Математический анализ дифференциальное и интегральное исчисление. Дифференциальное и интегральное исчисление

ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

для студентов дневного отделения

факультета математики

Часть 5

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

Печатается по решению кафедры математического анализа и РИСа РГПУ им. А.И. Герцена

Методическое пособие предназначено для студентов дневного отделения 1-3 курсов математического факультета РГПУ им. А.И. Герцена.

В соответствии с программой по математическому анализу пособие включает в себя 28 различных вариантов домашних индивидуальных контрольных работ по темам «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных», «Кратные интегралы и их приложения». Перед вариантами контрольных работ приведены некоторые теоретические сведения и разобраны примеры, решение которых сопровождается методическими указаниями к ним.

Материал пособия может быть использован для проведения практических занятий, контрольных и проверочных работ на естественнонаучных факультетах высших учебных заведений.

Старший преподаватель О.С. Корсакова,

кандидат ф.-м.н., ассистент К.Г. Межевич

Рецензент: зав.каф. матем. анализа РГПУ им. А.И. Герцена,

Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В. Курс математического анализа. М.: Просвещение, 1972, т.1,2.

Виленкин Н.Я. и др. Задачник по курсу математического анализа. - М.: Просвещение, 1971. Ч.1,2.

Кузнецов А.А. Сборник заданий по высшей математике. М.: Высшая школа, 1983.

Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. М.: Высшая школа, 1988. Т. 1,2.

Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Функции нескольких переменных. С.-Пб, 1994.

Поволоцкий А.И., Лихтарников Л.М. Метрические пространства. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Учебное пособие / ЛГПИ им. А.И. Герцена.-Л., 1985.

Поволоцкий А.И., Лихтарников Л.М. Интегральное исчисление функций нескольких переменных и дифференциальные уравнения. Учебное пособие / ЛГПИ им. А.И. Герцена.-Л., 1986.

Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. - М.: Наука, 1968. Т.1, 2.

Функции нескольких переменных

ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ГРАФИК ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Пусть и каждой точке
поставлено в соответствие число
. Тогда говорят, что на множествеD определена числовая функция нескольких переменных
.

Множество D называется областью определения функции, точка
-аргументом функции.

Будем далее рассматривать функцию двух переменных
. Отметим, что все сказанное ниже можно распространить и на функциюn переменных, где n >2 .

Множество всех точек
, для которых функция
, заданная аналитически, имеет смысл, называется естественнойобластью определения этой функции.

Например, областью определения функции
является открытый круг радиуса 2 с центром в начале координат, который задается неравенством
.

Графиком функции
, где
, называется множество. Оно задает некоторую поверхность в пространстве
.

Например, графиком функции
,
, является параболоид.

Пример 1. Найдем область определения функции
.

Функция определена в тех точках плоскости
, где
.

Это неравенство равносильно совокупности двух систем:

и
.

Первой системе неравенств удовлетворяют координаты всех точек, расположенных на параболе
или выше нее, и лежащих в полуплоскости
. Это множество заштриховано на рисунке 1. Второй системе удовлетворяют координаты точек, лежащих в множестве, заштрихованном на рис. 2. Следовательно, областью определения данной функции является объединение найденных множеств, т.е. множество, которое выделено штриховкой на рис. 3.

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3

Линией уровня функции
, называется множество точек
, удовлетворяющих уравнению
.

Аналогично определяются уровни (или поверхности уровня ) функции n переменных, если n >2.

Пример 2. Найдем линии уровня функции
.

Отметим, что функция определена на всей плоскости
.

Для построения линий уровня надо для любого
найти множество точек плоскости, координатыx , y которых удовлетворяют уравнению
. Следовательно, если
, то
, а если
, то
.

Очевидно, что с отрицательным быть не может (в этом случае говорят, что с -уровнем функции при c <0 является пустое множество).

Найдем линию уровня при с=0 :

.

Аналогично находятся линии уровня для различных с>0 .

На рис. 4 изображены линии уровня для с=0 , с=1 и с=2 .

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Множество (открытый круг радиуса
с центром в точке
) называется-окрестностью точки
. Через
будем обозначать проколотую окрестность точки
.

Точка
называетсяпредельной точкой множества
, если пересечение любой-окрестности точки
и множестваD содержит хотя бы одну точку, отличную от
, т.е. для

.

Заметим, что предельная точка может и не принадлежать множеству D .

Пусть функция
определена на множествеD и точка
- предельная точкаD .

Число А называется пределом функции
в точке
, если для любой-окрестности
точкиА (
) существует-окрестность
точки
такая, что для любой точки

значение функции
попадает в окрестность
.

Таким образом,

:



)

:

).

Пример 3. Докажем, что
.

Заметим, что данная функция определена на всей плоскости за исключением точки (0,0) .

Поскольку
, то для любого
существует
(а именно
) такое, что для всех точек
, удовлетворяющих условию
, справедливо неравенство
.

Функция
называетсянепрерывной в точке
, если
.

Функция называется непрерывной на множестве D , если она непрерывна в каждой точке множества D .

Пример 4. 1) Функция
непрерывна в точке (0,0), поскольку
(см. пример 3).

2) Функция
в точке (0,0) терпит разрыв, т.к.

.

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

Пусть функция
определена в некоторой окрестности точки
. Если существуют конечные пределы
и
, то они называютсячастными производными функции
в точке
по переменнымx и y соответственно и обозначаются
и
(или:
и
).

Для вычисления частной производной (или) пользуются известными формулами и правилами дифференцирования функции одной переменной, считая другую переменнуюy (или x ) постоянной величиной.

Пример 5. Найдем частные производные функции
.

Если считать y = const , то - степенная функция отx , поэтому
.

Если x = const , то - показательная функция отy , и, следовательно,
.

Функция
называетсядифференцируемой в точке
, если существуют числаА и В такие, что приращение

функцииf в точке
представимо в виде

где
при
.

Главная часть полного приращения
, линейная относительно
и
, т.е.
, называетсяполным дифференциалом функции
в точке
и обозначается
.

Таким образом,

.

Дифференциалом независимой переменной по определению считаем ее приращение, т.е.
,
.

Функция называется дифференцируемой на множестве D , если она дифференцируема в каждой точке множества D .

Теорема 1. Если функция
дифференцируема в точке
и

- ее дифференциал в этой точке, то в этой точке существуют частные производные функцииf , и, кроме того,

=А ,
=В .

Теорема 1 дает возможность вычислять дифференциал функции f по формуле

+
.

Согласно теореме 1, если функция дифференцируема в точке, то в этой точке существуют частные производные функции. Обратное не верно. Для дифференцируемости функции требуется выполнение более сильных условий, чем наличие частных производных в точке.

Теорема 2. Если частные производные
и
функцииf существуют в некоторой окрестности точки
и непрерывны в
, то функцияf дифференцируема в точке
.

