Задачи изучения темы:

2) Познакомить учащихся с правилами порядка выполнения действий над числами и в соответствии с ними выработать умение находить числовые значения выражений.

3) Познакомить учащихся с тождественными преобразованиями выражений на основе свойств арифметических действий.

В работе над числовыми выражениями можно выделить 2 основных этапа:

1) Изучение простейших выражений вида: сумма (2 + 3); разность (5 -1); произведение (3 4); частное (12:4).

2) Изучение усложненных выражений, содержащих два и более действий, со скобками и без них.

1) При работе с простейшими выражениями в соответствии с требованиями программы перед учителем стоит задача сформировать у детей умения читать и записывать такие выражения.

Первая встреча учащихся с выражениями происходит в первом классе в теме "Числа от 1 до 10", где дети впервые знакомятся со знаками действий "+" и "-". На этом этапе дети записывают выражения, и читают их, ориентируясь на смысл знаков действий, которые осознаются ими как краткое обозначение слов "добавить" и "отбросить". Это находит отражение в чтении выражений: 3 + 2 (3 да 2); 3 - 1 (3 без одного).

Постепенно представления детей об этих действиях расширяются. Учащиеся узнают, что, прибавляя несколько единиц к числу, мы увеличиваем его на столько же единиц, а вычитая - уменьшаем. Это находит отражение при чтении выражений: 4 + 2 (4 увеличить на две единицы); 7 - 1 (7 уменьшить на одну единицу).

Затем дети узнают названия знаков действий "плюс" и "минус". (При изучении сложения и вычитания чисел первого десятка). Этиже выражения читаются иначе: 4 + 2 (4 "плюс" 2); 7 - 1 (7 "минус" 1).

И только при ознакомлении с названиями компонентов и результатов действия сложения вводится строгая математическая терминология, дается название данного математического выражения – «сумма», а несколько позже аналогично вводится термин «разность».

Названия следующих двух математических выражений «произведение» и «частное» вводятся аналогично при изучении действий умножения и деления во втором классе. Здесь же во втором классе вводятся термины "выражение", "значение выражения", которые как и другие математические термины должны усваиваться детьми естественно, как усваиваются ими другие новые для них слова, если они часто употребляются окружающими и находят применение в практике.

2) Наряду с простейшими математическими выражениями изучаются и усложненные выражения, содержащие два и более действий, со скобками и без них. Такие выражения появляются в зависимости от рассмотрения соответствующих вопросов курса математики. Однако их рассмотрение в основном подчинено одной дидактической цели – сформировать умение находить значение выражения, а это непосредственно связано с правилами порядка выполнения арифметических действий.

а) Первым рассматривается правило о порядке выполнения действий в выражениях без скобок, когда над числами либо только сложение и вычитание, либо только умножение и деление. Первые такие выражения вида 5 + 1 + 1, 7 - 1 - 1 встречаются в самом начале изучения сложения и вычитания чисел в пределах 10. Уже здесь основное внимание уделяется выяснению вопроса, как вести рассуждения при вычислении значения выражений. В I-II классе встречаются упражнения: 70 – 26 + 10, 90 – 20 – 15, 42 + 18 – 19; во II классе встречаются упражнения: 4 · 10: 5, 60: 10 · 3, 36: 9: 2. При дальнейшем рассмотрении аналогичных выражений делается вывод: в выражениях без скобок действия сложения и вычитания (умножения и деления) выполняются в том порядке, как они записаны: слева направо.

б) Затем появляются выражения, содержащие скобки и опять главное внимание уделяется правилу о порядке выполнения действий в выражениях со скобками. Так мы фактически знакомим детей со вторым правилом о порядке выполнения действий в выражениях, содержащих скобки. Упражнения: 80 – (34+13), 85 – (46 – 14), 60: (30 – 20), 90: (2 ·5).

Во втором классе при изучении действий умножения и деления происходит встреча с выражениями, содержащими действия сложения, вычитания, умножения и деления. Чтобы выяснить вопрос о порядке выполнения действий в таких выражениях, целесообразно для первого рассмотрения взять выражение 3 · 5 + 3. Используя смысл действия умножения, приходим к выводу, что значение этого выражения равно 18. Отсюда следует порядок выполнения действий. В результате мы фактически получаем третье правило о порядке выполнения действий в выражениях без скобок, содержащих действия сложения, вычитания, умножения и деления: в выражениях без скобок вначале выполняются действия умножения или деления, а затем действия сложения или вычитания в том порядке, как они записаны. При этом дается и образец рассуждении, где обращается внимание на проговаривание промежуточного результата, что позволяет предупреждать возможные ошибки детей. Упражнения: 21 + 9: 3, 34 – 12 · 2, 90: 30 – 2, 25 · 4 + 100.

Правила о порядке выполнения арифметических действий заслуживают особого внимания. Это один из сложных и отвлеченных вопросов начального курса математики. Работа над ним требует многочисленных распределенных во времени тренировочных упражнений. Умение применять эти правила в практике вычислений вынесено в основные требования программы в конце каждого года, начиная со второго класса и на конец обучения в начальных классах.

Упражнения:

1. Из заданных пар примеров выбрать только те, где вычисления выполнены по правилам порядка выполнения действий: 20 + 30: 5 = 10, 20 + 30: 5 = 26, 42 – 12: 6 = 40,

42 – 12: 6 = 5, 6 · 5 + 40: 2 = 50, 6 · 5 + 40: 2 = 35.

После объяснения ошибок дать задание: изменить порядок действия так, чтобы выражение имело заданное значение.

2. Расставить скобки так, чтобы выражение имело заданное значение:

72 – 24: 6 + 2 = 66, 72 – 24: 6 + 2 = 6, 72 – 24: 6 + 2 = 10, 72 – 24: 6 + 2 = 69

На последнем году обучения в начальных классах рассмотренные правила дополняются новыми для детей правилами о порядке выполнения действий в выражениях содержащих две пары скобок или два действия внутри скобок. Например: 90 · 8 – (240 + 170) + 190, 469 148 – 148 · 9 + (30 100 – 26 909), 65 6500: (50 + (654 – 54)).

Ознакомление с тождественными преобразованиями выражений. Тождественное преобразование выражения – это замена данного выражения другим, значение которого равно значению заданного выражения. Выполняют такие преобразования выражений, опираясь на свойства арифметических действий и следствия, вытекающие из них (как прибавить сумму к числу, как вычесть число из суммы, как умножить число на произведение и др.) Например: Продолжить запись так, чтобы знак «=» сохранился:

76 – (20 + 4) = 76 – 20…

(10 + 7) · 5 = 10 · 5…

60: (2 · 10) = 60: 10…

Применяя знания свойств действий для обоснования приемов вычислений, учащиеся выполняют преобразования выражений вида:

36 + 20 + (30 + 6) =+ 20 = (30 + 20) + 6 = 56

72: 3 = (60 + 12) : 3 = 60: 3 + 12: 3 = 24

18 · 30 = 18 · (3 · 10) = (18 · 3) · 10 = 540

Необходимо понять, что все эти выражения соединены знаком «=», потому что имеют одинаковые значения.

Тождественные преобразования выражений выполняют также и на основе конкретного смысла действий. Например, сумму одинаковых слагаемых заменяют произведением: 6 + 6 + 6 + 6 = 6 · 4, и наоборот, 6 · 4 = 6 + 6 + 6 + 6. Опираясь также на смысл действия умножения, преобразуют более сложные выражения: 8 · 4 + 8 = 8 · 5, 7 · 6 – 7 = 7 · 5.

Если в выражениях со скобками скобки не влияют на порядок действий, то их можно не ставить: (30 + 20) + 10 = 30 + 20 + 10, (10 · 6) : 4 = 10 · 6: 4 и т.п.

В дальнейшем, используя изученные свойства действий и правила порядка действий, учащиеся упражняются в преобразовании выражений со скобками в тождественные им выражения без скобок. Например: записать выражения без скобок так, чтобы их значения не изменились: (65 + 30) – 20, (20 + 4) · 3, 96 – (46 + 30)

→ Арифметические действия

Арифметические действия

Нахождение по нескольким данным числам одного нового числа называется арифметическим действием . В арифметике рассматривается шесть действий: сложение , вычитание , умножение , деление , возведение в степень , извлечение корня .

1. Сложение . Это действие состоит в том, что по нескольким числам, называемым слагаемыми , находится число, называемое их суммой .

Пример : 4+3=7, где 4 и 3 – слагаемые, а 7 – их сумма.

2. Вычитание – действие, посредством которого по данной сумме (уменьшаемое ) и данному слагаемому (вычитаемое ) находят искомое слагаемое (разность ).
Это действие обратно сложению.

Пример : 7 – 3 = 4, где 7 – уменьшаемое, 3 – вычитаемое, а 4 – разность.

