top çıkarıldı) (C); numarasız bir top çıkarıldı (D) Hangileri tam bir grup oluşturuyor? Örnek Tek bir zar atışının 1 ila 5 puanla sonuçlanması kesin mi yoksa imkansız mı?

6 Tanım Birkaç olayın toplamı, bir test sonucunda bunlardan en az birinin meydana gelmesinden oluşan bir olaydır. A ve B olaylarının toplamı (A+) ile gösterilir ve A, B veya A olayı anlamına gelir. ve B birlikte meydana gelmiştir. Tanım Çeşitli olayların çarpımı, test sonucunda tüm bu olayların ortaklaşa meydana gelmesinden oluşan bir olaydır. A ve B olaylarının çarpımı şunu ifade eder: AB 3 Bir olayın olasılığının belirlenmesi Rastgele olaylar. farklı olasılıklarla gerçekleşir Bazıları daha sık, diğerleri daha az sıklıkta meydana gelir Bir olayın gerçekleşme olasılıklarını ölçmek için, olay olasılığı kavramı tanıtılır. Tanım A olayının olasılığı, olumlu sonuçların M sayısının toplama oranıdır. tam bir grup oluşturan, eşit derecede olası sonuçların N sayısı: Güvenilir bir olayın olasılığı 1, imkansız 0, rastgele: 0 (1 Bu, olasılığın klasik tanımıdır Bir olayın bağıl frekansı A, deneme sayısının m oranı Toplam n denemede olayın meydana geldiği yer: M N * (Örnek “klinik” kelimesinden rastgele bir harf seçilmiştir) Bunun sesli harf olma olasılığı nedir? K harfi nedir? Sesli harf mi yoksa K harfi mi? Toplam harf 11 Deney sonucunda A olayı sesli harf ortaya çıktı B olayı K harfi ortaya çıktı A olayı beş olay (5 sesli harf), B olayı iki m 5 m (, n 11 n 11 m n 4) Temel teoremler ve olasılık teorisinin formülleri Olasılıkların toplamı teoremi Uyumsuz olaylardan birinin meydana gelme olasılığı, bunların olasılıklarının toplamına eşittir:

7 A A A A A 1 n 1 A n İki ortak olayın toplamının olasılığı A A Zıt olayların olasılıklarının toplamı (1 Tanım A ve B aynı testin iki rastgele olayı olsun. A olayının koşullu olasılığı veya A olayının olasılığı A A B olayının gerçekleşmesi şartıyla sayıdır Gösterim: A B A Olasılık çarpım teoremi İki bağımsız olayın aynı anda meydana gelme olasılığı, bu olayların olasılıklarının çarpımına eşittir A 7

Matematik (BkPL-100) M.P. Kharlamov 2011/2012 akademik yılı, 1. dönem Ders 5. Konu: Kombinatorik, olasılık teorisine giriş 1 Konu: Kombinatorik Kombinatorik, matematiğin bir dalıdır ve

Matematik ve Bilgisayar Bilimleri Bölümü Matematik Uzaktan teknolojileri kullanarak öğrenim gören orta mesleki eğitim öğrencileri için eğitimsel ve metodolojik kompleks Modül 6 Olasılık teorisi ve matematiksel istatistiğin unsurları

BAŞLIK. OLASILIKLARIN TOPLANMASI VE ÇARPLANMASI TEOREMLERİ Rastgele olaylar üzerinde işlemler. Olayların cebiri. Olayların uyumluluğu kavramı. Etkinlik grubunu tamamlayın. Rastgele olayların bağımlılığı ve bağımsızlığı. Koşullu

Ders Olasılık teorisi Temel kavramlar Deney Frekans Olasılık Olasılık teorisi, rastgele olayların örüntülerini inceleyen bir matematik dalıdır.

DERS 3 OLASILIK TEORİSİNE GİRİŞ METODOLOJİK ÖNERİLER MISS 2013 ONAYLADIM: D.E. Kaputkin, Şehirlerin Eğitim Bakanlığı ile yapılan Anlaşmanın uygulanmasına yönelik Eğitim ve Metodoloji Komisyonu Başkanı.

1 BÖLÜM I. OLASILIK TEORİSİ BÖLÜM 1. 1. Kombinatoriğin Elemanları Tanım 1. Örnekler: Tanım. -faktöriyel,! ve! ile gösterilen bir sayıdır. = 1** * tüm doğal sayılar için 1, ; Ayrıca,

1) Sadece iki rakamı beşten küçük olan üç basamaklı kaç doğal sayı vardır? 5'ten küçük sadece beş rakam var: ( 0; 1; 2; 3; 4 ) Geriye kalan beş rakam en az 5: ( ; ; ; ; ) 1. çözüm yöntemi

Ders 3 Konu Olasılık teorisinin temel teoremleri ve formülleri Konu içeriği Olayların cebiri. Olasılık toplama teoremleri. Koşullu olasılık. Olasılık çarpım teoremleri. Toplam olasılık formülü.

