Çevrimiçi hesap makinesi.
Bir binomun karesini yalnız bırakmak ve bir kare trinomiyi çarpanlara ayırmak.

Onlar. problemler \(p, q\) ve \(n, m\) sayılarını bulmaktan ibarettir

Program sadece sorunun cevabını vermekle kalmıyor, aynı zamanda çözüm sürecini de gösteriyor.

Bu program, genel eğitim okullarındaki lise öğrencileri için test ve sınavlara hazırlanırken, Birleşik Devlet Sınavı öncesinde bilgileri test ederken ve ebeveynler için matematik ve cebirdeki birçok problemin çözümünü kontrol etmek için yararlı olabilir.

Ya da belki bir öğretmen tutmak ya da yeni ders kitapları satın almak sizin için çok mu pahalı? Yoksa matematik veya cebir ödevinizi mümkün olduğu kadar çabuk bitirmek mi istiyorsunuz? Bu durumda detaylı çözümlere sahip programlarımızı da kullanabilirsiniz.

Bu sayede hem kendi eğitiminizi hem de küçük kardeşlerinizin eğitimini yürütebilir, sorun çözme alanındaki eğitim düzeyi de artar.

İkinci dereceden bir trinomiye girme kurallarına aşina değilseniz, bunları öğrenmenizi öneririz.

İkinci dereceden polinom girme kuralları
Herhangi bir Latin harfi değişken görevi görebilir.

Örneğin: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), vb.
Sayılar tam veya kesirli sayı olarak girilebilir.

Üstelik kesirli sayılar yalnızca ondalık sayı biçiminde değil aynı zamanda sıradan kesir biçiminde de girilebilir.
Ondalık kesir girme kuralları.
Ondalık kesirlerde kesirli kısım bütün kısımdan nokta veya virgülle ayrılabilir.

Örneğin ondalık kesirleri şu şekilde girebilirsiniz: 2,5x - 3,5x^2
Sıradan kesirleri girme kuralları.

Yalnızca bir tam sayı bir kesrin pay, payda ve tam sayı kısmı olarak işlev görebilir.

Payda negatif olamaz. /
Sayısal bir kesir girerken pay, paydadan bir bölme işaretiyle ayrılır: &
Parçanın tamamı kesirden ve işaretiyle ayrılır:
Giriş: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2

Sonuç: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\) Bir ifade girerken parantez kullanabilirsiniz
Örneğin: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Ayrıntılı çözüm örneği

Bir binomun karesini ayırma.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \sağ)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \sağ)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Cevap:$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Faktorizasyon.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\sol(x^2+x-2 \sağ) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) ) \sağ) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ Cevap:$$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$

Bu sorunu çözmek için gerekli olan bazı scriptlerin yüklenmediği ve programın çalışmayabileceği tespit edildi.
AdBlock'u etkinleştirmiş olabilirsiniz.
Bu durumda devre dışı bırakın ve sayfayı yenileyin.

Çünkü Sorunu çözmek isteyen çok kişi var, talebiniz sıraya alındı.
Birkaç saniye içinde çözüm aşağıda görünecektir.
Lütfen bekleyin saniye...

eğer sen çözümde bir hata fark ettim, ardından Geri Bildirim Formu'na bu konuda yazabilirsiniz.
unutma hangi görevi belirtin ne olduğuna sen karar ver alanlara girin.

Oyunlarımız, bulmacalarımız, emülatörlerimiz:

Küçük bir teori.

Bir binomun karesini bir kare trinomiyalden ayırma

Eğer kare trinomiyal ax 2 +bx+c a(x+p) 2 +q olarak temsil ediliyorsa, burada p ve q gerçel sayılardır, o zaman şunu söyleriz: kare trinomial, binomun karesi vurgulanır.

