Tabla de valores de funciones trigonométricas.

Nota. Esta tabla de valores de funciones trigonométricas utiliza el signo √ para representar la raíz cuadrada. Para indicar una fracción, utilice el símbolo "/".

Ver también materiales útiles:

Para determinar el valor de una función trigonométrica, encuéntralo en la intersección de la línea que indica la función trigonométrica. Por ejemplo, seno 30 grados: buscamos la columna con el encabezado sin (seno) y encontramos la intersección de esta columna de la tabla con la fila "30 grados", en su intersección leemos el resultado: la mitad. De manera similar encontramos coseno 60 grados, seno 60 grados (una vez más, en la intersección de la columna sin y la línea de 60 grados encontramos el valor sin 60 = √3/2), etc. Los valores de los senos, cosenos y tangentes de otros ángulos “populares” se encuentran de la misma forma.

Seno pi, coseno pi, tangente pi y otros ángulos en radianes

La siguiente tabla de cosenos, senos y tangentes también es adecuada para encontrar el valor de funciones trigonométricas cuyo argumento es dado en radianes. Para hacer esto, use la segunda columna de valores de ángulos. Gracias a esto, puedes convertir el valor de los ángulos populares de grados a radianes. Por ejemplo, busquemos el ángulo de 60 grados en la primera línea y leamos su valor en radianes debajo. 60 grados es igual a π/3 radianes.

El número pi expresa inequívocamente la dependencia de la circunferencia de la medida en grados del ángulo. Por tanto, pi radianes equivalen a 180 grados.

Cualquier número expresado en términos de pi (radianes) se puede convertir fácilmente a grados reemplazando pi (π) por 180..

Ejemplos:
1. Seno pi.
pecado π = pecado 180 = 0
por tanto, el seno de pi es igual al seno de 180 grados y es igual a cero.

2. coseno pi.
porque π = porque 180 = -1
por tanto, el coseno de pi es igual al coseno de 180 grados y es igual a menos uno.

3. pi tangente
tg π = tg 180 = 0
por tanto, la tangente pi es igual a la tangente de 180 grados y es igual a cero.

Tabla de valores de seno, coseno y tangente para ángulos de 0 a 360 grados (valores comunes)

valor del ángulo α (grados)	valor del ángulo α en radianes (vía pi)	pecado (seno)	porque (coseno)	tg (tangente)	ctg (cotangente)	segundo (secante)	cosec (cosecante)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Si en la tabla de valores de funciones trigonométricas se indica un guión en lugar del valor de la función (tangente (tg) 90 grados, cotangente (ctg) 180 grados), entonces para un valor dado de la medida en grados del ángulo la función no tiene un valor específico. Si no hay un guión, la celda está vacía, lo que significa que aún no hemos ingresado el valor requerido. Nos interesa saber qué consultas nos solicitan los usuarios y complementar la tabla con nuevos valores, a pesar de que los datos actuales sobre los valores de cosenos, senos y tangentes de los valores de ángulos más comunes son suficientes para resolver la mayoría. problemas.

Tabla de valores de funciones trigonométricas sen, cos, tg para los ángulos más populares
0, 15, 30, 45, 60, 90... 360 grados
(valores numéricos “según tablas Bradis”)

valor del ángulo α (grados)	valor del ángulo α en radianes	pecado (seno)	cos (coseno)	tg (tangente)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321

	7π/18

La trigonometría, como ciencia, se originó en el Antiguo Oriente. Los astrónomos derivaron las primeras relaciones trigonométricas para crear un calendario y una orientación precisos de las estrellas. Estos cálculos se relacionan con la trigonometría esférica, mientras que en el curso escolar se estudia la proporción de lados y ángulos de un triángulo plano.

La trigonometría es una rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades de las funciones trigonométricas y las relaciones entre los lados y ángulos de los triángulos.