Dersin Konusu: OLAYLARIN CEBRİ OLASILIK İLE İLGİLİ TEMEL TEOREMLER Olayların Cebiri Olayların toplamı, en az birinin oluşmasından oluşan S = + olayıdır. Olayların çarpımına denir.

Yüksek Matematik Bölümü Olasılık teorisi ve matematiksel istatistik üzerine dersler. Olasılık teorisi Olasılık teorisinin konusu, homojen kütlelerdeki belirli kalıpların incelenmesidir.

İÇİNDEKİLER KONU III. OLASILIK TEORİSİNE GİRİŞ... 2 1. KAYNAKLAR... 2 1.1. TEMEL KAVRAMLAR VE TANIMLAR... 2 1.2. RASTGELE OLAYLARA İLİŞKİN EYLEMLER... 4 1.3. KLASİK TANIM

Ders 2. Olasılıkların toplanması ve çarpımı teoremleri Bir olayın toplamı ve çarpımı Birkaç olayın toplamı veya birleşimi, bunlardan en az birinin meydana gelmesinden oluşan bir olaydır

FEDERAL DEVLET BÜTÇE EĞİTİM YÜKSEK MESLEKİ EĞİTİM KURUMU "Çelyabinsk Devlet Kültür ve Sanat Akademisi" Bilişim Bölümü OLASILIK TEORİSİ

RASTGELE BİR OLAYIN OLASILIĞI Kolmogorov'un aksiyomları 1933'te A. N. Kolmogorov, “Olasılık Teorisinin Temel Kavramları” adlı kitabında olasılık teorisi için aksiyomatik bir gerekçe verdi. "Bu şu anlama gelir: daha sonra

KUZEY BÖLGE EĞİTİM BÖLÜMÜ ÇALIŞMA PROGRAMI Olasılık teorisi ve istatistik dersi Kullanılan öğretim yardımcıları: Ders Kitabı: Tyurin Yu.N. ve diğerleri Olasılık teorisi ve istatistik. M., MTsNMO: JSC

Federal Eğitim Ajansı Devlet yüksek mesleki eğitim eğitim kurumu "ULUSAL ARAŞTIRMA TOMSK POLİTEKNİK ÜNİVERSİTESİ" TEORİ ÜZERİNE DERS

KOMBİNATÖR OLASILIK Konu 5 IT Akadeemia'nın desteğiyle yapılan çeviri Ders içeriği 1 Giriş 2 3 4 Sonraki paragraf 1 Giriş 2 3 4 Sorun... Sorun... Sorun... ... ve çözümü: Kız

DERS BİR OLAYIN OLASILIĞININ BELİRLENMESİ Bir olayın olasılığı, olasılık teorisinin temel kavramlarını ifade eder ve bir olayın meydana gelmesinin nesnel olasılığının ölçüsünü ifade eder. Pratik faaliyetler için önemlidir.

I Olasılığın tanımı ve hesaplanmasına ilişkin temel kurallar Olasılık deneyi Olasılık teorisinin konusu Deneyin sonuçları, bir dereceye kadar bir dizi koşula bağlıdır.

Chudesenko'nun problem kitabı, olasılık teorisi, seçenek İki zar atılıyor. Aşağıdaki olasılıkları belirleyin: a noktaların sayısının toplamı N'yi aşmaz; b puan sayısının çarpımı N'yi aşmaz; V

Derleyen: Tıbbi ve Biyolojik Fizik Bölümü Doçenti Romanova N.Yu. Olasılık teorisi 1 ders Giriş. Olasılık teorisi, rastgele olayların kalıplarını inceleyen bir matematik bilimidir.

MVDubatovskaya Olasılık teorisi ve matematiksel istatistik Ders 3 Olasılıkları belirleme yöntemleri 0 Olasılıkların klasik belirlenmesi Bir deneyin olası sonuçlarından herhangi birine temel adını vereceğiz

Ders 3 Konu Olasılık teorisinin temel teoremleri ve formülleri Konu içeriği Olayların cebiri. Olasılık toplama teoremleri. Koşullu olasılık. Olasılık çarpım teoremleri. Cebirin temel kategorileri

Ders 1. Konu: OLASILIĞIN BELİRLENMESİNDE TEMEL YAKLAŞIMLAR Olasılık teorisinin konusu. Tarihsel arka plan Olasılık teorisinin konusu, büyük, homojen koşullar altında ortaya çıkan kalıpların incelenmesidir.

