Уравнение движения гармонического осциллятора. Идеальный гармонический осциллятор

Тела, которые при движении совершают гармонические ко­лебания, называют гармоническими осциляторами. Рассмотрим ряд примеров гармонических осциляторов.

Пример1. Пружинный маятник – это тело массой m , способное совершать колебания под действием силы упругости невесомой (m пружины  m тела ) пружины (рис.4.2).

Т

Рис.4.3. Физический маятник.

Пример 2. Физический маятник - это твердое тело, совер­шаю­щее колебания под действием силы тяжести вокруг подвижной го­ризон­тальной оси, не совпадающей с его цен­тром тяжести С (рис. 4. 3). Ось проходит через точку О. Если маятник откло­нить от положения равновесия на малый угол  и отпус­тить, он будет совершать ко­лебания, следуя основному уравнению динамики вращательного движения твердого тела
, гдеJ - момент инерции маятника относительно оси, М ‑ момент силы, возвращающей физический маятник в поло­жение равно­весия. Он создается силой тяжести , ее момент равен
(l =ОС). В результате получаем
. Это дифференциальное уравнение колебаний для произвольных углов отклонения. При малых углах, когда
,
или, принимая
, получим дифференциальное уравнение колебания физического маятника
. Его решения имеют вид
или
. Таким образом, при малых отклонениях от положения равновесия физический маят­ник совершает гармонические колебания с циклической частотой
и периодом
.

Пример3. Математический маятник - это материальная точка с массой m (тяжелый шарик малых размеров), подвешенная на невесомой (по сравнению с m шарика), уп­ругой, нерастяжимой нити длинною l . Если вывести шарик из положения равновесия, отклонив его от вертикали на небольшой угол , а затем отпустить, он будет совершать колебания. Если рассматривать данную систему как физический маятник с моментом инерции материальной точки J = ml 2 , то из формул для физического маятника получим выражения для циклической частоты и периода колебаний математического маятника

,
.

4. 4. Затухающие колебания . @

В рассмотренных примерах гармонических колебаний единственной силой, действующей на материальную точку (тело), была квазиупругая сила F и не учитывались силы сопротивления, которые присутству­ют в лю­бой реальной системе. Поэтому рассмотренные колебания можно назвать идеальными незатухающими гармоническими колебаниями.

Наличие в реальной колебательной системе силы сопротивления среды при­во­дит к уменьшению энергии системы. Если убыль энергии не пополнять за счет работы внешних сил, колебания будут затухать. Затухающими называются колеба­ния с уменьшающейся во времени амплитудой.

Рассмотрим свободные затухающие колебания. При небольших скоростях сила сопротивления F C пропорциональна скорости v и обратно пропорциональна ей по направлению
, гдеr - коэффициент сопротивления среды. Используя второй закон Ньютона , получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний
,
,
. Обозначим
,
. Тогда дифференциальное уравнение приобретает вид:

Рис.4.4. Зависимость смеще­ния и амплитуды затухаю­щих колебаний от времени.

Это дифференциальное уравнение затухающих колебаний. Здесь  0 - собственная частота колеба­ний системы, т.е. частота свободных колебаний при r=0,  - коэффициент зату­хания оп­ределяет скорость убывания амплитуды. Решениями этого уравнения при условии  0 являются

либо
.

График последней функции представлен на рис.4.4. Верхняя пунктирная линия дает график функции
, А 0 - амплитуда в начальный момент времени. Амплитуда во времени убывает по экспоненциальному закону,  - коэффициент зату­хания по величине обратен времени релакса­ции  , т.е. вре­мени за которое амплитуда уменьшается в e раз, так как

,
, = 1, . Частота и период затухающих колебаний
,
; при очень малом сопротивлении среды ( 2  0 2) период колебаний практически ра­вен
. С ростом период колебаний увеличивается и при > 0 решение дифференциального уравнения показывает, что колебания не совершаются, а происходит монотонное движение системы к положению равновесия. Такое движение называют апериодическим.

Для характеристики скорости затухания колебаний служат еще два параметра: декремент затухания D и логарифмический декремент . Декремент затуха­ния показывает во сколько раз уменьшается амплитуда колебаний за время од­ного периода Т.

Н

Рис.4.5. Вид резонансных кривых.

