Как научиться составлять дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения для "чайников"

Рассмотрим конкретный пример.

Скорость распада радия пропорциональна его имеющемуся количеству R . Найти закон распада радия, если известно, что через 1600 лет останется половина первоначального количества. Какой процент радия окажется распавшимся через 100 лет?

Решение . Пусть R - количество радия в момент времени t , а R 0 - его первоначальное количество. Тогда скорость распада радия равна и является отрицательной величиной, т.к. R с течением времени убывает. Согласно условию задачи имеем: , где k >0 - коэффициент пропорциональности, подлежащий определению. Интегрируем полученное уравнение:

Осталось найти k и C . Для определения произвольной постоянной С воспользуемся начальным условием: R=R 0 в начальный момент времени t =0. Тогда R 0 =С . Итак, закон распада радия имеет вид

Для нахождения k воспользуемся следующим условием: при t=1600. Отсюда

Таким образом, окончательно получаем

При t=100 имеем

Следовательно, через 100 лет распадается 4,2% первоначального запаса радия.

Решить задачи.

6.26. Тело за 10 мин охлаждается от 100 до 60°С . Температура окружающего воздуха равна 20°С . Считая скорость остывания тела пропорциональной разности температур тела и окружающего его воздуха, определить, за какое время тело остынет до 30°С . Указание . Пусть Т - температура тела в момент времени t . Тогда дифференциальный закон охлаждения тела имеет вид

.

6.27. Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью 1,5 м/с. Через 4с после выключения мотора ее скорость уменьшилась до 1 м/с. Считая, что сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки, найти ее скорость через 50с после остановки мотора. Указание . Пусть V - скорость лодки после выключения мотора в момент времени t . Тогда зависимость между V и t имеет вид , где m- масса лодки.

6.28. Поглощение светового потока тонким слоем воды пропорционально толщине слоя и потоку, падающему на его поверхность. При прохождении через слой толщиной 2м поглощается 1/3 первоначального светового потока. Определить, какой процент первоначального светового потока дойдет до глубины 4м. Указание . Пусть Q - световой поток, падающий на поверхность на глубине h . Тогда dQ = - kQdh .

6.29. Скорость тела V , брошенного вниз с начальной скоростью V 0, определяется равенством V =V 0 +gt . Найти уравнение движения данного тела.

6.30. Скорость размножения некоторых бактерий пропорциональна начальному количеству бактерий. Найти зависимость изменения количества бактерий от времени.

6.31. Найти закон роста клеток с течением времени, если для пальчиковых клеток скорость роста пропорциональна длине клетки l в данный момент. Указание . Пусть , где a,b- постоянные, характеризующие процессы синтеза и распада.

6.32. По какому закону происходит разрушение клеток в звуковом поле, если скорость их разрушения пропорциональна начальному количеству N .

6.33. Скорость укорочения мышц описывается уравнением , где х 0 - полное укорочение, х - укорочение в заданный момент. Найти закон сокращения мышц, если при t =0 величина укорочения была равна нулю.

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

По высшей математике

Высшего профессионального образования.. пермская государственная медицинская академия.. имени академика е а вагнера..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Дифференциальные уравнения
§1.Основные понятия. Уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные или дифференциалы различных порядков, называется дифференциальн

Однородные дифференциальные уравнения
Уравнения вида называется однородным уравнением. Однородное уравнение приводится к уравнению с раздел

Вероятность случайного события – это количественная оценка объективной возможности появления данного события
В математической статистике вероятностью случайного события называют предел, к которому стремится относительная частота события

Случайных величин
Обычно для описания распределения случайной величины бывает достаточно определить несколько числовых характеристик (параметров). Наиболее распространенные из них: математическое ожидание (среднее з

Оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке
Генеральной совокупностью случайной величины называют совокупность всех значений данной величины, которая подлежит изучению. Однако в реальных условиях эксперимента невозможно изучить всю со

Интервальная оценка. Интервальная оценка
при малой выборке. Распределение Стьюдента Точечная оценка, особенно при малой выборке, может значительно отличаться от истинных параметров генеральной совокупност

Проверка гипотез. Критерии значимости
Очень часто перед исследователем встает задача, выяснить, являются ли различия между средними арифметическими двух выборок