M.P. Kharlamov http://vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Notlar Olasılık teorisi ve matematiksel istatistik İlk bölümün kısa notları (sorular ve cevaplar) Fizik ve Matematik Doktoru. Bilim Profesörü Mikhail Pavlovich Kharlamov

Olasılık teorisi Ders planı P Bir bilim olarak olasılık teorisi hakkında P Olasılık teorisinin temel tanımları P Rasgele bir olayın frekansı Olasılığın tanımı P 4 Kombinatoriklerin saymaya uygulanması

Olasılık teorisinin unsurları Rastgele olaylar Deterministik süreçler Bilim ve teknolojide, sonuçları güvenle tahmin edilebilecek süreçler dikkate alınır: İletkenin uçlarına bir fark uygulanırsa

KONU 1 Kombinatorik Olasılıkların Hesaplanması Problem 1B Ulusal futbol kupasına 17 takım katılıyor Altın, gümüş ve bronz madalyaları dağıtmanın kaç yolu var? O zamandan beri

( σ-cebir - rastgele olaylar alanı - Kolmogorov aksiyomlarının birinci grubu - Kolmogorov aksiyomlarının ikinci grubu - olasılık teorisinin temel formülleri - olasılık toplama teoremi - koşullu olasılık

Olasılık teorisinin temelleri Ders 2 İçindekiler 1. Koşullu olasılık 2. Olayların çarpımının olasılığı 3. Olayların toplamının olasılığı 4. Toplam olasılık formülü Bağımlı ve bağımsız olaylar Tanım

N. G. TAKTAROV OLASILIK TEORİSİ VE MATEMATİKSEL İSTATİSTİK: ÖRNEKLER VE ÇÖZÜMLER İLE KISA BİR DERS Metin düzeltilip eklenmiştir ÖZET Kitap kısaca basit ve anlaşılır olduğu bir ders kitabıdır.

Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı Federal Devlet Bütçe Yüksek Mesleki Eğitim Kurumu "Saratov Devlet Sosyo-Ekonomik Üniversitesi"

Olasılık teorisi ve matematiksel istatistikteki problemler. Rastgele olaylar Görevi. N adet üründen oluşan bir partide, ürünlerde gizli bir kusur bulunmaktadır. Rastgele alınan k adet üründen rastgele alınma olasılığı nedir?

OLASILIK TEORİSİ. GÖREVLER. İçindekiler (konuya göre) 1. Olasılığın klasik belirlenmesi için formül. Kombinatorik elemanları. Geometrik olasılık 4. Olaylar üzerinde işlemler. Toplama ve çarpma teoremleri

Kombinatoryal formüller N elemandan oluşan bir küme olsun. Bunu U n olarak gösterelim. n elemanın permütasyonu U n kümesinde belirli bir sıradır. Permütasyon örnekleri: 1) dağılım

5. BÖLÜM OLASILIK TEORİSİNİN UNSURLARI 5 Olasılık teorisinin aksiyomları Çeşitli olaylar şu şekilde sınıflandırılabilir:) İmkansız olay, gerçekleşmesi mümkün olmayan olay) Kesin olay

PRATİK Kombinatoriğin temel formülleri Olay türleri Olaylar üzerindeki eylemler Klasik olasılık Geometrik olasılık Kombinatoriğin temel formülleri Kombinatorik, kombinasyon sayılarını inceler,

Toplam olasılık formülü. Aşağıdaki özelliklere sahip bir H 1, H 2,..., H n olay grubu olsun: 1) Tüm olaylar ikili olarak uyumsuzdur: H i H j =; i, j=1,2,...,n; ij 2) Sendika biçimleri

RUSYA FEDERASYONU EĞİTİM BAKANLIĞI IVANOVSK DEVLET ENERJİ ÜNİVERSİTESİ YÜKSEK MATEMATİK BÖLÜMÜ OLASILIK TEORİSİNE İLİŞKİN METODOTİK TALİMATLAR Derleyen:

RUSYA FEDERASYONU KÜLTÜR BAKANLIĞI FEDERAL DEVLET BÜTÇE EĞİTİM YÜKSEK MESLEKİ EĞİTİM KURUMU "ST. PETERSBURG DEVLET SİNEMA ÜNİVERSİTESİ VE

Olasılık teorisi ve matematiksel istatistik Fizik ve Matematik Doktoru. Bilim Profesörü Mikhail Pavlovich Kharlamov Öğretim materyalleri içeren “Sayfa” http://inter.vags.ru/hmp RANEPA'nın Volgograd şubesi (FGOU)

Vorobiev V.V. Kalachinsk "Lyceum", Omsk Bölgesi Olasılık teorisi ve matematiksel istatistikteki problemlerin çözümü üzerine çalıştay, olasılık teorisi ve istatistik konularının incelenmesinde önemli bir rol oynamaktadır.