Durante el apogeo de la cultura y la ciencia en el primer milenio d.C., el conocimiento se extendió desde el Antiguo Oriente hasta Grecia. Pero los principales descubrimientos de la trigonometría son mérito de los hombres del califato árabe. En particular, el científico turcomano al-Marazwi introdujo funciones como la tangente y la cotangente y compiló las primeras tablas de valores de senos, tangentes y cotangentes. Los conceptos de seno y coseno fueron introducidos por científicos indios. La trigonometría recibió mucha atención en las obras de grandes figuras de la antigüedad como Euclides, Arquímedes y Eratóstenes.

Cantidades básicas de trigonometría.

Las funciones trigonométricas básicas de un argumento numérico son seno, coseno, tangente y cotangente. Cada uno de ellos tiene su propia gráfica: seno, coseno, tangente y cotangente.

Las fórmulas para calcular los valores de estas cantidades se basan en el teorema de Pitágoras. Los escolares lo conocen mejor en la formulación: "Pantalones pitagóricos, iguales en todas las direcciones", ya que la prueba se da en el ejemplo de un triángulo rectángulo isósceles.

El seno, el coseno y otras relaciones establecen la relación entre los ángulos agudos y los lados de cualquier triángulo rectángulo. Presentemos fórmulas para calcular estas cantidades para el ángulo A y tracemos las relaciones entre funciones trigonométricas:

Como puedes ver, tg y ctg son funciones inversas. Si imaginamos el cateto a como el producto del pecado A y la hipotenusa c, y el cateto b como cos A * c, obtenemos las siguientes fórmulas para tangente y cotangente:

círculo trigonométrico

Gráficamente, la relación entre las cantidades mencionadas se puede representar de la siguiente manera:

El círculo en este caso representa todos los valores posibles del ángulo α, desde 0° hasta 360°. Como se puede ver en la figura, cada función toma un valor negativo o positivo según el ángulo. Por ejemplo, sen α tendrá un signo “+” si α pertenece al primer y segundo cuarto del círculo, es decir, está en el rango de 0° a 180°. Para α de 180° a 360° (cuartos III y IV), sen α sólo puede ser un valor negativo.

Intentemos construir tablas trigonométricas para ángulos específicos y descubrir el significado de las cantidades.

Los valores de α iguales a 30°, 45°, 60°, 90°, 180° y así sucesivamente se denominan casos especiales. Los valores de las funciones trigonométricas para ellos se calculan y presentan en forma de tablas especiales.

Estos ángulos no fueron elegidos al azar. La designación π en las tablas es para radianes. Rad es el ángulo en el que la longitud del arco de un círculo corresponde a su radio. Este valor se introdujo para establecer una dependencia universal; al calcular en radianes, la longitud real del radio en cm no importa.

Los ángulos en las tablas de funciones trigonométricas corresponden a valores en radianes:

Entonces, no es difícil adivinar que 2π es un círculo completo o 360°.

Propiedades de las funciones trigonométricas: seno y coseno

Para considerar y comparar las propiedades básicas del seno y el coseno, la tangente y la cotangente, es necesario dibujar sus funciones. Esto se puede hacer en forma de curva ubicada en un sistema de coordenadas bidimensional.

Considere la tabla comparativa de propiedades del seno y el coseno:

onda sinusoidal	Coseno
y = senx	y = porque x
ODZ [-1; 1]	ODZ [-1; 1]
sen x = 0, para x = πk, donde k ϵ Z	cos x = 0, para x = π/2 + πk, donde k ϵ Z
sen x = 1, para x = π/2 + 2πk, donde k ϵ Z	cos x = 1, en x = 2πk, donde k ϵ Z
sen x = - 1, en x = 3π/2 + 2πk, donde k ϵ Z	cos x = - 1, para x = π + 2πk, donde k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, es decir, la función es impar	cos (-x) = cos x, es decir, la función es par
	la función es periódica, el período más pequeño es 2π
sen x › 0, siendo x perteneciente a los cuartos I y II o de 0° a 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, siendo x perteneciente a los cuartos I y IV o de 270° a 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sen x ‹ 0, siendo x perteneciente al tercer y cuarto cuarto o de 180° a 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, siendo x perteneciente al 2º y 3º cuarto o de 90° a 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
incrementos en el intervalo [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	aumenta en el intervalo [-π + 2πk, 2πk]
disminuye en intervalos [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	disminuye en intervalos
derivada (sen x)’ = cos x	derivada (cos x)’ = - sen x

Determinar si una función es par o no es muy sencillo. Basta imaginar un círculo trigonométrico con los signos de cantidades trigonométricas y "doblar" mentalmente la gráfica con respecto al eje OX. Si los signos coinciden la función es par, en caso contrario es impar.