Характер взаимосвязи между признаками
Все многообразие связей между отдельными признаками, свойствами явлений или параметрами функционирующего объекта можно разделить на две основные группы: функциональные и статистические. За

С помощью коэффициента парной корреляции
Допустим, проводится независимое измерение различных параметров у одного типа объектов. Из этих данных можно получить качественно новую информацию – о взаимосвязи этих параметров. Например

Элементы регрессионного анализа
После того, как установлено наличие корреляционной связи между двумя изучаемыми признаками (явлениями), можно попытаться установить закономерность зависимости одного признака

Статистическая обработка данных измерения роста
В работе статистически обрабатываются данные измерения роста определенной группы населения. Необходимо построить гистограмму, вычислить среднее арифметическое

Правила округления
Хотя правила округления считаются известными, следует напомнить, что: 1. Если первая отбрасываемая цифра больше пяти, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу, если отбрасыв

Вычисления с приближенными числами
Точность результата математических операций с приближенными числами определяется количеством значащих цифр в этих числах. Значащими цифрами числа называется число надежно установленных циф

Медицинских вузов
Авторы- составители: Кирко Г.Е., Кустова Я.Р., Афанасьев А.Л., Корякина А.Г., Смирнова З.А., Зернина Н.В., Сазонова Н.К., Черемных М.Р. Редактор Н

Уравнения с разделяющимися переменными

Понятие дифференциального уравнения

Уравнение, содержащее независимую переменную х, искомую функцию у=f (x), а также ее производные у", у"", и т.д. называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Общий вид дифференциального уравнения:

F (x, y, y", y"",…, y (n)) = 0,(29)

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в это уравнение.

Например, у"+ху-5=0 – уравнение первого порядка, у""+6у"+х=0 – уравнение второго порядка.

Общий вид уравнения первого порядка:

F (x, y, y") = 0 , (30)

Общим решением дифференциального уравнения называется функция, удовлетворяющая двум условиям: во-первых, эта функция должна удовлетворять данному дифференциальному уравнению, т.е. при подстановке в уравнение должна обращать его в тождество; во-вторых, количество произвольных постоянных в этой функции должно быть равным порядку данного уравнения.

Общее решение дифференциального уравнения n- го порядка имеет вид:

у = f (x, C 1 , C 2, ….,C n) , (31)

а общее решение дифференциального уравнения I порядка

у = f (x, C) , (32)

Из общего решения путем вычисления постоянных интегрирования, исходя из заданных дополнительных условий, можно найти частные решения данного уравнения.

Дифференциальными уравнениями описывают различные процессы в физике, химии, биологии, фармации.

Из уравнений первого порядка рассмотрим уравнения с разделяющимися переменными .

Уравнение с разделяющимися переменными имеет вид у"= (х,у), причем его правая часть может быть представлена в виде произведения двух отдельных функций: . Тогда

Преобразуем это уравнение, разделив переменные справа и слева:

Общий вид уравнения с разделенными переменными

f (y)dy= (x)dx .

Уравнение решается непосредственным интегрированием: слева по переменной у и справа по переменной х С :

или F (y)=Ф (х)+С.

Решая это уравнение, находим:

Таким образом, алгоритм решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными следующий:

а) если уравнение содержит производную, то представить ее в виде ;

б) преобразовать уравнение, перенося все члены его, содержащие у , в левую часть, содержащие х – в правую;

в) проинтегрировать по общим правилам левую часть по аргументу у и правую – по аргументу х с прибавлением постоянной интегрирования С.

г) решая полученное уравнение, найти искомую функцию.

Пример16. Найти общее решение уравнения y"=2xy и частное решение, соответствующее условию

y=2 при x=0 , (33)

Решение. Представим производную y" в виде отношения дифференциалов:

Разделим переменные:

Проинтегрируем полученное уравнение:

ln y=x +C .

Так как в уравнение входит lny , то постоянную удобнее выразить в виде логарифма:

lny=х +lnC

lny- lnС=x

ln =х

Потенцируя это равенство, получим:

Отсюда , и для общего решения имеем

у=Се , (34)

Для нахождения частного решения подставим начальное условие (33) в (34):

Т.е. С=2 и искомое частное решение будет иметь вид

Задача о скорости размножения бактерий. Скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству. В начальный момент имелось 100 бактерий, в течение трех часов их число удвоилось. Найти зависимость количества бактерий от времени.