Пример 6. Вычислим частные производные и дифференциал функции
в точке (1, 1/5).

,

,

,
;

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Теорема 3. Пусть функции
и
определены в некоторой окрестности точки
, а функция
определена в некоторой окрестности точки.

Если функция f дифференцируема в точке
, а в точке
существуют производные
, то в точке
существует производная сложной функции
, причем

,
.

Пример 7. Найдем частные производные сложной функции
, где,.

Пример 8. Найдем производную сложной функции
, где
,
. В этом примере функцииx и y зависят от одной переменной t , поэтому сложная функция
- функция одной переменной.

Пример 9. Пусть f (u ) - произвольная дифференцируемая функция. Докажем, что функция
удовлетворяет уравнению
. Положим
.

Следовательно,

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ

ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Пусть функция
в окрестности точки
имеет частную производную.

Частная производная функции по переменнойx называется частной производной второго порядка по переменной x и обозначается или
.

Частная производная по переменной y называется частной производной второго порядка по переменным x и y и обозначается или
.

Аналогично определяются частные производные второго порядка и(
и
) как частные производные функции.

Производные иназываютсясмешанными частными производными.

Теорема 4. Пусть функция
определена вместе со своими частными производными,,
,
в некоторой окрестности точки

и
непрерывны в этой точке. Тогда значения смешанных производных в этой точке равны, т.е.

=

.

Частные производные от производных второго порядка называются частными производными третьего порядка:
и т.д.

Частная производная (по любой из независимых переменных) от частной производной порядка m -1 называется частной производной порядка m .

Теорема 4 справедлива и для смешанных производных третьего, четвертого и более высоких порядков. Например, если функция
определена вместе со своими частными производными до порядка 3 включительно в некоторой окрестности точки
, причем смешанные производные
,
и
непрерывны в этой точке, то значения смешанных производных в этой точке равны:

=

=

.

Дифференциалом второго порядка функции двух переменных называется дифференциал от дифференциала первого порядка.

Если функция
дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки
(т.е. существуют непрерывные частные производные функцииf до второго порядка включительно в окрестности точки
), тогда

.

Пример 10. Найдем производные второго порядка дважды непрерывно дифференцируемой сложной функции
, где
,
.

,
.

=

=
,

=

=
,

аналогично вычисляем

.

ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ. ГРАДИЕНТ

Пусть l - единичный вектор в
с координатами
.

Производной функции
по направлению вектора l в точке
называется .

Производная по направлению обозначается

.

Градиентом функции f в точке
называется вектор, координатами которого являются частные производные функции в точке:

grad f
= (
,
) =
i +
j .

Легко показать, что производная по направлению l равна скалярному произведению вектора градиента и вектора l :

=

+

=
,

где  - угол между векторами grad f
иl .

Из последней формулы следует, что производная по направлению вектора grad f
имеет наибольшее значение среди производных по различным направлениям и равна модулю вектора градиента.

Пример 11. Найдем производную функции
в точкеМ (1, 0) в направлении вектора MN , где N (5, 3) .

Вектор MN имеет координаты (4, 3),
. Значит, единичный векторl имеет координаты (4/5, 3/5). Вычислим частные производные в точке М :
,
. Тогда
(1,0)=64/5 + 0 3/5 = 24/5.

Пример 12. Найдем производную функции
в точке (2,3) в направлении вектора градиента в этой точке.

Вычислим частные производные:

,
.

Производная в направлении вектора градиента в точке равна модулю вектора grad f . Следовательно,

КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ

Для дифференцируемой в точке
функции
верно следующее соотношение:

где
,
(это следует из определения дифференциала первого порядка). КоэффициентыА и В однозначно определяются:
=А ,
=В .

Уравнение

является уравнением плоскости, проходящей через точку
. Эта плоскость называетсякасательной плоскостью к графику функции
в точке
.

Таким образом, касательной плоскостью к графику функции
в точке является такая плоскость, что разность ее аппликаты и значения функции
в этой точке есть величина, бесконечно малая по сравнению с при   0 .

Уравнение нормали к графику функции
в точке
имеет вид

.

Если уравнение гладкой поверхности задано в неявном виде
, то уравнение касательной плоскости в точке
имеет вид

а уравнение нормали в этой точке:

.

Пример 13. Напишем уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
в точке (-2, 1, 4).

,
. Уравнение касательной плоскости имеет вид:или
.

Уравнение нормали: .

ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Точка
называется точкойлокального максимума (локального минимума ) функции
,
, если существует окрестность точки
, для всех точек которой выполнено неравенство

(
).

Точки локального максимума и локального минимума функции называются точками локального экстремума .

Например, точка (0,0) является точкой минимума функции
.

Теорема 5 (необходимое условие экстремума ). Если функция
имеет в точке
локальный экстремум и в этой точке существуют частные производныеf , то

=0 и
=0.

Точка
называетсястационарной точкой функции f , если
=0 и
=0.

Теорема 6 (достаточное условие экстремума ). Пусть функция
дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности стационарной точки
.

Обозначим =



- (

) 2 . Тогда

1) если > 0, то в точке
функцияf имеет локальный экстремум: максимум при

> 0 и минимум при

< 0;

2) если < 0, то в точке
функцияf не имеет экстремума;

3) если = 0, то в точке
функцияf может иметь локальный экстремум, а может и не иметь его (в этом случае требуются дополнительные исследования).

Пример 14. Исследуем на экстремум функцию

Отметим, что функция u определена и дифференцируема на всей плоскости.
,
. Приравнивая частные производные к нулю и решая полученную систему, находим стационарные точки функции: (2, 1), (1, 2), (-2, -1), (-1, -2).

=
=.

(2, 1) = 36∙(1 - 4) = -108 < 0, поэтому в точке (2, 1) экстремума нет.

(1, 2) = 36∙(4 - 1) = 108 > 0,
, следовательно, в точке (1, 2) функция имеет минимум, u (1,2) = -25.

(-2, -1) = 36∙(1 – 4) = -108 < 0, в точке (-2, -1) экстремума нет.

(-1, -2) = 36∙(4 - 1) = 108 > 0, , следовательно, в точке (-1, -2) функция имеет максимум, u (-1, -2) = 31.

НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ

Пусть функция
непрерывна на ограниченном замкнутом множествеD .

Напомним, что множество
называетсяограниченным , если существует такая окрестность U (0,0), что
U (0,0); множество
называетсязамкнутым , если оно содержит все свои предельные точки.

По теореме Вейерштрасса существуют такие точки
и
, что
является наибольшим значением функции на множествеD , а
- наименьшим ее значением на множествеD .

Функция, дифференцируемая в ограниченной области и непрерывная на ее границе, достигает своего наибольшего и наименьшего значений либо в стационарных точках, либо в граничных точках D .