Üç terimli 2x 2 +12x+14'ten binomun karesini çıkarıyoruz.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

Bunu yapmak için, 6x'in 2*3*x'in çarpımı olduğunu hayal edin ve ardından 3 2'yi ekleyip çıkarın. Şunu elde ederiz:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

O. Biz kare binomunu kare trinomiyalden çıkarmak ve şunu gösterdi:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

İkinci dereceden bir üç terimliyi çarpanlarına ayırma

Eğer kare trinomiyal ax 2 +bx+c, n ve m'nin gerçel sayılar olduğu a(x+n)(x+m) formunda temsil ediliyorsa, bu durumda işlemin gerçekleştirildiği söylenir. ikinci dereceden bir üç terimlinin çarpanlara ayrılması.

Bu dönüşümün nasıl yapıldığını bir örnekle gösterelim.

İkinci dereceden trinomial 2x 2 +4x-6'yı çarpanlarına ayıralım.

a katsayısını parantezlerin dışına alalım; 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Parantez içindeki ifadeyi dönüştürelim.
Bunu yapmak için 2x'i 3x-1x farkı, -3'ü -1*3 farkı olarak hayal edin. Şunu elde ederiz:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

O. Biz İkinci dereceden üç terimliyi çarpanlara ayırdı ve şunu gösterdi:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

İkinci dereceden bir üç terimliyi çarpanlara ayırmanın yalnızca bu üç terimliye karşılık gelen ikinci dereceden denklemin kökleri olması durumunda mümkün olduğunu unutmayın.
Onlar. bizim durumumuzda, ikinci dereceden 2x 2 +4x-6 =0 denkleminin kökleri varsa, trinomial 2x 2 +4x-6'yı çarpanlara ayırmak mümkündür. Çarpanlara ayırma sürecinde 2x 2 + 4x-6 = 0 denkleminin 1 ve -3 olmak üzere iki kökü olduğunu tespit ettik, çünkü bu değerlerle 2(x-1)(x+3)=0 denklemi gerçek eşitliğe dönüşür.

Tanım

2 x 2 + 3 x + 5 formundaki ifadelere ikinci dereceden üç terimli ifadeler denir. Genel olarak, bir kare trinomial a, b, c a, b, c'nin keyfi sayılar olduğu ve a ≠ 0 olduğu a x 2 + b x + c formunun bir ifadesidir.

İkinci dereceden üç terimli x 2 - 4 x + 5'i düşünün. Bunu şu biçimde yazalım: x 2 - 2 · 2 · x + 5. Bu ifadeye 2 2 ekleyelim ve 2 2'yi çıkaralım, şunu elde ederiz: x 2 - 2 · 2 · x + 2 2 - 2 2 + 5. x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2 olduğuna dikkat edin, yani x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 . Yaptığımız dönüşümün adı “Mükemmel bir kareyi ikinci dereceden bir üç terimliden ayırmak”.

İkinci dereceden üç terimli 9 x 2 + 3 x + 1'den mükemmel kareyi belirleyin.

9 x 2 = (3 x) 2, "3x=2*1/2*3x" olduğuna dikkat edin. Sonra '9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1'. Ortaya çıkan ifadeye `(1/2)^2` ekleyin ve çıkarın, şunu elde ederiz:

`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.

Bir kare trinomiyalden tam kareyi ayırma yönteminin, bir kare trinomial'i çarpanlara ayırmak için nasıl kullanıldığını göstereceğiz.

İkinci dereceden üç terimliyi 4 x 2 - 12 x + 5'e ayırın.

İkinci dereceden üç terimliden tam kareyi seçiyoruz: 2 x 2 - 2 · 2 x · 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2. Şimdi a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) formülünü uygularsak şunu elde ederiz: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x - 1 ).

İkinci dereceden üç terimliyi çarpanlara ayırın - 9 x 2 + 12 x + 5.

9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5. Şimdi 9 x 2 = 3 x 2, - 12 x = - 2 3 x 2 olduğunu fark ediyoruz.

9 x 2 - 12 x ifadesine 2 2 terimini eklersek şunu elde ederiz:

3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2 .

Kareler farkı formülünü uyguladığımızda:

9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) .

İkinci dereceden üç terimliyi 3 x 2 - 14 x - 5'e ayırın.

