Линейните уравнения са доста безобидна и разбираема тема в училищната математика. Но, колкото и да е странно, броят на неочакваните грешки при решаването на линейни уравнения е само малко по-малък, отколкото в други теми - квадратни уравнения, логаритми, тригонометрия и други. Причините за повечето грешки са банални идентични трансформации на уравнения. На първо място, това е объркване в знаците при прехвърляне на членове от една част на уравнението в друга, както и грешки при работа с дроби и дробни коефициенти. да, да! Дробите се появяват и в линейните уравнения! Навсякъде наоколо. По-долу определено ще анализираме такива зли уравнения.)
Е, нека не дърпаме котката за опашката и нека започнем да го измисляме, нали? След това четем и се задълбочаваме в него.)
Какво е линейно уравнение? Примери.
Обикновено линейното уравнение изглежда така:
брадва + b = 0,
Където a и b са произволни числа. Всякакъв вид: цели числа, дроби, отрицателни, ирационални - може да има всякакви!
Например:
7x + 1 = 0 (тук a = 7, b = 1)
x – 3 = 0 (тук a = 1, b = -3)
x/2 – 1,1 = 0 (тук a = 1/2, b = -1,1)
Като цяло разбирате, надявам се.) Всичко е просто, като в приказка. За момента... И ако погледнете по-отблизо общата нотация ax+b=0 и помислите малко? В крайна сметка, a и b са всякакви числа! И ако имаме, да речем, a = 0 и b = 0 (могат да се вземат всякакви числа!), тогава какво ще получим?
0 = 0
Но това не е всичко забавно! Ами ако, да кажем, a = 0, b = -10? Тогава се оказва някаква глупост:
0 = 10.
Което е много, много неприятно и подкопава доверието в математиката, което сме спечелили с пот и кръв... Особено по време на контролни и изпити. Но от тези неразбираеми и странни равенства трябва да намерите и X! Което изобщо не съществува! И тук дори добре подготвените ученици понякога могат да изпаднат в така наречения ступор... Но не се притеснявайте! В този урок ще разгледаме и всички подобни изненади. И определено ще намерим X от такива равенства.) Освен това, същото това X може да се намери много, много просто. да, да! Изненадващо, но факт.)
Добре, това е разбираемо. Но как можете да познаете по външния вид на задачата, че това е линейно уравнение, а не някакво друго уравнение? За съжаление, не винаги е възможно да се разпознае вида на уравнението само по външен вид. Работата е там, че не само уравненията от вида ax+b=0 се наричат линейни, но и всички други уравнения, които чрез идентични трансформации по един или друг начин се свеждат до този вид. Как да разберете дали се добавя или не? Докато почти не можете да решите примера - почти изобщо. Това е разстройващо. Но за някои видове уравнения можете незабавно да разберете с увереност дали са линейни или не с един бърз поглед.
За да направите това, нека отново да разгледаме общата структура на всяко линейно уравнение:
брадва + b = 0
Моля, обърнете внимание: в линейното уравнение Винагиприсъства само променлива x в първа степени малко цифри! Това е всичко! Нищо повече. В същото време няма X в квадрата, в куба, под корена, под логаритъма и други екзотични неща. И (най-важното!) няма дроби с Х в знаменателите!Но дроби с числа в знаменателите или делението на брой- лесно!
Например:
Това е линейно уравнение. Уравнението съдържа само X на първа степен и числа. И няма X в по-високи степени - на квадрат, на куб и т.н. Да, тук има дроби, но в същото време знаменателите на дробите съдържат само цифри.А именно – две и три. С други думи, няма деление на х.
И ето уравнението
Вече не може да се нарече линеен, въпреки че и тук има само числа и X на първа степен. Защото, освен всичко друго, има и дроби с X в знаменателите. И след опростявания и трансформации, такова уравнение може да стане всичко: линейно, квадратно - всичко.
Как се решават линейни уравнения? Примери.
Как се решават линейни уравнения? Прочетете и се изненадайте.) Цялото решение на линейните уравнения се основава само на две основни неща. Нека ги изброим.
1) Набор от елементарни действия и правила на математиката.
Това са използване на скоби, отваряне на скоби, работа с дроби, работа с отрицателни числа, таблици за умножение и т.н. Тези знания и умения са необходими не само за решаване на линейни уравнения, но и за цялата математика като цяло. И ако имате проблеми с това, помнете по-ниските оценки. Иначе ще ви е трудно...
2)
Те са само две. да, да! Освен това, тези много основни трансформации на идентичност са в основата на решението не само на линейни, но и на всички математически уравнения! С една дума, решението на всяко друго уравнение - квадратно, логаритмично, тригонометрично, ирационално и т.н. – като правило, започва с тези много основни трансформации. Но решаването на линейните уравнения всъщност завършва с тях (трансформации). Готов отговор.) Така че не бъдете мързеливи и погледнете връзката.) Освен това линейните уравнения също са анализирани подробно там.
Е, мисля, че е време да започнем да разглеждаме примери.
Като начало, като загрявка, нека да разгледаме някои основни неща. Без никакви фракции или други звънци и свирки. Например това уравнение:
x – 2 = 4 – 5x
Това е класическо линейно уравнение. Всички X са най-много на първа степен и никъде няма деление на X. Схемата на решение в такива уравнения винаги е една и съща и ужасно проста: всички членове с X трябва да бъдат събрани отляво, а всички членове без X (т.е. числа) трябва да бъдат събрани отдясно. Така че нека започнем да събираме.
За да направим това, стартираме първата трансформация на самоличността. Трябва да преместим -5x наляво и -2 надясно. С промяна на знака, разбира се.) Така че прехвърляме:
x + 5x = 4 + 2
Ето го. Половината битка е свършена: X-овете са събрани на купчина, както и числата. Сега представяме подобни вляво, а ги броим вдясно. Получаваме:
6x = 6
Какво ни липсва сега за пълно щастие? Да, за да остане чистото Х отляво! И шестицата пречи. Как да се отървете от него? Сега изпълняваме втората трансформация на идентичността - разделяме двете страни на уравнението на 6. И - готово! Отговорът е готов.)
х = 1
Разбира се, примерът е напълно примитивен. За да добиете обща представа. Е, да решим нещо по-значимо. Например, нека разгледаме това уравнение:
Нека го разгледаме подробно.) Това също е линейно уравнение, въпреки че изглежда, че тук има дроби. Но в дробите има деление на две и има деление на три, но няма деление на израз с X! Така че нека решим. Използване на същите идентични трансформации, да.)
Какво трябва да направим първо? С Х - наляво, без Х - надясно? По принцип това е възможно. Летете до Сочи през Владивосток.) Или можете да вземете най-краткия маршрут, като използвате незабавно универсален и мощен метод. Ако знаете трансформациите на идентичността, разбира се.)
Първо, задавам ключов въпрос: какво ви изпъква най-много и какво не ви харесва в това уравнение? 99 от 100 души ще кажат: дроби!И ще бъдат прави.) Така че нека първо се отървем от тях. Безопасно за самото уравнение.) Следователно, нека започнем веднага с втора трансформация на идентичността- от умножение. По какво трябва да умножим лявата страна, за да се намали успешно знаменателят? Точно така, две. Ами дясната страна? За три! Но... Математиката е капризна дама. Тя, разбирате ли, изисква умножаване само на двете страни за същия брой!Умножаването на всяка част по нейното собствено число не работи... Какво ще правим? Нещо... Търсете компромис. За да задоволим желанията си (да се отървем от дробите) и да не обиждаме математиката.) Нека умножим двете части по шест!) Тоест по общия знаменател на всички дроби, включени в уравнението. Тогава с един замах и двамата, и трите ще бъдат намалени!)