Olasılık teorisi ve matematiksel istatistik Fizik ve Matematik Doktoru. Bilim Profesörü Mikhail Pavlovich Kharlamov Öğretim materyallerinin bulunduğu “Sayfa” http://vlgr.ranepa.ru/pp/hmp RANEPA'nın Volgograd şubesi

OLASILIK TEORİSİ. RASTGELE DEĞİŞKENLERİN DAĞILIMI Atama. Doğru cevabı seçin:. Rastgele bir olay olan A'nın bağıl sıklığı şuna eşit bir değerdir: a) olumlu durumların sayısının oranı

OLASILIK TEORİSİNİN TEMEL KAVRAMLARI. 3.1. Rastgele olaylar. Her bilim, maddi dünyanın fenomenlerini incelerken, aralarında zorunlu olarak temel olanların da bulunduğu belirli kavramlarla çalışır;

Yüksek mesleki eğitim Lisans derecesi V. S. Mkhitaryan, V. F. Shishov, A. Yu. Kozlov Olasılık teorisi ve matematiksel istatistik Ders Kitabı Eğitim ve Metodoloji Derneği tarafından Önerilen

İÇİNDEKİLER BÖLÜM I. OLASILIK TEORİSİ Önsöz.................................................. ...................... .... 6 BÖLÜM I. RASTGELE OLAYLAR................................. ........ 7 BÖLÜM 1. Element kombinatoryal analizi..................................

Olasılık teorisi ve matematiksel istatistik Fizik ve Matematik Doktoru. Bilim Profesörü Mikhail Pavlovich Kharlamov Öğretim materyalleri içeren İnternet kaynağı http://www.vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Volgograd şubesi

S cinsinden sistemin kapalı olmaması olayı şu şekilde yazılabilir: S = A 1 A 2 +B = (A 1 + A 2)+B. 2.18. 2.5, 2.6 problemlerini çözmeye benzer şekilde, S = A(B 1 +B 2) C D; S = A + B 1 B 2 + C

Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı FEDERAL DEVLET BÜTÇE EĞİTİM YÜKSEK MESLEKİ EĞİTİM KURUMU "KAZAN ULUSAL ARAŞTIRMA TEKNİK"

OLASILIK TEORİSİ Kombinatorik, çarpım ve toplam kuralları Bir bilim olarak kombinatorik Kombinatorik, sonlu elementlerden elde edilen bir alt kümenin kombinasyonlarını inceleyen bir matematik dalıdır.

Federal Eğitim Ajansı Tomsk Devlet Kontrol Sistemleri ve Radyoelektronik Üniversitesi N. E. Lugina OLASILIK TEORİSİ ÜZERİNE UYGULAMA Ders Kitabı Tomsk 2006 Hakemler: Ph.D.

Ders Rastgele olayların Tanımı. Temel bir sonuç (veya temel bir olay), bir deneyimin herhangi bir basit (yani belirli bir deneyim içinde bölünemeyen) sonucudur. Tüm temel sonuçların kümesi

FEDERAL EĞİTİM AJANSI Devlet yüksek mesleki eğitim eğitim kurumu Ulyanovsk Devlet Teknik Üniversitesi S. G. Valeev S. V. Kurkina Testleri

4. Olasılık teorisi Bu konuyla ilgili test dört görevi içerir. Uygulamaları için gerekli olan olasılık teorisinin temel kavramlarını sunalım. Sorunları çözmek için 50 50 konu hakkında bilgi sahibi olmanız gerekir

“Olasılık ve İstatistik” Bölümü E.M. Udalova. Primorsky bölgesi, okul 579 Olasılık teorisi, bazı rastgele olayların olasılıklarından diğer rastgele olayların olasılıklarını bulmayı sağlayan bir matematik bilimidir.

Problem 1. Bir torbada 40 top var. Çekilen 2 topun beyaz olma olasılığı 7 60'tır. Torbada kaç tane beyaz top vardır? N arasından k öğenin seçilebileceği yolların sayısı C k'dir

4 Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı Yüksek mesleki eğitim devlet eğitim kurumu "Habarovsk Devlet Ekonomi ve Hukuk Akademisi" Bölümü

RUSYA FEDERASYONU EĞİTİM VE BİLİM BAKANLIĞI FEDERAL EĞİTİM AJANSI GOUVPO "Perm Devlet Üniversitesi" Doç. V.V. Morozenko UDC 59. (075.8) Yüksek Matematik Teorisi Bölümü