3 x 2 ifadesini herhangi bir ifadenin karesi olarak gösteremeyiz çünkü bunu henüz okulda öğrenmedik. Bunu daha sonra ele alacaksınız ve Görev No. 4'te karekökleri inceleyeceğiz. Belirli bir ikinci dereceden üç terimliyi nasıl çarpanlara ayırabileceğinizi gösterelim:

`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3) ^2-5/3)=`

`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^ 2-8/3)^2)=`

`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1) '.

İkinci dereceden bir üç terimlinin en büyük veya en küçük değerini bulmak için tam kare yöntemini nasıl kullanacağınızı size göstereceğiz.
İkinci dereceden üç terimli x 2 - x + 3'ü düşünün. Tam bir kare seçin:

`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. "x=1/2" olduğunda ikinci dereceden üç terimlinin değerinin "11/4" olduğunu ve "x!=1/2" olduğunda "11/4" değerine pozitif bir sayı eklendiğini unutmayın. '11/4'ten büyük bir sayı alın. Böylece ikinci dereceden trinomiyalin en küçük değeri '11/4' olur ve 'x=1/2' olduğunda elde edilir.

İkinci dereceden üç terimlinin en büyük değerini bulun - 16 2 + 8 x + 6.

İkinci dereceden bir üç terimliden tam bir kare seçiyoruz: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7 .

'x=1/4' olduğunda ikinci dereceden trinomiyalin değeri 7 olduğunda ve 'x!=1/4' olduğunda 7 sayısından pozitif bir sayı çıkarıldığında, yani 7'den küçük bir sayı elde ederiz. Böylece 7 sayısı ikinci dereceden trinomiyalin en büyük değeri olup 'x=1/4' ile elde edilir.

`(x^2+2x-15)/(x^2-6x+9)` kesirinin payını ve paydasını çarpanlarına ayırın ve kesri azaltın.

Kesirin paydasının x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2 olduğuna dikkat edin. Tam bir kareyi bir kare trinomiyalden ayırma yöntemini kullanarak kesrin payını çarpanlara ayıralım. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4 ) = (x + 5) (x - 3) .

Bu kesir `((x+5)(x-3))/(x-3)^2` formuna indirgenir, (x - 3) ile indirgendikten sonra `(x+5)/(x-3) elde edilir )`.

Polinom x 4 - 13 x 2 + 36'yı çarpanlarına ayırın.

Bu polinoma tam kareyi yalnız bırakma yöntemini uygulayalım. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^ 2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4='

x aradı

1.2.3. Kısaltılmış çarpma kimliklerini kullanma

Örnek. Faktör x 4 16.

x 4 16x 2 2 42 x 2 4x 2 4x 2x 2x 2 4 .

1.2.4. Bir polinomun köklerini kullanarak çarpanlara ayrılması

Teorem. P x polinomunun kökü x 1 olsun. O zaman bu polinom şu şekilde çarpanlara ayrılabilir: P x x x 1 S x , burada S x derecesi bir eksik olan bir polinomdur

Değerleri dönüşümlü olarak P x ifadesine dönüştürerek x 2'yi elde ederiz.

ifade 0'a dönecek, yani P 2 0, bu da x 2'nin bir çoklu sayının kökü olduğu anlamına gelir.

üye. P x polinomunu x 2'ye bölün.

12x2412x24

P x x 2 x2 x12 x2 x2 3 x4 x12 x2 x x3 4 x3

x2 x3 x4

1.3. Tam bir kare seçme

Tam bir kareyi seçme yöntemi şu formüllerin kullanımına dayanır: a 2 2ab b 2 a b 2 ,a 2 2ab b 2 a b 2 .

Tam bir kareyi izole etmek, belirli bir üç terimlinin, iki terimlinin karesinin toplamı veya farkı ve bazı sayısal veya alfabetik ifadeler olarak temsil edildiği bir kimlik dönüşümüdür.

Bir değişkene göre bir kare trinomial, formun bir ifadesini verir

Daha sonra b x ifadesini 2b x (çarpımın iki katı) olarak temsil ederiz.

Parantez içindeki ifadeye sayıyı ekleyip çıkarıyoruz

2x12 7.

