Ayrık bir rastgele değişkenin seri çokgen dağılımı kanunu. Dağıtım kanunu

Dersin olasılık teorisinin temel kavramlarına ayrılan bölümünde, son derece önemli olan rastgele değişken kavramını zaten tanıtmıştık. Burada bu kavramın daha da geliştirilmesini vereceğiz ve rastgele değişkenlerin tanımlanabileceği ve karakterize edilebileceği yolları göstereceğiz.

Daha önce de belirtildiği gibi, rastgele bir değişken, deney sonucunda şu veya bu değeri alabilen, hangisinin önceden bilinmediği bir miktardır. Ayrıca sürekli (kesikli) ve sürekli türlerdeki rastgele değişkenler arasında ayrım yapmayı da kabul ettik. Süreksiz miktarların olası değerleri önceden listelenebilir. Sürekli büyüklüklerin olası değerleri önceden listelenemez ve sürekli olarak belli bir boşluğu doldurur.

Süreksiz rastgele değişken örnekleri:

1) üç yazı tura atıldığında armanın görünme sayısı (olası değerler 0, 1, 2, 3);

2) aynı deneyde armanın ortaya çıkma sıklığı (olası değerler);

3) beş elemandan oluşan bir cihazdaki arızalı elemanların sayısı (olası değerler 0, 1, 2, 3, 4, 5'tir);

4) uçağa onu devre dışı bırakmaya yetecek isabet sayısı (olası değerler 1, 2, 3, ..., n, ...);

5) hava muharebesinde düşürülen uçak sayısı (olası değerler 0, 1, 2, ..., N, savaşa katılan toplam uçak sayısıdır).

Sürekli rastgele değişken örnekleri:

1) ateşlendiğinde çarpma noktasının apsisi (koordinatı);

2) çarpma noktasından hedefin merkezine olan mesafe;

3) yükseklik ölçer hatası;

4) radyo tüpünün hatasız çalışma süresi.

Rastgele değişkenleri büyük harflerle ve bunların olası değerlerini karşılık gelen küçük harflerle belirtmek konusunda aşağıda anlaşalım. Örneğin – üç atışla yapılan vuruşların sayısı; olası değerler: .

Olası değerleri olan süreksiz bir rastgele değişkeni ele alalım. Bu değerlerin her biri mümkündür ancak kesin değildir ve X değeri bunların her birini bir miktar olasılıkla alabilir. Deney sonucunda X değeri bu değerlerden birini alacaktır yani; Uyumsuz olayların tam grubundan biri meydana gelecektir:

Bu olayların olasılıklarını karşılık gelen indekslerle birlikte p harfleriyle gösterelim:

Uyumsuz olaylar (5.1.1) tam bir grup oluşturduğundan,

onlar. bir rastgele değişkenin olası tüm değerlerinin olasılıklarının toplamı bire eşittir. Bu toplam olasılık bir şekilde bireysel değerler arasında dağıtılır. Bu dağılımı belirtirsek, rastgele değişken olasılıksal bir bakış açısıyla tam olarak tanımlanacaktır; Her bir olayın (5.1.1) tam olarak hangi olasılığa sahip olduğunu belirtelim. Bununla rastgele bir değişkenin sözde dağılım yasasını oluşturacağız.

Rastgele bir değişkenin dağılım yasası, bir rastgele değişkenin olası değerleri ile bunlara karşılık gelen olasılıklar arasında bağlantı kuran herhangi bir ilişkidir. Rastgele bir değişkenin belirli bir dağılım yasasına tabi olduğunu söyleyeceğiz.

Süreksiz bir rastgele değişkenin dağılım yasasının belirlenebileceği formu oluşturalım. Bu yasayı belirtmenin en basit şekli, rastgele bir değişkenin olası değerlerini ve bunlara karşılık gelen olasılıkları listeleyen bir tablodur:

Böyle bir tabloya rastgele değişkenin dağılım serisi adını vereceğiz.

Bazen dağıtım serilerinin “mekanik” olarak adlandırılan yorumu uygundur. Bire eşit belirli bir kütlenin apsis ekseni boyunca, kütleler sırasıyla bireysel noktalarda yoğunlaşacak şekilde dağıtıldığını hayal edelim. Daha sonra dağılım serisi, bazı kütlelerin apsis ekseninde yer aldığı bir malzeme noktaları sistemi olarak yorumlanır.