FEDERAL EĞİTİM AJANSI Devlet yüksek mesleki eğitim eğitim kurumu "Tomsk Politeknik Üniversitesi" L. I. Konstantinova OLASILIK TEORİSİ VE MATEMATİK

Federal Demiryolu Taşımacılığı Ajansı, federal devlet bütçeli yüksek mesleki eğitim kurumu "Sibirya Devlet Üniversitesi" şubesi

Bir matrisin determinantının tanımı Bir kare matris bir A = (a) elemanından oluşur. Böyle bir matrisin determinantı A = det(a) = a'ya eşittir. () a a A kare matrisi 2 2 dört elemandan oluşur A =

TOMSK TEKNİĞİ DEMİRYOLU TAŞIMACILIĞI SGUPS ŞUBESİ BİREYSEL GÖREVLERİN TOPLANMASI “Kombinatorik unsurları. Olasılık Teorisinin Temelleri" disiplini Olasılık Teorisi ve Matematiksel İstatistik

À. Ì. Ïîïîâ, Â. Í. Ñîòíèêîâ ÒÅÎÐÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ È ÌÀÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÀß ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÀ Âûñøàÿ ìàòåìàòèêà äëÿ ýêîíîìèñòîâ Ó ÅÁÍÈÊ ÄËß ÁÀÊÀËÀÂÐÎÂ Ïîä ðåäàêöèåé À. Ì. Ïîïîâà Ðåêîìåíäîâàíî Ó åáíî-ìåòîäè åñêèì öåíòðîì

RUSYA Federal Devleti EĞİTİM VE BİLİM BAKANLIĞI Yüksek Mesleki Eğitim Bütçe Eğitim Kurumu "Ukhta Devlet Teknik Üniversitesi" (USTU) Disiplin Çalıştayı

MVDubatovskaya Olasılık teorisi ve matematiksel istatistik Ders 4 Olasılıkların toplama ve çarpma teoremleri Toplam olasılık formülü Bayes formülü Let ve B uyumsuz olaylar ve olasılıklar olsun

GÖREVLER: 1. Işın üzerinde bulunan 10 ile 15 arasındaki doğal sayılar kümesini küme parantezleri kullanarak yazın. Sayılardan hangisi 0; 10; 11; 12; 15; 50 bu sete ait mi? 2. Kümeyi yazın

FEDERAL EĞİTİM AJANSI Devlet yüksek mesleki eğitim eğitim kurumu "ULUSAL ARAŞTIRMA TOMSK POLİTEKNİK ÜNİVERSİTESİ" L.I. KONSTANTİNOV

Anlatım 5 Konu Bernoulli şeması. Konu içeriği Bernoulli şeması. Bernoulli'nin formülü. Bernoulli'nin planındaki en muhtemel başarı sayısı. Binom rastgele değişkeni. Newton binomunun temel kategorileri, diyagramı

Kombinatoryal problemleri çözme yöntemleri

Olası seçeneklerin numaralandırılması

Basit problemler, çeşitli tablolar ve diyagramlar çizmeden olası seçeneklerin sıradan kapsamlı bir şekilde araştırılmasıyla çözülür.

Görev 1.
1, 2, 3, 4, 5 sayılarından hangi iki basamaklı sayılar yapılabilir?

Cevap: 11, 12, 13, 14, 15, 21, 22, 23, 24, 25, 31, 32, 33, 34, 35, 41, 42, 43, 44, 45, 51, 52, 53, 54, 55.

Görev 2.
Ivanov, Gromov ve Orlov son 100 metre yarışına katılıyor. Ödüllerin dağıtımına ilişkin olası seçenekleri belirtin.

Cevap:
Seçenek1: 1) Ivanov, 2) Gromov, 3) Orlov.
Seçenek2: 1) Ivanov, 2) Orlov, 3) Gromov.
Seçenek 3: 1) Orlov, 2) Ivanov, 3) Gromov.
Seçenek4: 1) Orlov, 2) Gromov, 3) Ivanov.
Seçenek5: 1) Gromov, 2) Orlov, 3) Ivanov.
Seçenek6: 1) Gromov, 2) Ivanov, 3) Orlov.

Görev 3.
Petya, Kolya, Vitya, Oleg, Tanya, Olya, Natasha, Sveta balo salonu dans kulübüne kaydoldu. Bir kız ve bir erkekten oluşan hangi dans çiftleri oluşabilir?

Cevap:
1) Tanya - Petya, 2) Tanya - Kolya, 3) Tanya - Vitya, 4) Tanya - Oleg, 5) Olya - Petya, 6) Olya - Kolya, 7) Olya - Vitya, 8) Olya - Oleg, 9) Natasha - Petya, 10) Natasha - Kolya, 11) Natasha - Vitya, 12) Natasha - Oleg, 13) Sveta - Petya, 14) Sveta - Kolya, 15) Sveta - Vitya, 16) Sveta - Oleg.