Така че нека умножим. Цялата лява страна и цялата дясна страна! Затова използваме скоби. Ето как изглежда самата процедура:
Сега отваряме същите тези скоби:
Сега, представяйки 6 като 6/1, нека умножим шест по всяка от дробите отляво и отдясно. Това е обичайното умножение на дроби, но така да бъде, ще го опиша подробно:
И тук - внимание! Слагам числителя (x-3) в скоби! Това е всичко, защото при умножаване на дроби числителят се умножава изцяло, изцяло! И изразът x-3 трябва да се работи като една цялостна структура. Но ако напишете числителя така:
6x – 3,
Но имаме всичко наред и трябва да го финализираме. Какво да правя след това? Отворете скобите в числителя вляво? Няма начин! Ти и аз умножихме двете страни по 6, за да се отървем от дробите и да не се тревожим за отварянето на скобите. На този етап имаме нужда от намалим нашите дроби.С чувство на дълбоко задоволство намаляваме всички знаменатели и получаваме уравнение без дроби, в ред:
3(x-3) + 6x = 30 – 4x
И сега останалите скоби могат да бъдат отворени:
3x – 9 + 6x = 30 – 4x
Уравнението става все по-добро и по-добро! Сега нека си спомним отново за първата идентична трансформация. С право лице повтаряме заклинанието от младши класове: с X - наляво, без X - надясно. И приложете тази трансформация:
3x + 6x + 4x = 30 + 9
Представяме подобни отляво и броим отдясно:
13x = 39
Остава да разделим двете части на 13. Тоест, приложете отново втората трансформация. Разделяме и получаваме отговора:
х = 3
Работата е свършена. Както можете да видите, в това уравнение трябваше да приложим първото преобразуване (прехвърляне на членове) веднъж и второто два пъти: в началото на решението използвахме умножение (по 6), за да се отървем от дроби, а в края на решението използвахме деление (на 13), за да се отървем от коефициента пред X. И решението на всяко (да, всяко!) линейно уравнение се състои от комбинация от същите тези трансформации в една или друга последователност. Къде точно да започнете зависи от конкретното уравнение. На някои места е по-изгодно да започнете с прехвърляне, а на други (както в този пример) с умножение (или деление).
Работим от просто към сложно. Нека сега разгледаме откровената бруталност. С куп дроби и скоби. И ще ви кажа как да не се пренапрягате.)
Например, ето уравнението:
Гледаме уравнението за минута, ужасени сме, но все пак се събираме! Основният проблем е откъде да започна? Можете да добавите дроби от дясната страна. Можете да извадите дроби в скоби. Можете да умножите и двете части по нещо. Или да се разделят... Е, какво още е възможно? Отговор: всичко е възможно! Математиката не забранява нито едно от изброените действия. И каквато и последователност от действия и трансформации да изберете, отговорът винаги ще бъде един и същ – верният. Освен ако, разбира се, на някоя стъпка не нарушите идентичността на вашите трансформации и по този начин не направите грешки...
И за да не правите грешки, в такива сложни примери като този винаги е най-полезно да оцените външния му вид и да измислите наум: какво може да се направи в примера, така че максимумда го опростя в една стъпка?
Така че нека го разберем. Вляво има шестици в знаменателите. Лично аз не ги харесвам, а и се махат много лесно. Нека умножа двете страни на уравнението по 6! Тогава шестиците отляво ще бъдат успешно намалени, дробите в скоби все още няма да отидат никъде. Е, това е добре. Ще се занимаем с тях малко по-късно.) Но отдясно ще анулираме знаменателите 2 и 3. Точно с това действие (умножаване по 6) постигаме максимални опростявания в една стъпка!
След умножението цялото ни зло уравнение ще стане така:
Ако не разбирате как точно се е появило това уравнение, тогава не сте разбрали добре анализа на предишния пример. И между другото опитах...
И така, нека разкрием:
Сега най-логичната стъпка би била да изолираме дробите от лявата страна и да изпратим 5x към дясната страна. В същото време ще представим подобни от дясната страна. Получаваме:
Вече много по-добре. Сега лявата страна се е подготвила за умножение. По какво трябва да умножим лявата страна, така че и петицата, и четворката да бъдат намалени едновременно? На 20! Но имаме и недостатъци от двете страни на уравнението. Следователно ще бъде най-удобно да умножите двете страни на уравнението не по 20, а по -20. Тогава с един замах ще изчезнат и минусите, и дробите.
Така че умножаваме:
Всеки, който все още не разбира тази стъпка, означава, че проблемът не е в уравненията. Проблемите са в основата! Нека отново си спомним златното правило за отваряне на скоби:
Ако дадено число се умножи по някакъв израз в скоби, тогава това число трябва да се умножи последователно по всеки член на същия израз. Освен това, ако числото е положително, тогава знаците на изразите се запазват след разширяване. Ако е отрицателен, променете на обратното:
a(b+c) = ab+ac
-a(b+c) = -ab-ac
Минусите ни изчезнаха, след като умножихме двете страни по -20. И сега умножаваме скобите с дроби отляво по доста положително число 20. Следователно, когато тези скоби се отворят, всички знаци, които са били вътре в тях, се запазват. Но откъде идват скобите в числителите на дробите, вече обясних подробно в предишния пример.
Сега можете да намалите дроби:
4(3-5x)-5(3x-2) = 20
Отворете останалите скоби. Отново го разкриваме правилно. Първите скоби се умножават по положителното число 4 и следователно всички знаци се запазват при отварянето им. Но вторите скоби се умножават по отрицателенчислото е -5 и следователно всички знаци са обърнати:
12 - 20x - 15x + 10 = 20
Остават само дреболии. С X вляво, без X вдясно:
-20x – 15x = 20 – 10 – 12
-35x = -2
Това е почти всичко. Отляво се нуждаете от чисто X, но числото -35 ви пречи. Така че разделяме двете страни на (-35). Нека ви напомня, че втората трансформация на идентичността ни позволява да умножаваме и разделяме двете страни по каквото и да еномер. Включително отрицателни.) Стига да не е нула! Чувствайте се свободни да разделите и да получите отговора:
X = 2/35
Този път Х се оказа дробно. Всичко е наред. Такъв пример.)
Както виждаме, принципът за решаване на линейни уравнения (дори и най-сложните) е доста прост: ние вземаме оригиналното уравнение и, използвайки идентични трансформации, последователно го опростяваме, докато получим отговора. С основите, разбира се! Основните проблеми тук са именно неспазването на основите (например има минус пред скобите и са забравили да променят знаците при разширяване), както и в баналната аритметика. Така че не пренебрегвайте основите! Те са в основата на всяка друга математика!
Някои забавни неща за правене при решаване на линейни уравнения. Или специални поводи.
Всичко щеше да е наред. Обаче... Сред линейните уравнения има и такива смешни бисери, които в процеса на решаването им могат да ви вкарат в силен ступор. Дори отличен ученик.)