Dağıtım yasalarıyla birlikte süreksiz rastgele değişkenlerin birkaç örneğini ele alalım.

Örnek 1. Olayın görünüp görünmeyebileceği bir deney gerçekleştirilir. Olayın olasılığı 0,3'tür. Rastgele bir değişken dikkate alınır - belirli bir deneyde bir olayın meydana gelme sayısı (yani, bir olayın karakteristik rastgele değişkeni, ortaya çıkarsa 1, görünmüyorsa 0 değerini alır). Bir dağılım serisi ve bir büyüklük dağılım poligonu oluşturun.

Çözüm. Değerin yalnızca iki değeri vardır: 0 ve 1.

Dağıtım poligonu Şekil 2'de gösterilmektedir. 5.1.2.

Örnek 2. Atıcı bir hedefe üç el ateş ediyor. Her atışta hedefi vurma olasılığı 0,4'tür. Her vuruşta atıcı 5 puan alır. Alınan puanların sayısı için bir dağılım serisi oluşturun.

Çözüm. Alınan puan sayısını gösterelim. Olası değerler: .

Bu değerlerin olasılığını deneylerin tekrarı teoremini kullanarak buluyoruz:

Değer dağılım serisi şu şekildedir:

Dağıtım poligonu Şekil 2'de gösterilmektedir. 5.1.3.

Örnek 3. Bir deneyde bir olayın meydana gelme olasılığı eşittir. Olayın ilk ortaya çıkışına kadar devam eden bir dizi bağımsız deney gerçekleştirilir ve sonrasında deneyler durdurulur. Rastgele değişken – gerçekleştirilen deneylerin sayısı. Miktar için bir dağılım serisi oluşturun.

Çözüm. Olası değerler: 1, 2, 3, ... (teorik olarak hiçbir şeyle sınırlı değildirler). Bir niceliğin 1 değerini alabilmesi için olayın ilk deneyde gerçekleşmesi gerekir; bunun olasılığı eşittir. Bir niceliğin 2 değerini alabilmesi için olayın birinci deneyde değil, ikinci deneyde ortaya çıkması gerekir; bunun olasılığı eşittir , nerede , vb. Değer dağılım serisi şu şekildedir:

Bu durum için dağıtım poligonunun ilk beş koordinatı Şekil 1'de gösterilmektedir. 5.1.4.

Örnek 4. Bir atıcı, 4 mermilik mühimmatla ilk vuruşuna kadar hedefe ateş eder. Her atışta isabet olasılığı 0,6'dır. Harcanmamış kalan mühimmat miktarı için bir dağıtım serisi oluşturun.

Çözüm. Rastgele değişkenin - harcanmamış kartuş sayısı - dört olası değeri vardır: 0, 1, 2 ve 3. Bu değerlerin olasılıkları sırasıyla eşittir:

Değer dağılım serisi şu şekildedir:

Dağıtım poligonu Şekil 2'de gösterilmektedir. 5.1.5.

Örnek 5. Teknik bir cihaz çeşitli koşullarda kullanılabilir ve buna bağlı olarak zaman zaman ayar yapılması gerekebilir. Cihaz bir kez kullanıldığında rastgele olarak olumlu ya da olumsuz bir moda girebilir. Uygun modda cihaz, ayar gerektirmeden üç kullanıma dayanabilir; dördüncüsünden önce ayarlanması gerekir. Olumsuz modda, cihazın ilk kullanımdan sonra ayarlanması gerekir. Cihazın olumlu moda düşme olasılığı 0,7, olumsuz duruma düşme olasılığı ise 0,3'tür. Rastgele bir değişken dikkate alınır - ayarlamadan önce cihazın kullanım sayısı. Dağıtım serisini oluşturun.