Решение. Пусть N – количество бактерий в момент времени t. Тогда согласно условию

где k - коэффициент пропорциональности. Уравнение (36) представляет собой уравнение с разделяющимися переменными и его решение имеет вид:

Из начального условия известно, что . Следовательно,

Из дополнительного условия . Тогда

Таким образом, для искомой функции получаем:

Задача об увеличении количества фермента. В культуре пивных дрожжей быстрота прироста действующего фермента пропорциональна его начальному количеству x. Первоначальное количество фермента а в течение часа удвоилось. Найти зависимость x(t).

Решение. По условию задачи дифференциальное уравнение процесса имеет вид

где k – коэффициент пропорциональности. Общее решение уравнения (39) (уравнение с разделяющимися переменными) имеет вид:

Постоянную С найдем из начального условия :

Известно также, что . Значит

Отсюда и окончательно имеем

3. Цель деятельности студентов на занятии:

Студент должен знать:

1. Определения производной и дифференциала функции.

2. Физический и геометрический смыслы производной.

3. Таблицу производных основных элементарных функций.

4. Правила дифференцирования.

5. Аналитический и геометрический смыслы дифференциала.

6. Понятия неопределенного и определенного интегралов.

7. Таблицу основных интегралов.

8. Основные свойства неопределенного и определенного интегралов.

9. Основные методы интегрирования.

10. Определение обыкновенного дифференциального уравнения.

11. Понятие общего и частного решений дифференциального уравнения.

12. Определение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными и алгоритм его решения.

Студент должен уметь:

1.Вычислять производные и дифференциалы функций.

2.Применять дифференциал функции в приближенных вычислениях.

3.Вычислять неопределенные и определенные интегралы различными методами.

4.Вычислять средние значения функций, площади плоских фигур, работу переменной силы.

5.Находить решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.

Теоретическая часть:

1. Задачи, приводящие к понятию производной функции.

2. Геометрический и физический смыслы производной.

3.Производная сложной функции.

4.Дифференциал функции. Геометрический и аналитический смыслы дифференциала.

5.Применение дифференциала функции в приближенных вычислениях.

6.Первообразная функции. Неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла.

7.Основные методы интегрирования.

8.Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

9.Формула Ньютона-Лейбница. Основные свойства определенного интеграла.

10.Приложения определенного интеграла: вычисление площадей плоских фигур, вычисление средних значений функций, вычисление работы переменной силы.

11.Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

Практическая часть:

1.Найдите производные и дифференциалы функций:

2)y= ; 5) у=arccosx ;

3) y=e 3x+1 ; 6) y= ;

2.Решите задачу:

Определить ускорение точки в указанные моменты времени, если скорость точки, движущейся прямолинейно, задается уравнениями:

а) V = t 2 + 2 t, t = 3 c ; б) V = 4 sin , t = .

3. Вычислите приращение функции, соответствующее изменению аргумента от х 1 до х 2 :

1) у = 2 х 3 - 4х; х 1 = 1; х 2 = 1, 02 ;

2) у = 3 х 2 - 2х; х 1 = 2; х 2 = 2 ,001 ;

4.Найдите интегралы, используя метод разложения:

2) ; 4) ;

5.Найдите интегралы методом замены переменной:

6. Найдите интегралы методом интегрирования по частям:

7. Вычислите определенные интегралы методом замены переменной:

8.Вычислите определенные интегралы методом интегрирования по частям:

9. Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:

1) у=х 2 и у= х 3 .

2) и у=х.

10. Найдите средние значения функций:

1) у=соsх на отрезке .

2) на отрезке .

11. Вычислите работу переменной силы:

1) при перемещении материальной точки вдоль оси абсцисс из положения с абсциссой в положение с абсциссой

3) при условии: ;

4) при условии: .

5.Перечень вопросов для проверки исходного уровня знаний:

1. Дайте определение производной функции.

2. Сформулируйте основные правила дифференцирования.

3. Запишите формулу производной сложной функции.

4.В чем заключаются физический и геометрический смыслы производной функции?

5. Что называется дифференциалом функции?

6. В чем заключается геометрический смысл дифференциала функции?

7.Дайте определение первообразной функции.

