La videolección “Transformación de expresiones que contienen la operación de extraer una raíz cuadrada” es una ayuda visual que facilita al profesor desarrollar habilidades para resolver problemas que contienen expresiones con raíz cuadrada. Durante la lección se recuerdan los fundamentos teóricos que sirven de base para realizar operaciones con números y variables presentes en expresiones radicales, la solución de muchos tipos de problemas que pueden requerir la capacidad de utilizar fórmulas para convertir expresiones que contienen una raíz cuadrada es Se describen y se dan métodos para deshacerse de la irracionalidad en el denominador de una fracción.
La lección en video comienza demostrando el título del tema. Cabe señalar que anteriormente en las lecciones se llevaron a cabo transformaciones de expresiones racionales. En este caso se utilizó información teórica sobre monomios y polinomios, métodos de trabajo con polinomios, fracciones algebraicas, así como fórmulas de multiplicación abreviadas. Este video tutorial analiza la introducción de la operación de raíz cuadrada para transformar expresiones. Se recuerda a los estudiantes las propiedades de la operación de raíz cuadrada. Entre tales propiedades se indica que después de sacar la raíz cuadrada del cuadrado de un número, se obtiene el número en sí, la raíz del producto de dos números es igual al producto de dos raíces de estos números, la raíz del cociente de dos números es igual al cociente de las raíces de los términos del cociente. La última propiedad discutida es sacar la raíz cuadrada de un número elevado a una potencia par √a 2 n, lo que da como resultado un número elevado a la potencia a n. Las propiedades consideradas son válidas para cualquier número no negativo.
Se consideran ejemplos que requieren transformaciones de expresiones que contienen una raíz cuadrada. Se afirma que estos ejemplos suponen que a y b son números no negativos. En el primer ejemplo, es necesario simplificar las expresiones √16a 4 /9b 4 y √a 2 b 4 . En el primer caso se aplica una propiedad que determina que la raíz cuadrada del producto de dos números es igual al producto de sus raíces. Como resultado de la transformación se obtiene la expresión ab 2. La segunda expresión usa la fórmula para convertir la raíz cuadrada de un cociente en cociente de raíces. El resultado de la transformación es la expresión 4a 2 /3b 3.
En el segundo ejemplo, es necesario eliminar el factor debajo del signo de la raíz cuadrada. Se considera la solución de las expresiones √81а, √32а 2, √9а 7 b 5. Usando el ejemplo de transformar cuatro expresiones, mostramos cómo se usa la fórmula para transformar la raíz de un producto de varios números para resolver problemas similares. En este caso, se anotan por separado los casos en los que las expresiones contienen coeficientes y parámetros numéricos en grado par o impar. Como resultado de la transformación se obtienen las expresiones √81а=9√а, √32а 2 =4а√2, √9а 7 b 5 =3а 3 b 2 √ab.
En el tercer ejemplo, es necesario realizar una operación opuesta a la del problema anterior. Para ingresar un factor bajo el signo de la raíz cuadrada, también debes poder usar las fórmulas que has aprendido. Se propone introducir un factor delante de los paréntesis bajo el signo de la raíz en las expresiones 2√2 y 3a√b/√3a. Usando fórmulas bien conocidas, el factor delante del signo de la raíz se eleva al cuadrado y se coloca como factor en el producto debajo del signo de la raíz. En la primera expresión, la transformación da como resultado la expresión √8. La segunda expresión primero usa la fórmula del producto del caballo para transformar el numerador y luego la fórmula de la raíz del cociente para transformar la expresión completa. Después de reducir el numerador y el denominador en expresión radical, obtenemos √3ab.
En el ejemplo 4, necesitas realizar acciones en las expresiones (√a+√b)(√a-√b). Para resolver esta expresión se introducen nuevas variables que sustituyen a los monomios que contienen el signo de la raíz √a=x y √b=y. después de sustituir nuevas variables, es obvia la posibilidad de utilizar la fórmula de multiplicación abreviada, después de lo cual la expresión toma la forma x 2 -y 2. Volviendo a las variables originales, obtenemos a-b. La segunda expresión (√a+√b) 2 también se puede convertir usando la fórmula de multiplicación abreviada. Después de abrir los paréntesis, obtenemos el resultado a+2√ab+b.
En el ejemplo 5, las expresiones 4a-4√ab+b y x√x+1 están factorizadas. Para resolver este problema es necesario realizar transformaciones y aislar factores comunes. Después de aplicar las propiedades de la raíz cuadrada para resolver la primera expresión, la suma se convierte al cuadrado de la diferencia (2√a-√b) 2. Para resolver la segunda expresión, debes ingresar el factor antes del signo de la raíz debajo de la raíz y luego aplicar la fórmula para la suma de cubos. El resultado de la transformación es la expresión (√x+1)(x 2 -√x+1).