Например, ето едно безобидно изглеждащо уравнение:
7x + 3 = 4x + 5 + 3x - 2
Прозявайки се широко и леко отегчени, събираме всички X отляво и всички числа отдясно:
7x-4x-3x = 5-2-3
Представяме подобни, броим и получаваме:
0 = 0
това е! Дадох примерен трик! Това равенство само по себе си не предизвиква никакви възражения: нулата наистина е равна на нула. Но X липсва! Без следа! И трябва да запишем в отговора, на какво е равно x. В противен случай решението не се брои, да.) Какво да правя?
Не изпадайте в паника! В такива нестандартни случаи на помощ идват най-общите понятия и принципи на математиката. Какво е уравнение? Как се решават уравнения? Какво означава да решиш уравнение?
Решаването на уравнение означава намиране Всичкистойности на променливата x, която при заместване в оригиналенуравнение ще ни даде правилното равенство (тъждество)!
Но имаме истинско равенство вече се случи! 0=0 или по-скоро никъде!) Можем само да гадаем при какви X-ове получаваме това равенство. В какъв вид X могат да бъдат заменени оригиналенуравнение, ако при заместване всички от тях пак ли ще бъдат сведени до нула?Още ли не си го разбрал?
Ами разбира се! X могат да бъдат заменени всякакви!!! Абсолютно всякакви. Представете каквото искате. Поне 1, поне -23, поне 2,7 - каквото и да е! Те все пак ще бъдат намалени и в резултат на това ще остане чистата истина. Опитайте, заменете го и вижте сами.)
Ето вашия отговор:
x – произволно число.
В научна нотация това равенство се записва по следния начин:
Този запис гласи така: "X е всяко реално число."
Или под друга форма, на интервали:
Проектирайте го така, както ви харесва най-много. Това е правилен и напълно пълен отговор!
Сега ще променя само едно число в нашето първоначално уравнение. Сега нека решим това уравнение:
7x + 2 = 4x + 5 + 3x – 2
Отново прехвърляме условията, броим и получаваме:
7x – 4x – 3x = 5 – 2 – 2
0 = 1
И какво мислите за този виц? Имаше обикновено линейно уравнение, но се превърна в неразбираемо равенство
0 = 1…
Научно казано, имаме фалшиво равенство.Но на руски това не е вярно. Глупости. Глупости.) Защото нулата в никакъв случай не е равна на единица!
И сега нека да разберем отново какъв вид X, когато бъдат заменени в оригиналното уравнение, ще ни дадат истинско равенство?кои? Но нито един! Независимо какво X замените, всичко ще бъде съкратено и всичко ще остане глупости.)
Ето отговора: няма решения.
В математическа нотация този отговор се записва така:
Той гласи: "X принадлежи на празното множество."
Такива отговори се срещат доста често и в математиката: не винаги уравненията по принцип имат корени. Някои уравнения може изобщо да нямат корени. Изобщо.
Ето две изненади. Надявам се, че сега внезапното изчезване на X от уравнението няма да ви остави в недоумение завинаги. Това е доста познато.)
И тогава чувам логичен въпрос: ще бъдат ли на OGE или на Единния държавен изпит? На Единния държавен изпит сам по себе си като задача - не. Твърде просто. Но в OGE или в текстови задачи - лесно! Така че сега нека тренираме и да решим:
Отговори (в безпорядък): -2; -1; произволен брой; 2; няма решения; 7/13.
Всичко получи ли се? Страхотно! Имате добри шансове на изпита.
Нещо не се вписва? Хм... Тъга, разбира се. Това означава, че все още има пропуски някъде. Или в основите, или в идентични трансформации. Или е просто въпрос на просто невнимание. Прочетете урока отново. Защото това не е тема, която може да се отстрани толкова лесно в математиката...
Успех! Тя определено ще ви се усмихне, повярвайте ми!)
Система от линейни уравнения е обединение от n линейни уравнения, всяко от които съдържа k променливи. Написано е така:
Мнозина, когато се сблъскват с висшата алгебра за първи път, погрешно вярват, че броят на уравненията задължително трябва да съвпада с броя на променливите. В училищната алгебра това обикновено се случва, но за висшата алгебра това, общо казано, не е вярно.
Решението на система от уравнения е поредица от числа (k 1, k 2, ..., k n), която е решението на всяко уравнение на системата, т.е. при заместване в това уравнение вместо променливите x 1, x 2, ..., x n дава правилното числово равенство.
Съответно решаването на система от уравнения означава намиране на множеството от всички нейни решения или доказване, че това множество е празно. Тъй като броят на уравненията и броят на неизвестните може да не съвпадат, възможни са три случая:
- Системата е непоследователна, т.е. множеството от всички решения е празно. Доста рядък случай, който лесно се открива, без значение какъв метод се използва за решаване на системата.
- Системата е съвместна и определена, т.е. има точно едно решение. Класическата версия, добре позната от училище.
- Системата е последователна и недефинирана, т.е. има безкрайно много решения. Това е най-трудният вариант. Не е достатъчно да се посочи, че "системата има безкраен набор от решения" - необходимо е да се опише как е структуриран този набор.
Променлива x i се нарича разрешена, ако е включена само в едно уравнение на системата и с коефициент 1. С други думи, в други уравнения коефициентът на променливата x i трябва да бъде равен на нула.
Ако изберем една разрешена променлива във всяко уравнение, получаваме набор от разрешени променливи за цялата система от уравнения. Самата система, написана в тази форма, също ще се нарича разрешена. Най-общо казано, една и съща оригинална система може да бъде сведена до различни разрешени, но засега това не ни притеснява. Ето примери за разрешени системи:
И двете системи са разрешени по отношение на променливите x 1 , x 3 и x 4 . Със същия успех обаче може да се твърди, че втората система е разрешена по отношение на x 1, x 3 и x 5. Достатъчно е да пренапишете последното уравнение във формата x 5 = x 4.
Сега нека разгледаме един по-общ случай. Нека имаме общо k променливи, от които r са разрешени. Тогава са възможни два случая:
- Броят на разрешените променливи r е равен на общия брой променливи k: r = k. Получаваме система от k уравнения, в която r = k разрешени променливи. Такава система е съвместна и категорична, т.к x 1 = b 1, x 2 = b 2, ..., x k = b k;
- Броят на разрешените променливи r е по-малък от общия брой на променливите k: r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.
И така, в горните системи променливите x 2, x 5, x 6 (за първата система) и x 2, x 5 (за втората) са свободни. Случаят, когато има свободни променливи, е по-добре формулиран като теорема:
Моля, обърнете внимание: това е много важен момент! В зависимост от начина, по който пишете получената система, една и съща променлива може да бъде разрешена или свободна. Повечето преподаватели по висша математика препоръчват изписване на променливи в лексикографски ред, т.е. възходящ индекс. Вие обаче не сте задължени да следвате този съвет.
Теорема. Ако в система от n уравнения променливите x 1, x 2, ..., x r са разрешени и x r + 1, x r + 2, ..., x k са свободни, тогава:
- Ако зададем стойностите на свободните променливи (x r + 1 = t r + 1, x r + 2 = t r + 2, ..., x k = t k), и след това намерим стойностите x 1, x 2, ..., x r, получаваме едно от решенията.