Çözüm. Rastgele değişkenin üç olası değeri vardır: 1, 2 ve 3. Olasılık, cihazın ilk kez kullanıldığında olumsuz bir moda düşme olasılığına eşittir, yani. . Değerin 2 değerini alabilmesi için cihazın ilk kullanımda uygun modda, ikinci kullanımda ise olumsuz modda olması gerekir; bunun olasılığı . Değerin 3 değerini alması için cihazın ilk iki seferde uygun modda olması gerekir (üçüncü seferden sonra yine ayarlanması gerekecektir). Bunun olasılığı eşittir .

Değer dağılım serisi şu şekildedir:

Dağıtım poligonu Şekil 2'de gösterilmektedir. 5.1.6.

Dağıtım işlevi

Önceki no'da dağılım serisini süreksiz bir rastgele değişkenin kapsamlı bir özelliği (dağılım yasası) olarak tanıtmıştık. Ancak bu özellik evrensel değildir; yalnızca süreksiz rastgele değişkenler için mevcuttur. Sürekli bir rastgele değişken için böyle bir karakteristik oluşturmanın imkansız olduğunu görmek kolaydır. Aslında, sürekli bir rastgele değişken, belirli bir aralığı ("sayılabilir küme" olarak adlandırılan) tamamen dolduran sonsuz sayıda olası değere sahiptir. Böyle bir rastgele değişkenin olası tüm değerlerini listeleyen bir tablo oluşturmak imkansızdır. Üstelik, daha sonra göreceğimiz gibi, sürekli bir rastgele değişkenin her bir bireysel değeri genellikle sıfırdan farklı bir olasılığa sahip değildir. Sonuç olarak, sürekli bir rastgele değişken için, süreksiz bir değişken için mevcut olduğu anlamda bir dağılım serisi yoktur. Bununla birlikte, bir rastgele değişkenin olası değerlerinin farklı alanları hala eşit derecede muhtemel değildir ve sürekli bir değişken için, süreksiz olanla aynı anlamda olmasa da, bir "olasılık dağılımı" vardır.

Bu olasılık dağılımını niceliksel olarak karakterize etmek için olayın olasılık dışılığını ve bazı mevcut değişkenlerin olduğu olayın olasılığını kullanmak uygundur. Bu olayın olasılığı açıkçası bağlıdır, bazı fonksiyonları vardır. Bu fonksiyona rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu adı verilir ve şu şekilde gösterilir:

. (5.2.1)

Dağıtım fonksiyonuna bazen kümülatif dağıtım fonksiyonu veya kümülatif dağıtım yasası da denir.

Dağılım fonksiyonu bir rastgele değişkenin en evrensel özelliğidir. Tüm rastgele değişkenler için mevcuttur: hem süreksiz hem de sürekli. Dağılım fonksiyonu, olasılıksal bir bakış açısıyla rastgele bir değişkeni tam olarak karakterize eder; dağıtım kanununun biçimlerinden biridir.

Dağılım fonksiyonunun bazı genel özelliklerini formüle edelim.

1. Dağılım fonksiyonu argümanının azalmayan bir fonksiyonudur, yani. .

2. Eksi sonsuzda dağılım fonksiyonu sıfıra eşittir: .

3. Artı sonsuzda dağılım fonksiyonu bire eşittir: .

Bu özelliklerin kesin bir kanıtını vermeden, bunları görsel geometrik bir yorum kullanarak açıklayacağız. Bunu yapmak için, deney sonucunda şu veya bu konumu alabilen, Ox ekseninde rastgele bir nokta olarak rastgele bir değişkeni ele alacağız (Şekil 5.2.1). O halde dağılım fonksiyonu, deney sonucunda rastgele bir noktanın noktanın soluna düşme olasılığıdır.

Artıracağız yani noktayı apsis ekseni boyunca sağa kaydıracağız. Açıkçası bu durumda rastgele bir noktanın sola düşme olasılığı azalamaz; bu nedenle dağıtım fonksiyonu arttıkça azalamaz.

Bunu sağlamak için noktayı apsis boyunca süresiz olarak sola taşıyacağız. Bu durumda limitin solunda rastgele bir noktaya çarpmak imkansız bir olay haline gelir; Bu olayın olasılığının sıfıra yakın olduğuna inanmak doğaldır. .

Benzer şekilde, noktayı süresiz olarak sağa kaydırarak, olayın limitte güvenilir hale gelmesinden emin oluruz.