4 ve 2,

1.4. Çeşitli değişkenlerde polinomlar

Tek değişkenli polinomlar gibi çeşitli değişkenlerdeki polinomlar da toplanabilir, çarpılabilir ve doğal kuvvete yükseltilebilir.

Bir polinomun çeşitli değişkenlerde önemli bir kimlik dönüşümü çarpanlara ayırmadır. Burada ortak çarpanı parantez dışına çıkarmak, gruplandırmak, kısaltılmış çarpma özdeşliklerini kullanmak, tam kareyi ayırmak, yardımcı değişkenleri tanıtmak gibi çarpanlara ayırma yöntemleri kullanılır.

1. P x ,y 2x 5 128x 2 y 3 polinomunu çarpanlarına ayırın.

2 x 5128 x 2y 32 x 2x 364 y ​​32 x 2x 4 y x 24 xy 16 y 2.

2. P x ,y ,z 20x 2 3yz 15xy 4xz'yi çarpanlara ayırın. Gruplama yöntemini uygulayalım

20 x2 3 yz15 xy4 xz20 x2 15 xy4 xz3 yz5 x4 x3 y z4 x3 y

4 x3 y5 x z.

3. P x ,y x 4 4y 4'ü çarpanlara ayırın. Tam bir kare seçelim:

x 4y 4x 44 x 2y 24 y 24 x 2y 2x 22 y 2 2 4 x 2y 2

x2 2 y2 2 xy x2 2 y2 2 xy.

1.5. Herhangi bir rasyonel üssü olan bir derecenin özellikleri

Herhangi bir rasyonel üslü bir derece aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1. a r 1a r 2a r 1r 2,

burada a 0;b 0;r 1;r 2 keyfi rasyonel sayılardır.

1.6. Kendi başınıza yapabileceğiniz egzersizler

1. Kısaltılmış çarpma formüllerini kullanarak eylemler gerçekleştirin. 1) bir 52;

2) 3a 72;

3) a nb n2 .

4) 1x3;

7) 8a 2 8a2;

8) a nb ka kb na nb ka kb n.

9) a 2 b a2 2 ab4 b2;

10) a 3a 2 3a 9;

11) a 2b 2a 4a 2b 2b 4. 3

2. Kısaltılmış çarpma kimliklerini kullanarak hesaplayın:

1) 53 2 432 ;

2) 22,4 2 22,32 ;

4) 30 2 2 ;

5) 51 2 ;

6) 99 2 ;

7) 17 2 2 17 23 232 ;

8) 85 2 2 85 15 152 .

3. Kimlikleri kanıtlayın:

1). x 2 13 3x 2 x 12 6x x 1 11x 3 32 2;

2) a 2b 2 2 2 ab 2 a 2b 2 2;

3) a 2 b2 x2 y2 ax by2 bx ay2 .

4. Aşağıdaki polinomları çarpanlarına ayırın:

1) 3 x a2 a2;

2) ac 7 bc3 a21b;

3) 63 m 4n 327 m 3n 445 m 5n 7;

4) 5 b2 c3 2 bc2 k2 k2;

5) 2 x3 y2 3 yz2 2 x2 yz3 z3 ;

6) 24 ax38 bx12 a19b;

7) 25 a 21 b 2q 2;

8) 9 5a 4b 2 64a2;

9) 121n23n2t2;

10) 4 t 2 20 tn 25n 2 36;

11) p46p2k9k2;

12) 16 p 3 q 8 72p 4 q 7 81p 5 q 6;

13) 6x3 36x2 72x48;

14) 15 ax 3 45 ax 2 45 ax 15 a;

15) 9 a 3 n 1 4.5a 2 n 1;

16) 5p2nqn15p5nq2n;

17) 4 a 7b 232 a 4b 5;

18) 7x24y2223x28y22;

19) 1000 ton 3 27 ton 6 .

5. En basit şekilde hesaplayın:

1) 59 3 413 ;

2) 67 3 523 67 52. 119

6. Bir polinomun bölümünü ve kalanını bulma P x polinomlaQ x: 1)P x 2x 4 x 3 5;Q x x 3 9x ;

2) P x 2 x 2; Q x x3 2 x2 x; 3) P x x6 1; Qxx4 4x2 .