3. Умножение. Умножить некоторое число (множимое ) на целое число (множитель ) – значит повторить множимое слагаемым столько раз, сколько единиц содержится в множителе. Результат умножения называется произведением .

Пример : 2 ∙ 3 = 6, где 2 – множимое, 3 – множитель, а 6 – произведение. (2 ∙ 3 = 2 + 2+ 2 = 6)

Если множитель и множимое меняются ролями, то произведение остается тем же. Поэтому множитель и множимое также называются сомножителями .

Пример : 2 ∙ 3 = 3 ∙ 2, то есть (2 + 2 + 2 = 3 + 3)

Полагают, что если множителем является 1, то a ∙ 1 = a.

Например : 2 ∙ 1 = 2, 44 ∙ 1 = 44, 13 ∙ 1 = 13.

4. Деление. Посредством деления по данному произведению (делимое ) и данному сомножителю (делитель ) находят искомый сомножитель (частное ).
Это действие обратно умножению.

Пример : 8: 2 = 4, где 8 – делимое, 2 – делитель, а 4 – частное.

Проверка деления : произведение делителя 2 и частного 4 дает делимое 8. 2 ∙ 4 = 8

Деление с остатком

Если при делении целого числа на целое число в частном получается целое число, то такое деление целых чисел называется точным , или, что первое число нацело делится (или просто – делится) на второе.

Например : 35 делится (нацело) на 5, частное есть целое число 7.

Второе число при этом называется делителем первого, первое же – кратным второго.

Во многих случаях можно, не выполняя деления, узнать, делится ли нацело одно целое число на другое (см. признаки делимости).

Точное деление возможно далеко не всегда. В таком случае выполняют так называемое деление с остатком . В этом случае находят такое наибольшее число, которое при умножении на делитель даст произведение, не превосходящее делимого. Это число называется неполным частным . Разность между делимым и произведением делителя на неполное частное называется остатком от деления .
Делимое равно делителю, умноженное на неполное частное, плюс остаток. Остаток всегда меньше делителя.

Пример : Неполное частное от деления числа 27 на 4 равно 6, а остаток равен 3. Очевидно, 27 = 4∙6 + 3 и 3˂4.

5. Возведение в степень. Возвести некоторое число в целую степень (во вторую, в третью и т.д.) – значит взять это число сомножителем два, три раза и т.д. Иначе говоря, возведение в степень выполняется повторным умножением.
Число, которое берётся сомножителем, называется основанием степени ; число, показывающее, сколько раз повторяется основание, называется показателем степени ; результат возведения числа в степень называется степенью этого числа.

Пример : 2∙2∙2 = 2³ = 8; где 2 – основание степени, 3 – показатель степени, 8 – степень.

Вторую степень числа иначе называют квадратом , третью степень – кубом . Первой степенью числа называют само это число.

6. Извлечение корня есть действие, посредством которого по данной степени (подкоренное число ) и данному показателю степени (показатель корня ) находят искомое основание (корень ).
Это действие обратно возведению в степень.

Пример : ³√64 = 4; где 64 – подкоренное число, 3 – показатель корня, 4 – корень.

Проверка извлечения корня : 4³=64. Возведение числа 4 в 3-ю степень даёт 64.

Корень второй степени иначе называют квадратным ; корень третьей степени – кубическим .
При знаке квадратного корня показатель корня принято опускать: √36 = 6 означает ²√36 = 6.

Использованная лит-ра:
Справочник по элементарной математике - Выгодский М.Я., "Наука", 1974 г.
Справочник по математике. Пособие для учащихся 9-11 кл. - Шахно К. У., "Учпедгиз", 1961 г.

Рассмотрим, какие вопросы теории и практического характера изучаются в теме «Арифметические действия», каков уровень их раскрытия и порядок введения.

Конкретный смысл арифметических действий , т. е. связи между операциями над множествами и соответствующими арифметическими действиями (например, связь между операцией объединения непересекающихся множеств и действием сложения). Знание конкретного смысла арифметических действий должно быть усвоено на уровне эмпирического обобщения: учащиеся должны научиться практически устанавливать связи между операциями над множествами и арифметическими действиями при нахождении в ряде случаев результатов арифметических действий, а также выбирая арифметические действия при решении текстовых арифметических задач.

Свойства арифметических действий. Это математические положения о тождественных преобразованиях математических выражений, в них отражается, при каких преобразованиях данного математического выражения его значение не изменяется. В начальный курс математики включены свойства, являющиеся теоретической основой вычислительных приемов.

В начальном курсе математики изучаются следующие свойства арифметических действий: переместительное и сочетательное свойства сложения, свойство вычитания числа из суммы, свойство вычитания суммы из числа, свойство вычитания суммы из суммы, переместительное и сочетательное свойства умножения, распределительное свойство умножения относительно сложения, свойство деления суммы на число, свойство деление числа на произведение.

Свойства арифметических действий, предусмотренные программой, должны быть усвоены на уровне понятийного обобщения: учащиеся должны знать их формулировку и практически применять их при обосновании вычислительных приемов, при решении задач, уравнений, упражнений на тождественные преобразования и др.

Другие свойства арифметических действий (существование и единственность результата, монотонность суммы и произведения и др.) раскрываются на уровне эмпирического обобщения: учащиеся практически оперируют ими, формулировка свойств не дается.

Связи между компонентами и результатами арифметических действий. Это математические положения, отражающие, как выражается каждый из компонентов арифметических действий через результат и другой его компонент.

В начальном курсе математики сначала изучается связь между компонентами и результатом действия сложения, а затем - связи между компонентами и результатом действий вычитания, умножения и деления.

Знание связей должно быть усвоено на уровне понятийного обобщения: учащиеся должны знать соответствующую формулировку и практически использовать эти знания при решении уравнений и обосновании вычислительных приемов.

Изменение результатов арифметических действий в зависимости от изменения одного из компонентов, т. е. математические положения, характеризующие, как изменяется значение выражения в зависимости от изменения одного из его компонентов.

По отношению к этому материалу предусматривается эмпирический уровень обобщения: учащиеся, выполняя специальные упражнения, наблюдают соответствующие изменения и на конкретных примерах устанавливают либо характер изменения результатов арифметических действий в зависимости от увеличения или уменьшения одного из компонентов, либо устанавливают количественные изменения – как изменится результат, если увеличить или уменьшить один из компонентов на несколько единиц или в несколько раз. Такие наблюдения послужат в дальнейшем основой для введения понятия функции, вместе с тем они являются прекрасными упражнениями развивающего характера.

Отношения между компонентами и между компонентами и результатами арифметических действий. Это математические положения, отражающие отношения «больше», «меньше», «равно» либо между компонентами (уменьшаемое больше вычитаемого или равно ему), либо между компонентами и результатами арифметических действии (сумма может быть больше каждого из слагаемых, а может быть равна одному или каждому из слагаемых). Этот материал также усваивается на уровне эмпирического обобщения: учащиеся устанавливают соответствующие отношения, выполняя специальные упражнения. Знания названных отношений используются для проверки вычислений, они служат также целям функциональной пропедевтики.

Правила. Это, прежде всего положения, являющиеся следствиями из определения арифметических действий и их конкретного смысла: правила сложения и вычитания с числом 0, умножения и деления с числами 1 и 0, а также исторически сложившиеся положения – правила о порядке выполнения арифметических действий в математических выражениях. Учащиеся должны усвоить формулировку правил и уметь практически пользоваться ими.

Термины и символы. В связи с изучением названных вопросов, относящихся к теоретическому материалу, вводится соответствующая терминология и символика: название арифметических действий, символы их обозначающие и их название, название компонентов и результатов арифметических действий, название соответствующих математических выражений. Термины должны войти в активных словарь учащихся и использоваться ими при формулировке математических положений, учащиеся должны также научиться правильно пользоваться соответствующими символами. Термины и символы вводятся в тесной связи с изучением соответствующих арифметических действий.

Наряду с теоретическим материалом и в органической связи с ним рассматриваются вопросы практического характера: вычислительные приемы и решение арифметических задач . Вычислительные приемы – это приемы нахождения результатов арифметических действий. Вычислительные приемы раскрываются на основе явного использования соответствующих теоретических положений. Например, на основе переместительного свойства сложения вводится прием перестановки слагаемых. В каждом концентре изучаются вычислительные приемы над целыми неотрицательными числами соответствующего отрезка натурального ряда (в первом концентре – в пределах 10, во втором – в пределах 100 и т. д.). В концентре «Десяток» изучаются только приемы сложения и вычитания, а в остальных концентрах – приемы всех четырех арифметических действий.

Порядок введения всех названных вопросов подчиняется главной цели изучения арифметических действий – формированию осознанных, прочных, доведенных до автоматизма вычислительных навыков.

3. Общие положения методики формирования понятий и представлений об арифметических действиях у младших школьников.