Genel durumda dağılım fonksiyonunun grafiği, değerleri 0'dan başlayıp 1'e ulaşan, azalmayan bir fonksiyonun grafiğidir (Şekil 5.2.2) ve belirli noktalarda fonksiyonun sıçramaları olabilir ( süreksizlikler).

Süreksiz bir rastgele değişkenin dağılım serisini bilerek, bu değişkenin dağılım fonksiyonu kolaylıkla oluşturulabilir. Gerçekten mi,

toplam işaretinin altındaki eşitsizlik, toplamın 'den küçük olan tüm değerler için geçerli olduğunu gösterir.

Akım değişkeni süreksiz değerin olası değerlerinden herhangi birinden geçtiğinde dağılım fonksiyonu aniden değişir ve sıçramanın büyüklüğü bu değerin olasılığına eşit olur.

Örnek 1. Olayın görünüp görünmeyebileceği bir deney gerçekleştirilir. Olayın olasılığı 0,3'tür. Rastgele değişken – bir olayın bir deneyde meydana gelme sayısı (bir olayın karakteristik rastgele değişkeni). Dağıtım fonksiyonunu oluşturun.

Rastgele değişken deney sonucunda önceden bilinmeyen bir değer alan miktardır.

Derste hazır bulunan öğrenci sayısı.

Bu ayda hizmete giren konut sayısı.

Ortam sıcaklığı.

Patlayan bir merminin bir parçasının ağırlığı.

Rastgele değişkenler kesikli ve sürekli olarak ikiye ayrılır.

Ayrık (süreksiz) belirli olasılıklarla birbirinden izole edilmiş ayrı değerler alan rastgele değişken denir.

Ayrık bir rastgele değişkenin olası değerlerinin sayısı sonlu veya sayılabilir olabilir.

Sürekli sonlu veya sonsuz bir aralıktan herhangi bir değer alabilen rastgele değişken olarak adlandırılır.

Açıkçası, sürekli bir rastgele değişkenin olası değerlerinin sayısı sonsuzdur.

Verilen örneklerde: 1 ve 2 ayrık rastgele değişkenler, 3 ve 4 ise sürekli rastgele değişkenlerdir.

Gelecekte “rastgele değişken” kelimeleri yerine sıklıkla c kısaltmasını kullanacağız. V.

Kural olarak, rastgele değişkenler büyük harflerle, olası değerleri ise küçük harflerle gösterilecektir.

Olasılık teorisinin temel kavramlarının küme-teorik yorumunda, rastgele değişken X, temel bir olayın bir fonksiyonudur: X =φ(ω), burada ω, Ω (ω  Ω) uzayına ait temel bir olaydır. Bu durumda c'nin olası değerlerinin Ξ kümesi. V. X, φ(ω) fonksiyonunun aldığı tüm değerlerden oluşur.

Rastgele değişkenin dağılım yasası Rastgele bir değişkenle ilişkili her türlü olayın olasılığını (örneğin, bir değer alma veya belirli bir aralığa düşme olasılığı) bulmanızı sağlayan herhangi bir kuraldır (tablo, fonksiyon).

Rastgele değişkenlerin dağılım yasalarını belirlemek için formlar. Dağıtım serisi.

Bu, üst satırda X rastgele değişkeninin tüm olası değerlerinin artan sırada listelendiği bir tablodur: x 1, x 2, ..., x n ve alt satırda - bu değerlerin olasılıkları: p 1, p 2, ..., p n, burada p ben = Р(Х = x ben ).

(X = x 1), (X = x 2), ... olayları tutarsız olduğundan ve tam bir grup oluşturduğundan, dağılım serisinin alt satırındaki tüm olasılıkların toplamı bire eşittir.

Dağılım serisi yalnızca ayrık rastgele değişkenlerin dağılım yasasını belirlemek için kullanılır.

Dağıtım poligonu

Bir dağıtım serisinin grafiksel gösterimine dağıtım poligonu denir. Şu şekilde oluşturulmuştur: c'nin her olası değeri için. V. x eksenine dik bir değer geri yüklenir ve bunun üzerine belirli bir c değerinin olasılığı çizilir. V. Netlik sağlamak için (ve yalnızca netlik sağlamak için!), ortaya çıkan noktalar düz parçalarla bağlanır.