Так как, то
, гдеN - число колебаний за время.

Колебания гармонического осциллятора Гармоничным осциллятором называется физический объект, эволюция которого со временем описывается дифференциальным уравнением

Где q – обобщенная координата гармонического осциллятора, t – время, ? – характерная частота гармонического осциллятора. Две точки над переменной означают вторую производную по времени. Величина q совершающий гармонические колебания.
Задача о гармоничном осциллятор играет центральную роль как в классической, так и в квантовой физике.
Большое количество физических систем ведут себя как гармоничные осциллятора при малом отклонении от равновесия. К ним относятся математический и физический маятники, колебания атомов в молекулах и твердых телах, электрические колебательные контуры и многие другие.
Малые колебания маятника являются гармоническими

Энергия, функция Лагранжа и Гамильтона
Кинетическая энергия гармонического осциллятора задается выражением

Потенциальная энергия гармонического осциллятора задается выражением

Соответственно, считая величину q обобщенной координатой, функция Лагранжа гармоничного осцлятора записывается

.

Обобщенный импульс

Функция Гамильтона

.

Вынужденные колебания
Под действием внешней периодической силы с частотой, которая не обязательно совпадает с собственной частотой гармонического осциллятора, осциллятор совершает гармонические колебания, аплитуда которых определяется величиной внешней силы и соотношением внешней частоты и собственной частоты осциллятора.
Вынужденные колебания гармонического осциллятора с частотой? 0 под действием силы с частотой?описуються уравнением

Где f 0 – амплитуда внешней силы.
Частное решение этого уравнения, описывающий вынужденные колебания имеет вид

.

Гармоничный осцитор под действием внешней силы совершающий гармонические колебания с амплитудой . При амплитуда вынужденных колебаний стремится к бесконечности. Это явление называется резонансом.
Гармонический осциллятор с затуханием
При учете сил трения или сопротивления другого рода, который приводит к диссипации энергии осциллятора и превращении ее в тепло, уравнение гармонического осциллятора меняются. В частности очень распространенный случай, когда силы сопротивления пропорциональны скорости изменения величины q. Тогда уравнение гармонического осциллятора принимает вид

Такие колебания затухают со временем по закону

Вынужденные колебания гармонического осциллятора с затуханием
При действии периодической внешней силы даже при затухании для осциллятора устанавливаются гармонические колебания с амплитудой, зависящей от приложенной силы, соотношение частот, а также от величины затухания.
Амплитуда вынужденных колебаний с учетом затухания определяется формулой

.

Это конечная величина при всех частотах внешней силы.
Математический маятник при небольшом начальном отклонении от вертикали совершающий гармонические колебания с частотой

Колебательный контур гармоническим осциллятором, с частотой

Где L – индуктивность, C – емкость.
Подробнее см. Квантовый осциллятор.
Спектр собственных значений и собственных функциях
Волновые функции первых шести состояний с квантовыми числами от n = 0 до 5. На оси ординат отложена обобщенная координата Гамильтониан гармонического осциллятора получается заменой в функции Гамильтона импульса p на

.

Спектр гармонического осциллятора находится со стационарного уравнения Шредингера и задается формулой

.

Здесь n – квантовое число, пробегает значения от нуля до бесконечности. Энергетические уровни гармонического осциллятора эквидистантных. Характерной особенностью гармонического осциллятора является то, что даже в основном состоянии гармоничный осциллятор имеет отличную от нуля энергию

Эта низкая энергия называется энергией нулевых колебаний.
Собственные функции гармонического осциллятора, соответствующих квантовому числу n задаются формулами

,

Где , А H n (x) – полиномы Эрмита.
При четном n собственные функции гармонического осциллятора парные, при Непрану – нечетные. Гамильтониан гармонического осциллятора коммутирует с оператором замены x на – x (оператором четности), а потому имеет общие собственные функции с этим оператором.
Операторы рождения и уничтожения
Если определить оператор рождения

И оператор уничтожения

,

.

Операторы рождения и уничтожения удовлетворяют коммутационном соотношению:

Собственные функции гармонического осциллятора тогда имеют вид

Или, используя нотацию кет и бра-векторов:

Всего действие оператора рождения на гармоничное оператор в состоянии | n> приводит к переходу в состояние | n +1>:

Действие оператора уничтожения на состояние | n> приводит к переходу в состояние | n-1>:

Оператор

Называют оператором числа частиц, поскольку для него справедливо соотношение.