7. Polinomun olduğunu kanıtlayın x 2 2x 2'nin gerçek kökü yoktur.

8. Polinomun köklerini bulun:

1) x 3 4 x;

2) x 3 3x 2 5x 15.

9. Faktör:

1) 6 a 2 a 5 5a 3;

2) x 2 x 3 2 x 32 4 x 3 3 x 2;

3)x3 6x2 11x6.

10. Tam bir kareyi izole ederek denklemleri çözün:

1)x22x30;

2) x 2 13x 30 0 .

11. İfadelerin anlamlarını bulun:

1254

3) 5 3 25 7 ;

4) 0,01 2 ;

5) 06 .

12. Hesaplayın:

16 0,25

16 0,25

Bu derste, bir polinomu çarpanlara ayırma konusunda daha önce incelenen tüm yöntemleri hatırlayacağız ve bunların uygulama örneklerini ele alacağız, ayrıca yeni bir yöntemi inceleyeceğiz - tam bir kareyi ayırma yöntemini ve bunun çeşitli problemleri çözmede nasıl kullanılacağını öğreneceğiz . Ders:Polinomları çarpanlara ayırma Ders:Polinomların çarpanlarına ayrılması. Tam bir kare seçme yöntemi. Yöntemlerin kombinasyonu Daha önce incelenen bir polinomu çarpanlara ayırmanın temel yöntemlerini hatırlayalım: Ortak bir faktörü, yani polinomun tüm terimlerinde mevcut olan bir faktörü parantezlerin dışına çıkarma yöntemi. Bir örneğe bakalım: Tek terimlinin kuvvetlerin ve sayıların çarpımı olduğunu hatırlayın. Örneğimizde her iki terimin de bazı ortak, aynı unsurları vardır. O halde, ortak çarpanı parantezlerden çıkaralım: ; Çıkarılan faktörü parantezle çarparak çıkarılan faktörün doğruluğunu kontrol edebileceğinizi hatırlatalım. Gruplandırma yöntemi. Bir polinomda ortak bir çarpanı çıkarmak her zaman mümkün değildir. Bu durumda, üyelerini gruplara öyle bir şekilde ayırmanız gerekir ki, her grupta ortak bir faktör çıkarıp onu parçalara ayırmaya çalışabilirsiniz, böylece gruplardaki faktörler çıkarıldıktan sonra, grupta ortak bir faktör ortaya çıkar. ifadenin tamamını ve ayrıştırmaya devam edebilirsiniz. Bir örneğe bakalım: Birinci terimi dördüncüyle, ikinciyi beşinciyle ve üçüncüyü altıncıyla gruplayalım: Gruplardaki ortak faktörleri çıkaralım: İfadenin artık ortak bir çarpanı var. Hadi çıkaralım: Kısaltılmış çarpma formüllerinin uygulanması. Bir örneğe bakalım: ; İfadeyi ayrıntılı olarak yazalım: Açıkça önümüzde kare farkının formülü var, çünkü bu iki ifadenin karelerinin toplamıdır ve bunların çift çarpımı bundan çıkarılır. Formülü kullanalım: Bugün başka bir yöntem öğreneceğiz; tam kare seçme yöntemini. Toplamın karesi ve farkın karesi formüllerine dayanmaktadır. Onlara şunu hatırlatalım: Toplamın karesi formülü (fark); Bu formüllerin özelliği, iki ifadenin karelerini ve bunların çift çarpımını içermeleridir. Bir örneğe bakalım: İfadeyi yazalım: Yani ilk ifade , ikincisi ise . Bir toplamın veya farkın karesi için formül oluşturmak için ifadelerin çarpımının iki katı yeterli değildir. Eklenmesi ve çıkarılması gerekir: Toplamın karesini tamamlayalım: Ortaya çıkan ifadeyi dönüştürelim: Kareler farkı formülünü uygulayalım, iki ifadenin kareleri farkının, farklarının çarpımı ve toplamı olduğunu hatırlayalım: Yani bu yöntem öncelikle a ve b'nin karesi olan ifadelerin belirlenmesinden, yani bu örnekte hangi ifadelerin karesinin alındığının belirlenmesinden oluşur. Bundan sonra, ikiye katlanmış bir çarpımın varlığını kontrol etmeniz gerekir ve eğer orada değilse, ekleyin ve