- Ако в две решения стойностите на свободните променливи съвпадат, тогава стойностите на разрешените променливи също съвпадат, т.е. решенията са равни.
Какъв е смисълът на тази теорема? За да се получат всички решения на разрешена система от уравнения, е достатъчно да се изолират свободните променливи. След това, присвоявайки различни стойности на свободните променливи, ще получим готови решения. Това е всичко - по този начин можете да получите всички решения на системата. Няма други решения.
Заключение: разрешената система от уравнения винаги е последователна. Ако броят на уравненията в една разрешена система е равен на броя на променливите, системата ще бъде определена; ако е по-малко, тя ще бъде неопределена.
И всичко би било наред, но възниква въпросът: как да се получи разрешено от оригиналната система от уравнения? За това има
Линейно уравнение с неизвестни x 1, x 2, ..., x n е уравнение от вида
A 1 x 1 + a 2 x 2 + …+ a n x n = b;
числата a и a 2 , a 2 , ..., a n се наричат коефициенти за неизвестните, числото b е свободният член на уравнението.
Линейни уравнения с едно неизвестно са били решени още в Древен Вавилон и в Египет преди повече от 4 хиляди години. Да цитираме например проблем от папируса на Райнд (наричан още папирус на Ахмес), съхраняван в Британския музей и датиран от периода 2000–1700 г. пр.н.е д.: „Намерете число, ако е известно, че като към него добавите 2/3 от него и от получената сума извадите неговата трета, се получава числото 10.“ Решението на този проблем се свежда до решаването на линейното уравнение
x + (2/3)x − (1/3)(x + (2/3)x) = 10, откъдето x = 9.
Нека представим и проблема за Метродор, за чийто живот не се знае нищо, освен че е автор на интересни проблеми, съставени в стихове.
Тук е погребан Диофант и надгробната плоча
С умело броене той ще ни каже
Колко дълъг беше животът му.
По Божия указ той беше момче през една шеста от живота си;
В дванадесетата част тогава премина неговата ярка младост.
Да добавим и седмата част от живота - пред нас е огнището на Химен.
Изминаха пет години; и Химен му изпрати син.
Но горко на детето! Едва оживя наполовина
Тези години, когато бащата почина, нещастният.
Диофант страда четири години от загубата на такъв гроб
И той умря, живял за науката. кажи ми
На колко години беше Диофант, когато умря?
Решаване на линейно уравнение
(1/6)x + (1/12)x +(1/7)x + 5 + (1/2)x + 4 = x,
намираме, че х = 84 – толкова години е живял Диофант.
Самият Диофант отделя много внимание на неопределените уравнения (така се наричат алгебрични уравнения или системи от такива уравнения с две или повече неизвестни с цели коефициенти, за които се търсят цели или рационални решения; броят на неизвестните трябва да бъде по-голям от броя на уравненията). Тези уравнения се наричат диофантови уравнения. Вярно е, че Диофант, който е живял в началото на 2-ри и 3-ти век, се е занимавал главно с неопределени уравнения от по-високи степени.
Система от алгебрични уравнения, всяко от които има формата (1), се нарича линейна система. Коефициентите на уравненията, включени в системата, обикновено се номерират с два индекса, първият от които е номерът на уравнението, а вторият (както в (1)) е номерът на неизвестното. Например във формата е записана система от m уравнения с n неизвестни
$\ляво. \begin(aligned) ((a)_(11))((x)_(1))+((a)_(12))((x)_(2))+\ldots+((a)_ (1n))((x)_(n))=((b)_(1)), \\ ((a)_(21))((x)_(1))+((a)_ (22))((x)_(2))+\ldots+((a)_(2n))((x)_(n))=((b)_(2)), \\ ((a )_(m1))((x)_(1))+((a)_(m2))((x)_(2))+\ldots+((a)_(mn))((x) _(n))=((b)_(m)). \\ \end(aligned) \right\)(2)$
Да разгледаме система от две линейни уравнения с две неизвестни:
$\ляво. \begin(aligned) ((a)_(11))((x)_(1))+((a)_(12))((x)_(2))=((b)_(1 )), \\ ((a)_(21))((x)_(1))+((a)_(22))((x)_(2))=((b)_(2 )), \\ \end(aligned) \right\)(3)$
Нека умножим първото уравнение на системата (3) по 22 и извадим от полученото уравнение второто, умножено по 12; по подобен начин умножаваме второто уравнение на система (3) по 11 и изваждаме първото, умножено по 21, от полученото уравнение. След това получаваме системата:
$\ляво. \begin(aligned) (a 11 a 22 - a 12 a 21)x 2 = a 11 b 2 -b 1 a 21 , (a 11 a 22 - a 12 a 21)x 1 = b 1 a 22 - a 12 b 2 , \end(aligned) \right\)(4)$
$\ляво. \begin(aligned) (a_(11)a_(22)−a_(12)a_(21))x_2 = a_(11)b_2−b_1a_(21), \\ (a_(11)a_(22)−a_ (12)a_(21))x_1 = b_1a_(22)−a_(12)b_2, \\ \end(aligned) \right\)(4)$
което е следствие от система (3). Система (4) може да бъде записана във вида
$\ляво. \begin(aligned) Δ⋅x_1=Δ_1, \\ Δ⋅x_2=Δ_2, \\ \end(aligned) \right\)(5)$
където ∆ е детерминантата на матрица, съставена от коефициентите на системата (вижте Детерминанта), ∆ i са детерминантите на матрици, получени от предишната замяна на i-тата колона с колона от свободни членове, i = 1,2 . Освен това, ако ∆ ≠ 0, тогава системата (5) има уникално решение:
x 1 = ∆ 1 /∆, x 2 = ∆ 2 /∆.
Директното заместване потвърждава, че тази двойка числа също е решение на система (3). Използвайки същото правило, се търси решение на система от n линейни уравнения с n неизвестни: ако детерминантата на системата ∆ е различна от нула, тогава системата има уникално решение и
x i = ∆ i /∆
където ∆ i е детерминантата на матрицата, получена от матрица, съставена от коефициентите на системата чрез замяна на i-тата колона в нея с колона от свободни членове. Описаното правило за решаване на линейни системи се нарича правило на Крамър. (Г. Крамер - швейцарски математик, 1704–1752).
Ако ∆ = 0, тогава и ∆ 1, и ∆ 2 трябва да се нулират (в противен случай (5) и особено (3) нямат решения). Ако е изпълнено условието ∆ = ∆ 1 = ∆ 2 = 0, ако съответните коефициенти за неизвестните и свободните членове на уравнението на система (3) са пропорционални, то системата ще има безкрайно много решения; ако поне един от коефициентите за неизвестните е различен от нула (например, ако a 12 ≠ 0), тогава x 1 може да се приеме за всеки, тогава
x 2 = b 1 /a 12 − a 11 x 1 /a 12
Остава да анализираме случая, когато системата има формата
$\ляво. \begin(aligned) 0⋅x_1+,0⋅x_2=b_, \\ 0⋅x_1+,0⋅x_2=b_, \\ \end(aligned) \right\)$
за което отговорът е очевиден: ако b 1 = b 2 = 0, тогава решението е всяка двойка числа, в противен случай няма решения.
