Транскрипт

1 ФГБОУ ВО «ПЕТРОЗАВОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ Кафедра геометрии и топологии Хальценен Елизавета Сергеевна Выпускная квалификационная работа на степень бакалавра Методы доказательства неравенств Направление: "0.03.0" «Математика» Научный руководитель Профессор, доктор ф.-м. наук, Платонов С.С. (подпись руководителя) Петрозаводск

2 Содержание Введение...3.Неравенство Йенсена Перестановочное неравенство Неравенство Караматы Решение задач на доказательство неравенств...3 Список литературы

3 Ведение Метод- это совокупность последовательных действий, направленных на решение конкретного вида задачи. Методы доказательства неравенств в данной работе направлены на поиск нестандартного решения неравенств, имеющих определенный вид. Используя такие методы, решение сокращается в разы. Результат тот же, а объем работы меньше. Целью выпускной работы стало изучение трех видов неравенств с помощью которых с легкостью доказываются многие другие. Это неравенство Йенсена, перестановочное неравенство, неравенство Караматы. Все эти неравенства математически красивы, с помощью этих неравенств можно решать школьные неравенства. Данная тема является актуальной. По моему мнению, она могла бы быть полезной для школьников, в том числе для повышения уровня знаний в области математики. Так как методы не являются стандартными, мне кажется, что ученикам с математическим уклоном, они были бы полезны и увлекательны. Поставленная задача поиск и решение тематических неравенств из предложенной литературы. Работа состоит из четырех параграфов. В параграфе описано неравенство Йенсена, приведено его доказательство и вспомогательные определения. В параграфе 2 перестановочное неравенство, его частные случаи и общее перестановочное неравенство. В параграфе 3 неравенство Караматы без доказательства. Параграф 4 - это основная работа выпускной работы, т.е. доказательства неравенств с помощью неравенства Йенсена, перестановочного неравенства и неравенства Караматы

4 . Неравенство Йенсена Определение. Подмножество плоскости называется выпуклым, если любые две точки данного множества можно соединить отрезком, который будет целиком лежать в этом множестве. Определение 2. Пусть f(x) определена на некотором интервале. Множество всех точек (x,y), для которых y f(x), называется надграфиком, где x принадлежит данному интервалу. Множество точек (x,y), для которых y f(x), называется подграфиком. Определение 3. Рассмотрим функцию на некотором интервале. Функция называется выпуклой, если на этом интервале её надграфик является выпуклым множеством. Функция называется вогнутой, если ее подграфик является выпуклым множеством. Критерий выпуклости (вогнутости) функции. Для того, чтобы функция y = f(x), непрерывно дифференцируемая на интервале(a, b), была выпуклой(вогнутой) на (a, b), необходимо и достаточно, чтобы ее производная f возрастала(убывала) на интервале (a, b). Критерий 2 выпуклости (вогнутости) функции. Для того, чтобы функция y = f(x), дважды дифференцируемая на интервале(a, b), была выпуклой(вогнутой) на (a, b), необходимо и достаточно, чтобы f (x) 0(f (x) 0) во всех точках x (a, b) Определение 4. Центром масс точек A(x, y) и B(x 2, y 2) называется точка С(x, y), принадлежащая отрезку AB, такая, что AC = m B, где m BC m B масса A точки В и m A масса точки А. В векторном виде центр масс находим следующим образом: радиус-вектор центра масс: где r i - радиус-вектор точек А и В, i =,2. В координатах: r = m r +m 2 r 2 m +m 2 () x = m x +m 2 x 2 m +m 2, y = m y +m 2 y 2 m +m 2-4 -

5 Пусть С AB - центр масс точек A и B. Если U- выпуклое подмножество плоскости и точки A и Bпринадлежат U, то и С AB принадлежит U, так как С AB принадлежит отрезку AB. ПустьA, A 2 A произвольные точки на плоскости с массами m, m 2, m. Центр масс C A,A 2 A системы точек A, A 2 A определяется индукцией по:) При = 2 центр масс С A A 2 системы точек A, A 2 уже определен. Будем считать, что точка С A A 2 имеет массу m + m 2 2) Предположим, что для системы точек A, A 2 A центр массc A,A 2 A уже определен. Обозначим центр масс точек A, A 2 A через B и будем считать, что масса точки B равна m B = m + m m. По определению полагаем C A,A 2 A = С BA, т.е. центр масс системы точек A, A 2 A, A равен центру масс двух точек B и A. Будем считать, что масса точки C A,A 2 A равна m B + m = m + m m. Из определения центра масс вытекает, что если все точки A, A 2 A принадлежат выпуклому множеству U, то их центр масс также принадлежит U. Лемма. Пусть A, A 2 A -точки на плоскости с массами m, m 2, m и пусть r i - радиус вектор точки A i, i =,. Если C -центр масс системы точек A, A 2 A, то радиус-вектор r C точки C может быть вычислен по формуле Доказательство. r C = m r +m 2 r 2 + +m r m +m 2 + +m (2) Будем доказывать формулу (2) индукцией по. При = 2 формула уже доказана (см. формулу ()). Предположим, что формула (2) уже доказана для (). Пусть B- центр масс системы точек A, A 2 A. Тогда - 5 -

6 r B = m r + m 2 r m r m + m m, масса точки B равна m B = m + m m. По определению, центр масс C системы точек A, A 2 A совпадает с центром масс пары точек B и A. Радиус вектор точки C вычисляется по формуле () r C = m Br B + m r m B + m = m r + m 2 r m r m + m m что доказывает формулу (2) для точек. В координатах формула (2) имеет вид: x C = m x + m 2 x m k x k m + m m k y C = m y + m 2 y m k y k m + m m k «Теорема Йенсена. Пусть y = f(x) функция выпуклая на некотором интервале, x, x 2, x - числа из этого интервала;m, m 2, m - положительные числа, удовлетворяющие условию m + m m =. Тогда выполняется неравенство Йенсена: f(m x + m 2 x m x) m f(x) + m 2 f(x 2) + + m f(x) Если функция y = f(x) - вогнутая на некотором интервале, x, x 2, x - числа из этого интервала; m, m 2, m -положительные числа, которые также удовлетворяют условию m + m m =. Тогда неравенство Йенсена имеет вид: f(m x + m 2 x m x) m f(x) + m 2 f(x 2) + + m f(x)» Доказательство: Рассмотрим функцию f(x), выпуклую на интервале(a, b). На ее графике рассмотрим точки A, A 2, A и пусть A i = (x i, y i), y i = f(x i). Возьмем для точек A, A 2, A произвольные массыm, m 2, m, так, чтоm + m m =. Из того, что f(x)выпуклая функция следует то, - 6 -

7 что надграфик функции множество выпуклое. Следовательно, центр масс CточекA, A 2, A принадлежит надграфику. Найдем координаты центра масс: x c = m x + m 2 x m x m + m m = m x + m 2 x m x y c = m y + m 2 y m y m + m m = m f(x) + m 2 f(x 2) + + m f(x) Так как C принадлежит надграфику, то Получаем ч.т.д. y c f(x c) m f(x) + m 2 f(x 2) + + m f(x) f(m x + m 2 x m x) Пользуясь неравенствомйенсена можно доказать неравенство Коши: Для любых положительных чисел a, a 2, a справедливо неравенство: (a + a a) a a 2 a Прологарифмируем неравенство (3), получим равносильное неравенство (3) l (a +a 2 + +a) l(a a 2 a) (4) Пользуясь свойствами логарифмов, перепишем неравенство (4) в виде: l (a +a 2 + +a) l a + l a l a (5) Полученное неравенство является частным случаем неравенства Йенсена для случая, когдаf(x) = l(x), m = m 2 = = m =. Заметим, что функция y = l(x) вогнутая на интервале (0, +), так как y = < 0, поэтому неравенство (5) есть частный случай неравенства x2-7 -