Усвоение учащимися теоретического материала сводится к усвоению ими существенных сторон изучаемых математических положений на уровне обобщения, предусмотренном программой. Следовательно, вся деятельность учащихся по овладению знаниями должна быть направлена на выделение и осознание ими существенных сторон изучаемых теоретических положений. Это осуществляется главным образом путём выполнения учащимися соответствующей системы упражнений, которая подчиняется целям каждого из этапов формирования знаний. В методике формирования знаний выделяют следующие этапы: подготовительный этап, ознакомление с новым материалом, закрепление знаний.

На этапе подготовки к ознакомлению с новым теоретическим материалом , прежде всего, предусматриваются упражнения на воспроизведение ранее усвоенных знаний, которые являются средствами для усвоения нового знания. В большинстве случаев в этот период целесообразно создать в представлении детей «предметные модели» формируемых знаний с помощью выполнения операций над множествами. Например, до ознакомления с конкретным смыслом действия сложения следует провести достаточное количество упражнений на выполнение операции объединения непересекающихся множеств (к 4 мячам присоединить 3 мяча и узнать, сколько мячей станет), что в дальнейшем послужит основой для ознакомления со смыслом действия сложения.

На этапе ознакомления с новым материалом раскрываются существенные стороны изучаемых математических положений с помощью системы упражнений, выполняемых учащимися. При ознакомлении со свойствами арифметических действий, связями и зависимостями между их компонентами и результатами целесообразнее использовать метод эвристической беседы , подводя учащихся индуктивным путём к «открытию» соответствующей закономерности и убеждая в её справедливости с помощью средств наглядности. При ознакомлении с правилами, при введении терминологии и символики используется метод объяснения , т.е. учитель излагает материал, а учащиеся его воспринимают.

При ознакомлении индуктивным путём с конкретным смыслом арифметических действий, с их свойствами, связями и зависимостями между компонентами и результатами учащимся предлагаются такие упражнения, при выполнении которых проявляются соответствующие закономерности. Анализируя их, ученики выделяют существенные признаки формируемого знания и в зависимости от уровня его обобщения либо формулируют ряд частных выводов (при эмпирическом уровне), либо от них переходят к общему выводу (при понятийном уровне). При этом важно выделить не только существенные признаки, но и ряд несущественных признаков. Например, рассмотрим, как можно ознакомить с переместительным свойством умножения. Ученикам предлагается разложить в 4 ряда по 6 квадратов в каждом ряду и узнать общее количество квадратов, которые разложили. При этом обращается внимание учеников на то, что подсчёт общего числа квадратов можно осуществлять двумя способами: 6* 4 = 24 и 4* 6 = 24. При сравнении полученных записей, ученики устанавливают сходные признаки (даны произведения, одинаковые множители, значения произведений равны) и отличительные признаки (множители переставлены местами). Далее выполняются аналогичные упражнения, причем одно- два из них составляют дети. После выполнения достаточного количества упражнений на сравнение пар произведений ученики устанавливают, что во всех парах произведений одинаковые множители и значения произведений в каждой паре равны, при этом множители переставлены местами. Эти наблюдения позволяют ученикам прийти к обобщающему выводу, который является формулировкой переместительного свойства умножения: «Если множители поменять местами значение произведения не изменится».

При таком пути введения нового материала система упражнений должна отвечать ряду требований:

· Система упражнений должна обеспечивать наглядную основу формируемого знания. Поэтому при выполнении упражнений важно во многих случаях использовать наглядность: операции над множествами (в рассмотренном примере – объединение равночисленных непересекающихся множеств квадратов) и соответствующие математические записи (6* 4 = 24 и 4* 6 = 24). Это создаёт возможность для «открытия» самими детьми изучаемых закономерностей.

· Упражнения надо подбирать так, чтобы сохранялись неизменными существенные стороны формируемого знания, а несущественные изменялись. Так, для переместительного свойства умножения существенными признаками будут: в произведениях одинаковые множители, произведения отличаются порядком множителей, значения произведений равны; несущественными признаками являются сами числа и их отношение. Поэтому, подбирая пары произведений, надо брать их с различными числами, а числа в разном отношении (6* 4 и 4* 6; 2*5 и 5* 2; 7* 3 и 3* 7 и т.д.). Это позволит выделить ученикам не только существенные, но и несущественные признаки нового знания, что будет способствовать правильному обобщению.

· Следует предлагать учащимся самим составлять упражнения, аналогичные рассмотренным. Умение составлять такие упражнения будет свидетельствовать о том, что учащиеся выделили существенные стороны формируемого знания.

· При ознакомлении с новым материалом часто возникают ситуации, когда предшествующий опыт детей оказывает как положительное, так и отрицательное влияние на овладение новым материалом. Это необходимо учитывать при введении нового материала и предусматривать специальные упражнения на сопоставление и противопоставление вопросов, имеющих какое-то сходство. Например, до изучения переместительного свойства умножения, надо повторить переместительное свойство сложения, и использовать ту же методику. В этом случае поможет аналогия при усвоении нового свойства. До изучения распределительного свойства умножения относительно сложения полезно повторить сочетательное свойство сложения, чтобы предупредить смешение этих свойств и появление ошибок при усвоении нового свойства.

Итак, в результате выполнения специальных упражнений учащиеся подводятся либо к обобщенной формулировке изучаемого математического положения, либо только к частным выводам.

На этапе закрепления знаний в результате выполнения учащимися системы упражнений на применение изученного материала, их знания обогащаются новым конкретным содержанием и включаются в систему уже имеющихся знаний. Закрепление знаний каждого математического положения совершается в результате выполнения учащимися специальной системы упражнений, подчиняющейся общим требованиям:

· Каждое упражнение системы должно иметь потенциальную возможность применения формируемого знания. Тогда ученик, выполняя их, будет всякий раз выделять существенные свойства формируемого знания и тем самым лучше усваивать его. При этом первыми надо включать такие упражнения, которые могут быть выполнены как на основе применения формируемых знаний, так и других ранее усвоенных знаний. Выполнение таких упражнений при соответствующей методике создаёт реальные возможности для обобщения формируемых знаний каждым учеником.

· Упражнения на применение знаний должны строиться на различном конкретном содержании (решение арифметических задач, сравнение математических выражений и др.). Это обеспечит формирование содержательных и гибких знаний, предупредит их формальное усвоение.

· Система упражнений должна обеспечить установление внутрипонятийных связей (связи между арифметическими действиями, между их свойствами и др.) и межпонятийных связей (связи между компонентами и результатами арифметических действий с решением уравнений). Этим и определяется включение нового знания в систему уже имеющихся знаний.

· Упражнений должно быть достаточное количество, чтобы была обеспечена прочность формируемых знаний.

· Упражнения должны быть доступны учащимся и располагаться от простого к сложному.

· В системе должны предусматриваться специальные упражнения, готовящие учеников к усвоению вопросов практического характера: выполнение вычислений, решение арифметических задач, решение уравнений и т.д.

· На этом этапе, больше, чем на предыдущем, должны быть предусмотрены упражнения на сопоставление и противопоставление нового материала и ранее усвоенного, что предупредит смешение сходных вопросов и поможет установлению внутрипонятийных и межпонятийных связей.

· При организации деятельности учащихся на этом этапе следует чаще использовать метод самостоятельных работ, всемерно способствовать умственному развитию учащихся.

· Кроме того, надо учесть, что младшие школьники лучше усваивают материал, если его включать в уроки небольшими частями, но достаточно длительное время.

Приложение №1

Арифметические действия

Название действия	Знаки	Название знака	Название компонентов	Название выражений	Примеры прочтения
Сложение	+	«Плюс»	3 – слагаемое 5 – слагаемое 8 – сумма или значение суммы	3 + 5 сумма	Сложить Прибавить Увеличить на… Больше на … Сумма 1-е слагаемое, 2-е слагаемое
Вычитание	-	«Минус»	7–уменьшаемое 4 – вычитаемое 3 – разность или значение разности	7 – 4 разность	Вычесть Уменьшить на … Меньше на … Разность Уменьшаемое, вычитаемое
Умножение	*, х	Знак умножения	2 – множитель 3 – множитель 6–произведение или значение произведения	2* 3 произведение	Умножить Увеличить в … Больше в … Произведение 1-й множитель, 2-й множитель
Деление	:	Знак деления	8 – делимое 2 – делитель 4 – частное или значение частного	8: 2 частное	Разделить Уменьшить в … Меньше в … Частное Делимое, делитель

Приложение №2

Похожая информация.

Вопросы методики изучения арифметических действий разделим на две части. В данной части рассмотрим, как формировать у учащихся представления о сложении, вычитании, умножении, делении, понятии арифметического действия, их свойствах, а в следующей части главы – как формировать вычислительные умения и навыки.