Olası seçenekler ağacı

Çeşitli kombinatoryal problemler özel devreler oluşturularak çözülür. Dışarıdan, bu şema bir ağaca benziyor, dolayısıyla yöntemin adı - olası seçenekler ağacı.

Görev 4.
0, 2, 4 sayılarından hangi üç basamaklı sayılar yapılabilir?

Çözüm.Sayının ilk rakamının 0 olamayacağını dikkate alarak olası seçeneklerden oluşan bir ağaç oluşturalım.

Cevap: 200, 202, 204, 220, 222, 224, 240, 242, 244, 400, 402, 404, 420, 422, 424, 440, 442, 444.

Görev 5.
Okul turistleri bir dağ gölüne gezi yapmaya karar verdi. Yolculuğun ilk etabı tren veya otobüsle karşılanabilir. İkinci aşama kanoyla, bisikletle veya yürüyerek yapılır. Yolculuğun üçüncü aşaması ise yürüyerek ya da teleferikle gerçekleştiriliyor. Okul turistlerinin olası seyahat seçenekleri nelerdir?

Çözüm.Trenle P, otobüsle - A, kanoyla - B, bisikletle - B, yürüyerek - X, teleferikle - K'yi gösteren olası seçeneklerin bir ağacını oluşturalım.

Cevap:Şekil okul turistleri için olası 12 seyahat seçeneğinin tamamını listelemektedir.

Görev 6.
Konulardan günde beş ders planlamak için olası tüm seçenekleri yazın: matematik, Rusça, tarih, İngilizce, beden eğitimi ve matematik ikinci ders olmalıdır.

Çözüm.M - matematik, R - Rusça, I - tarih, A - İngilizce, F - beden eğitimini gösteren olası seçeneklerden oluşan bir ağaç oluşturalım.

Cevap:Toplamda 24 olası seçenek vardır:

Görev 7.
Sasha okula pantolon veya kot pantolonla gidiyor; yanına gri, mavi, yeşil veya kareli gömlekler giyiyor ve ayakkabı yerine ayakkabı veya spor ayakkabı alıyor.
a) Sasha kaç gün yeni görünebilecek?
b) Kaç gün spor ayakkabı giyecek?
c) Kareli gömlek ve kot pantolonu kaç gün giyecek?

Çözüm.B - pantolon, D - kot pantolon, C - gri gömlek, G - mavi gömlek, Z - yeşil gömlek, P - kareli gömlek, T - ayakkabı, K - spor ayakkabılarını belirten olası seçeneklerden oluşan bir ağaç oluşturalım.

Cevap:a) 16 gün; b) 8 gün; c) 2 gün.

Tabloların derlenmesi

Tabloları kullanarak kombinatoryal problemleri çözebilirsiniz. Olası seçenekler ağacı gibi bunlar da bu tür sorunların çözümünü açıkça temsil ediyor.

Görev 8.
1, 3, 4, 6, 7, 8, 9 rakamlarından kaç tane iki basamaklı tek sayı oluşturulabilir?

Çözüm.Bir tablo yapalım: Soldaki ilk sütun gerekli sayıların ilk rakamları, üstteki ilk satır ise ikinci rakamlardır.

Cevap: 28.

Görev 9.
Masha, Olya, Vera, Ira, Andrey, Misha ve Igor, Yeni Yıl tatilinde sunucu olmaya hazırlanıyorlardı. Yalnızca bir kız ve bir erkek çocuğun liderlik edebilmesi durumunda olası seçenekleri belirtin.

Çözüm.Bir tablo yapalım: Soldaki ilk sütun kız isimleri, üstteki ilk satır ise erkek isimleri.

Cevap:Olası tüm seçenekler tablonun satır ve sütunlarında listelenmiştir.

Çarpma kuralı

Kombinatoryal problemleri çözmenin bu yöntemi, tüm olası seçenekleri listelemenin gerekli olmadığı durumlarda kullanılır, ancak kaç tanesinin var olduğu sorusunu yanıtlamanız gerekir.

Sorun 10.
Futbol turnuvasına birçok takım katılıyor. Hepsinin şort ve tişörtlerinde beyaz, kırmızı, mavi ve yeşil renkler kullandığı ve olası tüm seçeneklerin sunulduğu ortaya çıktı. Turnuvaya kaç takım katıldı?

Çözüm.
Külotlar beyaz, kırmızı, mavi veya yeşil olabilir. 4 seçenek var. Bu seçeneklerin her birinde 4 adet jarse renk seçeneği bulunmaktadır.

4 x 4 = 16.

Cevap: 16 takım.