8 Йенсена для вогнутой функции f(x) = l(x). Так как неравенство (5) справедливо, то справедливо и равносильное ему неравенство (3) 2. Перестановочное неравенство Определение. Взаимно однозначное соответствие множества чисел {,2,3, } в себя называется перестановкой из элементов. Обозначим перестановку буквой σ так, что σ(), σ(2), σ(3) σ() - это числа,2,3, в другом порядке. Рассмотрим два набора чисел a, a 2, a и b, b 2, b. Наборы a, a 2, a и b, b 2, b называются одинаково упорядоченными, если для любых номеров i и j из того, что a i a j следует то, что b i b j. В частности, наибольшему числу из набора a, a 2, a соответствует наибольшее число из набора b, b 2, b, для второго числа по величине из первого набор найдется второе по величине число из второго набора и так далее. Наборы a, a 2, a и b, b 2, b называютсяобратно упорядоченными, если для любых номеров i и j из того, что a i a j следует то, что b i b j. Из этого следует, что наибольшему числу из набора a, a 2, a соответствует наименьшее число из набора b, b 2, b, второму по величине числу из набора a, a 2, a соответствует второе наименьшее с конца число набора b, b 2, b и так далее. Пример.) Пусть даны два набора, таких, что a a 2 a и b b 2 b, то согласно данными нами определениями эти наборы одинаково упорядоченные. 2)Пусть даны два набора, таких, что a a 2 a и b b 2 b, в таком случае наборы чисел a, a 2, a и b, b 2, b будутобратно упорядоченными Всюду далееa, a 2, a и b, b 2, b - положительные вещественные числа «Теорема. (Перестановочное неравенство) Пусть есть два набора чисел a, a 2, a и b, b 2, b. Рассмотрим множество их всевозможных перестановок. Тогда значение выражения - 8 -

9 S = a b σ + a 2 b σ2 + + a b σ () будет наибольшим, когда наборы a, a 2, a и b, b 2, b одинаково упорядочены, и наименьшим, когда a, a 2, a и b, b 2, b обратно упорядочены. Для всех остальных перестановок сумма S будет находиться между наименьшим и наибольшим значениями.» Пример. Согласно теореме a b + b c + c a 3, так как набор a, b, c и a, b, c обратно упорядочены и значение a a + b b + c c = 3будет наименьшим. Доказательство теоремы. Рассмотрим два набора чисел: первый a, a 2, a и второй b, b 2, b. Предположим, что эти наборы не упорядочены одинаково, те. Найдутся такие индексы i и k, что a i > a k и b k > b i. Поменяем во втором наборе числа b k и b i местами (такое преобразование называется «сортировкой»). Тогда в сумме S слагаемые a i b i и a k b k заменятся на a i b k и a k b i, а все остальные слагаемые останутся без изменений. Заметим, что a i b i + a k b k < a i b k + a k b i, так как (a i b i + a k b k) (a i b k + a k b i) = a i (b i b k) a k (b i b k) = (a i a k)(b i b k) < 0 Поэтому сумма Sувеличится. Выполняем сортировку пока это возможно. Если процесс прекратился, то это означает, что мы получили правильный порядок, а это и есть наибольшее значение. Наименьшее значение получается аналогично, только мы делаем сортировку до тех пор, пока наборы не будут обратно упорядоченными. В итоге мы придем к наименьшему значению. «Теорема 2. Рассмотрим два положительных набора a, a 2, a 3 a иb, b 2, b 3 b и все его возможные перестановки. Тогда значение произведения (a i + b σ(i)) будет наибольшим, когда наборы a, a 2, a 3 a иb, b 2, b 3 b одинаково упорядочены, и наименьшим, когда они обратно упорядочены

10 Теорема 3. Рассмотрим два набора a, a 2, a 3 a иb, b 2, b 3 b элементы этого набора положительны. Тогда значение () a i + b σ(i) Будет наибольшим, когда наборы a, a 2, a 3 a иb, b 2, b 3 b одинаково упорядочены и наименьшим, когда они упорядочены обратно.» Теоремы,2,3 являются частными случаями более общей теоремы, которая рассматривается далее. Общее перестановочное неравенство «Теорема 4 (Общее перестановочное неравенство). Пусть функция f- непрерывная и выпуклая на некотором промежутке в R. Тогда для любых наборов чисел a, a 2, a 3 a иb, b 2, b 3 b из промежутка значение выражения f (a + b σ()) + f (a 2 + b σ(2)) + f (a + b σ()) будет наибольшим, когда наборы одинаково упорядочены и наименьшим, когда наборы обратно упорядочены. Теорема 5. Пусть функция f- непрерывная и вогнутая на некотором промежутке в R Тогда: значение выражения f (a + b σ()) + f (a 2 + b σ(2)) + f (a + b σ()) будет наибольшим, когда числа обратно упорядочены и наименьшим, когда наборы a, a 2, a 3 a иb, b 2, b 3 b одинаково упорядочены. Доказательство.») Рассмотрим случай = 2. Пусть функция f выпуклая и есть два набора a > a 2 иb > b 2. Нам нужно доказать, что Обозначим f(a + b) + f(a 2 + b 2) f(a + b 2) + f(a 2 + b) (2) x = a + b 2, k = a a 2, m = b b 2. Тогда - 0 -

11 a + b 2 = x + k, a 2 + b = x + m, a + b = x + k + m, поэтому неравенство (2) примет вид f(x + k + m) + f(x + k) f(x + k) + f(x + m) (3) Для доказательства неравенства воспользуемся рисунком На рисунке нарисован график выпуклой функции y = f(x) графике отмечены точки A(x, f(x)), C(x + k, f(x + k)), D(x + m, f(x + m)), B (x + k + m, f(x + k + m)). и на Из выпуклости функции f вытекает, что хорда CD лежит ниже хорды AB. Пусть K - середина хорды CD, MЗ середина хорды AB. Заметим, что абсциссы точек K и M одинаковые, так как x k = 2 ((x + k) + (x + m)) = (2x + k + m) 2 x m = 2 (x + (x + k + m)) = (2x + k + m) 2 Следовательно точки K и M лежат на одной вертикальной прямой, откуда вытекает, что y m y k. - -