Пример 15. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на множествеD , ограниченном прямыми
,
,
.

y (2, 1), (1, 2), (-2, -1), (-1, -2) - стационарные

точки функции u (см. пример 14), но (-2,-1),

(-1,-2) не принадлежат D .

u (2, 1) = -23, u (1, 2) = -25.

D Изучим поведение функции u на

x границе множества D .

Рис. 5
. Это функция одной переменной,

которая принимает наименьшее значение в точке
, а наибольшее значение в точке
:u (4,0) = -45, u (0,0)= 3;

2)
,
. На этом отрезке
. Для того чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке, вычислим ее значения в стационарных точках и на концах отрезка:
;
, но
, поэтому вычисляемu (0,0) = 3, u (0,
)= =
, u (0,4) = 7. Наибольшим является значение в точке (0,4), а наименьшим - в точке (0,
);

3)
,
. Здесь

.

Вычисляем значения функции в стационарных точках и на концах отрезка: ;;u (0,4)= 7, u (3/2, 5/2) = -20, u (5/2,3/2)= -18, u (4,0)= -45. На этом участке границы наибольшим является значение функции в точке (0,4), а наименьшим - в точке (4,0).

Из полученных в пунктах 1)-3) наименьших и наибольших значений функции на различных участках границы и из значений функции в стационарных точках выбираем самое большое и самое маленькое. Наибольшее значение: u (0,4)= 7, наименьшее значение: u (4,0)= -45.

Студент должен:

знать:

· определение предела функции в точке;

· свойства предела функции в точке;

· формулы замечательных пределов;

· определение непрерывности функции в точке,

· свойства непрерывных функций;

· определение производной, ее геометрический и физический смысл; табличные производные, правила дифференцирования;

· правило вычисления производной сложной функции; определение дифференциала функции, его свойства; определение производных и дифференциалов высших порядков; определение экстремума функции, выпуклой функции, точек пере­гиба, асимптот;

· определение неопределенного интеграла, его свойства, табличные интегралы;

· формулы интегрирования при помощи замены переменной и по частям для неопределенного интеграла;

· определение определенного интеграла, его свойства, основную формулу интегрального исчисления - формулу Ньютона-Лейбница;

· формулы интегрирования при помощи замены переменной и по частям для определенного интеграла;

· геометрический смысл определенного интеграла, приложения оп­ределенного интеграла.

уметь:

· вычислять пределы последовательностей и функций; раскрывать неопределённости;

· вычислять производные сложных функций, производные и диффе­ренциалы высших порядков;

· находить экстремумы и точки перегиба функций;

· проводить исследование функций с помощью производных и стро­ить их графики.

· вычислять неопределенные и определенные интегралы методом замены переменной и по частям;

· интегрировать рациональные, иррациональные и некоторые триго­нометрические функции, применять универсальную подстановку; применять определенный интеграл для нахождения площадей плоских фигур.

Предел функции. Свойства предела функции. Односторонние пределы. Предел суммы, произведения и частного двух функций. Непрерывные функции, их свойства. Непрерывность элементарных и сложных функций. Замечательные пределы.

Определение производной функции. Производные основных элементар­ных функций. Дифференцируемость функции. Дифференциал функции. Производная сложной функции. Правила дифференцирования: производная суммы, произведения и частного. Производные и дифференциалы высших порядков. Раскрытие неопределенностей. Возрастание и убывание функций, условия возрастания и убывания. Экстремумы функ­ций, необходимое условие существования экстремума. Нахождение экс­тремумов с помощью первой производной. Выпуклые функции. Точки пе­региба. Асимптоты. Полное исследование функции.

Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных интегралов. Метод замены переменных. Интегрирование по частям. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование некоторых иррациональных функций. Универсальная подстановка.

Определенный интеграл, его свойства. Основная формула интегрально­го исчисления. Интегрирование заменой переменной и по частям в опреде­ленном интеграле. Приложения определенного интеграла.

В полной мере новое исчисление как систему создал Ньютон , который, однако, долгое время не публиковал свои открытия.

Официальной датой рождения дифференциального исчисления можно считать май , когда Лейбниц опубликовал первую статью «Новый метод максимумов и минимумов…» . Эта статья в сжатой и малодоступной форме излагала принципы нового метода, названного дифференциальным исчислением.

Лейбниц и его ученики

Эти определения поясняются геометрически, при этом на рис. бесконечно малые приращения изображены конечными. Рассмотрение опирается на два требования (аксиомы). Первое:

Требуется, чтобы две величины, отличающиеся друг от друга лишь на бесконечно малую величину, можно было брать [при упрощении выражений?] безразлично одну вместо другой.

Отсюда получается x + d x = x , далее

d x y = (x + d x )(y + d y ) − x y = x d y + y d x + d x d y = (x + d x )d y + y d x = x d y + y d x

Продолжение каждой такой линии называется касательной к кривой. Исследуя касательную, проходящую через точку M = (x ,y ) , Лопиталь придает большое значение величине

достигающее экстремальных значений в точках перегиба кривой, отношению же d y к d x не придается никакого особого значения.

Примечательно нахождение точек экстремума . Если при непрерывном увеличении диаметра x ордината y сначала возрастает, а затем убывает, то дифференциал d y сначала положителен по сравнению с d x , а потом отрицателен.

Но всякая непрерывно возрастающая или убывающая величина не может превратиться из положительной в отрицательную, не проходя через бесконечность или нуль… Отсюда следует, что дифференциал наибольшей и наименьшей величины должен равняться нулю или бесконечности.

Вероятно, эта формулировка не безупречна, если вспомнить о первом требовании: пусть, скажем, y = x 2 , тогда в силу первого требования

в нуле правая часть равна нулю, а левая нет. Видимо следовало сказать, что d y можно преобразовать в соотетствии с первым требованием так, чтобы в точке максимума d y = 0 . . В примерах все само собой понятно, и лишь в теории точек перегиба Лопиталь пишет, что d y равен нулю в точке максимума, будучи разделен на d x .

Далее, при помощи одних дифференциалов формулируются условия экстремума и рассмотрено большое число сложных задач, относящихся в основном к дифференциальной геометрии на плоскости. В конце книги, в гл. 10, изложено то, что теперь называют правилом Лопиталя , хотя и в не совем обычной форме. Пусть величина ординаты y кривой выражена дробью, числитель и знаменатель которой обращаются в нуль при x = a . Тогда точка кривой с x = a имеет ординату y , равную отношению дифференциала числителя к дифференциалу знаменателя, взятому при x = a .

По замыслу Лопиталя написанное им составляло первую часть Анализа, вторая же должна была содержать интегральное исчисление, то есть способ отыскания связи переменных по известной связи их дифференциалов. Первое его изложение дано Иоганном Бернулли в его Математических лекциях о методе интеграла . Здесь дан способ взятия большинства элементарных интегралов и указаны методы решения многих дифференциальных уравнений первого порядка.