La introducción de radianes y el listado de las propiedades básicas de las ondas seno y coseno nos permiten presentar el siguiente patrón:

Es muy fácil verificar que la fórmula es correcta. Por ejemplo, para x = π/2, el seno es 1, al igual que el coseno de x = 0. La verificación se puede realizar consultando tablas o trazando curvas de función para valores dados.

Propiedades de tangentes y cotangentes.

Las gráficas de las funciones tangente y cotangente difieren significativamente de las funciones seno y coseno. Los valores tg y ctg son recíprocos entre sí.

Y = tanx.
La tangente tiende a los valores de y en x = π/2 + πk, pero nunca los alcanza.
El período positivo más pequeño de la tangentoide es π.
Tg (- x) = - tg x, es decir, la función es impar.
Tg x = 0, para x = πk.
La función es creciente.
Tg x › 0, para x ϵ (πk, π/2 + πk).
Tg x ‹ 0, para x ϵ (— π/2 + πk, πk).
Derivada (tg x)’ = 1/cos 2 ⁡x.

Considere la imagen gráfica de la cotangentoide a continuación en el texto.

Principales propiedades de los cotangentoides:

Y = cuna x.
A diferencia de las funciones seno y coseno, en la tangentoide Y puede tomar los valores del conjunto de todos los números reales.
La cotangentoide tiende a los valores de y en x = πk, pero nunca los alcanza.
El período positivo más pequeño de una cotangentoide es π.
Ctg (- x) = - ctg x, es decir, la función es impar.
Ctg x = 0, para x = π/2 + πk.
La función es decreciente.
Ctg x › 0, para x ϵ (πk, π/2 + πk).
Ctg x ‹ 0, para x ϵ (π/2 + πk, πk).
Derivada (ctg x)’ = - 1/sen 2 ⁡x Correcto

Coordenadas incógnita Los puntos que se encuentran en el círculo son iguales a cos(θ), y las coordenadas. y corresponden a sin(θ), donde θ es la magnitud del ángulo.

Si le resulta difícil recordar esta regla, recuerde que en el par (cos; sin) “el seno viene al final”.
Esta regla se puede derivar considerando los triángulos rectángulos y la definición de estas funciones trigonométricas (el seno de un ángulo es igual a la razón entre la longitud del lado opuesto y el coseno del lado adyacente a la hipotenusa).

Escribe las coordenadas de cuatro puntos del círculo. Un “círculo unitario” es un círculo cuyo radio es igual a uno. Utilice esto para determinar las coordenadas. incógnita Y y en cuatro puntos de intersección de los ejes de coordenadas con el círculo. Arriba, para mayor claridad, designamos estos puntos como “este”, “norte”, “oeste” y “sur”, aunque no tienen nombres establecidos.

"Este" corresponde al punto con coordenadas (1; 0) .
"Norte" corresponde al punto con coordenadas (0; 1) .
"Oeste" corresponde al punto con coordenadas (-1; 0) .
"Sur" corresponde al punto con coordenadas (0; -1) .
Esto es similar a un gráfico normal, por lo que no es necesario memorizar estos valores, solo recuerde el principio básico.

Recuerda las coordenadas de los puntos del primer cuadrante. El primer cuadrante se ubica en la parte superior derecha del círculo, donde se encuentran las coordenadas incógnita Y y tomar valores positivos. Estas son las únicas coordenadas que debes recordar:

el punto π/6 tiene coordenadas () ;
el punto π/4 tiene coordenadas () ;
el punto π/3 tiene coordenadas () ;
Tenga en cuenta que el numerador sólo toma tres valores. Si te mueves en una dirección positiva (de izquierda a derecha a lo largo del eje incógnita y de abajo hacia arriba a lo largo del eje y), el numerador toma los valores 1 → √2 → √3.