12 Так как y m = (f(x) + f(x + k + m)) 2 y k = (f(x + k) + f(x + m)) 2 Отсюда следуют неравенства (3) и (2). Что и требовалось доказать. 2) Пусть > 2. Предположим, что наборы a, a 2, a 3 a иb, b 2, b 3 b не упорядочены одинаково, т.е. найдутся такие индексы i и k, что a i > a k и b i < b k. Поменяем во втором наборе числа b i и b k местами. Тогда в сумме S слагаемые f(a i + b i) и f(a k + b k) заменятся на f(a i + b k) и f(a k + b i), а все остальные слагаемые останутся без изменений. Из неравенства (2) вытекает, что поэтому сумма S увеличится. f(a i + b k) + f(a k + b i) f(a i + b i) + f(a k + b k) Аналогично можно продолжать сортировку до тех пор, пока не получим одинаково упорядоченные наборы. Полученное значение суммы S будет наибольшим, что и требовалось доказать. Теорема 5 доказывается аналогично. 3. Неравенство Караматы Определение. Невозрастающий набор чисел X = (x, x 2, x) мажорирует невозрастающий набор чисел Y = (y, y 2, y) если выполнены условия x + x x k y + y y k и x + x x = y + y y. Для k =,2 и положительных чисел x, x 2, x и y, y 2, y. Обозначение X Y, если X можарирует Y и X Y, если Y можарирует X. Например. (,0,0,0, 0) (2, 2, 0,0,0, 0) (,) - 2 -

13 Еслиx, x 2, x положительные числа, i= x i =, то (,) (x, x 2, x) (,0,0,0, 0) «Теорема (Неравенство Караматы) Пусть f: (a, b) R, f выпуклая функцияx, x 2, x, y, y 2, y (a, b) и (x, x 2, x) (y, y 2, y), тогда f(x) + f(x 2) + f(x) f(y) + f(y 2) + f(y). Если f- вогнутая функция, то f(x) + f(x 2) + f(x) f(y) + f(y 2) + f(y).» Доказательство см. в . 4.Решение задач на доказательства неравенств. В этом параграфе рассмотрены различные задачи на доказательство неравенств, при решении которых можно использовать неравенство Йенсена, перестановочные неравенства или неравенство Караматы. Задание. Доказать неравенство где x, x 2, x > 0 Пусть x + x 2 + x + x x 2 x, f(x) = +x, m i = f(x) = (+ x) f(x) = (+ x) 2 f(x) = 2(+ x) 3 > 0, x Тогда из неравенства Йенсена вытекает, что - 3 -

14 Докажем, что i= + x i + x x 2 x + x +x 2 + +x Это верно тогда и только тогда, когда + x x 2 x + x + x x + x x 2 x x + x x x x 2 x А последнее неравенство совпадает с неравенством Коши. Задание 2. Доказать, что для любых a, b > 0 справедливо неравенство: 2 a + b ab Это равносильно неравенству 2ab a + b ab 2ab ab(a + b) 2 ab a + b ч.т.д. Задание 3. Доказать, что для любых a, a 2, a > 0 справедливо неравенство: a a 2 a a a 2 a Неравенство можно переписать в виде: - 4 -

15 () (a a a 2 a a 2 a) Сделаем заменуb i = a i, тогда неравенство примет вид: (b + b b) (b b 2 b) Это неравенство верно, т.к. это неравенство Коши. Задание 4. Доказать, что для любых a, a 2, a > 0 справедливо неравенство: Рассмотрим неравенство для =3. a + a a + a a 2 a 3 a a a a 2 + a 2 a 3 + a 3 a 3 Обозначим a a 2 = x, a 2 a 3 = y, a 3 a = z, xyz = x+y+z 3 3 xyz=-верно Обозначим x = a a 2,x 2 = a 2 a 3,x = a a, Тогда x x 2 x =. Тогда неравенство примет вид: x + x x Это неравенство вытекает из неравенства Коши: ч.т.д. Задание 5. Доказать, что (x + x x) x x 2 x = si x + si x si x si x + x x, где 0 x i π - 5 -

16 Неравенство вытекает из неравенства Йенсена для функции y = si x. Функция y = si xвогнутая на интервале (0, π), так как y = si x < 0при x (0, π), Гдеm i =. ч.т.д. Задание 6. si x + si x si x si(x + x x) Доказать,что для любых a, a 2, a > 0 справедливо неравенство: (a + a 2+ +a)(a + a a) 2 Неравенство можно переписать в виде: это равносильно тому, что (a + a a) a + a a 2 a +a 2 + +a a + a 2+ +a Рассматриваем функцию f(x) = x Йенсена, получаем это равенство. и воспользовавшись неравенством Задание 7. Доказать, что для любых x, y, z > 0 справедливо неравенство x 5 + y 5 + z 5 x 3 y 2 + y 3 x 2 + z 3 x 2 Применим перестановочное неравенство. Пусть первый набор имеет вид Второй x 3, y 3, z 3, x 2, y 2, z 2 Выражение, стоящее в левой части, будет самым большим, т.к. значение выражения, стоящее в левой части x 5 + y 5 + z 5 составлено из одинаково упорядоченных наборов чисел. Из этого следует, что значение, полученное - 6 -

17 при всех остальных перестановках не больше значения, полученной при «самой правильной» расстановке переменных. Задание 8. Доказать, что для любых x, y, z > 0 справедливо неравенство: x + x 2 + y + y 2 + z + z 2 x + y 2 + y + z 2 + z + x 2 Можно считать, что x y z. Пусть a = x, a 2 = y, a 3 = z, b = + x 2, b 2 = + y 2, b 3 = + z 2 Наборы a, a 2, a 3 и b, b 2, b 3 противоположно упорядочены, поэтому по перестановочному неравенству сумма a b + a 2 b 2 + a 3 b 3 наименьшая среди сумм В частности Что эквивалентно a b σ + a 2 b σ2 + a 3 b σ3. a b + a 2 b 2 + a 3 b 3 a b 2 + a 2 b 3 + a 3 b, x + x 2 + y + y 2 + z + z 2 x + y 2 + y + z 2 + z + x 2. Задание 9. Доказать, что для любых a, a 2, a > 0 справедливо неравенство: (+ a 2) (+ a 2 2) (+ a 2) (+ a a 2 a 3 a)(+ a 2) (+ a) Умножим на a a 2 a, получим (a 2 + a 2)(a 3 + a 2 2) (a + a 2) (a + a 2)(a 2 + a 2 2) (a + a 2) - 7 -

18 Прологарифмируем неравенство и получим равносильное неравенство. l(a 2 + a 2) + l(a a 3) + + l(a 2 + a) l(a 2 + a) + l(a a 2) + + l(a 2 + a) (9.) Воспользуемся общим перестановочным неравенством для вогнутой функции y = l x. Пусть a i = a i, b i = a i 2. Тогда наборыb, b 2, b и a, a 2, a одинаково упорядочены, поэтому l(b + a) + l(b 2 + a 2) + + l(b + a) l(b + a 2) + l(b 2 + a 3) + + l(b + a), Что доказывает неравенство (9.). Задание 0. Доказать, что для любых положительных a, b, c a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ac (0.) Пусть a b c.. Так как наборы {a, b, c}и {a, b, c} одинаково упорядочены, а наборы {a, b, c} и {b, c, a} не одинаково упорядочены, то неравенство (0.) следует из перестановочного неравенства. Задание. Доказать, что если xy + yz + zx =, то Неравенство (.) вытекает из задачи 0. Задание 2. Доказать, что если a, b, c > 0, то x 2 + y 2 + z 2 (.). (a + c)(b + d) ab + cd Поскольку корень квадратный больше или равен нулю, то можно возвести правую и левую часть в квадрат. Получим: (a + c)(b + d) ab + 2 abcd + cd ab + ad + cb + cd ab + 2 abcd + cd ab + cd 2 abcd - 8 -