Эйлер

Перемены, произошедшие за последующие полвека, отражены в обширном трактате Эйлера . Изложение анализа открывает двухтомное «Введение», где собраны изыскания о различных представлениях элементарных функций. Термин «функция» впервые появляется лишь в у Лейбница , однако на первые роли его выдвинул именно Эйлер. Изначальная трактовка понятия функции состояла в том, что функция - это выражение для счета (нем. Rechnungsausdrϋck ) или аналитическое выражение .

Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этой переменного количества и чисел или постоянных количеств.

Подчеркивая, что «основное различие функций лежит в способе составления их из переменного и постоянных», Эйлер перечисляет действия, «посредством которых количества могут друг с другом сочетаться и перемешиваться; действиями этими являются: сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корней; сюда же следует отнести также решение [алгебраических] уравнений. Кроме этих действий, называемых алгебраическими, существует много других, трансцендентных, как-то: показательные, логарифмические и бесчисленные другие, доставляемые интегральным исчислением». Такая трактовка позволяла без труда обращаться с многозначными функциями и не требовала пояснения, над каким полем рассматривается функция: выражение для счета определено для комплексных значений переменных даже тогда, когда для рассматриваемой задачи это не нужно.

Операции в выражении допускались лишь в конечном числе, а трансцендентное проникало при помощи бесконечно большого числа . В выражениях это число используется наряду с натуральными числами. Напр., считается допустимым такое выражение для экспоненты

в котором лишь поздние авторы видели предельный переход. С аналитическими выражениями производились разнообразные преобразования, позволившие Эйлеру найти представления для элементарных функций в виде рядов, бесконечных произведений и т. д. Эйлер преобразует выражения для счета так, как это делают в алгебре, не обращая внимания на возможность вычислить значение функции в точке по каждой из написанных формул.

В отличие от Лопиталя Эйлер подробно рассматривает трансцендентые функции и в особенности два наиболее изученные их классы - показательные и тригонометрические. Он обнаруживает, что все элементарные функции могут быть выражены при помощи арифметических действий и двух операций - взятия логарифма и экспоненты .

Сам ход доказательства прекрасно демонстрирует технику использования бесконечно большого. Определив синус и косинус при помощи тригонометрического круга, Эйлер выводит из формул сложения следующее:

Полагая и z = n x , он получает

отбрасывая бесконечно малые величины большего порядка. Используя это и аналогичное выражение, Эйлер получает и свою знаменитую формулу

Указав различные выражения для функций, которые теперь называют элементарными, Эйлер переходит к рассмотрению кривых на плоскости, начертанным свободным движением руки. По его мнению, не для всякой такой кривой можно отыскать единое аналитическое выражение (см. также Спор о струне). В XIX веке с подачи Казорати это утверждение считалось ошибочным: по теореме Вейерштрасса всякая непрерывная в современном смысле кривая может быть приближенно описана полиномами. На самом деле Эйлера это едва ли убедило, ведь нужно еще переписать предельный переход при помощи символа .

Изложение дифференциального исчисления Эйлер начинает с теории конечных разностей, за ним в третьей главе следует философское разъяснение о том, что «бесконечно малое количество есть точно нуль», более всего не устроившее современников Эйлера. Затем из конечных разностей при бесконечно малом приращении образуются дифференциалы, а из интерполяционной формулу Ньютона -формула Тейлора . Этот метод в существенном восходит к работам Тейлора (1715 г.). При этом у Эйлера появляется устойчивое отношение , которое, однако, рассматривается как отношение двух бесконечно малых. Последние главы посвящены приближенному вычислению при помощи рядов.

В трехтомном интегральном исчислении Эйлер трактует вводит понятие интеграла так:

Та функция, дифференциал которой = X d x , называется его интегралом и обозначается знаком S , поставленным спереди.

В целом же эта часть трактата Эйлера посвящена более общей с современной точки зрения задаче об интегрировании дифференциальных уравнений. При этом Эйлер находит ряд интегралов и дифференциальных уравнений, которые приводят к новым функциям, напр., Γ -функции, эллиптические функции и т. д. Строгое доказательство их неэлементарности было дано в 1830-х годах Якоби для эллиптических функций и Лиувиллем (см. элементарные функции).

Лагранж

Следующим крупным произведением, сыгравшим значительную роль в развитии концепции анализа, явилась Теория аналитических функций Лагранжа и обширный пересказ работ Лагранжа, выполненный Лакруа в несколько эклектической манере.

Желая избавиться от бесконечно малого вовсе, Лагранж обратил связь между производными и рядом Тейлора. Под аналитической функцией Лагранж понимал произвольную функцию, исследуемую методами анализа. Саму функцию он обозначил как f (x ) , дав графический способ записи зависимости - ранее же Эйлер обходился одними переменными. Для применения методов анализа по мнению Лагранжа необходимо, чтобы функция разлагалась в ряд

коэффициенты которого будут новыми функциями x . Остается назвать p производной (дифференциальным коэффициентом) и обозначить его как f "(x ) . Таким образом, понятие производной вводится на второй странице трактата и без помощи бесконечно малых. Остается заметить, что

поэтому коэффициент q является удвоенной производной производной f (x ) , то есть

Такой подход к трактовке понятия производной используется в современной алгебре и послужил основой для создания теории аналитических функций Вейерштрасса .

Лагранж оперировал такими рядами как формальными и получил ряд замечательных теорем. В частности, впервые и вполне строго доказал разрешимость начальной задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений в формальных степенных рядах.

Вопрос об оценке точности приближений, доставляемых частными суммами ряда Тейлора, впервые был поставлен именно Лагранжем: в конце Теории аналитических функций он вывел то, что теперь называют формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Однако, в противоположность современным авторам, Лагранж не видел нужды в употреблении этого результата для обоснования сходимости ряда Тейлора.

Вопрос о том, действительно ли функции, употребимые в анализе, могут быть разложены в степенной ряд, в последствие стал предметом дискуссии. Конечно, Лагранжу было известно, что в некоторых точках элементарные функции могут не разлагаться в степенной ряд, однако в этих точка они и недифференцируемы ни в каком смысле. Коши в своём Алгебраическом анализе привел в качестве контрпримера функцию

доопределённую нулем в нуле. Эта функция всюду гладкая на вещественной оси и в нуле имеет нулевой ряд Маклорена, который, следовательно, не сходится к значению f (x ) . Против этого примера Пуассон возразил, что Лагранж определял функцию как единое аналитическое выражение, в примере Коши же функция задана по разному в нуле, и при . Лишь в конце XIX века Прингсхейм доказал, что существует бесконечно дифференцируемая функция, заданная единым выражением, ряд Маклорена для которой расходится. Пример такой функцией доставляет выражение

Дальнейшее развитие

Библиография

Учебная литература

Стандартные учебники

На протяжении многих лет в России популярны следующие учебники:

• Кудрявцев, Л.Д. , Курс математического анализа (в трех томах).