Kümülatif dağıtım fonksiyonu (veya basitçe dağıtım fonksiyonu).

Bu, x argümanının her değeri için, rastgele değişken 'nun x argümanının değerinden küçük olma olasılığına sayısal olarak eşit olan bir fonksiyondur.

Dağılım fonksiyonu F(x) ile gösterilir: F(x) = P (X  x).

Artık sürekli rastgele değişkenin daha kesin bir tanımını verebiliriz: Bir rastgele değişken, eğer dağılım fonksiyonu sürekli, parçalı türevlenebilir ve sürekli türevi olan bir fonksiyon ise sürekli olarak adlandırılır.

Dağıtım fonksiyonu c'yi belirtmenin en evrensel şeklidir. v., hem ayrık hem de sürekli e'ler için dağıtım yasalarını belirtmek için kullanılabilir. V.

Cevap: Süreksiz bir rastgele değişken düşünün X olası değerlerle. Bu değerlerin her biri mümkündür ancak kesin değildir ve değer X her birini belli bir olasılıkla kabul edebiliriz. Deney sonucunda değer X bu değerlerden birini alacaktır, yani uyumsuz olayların tamamından biri meydana gelecektir:

Bu olayların olasılıklarını harflerle gösterelim. R karşılık gelen endekslerle:

Yani, çeşitli değerlerin olasılık dağılımı, belirli bir ayrık rastgele değişken tarafından alınan tüm değerlerin üst satırda gösterildiği ve karşılık gelen değerlerin olasılıklarının gösterildiği bir dağılım tablosu ile belirtilebilir. alt satırda belirtilmiştir. Uyumsuz olaylar (3.1) tam bir grup oluşturduğundan, yani rastgele değişkenin tüm olası değerlerinin olasılıklarının toplamı bire eşittir. Sürekli rastgele değişkenlerin olasılık dağılımı, bu tür rastgele değişkenlerin değerlerinin sayısı sınırlı bir aralıkta bile sonsuz olduğundan tablo şeklinde sunulamaz. Üstelik herhangi bir değerin elde edilme olasılığı sıfırdır. Bu dağılımı tanımlarsak, yani her bir olayın tam olarak hangi olasılığa sahip olduğunu belirtirsek, bir rastgele değişken olasılıksal bir bakış açısıyla tam olarak tanımlanacaktır. Bununla rastgele bir değişkenin sözde dağılım yasasını oluşturacağız. Rastgele bir değişkenin dağılım yasası, bir rastgele değişkenin olası değerleri ile bunlara karşılık gelen olasılıklar arasında bağlantı kuran herhangi bir ilişkidir. Rastgele bir değişkenin belirli bir dağılım yasasına tabi olduğunu söyleyeceğiz. Süreksiz bir rastgele değişkenin dağılım yasasının belirlenebileceği formu oluşturalım X. Bu yasayı belirtmenin en basit şekli, rastgele bir değişkenin olası değerlerini ve bunlara karşılık gelen olasılıkları listeleyen bir tablodur:

x ben	X 1	X 2	× × ×	xn
ben	P 1	P 2	× × ×	pn

Böyle bir tabloya rastgele değişkenin dağılım serisi diyeceğiz X.

Pirinç. 3.1

Dağıtım serisine daha görsel bir görünüm kazandırmak için genellikle grafiksel gösterimine başvurulur: rastgele değişkenin olası değerleri apsis ekseni boyunca çizilir ve bu değerlerin olasılıkları ordinat ekseni boyunca çizilir. Netlik sağlamak için, ortaya çıkan noktalar düz parçalarla bağlanır. Böyle bir şekle dağıtım poligonu denir (Şekil 3.1). Dağıtım poligonu ve dağıtım serisi tamamen rastgele değişkeni karakterize eder. dağıtım yasasının biçimlerinden biridir. Bazen dağıtım serilerinin “mekanik” olarak adlandırılan yorumu uygundur. Birliğe eşit belirli bir kütlenin apsis ekseni boyunca dağıtıldığını hayal edelim, böylece N kütleler sırasıyla bireysel noktalarda yoğunlaşmıştır . Daha sonra dağılım serisi, bazı kütlelerin apsis ekseninde yer aldığı bir malzeme noktaları sistemi olarak yorumlanır.