19 a 2 d 2 + 2abcd + c 2 d 2 4abcd a 2 d 2 + c 2 d 2 2abcd 0 (ad cd) 2 0 -Верно Задание 3, 4. Доказать, что для любых a, a 2, a > 0 справедливо неравенство: 3) a 2 + a a 2 (a +a 2 + a) 2 4)a 2 + a a 2 (3.) (4.) где a + a 2 + a = Неравенство (4.) вытекает из (3.) при a + a 2 + a =. Будем доказывать неравенство (3.). Его можно преобразовать к виду Или a 2 + a a 2 (a + a 2 + a) 2 2 a 2 + a a 2 (a + a a) Воспользуемся неравенством Йенсена для выпуклой функции f(x): f(q x + q 2 x 2 + q x) q f(x) + q 2 f(x 2) + q f(x), Где 0 q i, q + q 2 + q =. Если взять f(x) = x 2, q i =, i =,2, то получим неравенство (3.), ч.т.д. Задание 5. Доказать, что для любого натурального и для любых p, q справедливонеравенство () 2 pq + ()(p + q) + ()pq + (5.) - 9 -

20 Преобразуем неравенство (5.) к эквивалентному виду: () 2 pq + ()(p + q) + ()pq + () 2 pq + ()(p + q) + ()pq 0 Приведя подобные получим: ()[()pq + (p + q) pq] + 0 () () 0 () 0 () 0 всегда, так как -натуральное Докажем, что Заметим, что 0 (5.2) p + q pq = p(q) (q) = (p)(q) Так какp, q, то p 0, q 0, следовательно, неравенство (5.2) справедливо. Задание 6. Для любых положительных чисел x, y, z справедливо неравенство: Пусть x y z xyz (y + z x)(z + x y)(x + y z) (6.))Если y + z x < 0, то неравенство (6.) выполнено 2) Пусть все множители в правой части > 0. Тогда неравенство (6.) эквивалентно неравенству l x + l y + l z l(y + z x) + l(z + x y) + l(x + y z) Пусть f(x) = l x. Так как f(x)`` = x 2 < 0то функция f(x) = l x вогнутая на интервале (0, +) Проверим, что набор (y + z x, x + z y, x + y z) мажорирует набор (x, y, z). Действительно:

21 x + y z x (т. к. y z 0); (x + y z) + (x + z y) = 2x x + y (x + y z) + (x + z y) + (y + z x) = x + y + z Так как функция f(x) = l x вогнутая, то из неравенства Караматы вытекает, что l(x + y z) + l(x + z y) + l(y + z x) = l x + l y + l z, Что доказывает неравенство (6.). Задание 7. Доказать, что для любых a, b и c > 0 справедливо неравенство: a 2 + b 2 + c ab + ac + bc a 2 + 2bc + b 2 + 2ac + c 2 + 2ab Это эквивалентно тому, что Пусть a b c. a 2 + b 2 + c 2 + ab + ac + bc + ab + ac + bc Рассмотрим два набора чисел a 2 + 2bc + b 2 + 2ac + c 2 + 2ab (a 2 + b 2 + c 2, ab + ac + b, ab + ac + b) (7.) (a 2 + 2bc, b 2 + 2ac, c 2 + 2ab) (7.2) Нужно доказать, что (7.) мажорирует (7.2). Воспользуемся определением мажоризации:) a 2 + b 2 + c 2 a 2 + 2bc (b c) 2 0-верно 2) a 2 + b 2 + c 2 + ab + ac + bc a 2 + 2bc + b 2 + 2ac c 2 bc ac + ab 0 c(c b) a(c b) 0 (c b)(c a) 0-2 -

22 (c b) 0 и (c a) 0, тогда (c b)(c a) 0 3) 3)a 2 + b 2 + c 2 + ab + ac + bc + ab + ac + bc = a 2 + 2bc + b 2 + 2ac + c 2 + 2ab a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc = a 2 + 2bc + b 2 + 2ac + c 2 + 2ab Верно. Таким образом, набор чисел (7.) мажорирует набор чисел (7.2). Применяя неравенство Караматы для выпуклой функции f(x) = x, получаем верное исходное неравенство. Задание 8. Для a, b, c, d > 0 доказать, что справедливо неравенство a 4 + b 4 + c 4 + d 4 a 2 b 2 + a 2 c 2 + a 2 d 2 + b 2 c 2 + b 2 d 2 + c 2 d 2 Пустьa b c d Сделаем замену: x = l a, y = l b, z = l c, w = l d и запишем исходное неравенство в виде: e 4x + e 4y + e 4z + e 4w + e x+y+z+w + e x+y+z+w e 2x+2y + e 2x+2z + e 2x+2w + e 2y+2z + e 2y+2w + e 2z+2w Рассмотрим два набора чисел: (4x, 4y, 4z, 4w, x + y + z + w, x + y + z + w) и (2x + 2y, 2x + 2z, 2x + 2w, 2y + 2z, 2y + 2w, 2z + 2w) Упорядочим эти наборы: (4x, 4y, 4z, x + y + z + w, x + y + z + w, 4w) и (8.) Второй остается без изменения: (2x + 2y, 2x + 2z, 2x + 2w, 2y + 2z, 2y + 2w, 2z + 2w) (8.2) Докажем, что (8.) мажорирует (8.2)

23 ) 4x 2x + 2y, x y верно 2) 4x + 4y 4x + 2y + 2z,y z верно 3) 4x + 4y + 4z 4x + 2y + 2z + 2x + 2w y + z x + w Так как наборы упорядочены таким образом, что 2x + 2w 2y + 2z Т.е. x + w y + z, то случай 3) возможен только приx + w = y + z 4) 4x + 4y + 4z + x + y + z + w 4x + 2y + 2z + 2x + 2w + 2y + 2z x + y + z w 0 y + z x + w Аналогично предыдущему случаю, это неравенство корректно при x + w = y + z 5) 4x + 4y + 4z + 2x + 2y + 2z + 2w 4x + 2y + 2z + 2x + 2w + 2y + 2z + 2y + 2w z w верно 6) 4x + 4y + 4z + 2x + 2y + 2z + 2w + 4w 4x + 2y + 2z + 2x + 2w + 2y + 2z + 2y + 2w + 2z + 2w 0 = 0 Таким образом, набор (8.) мажорирует набор чисел (8.2). Воспользовавшись неравенством Караматы для функции f(x) = e x, получаем верное неравенство. Задание 9. Для a, b, c > 0 доказать, что справедливо неравенство a 3 + b 3 + c 3 + abc 2 3 (a2 b + b 2 c + c 2 a + ab 2 + bc 2 + ca)