Т. 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной. Т. 2. Ряды. Дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных. Т. 3. Гармонический анализ. Элементы функционального анализа. Особое внимание в учебнике обращено на изложение качественных и аналитических методов, в нем нашли отражение и некоторые геометрические приложения анализа. Предназначается студентам университетов и физико-математических, и инженерно-физических специальностей втузов, а также студентам других специальностей для углубленной математической подготовки.

• Курант, Р. , (в двух томах). Главная методическая находка курса: сначала попросту излагаются основные идеи, а затем им даются строгие доказательства. Написан Курантом в его бытность профессором Геттингенского университета в 1920-х под влиянием идей Клейна , затем в 1930-х перенесен на американскую почву. Русский перевод 1934 г. и его переиздания дает текст по немецкому изданию, перевод 1960-х годов (т. н. 4-ое издание) представляет собой компиляцию из немецкой и американской версии учебника и в связи с этим весьма многословен.
• Фихтенгольц, Григорий Михайлович . Курс дифференциального и интегрального исчисления (в трёх томах) // Мат. анализ на EqWorld - очень хороший, но немного старомодный учебник.

и задачник

• Демидович, Б. П., Сборник задач и упражнений по математическому анализу // Мат. анализ на EqWorld

Имеется несколько изданий, претендующих на роль АнтиДемидовича:

• Ляшко И. И. и др. Справочное пособие по высшей математики . т. 1-5

Большинство ВУЗов имеют собственные руководства по анализу:

• МГУ , мехмат:

• Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по мат. анализу.
• Зорич В. А. Математический анализ. Часть I. М.: Наука, 1981. 544 с.
• Зорич В. А. Математический анализ. Часть II. М.: Наука, 1984. 640 с.

• Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ (в двух частях)

• МГУ, физфак:

• Ильин В. А. , Позняк Э. Г. Основы математического анализа (в двух частях) // http://lib.homelinux.org .
• Бутузов В. Ф. и др. Мат. анализ в вопросах и задачах // http://lib.homelinux.org .

• МГТУ им Н. Э. Баумана:

• Математика в техническом университете Сборник учебных пособий в 21 томе.

• НГУ , мехмат:

• Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа. Часть I. Книга 1. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1999. 454 с ISBN 5-86134-066-8.
• Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа. Часть I. Книга 2. Интегральное исчисление функций одной переменной. Дифференциальное исчисление функций многих переменных. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1999. 512 с ISBN 5-86134-067-6.
• Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа. Часть II. Книга 1. Основы гладкого анализа в многомерных пространствах. Теория рядов. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2000. 440 с ISBN 5-86134-086-2.
• Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа. Часть II. Книга 2. Интегральное исчисление функций многих переменных. Интегральное исчисление на многообразиях. Внешние дифференциальные формы. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2001. 444 с ISBN 5-86134-089-7.
• Шведов И. А. Компактный курс математического анализа, : Часть 1. Функции одной переменной , Часть 2. Дифференциальное исчисление функций многих переменных .

• Физтех , Москва

• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа (в трёх томах)

Учебники повышенной сложности

Учебники:

• Рудин У. Основы математического анализа. М., 1976 - небольшая книга, написана очень чётко и сжато.

Задачники повышенной сложности:

• Г.Полиа, Г.Сеге, Задачи и теоремы из анализа. Часть 1 , Часть 2 , 1978. (Большая часть материала относится к ТФКП)
• Pascal, E. (Napoli). Esercizii, 1895; 2 ed., 1909 // Internet Archiv

Справочники

Классические произведения

• Лопиталь. Анализ бесконечно малых // Мат. анализ на EqWorld
• Bernulli, Johann. Die erste Integrelrechnunug. Leipzig-Berlin, 1914.
• Эйлер. Введение в анализ, Дифференицальное исчисление, Интегральное исчисление //Мат. анализ на EqWorld (Второй том Введения в анализ сохранен с ошибкой)
• Коши. Краткое изложение уроков по дифференциальному и интегральному исчислению //Мат. анализ на EqWorld
• Штурм. Курс анализа. Т.1,2 - Классический курс парижской политехнической школы 1830-х годов.
• Гурса Э. Курс мат. анализа. T. 1.1, 1.2 // Мат. анализ на EqWorld

Исторические книги

• Кестнер, Авраам Готтгельф . Geschichte der Mathematik . 4 тома, Геттинген, 1796-1800
• Кантор, Мориц . Vorlesungen über geschichte der mathematik Leipzig: B. G. Teubner, - . Bd. 1 , Bd. 2 , Bd. 3 , Bd. 4
• История математики под редакцией А. П. Юшкевича (в трёх томах):

• Маркушевич А. И. Очерки по истории теории аналитических функций. 1951
• Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. 1960
• Первый российский учебник по мат. анализу: М.Е. Ващенко-Захарченко, Алгебраический Анализ или Высшая Алгебра. 1887

Примечания

1. Ср., напр.,курс Cornell Un
2. Ньютон И. Математические работы . M, 1937.
3. Leibniz //Acta Eroditorum, 1684. L.M.S., т. V, c. 220-226. Рус. пер.: Успехи Мат. Наук, т. 3, в. 1 (23), с. 166-173.
4. Лопиталь. Анализ бесконечно малых . М.-Л.:ГТТИ, 1935. (Далее: Лопиталь) // Мат. анализ на EqWorld
5. Лопиталь, гл. 1, опр. 2.
6. Лопиталь, гл. 4, опр. 1.
7. Лопиталь, гл. 1, требование 1.
8. Лопиталь, гл. 1, требование 2.
9. Лопиталь, гл. 2, опр.
10. Лопиталь, § 46.
11. Лопиталь беспокоится о другом: d y для него длина отрезка и нужно пояснить, что значит ее отрицательность. Замечание, слеланное в § 8-10, можно даже понять так, что при убывании y с ростом x следует писать d x y = y d x − x d y , однако далее это не используется.
12. Лопиталь, § 46.
13. Bernulli, Johann. Die erste Integrelrechnunug. Leipzig-Berlin, 1914.