8.Приведите основные свойства неопределенного интеграла.

9.Запишите формулу интегрирования по частям.

10.Дайте геометрическую интерпретацию определенного интеграла.

11.Запишите формулу Ньютона-Лейбница

12.Дайте определение обыкновенного дифференциального уравнения.

13.Чем отличаются частное и общее решения дифференциального уравнения?

6. Перечень вопросов для проверки конечного уровня знаний:

1. В чем состоит физический смысл производной второго порядка?

2. В чем заключается аналитический смысл дифференциала?

3. Как используется дифференциал для вычисления погрешностей?

4.Какие две основные задачи, связанные с физическим и геометрическим истолкованием производной, решаются с помощью интегрирования?

5.Как проверить правильность нахождения неопределенного интеграла?

6.Можно ли результат вычисления определенного интеграла проверить дифференцированием?

7.На чем основано применение определенного интеграла для вычисления площадей плоских фигур?

9.Приведите последовательность решения дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

7. Хронокарта учебного занятия:

1. Организационный момент – 5 мин.

2. Разбор темы – 30 мин.

3.Решение примеров и задач-60 мин.

4. Текущий контроль знаний -35 мин.

5. Подведение итогов занятия – 5 мин.

8. Перечень учебной литературы к занятию:

1. Морозов Ю.В. Основы высшей математики и статистики. М., «Медицина», 2004, §§ 2.1-2.7, 2.10-2.16, 5.1-5.4, 6.1-6.7, 7.1, 7.2.

2.Павлушков И.В. и др. Основы высшей математики и математической статистики. М., «ГЭОТАР-Медиа», 2006, §§2.1, 2.2, 4.1, 4.2, 5.1-5.6, 6.1-6.3.

Методика составления и решения прикладных задач теории обыкновенных дифференциальных уравнений

Составление дифференциального уравнения по условию за­дачи (механической, физической, химической или технической) состоит в определении математической зависимости между пе­ременными величинами и их приращениями.

В ряде случаев дифференциальное уравнение получается без рассмотрения приращений - за счет их предварительного учета. Например, представляя скорость выражением , мы не привлекаем приращений ∆s и ∆t, хотя они фактически учтены в силу того, что

.

Ускорение в какой-нибудь момент времени t выражается зависимостью:

.

При составлении дифференциальных уравнений приращения сразу же заменяются соответствующими дифференциалами. Изучение любого процесса сводится:

1) к определению его отдельных моментов;

2) к установлению общего закона его хода.

Отдельный момент процесса (т. н. элементарный процесс) выражается уравнением, связывающим переменные величины процесса с их дифференциалами или производными - диффе­ренциальным уравнением; закон общего хода процесса выра­жается уравнением, связывающим переменные величины про­цесса, но уже без дифференциалов этих величии.

Исчерпывающих правил для составления дифференциальных уравнений нет. В большинстве случаев методика решения техни­ческих задач с применением теории обыкновенных дифферен­циальных уравнений сводится к следующему:

1.Подробный разбор условий задачи и составление чертежа, поясняющего ее суть.

2.Составление дифференциального уравнения рассматривае­мого процесса.

3.Интегрирование составленного дифференциального уравне­ния и определение общего решения этого уравнения.

4.Определение частного решения задачи на основании дан­ных начальных условий.

5.Определение, по мере необходимости, вспомогательных пара­
метров (например, коэффициента пропорциональности и др.),
используя для этой цели дополнительные условия задачи.

6. Вывод общего закона рассматриваемого процесса и число­
вое определение искомых величии.

7. Анализ ответа и проверка исходного положения задачи.
Некоторые из этих рекомендаций в зависимости от характера
задачи могут отсутствовать.

Как и при составлении алгебраических уравнений, при реше­нии прикладных задач по дифференциальным уравнениям многое зависит от навыков, приобретаемых упражнением. Однако здесь еще в большей степени требуется изобретательность и глубокое понимание сути изучаемых процессов.

Рассмотрим процесс решения следующих задач:

Задача 3.1.

Температура вынутого из печи хлеба в течение 20 мин. падает от 100 0 до 60 0 (рис. 3.1). Температура воздуха равна 25 0 . Через сколько времени от момента начала охлаждения температура хлеба понизится до 30 0 ?