çıkarın, bu örneğin anlamını değiştirmez, ancak polinom, kare formülleri kullanılarak çarpanlara ayrılabilir. mümkünse karelerin toplamı veya farkı ve farkı. Örneklerin çözümüne geçelim. Örnek 1 - çarpanlara ayırma: Karesi alınmış ifadeleri bulalım: Çifte çarpımlarının ne olması gerektiğini yazalım: Çarpımın iki katını toplayıp çıkaralım: Toplamın karesini tamamlayıp benzerlerini verelim: Bunu kareler farkı formülünü kullanarak yazalım: Örnek 2 - denklemi çözün: ; Denklemin sol tarafında bir üç terimli var. Bunu faktörlere ayırmanız gerekir. Kare fark formülünü kullanıyoruz: Birinci ifadenin karesi ve çift çarpımı elimizde, ikinci ifadenin karesi eksik, toplayıp çıkaralım: Tam bir kareyi katlayalım ve benzer terimleri verelim: Kareler farkı formülünü uygulayalım: Yani denklemimiz var Bir çarpımın sıfıra eşit olduğunu ancak faktörlerden en az birinin sıfıra eşit olması durumunda biliyoruz. Buna dayanarak aşağıdaki denklemleri oluşturalım: İlk denklemi çözelim: İkinci denklemi çözelim: Cevap: veya ; Önceki örneğe benzer şekilde ilerliyoruz - farkın karesini seçiyoruz. Daha önce de belirttiğim gibi, integral hesabında bir kesrin integralini almak için uygun bir formül yoktur. Ve bu nedenle üzücü bir eğilim var: Kesir ne kadar karmaşıksa, integralini bulmak da o kadar zor olur. Bu bağlamda, şimdi size anlatacağım çeşitli püf noktalarına başvurmanız gerekiyor. Hazırlıklı okuyucular hemen yararlanabilirler içindekiler: Basit kesirler için diferansiyel işareti alma yöntemi Yapay pay dönüştürme yöntemi Örnek 1 Bu arada, dikkate alınan integral, değişken yönteminin değiştirilmesiyle de çözülebilir, ancak çözümü yazmak çok daha uzun sürecektir. Örnek 2 Belirsiz integrali bulun. Kontrol gerçekleştirin. Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Değişken değiştirme yönteminin artık burada işe yaramayacağını belirtmekte fayda var. Dikkat, önemli! 1, 2 numaralı örnekler tipiktir ve sıklıkla meydana gelir. Özellikle, bu tür integraller sıklıkla diğer integrallerin çözümü sırasında, özellikle de irrasyonel fonksiyonların (köklerin) integrali alınırken ortaya çıkar. Dikkate alınan teknik bu durumda da işe yarar. payın en yüksek derecesi paydanın en yüksek derecesinden büyükse. Örnek 3 Belirsiz integrali bulun. Kontrol gerçekleştirin. Payı seçmeye başlıyoruz. Payı seçme algoritması şuna benzer: 1) Payda düzenlemem gerekiyor ama orada. Ne yapalım? Parantez içine alıp şununla çarpıyorum: . 2) Şimdi bu parantezleri açmaya çalışıyorum, ne oluyor? . Hmm... bu daha iyi, ama başlangıçta payda iki yok. Ne yapalım? Şununla çarpmanız gerekir: 3) Parantezleri tekrar açıyorum: . Ve işte ilk başarı! Doğru çıktı! Ancak sorun şu ki fazladan bir terim ortaya çıktı. Ne yapalım? İfadenin değişmesini önlemek için aynısını yapımıma eklemeliyim: . Hayat kolaylaştı. Payda tekrar düzenleme yapmak mümkün mü? 4) Mümkün. Hadi deneyelim: . İkinci terimin parantezlerini açın: . Üzgünüm ama önceki adımda aslında , yoktu. Ne yapalım? İkinci terimi şu şekilde çarpmanız gerekir: 5) Yine kontrol etmek için ikinci dönemde parantezleri açıyorum: . Artık bu normaldir: 3. noktanın son yapısından