Правила отбора
При излучении или поглощении фотона разрешенными переходами для гармонического осциллятора есть такие, при которых квантовое число n изменяется на единицу. Учитывая еквидистантнисть уровней, это правило отбора приводит к тому, что, несмотря на бесконечное число уровней, в спектре оптического поглощения или излучения гармонического осциллятора есть только одна линия с частотой?.
В реальных колебательных спектрах молекул возможны отклонения от этого правила, обусловленные ангармоничнистю реального потенциала межатомного взаимодействия, квадрупольными переходами и т.д.

Гармонический осциллятор

Гармони́ческий осцилля́тор (в классической механике) - система , которая при смещении из положения равновесия испытывает действие возвращающей силы F , пропорциональной смещению x (согласно закону Гука):

где k - коэффициент жёсткости системы.

Если F - единственная сила, действующая на систему, то систему называют простым или консервативным гармоническим осциллятором . Свободные колебания такой системы представляют собой периодическое движение около положения равновесия (гармонические колебания). Частота и амплитуда при этом постоянны, причём частота не зависит от амплитуды.

Механическими примерами гармонического осциллятора являются математический маятник (с малыми углами отклонения), , торсионный маятник и акустические системы. Среди других аналогов гармонического осциллятора стоит выделить электрический гармонический осциллятор (см. LC-цепь).

Свободные колебания

Консервативный гармонический осциллятор

В качестве модели консервативного гармонического осциллятора возьмём груз массы m , закреплённый на пружине жёсткостью k .

Пусть x - смещение груза относительно положения равновесия. Тогда, согласно закону Гука, на него будет действовать возвращающая сила:

тогда полная энергия имеет постоянное значение

Простое гармоническое движение - это движение простого гармонического осциллятора , периодическое движение, которое не является ни вынужденным , ни затухающим . Тело в простом гармоническом движении подвергается воздействию единственной переменной силы , которая по модулю прямо пропорциональна смещению x от положения равновесия и направлена в обратную сторону.

Это движение является периодическим: тело колеблется около положения равновесия по синусоидальному закону. Каждое последующее колебание такое же, как и предыдущее, и период , частота и амплитуда колебаний остаются постоянными. Если принять, что положение равновесия находится в точке с координатой, равной нулю, то смещение x тела от положения равновесия в любой момент времени даётся формулой:

где A - амплитуда колебаний, f - частота, φ - начальная фаза.

Частота движения определяется характерными свойствами системы (например, массой движущегося тела), в то время как амплитуда и начальная фаза определяются начальными условиями - перемещением и скоростью тела в момент начала колебаний. Кинетическая и потенциальная энергии системы также зависят от этих свойств и условий.

Простое гармоническое движение может быть математическими моделями различных видов движения, таких как колебание пружины . Другими случаями, которые могут приближённо рассматриваться как простое гармоническое движение, являются движение маятника и вибрации молекул.

Простое гармоническое движение является основой некоторых способов анализа более сложных видов движения. Одним из таких способов является способ, основанный на преобразовании Фурье , суть которого сводится к разложению более сложного вида движения в ряд простых гармонических движений.

Любая система, в которой происходит простое гармоническое движение, обладает двумя ключевыми свойствами:

1. Когда система выведена из состояния равновесия, должна существовать возвращающая сила, стремящаяся вернуть систему в равновесие.
2. Возвращающая сила должна в точности или приближённо быть пропорциональна перемещению.

Система груз-пружина удовлетворяет обоим этим условиям.

Однажды смещённый груз подвергается действию возвращающей силы, ускоряющей его, и стремящейся вернуть в начальную точку, то есть, в положение равновесия. По мере того, как груз приближается к положению равновесия, возвращающая сила уменьшается и стремится к нулю. Однако в положении x = 0 груз обладает некоторым количеством движения (импульсом), приобретённым благодаря действию возвращающей силы. Поэтому груз проскакивает положение равновесия, начиная снова деформировать пружину (но уже в противоположном направлении). Возвращающая сила будет стремиться замедлить его, пока скорость не станет равной нулю; и сила вновь будет стремиться вернуть груз в положение равновесия.