Решение:

В силу закона Ньютона скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. Это – процесс неравномерный. С изменением разности температур в течение процесса меняется также и скорость охлаждения тела. Дифференциальное уравнение охлаждения хлеба будет:

где Т – температура хлеба;

t – температура окружающего воздуха (в нашем случае 25 0);

k – коэффициент пропорциональности;

Скорость охлаждения хлеба.

Пусть - время охлаждения.

Тогда, разделяя переменные, получим:

или для условий данной задачи:

Виду того, что

интегрируя, получаем:

Потенцируя обе части последнего равенства, имеем:

то окончательно

Произвольную постоянную С определяем, исходя из начального условия: при мин, Т=100 о.

или С=75.

Величину определяем, исходя из данного дополнительного условия: при мин, Т=60 о.

Получаем:

и .

Таким образом, уравнение охлаждения хлеба при условиях нашей задачи примет вид:

. (2)

Из уравнения (2) легко определяем искомое время при температуре хлеба Т=30 о:

Или.

Окончательно находим:

мин.

Итак, после 1 часа 11 мин. Хлеб охлаждается до температуры 30 о С.

Задача 3.2. Трубопровод тепловой магистрали (диаметр 20 см) защищен изоляцией толщиной 10 см; величина коэффициента теплопроводности k=1,00017. Температура трубы 160о; температура внешнего покрова 30о (рис.8). Найти распределение температуры внутри изоляции, а также количество теплоты, отдаваемого одним погонным метром трубы.

Решение. Если тело находится в стационарном тепловом состоянии и температура Т в каждой его точке есть функция только одной координаты х, то согласно закону теплопроводности Фурье количество теплоты, испускаемое в секунду.

Все связные (названные) в задачах величины, выражаются через аргумент x, функцию y и её производную: .

1.Принципы составления дифференциальных уравнений.

Для составления и интегрирования дифференциальных уравнений приводят различные задачи физики, биологии, химии и т.д.

Например, при решении задач искомая кривая представляется как график некоторой функции, как y=y(x)

Все связные (названные) в задачах величины, выражаются через аргумент x, функцию y и её производную: .

Полученное при таком условии соотношение и представляет собой дифференциальное уравнение.

Уравнение (1) является искомым уравнением для нахождения неизвестной функции у.

При решении физических задач процесс составления дифф. Уравнения разбивается на 3 этапа:

1)одну из величин выбираем в качестве независимой переменной 2-го в качестве зависимой переменной. Чаще всего в качестве независимой переменной выбираются время t, а в качестве искомых функций пространственные координаты x,y,z.

2)находим на сколько измениться искомая функция Х, если независимая переменная t получит достаточно малое приращение

, то есть пытаемся оценить разность ч/з величины, данные в задачи.

3)делим полученное неравенство на и переходим кlim, когда в результате предельного перехода получаем дифф. Уравнение из которого можно найти искомую функцию.

3 Теорема существования решения задачи Коши дифф ур первого порядка.

Условие (2) называется начальным условием или условиями Коши .(2)

Под задачей Коши будем понимать задачу об отыскании решения уравнения (1) удовлетв.данным (2)

Геометрически это означает, что из всего множества интегральных кривых нужно выделить ту интегральную кривую, которая проходит ч/з .

Естественно встаёт вопрос, есть ли вообще решение у уравнение (1), а если и есть, то сколько таких, удовл.условию (2).

Теорема 1.(теорема существования единственности решения) – если функция f и её частная производная непрерывна в областиD, то решения дифф.уравнения (1), удовлетв.начальным условиям (2) существенно и единственно.

Мн.: 1973.- 560 с.

Учебное пособие для математических, химических, биологических, геофизических факультетов университетов и педагогических институтов. Данной руководство по составление обыкновенных дифференциальных уравнений, а также простейший уравнений адресована широкому кругу лиц, встречающихся с составлением дифференциальных уравнений в учебной и производственной работе и практике. В приложениях математики к различным отраслям науки дифференциальные уравнения занимают важное место. Использование ПК - наиболее эффективное и распространенное средство решения прикладных задач естествознания и техники.