В общия случай, за система от n уравнения с n неизвестни за ∆ ≠ 0, системата има уникално решение, което, както вече беше споменато, може да бъде намерено с помощта на правилото на Крамър. Ако ∆ = 0 и поне една от детерминантите ∆ i е различна от нула, системата е непоследователна (т.е. няма решения). В случай, когато ∆ = ∆ 1 = ∆ 2 = ... = ∆ n = 0, системата може или да бъде непоследователна, или да има безкрайно много решения. Доста трудно е да се установи кой от тези два случая се реализира с помощта на детерминанти и ние няма да се занимаваме с това. На практика правилото на Крамър обикновено не се използва за решаване на линейни системи. Най-често за тези цели се използва методът на Гаус (вижте Неизвестно изключение).
Както е известно, линейното уравнение a 1 x 1 + a 2 x 2 = b определя права линия на равнината (x 1 ; x 2) в случай, че поне един от коефициентите a 1 и a 2 е различен от нула. Ако вземем две прави на равнина, тогава са възможни следните случаи (виж фигурата): 1) правите са успоредни и нямат общи точки и тогава системата няма решения; 2) линиите се пресичат и тогава системата има едно решение; 3) правите съвпадат и тогава системата има безкрайно много решения. Но две „случайно“ взети линии „по правило“ ще се пресичат, т.е. по правило система от две линейни уравнения с две променливи ще има едно решение. Всяка точка от определена линия на равнината съответства на решението на „система“ (състояща се от едно уравнение), т.е. като правило възниква случай 3 (случай 2 е невъзможен, а случай 1 се реализира, ако вземем уравнението 0 x 1 + 0 x 2 = b, където b ≠ 0, което не определя права в равнината). Ако вземем 3 или повече прави на една равнина, тогава, най-общо казано, всички те могат да съвпадат или да минават през една точка, но по правило се получава първият случай - правите нямат обща точка.
Първо трябва да разберете какво представлява.
Има проста дефиниция линейно уравнение, което се дава в обикновено училище: „уравнение, в което променливата се среща само на първа степен“. Но не е съвсем правилно: уравнението не е линейно, то дори не се свежда до това, свежда се до квадратно.
По-точно определение е: линейно уравнениее уравнение, което, използвайки еквивалентни трансформацииможе да се редуцира до формата , където title="a,b в bbR, ~a0">. На деле мы будем приводить это уравнение к виду путём переноса в правую часть и деления обеих частей уравнения на . Осталось разъяснить, какие уравнения и как мы можем привести к такому виду, и, самое главное, что дальше делать с ними, чтобы решить его.!}
Всъщност, за да се разбере дали едно уравнение е линейно или не, то трябва първо да бъде опростено, тоест доведено до форма, в която неговата класификация ще бъде недвусмислена. Не забравяйте, че можете да правите каквото искате с уравнение, стига то да не променя корените си - това е. еквивалентно преобразуване. Най-простите еквивалентни трансформации включват:
- отваряне на скоби
- привеждане на подобни
- умножаване и/или деление на двете страни на уравнение с ненулево число
- добавяне и/или изваждане от двете страни на едно и също число или израз*
* Особено тълкуване на последната трансформация е „прехвърлянето“ на термини от една част в друга с промяна на знака.
Пример 1:
(да отворим скобите)
(събиране към двете части и изваждане/прехвърляне със смяна на знака на числото вляво и променливите вдясно)
(нека дадем подобни)
(разделете двете страни на уравнението на 3)
Така че получаваме уравнение, което има същите корени като първоначалното. Нека напомним на читателя, че "реши уравнението"- означава намиране на всичките му корени и доказване, че няма други, и "корен на уравнение"- това е число, което, когато бъде заменено с неизвестното, ще превърне уравнението в истинско равенство. Е, в последното уравнение намирането на число, което превръща уравнението в истинско равенство, е много просто - това е числото. Никое друго число няма да направи идентичност от това уравнение. отговор:
Пример 2:
(умножете двете страни на уравнението по 
, след като се уверим, че не умножаваме по : title="x3/2"> и title="x3">. То есть если такие корни получатся, то мы их обязаны будем выкинуть.)!}
(да отворим скобите)
(нека преместим условията)
(нека дадем подобни)
(разделяме двете части на )
Приблизително така се решават всички линейни уравнения. За по-младите читатели най-вероятно това обяснение изглежда сложно, затова предлагаме версия "линейни уравнения за 5 клас"
Съдържание на урокаЛинейни уравнения с две променливи
Ученик има 200 рубли, за да обядва в училище. Торта струва 25 рубли, а чаша кафе - 10 рубли. Колко торти и чаши кафе можете да купите за 200 рубли?
Нека означим броя на тортите с хи броя чаши кафе г. Тогава цената на тортите ще бъде означена с израза 25 х, а цената на чашите кафе в 10 г .
25х—цена хторти
10y —цена гчаши кафе
Общата сума трябва да бъде 200 рубли. Тогава получаваме уравнение с две променливи хИ г
25х+ 10г= 200
Колко корена има това уравнение?
Всичко зависи от апетита на ученика. Ако той купи 6 торти и 5 чаши кафе, тогава корените на уравнението ще бъдат числата 6 и 5.
Твърди се, че двойката стойности 6 и 5 са корените на уравнение 25 х+ 10г= 200. Записано като (6; 5), като първото число е стойността на променливата х, а втората - стойността на променливата г .
6 и 5 не са единствените корени, които обръщат уравнение 25 х+ 10г= 200 за самоличност. Ако желаете, за същите 200 рубли студент може да купи 4 торти и 10 чаши кафе:
В този случай корените на уравнение 25 х+ 10г= 200 е двойка стойности (4; 10).
Освен това ученик може изобщо да не купува кафе, но да купува торти за цели 200 рубли. Тогава корените на уравнение 25 х+ 10г= 200 ще бъдат стойностите 8 и 0
Или обратното, не купувайте торти, а купете кафе за цели 200 рубли. Тогава корените на уравнение 25 х+ 10г= 200 стойностите ще бъдат 0 и 20
Нека се опитаме да изброим всички възможни корени на уравнение 25 х+ 10г= 200. Нека се съгласим, че ценностите хИ гпринадлежат на множеството от цели числа. И нека тези стойности са по-големи или равни на нула:
х∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0
Това ще бъде удобно за самия ученик. По-удобно е да купувате цели торти, отколкото например няколко цели торти и половин торта. Също така е по-удобно да вземете кафе в цели чаши, отколкото например няколко цели чаши и половин чаша.
Имайте предвид, че за странно хневъзможно е да се постигне равенство при никакви обстоятелства г. След това стойностите хследващите числа ще бъдат 0, 2, 4, 6, 8. И знаейки хможе лесно да се определи г
Така получихме следните двойки стойности (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Тези двойки са решения или корени на уравнение 25 х+ 10г= 200. Те превръщат това уравнение в тъждество.
Уравнение на формата брадва + от = cнаречен линейно уравнение с две променливи. Решението или корените на това уравнение са двойка стойности ( x; г), което го превръща в идентичност.
Отбележете също, че ако линейно уравнение с две променливи е записано във формата ax + b y = c,тогава казват, че е написано в каноничен(нормална) форма.
Някои линейни уравнения с две променливи могат да бъдат редуцирани до канонична форма.