Rasgele değişken kavramı. Rastgele bir değişkenin dağılım yasası

Rastgele değişkenler (kısaltılmış: r.v.) büyük Latin harfleri X, Y, ile gösterilir. Z...(veya küçük Yunan harfleri ξ (xi), η (eta), θ (teta), ψ (psi), vb.) ve aldıkları değerler buna göre küçük harflerle x 1'dir. , x 2 ,…, 1'de , saat 2'de , 3'te …

Örneklerİle. V. hizmet edebilir: 1) X- zar atıldığında ortaya çıkan puan sayısı; 2) Y - hedefe ilk vuruştan önceki atış sayısı; 3) Z- cihazın sorunsuz çalışma süresi vb. (kişinin boyu, dolar döviz kuru, partideki kusurlu parça sayısı, hava sıcaklığı, oyuncunun kazancı, rastgele seçilmişse bir noktanın koordinatı, şirket karı, . ..).

Rastgele değişken XΏ w

X(w), yani X= X(w), wО Ώ (veya X = f(k)) (31)

Örnek 1. Deney, bir madeni paranın 2 kez atılmasından ibarettir. PES'te Ώ=(w 1, w 2, w 3, w 4), burada w 1 = GG, w 2 = GR, w3 = RG, w4 = RR, p'yi düşünebilirsiniz. V. X- armanın görünme sayısı. S.v. X w i temel olayının bir fonksiyonudur : X( w 1 ) = 2, X( w 2 ) = 1, X( w 3 ) = 1, X( w 4 )= 0; X- d.s. V. x 1 değerleri ile = 0,x2 =1 , x 3 = 2.

X(w) S Р(А) = Р(Х< X).

X- d.s. V.,

x 1 , x 2 , x 3 ,…,x n ,…

pi ben, Nerede ben = 1,2,3, ...,n,… .

Dağıtım kanunu d.s. V. p ben =P(X=x i}, i=1,2,3,... ,n,...,

İle. V. X X Ben. :

X	x 1	x 2	….	xn	…
P	sayfa 1	p2	….	pn	…

Olaylardan bu yana (X = x1), (X = x2 ),…, (X = x n), yani .

(x1 , sayfa 1 ), (x 2 , p 2),…, (x n , p n) denir çokgen(veya çokgen) dağıtım(bkz. Şekil 17).

Rastgele değişken X ayrıktır, sonlu veya sayılabilir bir sayı kümesi varsa x 1 , x 2 , ..., x n öyle ki P(X = x ben ) = p ben > 0 (ben = 1,2,...) s 1 + p2 + sayfa 3 +…= 1 (32)

Miktar d.s. V. X, p i = Р(Х = x i), i = 1,2,3,...,n ve d.s olasılıklarıyla x i değerlerini alıyor. V. Y, p i = Р(Y = y j ), j = 1,2,3,... ,m olasılıklarıyla y j değerlerini alarak d.s olarak adlandırılır. V. Z = X + Y, belirtilen tüm değerler için z ij = x i + y j değerlerini p ij = P( X = x i,Y = y j) olasılıklarıyla alırsak Ben ve j. Bazı x i + y j toplamları çakışırsa, karşılık gelen olasılıklar eklenir.

Farkına göre d.s. V. X, p i = Р(Х = x i), i = 1,2,3,...,n ve d.s olasılıklarıyla x i değerlerini alıyor. V. Y, p i = Р(Y = y j ), j = 1,2,3,... ,m olasılıklarıyla y j değerlerini alarak d.s olarak adlandırılır. V. Z = X - Y, belirtilen tüm değerler için z ij = x i – y j değerlerini p ij = P ( X = x i ,Y = y j ) olasılıklarıyla alırsak Ben ve j. Bazı x i – y j farkları çakışırsa karşılık gelen olasılıklar eklenir.

iş d.s. V. X, p i = Р(Х = x i), i = 1,2,3,...,n ve d.s olasılıklarıyla x i değerlerini alıyor. V. Y, p i = Р(Y = y j ), j = 1,2,3,... ,m olasılıklarıyla y j değerlerini alarak d.s olarak adlandırılır. V. Z = X × Y, belirtilen tüm değerler için z ij = x i × y j değerlerini p ij = P( X = x i,Y = y j) olasılıklarıyla alırsak Ben ve j. Bazı x i × y j çarpımları çakışırsa, karşılık gelen olasılıklar eklenir.

d.s. V. сХ, с x ben р ben = Р(Х = x ben ).