Формат: pdf

Размер: 5 Мб

Смотреть, скачать: yandex.disk

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие " . I 3
ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 5
§ 1. Дифференциальные уравнения 5
§ 2. Классификация дифференциальных уравнений. 5
§ 3. Общее семейство решений, частное и особое решения 6
§ 4. Элементарные дифференциальные уравнения 7.
§ 5. Выделение индивидуальных решений 8
§ 6. Построение решения в виде степенного ряда 10
§ 7. Метод последовательных приближений И
§ 8. Продолжение решений 12
ГЛАВА II. СОСТАВЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПО УСЛОВИЯМ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ
§ 1. Общие принципы.. тз
§ 2. Методика составления дифференциальных уравнений 13
§ 3. Схема составления дифференциального уравнения 15
ГЛАВА III. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА, РАЗРЕШЕННЫМ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ Об)
§ 1. Притяжение стержня и материальной точки........ ^Чб"
§ 2. Движение тел постоянной массы 18
§ 3. Движение тел переменной массы (без учета внешних сил) ..... 26
§ 4. Растяжение упругой нитн.. 30
§ 5. Работа опорожнения сосудов 34
§ 6. Изменение яркости света в стеклянной пластине....... 35
§ 7. Нагрев тела 37
§ 8. Изменение состояния газов в сосудах 40
ГЛАВА IV. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
§ 1. Охлаждение тел, 43
§ 2. Нагрев тел. 46
§ 3. Распределение температуры внутри тел, 48
§ 4. Брус равного напряжения 51
§ 5. Давление зерна на стенки хранилища. 53
§ 6. Барометрическая формула и глубинное давление. 55
§ 7. Прямолинейное горизонтальное движение.....».? 58
§ 8. Вертикальное движение тел 65
§ 9. Падение тел переменной массы. . , SI
§ 10. Криволинейное движение (кривая погони) 83
§ 11. Вращение тел в жидкости. 86
§ 12. Закон всемирного тяготения 88
§ 13. Радиоактивный распад., 94
§ 14. Электрические заряды 95
§ 15. Поверхность фрезы,.. 99
§ 16. Трение ременной передачи,.., 101
§ 17. Истечение жидкости из сосудов 103
§ 18. Наполнение сосудов,... 108
§ 19. Установление уровня в сообщающихся сосудах.. 108
§ 20. Кривая депрессии «,.,.. ПО
§ 21. Обеднение раствора...... s .. 112
§ 22. Растворение твердых тел ИЗ
§ 23. Вентиляция производственного помещения. . . , . , . 119
§ 24. Газовые смеси. . 120
§ 25. Ионизация газов.,. 121
§ 26. Химические реакции 122
§ 27. Рост населения 133
§ 28. Процессы роста в природе н производстве 142
§ 29. Экология популяций 150
§ 30. Плотность муравьев вне муравейника. . . . * , . . 157
§ 31. Рост денежных вкладов 161
ГЛАВА V. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ОДНОРОДНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА,
§ 1. Изогональные траектории. ТБЗ
§ 2. Геометрические приложения. 165
§ 3. Зеркало, фокусирующее параллельные лучи. 170
§ 4. Траектории полета самолетов 171
ГЛАВА VI. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ
§ 1. Параболическое зеркало 180
§ 2. Концентрация вещества в жидкости 182
ГЛАВА VII. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ЛИНЕЙНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
§ 1. Геометрические приложения «ю
§ 2. Движение материальной точки 188
§ 3. Температура охлаждающего тела
§ 4. Нагрев тела при стационарном теплопотоке
§ 5. Электрические цепи
§ 6. Рационализаторские предложения
§ 7. Работа сердца
§ 8. Задача о сигарете.
ГЛАВА VIII. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К СПЕЦИАЛЬНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (УРАВНЕНИЯМ БЕРНУЛЛИ, РИККАТИ, ЛАГРАНЖА И КЛЕРО)
§ 1. Уравнение Бернулли
§ 2. Уравнение Риккати
| 3. Уравнение Лагранжа
§ 4. Уравнение Клеро
ГЛАВА IX. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ВТОРОГО ПОРЯДКА, РАЗРЕШЕННЫМ ОТНОСИТЕЛЬНО ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ (у"=с)
§ I. Скольжение тела под наклоном!Ш
§ 2. Движение в горизонтальной плоскости при сопротивлении, пропорциональном силе тяжести 220
§ 3. Выброс вверх (без учета треиия) 231
§ 4. Распределение теплоты в стержне 231
§ 5. Расстояние между фермами железнодорожного моста. . . ... 233
ГЛАВА X. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К НЕПОЛНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ВТОРОГО ПОРЯДКА С 236^
I. Уравнения типа y"=f(x)
§ 1. Переходная кривая железнодорожного пути 237
§ 2. Прямолинейное движение материальной точки в горизонтальной плоскости 230
§ 3. Упругая линия балок 242
II. Уравнения типа «/"=/((«/)
§" 4. Геометрические приложения 255
§ 5. Движение материальной точки под действием силы притяжения. 256
III. Уравнения типа y"=f(y")
§ 6. Определение кривой по радиусу кривизны 257
§ 7. Горизонтальное движение тела при наличии трения 259
§ 8. Движение в вертикальной плоскости 274
§ 9. Равновесие тяжелой нити 280
§ 10. Гибкая иить равного сопротивления 283