El ejemplo 6 demuestra la solución a un problema en el que es necesario simplificar la expresión (a√a+3√3)(√a-√3)/((√a-√3) 2 +√3a). La tarea se resuelve en cuatro pasos. En el primer paso, el numerador se convierte en un producto mediante la fórmula de multiplicación abreviada: la suma de los cubos de dos números. En la segunda acción se transforma el denominador de la expresión, que toma la forma a-√3a+3. Después de la conversión, resulta posible reducir la fracción. En el último paso también se aplica la fórmula de multiplicación abreviada, que ayuda a obtener el resultado final a-3.
En el séptimo ejemplo, es necesario eliminar la raíz cuadrada en los denominadores de las fracciones 1/√2 y 1/(√3-√2). Al resolver el problema se utiliza la propiedad básica de una fracción. Para deshacerse de la raíz en el denominador, el numerador y el denominador se multiplican por el mismo número, con la ayuda del cual se eleva al cuadrado la expresión radical. Como resultado de los cálculos, obtenemos 1/√2=√2/2 y 1/(√3-√2)=√3+√2.
Se indican las características del lenguaje matemático cuando se trabaja con expresiones que contienen una raíz. Cabe señalar que el contenido de la raíz cuadrada en el denominador de la fracción significa el contenido de la irracionalidad. Y se dice que deshacerse del signo raíz en tal denominador es deshacerse de la irracionalidad en el denominador. Se describen métodos sobre cómo deshacerse de la irracionalidad: para transformar un denominador de la forma √a, es necesario multiplicar el numerador simultáneamente con el denominador por el número √a, y eliminar la irracionalidad para un denominador de la forma √a. -√b, el numerador y el denominador se multiplican por la expresión conjugada √a+√ b. Cabe señalar que deshacerse de la irracionalidad en dicho denominador simplifica enormemente la solución del problema.
Al final de la lección en video, se analiza una simplificación de la expresión 7/√7-2/(√7-√5)+4/(√5+√3). Para simplificar la expresión, se utilizan los métodos discutidos anteriormente para eliminar la irracionalidad en el denominador de fracciones. Se suman las expresiones resultantes, después de lo cual la forma simplificada de la expresión queda como √5-2√3.
Se recomienda el uso de la lección en video “Transformación de expresiones que contienen la operación de extraer una raíz cuadrada” en una lección escolar tradicional para desarrollar habilidades en la resolución de problemas que contienen una raíz cuadrada. Con el mismo fin, el vídeo puede ser utilizado por el profesor durante el aprendizaje a distancia. El material también se puede recomendar a los estudiantes para que realicen trabajos independientes en casa.
El material de este artículo debe considerarse como parte del tema transformación de expresiones irracionales. Aquí utilizaremos ejemplos para analizar todas las sutilezas y matices (que son muchos) que surgen al realizar transformaciones basadas en las propiedades de las raíces.
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Recordemos las propiedades de las raíces.
Ya que estamos a punto de abordar la transformación de expresiones utilizando las propiedades de las raíces, no está de más recordar las principales, o mejor aún, anotarlas en un papel y colocarlas frente a ti.
En primer lugar se estudian las raíces cuadradas y sus siguientes propiedades (a, b, a 1, a 2, ..., ak son números reales):
Y posteriormente se amplía la idea de raíz, se introduce la definición de raíz de enésimo grado, y se consideran las siguientes propiedades (a, b, a 1, a 2, ..., a k son números reales, m, n, n 1, n 2, ... , n k - números naturales):
Convertir expresiones con números bajo signos radicales.
Como de costumbre, primero aprenden a trabajar con expresiones numéricas y solo después pasan a expresiones con variables. Haremos lo mismo, y primero nos ocuparemos de la transformación de expresiones irracionales que contienen solo expresiones numéricas bajo los signos de las raíces, y luego, en el siguiente párrafo, introduciremos variables bajo los signos de las raíces.
¿Cómo se puede utilizar esto para transformar expresiones? Es muy sencillo: por ejemplo, podemos sustituir una expresión irracional por una expresión o viceversa. Es decir, si la expresión que se está convirtiendo contiene una expresión que coincide en apariencia con la expresión de la parte izquierda (derecha) de cualquiera de las propiedades de las raíces enumeradas, entonces se puede reemplazar por la expresión correspondiente de la parte derecha (izquierda). Esta es la transformación de expresiones utilizando las propiedades de las raíces.
Pongamos algunos ejemplos más.
Simplifiquemos la expresión. 
. Los números 3, 5 y 7 son positivos, por lo que podemos aplicar con seguridad las propiedades de las raíces. Aquí puedes actuar de diferentes maneras. Por ejemplo, una raíz basada en una propiedad se puede representar como , y una raíz que usa una propiedad con k=3 - como , con este enfoque la solución se verá así: 
Se podría hacerlo de manera diferente reemplazando con y luego con, en cuyo caso la solución se vería así: 
Otras soluciones son posibles, por ejemplo: 
Veamos la solución a otro ejemplo. Transformemos la expresión. Mirando la lista de propiedades de las raíces, seleccionamos de ella las propiedades que necesitamos para resolver el ejemplo, está claro que aquí son útiles dos de ellas y , que son válidas para cualquier a . Tenemos: 
Alternativamente, primero se podrían transformar las expresiones radicales usando 
y luego aplicar las propiedades de las raíces. 