7.3.1. Цели и результаты изучения арифметических действий. Арифметические действия – ключевые понятия теории чисел и важнейшая характеристика числовых множеств. Их изучение – неотъемлемая часть формирования понятия числа и вычислительных умений и навыков. В математике обобщение арифметических действий привело к понятию операции, а затем к таким понятиям как математическая структура, группа, кольцо, поле, играющим огромную роль в современной математике и в ее применении в разных сферах жизни. Изучение арифметических действий позволяет детям на интуитивном уровне соприкоснуться со многими математическими идеями, в частности, с идеями функциональности, математической структуры, математического моделирования, принципом двойственности. Арифметические действия обладают богатым потенциалом для развития мышления, речи, становления и развития универсальных учебных действий.

Арифметические действия в современных формах записи удобны для наблюдения и открытия закономерностей, построения числовых последовательностей. Они допускают изобретение способов выполнения действий и соответствующих алгоритмов, способов преобразования числовых выражений и потому могут служить средством развития самостоятельности мышления, творческих способностей. Не потеряла своего значения и задача обучения вычислениям, хотя в настоящее время роль вычислительных умений изменилась. Изменились также цели изучения арифметических действий, требования к результатам их изучения.

Цели изучения арифметических действий младшими школьниками – личностное и интеллектуальное развитие, развитие представлений о числе и арифметических действиях, формирование вычислительных умений и навыков, пропедевтическое знакомство с ключевыми идеями математики, достижение планируемых результатов.

Личностные и метапредметные результаты обеспечиваются а) характером представления учащимся арифметических действий, включая рассмотрение не только узко предметных, но и межпредметных, гуманитарных их аспектов; б) усилением внимания к смыслам арифметических действий, к логическим связям и выводам, к применению арифметических действий для описания окружающего мира; в) включением в процесс изучения имеющийся и рождающийся субъектный числовой опыт детей, опыт познания.

Личностные результаты изучения арифметических действий –формируемое отношение к миру, людям, к себе, к учению, к числам и арифметическим действиям. Метапредметные результаты , относящиеся к арифметическим действиям – это умение использовать их в качестве моделей предметных действий и средств получения новой информации в разных областях знания и повседневной жизни, это умение использовать рисунки, схемы, таблицы, как средства познания смыслов и свойств арифметических действий; владение общими арифметическими способами решения задач; моделирование ситуаций средствами арифметических действий. К метапредметным результатам изучения арифметических действий относятся также УУД, формируемые при изучении любого учебного материала.

Предметные результаты – это то, что будет знать каждый учащийся об арифметических действиях как о математических объектах, чему научится и получит возможность узнать и научиться. Обязанность учителя – обеспечить достижение всеми учащимися на выпуске из начальной школы планируемых результатов изучения арифметических действий в соответствии с требованиями ФГОС НОО. Вариант планируемых предметных результатов представлен ниже.

В результате изучения арифметических действий выпускник начальной школы научится: использовать арифметические действия для описания и объяснения окружающих предметов, процессов, явлений, их количественных и пространственных отношений, для решения текстовых задач (в 2 – 3 действия); выполнять устно сложение, вычитание, умножение и деление однозначных, двузначных и трёхзначных чисел в случаях, сводимых к действиям в пределах 100 (в том числе с нулём и числом 1); выполнять с помощью алгоритмов письменных вычислений арифметические действия с многозначными числами (сложение, вычитание, умножение и деление на однозначное, двузначное числа в пределах 10 000), использовать калькулятор для проверки правильности устных и письменных вычислений; выделять неизвестный компонент арифметического действия и находить его значение; вычислять значение числового выражения, содержащего 2-3 арифметических действия, со скобками и без скобок.

Выпускник получит возможность научиться : использовать свойства арифметических действий для упрощения и рационализации вычислений; выполнять действия с значениями величин; проводить проверку правильности вычислений, в том числе калькуляторных (с помощью обратного действия, прикидки и оценки результата действия).

Сформулировав планируемые результаты необходимо задать и средства диагностики, диагностические материалы, позволяющие выявить степень достижения выпускником начальной школы планируемых результатов. Ниже приведен один из возможных вариантов заданий для итоговой оценки предметных и метапредметных результатов.

А. Базовый уровень .

1. Часть стены модели дома выложена из 5-ти одинаковых деревянных брусков, имеющих форму параллелепипеда. (Размеры бруска 10 см × 2 см × 2 см. Бруски сложены в стопку на парте.) С помощью измерения длин сторон и действий сложения, вычитания, умножения и деления дайте характеристику этой части стены, ответив на вопросы: 1.1. Какова длина, толщина, высота данной части стены? 1.2. Какова площадь поверхности внутренней стороны стены? 1.3. Сравни длины сторон бруска по вопросам «Равны или не равны?», «На сколько сантиметров больше (меньше)?», «Во сколько раз больше (меньше)?».

2. На склад привезли 4560 кг рисовой крупы в мешках по 80 кг в каждом и 64 мешка гречневой крупы. Сколько всего мешков с крупами привезли на склад?

3. Найди значения выражений: (360 – 24 ∙ 5) : 40; 450: 50; 78: 4; 73 + 89; 0 ∙ 256; (36: 9 – 3) ∙ 17; 32 ∙ (1462 + 748) : (7846 – 7781)

В. Повышенный уровень .

1. Часть стены модели дома выложена из 5-ти одинаковых деревянных брусков, имеющих форму параллелепипеда. (Размеры бруска 10 см × 2 см × 2 см. Бруски сложены в стопку на парте.)

С помощью измерения длин сторон и действий сложения, вычитания, умножения и деления, дайте характеристику этой части стены, ответив на вопросы: 1.1. Какова длина, ширина и толщина данной части стены? 1.2. Какова площадь поверхности внутренней стороны стены? 1.3. Каков объем бруска? объем стены? 1.4. Сравни длины сторон бруска по вопросам «На сколько сантиметров больше (меньше)?», «Во сколько раз больше (меньше)?». 1.5. Сравни объем части стены и объем бруска.

2. На складе 4560 кг рисовой крупы в мешках по 80 кг в каждом и 3840 кг гречневой крупы в 64 мешках. Мешок с какой крупой тяжелее и на сколько? С какой крупой мешков больше и на сколько?

3. Найдите значения числовых выражений используя устные вычислительные и свойства арифметических действий: (480 – 24 ∙ 6) : 16; 354 + 188; 162: 4; 18 ∙ 4 – 1345∙0; 317: 50; 45: 45; (27 - 108: 9) ∙ 17.

4. Найдите значения числовых выражений, используя алгоритмы письменных вычислений: 26 (1672 + 1448) : (4825 – 4773)

«Проверяемое умение: умениевыполнять арифметические действия с использованием изученных алгоритмов (сложение, вычитание, умножение и деление на однозначное, двузначное числа в пределах 10 000). Задание базового уровня. Вычисли: 2072: 37. Задание повышенного уровня. Петя выполнил умножение и увидел, что в записи четыре раза повторяется одна и та же цифра. Он закрыл эту цифру карточками и предложил Мише угадать эту цифру. Какая это цифра?

Отметь правильный ответ ✔. □ 0 □ 4 □ 5 □ 6.»

« Умение : понимать смысл деления с остатком, выделять неполное частное и остаток. Задание базового уровня. Для подарков купили конфеты. Всего 199 конфет. В каждый подарок нужно положить по 5 конфет. Сколько конфет останется? Для футбольной команды купили18 билетов в один купейный вагон. Номера билетов с 1-го по 18-й. В скольких купе разместятся футболисты, если в каждом купе могут ехать 4 человека?»

«Умение: осуществлять прикидку и проверку результата выполнения арифметического действия. Задание 31 базового уровня. Каким числом является результат действия 12064: 4? Обведи номер ответа. 1) двузначным; 2) трехзначным; 3) четырехзначным; 4) пятизначным.

Задание 32 повышенного уровня. Хватит ли 1 000 р для покупки четырех книг по цене 199 р за одну книгу и календаря за 250 р? Запиши и объясни ответ. Ответ: …

Объяснение. Ответ: не хватит. Пример объяснения: после покупки четырех книг останется чуть больше двухсот рублей. Этих денег не хватит на покупку календаря за 250 рублей. …» 18 Возможно объяснение: «Не хватит. В 1000 р. содержится 5 раз по 200 р. Платят 4 раза на 1 р. меньше 200, т.е. на 4 р. меньше чем 4 раза по 200 р. После оплаты четырех книг останется всего на 4 р. больше 200, что меньше 250.» Если дано пояснение «Не хватит, так как: 199 ∙ 4 = 796 (р.); 1000 – 796 = 204 (р.); 204 < 250», то оценить владение прикидкой и оценкой по этому ответу нельзя, так как в этом обосновании они не показаны.