IV. Уравнения типа y"=f(x,y")
§ II. Кривая и раднус кривизны 285
V. Уравнения типа y"-f(y, у")
§ 12. Нахождение уравнения кривой по нормали и радиусу кривизны. . . 286
ГЛАВА XI. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ЛИНЕЙНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 288 \
I. Неполные линейные дифференциальные уравнения
§ I. Гармонические колебания 296
§ 2. Движение тела без трения 307
§ 3. Дифференциальный манометр 312
§ 4. Распределение теплоты в стержнях 313
§ 5. Продольный изгнб прямого стержня 320
§ 6. Движение шарика в трубке (задача Ампера) 328
II. Линейные дифференциальные уравнения
§ 7. Затухающие колебания 330
§ 8. Затухающие колебания в электрической цепи 335
§ 9. Колебания магнитной стрелки без и при наличии успокоителя 3
§ 10. Вынужденные колебания механических систем 350
ГЛАВА XII. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ВТОРОГО ПОРЯДКА С РАЦИОНАЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 363
I. Уравнение Эйлера ^*-^
§ 1. Распределение температуры в продольном ребре параболического сечсннн 303
II. Линейное однородное уравнение с рациональными коэффициентами
§ 2. Толстостенная цилиндрическая оболочка под давлением (задача Лямэ) . . 366
III. Линейное неоднородное уравнение с рацио и ильным и коэффициентами
§ 3. Скорость течения жидкости в трубопроводе Я74
§ 4. Изгиб круглой пластины, 970
ГЛАВА XIII. ЗАДАЧИ. ПРИВОДЯЩИЕ К СПЕЦИАЛЬНЫМ ЛИНЕЙНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ (УРАВНЕНИЯМ БЕССЕЛЯ. ЛЕЖАНДРА И МАТЬЕ) Г 385 ^
I. Уравнение Бесселя
§ 1. Устойчивость стержня формы усеченного конуса, сжимаемого продольной силой 390
§ 2. Устойчивость цилиндрического стержня под действием собственного веса 392
§ 3. Устойчивость вращения гибкой нити 395
§ 4. Распределение температуры в кольцевом ребре прямоугольного профиля 398
П. Обобщенное уравнение Бесселя
§ 5. Маятник переменной длины 400
§ 6. Устойчивость стержня переменного сечения под действием переменной распределенной нагрузки 402
III. Дифференциальные уравнения в частных производных
§ 7. Колебания круглой мембраны 405
IV. Уравнение Лежандра
§ 8. Электрический потенциал двух равносильных зарядов 413
§ 9. Дифференциальное уравнение в частных производных потенциала. . . 415
§ 10. Потенциал притягивающих масс 417
V. Уравнение Матье
§ 11. Динамическая устойчивость стержня под действием переменной_продолыюй силы 424
ГЛАВА XIV. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К СИСТЕМАМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ1ЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (436
§ 1. Разложение вещества ^~4ЦЙ-"
§ 2. Относительная кривая погони (442
§ 3. Давление в системе двух соединенных цилиндров с газом 445
§ 4. Напряженное состояние диска под действием центробежных сил. . . 447
§ 5. Превращение одного вещества в другое 453
ГЛАВА XV. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К НЕПОЛНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ, высших ПОРЯДКОВ
§ 1. Линия прогиба неразрезиой балки от распределенной нагрузки. . . ТЗв
ГЛАВА XVI. ЗАДАЧИ. ПРИВОДЯЩИЕ К ЛИНЕЙНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ (463 }
§ 1. Паровая машина с регулятором ^4вт
ГЛАВА XVII. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ЛИНЕЙНЫМ ОДНОРОДНЫМ ДИФФЕРЕЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИКОЭФФИЦИЕНТАМИ
§ 1. Колебания вала от действия центробежных сил, ^~?72
§ 2. Балка (железнодорожный рельс) на упругом основании 477
§ 3. Колебания однородной балки (приведение дифференциального уравнения в частных производных к обыкновенному) . . . 482
ГЛАВА XVIII. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ЛИНЕЙНЫМ НЕОДНОРОДНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 485
§ I. Деформация стенок цилиндрического резервуара 487
§ 2. Железнодорожная шпала 490
ГЛАВА XIX. ЗАДАЧИ. ПРИВОДЯЩИЕ К СИСТЕМАМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА 495
§ 1. Движение материальной точки под действием отталкивающей силы, пропорциональной расстоянию * 497
§ 2. Выброс тела под углом 500
§ 3. Сброс груза с самолета в заданную точку 503
§ 4. Движение планет 504
§ 5. Система двух связанных электрических контуров 509
§ 6. Изменение потенциала электрической линии по времени (приведение системы дифференциальных уравнений в частных производных к системе обыкновенных уравнений) 513
§ 7. Стационарные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами в теории систем современной техники и естествознания. . 519
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 529
I. Дифференциальные уравнения первого порядка.... 529
II. Дифференциальные уравнения второго порядка.. 545
III. Системы дифференциальных уравнений первого порядка. . . . 555
IV. Системы дифференциальных уравнений второго порядка. 557