24 Пусть a b c Умножим обе части неравенства на 3, получим 3a 3 + 3b 3 + 3c 3 + 3abc 2(a 2 b + b 2 c + c 2 a + ab 2 + bc 2 + ca) 2 (9.) Сделаем замену: И запишем неравенство (9.) в виде: x = l a, y = l b, z = l c e 3x + e 3x + e 3x + e 3y + e 3y + e 3y + e 3z + e 3z + e 3z + e x+y+z + e x+y+z + e x+y+z e 2x+y + e 2x+y + e 2y+z + e 2y+z + e 2z+x + e 2z+x + e x+2y + e x+2y + e y+2z + e y+2z + e z+2x + e z+2x Рассмотрим два набора: (3x, 3x, 3x, 3y, 3y, 3y, 3z, 3z, 3z, x + y + z, x + y + z, x + y + z) и (9.2) (2x + y, 2x + y, 2y + z, 2y + z, 2z + x, 2z + x, x + 2y, x + 2y, y + 2z, y + 2z, z + 2x, z + 2x) (9.3) Упорядочим эти наборы: (3x, 3x, 3x, 3y, 3y, 3y, x + y + z, x + y + z, x + y + z, 3z, 3z, 3z,) и (9.2) Упорядочим второй набор: 2x + y z + 2x y z верно y + 2z 2z + x y x верно Таким образом, получаем набор: (2x + y, 2x + y, z + 2x, z + 2x, 2y + z, x + 2y, x + 2y,2y + z, 2y + z, 2z + x, 2z + x, y + 2z, y + 2z) (9.3) Нужно доказать, что набор чисел (9.2) мажорирует набор чисел (9.3)) 3x 2x + y, x y 2) 6x 4x + 2y, x y 3) 9x 6x + 2y + z, 3x 2y + z

25 4) 9x + 3y 4x + 2y + 2z + 4x, x + y 2z, при x = y получаем, что y z 5) 9x + 6y 4x + 2y + 2z + 4x + 2y + x, y z 6) 9x + 9y 4x + 2y + 2z + 4x + 4y + 2x, x + 3y 2z 0 При x = yполучаем, что y z 7) 9x + 9y + x + y + z 4x + 2y + 2z + 4x + 4y + 2x + 2y + z, получаем y z 8) 9x + 9y + 2x + 2y + 2z 4x + 2y + 2z + 4x + 4y + 2x + 4y + 2z, x + y + 3z 0 9) 9x + 9y + 3x + 3y + 3z 4x + 2y + 2z + 4x + 4y + 2x + 4y + 2z + 2z + x, x + 2y + 3z 0 0) 9x + 9y + 3x + 3y + 3z + 3z 4x + 2y + 2z + 4x + 4y + 2x + 4y + 2z + 4z + 2x, y z) 9x + 9y + 3x + 3y + 3z + 6z 4x + 2y + 2z + 4x + 4y + 2x + 4y + 2z + 4z + 2x + 2z + y, 5y z 2) 9x + 9y + 3x + 3y + 3z + 9z 4x + 2y + 2z + 4x + 4y + 2x + 4y + 2z + 4z + 2x + 4z + 2y 2x + 2y + 2z = 2x + 2y + 2z Таким образом, набор чисел (9.2) мажорирует набор чисел (9.3) и по неравенству Караматы для функции f(x) = e x получаем верное неравенство

26 Список литературы) Ю.П.Соловьев. Неравенства. М.:Издательство Московского центра непрерывного математического образования.2005г.. 6с. 2) И.Х. Сивашинский. Неравенства в задачах М.: Наука, с. 3) А. И. Храбров. Вокруг монгольского неравенства, Матем. просв., сер. 3, 7, МЦНМО, М., 2003, с. 4) Л. В. Радзивиловский, Обобщение перестановочного неравенства и монгольское неравенство, Матем. просв., сер. 3, 0, Изд-во МЦНМО, М., 2006, с. 5) В. А.ч Кречмар. Задачник по алгебре. Издание пятое М., наука, с. 6) Д. Номировский Неравенство Караматы /Д. Номировский // (Квант)-С

Выпуклые множества и функции R n множество наборов из n вещественных чисел. Далее это множество будем называть пространством, его элементы точками, точку с координатами (x 1,..., x n) будем обозначать

Условия задач 1 Муниципальный этап 8 класс 1. На доске написаны два числа. Одно из них увеличили в 6 раз, а другое уменьшили на 2015, при этом сумма чисел не изменилась. Найдите хотя бы одну пару таких

Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства 35. Скалярное произведение в векторном пространстве Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной

Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания При решении многих задач возникает необходимость иметь числовые

Решение задач очного тура девятой олимпиады Эйлера 1. Рассматриваются все решения системы x yz 1, x y z x, x y z. Найдите все значения, которые может принимать x. Ответ: 1; 1; 1. Решение 1. Так как x y

Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины

Тема 1-8: Комплексные числа А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр)

Пензенский государственный университет Физико-математический факультет «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение уравнений. Треугольники Задание 1 для

Московский физико-технический институт Показательные, логарифмические уравнения и неравенства, метод потенциирования и логарифмирования в решении задач. Методическое пособие по подготовке к олимпиадам.

98 МАТЕМАТИКА: АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА ГЕОМЕТРИЯ Решения уравнений основанные на свойствах выпуклой функции Липатова СВ г Калуга МБОУ «Лицей 9 имени КЭ Циолковского» 0 «А» класс Научный руководитель:

Алгебраическая форма комплексного числа. Учебная презентация А. В. Лихацкий Руководитель: Е. А. Максименко Южный федеральный университет 14 апреля 2008 г. А. В. Лихацкий (ЮФУ) Алгебр. форма компл. числа

ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

72 Глава2 Многочлены Примеры и комментарии Алгоритмы А-01 Запись многочлена в стандартном виде А-02 Действия над многочленами А-03 Устные преобразования А-04 Формулы сокращенного умножения А-05 Бином Ньютона

Решения задач заочного тура 6-й олимпиады Эйлера I Математический блок Выясните, при каких значениях параметра найдутся вещественные числа x и y, удовлетворяющие уравнению xy + x + y + 7 Ответ: 89 Решение

Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Межрегиональная олимпиада школьников «Высшая Проба», 2017 г. МАТЕМАТИКА, 2 этап стр. 1/10 Решения и критерии оценивания заданий олимпиады 10-1 В компании из 6 человек некоторые компаниями по трое ходили

7. Экстремумы функций нескольких переменных 7.. Локальные экстремумы Пусть функция f(x,..., x n) определена на некотором открытом множестве D R n. Точка M D называется точкой локального максимума (локального

Восьмая олимпиада Эйлера для учителей математики Решения задач заочного тура Решите уравнение a b c b a c c a b a b c, где a, b и c положительные числа Решение Ясно, что a b c решения данного уравнения

I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R(), если, m, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 1997 год Задача 1. Найти решения уравнения 9 КЛАСС (x + 2) 4 + x 4 = 82. (1) Решение. После замены переменной x = y 1 уравнение (1) можно записать в виде

Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В трех предыдущих лекциях изучались прямые и плоскости, т.е.

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Девятая олимпиада Эйлера для учителей математики Решения задач заочного тура 1. Решите относительно x уравнение x(x ab) a b. Решение. Ясно, что x a b корень данного уравнения. Разделив многочлен x abx

1. Линейные уравнения с двумя переменными В первом задании мы рассмотрели линейные уравнения с одной переменной. Например, уравнения 2x+ 5= 0, 3x+ (8x 1) + 9= 0 являются линейными уравнениями с переменной

Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Задания Открытой олимпиады школьников по математике (54 Перечня олимпиад школьников, 2015/2016 уч. год) Оглавление I. Задания заключительного этапа олимпиады для 11 класса... 2 II. Задания 1 тура отборочного

3.. Методы решения рациональных неравенств 3..1. Числовые неравенства Сначала определим, что мы понимаем под утверждением a > b. Определение 3..1. Число a больше числа b, если разность между ними положительна.