7.3.2. Последовательность изучения арифметических действий в начальной школе. Традиционно арифметические действия изучаются в последовательности: сложение и вычитание, умножение, деление (нацело) и деление с остатком. Этот порядок прослеживается во многих учебниках математики для начальной школы. Однако существуют другие подходы к последовательности изучения действий.

В истории российского начального образования действия сложения и вычитания долгое время вводились и изучались последовательно, со значительным разрывом во времени. Затем стало признанным мнение, что длительная работа с одним арифметическим действием затрудняет усвоение обоих действий, так как у учащихся успевает выработаться определенный стереотип, который затем нужно разрушать. Одновременное или последовательное на следующих друг за другом уроках введение сложения и вычитания создает условия для сопоставления действий, что способствует лучшему усвоению смыслов. Поэтому с середины прошлого века действия сложения и вычитания в нашей школе рекомендовалось изучать одновременно и вводить на одном или на последовательно следующих друг за другом уроках.

Относительно последовательности введения умножения и деления разногласий нет. Умножение обычно вводится несколько раньше деления. Деление начинают изучать после того, как учащиеся усвоят смыслы умножения. Иногда после введения умножения изучают табличное умножение, и лишь потом деление. Но чаще табличное деление рассматривают одновременно с табличным умножением на одних и тех же или последовательных уроках после введения деления.

Разные точки зрения существуют относительно последовательности изучения деления нацело и деления с остатком . Согласно одной из них вначале вводится деление нацело, его смыслы, табличные случаи деления. После их усвоения вводится деление с остатком как особое действие, со своими смыслами, свойствами, алгоритмами на основе табличного деления нацело. Затем рассматриваются основные внетабличные приемы деления нацело и деления с остатком, и письменное деление как деление с остатком, частным случаем которого является деление нацело – с остатком 0.

Согласно другой точке зрения деление нацело и деление с остатком могут вводиться как обозначение деления группы предметов, предметов на равные по заданному основанию части (в соответствии с теоретико-множественными и величинными смыслами действия деления) одновременно или на серии последовательных уроков. Результатом такого введения будет способность учащихся обозначать предметные действия деления по содержанию и на равные части записями вида 12: 3, 13: 3, 12: 3 = 4, 13: 3 = 4 (ост. 1), и наоборот, по записи выполнять предметные действия или делать рисунки.

После освоения предметных смыслов деления, которые одинаковы для деления нацело и деления с остатком, переходят к обсуждению вопроса, как находить результаты деления без предметных действий. Ответ ищут, установив связь деления с умножением вначале для деления нацело и сосредоточив внимание на табличных случаях, свойствах деления нацело, свойствах таблицы умножения/деления. К случаям деления с остатком обращаются в этот период попутно, закрепляя его понимание, предоставляя учащимся возможность находить частное и остаток на основе интуитивного понимания связи деления нацело и деления с остатком. После освоения табличного умножения и деления рассматривают особенности, свойства, способы и алгоритмы деления с остатком.

Обоснованием последней точки зрения служит то, что наличие или отсутствие остатка не меняет ход практического деления. Например, разделим 12 и 13 кубиков на равные части по 3 кубика в каждой. Действуем в обоих случаях одинаково: берем 3 кубика и откладываем в сторону. Это действие повторяем, пока можно взять 3 кубика. Обозначается: 12: 3 и 13: 3. Как только кубиков не останется или останется меньше трех, считаем получившиеся части. Их число и будет частным. В обоих случаях образовалось 4 равных части по 3 кубика в каждой – частным будет число 4. В случае с 12 кубиками «неподеленных» кубиков не останется, а при делении 13 кубиков по 3 неподеленным останется 1 кубик. Получаем: 12: 3 = 4, 13: 3 = 4 (ост. 1).

Будем делить 12 и 13 кубиков на 3 равные части . Берем столько кубиков, сколько требуется равных частей, и раскладываем по одному. Затем вновь берем столько предметов, сколько частей и раскладываем по одному к уже разложенным. Действуем так, пока не останется ни одного кубика или останется меньше, чем требуемое число частей. В обоих случаях частное 4 (в каждой из трех равных частей по 4 кубика). При делении 12: 3 остатка нет, при делении 13: 3 остаток 1. Запись: 12: 3 = 4 и 13: 3 = 4 (ост. 1).

В предметной деятельности, начиная процесс деления, чаще всего не знают, будет ли остаток. В детском опыте ситуаций практического деления много. Дети делят игрушки, конфеты, делятся на команды в играх и многое другое. Деление нацело получается далеко не всегда. Вводя только деление нацело, приходится ограждать детей от ситуаций, когда нацело разделить невозможно. И если период встреч только с делением нацело длительный, то у детей вырабатывается стереотип: при делении чисел всегда получается одно число – частное. Это затрудняет понимание деления с остатком. Отчасти поэтому деление с остатком считается трудным действием, а текстовые задачи, при решении которых оно может быть использовано, либо не рассматриваются (за исключением простых задач при введении деления с остатком), либо их относят к задачам повышенной трудности.

Исходя из проведенных рассуждений, последовательность изучения умножения и деления может выглядеть так: введение умножения освоение его смыслов; введение деления нацело и с остатком, освоение смыслов деления; табличное умножение и деление (нацело); устные вычислительные алгоритмы деления с остатком, основанные на табличном делении; алгоритмы внетабличного (устного) умножения и деления, в том числе деления с остатком; алгоритмы письменного умножения; алгоритмы письменного деления как алгоритмы деления с остатком, частным случаем которого является деление с нулевым остатком – деление нацело; умножение и деление с помощью калькулятора.

Изучение каждого арифметического действия можно представить по этапам: подготовка к введению арифметического действия или действий; введение действия (действий), мотивация к изучению, планирование работы по изучению арифметического действия (или действий), формирование смыслов изучаемого действия; изучение свойств арифметических действий; изучение алгоритмов выполнения действий и формирование вычислительных навыков.

Подготовка к введению арифметического действия или действий заключается в создании предметно-деятельностной основы арифметических действий, которая реализуется в действиях с группами предметов (теоретико-множественный подход) и с предметами по заданной величине (величинный подход), в «прошагивании» по ряду чисел, включающему число 0 и натуральный ряд (порядковый подход). Здесь необходимо уточнение, углубление представлений о числе, актуализация способов предметных действий, решение с их помощью текстовых задач, соответствующих арифметическому действию.

Основными задачами уроков введения арифметического действия (или действий) и формирования смыслов изучаемого действия являются: создание положительной мотивации к изучению действия, выделение, выполнение и обозначение новым действием предметных действий, лежащих в основе вводимого арифметического действия; овладение учащимися терминами и способами символьного обозначения и словесного описания действия; включение нового арифметического действия в систему имеющихся числовых представлений.

Положительные мотивы к изучению действия могут быть сформированы через эмоциональное проживание детьми арифметического действия как краткого и быстрого способа сохранения и передачи информации о действии с предметами, как средства обогащения письменной речи, как расширения возможностей общения, как средства моделирования задачных ситуаций, средства получения новой информации. Предметом интереса детей можно и должно сделать свойства действий, особенности поведения отдельных чисел по отношению к арифметическим действиям, необычные способы вычислений, числовые последовательности, построенные на закономерностях, выражаемых на языке арифметических действий. Это возможно через раскрытие смыслов арифметических действий, через возможность порождения собственных, личностных смыслов.

Напомним: арифметические действия - это математические операции на числовом множестве (в начальной школе на множестве целых неотрицательных чисел). Операция – соответствие между множеством пар чисел из числового множества и элементами этого же множества. Соответствие может быть задано перечислением и характеристическим свойством. Такие свойства закладываются в определение действия. В записи это обозначается знаком действия. В записях 3 + 4, 17 – 9, 25 ∙ 7, 12: 6, 17: 5 операции заданы, так как указаны конкретные пары чисел, а знак указывает на способ получения соответствующего числа. В равенствах 3 + 4 = 7, 17 – 9 = 8, 25 ∙ 7 = 175, 12: 6 = 2, 17: 5 = 3 (ост.2), соответствующее число или числа заданы не только характеристическим свойством, но и перечислением.

Заметим, что на начальном этапе освоения арифметического действия, а также при изучении свойств, при обобщении некоторых характеристик действия полезно использование придуманных детьми условных обозначений чисел, например: ⌂ + ○; ⌂ – ○ = ◊ , ⌂ + ○ = ○ + ⌂ или ☼ +☺; ☼ +☺=☻. Такие записи позволяют рассматривать действие и его свойства тогда, когда дети еще не могут записать нужные числа, а также когда конкретная числовая характеристика групп предметов или предмета не может быть точно определена, когда нужно показать общий вид выражений и равенств. К тому же такие условные знаки несут в себе эмоциональную составляющую их авторов или «выборщиков».