Например уравнението 2(16х+ 3y − 4) = 2(12 + 8х − г) може да се доведе до ума брадва + от = c. Нека отворим скобите от двете страни на това уравнение и ще получим 32х + 6г − 8 = 24 + 16х − 2г . Групираме членове, съдържащи неизвестни в лявата страна на уравнението, и членове без неизвестни - в дясната. Тогава получаваме 32x− 16х+ 6г+ 2г = 24 + 8 . Представяме подобни членове от двете страни, получаваме уравнение 16 х+ 8г= 32. Това уравнение се свежда до формата брадва + от = cи е каноничен.
Уравнение 25, обсъдено по-рано х+ 10г= 200 също е линейно уравнение с две променливи в канонична форма. В това уравнение параметрите а , bИ cса равни на стойностите съответно 25, 10 и 200.
Всъщност уравнението брадва + от = cима безброй решения. Решаване на уравнението 25х+ 10г= 200, търсихме неговите корени само в множеството от цели числа. В резултат на това получихме няколко двойки стойности, които превърнаха това уравнение в идентичност. Но в множеството от рационални числа, уравнение 25 х+ 10г= 200 ще има безкрайно много решения.
За да получите нови двойки стойности, трябва да вземете произволна стойност за х, след това изразете г. Например, нека вземем променливата хстойност 7. След това получаваме уравнение с една променлива 25×7 + 10г= 200 в които човек може да изрази г
Нека х= 15. Тогава уравнението 25х+ 10г= 200 става 25 × 15 + 10г= 200. От тук намираме това г = −17,5
Нека х= −3 . Тогава уравнението 25х+ 10г= 200 става 25 × (−3) + 10г= 200. От тук намираме това г = −27,5
Система от две линейни уравнения с две променливи
За уравнението брадва + от = cможете да приемате произволни стойности толкова пъти, колкото искате хи намерете стойности за г. Взето отделно, такова уравнение ще има безброй решения.
Но също така се случва, че променливите хИ гсвързани не с едно, а с две уравнения. В този случай те образуват т.нар система от линейни уравнения с две променливи. Такава система от уравнения може да има една двойка стойности (или с други думи: „едно решение“).
Възможно е също така системата да няма никакви решения. Система от линейни уравнения може да има безброй решения в редки и изключителни случаи.
Две линейни уравнения образуват система, когато стойностите хИ гвъведете всяко от тези уравнения.
Нека се върнем към първото уравнение 25 х+ 10г= 200. Една от двойките стойности за това уравнение беше двойката (6; 5) . Това е случай, когато за 200 рубли можете да си купите 6 торти и 5 чаши кафе.
Нека формулираме проблема така, че двойката (6; 5) да стане единственото решение на уравнение 25 х+ 10г= 200. За да направим това, нека създадем друго уравнение, което да свърже същото хторти и гчаши кафе.
Нека формулираме текста на задачата, както следва:
„Студентът купи няколко торти и няколко чаши кафе за 200 рубли. Торта струва 25 рубли, а чаша кафе - 10 рубли. Колко торти и чаши кафе е купил ученикът, ако се знае, че броят на тортите е с една единица по-голям от броя на чашите кафе?
Вече имаме първото уравнение. Това е уравнение 25 х+ 10г= 200. Сега нека създадем уравнение за условието „броят на тортите е с една единица по-голям от броя на чашите кафе“ .
Броят на тортите е х, а броят на чашите кафе е г. Можете да напишете тази фраза, като използвате уравнението x−y= 1. Това уравнение ще означава, че разликата между сладкиши и кафе е 1.
x = y+ 1 . Това уравнение означава, че броят на тортите е с едно повече от броя на чашите кафе. Следователно, за да се получи равенство, към броя на чашите кафе се добавя единица. Това може лесно да се разбере, ако използваме модела на скалите, който разгледахме при изучаването на най-простите задачи:
Имаме две уравнения: 25 х+ 10г= 200 и x = y+ 1. Тъй като стойностите хИ г, а именно 6 и 5 са включени във всяко от тези уравнения, тогава заедно те образуват система. Нека запишем тази система. Ако уравненията образуват система, тогава те са рамкирани със знака на системата. Системният символ е фигурна скоба:
Нека решим тази система. Това ще ни позволи да видим как стигаме до стойностите 6 и 5. Има много методи за решаване на такива системи. Нека да разгледаме най-популярните от тях.
Метод на заместване
Името на този метод говори само за себе си. Същността му е да замести едно уравнение в друго, като предварително е изразила една от променливите.
В нашата система нищо не трябва да се изразява. Във второто уравнение х = г+ 1 променлива хвече изразени. Тази променлива е равна на израза г+ 1 . След това можете да заместите този израз в първото уравнение вместо променливата х
След заместване на израза гВместо това + 1 в първото уравнение х, получаваме уравнението 25(г+ 1) + 10г= 200 . Това е линейно уравнение с една променлива. Това уравнение е доста лесно за решаване:
Намерихме стойността на променливата г. Сега нека заместим тази стойност в едно от уравненията и да намерим стойността х. За това е удобно да се използва второто уравнение х = г+ 1 . Нека заместим стойността в него г
Това означава, че двойката (6; 5) е решение на системата от уравнения, както възнамерявахме. Проверяваме и се уверяваме, че двойката (6; 5) удовлетворява системата:
Пример 2
Нека заместим първото уравнение х= 2 + гвъв второто уравнение 3 x− 2г= 9. В първото уравнение променливата хравно на израза 2 + г. Нека заместим този израз във второто уравнение вместо х
Сега нека намерим стойността х. За да направите това, нека заместим стойността гв първото уравнение х= 2 + г
Това означава, че решението на системата е стойността на двойката (5; 3)
Пример 3. Решете следната система от уравнения, като използвате метода на заместване:
Тук, за разлика от предишните примери, една от променливите не е изразена изрично.
За да замените едно уравнение в друго, първо трябва .
Препоръчително е да изразите променливата с коефициент единица. Променливата има коефициент едно х, който се съдържа в първото уравнение х+ 2г= 11. Нека изразим тази променлива.
След променлив израз х, нашата система ще приеме следната форма:
Сега нека заместим първото уравнение във второто и да намерим стойността г
Да заместим г х
Това означава, че решението на системата е двойка стойности (3; 4)
Разбира се, можете също да изразите променлива г. Това няма да промени корените. Но ако изразите y,Резултатът не е много просто уравнение, чието решаване ще отнеме повече време. Ще изглежда така:
Виждаме, че в този пример изразяваме хмного по-удобно от изразяването г .
Пример 4. Решете следната система от уравнения, като използвате метода на заместване:
Нека изразим в първото уравнение х. Тогава системата ще приеме формата:
г
Да заместим гв първото уравнение и намерете х. Можете да използвате оригиналното уравнение 7 х+ 9г= 8 или използвайте уравнението, в което е изразена променливата х. Ще използваме това уравнение, защото е удобно:
Това означава, че решението на системата е двойка стойности (5; −3)
Метод на добавяне
Методът на добавяне се състои в добавяне на уравненията, включени в системата член по член. Това добавяне води до ново уравнение с една променлива. И решаването на такова уравнение е доста просто.
Нека решим следната система от уравнения:
Нека съберем лявата страна на първото уравнение с лявата страна на второто уравнение. И дясната страна на първото уравнение с дясната страна на второто уравнение. Получаваме следното равенство:
Нека да разгледаме подобни условия:
В резултат на това получихме най-простото уравнение 3 х= 27, чийто корен е 9. Знаейки стойността хможете да намерите стойността г. Нека заместим стойността хвъв второто уравнение x−y= 3 . Получаваме 9 − г= 3 . Оттук г= 6 .