Hasta este punto, hemos convertido expresiones que solo contienen raíces cuadradas. Es hora de trabajar con raíces que tienen diferentes indicadores.
Ejemplo.
Convertir la expresión irracional 
.
Solución.
Por propiedad 
el primer factor de un producto dado se puede reemplazar por el número −2: 
Sigamos adelante. El segundo factor debido a la propiedad. 
se puede representar como , y no estaría de más sustituir 81 por una cuádruple potencia de tres, ya que el número 3 aparece bajo los signos de las raíces en los restantes factores: 
Es aconsejable reemplazar la raíz de una fracción con una proporción de raíces de la forma , que se puede transformar aún más: 
. Tenemos 
La expresión resultante después de realizar acciones de dos en dos tomará la forma 
, y queda transformar el producto de las raíces.
Para transformar productos de raíces, se suele reducir a un indicador, para lo cual es recomendable tomar los indicadores de todas las raíces. En nuestro caso, MCM(12, 6, 12) = 12, y solo habrá que reducir la raíz a este indicador, ya que las otras dos raíces ya tienen dicho indicador. La igualdad, que se aplica de derecha a izquierda, nos permite afrontar esta tarea. Entonces 
. Teniendo en cuenta este resultado, tenemos 
Ahora el producto de las raíces puede ser reemplazado por la raíz del producto y realizar las transformaciones restantes, ya obvias: 
Escribamos una versión corta de la solución: 
Respuesta:
.
Destacamos por separado que para aplicar las propiedades de las raíces, es necesario tener en cuenta las restricciones impuestas a los números bajo los signos de las raíces (a≥0, etc.). Ignorarlos puede provocar resultados incorrectos. Por ejemplo, sabemos que la propiedad se cumple para a no negativo. En base a esto, podemos movernos fácilmente, por ejemplo, de a, ya que 8 es un número positivo. Pero si tomamos una raíz significativa de un número negativo, por ejemplo, y, según la propiedad indicada anteriormente, la reemplazamos con , entonces en realidad reemplazamos −2 con 2. De hecho, ah. Es decir, para a negativo la igualdad puede ser incorrecta, así como otras propiedades de las raíces pueden ser incorrectas sin tener en cuenta las condiciones especificadas para ellas.
Pero lo dicho en el párrafo anterior no significa en absoluto que las expresiones con números negativos bajo los signos de las raíces no puedan transformarse utilizando las propiedades de las raíces. Solo es necesario "prepararlos" primero aplicando las reglas de las operaciones con números o utilizando la definición de raíz impar de un número negativo, que corresponde a la igualdad. 
, donde −a es un número negativo (y a es positivo). Por ejemplo, no se puede reemplazar inmediatamente por , ya que −2 y −3 son números negativos, pero nos permite pasar de la raíz a y luego aplicar la propiedad de la raíz de un producto: 
. Pero en uno de los ejemplos anteriores, no fue necesario pasar de raíz a raíz del decimoctavo poder. 
, y entonces 
.
Entonces, para transformar expresiones usando las propiedades de las raíces, necesitas
- seleccione la propiedad apropiada de la lista,
- asegúrese de que los números debajo de la raíz cumplan las condiciones para la propiedad seleccionada (de lo contrario, deberá realizar transformaciones preliminares),
- y llevar a cabo la transformación prevista.
Convertir expresiones con variables bajo signos radicales.
Para transformar expresiones irracionales que contienen no sólo números sino también variables bajo el signo de raíz, se deben aplicar cuidadosamente las propiedades de las raíces enumeradas en el primer párrafo de este artículo. Esto se debe principalmente a las condiciones que deben cumplir los números involucrados en las fórmulas. Por ejemplo, según la fórmula, la expresión se puede reemplazar por una expresión solo para aquellos valores de x que satisfacen las condiciones x≥0 y x+1≥0, ya que la fórmula especificada se especifica para a≥0 y b ≥0.
¿Cuáles son los peligros de ignorar estas condiciones? La respuesta a esta pregunta queda claramente demostrada con el siguiente ejemplo. Digamos que necesitamos calcular el valor de una expresión en x=−2. Si sustituimos inmediatamente el número −2 en lugar de la variable x, obtendremos el valor que necesitamos 
. Ahora imaginemos que, basándonos en algunas consideraciones, convertimos la expresión dada a la forma y solo después de eso decidimos calcular el valor. Sustituimos el número −2 en lugar de x y llegamos a la expresión 
, lo cual no tiene sentido.
Veamos qué sucede con el rango de valores permitidos (APV) de la variable x al pasar de una expresión a otra. No es casualidad que mencionemos la ODZ, ya que es una herramienta seria para monitorear la admisibilidad de las transformaciones realizadas, y un cambio en la ODZ después de transformar una expresión debería, como mínimo, generar señales de alerta. Encontrar la ODZ para estas expresiones no es difícil. Para la expresión ODZ se determina a partir de la desigualdad x·(x+1)≥0, su solución da el conjunto numérico (−∞, −1]∪∪)