Свойства арифметических действий могут быть открыты учащимися в процессе учебно-исследовательской деятельности, организованной учителем. Важно, чтобы каждое свойство явилось решением принятой учащимися проблемы, ответом на вопрос, который возник у них. Это может быть тогда, когда с первых дней обучения учим детей замечать и выявлять сходство и различия между любыми объектами, в том числе между действиями с предметами, между их записями.

Основные вопросы, которые приводят к открытию свойств арифметических действий, это вопросы о возможности замены одних выражений, а значит и последовательности арифметических действий, другими, содержащими те же числа и имеющими такое же числовое значение, что и исходное выражение, но другие действия или другую последовательность действий.

Перечень свойств арифметических действий (на множестве натуральных чисел и нуля), может быть таким:

Свойства связи отношений «(непосредственно) следовать за» и сложения и вычитания: a + 1 = а ′ и а ′ – 1 = a (если к числу прибавить 1, то получится следующее за ним число, если вычесть 1, то получится предыдущее число); переместительное свойство сложения, умножения 3 + 4 = 4 + 3, a + b = b + a , ab = b a ; сочетательное свойство сложения (a + b ) + c = a + (b + c ), умножения (ab )c = a (bc ) или в форме правил прибавления числа к сумме и суммы к числу, умножения числа на произведение и произведения на число; правила вычитания числа из суммы и суммы из числа: (7 + 9) – 5 = (7 – 5) + 9 = 7 + (9 – 5), 9 – (4 + 3) = 9 – 4 – 3; правила деления произведения на число и числа на произведение: (12  8) : 4 = (12: 4)  8 = 12  (8 ; 4), 24: (3  4) = (24: 3) : 4; правило деления суммы на число: если ac и bc (- нацело делится), то (a + b ) : c = a :c + b :c , (60 + 12) : 6 = 60: 6 + 12: 6; распределительное свойство умножения относительно сложения (3 + 4)  5 = 3  5 + 4  5, 5  (3 + 4) = 5  3 + 5  4 или в форме правил умножения суммы на число и числа на сумму: (3 + 4)  5 = 3  5 + 4  5, 5  (3 + 4) = 5  3 + 5  4; правило умножения разности на число: (13 – 5)  2 = 13  2 – 5  2; свойства, отражающие связь сложения и вычитания, умножения и деления: a + b = c ↔ c – b = a и c – a = b ; a : b = q ↔ a = bq и a : q = b , a : b = q (ост. r ), r < b ↔ a = bq + r ; зависимости между изменением компонентов и результата действия: a + b = c (a ± d ) + b = c ± d (если одно слагаемое увеличить (уменьшить) на какое-то число, то и сумма увеличится (уменьшится на это же число); a + b = c ↔ (a + d ) + (b – d ) = c (если одно слагаемое увеличить, а другое уменьшить на одно и то же число, то сумма не изменится); a – b = c ↔ (a ± d ) – (b ± d ) = c (если уменьшаемое и вычитаемое увеличить (уменьшить) на одно и то же число, то разность не изменится); ab = c ↔ (a : d )  b = c : d ; ab = c ↔ (a : d )(bd ) = (ad )(b : d ) = c ; a : b = q ↔ ad : b = cd ; свойства деления с остатком: деление с остатком выполнимо для любых чисел (кроме деления на нуль); остаток меньше делителя; делимое равно сумме произведения частного на делитель и остатка.

Если присмотреться к равенствам, выражающим свойства арифметических действий, то мы обнаружим, что есть много общего в свойствах сложения и умножения, деления и вычитания. Здесь проявляется «принцип двойственности 19 , …, заключающийся в том, что каждому верному утверждению этого раздела отвечает двойственное утверждение, которое может быть получено из первого путём замены входящих в него понятий на другие, т.н. двойственные им понятия».

Принцип двойственности одна из важных содержательных идей математики, которая значительно расширяет возможности познания. Идея двойственности обнаруживается детьми, если изучение нового действия, свойств этого действия учитель будет организовывать на основе уже изученных действий, побуждая детей к прогнозированию свойств, проверке прогнозов, например, с помощью простых вопросов и заданий о сходстве и различии: «Чем похоже вычитание на сложение? Чем отличается?», … «Чем похоже деление на другие арифметические действия, которые ты знаешь? Чем похоже деление на вычитание? Чем деление отличается от вычитания?», «Вы знаете, что сложение обладает переместительным и сочетательным свойствами. Сформулируйте такие же свойства для умножения. Проверьте их справедливость на нескольких примерах», «Сформулируйте переместительное и сочетательное свойства для деления. Проверьте их справедливость на нескольких примерах».

7.3.3. Изучение сложения и вычитания. Содержание изучения действий существенно зависит от подхода к понятию числа, которого придерживается учитель, от смыслов которые он вкладывает в это понятие. Будем следовать универсальному подходу, рассматривая с учащимися число во всех основных его смыслах.

Теоретико-множественный смысл действия сложения на доступном для учащихся языке может быть представлен через задачи, описывающие соответствующие предметные действия и рисунки к ним (рис. 7.7). На одной тарелке 4 яблока, а на другой 3. Сколько яблок на двух тарелках? (Задача на нахождение суммы). На одной тарелке 4 яблока, а на другой на 3 яблока больше. Сколько яблок на другой тарелке? На одной тарелке 4 яблока, что на 3 яблока меньше, чем на другой. Сколько яблок на другой тарелке? (Задачи с отношениями «больше (меньше) на», в которых неизвестно большее число.); На одной тарелке 4 яблока, а на другой 3 яблока. Сколькими способами можно выбрать один фрукт? (Комбинаторные задачи, задающие правило суммы подсчета числа комбинаций).

Задачи раскрывающие теоретико-множественный смысл действия вычитания . а) На тарелке было 4 яблока, 3 яблока съели. Сколько яблок осталось? (Нахождение остатка (разности)); б) На одной тарелке 4 яблока, а на другой на 3 яблока меньше. Сколько яблок на другой тарелке? На одной тарелке 4 яблока, это на 3 яблока больше, чем на другой. Сколько яблок на другой тарелке? На одной тарелке 4 яблока, а на другой 3 яблока. На сколько яблок на первой тарелке больше, чем на второй? На сколько яблок на второй тарелке меньше, чем на первой? (Задачи с отношениями «больше (меньше) на») с неизвестным меньшим числом или на сколько одно число больше или меньше другого (на разностное сравнение. (Рис. 7.8 а, б).

Смыслы сложения и вычитания, основанные на понятии величины, выражают операции объединения и удаления объектов, обладающих длиной, площадью, объемом, массой и других величин, что может быть показано практическим действием или рисунком (рис. 7.9)

Порядковые смыслы сложения и вычитания проявляется в последовательном переходе от первого слагаемого к непосредственно следующему за ним числу, от него к следующему столько раз, каково второе слагаемое. Вычитание может быть задано как последовательный переход от уменьшаемого к предыдущему столько раз, каково вычитаемое. При введении сложения и вычитания этот смысл представляют правилом, которое формулируется в результате наблюдения за положением числа, к которому с помощью действий с предметами прибавляется единица (из которого вычитается единица) и результатом этих действий: «Если к числу прибавить единицу, то получится следующее число; если из числа вычесть единицу, то получится предыдущее число».

Подготовке к введению сложения и вычитания способствуют упражнения в действиях с предметами, соответствующих вводимым действиям, и сопровождающем эти действия счете предметов и мерок при измерении величин в простейших случаях. Например, счет шагов при ходьбе (измерение длины пути), счет одинаковых между собой треугольников, прямоугольников, из которых составлена фигура (измерение площади), счет стаканов воды, наливаемой в банку или выливаемой из нее, движений секундной стрелки на циферблате и т.п. Полезен счет двойками, тройками, четверками, пятерками.

Возможные виды предметных действий, соответствующих сложению и вычитанию могут быть такими.

Положите слева 3 кубика. Положите ниже карточку с нужной цифрой. Положите справа 5 кубиков. Положите карточку с цифрой. Объедините кубики, придвинув их друг к другу. Найдите полоску длиной в 3 единицы длины (3 мерки, состоящую из трех равных частей) и полоску в 5 таких же единиц длины. Составьте из этих двух полосок одну длинную. Что обозначают числа 3 и 5 для кубиков? … Для полосок? … Что сделали с кубиками? … Что сделали с полосками? …

Сосчитайте все треугольники. (8) Сосчитайте все красные треугольники. (3) Уберите их в конверт. В этой банке 8 стаканов воды. Выливаем 3 стакана воды. Обозначьте цифрами.