Лекция 13. Выпуклые функции и формула Тейлора 1 Выпуклые и вогнутые C -гладкие функции. Определение 1 Функция называется выпуклой (вогнутой), если ее надграфик (подграфик) выпуклая область. Пример 1 x

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции» Если функция y f () имеет конечную производную в точке, то приращение функции в этой точке можно представить в виде: y(,) f () () (), где () при

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка 1 ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны)

Решение задач заочного тура 0 I Математический блок Задача Найдите число натуральных корней уравнения Ответ: 00 0 решений Решение задачи Представим число в виде Тогда правая часть данного уравнения равна

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 0. План лекции 1. Скалярное произведение. 1.1. Определение скалярного произведения. 1.2. Эквивалентная запись через проекции. 1.3. Доказательство линейности по

Олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Математика. Отборочный тур 4.0.0 ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ 8 9 класс 8-9.. Какое число больше: 0 0 0 0 или 0 0 0 0? Ответ. Первое число больше второго. Решение. Обозначим

0 класс Первый тур (0 минут; каждая задача 6 баллов)... Известно, что tg + tg = p, ctg + ctg = q. Найдите tg(+). pq Ответ: tg. q p Из условия p tg q tg tg tg tg p и равенства ctg ctg q, получим, что

Математический анализ 2.5 Лекция: Экстремумы функции нескольких переменных Доцент кафедры ВММФ Зальмеж Владимир Феликсович Рассмотрим функцию w = f (x), определённую в области D R n. Точка x 0 D называется

Тема 1-4: Алгебраические операции А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1

Содержание И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Системы алгебраических уравнений Двойная замена...................................... Симметрические системы.................................

Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Лекция 10 1 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО 11 Определение Пусть V (R) ЛП над полем вещественных чисел Скалярное произведение на V это произвольная функция V V R, ставящая в соответствие упорядоченной паре векторов

1 Комплексные функции 1.1 Комплексные числа Напомним, что комплексные числа можно определить как множество упорядоченных пар вещественных чисел C = {(x, y) : x, y R}, z = x + iy, где i мнимая единица (i

Глава 4 Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма (Пьер Ферма (6-665) французский математик) Если функция y f

Конспект лекции 10 АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 0. План лекции Лекция Аффинные пространства. 1. Аффинный базис. 2. Аффинные координаты точек. 3. Векторное уравнение прямой. 4. Векторное уравнение плоскости. 5.

8 КЛАСС 1. Докажите, что для любого натурального числаn можно выбрать такое натуральное число а, чтобы число a(n+ 1) (+ n+1) нацело делилось на. 2. В городской олимпиаде по математике участвовали два

Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции изучается еще одна кривая второго порядка гипербола.

Домашняя работа по алгебре за 0 класс к учебнику «Алгебра и начала анализа 0- класс» Алимов Ш.А. и др., -М.: «Просвещение», 00г. www.balls.ru Содержание Глава I. Действительные числа.. Глава II. Степенная

Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции вводится операция умножения матриц, изучаются

Московский физико-технический институт Неравенство Коши-Буняковского. Методическое пособие по подготовке к олимпиадам. Составитель: Паркевич Егор Вадимович Москва 014 Теоретический материал. В этой работе

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1 МНОЖЕСТВА. ОТОБРАЖЕНИЯ. СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ 1. О с н о в н ы е п о н я т и я и т е о р е м ы Пусть X множество и пусть (x) некоторое свойство, которое для каждого конкретного элемента

Семинар 2. Коники на проективной плоскости 1. Определение коники в P 2. Первые свойства коник. Как и ранее, мы работаем в k = R или C. Определение коники в P 2. Рассмотрим проективное отображение f: l

5 Элементы функционального анализа 5.1 Линейные, нормированные и банаховы пространства 5.1.1 Определение пространств Непустое множество X элементов x, y, z,... называется линейным (векторным) пространством,

ЛД Лаппо, АВ Морозов Домашняя работа по алгебре за 0 класс к учебнику «Алгебра и начала анализа: Учеб для 0- кл общеобразоват учреждений / ША Алимов и др -е изд М: Просвещение, 00» Глава I Действительные

Глава 8 Прямые и плоскости 8.1. Уравнения линий и поверхностей 8.1.1. Линии на плоскости Предположим, что на плоскости задана аффинная система координат. Пусть l кривая на плоскости и f(x, y) некоторая

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Руденко АК, Руденко МН, Семерич ЮС СБОРНИК ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ

Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Задачи заочного тура по математике для 9 класса 2014/2015 уч. год, первый уровень сложности Задача 1 Решить уравнение: (x+3) 63 + (x+3) 62 (x-1) + (x+3) 61 (x-1) 2 + + (x-1) 63 = 0 Ответ: -1 Задача 2 Сумма

Лагерь 57 школы Июль 06 Неравенства (конспект) Дмитриева А, Ионов К Занятие первое Простые неравенства Неравенства о средних Задача Докажите неравенство x + 4y + 9z 4xy + 6yz + 6zx Решение: x + 4y + 9z

Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Межрегиональная олимпиада школьников «Высшая Проба», 2017 г. МАТЕМАТИКА, 2 этап стр. 1/11 Решения и критерии оценивания заданий олимпиады 8-1 Найти все натуральные числа n от 1 до 100 такие, что если перемножить

Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение

Лекция 7 Глава. Системы линейных неравенств.. Основные понятия Системы линейных неравенств применяются для решения различных математических задач. Системой линейных неравенств из с неизвестными система

Состав УМК «Информатика» 7 - 9 класс (ФГОС)
Автор Семакин И. Г. и др.

Программа для основной школы Информатика: 7-9 классы Семакин И.Г.

Пояснительная записка к завершенной предметной линии учебников «Информатика» для 7 - 9 классов общеобразовательных учреждений Авторы: Семакин И.Г., Залогова Л.А., Русаков С.В., Шестакова Л.В. ООО «Издательство БИНОМ. Лаборатория знаний»

Cостав УМК «Информатика и ИКТ» 8 - 9 класс
Автор Семакин И. Г. и др.

Пояснительная записка к УМК
Учебно-тематическое планирование 8-9 класс
Таблицы соответствия содержания УМК Государственному образовательному стандарту 8-9 класс
Сборник дидактических материалов для текущего контроля результатов обучения по информатике и ИКТ в основной школе

Программа основного общего образования по информатике для 7 - 9 класса

Предметный курс, для обучения которому предназначена завершенная предметная линия учебников, разработан в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования (ФГОС), с учетом требований к результатам освоения основной образовательной программы, а также возрастных и психологических особенностей детей, обучающихся на ступени основного общего образования.

Программа расширенного курса «Информатика и ИКТ» (базовый уровень) для 10-11 классов, рассчитанная на 140 часов

Согласно Федеральному Базисному Учебному Плану (2004 г.) на изучение информатики и ИКТ на базовом уровне в 10-11 классах отводится 70 часов учебного времени (1+1 урок в неделю). С привлечением вариативного компонента БУП это количество часов может быть увеличено. Типичной ситуацией для ряда общеобразовательных школ является увеличение учебного времени в 2 раза, т.е. до 140 часов (2+2 урока в неделю). Настоящая программа составлена в расчете на такой вариант учебного плана. Изучение курса обеспечивается учебно-методическим комплексом, выпускаемым издательством «БИНОМ. Лаборатория знаний».

Состав УМК «Информатика и ИКТ» для 10-11 классов, базовый уровень
Автор Семакин И. Г. и др.