Пока в системе нет потерь энергии, груз будет колебаться как описано выше; такое движение называется периодическим.

Дальнейший анализ покажет, что в случае системы груз-пружина движение является простым гармоническим.

Динамика простого гармонического движения

Для колебания в одномерном пространстве, учитывая Второй закон Ньютона (F = m  d²x /dt ² ) и закон Гука (F = −kx , как описано выше), имеем линейное дифференциальное уравнение второго порядка:

Решение этого дифференциального уравнения является синусоидальным ; одно из решений таково:

где A , ω и φ - постоянные величины, и положение равновесия принимается за начальное. Каждая из этих постоянных представляет собой важное физическое свойство движения: A - это амплитуда, ω = 2πf - круговая частота , и φ - начальная фаза.

Универсальное движение по окружности

Простое гармоническое движение в некоторых случаях можно рассматривать как одномерная проекция универсального движения по окружности. Если объект движется с постоянной угловой скоростью ω по окружности радиуса r , центром которой является начало координат плоскости x − y , то такое движение вдоль каждой из координатных осей является простым гармоническим с амплитудой r и круговой частотой ω .

Груз как простой маятник

В приближении малых углов движение простого маятника является близким к простому гармоническому. Период колебаний такого маятника, прикреплённого к стержню длиной ℓ с ускорением свободного падения g даётся формулой

Это показывает, что период колебаний не зависит от амплитуды и массы маятника, но зависит от ускорения свободного падения g , поэтому при той же самой длине маятника, на Луне он будет качаться медленнее, так как там слабее гравитация и меньше значение ускорения свободного падения.

Указанное приближение является корректным только при небольших углах отклонения, поскольку выражение для углового ускорения пропорционально синусу координаты:

что делает угловое ускорение прямо пропорциональным углу θ , а это удовлетворяет определению простого гармонического движения.

Затухающий гармонический осциллятор

Взяв за основу ту же модель, добавим в неё силу вязкого трения. Сила вязкого трения направлена против скорости движения груза относительно среды и пропорциональна этой скорости. Тогда полная сила, действующая на груз, записывается так:

Проводя аналогичные действия, получаем дифференциальное уравнение, описывающее затухающий осциллятор:

Здесь введено обозначение: . Коэффициент носит название постоянной затухания. Он тоже имеет размерность частоты.

Решение же распадается на три случая.

Критическое затухание примечательно тем, что именно при критическом затухании осциллятор быстрее всего стремится в положение равновесия. Если трение меньше критического, он дойдёт до положения равновесия быстрее, однако «проскочит» его по инерции, и будет совершать колебания. Если трение больше критического, то осциллятор будет экспоненциально стремиться к положению равновесия, но тем медленнее, чем больше трение.

Поэтому в стрелочных индикаторах (например, в амперметрах) обычно стараются ввести именно критическое затухание, чтобы прочитать его показания можно было максимально быстро.

Затухание осциллятора также часто характеризуют безразмерным параметром, называемым добротностью . Добротность обычно обозначают буквой . По определению, добротность равна:

Чем больше добротность, тем медленнее затухают колебания осциллятора.

У осциллятора с критическим затуханием добротность равна 0,5. Соответственно, добротность указывает характер поведения осциллятора. Если добротность больше 0,5, то свободное движение осциллятора представляет собой колебания; со временем он пересечёт положение равновесия неограниченное количество раз. Добротность, меньшая или равная 0,5, соответствует неколебательному движению осциллятора; в свободном движении он пересечёт положение равновесия не более одного раза.

Добротность иногда называют коэффициентом усиления осциллятора, так как при некоторых способах возбуждения при совпадении частоты возбуждения с резонансной амплитуда колебаний оказывается примерно в раз больше, чем при возбуждении на низкой частоте.

Также добротность примерно равна количеству колебательных циклов, за которое амплитуда колебаний уменьшается в раз, умноженному на .

В случае колебательного движения затухание ещё характеризуют такими параметрами, как:

• Время жизни колебаний (оно же время затухания , оно же время релаксации ) τ - время, за которое амплитуда колебаний уменьшится в e раз.