X ve Y olayları (X = x i) = A i ve (Y = y j) = B j herhangi bir i= 1,2,...,n için bağımsızdır; j = l,2,...,m, yani.

P(X = x ben ;Y = y j ) =P(X = x ben ) ×P (Y = y j ) (33)

Örnek 2. Torbada 5'i beyaz, geri kalanı siyah olmak üzere 8 top vardır. İçinden rastgele 3 top çekiliyor. Örnekteki beyaz topların sayısının dağılım yasasını bulun.

Rastgele değişkenler: kesikli ve sürekli.

Stokastik bir deney gerçekleştirirken, bu deneyin olası sonuçları olan temel olaylardan oluşan bir uzay oluşturulur. Temel olayların bu alanında verildiğine inanılıyor. rastgele değişken X, eğer her temel olayın bir sayıyla ilişkilendirildiği bir yasa (kural) verilmişse. Dolayısıyla X rastgele değişkeni, temel olaylar uzayında tanımlanan bir fonksiyon olarak düşünülebilir.

■ Rastgele değişken- önceden dikkate alınamayan rastgele nedenlere bağlı olarak, her test sırasında bir veya başka bir sayısal değer (hangisi olduğu önceden bilinmeyen) alan bir miktar. Rastgele değişkenler Latin alfabesinin büyük harfleriyle, bir rastgele değişkenin olası değerleri ise küçük harflerle gösterilir. Dolayısıyla, bir zar atıldığında, x sayısıyla ilişkili bir olay meydana gelir; burada x, atılan puanların sayısıdır. Nokta sayısı rastgele bir değişken olup 1, 2, 3, 4, 5, 6 sayıları bu değerin olası değerleridir. Bir silahtan ateşlendiğinde merminin kat edeceği mesafe de rastgele bir değişkendir (görüşün kurulumuna, rüzgarın gücüne ve yönüne, sıcaklığa ve diğer faktörlere bağlı olarak) ve bu değerin olası değerleri aşağıdakilere aittir: belirli bir aralığa (a; b).

■ Ayrık rastgele değişken– belirli olasılıklarla ayrı, izole edilmiş olası değerleri alan rastgele bir değişken. Ayrık bir rastgele değişkenin olası değerlerinin sayısı sonlu veya sonsuz olabilir.

■ Sürekli rastgele değişken– tüm değerleri sonlu veya sonsuz bir aralıktan alabilen rastgele bir değişken. Sürekli bir rastgele değişkenin olası değerlerinin sayısı sonsuzdur.

Örneğin, zar atıldığında atılan puanların sayısı, bir testin puanı ayrık rastgele değişkenlerdir; bir silahtan ateş ederken merminin uçtuğu mesafe, eğitim materyalinde uzmanlaşma süresi göstergesinin ölçüm hatası, bir kişinin boyu ve ağırlığı sürekli rastgele değişkenlerdir.

Rastgele bir değişkenin dağılım yasası– rastgele bir değişkenin olası değerleri ile bunların olasılıkları arasındaki yazışma, yani; Her olası xi değeri, rastgele değişkenin bu değeri alabileceği p i olasılığı ile ilişkilidir. Bir rastgele değişkenin dağılım yasası tablo halinde (tablo şeklinde), analitik olarak (formül şeklinde) ve grafiksel olarak belirtilebilir.