(базовый уровень)
Учебно-тематическое планирование для 10-11 классов (базовый уровень)
Таблицы соответствия содержания УМК Государственному образовательному стандарту 10-11 класс (базовый уровень)

Методические рекомендации по преподаванию предмета
«Информатика» (Базовый уровень) в 10-11 классах (ФГОС)

Состав УМК «Информатика» для 10-11 классов (ФГОС), базовый уровень
Автор Семакин И. Г. и др.

Пояснительная записка к учебникам «Информатика» для 10-11 классов ФГОС (базовый уровень)
Программа курса «Информатика» для 10-11 классов ФГОС (базовый уровень)

Состав УМК «Информатика и ИКТ» для 10-11 классов, профильный уровень
Автор Семакин И. Г. и др.

Пояснительная записка к учебнику «Информатика и ИКТ» (профильный уровень) для 10 класса
Пояснительная записка к учебнику «Информатика и ИКТ» (профильный уровень) для 11 класса
Личностные и метапредметные результаты обучения информатике на профильном уровне
Предметные результаты обучения информатике на профильном уровне в X—XI классах Скачать

Методическое пособие содержит методические рекомендации в соответствии с требованиями ФГОС для планирования, организации обучения в новой информационной среде школы. Представлены содержание учебного предмета, описание УМК, тематическое и поурочное планирование по курсу информатики для 10-11 классов на базовом уровне, таблицы соответствия УМК требованиям ФГОС и КИМ ЕГЭ, планируемые результаты обучения, рекомендации по использованию курсов по выбору и по работе с тренажером ЕГЭ и др. Издание содержит раздел «Электронное приложение к УМК».
Для учителей информатики, методистов и администрации образовательного учреждения.

Состав УМК «Информатика» для 10-11 классов ФГОС, углублённый уровень
Автор Семакин И. Г. и др.

Информатика. 9 класс. Поурочные планы по учебникам Семакина И.Г. и Угриновича Н.Д.

К учебнику:

М.: 201 2. - 283 с.

В книге учитель найдет материалы, необходимые для подготовки и проведения уроков информатики в 9 классе: подробные поурочные разработки, методические советы и рекомендации, контрольные и самостоятельные работы, тестовые задания, практические и лабораторные работы, деловые игры. Последовательно рассмотрены следующие разделы: «Информационное моделирование», «Хранение, поиск, сортировка информации», «Передача информации в компьютерных сетях», «Основы алгоритмизации и программирования», «Табличные вычисления на компьютере», «Информатизация общества», «Кодирование и обработка графической и мультимедийной информации». Пособие будет полезно при работе по любой из современных программ по информатике в 9 классе.

Формат: pdf

Размер: 14,6 Мб

Скачать: drive.google

Содержание
От автора 3
Примерное тематическое планирование 4
ИНФОРМАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Урок 1. Моделирование, формализация, визуализация 7
Урок 2. Графические информационные модели 10
Урок 3. Графические информационные модели 12
Урок 4. Табличные модели 15
Урок 5. Табличные модели 17
Урок 6. Словесные (образные, вербальные) модели 19
Урок 7. Информационное моделирование на компьютере 22
Урок 8. Контрольная работа по теме «Информационное моделирование» 25
ХРАНЕНИЕ, ПОИСК И СОРТИРОВКА ИНФОРМАЦИИ
Урок 9. Базы данных и системы управления базами данных 30
Урок 10. Создание и заполнение баз данных 35
Урок 11. Условия выбора и простые логические выражения 40
Урок 12. Условия выбора и сложные логические выражения 44
Урок 13. Сортировка, удаление и добавление записей 48
Урок 14. Сортировка, удаление и добавление записей 51
Урок 15. Контрольная работа по теме «Хранение, поиск и сортировка информации» 56
ПЕРЕДАЧА ИНФОРМАЦИИ В КОМПЬЮТЕРНЫХ СЕТЯХ
Урок 16. Локальные компьютерные сети 63
Урок 17. Глобальная компьютерная сеть Интернет 69
Урок 18. Информационные ресурсы Интернета 74
Урок 19. Поиск информации в Интернете 82
Урок 20. Разработка Web-сайтов с использованием языка разметки гипертекста HTML 87
Урок 2 1. Разработка Web-сайтов с использованием языка разметки гипертекста HTML 93
Урок 2 2. Разработка Web-сайтов с использованием языка разметки гипертекста HTML 95
Урок 23. Разработка Web-сайтов с использованием языка разметки гипертекста HTML 97
Урок 2 4. Контрольная работа по теме «Передача информации в компьютерных сетях» 102
ОСНОВЫ АЛГОРИТМИЗАЦИИ И ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Урок 25. Алгоритм и его формальное исполнение 109
Урок 26. Алгоритмы работы с величинами 112
Урок 27. Знакомство с языком Паскаль 115
Урок 28. Линейные вычислительные алгоритмы 118
Урок 29. Алгоритмы с ветвящейся структурой 122
Урок 30. Алгоритмы с ветвящейся структурой 126
Урок 31. Алгоритмы со структурой «выбор» 129
Урок 32. Проверочная работа по теме «Условные алгоритмы» 133
Урок 3 3. Программирование циклов 139
Урок 34. Программирование циклов 142
Урок 35. Программирование циклов 147
Урок 36. Массивы в Паскале 151
Урок 37. Решение задач с использованием массивов 155
Урок 38. Решение задач с использованием массивов 158
Урок 39. Контрольная работа по теме «Основы алгоритмизации и программирования» 161
ТАБЛИЧНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ НА КОМПЬЮТЕРЕ
Урок 40. Двоичная система счисления 168
Урок 41. Числа в памяти компьютера 172
Урок 42. Электронные таблицы 177
Урок 43. Правила заполнения таблицы 179
Урок 44. Работа с диапазонами. Относительная адресация 183
Урок 45. Деловая графика. Условная функция 186
Урок 46. Логические функции и абсолютные адреса 191
Урок 47. Электронные таблицы и математическое моделирование 196
Урок 48. Зачет по теме «Табличные вычисления на компьютере» 201
ИНФОРМАТИЗАЦИЯ ОБЩЕСТВА
Урок 49. Информационное общество 206
Урок 50. Информационная культура 211
Урок 51. Правовая охрана программ и данных. Защита информации 214
КОДИРОВАНИЕ И ОБРАБОТКА ГРАФИЧЕСКОЙ И МУЛЬТИМЕДИЙНОЙ ИНФОРМАЦИИ
Урок 52. Кодирование графической информации 220
Урок 53. Кодирование графической информации 222
Урок 54. Кодирование графической информации 225
Урок 55. Растровая графика 229
Урок 56. Векторная графика 234
Урок 57. Интерфейс и основные возможности растровых графических редакторов. Рисование примитивов 238
Урок 58. Интерфейс и основные возможности растровых графических редакторов. Инструменты рисования 244
Урок 59. Интерфейс и основные возможности растровых графических редакторов. Редактирование изображений и рисунков 247
Урок 60. Интерфейс и основные возможности векторных графических редакторов. Рисование примитивов 249
Урок 61. Интерфейс и основные возможности векторных графических редакторов. Работа с объектами 252
Урок 62. Интерфейс и основные возможности векторных графических редакторов. Работа с объектами 256
Урок 63. Интерфейс и основные возможности векторных графических редакторов. Редактирование изображений и рисунков 259
Урок 64. Растровая анимация 265
Урок 65. Векторная анимация 267
Урок 66. Кодирование и обработка звуковой информации 269
Урок 67. Цифровое фото и видео 272
Урок 68. Итоговая контрольная работа 274

Практикум входит в УМК по информатике и ИКТ для старших классов наряду с учебником для базового уровня. Практикум состоит из трех разделов, Первый раздел предназначен для закрепления и повторения навыков работы с программными средствами ИКТ, изученными а основной школе. Второй и третий разделы включают практические работы для обязательного выполнения соответственно в 10 и 11 классах. Помимо практических заданий ряд работ содержит необходимый справочный материал. Предлагаемые задания имеют разные уровни сложности. Темы практических работ соответствуют содержанию Примерной программы среднего (полного) общего образования по информатике и информационным технологиям, рекомендованной Министерством образования и науки PФ в 2004 г.