Sorun 11.
6 öğrenci matematik sınavına giriyor. Listede kaç farklı şekilde sıralanabilirler?

Çözüm.
Listedeki ilk kişi 6 öğrenciden herhangi biri olabilir,
listedeki ikinci kişi kalan 5 öğrenciden herhangi biri olabilir,
üçüncü - kalan 4 öğrenciden herhangi biri,
dördüncü - kalan 3 öğrenciden herhangi biri,
beşinci - kalan 2 öğrenciden herhangi biri,
altıncı - son 1 öğrenci.

6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720.

Cevap: 720 yol.

Sorun 12.
0, 2, 3, 4, 6, 7 rakamlarından kaç tane iki basamaklı çift sayı oluşturulabilir?

Çözüm.
İki basamaklı bir sayının birincisi 5 haneli olabilir (0 rakamı sayının ilk rakamı olamaz), iki basamaklı bir sayının ikincisi 4 haneli olabilir (0, 2, 4, 6, çünkü sayının eşit).
5 x 4 = 20.

Cevap: 20 sayı.

Bölümün incelenmesi sonucunda öğrenci:

Bilmek:

¾ kombinatoriğin temel kavramları;

¾ olasılığın klasik tanımı;

¾ rastgele değişkenin tanımı;

¾ rastgele bir değişkenin matematiksel özellikleri: matematiksel beklenti ve dağılım;

şunları yapabilmek:

¾ bir olayın olasılığını bulmak için problemleri çözmek;

¾ rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisini ve varyansını bulma problemlerini çözebilir.

Kombinatoriğin temel kavramları

Kombinatorik adı verilen matematik dalında kümelerin dikkate alınması ve bu kümelerin elemanlarının çeşitli kombinasyonlarının bileşimi ile ilgili bazı problemler çözülmektedir. Örneğin 0, 1, 2, ..., 9 gibi 10 farklı sayı alıp bunların kombinasyonlarını yaparsak farklı sayılar elde ederiz, örneğin 345, 534, 1036, 5671, 45 vb.

Bu kombinasyonlardan bazılarının yalnızca rakamların sırasına göre (345 ve 534), diğerlerinin - içerdikleri rakamlarda (1036, 5671) ve diğerlerinin de rakam sayısında (345 ve 45) farklılık gösterdiğini görüyoruz.

Böylece ortaya çıkan kombinasyonlar çeşitli koşulları karşılar. Kompozisyon kurallarına bağlı olarak üç tür kombinasyon ayırt edilebilir: yerleştirme, permütasyon ve kombinasyon. Ancak önce faktöriyel kavramıyla tanışacağız.

1'den n'ye kadar olan tüm doğal sayıların çarpımına n - faktöriyel denir.

1. Yerleşimler . m'nin n elemanının düzenlemeleri, elemanların kendilerinde veya düzenlenme sıralarında birbirinden farklı olan bağlantılardır.

Örnek. 1, 2, 3, 4, 5 rakamlarından hiçbiri tekrarlanmamak şartıyla kaç tane iki basamaklı sayı oluşturulabilir?

Çözüm. İki basamaklı sayılar, sayıların kendisinde veya sıralarında birbirinden farklı olduğundan, gerekli miktar, beş öğenin ikili sıralanma sayısına eşittir:

Egzersiz yapmak.Üç pozisyon için sekiz aday arasından üç kişi kaç farklı şekilde seçilebilir?

Cevap: 336.

2. Yeniden düzenlemeler . N elementin permütasyonu, n elementin tümünün, elementlerin sırasına göre birbirinden farklı olan kombinasyonlarıdır.

Örnek. A, B, C olmak üzere üç harf verilsin. Bu harflerden kaç kombinasyon yapabilirsiniz?

Çözüm. Üç elementin permütasyon sayısı şu formül kullanılarak hesaplanabilir: 3! = = 6.

Egzersiz yapmak. 7 kişi 7 yere kaç farklı şekilde oturabilir?

Çözüm. _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Cevap: 5040.

3. Kombinasyonlar . Her biri m olan n elementin kombinasyonları, birbirinden en az bir element farklılık gösteren bileşiklerdir.

Örnek.Sınıfta 30 öğrenci bulunduğuna göre 3 katılımcı kaç farklı şekilde seçilebilir?

Çözüm. 30 öğrenciden 3'ünü seçmeniz gerektiğinden en az bir öğede birbirinden farklı olan kombinasyonlar yapabilirsiniz. 30'a 3'lük kombinasyonlar:

Cevap: 4060.

Egzersiz yapmak. 15 işçiden her biri 5 kişilik ekipler oluşturmak için kaç farklı şekilde kullanılabilir?

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Cevap: 3003.