Вынужденные колебания

Колебания осциллятора называют вынужденными, когда на него производится некоторое дополнительное воздействие извне. Это воздействие может производиться различными средствами и по различным законам. Например, силовым возбуждением называется воздействие на груз силой, зависящей только от времени по определённому закону. Кинематическим возбуждением называют воздействие на осциллятор движением точки закрепления пружины по заданному закону. Возможно также воздействие трением, когда, например, среда, с которой груз испытывает трение, совершает движение по заданному закону.

Открытий в квантовой области и других сферах. При этом изобретаются новые устройства и приспособления, посредством которых можно проводить различные исследования и объяснять явления микромира. Одним из таких механизмов является гармонический осциллятор, принцип действия которого знали еще представители древних цивилизаций.

Устройство и его виды

Гармонический осциллятор - это механическая система, находящаяся в движении, которое описывается дифференциала с коэффициентами постоянного значения. Наиболее простые примеры таких устройств - груз на пружине, маятник, системы акустики, движение молекулярных частиц и др.

Условно можно выделить следующие виды этого устройства:

Применение устройства

Данное приспособление применяется в различных сферах, в основном для изучения природы колебательных систем. Квантовый гармонический осциллятор применяют при исследовании поведения элементов фотонов. Результаты экспериментов могут использоваться в различных сферах. Так, ученые-физики из американского института обнаружили, что атомы бериллия, находящиеся на довольно больших расстояниях друг от друга, могут взаимодействовать на квантовом уровне. При этом поведение этих частиц подобно телам (металлическим шарам) в макромире, двигающимся в поступательно-возвратном порядке, аналогично гармоничному осциллятору. Ионы бериллия, несмотря на физически большие расстояния, обменивались наименьшими единицами энергии (квантами). Это открытие позволяет значительно продвинуть IT-технологии, а также дает новое решение в производстве компьютерной техники и электроники.

Гармонический осциллятор используют при оценке музыкальных произведений. Этот метод называют спектроскопическим исследованием. При этом установлено, что наиболее устойчивой системой является состав из четырех музыкантов (квартет). А современные произведения в большинстве своем являются ангармоничными.

Гармоническим осциллятором называют частицу, совершающую одномерное движение под действием квазиупругой силы . Потенциальная энергия такой частицы имеет вид

Выразив в формуле (27.1) k через получим

В одномерном случае Поэтому уравнение Шрёдингера (см. (21.5)) для осциллятора выглядит следующим образом:

Полная энергия, осциллятора). В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнение (27.2) имеет конечные, однозначные и непрерывные решения при значениях параметра Е, равных

На рис. 27.1 дана схема энергетических уровней гармонического осциллятора. Для наглядности уровни вписаны в кривую потенциальной энергии. Однако следует помнить, что в квантовой механике полная энергия не может быть представлена в виде суммы точно определенных энергий Т и U (см. последний абзац предыдущего параграфа).

Уровни энергии гармонического осциллятора являются эквидистантными, т. е. отстоящими друг от друга на одинаковое расстояние. Наименьшее возможное значение энергии равно . Это значение называется нулевой энергией.

Существование нулевой энергии подтверждается экспериментами по изучению рассеяния света кристаллами при низких температурах. Оказывается, что интенсивность рассеянного света по мере понижения температуры стремится не к нулю, а к некоторому конечному значению, указывающему на то, что и при абсолютном нуле колебания атомов в кристаллической решетке не прекращаются.

Квантовая механика позволяет вычислить вероятности различных переходов квантовой системы из одного состояния в другое. Подобные вычисления показывают, что для гармонического осциллятора возможны лишь переходы между соседними уровнями. При таких переходах квантовое число изменяется на единицу:

Условия, накладываемые на изменения квантовых чисел при переходах системы из одного состояния в другое, называются правилами отбора.

Таким образом, для гармонического осциллятора существует правило отбора, выражаемое формулой (27.4).

Из правила (27.4) вытекает, что энергия гармонического осциллятора может изменяться только порциями /гto. Этот результат, получающийся естественным образом в квантовой механике, совпадает с тем весьма чужеродным для классической физики предположением, которое пришлось сделать Планку, чтобы вычислить испускательную способность абсолютно черного тела (см. § 7). Отметим, что Планк предполагал, что энергия гармонического осциллятора может быть лишь целой кратной На. В действительности же имеется еще нулевая энергия, существование которой было установлено только после создания квантовой механики.