Работа 1.1. Работа в среде операционной системы Microsoft Windows.
Цель работы: отработка основных действий пользователя в среде операционной системы Microsoft Windows:
работа с объектами интерфейса;
инициализация программ;
работа в многооконном режиме;
навигация по файловой системе;
создание папок и документов;
выполнение основных операций с файлами: копирование, перемещение, удаление, переименование.
Используемое программное обеспечение: операционная система Microsoft Windows и ее стандартные приложения.

Основные понятия
Рабочий стол - исходный экран диалоговой среды Windows. Раскрывается после запуска Windows. На «поверхности» Рабочего стола располагаются ярлыки наиболее часто используемых приложений, документов, папок, устройств.
Окно - основной элемент интерфейса Windows. Используются окна программ (приложений), окна документов, диалоговые окна. Окно можно перемещать по Рабочему столу, сворачивать в значок на панели задач, разворачивать на весь экран, закрывать.
Объект - любой элемент в среде Windows, в том числе: Рабочий стол, окно, папка, документ (файл), устройство, приложение (программа). Объект обладает определенными свойствами, над ним могут быть произведены определенные действия.
Контекстное меню - меню, связанное с объектом. Контекстное меню раскрывается щелчком правой кнопкой мыши, если указатель мыши установлен на объекте. Через контекстное меню можно просмотреть свойства объекта (в некоторых случаях их можно изменить), а также выполнить допустимые действия над объектом.

Учебник входит в учебно-методический комплект, включающий в себя также учебник для 10 класса и методическое пособие для учителя, электронное приложение.
Соответствует федеральному государственному образовательному стандарту среднего (полного) общего образования (2012 г.).

Учебник предназначен для изучения курса информатики на базовом уровне в 11 классах общеобразовательных учреждений. Содержание учебника опирается на изученный в основной школе (в 7-9 классах) курс информатики и является продолжением курса информатики для 10 класса. В учебнике излагаются основы системного анализа, методы и средства разработки многотабличных баз данных. В главе, посвященной Интернету, рассматриваются организация глобальных сетей, службы и сервисы Интернета, вопросы построения сайта. Даны некоторые типовые задачи компьютерного информационного моделирования. Раскрываются актуальные проблемы социальной информатики. В состав учебника также входит практикум, структура которого соответствует содержанию теоретического раздела учебника.
Учебник входит в учебнометодический комплект, включающий в себя также учебник для 10 класса и методическое пособие для учителя, электронное приложение.

§ 1 Что такое система
Понятие системы, так же как и понятие информации, относится к числу фундаментальных научных понятий. Так же как и для информации, для системы нет единственного общепринятого определения. В то же время это понятие часто используется нами в бытовой речи, употребляется в научной терминологии. Вот ряд примеров употребления понятия системы: система образования, транспортная система, система связи. Солнечная система, нервная система. Периодическая система химических элементов, система
счисления, операционная система, информационная система.
Обобщая все приведенные выше примеры, дадим следующее определение.
Система - это совокупность материальных или информационных объектов, обладающая определенной целостностью.
Состав системы - это совокупность входящих в нее частей (элементов). Рассматривая компьютер как систему, можно выделить следующие составляющие его части: процессор, память, устройства ввода, устройства вывода. Но, в свою очередь, процессор тоже является системой, в состав которой входят: арифметико-логическое устройство (АЛУ), устройство управления, регистры, кэш-память. Поскольку процессор входит в состав компьютера, подчеркивая его собственную системность, процессор следует назвать подсистемой компьютера.

Скачать и читать Информатика, базовый уровень, учебник для 11 класса, Семакин И.Г., Хеннер Е.К., Шеина Т.Ю., 2014

Учебник предназначен для изучения курса информатики и ИКТ в 9 классе общеобразовательной школы. Содержание учебника соответствует стандарту по информатике и ИКТ.
Учебник разделен на две части. Первая часть обеспечивает обязательный минимальный уровень изучения предмета. Материал второй части ориентирован на углубленный курс информатики.
Учебник входит в комплект учебно-методической литературы по курсу информатики и ИКТ наряду с учебником для 8 класса, задачником, методическим пособием для учителя и цифровыми образовательными ресурсами, входящими в Единую коллекцию ЦОР.

Учебник предназначен для изучения курса информатики в 7 классе общеобразовательной школы. Учебник содержит теоретический материал курса, вопросы и задания для закрепления знаний, в конце каждой главы в схематическом виде представлена система основных понятий этой главы. Некоторые главы учебника содержат дополнительный раздел, позволяющий изучить данную тему на углубленном уровне. Учебник входит в учебно-методический комплект по информатике, наряду с учебниками для 8 и 9 классов, задачником-практикумом, методическим пособием для учителя и цифровыми образовательными ресурсами из Единой коллекции ЦОР. Соответствует федеральному государственному образовательному стандарту основного общего образования (2010 г.).

Учебник предназначен для изучения профильного курса информатики и ИКТ в 10–11 классах общеобразовательных учреждений на базовом уровне. Содержание учебника опирается на изученный в 8–9 классах курс информатики. Основные понятия: информационные процессы, информационные системы, информационные модели, информационные технологии. Рассматриваются компьютерные технологии реализации информационных процессов, работы с информационными системами и моделями. Уделяется внимание актуальным проблемам социальной информатики.

Практикум входит в УМК по информатике и ИКТ для старших классов наряду с учебником для базового уровня. Практикум состоит из трех разделов. Первый раздел предназначен для закрепления и повторения навыков работы с программными средствами ИКТ, изученными в основной школе. Второй и третий разделы содержат практические работы для обязательного выполнения соответственно в 10 и 11 классах. Помимо практических заданий ряд работ содержит необходимый справочный материал. Предлагаемые задания имеют разные уровни сложности. Темы практических работ соответствуют содержанию Примерной программы среднего (полного) общего образования по информатике и информационным технологиям, рекомендованной Министерством образования и науки РФ в 2004 г.

Учебник предназначен для изучения курса информатики и ИКТ в 9 классе общеобразовательной школы. Содержание учебника соответствует стандарту по информатике и ИКТ. Учебник разделен на две части. Первая часть обеспечивает обязательный минимальный уровень изучения предмета. Материал второй части ориентирован на углубленный курс информатики. Учебник входит в комплект учебно-методической литературы по курсу информатики и ИКТ наряду с учебником для 8 класса, задачником, методическим пособием для учителя и цифровыми образовательными ресурсами, входящими в Единую коллекцию ЦОР.