Kendini kontrol etmeye yönelik sorular

1. Kombinatoriklerin ana görevlerini listeleyin.

2. Permütasyonlara ne denir?

3. n elemanın permütasyonu için bir formül yazın.

4. Yerleşimlere ne denir?

5. n elemanın m'ye göre yerleşim sayısı formülünü yazın.

6. Kombinasyonlara ne denir?

7. m'nin n elemanının kombinasyon sayısı formülünü yazın.

Test görevi

1. 1, 3, 5, 7, 9 rakamlarından, sayıda tek bir rakamın tekrarlanmaması koşuluyla kaç farklı beş basamaklı sayı oluşturulabilir?

2. Çekilişe 7 takımın katılması durumunda üç ödülün dağıtılması için kaç seçenek vardır?

3. Grupta 33 kişi varsa, iki öğrenci konferansa kaç farklı şekilde seçilebilir?

4. Denklemleri çöz

5. 0, 1, 2, 5, 7 rakamlarından, her sayının aynı rakamları içermemesi şartıyla, 5'e bölünebilen kaç tane dört basamaklı sayı oluşturulabilir?

6. 15 kişilik bir gruptan bir ustabaşı ve 4 ekip üyesi seçilmelidir. Bu kaç farklı şekilde yapılabilir?

7. Mors kodu harfleri sembollerden (noktalar ve çizgiler) oluşur. Her harfin en fazla beş karakter içermesini şart koşarsanız kaç harf çizebilirsiniz?

8. Yedi farklı renkteki şeritlerden dört renkli şeritler kaç farklı şekilde yapılabilir?

9. Dokuz aday arasından dört farklı pozisyona dört kişi kaç farklı şekilde seçilebilir?

10. 6 karttan 3'ünü kaç farklı şekilde seçebilirsiniz?

11. Mezuniyet öncesinde 30 kişilik bir grup öğrenci fotoğraf alışverişinde bulundu. Kaç adet fotoğraf kartı dağıtıldı?

12. 10 misafir bir sofraya 10 yere kaç farklı şekilde oturabilir?

13. Tek turlu bir şampiyonada 20 futbol takımı kaç oyun oynamalıdır?

14. Her takımda 6 kişi olmak üzere 12 kişi takımlara kaç farklı şekilde dağıtılabilir?

Olasılık teorisi

1. Torbanın içinde 7 kırmızı ve 6 mavi top bulunmaktadır. Torbadan aynı anda iki top çekiliyor. Her iki topun da kırmızı olma olasılığı nedir (A olayı)?

2. Dokuz farklı kitap bir rafa rastgele dizilmiştir. Dört belirli kitabın yan yana yerleştirilme olasılığını bulun (C olayı).

3. 10 biletten 2'si kazanıyor Rastgele alınan 5 biletten birinin kazanma olasılığını belirleyin.

4. Bir kart destesinden (52 kart) rastgele 3 kart çekiliyor. Üç, yedi ve as olma olasılığını bulun.

5. Bir çocuk bölünmüş alfabenin beş harfiyle oynuyor: A, K, R, Sh, Y. Harfler rastgele bir sıraya dizildiğinde "Çatı" kelimesini alma olasılığı nedir?

6. Kutuda 6 beyaz ve 4 kırmızı top vardır. Rastgele iki top alınıyor. Aynı renk olma olasılığı nedir?

7. Birinci torbada 6 siyah ve 4 beyaz top, ikinci torbada ise 5 siyah ve 7 beyaz top bulunmaktadır. Her torbadan bir top çekiliyor. Her iki topun da beyaz olma olasılığı nedir?

Rastgele değişken, matematiksel beklenti ve rastgele değişkenin varyansı

1. Tek atışta isabet olasılığı 0,4 ise, altı atışta hedefe isabet eden isabet sayısı için bir dağılım kanunu çizin.

2. Bir öğrencinin ihtiyacı olan kitabı kütüphanede bulma olasılığı 0,3'tür. Şehirde dört kütüphane varsa ziyaret edeceği kütüphane sayısına göre bir dağıtım kanunu çizin.

3. Avcı, ilk vuruşa kadar oyuna ateş eder, ancak en fazla dört atış yapmayı başarır. Hedefi tek atışta vurma olasılığı 0,7 ise, ıskalama sayısının varyansını bulun.

4. Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisini bulun X , eğer dağıtım kanunu tablo tarafından veriliyorsa:

5. Tesiste dört otomatik hat çalışmaktadır. Bir vardiya sırasında ilk satırın ayar gerektirmemesi olasılığı 0,9, ikinci - 0,8, üçüncü - 0,75, dördüncü - 0,7'dir. Vardiya sırasında ayar gerektirmeyecek çizgi sayısının matematiksel beklentisini bulunuz.