Возникает кружок, виднейшими представителями которого были братья Бернулли (Якоб и Иоганн) и Лопиталь . В , используя лекции И. Бернулли, Лопиталь написал первый учебник , излагавший новый метод в применении к теории плоских кривых . Он назвал его Анализ бесконечно малых , дав тем самым и одно из названий новому разделу математики. В основу изложения положено понятие переменных величин, между которыми имеется некоторая связь, из-за которой изменение одной влечёт изменение другой. У Лопиталя эта связь даётся при помощи плоских кривых: если M {\displaystyle M} - подвижная точка плоской кривой, то её декартовы координаты x {\displaystyle x} и y {\displaystyle y} , именуемые абсциссой и ординатой кривой, суть переменные, причём изменение x {\displaystyle x} влечёт изменение y {\displaystyle y} . Понятие функции отсутствует: желая сказать, что зависимость переменных задана, Лопиталь говорит, что «известна природа кривой». Понятие дифференциала вводится так:

Бесконечно малая часть, на которую непрерывно увеличивается или уменьшается переменная величина, называется её дифференциалом… Для обозначения дифференциала переменной величины, которая сама выражается одной буквой, мы будем пользоваться знаком или символом d {\displaystyle d} . … Бесконечно малая часть, на которую непрерывно увеличивается или уменьшается дифференциал переменной величины, называется … вторым дифференциалом.

Эти определения поясняются геометрически, при этом на рис. бесконечно малые приращения изображены конечными. Рассмотрение опирается на два требования (аксиомы). Первое:

Требуется, чтобы две величины, отличающиеся друг от друга лишь на бесконечно малую величину, можно было брать [при упрощении выражений?] безразлично одну вместо другой.

Отсюда получается x + d x = x {\displaystyle x+dx=x} , далее

D x y = (x + d x) (y + d y) − x y = x d y + y d x + d x d y = (x + d x) d y + y d x = x d y + y d x {\displaystyle dxy=(x+dx)(y+dy)-xy=xdy+ydx+dxdy=(x+dx)dy+ydx=xdy+ydx}

Второе требование гласит:

Требуется, чтобы можно было рассматривать кривую линию как совокупность бесконечного множества бесконечно малых прямых линий.

Продолжение каждой такой линии называется касательной к кривой. Исследуя касательную, проходящую через точку M = (x , y) {\displaystyle M=(x,y)} , Лопиталь придаёт большое значение величине

достигающее экстремальных значений в точках перегиба кривой, отношению же d y {\displaystyle dy} к d x {\displaystyle dx} не придаётся никакого особого значения.

Примечательно нахождение точек экстремума . Если при непрерывном увеличении абсциссы x {\displaystyle x} ордината y {\displaystyle y} сначала возрастает, а затем убывает, то дифференциал d y {\displaystyle dy} сначала положителен по сравнению с d x {\displaystyle dx} , а потом отрицателен.

Но всякая непрерывно возрастающая или убывающая величина не может превратиться из положительной в отрицательную, не проходя через бесконечность или нуль… Отсюда следует, что дифференциал наибольшей и наименьшей величины должен равняться нулю или бесконечности.

Вероятно, эта формулировка небезупречна, если вспомнить о первом требовании: пусть, скажем, y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}} , тогда в силу первого требования

в нуле правая часть равна нулю, а левая нет. Видимо следовало сказать, что d y {\displaystyle dy} можно преобразовать в соответствии с первым требованием так, чтобы в точке максимума d y = 0 {\displaystyle dy=0} . . В примерах все само собой понятно, и лишь в теории точек перегиба Лопиталь пишет, что d y {\displaystyle dy} равен нулю в точке максимума, будучи разделён на d x {\displaystyle dx} .

Далее, при помощи одних дифференциалов формулируются условия экстремума и рассмотрено большое число сложных задач, относящихся в основном к дифференциальной геометрии на плоскости. В конце книги, в гл. 10, изложено то, что теперь называют правилом Лопиталя , хотя и в не совсем обычной форме. Пусть величина ординаты y {\displaystyle y} кривой выражена дробью, числитель и знаменатель которой обращаются в нуль при . Тогда точка кривой с x = a {\displaystyle x=a} имеет ординату y {\displaystyle y} , равную отношению дифференциала числителя к дифференциалу знаменателя, взятому при x = a {\displaystyle x=a} .

По замыслу Лопиталя написанное им составляло первую часть Анализа, вторая же должна была содержать интегральное исчисление, то есть способ отыскания связи переменных по известной связи их дифференциалов. Первое его изложение дано Иоганном Бернулли в его Математических лекциях о методе интеграла . Здесь дан способ взятия большинства элементарных интегралов и указаны методы решения многих дифференциальных уравнений первого порядка.

Указывая на практическую полезность и простоту нового метода Лейбниц писал:

То, что человек, сведущий в этом исчислении, может получить прямо в трёх строках, другие учёнейшие мужи принуждены были искать, следуя сложными обходными путями.

Эйлер

Леонард Эйлер

Перемены, произошедшие за последующие полвека, отражены в обширном трактате Эйлера . Изложение анализа открывает двухтомное «Введение», где собраны изыскания о различных представлениях элементарных функций. Термин «функция» впервые появляется лишь в у Лейбница , однако на первые роли его выдвинул именно Эйлер. Изначальная трактовка понятия функции состояла в том, что функция - это выражение для счёта (нем. Rechnungsausdrϋck ) или аналитическое выражение .

Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств.

Подчёркивая, что «основное различие функций лежит в способе составления их из переменного и постоянных», Эйлер перечисляет действия, «посредством которых количества могут друг с другом сочетаться и перемешиваться; действиями этими являются: сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корней; сюда же следует отнести также решение [алгебраических] уравнений. Кроме этих действий, называемых алгебраическими, существует много других, трансцендентных, как то: показательные, логарифмические и бесчисленные другие, доставляемые интегральным исчислением». Такая трактовка позволяла без труда обращаться с многозначными функциями и не требовала пояснения, над каким полем рассматривается функция: выражение для счёта определено для комплексных значений переменных даже тогда, когда для рассматриваемой задачи это не нужно.

Операции в выражении допускались лишь в конечном числе, а трансцендентное проникало при помощи бесконечно большого числа ∞ {\displaystyle \infty } . В выражениях это число используется наряду с натуральными числами. Напр., считается допустимым такое выражение для экспоненты

в котором лишь поздние авторы видели предельный переход. С аналитическими выражениями производились разнообразные преобразования, позволившие Эйлеру найти представления для элементарных функций в виде рядов, бесконечных произведений и т. д. Эйлер преобразует выражения для счёта так, как это делают в алгебре, не обращая внимания на возможность вычислить значение функции в точке по каждой из написанных формул.

В отличие от Лопиталя Эйлер подробно рассматривает трансцендентные функции и в особенности два наиболее изученных их класса - показательные и тригонометрические. Он обнаруживает, что все элементарные функции могут быть выражены при помощи арифметических действий и двух операций - взятия логарифма и экспоненты .