Това означава, че решението на системата е двойка стойности (9; 6)
Пример 2
Нека съберем лявата страна на първото уравнение с лявата страна на второто уравнение. И дясната страна на първото уравнение с дясната страна на второто уравнение. В полученото равенство представяме подобни членове:
В резултат на това получихме най-простото уравнение 5 х= 20, чийто корен е 4. Знаейки стойността хможете да намерите стойността г. Нека заместим стойността хв първото уравнение 2 x+y= 11. Да вземем 8+ г= 11. Оттук г= 3 .
Това означава, че решението на системата е двойка стойности (4;3)
Процесът на добавяне не е описан подробно. Трябва да се направи психически. При събиране и двете уравнения трябва да бъдат приведени до канонична форма. Това ще рече ac + от = c .
От разгледаните примери става ясно, че основната цел на добавянето на уравнения е да се отървем от една от променливите. Но не винаги е възможно незабавно да се реши система от уравнения, като се използва методът на добавяне. Най-често системата първо се довежда до форма, в която могат да се добавят уравненията, включени в тази система.
Например системата 
може да се реши веднага чрез добавяне. При добавяне на двете уравнения, членовете гИ −yще изчезнат, защото сборът им е нула. В резултат на това се формира най-простото уравнение 11 х= 22, чийто корен е 2. Тогава ще бъде възможно да се определи гравно на 5.
И системата от уравнения 
Методът на добавяне не може да бъде решен веднага, тъй като това няма да доведе до изчезването на една от променливите. Добавянето ще доведе до уравнение 8 х+ г= 28, което има безкраен брой решения.
Ако двете страни на уравнението се умножат или разделят на едно и също число, което не е равно на нула, получавате уравнение, еквивалентно на даденото. Това правило е вярно и за система от линейни уравнения с две променливи. Едно от уравненията (или и двете уравнения) може да бъде умножено по произволно число. Резултатът ще бъде еквивалентна система, чиито корени ще съвпадат с предишната.
Да се върнем към първата система, която описва колко торти и чаши кафе е купил ученик. Решението на тази система беше двойка стойности (6; 5).
Нека умножим двете уравнения, включени в тази система, с някои числа. Да кажем, че умножаваме първото уравнение по 2, а второто по 3
В резултат на това получихме система 
Решението на тази система все още е двойката стойности (6; 5)
Това означава, че уравненията, включени в системата, могат да бъдат приведени до форма, подходяща за прилагане на метода на добавяне.
Да се върнем към системата , което не можахме да решим с помощта на метода на добавяне.
Умножете първото уравнение по 6, а второто по −2
Тогава получаваме следната система:
Нека съберем уравненията, включени в тази система. Добавяне на компоненти 12 хи −12 хще доведе до 0, добавяне 18 ги 4 гще даде 22 ги добавянето на 108 и −20 дава 88. Тогава получаваме уравнение 22 г= 88, от тук г = 4 .
Ако в началото ви е трудно да добавяте уравнения наум, тогава можете да запишете как лявата страна на първото уравнение се събира с лявата страна на второто уравнение и дясната страна на първото уравнение с дясната страна на второ уравнение:
Знаейки, че стойността на променливата ге равно на 4, можете да намерите стойността х. Да заместим гв едно от уравненията, например в първото уравнение 2 х+ 3г= 18. Тогава получаваме уравнение с една променлива 2 х+ 12 = 18. Нека преместим 12 надясно, променяйки знака, получаваме 2 х= 6, оттук х = 3 .
Пример 4. Решете следната система от уравнения, като използвате метода на събиране:
Нека умножим второто уравнение по −1. Тогава системата ще приеме следния вид:
Нека съберем и двете уравнения. Добавяне на компоненти хИ −xще доведе до 0, добавяне 5 ги 3 гще даде 8 ги добавянето на 7 и 1 дава 8. Резултатът е уравнение 8 г= 8, чийто корен е 1. Знаейки, че стойността ге равно на 1, можете да намерите стойността х .
Да заместим гв първото уравнение, получаваме х+ 5 = 7, следователно х= 2
Пример 5. Решете следната система от уравнения, като използвате метода на събиране:
Желателно е термините, съдържащи еднакви променливи, да са разположени един под друг. Следователно във второто уравнение членовете 5 ги −2 хДа си разменим местата. В резултат на това системата ще приеме формата:
Нека умножим второто уравнение по 3. Тогава системата ще приеме формата:
Сега нека съберем двете уравнения. В резултат на събирането получаваме уравнение 8 г= 16, чийто корен е 2.
Да заместим гв първото уравнение получаваме 6 х− 14 = 40. Нека преместим члена −14 от дясната страна, променяйки знака, и получаваме 6 х= 54 . Оттук х= 9.
Пример 6. Решете следната система от уравнения, като използвате метода на събиране:
Да се отървем от дробите. Умножете първото уравнение по 36, а второто по 12
В получената система 
първото уравнение може да се умножи по −5, а второто по 8
Нека съберем уравненията в получената система. Тогава получаваме най-простото уравнение −13 г= −156 . Оттук г= 12. Да заместим гв първото уравнение и намерете х
Пример 7. Решете следната система от уравнения, като използвате метода на събиране:
Нека приведем и двете уравнения в нормална форма. Тук е удобно да се приложи правилото за пропорцията и в двете уравнения. Ако в първото уравнение дясната страна е представена като , а дясната страна на второто уравнение като , тогава системата ще приеме формата:
Имаме пропорция. Нека умножим неговите крайни и средни членове. Тогава системата ще приеме формата:
Нека умножим първото уравнение по −3 и отворим скобите във второто:
Сега нека съберем двете уравнения. В резултат на добавянето на тези уравнения получаваме равенство с нула от двете страни:
Оказва се, че системата има безброй решения.
Но не можем просто да вземем произволни стойности от небето хИ г. Можем да посочим една от стойностите, а другата ще се определи в зависимост от стойността, която сме посочили. Например, нека х= 2. Нека заместим тази стойност в системата:
В резултат на решаването на едно от уравненията стойността за г, което ще задоволи и двете уравнения:
Получената двойка стойности (2; −2) ще задоволи системата:
Нека намерим друга двойка стойности. Нека х= 4. Нека заместим тази стойност в системата:
Можете да разберете на око, че стойността ге равно на нула. След това получаваме двойка стойности (4; 0), които удовлетворяват нашата система:
Пример 8. Решете следната система от уравнения, като използвате метода на събиране:
Умножете първото уравнение по 6, а второто по 12
Нека пренапишем това, което е останало:
Нека умножим първото уравнение по −1. Тогава системата ще приеме формата:
Сега нека съберем двете уравнения. В резултат на събирането се образува уравнение 6 b= 48, чийто корен е 8. Заместете bв първото уравнение и намерете а
Система от линейни уравнения с три променливи
Линейно уравнение с три променливи включва три променливи с коефициенти, както и разделителен член. В канонична форма може да се напише по следния начин:
брадва + от + cz = d
Това уравнение има безброй решения. Като дадете на две променливи различни стойности, може да се намери трета стойност. Решението в този случай е тройка от стойности ( x; y; z), което превръща уравнението в идентичност.