Ведение сложения и вычитания. Особенностью арифметических действий, в том числе сложения и вычитания, побуждающих детей к их изучению, является возможность во много крат сократить запись информации. Чтобы показать это учащимся, во время выполнения учащимися заданий, приведенных выше, на доске появляется текст: Положили слева 3 кубика. Положили справа 5 кубиков. Объединили кубики. Взяли полоску длиной в 3 единицы длины и полоску длиной в 5 таких же единиц длины. Составили из двух полосок одну длинную. (Если вычитание вводится одновременно со сложением, то в тексте будут также предложения вида: «Было 8 треугольников. 3 треугольника убрали», «Было 8 стаканов воды. Вылили 3 стакана»). Ниже записаны (или выложены карточками) цифры: 3 5 (8 3).

На доске записано, что вы делали только что с кубиками, с полосками, (с треугольниками, с водой). Легко ли вам прочитать этот текст? (Нелегко.) – Но если использовать язык математики, то можно записать это гораздо короче. Может, кто уже знает, как принято обозначать наши действия в математике? Вместе с детьми конструируем образец записи (вначале только выражение): 3 + 5 (8 – 5).

Эта запись заменяет весь этот текст. Сколько знаков в математической записи? (Всего 3. При одновременном введении и вычитания – 6.) - А в тексте сколько знаков?

Если запись сделана на интерактивной доске, то с помощью выделения текста легко определить число знаков: 163 (или с вычитанием 236!): 163! (или 236!) против 3-х (или 6-ти!) Более чем в 50 (почти в 40 раз) математическая запись короче! Это открытие может быть точкой удивления, которая придаст эмоциональную окраску изучаемому, усилит интерес к нему.

Возможно, что кто-то из вас уже знает, как принято читать эту запись и что она означает? (Вначале говорят дети, а потом учитель.) – Запись 3 + 5 принято читать «к трем прибавить пять» (и «из восьми вычесть пять»). Прочитайте еще раз вместе со мной. … Означает эта запись, что было 3 предмета и 5 предметов, и их объединили (Было 8 предметов, 5 из них взяли, убрали). Или, что из двух полосок длиной в 3 и 5 единиц длины составили одну полоску, длиной 3 да 5 единиц длины. Говорят также, что 3 + 5 – это запись действия сложения (8 – 5 – это запись действия вычитания ).

Далее организуется выполнение заданий трех видов на выработку умений переходить от предметных действий к действиям с числами и от действий с числами к предметным действиям: (1) демонстрируются предметные действия (педагогом, учащимися, на рисунках в учебнике или рабочей тетради, на интерактивной доске), а учащиеся обозначают их соответствующими числовыми выражениями, читают выражения; (2) называются или показываются числовые выражения (к четырем прибавить два, из четырех вычесть три, 4 + 2; 4 – 3), а учащиеся выполняют действия с предметами, рисуют или выбирают изображения предметных действий, которые могли бы быть обозначены сложением (вычитанием); (3) устанавливается соответствие между изображением предметных действий и числовыми выражениями (рисунки и выражения могут быть в пособиях, на отдельных листах, на доске, интерактивной или обычной; это могут быть два набора карточек – с рисунками предметных действий и с числовыми выражениями либо карточки по типу домино).

Обратим внимание на несколько важных моментов. Хотя знакомство со сложением и вычитанием происходит при изучении чисел первого десятка, полезно рассматривать ситуации, обозначаемые сложением и вычитанием, не только с числами первого десятка, но и с числами других числовых множеств. Например, учитель показывает одну шкатулку с 14 пуговицами, а другую с 26 такими же пуговицами. На каждой шкатулке крупно написано соответствующее число. Нужно выложить карточками с цифрами такие же числа у себя на партах. Затем пересыпает пуговицы из второй шкатулки в первую и просит учащихся положить карточку с соответствующим знаком между числами. Получилась запись: 14 + 26. С помощью учителя дети читают запись, говорят, что она обозначает.

На начало введения арифметического действия предметные действия обозначаем числовым выражением или числовым выражением и равенством. Равенство требует называния и записи конкретного числа, результата действия, тогда как способами его нахождения кроме предметных действий и счета, дети еще не владеют. Числовое выражение не называет число, результат действия, но задает знаком действия способ его получения. В этом случае мы получаем возможность рассматривать действие для любых чисел и действий с любыми предметными моделями действия. Это важно для формирования смыслов действия. Учащиеся получают также возможность определить границу применимости вычислений с помощью предметов, что мотивирует их на изобретение способов и алгоритмов без действий с предметами.

На первом этапе изучения действий необходимо сосредоточить внимание детей на вопросах «Что такое «сложение»?», «Что такое «вычитание?». Здесь предпочтительнее запись действия числовым выражением. Когда ответы на вопросы «Что …?» будут поняты и присвоены, можно переходить к вопросу «Как найти результат действия (значение суммы, разности)?». Теперь сложение и вычитание могут записываться и проговариваться как равенства.

Перед переходом к равенствам и нахождению результатов и записи равенствами подводим промежуточный итог , предоставляя учащимся возможность показать, как они понимают сложение (и вычитание, если действия вводятся на одном уроке).

Итак, вы теперь знаете, как обозначать действия с предметами сложения чисел. Покажите, как вы умеете это делать. Прочитайте математические записи и скажите, что может означать каждая: 3 + 2, 1 + 3, 5 + 8, 10 + 4, 1000 + 5000, Ω + ☼ . (На доске соответствующие рисунки, например, к записи 1000 + 5000 рисунок двух денежных купюр, к записи «волшебными» цифрами – два контейнера с грузом на железнодорожной платформе, с указанием массы в тоннах Ω и ☼.).

Вы правильно говорили: что сложением обозначают ситуации, когда что что-то к чему-то добавили, объединили. А как обозначить, что получается в результате таких действий? - Наблюдайте за движением Димы, измеряйте вместе с ним длину каждой части пути, считая шаги. (Дима делает 4 шага от парты к доске, останавливается, затем делает еще 3 шага к окну). - Запишите действие. (4 + 3). – Дима, пройди еще раз, считая все шаги. Сколько шагов всего? (7) – Как это записать? Дополните запись того, что делали, результатом действия. (После предложений детей, записываем: 4 + 3 = 7. – Прочитайте это равенство. (С помощью учителя читают: «К четырем прибавили три и получили семь».)

Далее дети выполняют задания названных выше видов (1), (2) и (3). В случае, когда число предметов в объединении или количество мерок при измерении величины можно сосчитать, учащиеся записывают равенства, в иных случаях записывают только выражения.

В этот же период вводятся термины слагаемое, слагаемое, сумма; уменьшаемое, вычитаемое, разность. Введение терминов полезно предварить беседой об именах. Каждый из нас имеет множество имен, названий. Одна группа имен – это имена собственные: Таня, Лена, Валентина Сергеевна. Имена даются также по тому, что мы в делаем – велосипедист, пешеход, пассажир, прохожий, читатель; по роду занятий и профессии – педагог, учащийся, портной, токарь, пилот и многим другим основаниям – человек, служащий, друг, сестра, дочь, внук.

Если этот подход применить к числам, то имена собственные – это «один», «два», «триста семьдесят» и т.д. Участие чисел в арифметических действиях и выполнение ими определенных функций или ролей позволяет дать им названия в соответствии с этими функциями. Пусть вначале дети предложат свои названия, обоснуют их. Можно даже конкурс объявить! Только в контексте собственного словотворчества общепринятые термины будут для детей «живыми», запоминающимися, эмоционально окрашенными.

Когда учащиеся свободно будут переходить от предметных ситуаций к обозначению сложением и вычитанием и наоборот, актуальным станет вопрос «Как найти результат сложения, вычитания без рисунков, счета на пальцах, измерения?»

В этот же период уже нужно начинать включение детей в планирование своей учебной работы , побуждать к рефлексии учения, его результатов, т.е. формировать учебную деятельность, постепенно, по мере овладения соответствующими УУД, переводить от управляемой извне учебной деятельности к самостоятельной.

Например, после введения сложения и вычитания спрашиваем:

Вы теперь знаете, что такое сложение, что такое вычитание? (Да.) – Все, все знаете о сложении? О вычитании? (Нет, не все.) – Как вы думаете, что еще надо бы знать об этих действиях? Что уметь? … - На какие вопросы о сложении и о вычитании вы хотели бы получить ответы? Чему научиться? …

На основе этого диалога, во время которого учитель записывает доске вопросы детей, их предложения, организует обмен мнениями, учащиеся с участием учителя как организатора и носителя знания о существующих договоренностях, выстраивают последовательность изучения сложения и вычитания.

Следующая педагогическая задача – формирование навыков табличных вычислений , а учебная задача учащихся – научиться находить результаты сложения и вычитания, сумму и разность (значение суммы и значение разности) , объяснять вычисления, проверять себя, планировать дальнейшие действия .

Изучение свойств сложения и вычитания. Особенность изучения свойств сложения и вычитания заключается в том, что это первые арифметические действия, с которыми знакомятся дети. Свойства действий рассматриваются в период освоения предметного смысла действий и обосновываются этими предметными, интуитивно понятными свойствами действий. Все свойства могут быть открыты детьми в процессе организованных учителем учебных действий. Важно, чтобы формулировки свойств и записи не были громоздкими.