türetilmiştir! Ama yine küçük bir "ama" var, fazladan bir terim ortaya çıktı, bu da ifademe eklemem gerektiği anlamına geliyor: Her şey doğru yapılırsa, tüm parantezleri açtığımızda integrandın orijinal payını almamız gerekir. Kontrol ediyoruz: Kapüşon. Böylece: Hazır. Son dönemde bir fonksiyonu diferansiyel altına alma yöntemini kullandım. Cevabın türevini bulursak ve ifadeyi ortak bir paydaya indirgersek, o zaman tam olarak orijinal integrand fonksiyonunu elde ederiz. Bir toplama ayırmanın ele alınan yöntemi, bir ifadeyi ortak bir paydaya getirmenin ters eyleminden başka bir şey değildir. Bu tür örneklerde payı seçmeye yönelik algoritma en iyi şekilde taslak halinde yapılır. Bazı becerilerle zihinsel olarak çalışacaktır. 11. kuvvet için seçim yaparken rekor kıran bir vakayı hatırlıyorum ve payın genişletilmesi Verd'in neredeyse iki satırını kaplıyordu. Örnek 4 Belirsiz integrali bulun. Kontrol gerçekleştirin. Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Basit kesirler için diferansiyel işareti alma yöntemi Sonraki kesir türlerini ele almaya devam edelim. , , , (katsayılar ve sıfıra eşit değildir). Aslında derste arksinüs ve arktanjant ile ilgili birkaç durumdan bahsetmiştik. Belirsiz integralde değişken değişim yöntemi. Bu tür örnekler, fonksiyonun diferansiyel işaret altına alınması ve bir tablo kullanılarak daha da entegre edilmesiyle çözülür. Uzun ve yüksek logaritmalara sahip daha tipik örnekler: Örnek 5 Örnek 6 Burada bir integral tablosu almanız ve hangi formüllerin ve Nasıl dönüşüm gerçekleşir. lütfen aklınızda bulundurun nasıl ve neden Bu örneklerdeki kareler vurgulanmıştır. Özellikle Örnek 6'da öncelikle paydayı şu biçimde temsil etmemiz gerekir: , sonra onu diferansiyel işaretinin altına getirin. Ve standart tablo formülünü kullanmak için tüm bunların yapılması gerekiyor . Neden bakın, özellikle oldukça kısa oldukları için 7, 8 numaralı örnekleri kendiniz çözmeye çalışın: Örnek 7 Örnek 8 Belirsiz integrali bulun: Bu örnekleri de kontrol etmeyi başarırsanız, büyük saygı duyarım; farklılaştırma becerileriniz mükemmeldir. Tam kare seçim yöntemi Formun integralleri (katsayılar ve sıfıra eşit değildir) çözülür tam kare çıkarma yöntemi zaten derste görünen Grafiklerin geometrik dönüşümleri. Aslında bu tür integraller az önce baktığımız dört tablosal integralden birine indirgenebilir. Ve bu, tanıdık kısaltılmış çarpma formülleri kullanılarak elde edilir: Formüller tam olarak bu yönde uygulanıyor, yani yöntemin fikri, ifadeleri paydada yapay olarak düzenlemek ve daha sonra ikisinden birine uygun şekilde dönüştürmektir. Örnek 9 Belirsiz integrali bulun Bu en basit örnek terim – birim katsayısı ile(ve bir sayı veya eksi değil). Paydaya bakalım, burada iş açıkça şansa dönüyor. Paydayı dönüştürmeye başlayalım: Açıkçası, 4 eklemeniz gerekiyor. Ve ifadenin değişmemesi için aynı dördü çıkarın: Artık formülü uygulayabilirsiniz: Dönüşüm tamamlandıktan sonra HER ZAMAN Ters hareketin yapılması tavsiye edilir: her şey yolunda, hata yok. Söz konusu örneğin son tasarımı şöyle görünmelidir: Hazır. Diferansiyel işareti altında "serbest" bir karmaşık fonksiyon varsayılırsa: prensipte ihmal edilebilir Örnek 10 Belirsiz integrali bulun: Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir, cevabı dersin sonundadır. Örnek 11 Belirsiz integrali bulun: Önünde bir eksi olduğunda ne yapmalı? Bu durumda, eksiyi parantezlerden çıkarmamız ve terimleri ihtiyacımız olan sıraya göre düzenlememiz gerekir: . Devamlı(bu durumda “iki”) Dokunma! Şimdi parantez içine bir tane ekliyoruz. İfadeyi analiz ettiğimizde parantezlerin dışına bir tane eklememiz gerektiği sonucuna varıyoruz: İşte formülü alıyoruz, uygulayın: HER ZAMAN Taslağı kontrol ediyoruz: , kontrol edilmesi gereken şey buydu. Temiz örnek şuna benzer: Görevi daha da zorlaştırmak Örnek 12 Belirsiz integrali bulun: Burada terim artık birim katsayı değil, “beş”tir. (1) Eğer bir sabit varsa, o zaman onu hemen parantezlerden çıkarırız. (2) Genel olarak, bu sabiti integralin dışına taşımak, böylece yolunuza çıkmaması her zaman daha iyidir. (3) Açıkçası her şey formüle inecek. Terimi anlamamız gerekiyor, yani “iki”yi elde etmemiz gerekiyor (4) Evet, . Bu, aynı kesiri ifadeye eklediğimiz ve çıkardığımız anlamına gelir. (5) Şimdi tam bir kare seçin. Genel durumda hesaplamamız da gerekir, ancak burada uzun logaritma için bir formülümüz var ve eylemi gerçekleştirmenin bir anlamı yok; neden aşağıda açıklığa kavuşacak. (6) Aslında formülü uygulayabiliriz , yalnızca "X" yerine elimizde var, bu da tablo integralinin geçerliliğini ortadan kaldırmaz. Açıkça söylemek gerekirse, bir adım atlandı; entegrasyondan önce fonksiyonun diferansiyel işaret altında toplanması gerekirdi: ancak defalarca belirttiğim gibi bu genellikle ihmal ediliyor. (7) Kökün altındaki cevapta tüm parantezlerin geriye doğru genişletilmesi tavsiye edilir: Zor? İntegral hesabının en zor kısmı bu değil. Bununla birlikte, ele alınan örnekler iyi hesaplama teknikleri gerektirdiğinden çok karmaşık değildir. Örnek 13 Belirsiz integrali bulun: Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Cevap dersin sonundadır. Paydada kökleri olan ve bir ikame kullanarak dikkate alınan türden integrallere indirgenen integraller vardır; bunlar hakkında makalede okuyabilirsiniz; Karmaşık integraller ancak çok hazırlıklı öğrenciler için tasarlanmıştır. Payın diferansiyel işareti altına alınması Bu dersin son kısmıdır, ancak bu tür integraller oldukça yaygındır! Eğer yorgunsanız, belki yarın okumak daha iyidir? ;) Ele alacağımız integraller önceki paragrafın integrallerine benzer, şu şekildedirler: veya (katsayılar ve sıfıra eşit değildir). Yani artık payda doğrusal bir fonksiyona sahibiz. Bu tür integraller nasıl çözülür? Makaleyi beğendin mi? Arkadaşlarınızla paylaşın! Paylaş Facebook Ayrıca okuyun Yeni okul standartları: Seçim özgürlüğüne ihtiyacımız var mı? Neden gerekli olduğuna dair bilimsel olmayan açıklama Dante'nin "İlahi Komedya"sı Rasputin gerçekte kimdi? Ders özeti "Rusya'nın bilimsel kompleksi" Bilimsel kompleks konusunun kısa özeti NATO'nun doğuya doğru genişlemesi: ilerleme aşamaları NATO ülkelerinin tanklarının kimlik işaretlerinin sunulması Uzunluk birimi - kilometre" Fotoğrafta Dünya'nın ay yörüngesinden bir görünümü gösteriliyor. Tepe