Ако променливите x, y, zса свързани помежду си с три уравнения, тогава се образува система от три линейни уравнения с три променливи. За да разрешите такава система, можете да използвате същите методи, които се прилагат за линейни уравнения с две променливи: метод на заместване и метод на добавяне.
Пример 1. Решете следната система от уравнения, като използвате метода на заместване:
Нека изразим в третото уравнение х. Тогава системата ще приеме формата:
Сега нека направим замяната. Променлива хе равно на израза 3 − 2г − 2z . Нека заместим този израз в първото и второто уравнения:
Нека отворим скобите в двете уравнения и представим подобни термини:
Стигнахме до система от линейни уравнения с две променливи. В този случай е удобно да използвате метода на добавяне. В резултат на това променливата гще изчезне и можем да намерим стойността на променливата z
Сега нека намерим стойността г. За да направите това, е удобно да използвате уравнението − г+ z= 4. Заместете стойността в него z
Сега нека намерим стойността х. За да направите това, е удобно да използвате уравнението х= 3 − 2г − 2z . Нека заместим стойностите в него гИ z
По този начин тройката от стойности (3; −2; 2) е решение на нашата система. Чрез проверка се уверяваме, че тези стойности удовлетворяват системата:
Пример 2. Решете системата чрез метода на събиране
Нека съберем първото уравнение с второто, умножено по −2.
Ако второто уравнение се умножи по −2, то приема формата −6х+ 6y − 4z = −4 . Сега нека го добавим към първото уравнение:
Виждаме, че в резултат на елементарни трансформации се определя стойността на променливата х. То е равно на едно.
Да се върнем към основната система. Нека съберем второто уравнение с третото, умножено по −1. Ако третото уравнение се умножи по −1, то приема формата −4х + 5г − 2z = −1 . Сега нека го добавим към второто уравнение:
Получихме уравнението x− 2г= −1 . Нека заместим стойността в него хкоито открихме по-рано. Тогава можем да определим стойността г
Сега знаем значенията хИ г. Това ви позволява да определите стойността z. Нека използваме едно от уравненията, включени в системата:
По този начин тройната стойност (1; 1; 1) е решението на нашата система. Чрез проверка се уверяваме, че тези стойности удовлетворяват системата:
Задачи за съставяне на системи от линейни уравнения
Задачата за съставяне на системи от уравнения се решава чрез въвеждане на няколко променливи. След това се съставят уравнения въз основа на условията на проблема. От съставените уравнения съставят система и я решават. След решаването на системата е необходимо да се провери дали нейното решение отговаря на условията на проблема.
Проблем 1. Автомобил Волга излязъл от града до колхоза. Тя се върна обратно по друг път, който беше с 5 км по-къс от първия. Общо колата е изминала 35 км отиване и връщане. Колко километра е дължината на всеки път?
Решение
Нека х—дължина на първия път, г- дължина на втория. Ако колата е изминала 35 km отиване и връщане, тогава първото уравнение може да бъде написано като х+ г= 35. Това уравнение описва сумата от дължините на двата пътя.
Говори се, че колата се е върнала по път, който е с 5 км по-къс от първия. Тогава второто уравнение може да бъде написано като х− г= 5. Това уравнение показва, че разликата между дължините на пътя е 5 км.
Или второто уравнение може да бъде написано като х= г+ 5. Ще използваме това уравнение.
Тъй като променливите хИ гв двете уравнения означават едно и също число, тогава можем да формираме система от тях:
Нека решим тази система, като използваме някои от вече изучените методи. В този случай е удобно да се използва методът на заместване, тъй като във второто уравнение променливата хвече изразени.
Заместете второто уравнение в първото и намерете г
Нека заместим намерената стойност гвъв второто уравнение х= г+ 5 и ще намерим х
Дължината на първия път беше посочена чрез променливата х. Сега открихме значението му. Променлива хе равно на 20. Това означава, че дължината на първия път е 20 км.
И дължината на втория път беше обозначена с г. Стойността на тази променлива е 15. Това означава, че дължината на втория път е 15 км.
Да проверим. Първо, нека се уверим, че системата е решена правилно:
Сега нека проверим дали решението (20; 15) удовлетворява условията на задачата.
Беше казано, че колата е изминала общо 35 км отиване и връщане. Събираме дължините на двата пътя и се уверяваме, че решението (20; 15) удовлетворява това условие: 20 км + 15 км = 35 км
Следното условие: колата се върна обратно по друг път, който беше с 5 км по-къс от първия . Виждаме, че решение (20; 15) също удовлетворява това условие, тъй като 15 km е по-късо от 20 km с 5 km: 20 км − 15 км = 5 км
При съставянето на система е важно променливите да представляват едни и същи числа във всички уравнения, включени в тази система.
Така че нашата система съдържа две уравнения. Тези уравнения от своя страна съдържат променливи хИ г, които представляват едни и същи числа в двете уравнения, а именно дължини на пътя от 20 km и 15 km.
Проблем 2. На платформата бяха натоварени дъбови и борови траверси, общо 300 бр. Известно е, че всички дъбови траверси са тежали с 1 тон по-малко от всички борови траверси. Определете колко дъбови и борови траверси е имало поотделно, ако всеки дъбов траверс е тежал 46 kg, а всеки чамов траверс е 28 kg.
Решение
Нека хдъб и гчамови траверси бяха натоварени на платформата. Ако имаше общо 300 траверси, тогава първото уравнение може да бъде написано като x+y = 300 .
Всички дъбови траверси тежаха 46 хкг, а боровите тежаха 28 гкг. Тъй като дъбовите траверси тежаха с 1 тон по-малко от боровите траверси, второто уравнение може да бъде написано като 28y − 46х= 1000 . Това уравнение показва, че разликата в масата между дъбови и борови траверси е 1000 kg.
Тоновете бяха превърнати в килограми, тъй като масата на дъбовите и борови траверси беше измерена в килограми.
В резултат на това получаваме две уравнения, които образуват системата
Нека решим тази система. Нека изразим в първото уравнение х. Тогава системата ще приеме формата:
Заместете първото уравнение във второто и намерете г
Да заместим гв уравнението х= 300 − ги разберете какво е то х
Това означава, че на платформата са натоварени 100 дъбови и 200 чамови траверси.
Нека проверим дали решението (100; 200) удовлетворява условията на задачата. Първо, нека се уверим, че системата е решена правилно:
Говореше се, че има общо 300 спящи. Събираме броя на дъбовите и борови траверси и се уверяваме, че решението (100; 200) отговаря на това условие: 100 + 200 = 300.
Следното условие: всички дъбови траверси тежаха с 1 тон по-малко от всички борови траверси . Виждаме, че решението (100; 200) също удовлетворява това условие, тъй като 46 × 100 kg дъбови траверси са по-леки от 28 × 200 kg борови траверси: 5600 кг − 4600 кг = 1000 кг.
Проблем 3. Взехме три парчета медно-никелова сплав в съотношения 2: 1, 3: 1 и 5: 1 по тегло. От тях беше слято парче с тегло 12 kg със съотношение на съдържание на мед и никел 4: 1. Намерете масата на всяка оригинална част, ако масата на първата е два пъти по-голяма от масата на втората.