Многие вычисления в первом классе, особенно в первом полугодии, выполняются способами, в которых известные свойства проявляются на интуитивном уровне. Эти свойства представляются с участием детей в доступной для них форме. Например, способы сложения и вычитания единицы, по единице, по частям: 3 + 4 = 3 + 1 + 1 + 1 + 1 = 3 + 2 + 2; 7 – 4 = 7 – 2 – 2 = 7 – 1 – 3.

Первыми свойствами, доступными учащимся, могут быть свойства, связывающие понятия «следующий», «предыдущий» («непосредственно следующий за») с действиями сложения и вычитания. Это свойства натурального ряда, которые проявляют порядковый смысл числа в арифметических действиях, которое мы формулировали выше. Предшествует этому изобретение способов быстрого счета предметов в объединении двух групп предметов, например, присчитывание к известному числу предметов одной группы предметов другой: ⌂⌂⌂⌂⌂⌂ - 6 ⌂ 7⌂ 8 ⌂ 9. Предметов 9.

Следствием этого способа является нахождение результатов сложения и вычитания «прошагиванием» по натуральному ряду вначале единичными шагами, а затем шагами и иной длины (сложение, вычитание группами).

Обнаружить переместительное свойство сложения или перестановку слагаемы учащиеся могут в нескольких ситуациях.

1. Вычисляют с помощью предметных действий значения пар вида 4 + 3 и 3 + 4. Устанавливают сходство и различия. Высказывают предположения о значении других подобных сумм, проверяют предположение, вычисляя значения доступными способами.

2. В процессе выполнения предметных действий объединения двух групп предметов, двух предметов, веществ, устанавливается, что при изменении местоположения частей или порядка, в котором происходит объединение, количественная характеристика результата объединения не меняется. Обозначив предметные действия числовыми выражениями, получаем два выражения с разным порядком слагаемых и одинаковыми значениями.

3. Двое учащихся, находящиеся по разные стороны стола, обозначали сложением (суммой двух слагаемых) количество предметов находящихся на столе (Чекин А.Л. Математика, 1 кл. 2011) и получили два разных выражения: 3 + 4 и 4 + 3. Ставя себя в позицию каждого, дети убеждаются, что обе записи правильно обозначают одну и ту же ситуацию, количество одних и тех же предметов. На этом основании 3 + 4 = 4 + 3. Так как на стол можно положить любое другое количество предметов, например, Ω и ☼, то Ω + ☼.= ☼ + Ω, где Ω и ☼ - произвольные числа.

Важной характеристикой сложения и вычитания является то, что этими действиями выражаются отношения «больше (меньше) на ». Любое из равенств вида a + b = c и m – n = k задает отношения, в которых участвуют три числа: большее, меньшее, и число, отвечающее на вопрос на сколько одно число больше (меньше) другого. Если задано равенство, например, 5 + 3 = 8, то числами, связанными отношением «больше (меньше) на» могут быть числа 5 и 8, а число 3 будет показывать, на сколько 5 меньше 8-ми, а 8 больше 5-ти, или 3 и 8, тогда 5 будет показывать, на сколько 3 меньше 8-ми, а 8 больше 3-х.

Другие свойства действий сложения и вычитания также могут быть открыты учащимися при соответствующей организации. Для обнаружения свойств большое значение имеет направленность заданий на сравнение, классификацию, наблюдение за изменениями. С введением действий умножения и деления изучаются правила порядка действий, распределительное свойство умножения относительно сложения, правило деления суммы, разности на число, произведения на число, числа на произведение и другие свойства, относящиеся к одному или нескольким свойствам.

Дальнейшее расширение и углубление знаний о сложении и вычитании связано с расширением числовых множеств и переносом на них ранее изученных приемов, алгоритмов, терминов, свойств, с изучением свойств и овладением вычислительными умениями, с обогащением терминологии названиями свойств (сочетательное свойство, распределительное свойство), названиями разрядов и классов, именами многозначных чисел, характеристиками чисел.

7.3.4. Изучение умножения и деления. Вначале напомним основные смыслы умножения и деления.

Теоретико-множественные смыслы действий умножения и деления представим текстовыми задачами и рисунками к ним. а) «На одной тарелке 4 яблока. Сколько яблок на 3-х таких тарелках?» (рис. 7.10 а); б) В шахматном турнире участвовало 3 команды, каждая из которых включала 4 шахматиста - кандидата в мастера спорта и шахматистов 1, 2 и 3 разрядов. Сколько всего шахматистов участвовало в турнире?»; в) «На одной тарелке 4 яблока, а на другой в 3 раза больше. Сколько яблок на другой тарелке?», «На одной тарелке 4 яблока, это в 3 раза меньше, чем на другой тарелке. Сколько яблок на другой тарелке?» (задачи с отношениями «больше (меньше) в … раз», в которых неизвестно большее число) (рис. 7.10, в); г) Сколькими способами можно составить пару «конверт, марка», если имеется 3 вида конвертов и 4 вида марок? (задачи на подсчет числа комбинаций, правило произведения) (рис. 7.10, г).

Деление чисел в теоретико-множественном смысле возникло как обозначение двух видов практического деления группы предметов на равные по количеству предметов части , которые в методике обучения математике называют деление по содержанию и деление на равные части . Деление по содержанию : группу предметов делят на части по заданному одинаковому количеству предметов в каждой части и требуется узнать, сколько таких частей образуется. Деление на равные части : группу предметов делят на заданное число равных (по количеству предметов) частей и требуется узнать, по сколько предметов будет в каждой части.

Предметное действие деление по содержанию – это последовательное откладывание по заданному количеству предметов до тех пор, пока все предметы не окажутся разложенными или пока не останется предметов меньше, чем должно быть в одной части. Процедура откладывания соответствует предметному смыслу вычитания и может быть обозначена вычитанием. Деление выступает как более короткая запись

1 Микулина, Г. Г. Обобщение знаний по математике с помощью сказочных цифр / Г. Г. Микулина. – Начальная школа, 1986. - № 6 - С 25-29..

2 Математика. Виленкин Н.Я., Пышкало А.М. и др. М., 1977.

3 Ондар Ч. Этнокультурные аспекты в формировании числовых представлений // Начальная школа. 2010. № 11. – С.

4 Федеральные государственные требования к структуре основной общеобразовательной программы дошкольного образования. Приказ Минобрнауки РФ от 23 ноября 2009 г. № 655 http://www.rg.ru/2010/03/05/obr-dok.html Дата обращения 26.10.2011

5 Пиаже Ж. Избранные психологические труды, М., 1994.

6 Менчинская Н.А. Психология обучения арифметике. – М., 1955. Менчинская Н. А. Психология усвоения знаний в школе. М., 1959. Менчинская Н. А., Моро. М. И. Вопросы методики и психологии обучения арифметике в начальных классах. – М., 1965.

7 Костюк Г. С. Про генезис понятия числа у детей / Науковi записки, Т. 1. НИИ психологии, Киев, 1949

8 Л. С. Цветкова. Нейропсихология счета, письма и чтения: нарушение и восстановление, М., 2000;

9 Л.Ф. Магницкий. Арифметика. 1703 / http://www.math.ru/lib/176Дата обращения 29.09.2011

10 Галанин Д.Д. История методических идей по арифметике в России. Часть I. ХVIII век. М., 1915.

11 Галанин Д.Д. Введение в методику арифметики Москва, 1911.

12 Курганов С.Ю. Ребенок и взрослый в учебном диалоге. М., 1988; Берлянд И.Е. Загадки числа. М..1996

13 Башмаков М.И., Нефедова М.Г. Математика. 1 класс. Ч. 1. М, 2006

14 Чекин А.Л. Математика. 1 класс. Ч.1. М., 2010

15 Санитарно-эпидемиологические правила и нормативы СанПиН 2.4.2.2821-10. http://www.rg.ru/2011/03/16/sanpin-dok.htmlДата обращения 4.12.2011.

16 См. Ондар Ч. Этнокультурные аспекты в формировании числовых представлений // Начальная школа, 2010. - № 11. – С. 104 – 107; Царева С.Е. Стихи, загадки, пословицы, поговорки, сказки в начальном обучении математике Новосибирск, 1998.

17 Лысенкова С.Н. Когда легко учиться. – М.: 1985.

18 Оценка достижения планируемых результатов в начальной школе. Система заданий. В 2 ч. Ч. 1/ [М. Ю. Демидова, С. В. Иванов и др.]; под ред. Г. С. Ковалевой, О. Б. Логиновой - М. 2011. С. 58

19 http://slovari.yandex.ru/~книги/БСЭ/Двойственности принцип/.