ПРЕДИСЛОВИЕ
В приложениях математики к различным отраслям науки дифференциальные уравнения занимают важное место. Использование ИК-- наиболее эффективное и распространенное средство решения прикладных задач естествознания и техники. Многие реальные процессы с помощью дифференциальных уравнений описываются просто н полно. Поэтому вполне понятно то внимание, которое уделяет-СИ вопросу составления дифференциальных уравнений.
Однако многочисленные и разнообразные приложения теории обыкновенных дифференциальных уравнений требуют в первую очередь знания соответствующих теоретических положений и законов естествознания, техники и других отраслей, которые изучаются обычно после дифференциальных уравнений. По этой причине в курсе дифференциальных уравнений решению практических задач на составление уделяется все еще недостаточное внимание. Прослу-Шйншие этот курс не имеют достаточного навыка в решении задач, выдвигаемых жизнью, производством. Кроме того, в учебниках и учебных пособиях вопросы-составления дифференциальных уравнений обычно ограничиваются элементарными задачами геометрического или кинематического типа. Поэтому целесообразно вернуться к составлению дифференциальных уравнений при изложении специальных дисциплин, а также в процессе практической или научно-исследовательской работы.
Цель автора - создание учебного пособия, которое широко охватило бы различные задачи естествознания и техники и способствовало овладению современной методикой составления дифференциальных уравнений прикладных задач, возникающих в процессе производства или научной деятельности.
Характерной особенностью освоения навыков составления дифференциальных уравнений является изучение многочисленных примеров. В связи с этим полнота изложения имеет здесь существенное значение.
Книга содержит 325 задач на составление дифференциальных уравнений, из которых 194 задачи анализируются подробно.
Рассматриваемые задачи классифицируются по их математическому пришаку: описываемые обыкновенными дифференциальными ураииениями первого, второго, третьего и четвертого порядков, системами этих уравнений первого и второго порядков, а также дифференциальными уравнениями в частных производных, приводящимися к обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Для самостоятельного решения подобрана 131 задача, большинство на которых аналогичны разобранным и снабжены ответами, а более трудные - краткими пояснениями к решению.
Учебное пособие предназначено для студентов всех отделение математических, физических, механических, химических, биологических, геофизических, экономических факультетов университетов г. педагогических институтов, а также высших технических учебных заведений.
Книга рассчитана на широкий круг читателей, встречающихся с дифференциальными уравнениями в учебно-методической, производственной и научно-исследовательской практике.