Сам ход доказательства прекрасно демонстрирует технику использования бесконечно большого. Определив синус и косинус при помощи тригонометрического круга, Эйлер выводит из формул сложения следующее:

Полагая n = ∞ {\displaystyle n=\infty } и z = n x {\displaystyle z=nx} , он получает

отбрасывая бесконечно малые величины большего порядка. Используя это и аналогичное выражение, Эйлер получает и свою знаменитую формулу

Указав различные выражения для функций, которые теперь называют элементарными, Эйлер переходит к рассмотрению кривых на плоскости, начертанным свободным движением руки. По его мнению, не для всякой такой кривой можно отыскать единое аналитическое выражение (см. также Спор о струне). В XIX веке с подачи Казорати это утверждение считалось ошибочным: по теореме Вейерштрасса всякая непрерывная в современном смысле кривая может быть приближенно описана полиномами. На самом деле Эйлера это едва ли убедило, ведь нужно ещё переписать предельный переход при помощи символа ∞ {\displaystyle \infty } .

Изложение дифференциального исчисления Эйлер начинает с теории конечных разностей, за ним в третьей главе следует философское разъяснение о том, что «бесконечно малое количество есть точно нуль», более всего не устроившее современников Эйлера. Затем из конечных разностей при бесконечно малом приращении образуются дифференциалы, а из интерполяционной формулы Ньютона - формула Тейлора . Этот метод в существенном восходит к работам Тейлора (1715 г.). При этом у Эйлера появляется устойчивое отношение d k y d x k {\displaystyle {\frac {d^{k}y}{dx^{k}}}} , которое, однако, рассматривается как отношение двух бесконечно малых. Последние главы посвящены приближенному вычислению при помощи рядов.

В трёхтомном интегральном исчислении Эйлер вводит понятие интеграла так:

Та функция, дифференциал которой = X d x {\displaystyle =Xdx} , называется его интегралом и обозначается знаком S {\displaystyle S} , поставленным спереди.

В целом же эта часть трактата Эйлера посвящена более общей с современной точки зрения задаче об интегрировании дифференциальных уравнений. При этом Эйлер находит ряд интегралов и дифференциальных уравнений, которые приводят к новым функциям, напр., Γ {\displaystyle \Gamma } -функции, эллиптические функции и т. д. Строгое доказательство их неэлементарности было дано в 1830-х годах Якоби для эллиптических функций и Лиувиллем (см. элементарные функции).

Лагранж

Следующим крупным произведением, сыгравшим значительную роль в развитии концепции анализа, явилась Теория аналитических функций Лагранжа и обширный пересказ работ Лагранжа, выполненный Лакруа в несколько эклектической манере.

Желая избавиться от бесконечно малого вовсе, Лагранж обратил связь между производными и рядом Тейлора. Под аналитической функцией Лагранж понимал произвольную функцию, исследуемую методами анализа. Саму функцию он обозначил как , дав графический способ записи зависимости - ранее же Эйлер обходился одними переменными. Для применения методов анализа по мнению Лагранжа необходимо, чтобы функция разлагалась в ряд

коэффициенты которого будут новыми функциями x {\displaystyle x} . Остаётся назвать p {\displaystyle p} производной (дифференциальным коэффициентом) и обозначить его как f ′ (x) {\displaystyle f"(x)} . Таким образом, понятие производной вводится на второй странице трактата и без помощи бесконечно малых. Остаётся заметить, что

поэтому коэффициент q {\displaystyle q} является удвоенной производной производной f (x) {\displaystyle f(x)} , то есть

Такой подход к трактовке понятия производной используется в современной алгебре и послужил основой для создания теории аналитических функций Вейерштрасса .

Лагранж оперировал такими рядами как формальными и получил ряд замечательных теорем. В частности, впервые и вполне строго доказал разрешимость начальной задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений в формальных степенных рядах.

Вопрос об оценке точности приближений, доставляемых частными суммами ряда Тейлора, впервые был поставлен именно Лагранжем: в конце Теории аналитических функций он вывел то, что теперь называют формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Однако, в противоположность современным авторам, Лагранж не видел нужды в употреблении этого результата для обоснования сходимости ряда Тейлора.

Вопрос о том, действительно ли функции, употребимые в анализе, могут быть разложены в степенной ряд, впоследствии стал предметом дискуссии. Конечно, Лагранжу было известно, что в некоторых точках элементарные функции могут не разлагаться в степенной ряд, однако в этих точках они и недифференцируемы ни в каком смысле. Коши в своём Алгебраическом анализе привёл в качестве контрпримера функцию

доопределённую нулём в нуле. Эта функция всюду гладкая на вещественной оси и в нуле имеет нулевой ряд Маклорена, который, следовательно, не сходится к значению f (x) {\displaystyle f(x)} . Против этого примера Пуассон возразил, что Лагранж определял функцию как единое аналитическое выражение, в примере Коши же функция задана по разному в нуле, и при x ≠ 0 {\displaystyle x\not =0} . Лишь в конце XIX века Прингсхайм доказал, что существует бесконечно дифференцируемая функция, заданная единым выражением, ряд Маклорена для которой расходится. Пример такой функции представляет выражение

Дальнейшее развитие

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление изучает определение, свойства и применение производных функций . Процесс нахождения производной называется дифференцированием . Для заданной функции и точки из области её определения производная в этой точке является способом кодирования мелкомасштабного поведения этой функции вблизи этой точки. Найдя производную функции в каждой точке в области определения, можно определить новую функцию, называемую производной функцией или просто производной от исходной функции. На математическом языке производная является линейным отображением , на входе которого одна функция, а на выходе другая. Это понятие является более абстрактным, чем большинство процессов, изучаемых в элементарной алгебре, где функции обычно имеют на входе одно число, а на выходе другое. Например, если для функции удвоения задать на входе три, на выходе будет шесть; если для квадратичной функции задать на входе три, на выходе будет девять. Производная же может иметь квадратичную функцию в качестве входа. Это означает, что производная берёт всю информацию о функции возведения в квадрат, то есть: при входе два, она даёт на выходе четыре, три преобразует в девять, четыре - в шестнадцать и так далее, и использует эту информацию для получения другой функции. (Производной квадратичной функции является как раз функция удвоения.)

Наиболее распространенным символом для обозначения производной является апострофо-подобный знак, называемый штрихом . Таким образом, производная функции f есть f′ , произносится «f штрих». Например, если f (x ) = x 2 является функцией возведения в квадрат, то f′ (x ) = 2x является её производной, это функция удвоения.

Если входом функции является время, то производная представляет собой изменение по времени. Например, если f является функцией, зависящей от времени, и она даёт на выходе положение мяча во времени, то производная f определяет изменение положения мяча по времени, то есть скорость мяча.

Неопределённый интеграл является первообразной , то есть операцией, обратной к производной. F является неопределённым интегралом от f в том случае, когда f является производной от F . (Это использование прописных и строчных букв для функции и её неопределённого интеграла распространено в исчислении).