Ayrı bir rastgele değişken X'in sırasıyla p 1 , p 2 , …, p n olasılıklarıyla x 1 , x 2 , …, x n değerlerini almasına izin verin, yani. P(X=x 1) = p 1, P(X=x 2) = p 2, …, P(X=x n) = p n. Bu miktarın dağılım yasasını bir tabloda belirtirken, tablonun ilk satırı olası değerleri içerir x 1 , x 2 , ..., x n , ikinci satır ise bunların olasılıklarını içerir

X	x 1	x 2	…	xn
P	sayfa 1	p2	…	pn

Test sonucunda, ayrık bir rasgele değişken X olası değerlerden yalnızca birini alır, dolayısıyla X=x 1, X=x 2, ..., X=x n olayları ikili olarak uyumsuz tam bir grup oluşturur. olaylar ve dolayısıyla bu olayların olasılıklarının toplamı bire eşittir, yani. p 1 + p 2 +… + p n =1.

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası. Dağıtım çokgeni (çokgen).

Bildiğiniz gibi rastgele değişken duruma göre belirli değerleri alabilen bir değişkendir. Rastgele değişkenler Latin alfabesinin büyük harfleriyle (X, Y, Z), değerleri ise karşılık gelen küçük harflerle (x, y, z) gösterilir. Rastgele değişkenler süreksiz (kesikli) ve sürekli olarak ikiye ayrılır.

Ayrık bir rastgele değişken, belirli sıfır olmayan olasılıklara sahip yalnızca sonlu veya sonsuz (sayılabilir) bir değer kümesini alan bir rastgele değişkendir.

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası rastgele bir değişkenin değerlerini bunlara karşılık gelen olasılıklarla birleştiren bir fonksiyondur. Dağıtım kanunu aşağıdaki yollardan biriyle belirlenebilir.

1. Dağıtım yasası tabloyla verilebilir:

burada λ>0, k = 0, 1, 2, … .

c) her bir x değeri için rastgele değişken X'in x'ten daha küçük bir değer alma olasılığını belirleyen dağılım fonksiyonu F(x)'in kullanılması; F(x) = P(X< x).

F(x) fonksiyonunun özellikleri

3. Dağıtım yasası, bir dağıtım çokgeni (çokgen) ile grafiksel olarak belirtilebilir (bkz. görev 3).

Bazı sorunları çözmek için dağıtım yasasını bilmenin gerekli olmadığını unutmayın. Bazı durumlarda dağıtım kanununun en önemli özelliklerini yansıtan bir veya birkaç rakamı bilmek yeterlidir. Bu, bir rastgele değişkenin “ortalama değeri” anlamına gelen bir sayı olabileceği gibi, bir rastgele değişkenin ortalama değerinden sapmasının ortalama boyutunu gösteren bir sayı da olabilir. Bu tür sayılara rastgele değişkenin sayısal özellikleri denir.

Ayrık bir rastgele değişkenin temel sayısal özellikleri:

Ayrık bir rastgele değişken M(X)=Σ x i p i'nin matematiksel beklentisi (ortalama değer).
Binom dağılımı için M(X)=np, Poisson dağılımı için M(X)=λ
Ayrık bir rastgele değişkenin dağılımı D(X)= M 2 veya D(X) = M(X 2)− 2. X – M(X) farkı, rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisinden sapması olarak adlandırılır.
Binom dağılımı için D(X)=npq, Poisson dağılımı için D(X)=λ
Ortalama kare sapma (standart sapma) σ(X)=√D(X).

· Bir varyasyon serisinin sunumunun netliği açısından grafik görüntüleri büyük önem taşımaktadır. Grafiksel olarak bir varyasyon serisi çokgen, histogram ve kümülat olarak gösterilebilir.

· Bir dağıtım poligonuna (kelimenin tam anlamıyla bir dağıtım poligonu), dikdörtgen bir koordinat sisteminde oluşturulan kesikli çizgi denir. Özelliğin değeri apsis üzerinde, karşılık gelen frekanslar (veya göreceli frekanslar) - ordinat üzerinde çizilir. Noktalar (veya) düz çizgi parçalarıyla birbirine bağlanır ve bir dağıtım çokgeni elde edilir. Çoğu zaman, çokgenler ayrı varyasyon serilerini tasvir etmek için kullanılır, ancak aralık serileri için de kullanılabilirler. Bu durumda bu aralıkların orta noktalarına karşılık gelen noktalar apsis eksenine işaretlenir.