Определенный интеграл входной функции и выходных значений есть число, которое равно площади поверхности, ограниченной графиком функции, осью абсцисс и двумя отрезками прямых линий от графика функции до оси абсцисс в точках выходных значений. В технических терминах определённый интеграл есть предел суммы площадей прямоугольников, называемой суммой Римана .

Примером из физики является вычисление пройденного расстояния при ходьбе в любой момент времени.

Если скорость постоянна, достаточно операции умножения, но если скорость меняется, то мы должны применить более мощный метод вычисления расстояния. Одним из таких методов является приблизительное вычисление путём разбивки времени на отдельные короткие промежутки. Умножая затем время в каждом интервале на какую-либо одну из скоростей в этом интервале и затем суммируя все приблизительные расстояния (сумма Римана), пройденные в каждом интервале, мы получим полное пройденное расстояние. Основная идея состоит в том, что если использовать очень короткие интервалы, то скорость на каждом из них будет оставаться более или менее постоянной. Тем не менее, сумма Римана даёт только приблизительное расстояние. Чтобы найти точное расстояние, мы должны найти предел всех таких сумм Римана.

Если f(x) на диаграмме слева представляет изменение скорости с течением времени, то пройденное расстояние (между моментами a и b ) есть площадь заштрихованной области s .

Для приближённой оценки этой площади возможен интуитивный метод, состоящий в разделении расстояния между a и b на некоторое число равных отрезков (сегментов) длиной Δx . Для каждого сегмента мы можем выбрать одно значение функции f (x ). Назовём это значение h . Тогда площадь прямоугольника с основанием Δx и высотой h даёт расстояние (время Δx умноженной на скорость h ), пройденное в этом сегменте. С каждым сегментом связывается среднее значение функции на нём f(x) =h. Сумма всех таких прямоугольников даёт приближение площади под кривой, которая является оценкой общего пройденного расстояния. Уменьшение Δx даст большее количество прямоугольников и в большинстве случаев будет лучшим приближением, но для получения точного ответа мы должны вычислить предел при Δx стремящемся к нулю.

Символом интегрирования является ∫ {\displaystyle \int } , удлиненная буква S (S означает «сумма»). Определённый интеграл записывается в виде:

и читается: «интеграл от a до b функции f от x по x ». Предложенное Лейбницем обозначение dx предназначено для разделения площади под кривой на бесконечное число прямоугольников, таких, что их ширина Δx является бесконечно малой величиной dx . В формулировке исчисления, основанного на пределах, обозначение

должно пониматься как оператор, который принимает на входе функцию и даёт на выходе число, равное площади. dx не является числом и не умножается на f(x) .

Неопределённый интеграл, или первообразная, записывается в виде:

Функции, отличающиеся на константу, имеют те же производные, и, следовательно, первообразная данной функции на самом деле является семейством функций, отличающиеся только константой. Поскольку производная функции y = x ² + C , где C - любая константа, равна y′ = 2x , то первообразная последней определяется по формуле:

Неопределённая константа типа C в первообразной известна как постоянная интегрирования .

Теорема Ньютона - Лейбница

Теорема Ньютона - Лейбница, которую также называют основной теоремой анализа утверждает, что дифференцирование и интегрирование являются взаимно обратными операциями. Точнее, это касается значения первообразных для определённых интегралов. Поскольку, как правило, легче вычислить первообразную, чем применять формулу определённого интеграла, теорема даёт практический способ вычисления определённых интегралов. Она также может быть интерпретирована как точное утверждение о том, что дифференцирование является обратной операцией интегрирования.

Теорема гласит: если функция f непрерывна на отрезке [a , b ] и если F есть функция, производная которой равна f на интервале (a , b ), то:

Кроме того, для любого x из интервала (a , b )

Это понимание, сделанное как Ньютоном, так и Лейбницем, которые основывали свои результаты на более ранних трудах Исаака Барроу , было ключом к быстрому распространению аналитических результатов после того, как их работы стали известны. Фундаментальная теорема даёт алгебраический метод вычисления многих определённых интегралов без ограничения процессов, путём нахождения формулы первообразной . Кроме того, возник прототип для решения дифференциальных уравнений . Дифференциальные уравнения связывают неизвестные функции с их производными, они применяются повсеместно во многих науках.

Приложения

Математический анализ широко применяется в физике , информатике , статистике , технике , экономике , бизнесе , финансах , медицине , демографии и других областях, в которых для решения проблемы может быть построена математическая модель , и необходимо найти её оптимальное решение .

В частности, практически все понятия в классической механике и электромагнетизме неразрывно связаны между собой именно средствами классического математического анализа. Например, при известном распределении плотности объекта его масса , моменты инерции , а также полная энергия в потенциальном поле могут быть найдены с помощью дифференциального исчисления. Другой яркий пример применения математического анализа в механике - второй закон Ньютона : исторически сложилось так, что в нём напрямую используется термин «скорость изменения» в формулировке «Сила = масса × ускорение», так как ускорение - производная по времени от скорости или вторая производная по времени от траектории или пространственного положения.

Математический анализ используется также для нахождения приближённых решений уравнений. На практике это стандартный способ решения дифференциальных уравнений и нахождение корней в большинстве приложений. Примерами являются метод Ньютона , метод простой итерации и метод линейной аппроксимации. Например, при расчётах траектории космических аппаратов используется вариант метода Эйлера для аппроксимации криволинейных курсов движения при отсутствии силы тяжести.

Библиография

Энциклопедические статьи

• // Энциклопедический лексикон : В 17 тт. - СПб. : Тип. А. Плюшара , 1835-1841.
• // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). - СПб. , 1890-1907.

Учебная литература

Стандартные учебники

На протяжении многих лет в России популярны следующие учебники:

• Курант, Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления (в двух томах). Главная методическая находка курса: сначала попросту излагаются основные идеи, а затем им даются строгие доказательства. Написан Курантом в его бытность профессором Геттингенского университета в 1920-х под влиянием идей Клейна , затем в 1930-х перенесён на американскую почву. Русский перевод 1934 г. и его переиздания дает текст по немецкому изданию, перевод 1960-х годов (т. н. 4-ое издание) представляет собой компиляцию из немецкой и американской версии учебника и в связи с этим весьма многословен.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (в трёх томах) и задачник.
• Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.
• Ляшко И. И. и др. Справочное пособие по высшей математике, т. 1-5.

Некоторые ВУЗы имеют собственные руководства по анализу:

• МГУ , МехМат:

• Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по мат. анализу.
• Зорич В. А. Математический анализ. Часть I. М.: Наука, 1981. 544 с.
• Зорич В. А. Математический анализ. Часть II. М.: Наука, 1984. 640 с.
• Камынин Л. И. Курс математического анализа (в двух томах). М.: Издательство Московского Университета, 2001.

• В. А. Ильин , В. А. Садовничий , Бл. Х. Сендов . Математический анализ / Под ред.