Dibuja líneas rectas y determina las coordenadas de los puntos de su intersección con el círculo. Si dibuja líneas rectas horizontales y verticales desde los puntos de un cuadrante, los segundos puntos de intersección de estas líneas con el círculo tendrán las coordenadas incógnita Y y con los mismos valores absolutos, pero diferentes signos. En otras palabras, puedes dibujar líneas horizontales y verticales desde los puntos del primer cuadrante y etiquetar los puntos de intersección con el círculo con las mismas coordenadas, pero al mismo tiempo dejar espacio a la izquierda para el signo correcto ("+" o "-").

Por ejemplo, se puede dibujar una línea horizontal entre los puntos π/3 y 2π/3. Dado que el primer punto tiene coordenadas ( 1 2 , 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2)))), las coordenadas del segundo punto serán (? 1 2 , ? 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),?(\frac (\sqrt (3))(2)))), donde en lugar del signo "+" o "-" hay un signo de interrogación.
Utilice el método más sencillo: preste atención a los denominadores de las coordenadas del punto en radianes. Todos los puntos con un denominador de 3 tienen los mismos valores de coordenadas absolutas. Lo mismo se aplica a los puntos con denominadores 4 y 6.

Para determinar el signo de las coordenadas, utilice las reglas de simetría. Hay varias formas de determinar dónde colocar el signo "-":

Recuerde las reglas básicas para los gráficos regulares. Eje incógnita negativo a la izquierda y positivo a la derecha. Eje y negativo abajo y positivo arriba;
Comience con el primer cuadrante y dibuje líneas hacia otros puntos. Si la recta cruza el eje y, coordinar incógnita cambiará de signo. Si la recta cruza el eje incógnita, el signo de la coordenada cambiará y;
recuerda que en el primer cuadrante todas las funciones son positivas, en el segundo cuadrante solo el seno es positivo, en el tercer cuadrante solo la tangente es positiva, y en el cuarto cuadrante solo el coseno es positivo;
Cualquiera que sea el método que utilice, debe obtener (+,+) en el primer cuadrante, (-,+) en el segundo, (-,-) en el tercero y (+,-) en el cuarto.

Comprueba si cometiste un error. A continuación se muestra una lista completa de coordenadas de puntos "especiales" (excepto los cuatro puntos en los ejes de coordenadas), si se mueve a lo largo del círculo unitario en sentido antihorario. Recuerda que para determinar todos estos valores basta con recordar las coordenadas de los puntos únicamente en el primer cuadrante:

primer cuadrante: ( 3 2 , 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2)))); (2 2 , 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (1 2 , 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2))));
segundo cuadrante: ( − 1 2 , 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2)))); (− 2 2 , 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 3 2 , 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2))));
tercer cuadrante: ( − 3 2 , − 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2)))); (− 2 2 , − 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 1 2 , − 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2))));
cuarto cuadrante: ( 1 2 , − 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2)))); (2 2 , − 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (3 2 , − 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2)))).

Este artículo contiene tablas de senos, cosenos, tangentes y cotangentes. Primero, proporcionaremos una tabla de los valores básicos de funciones trigonométricas, es decir, una tabla de senos, cosenos, tangentes y cotangentes de ángulos de 0, 30, 45, 60, 90,..., 360 grados ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2,…, 2π radián). Después de esto, daremos una tabla de senos y cosenos, así como una tabla de tangentes y cotangentes de V. M. Bradis, y mostraremos cómo usar estas tablas para encontrar los valores de funciones trigonométricas.

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Tabla de senos, cosenos, tangentes y cotangentes para ángulos de 0, 30, 45, 60, 90,... grados

Referencias.

Álgebra: Libro de texto para noveno grado. promedio escuela/yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky - M.: Educación, 1990. - 272 págs.: enfermo - ISBN 5-09-002727-7.
Bashmakov M. I.Álgebra y los inicios del análisis: Libro de texto. para 10-11 grados. promedio escuela - 3ª edición. - M.: Educación, 1993. - 351 p.: enfermo. - ISBN 5-09-004617-4.
Álgebra y el inicio del análisis: Proc. para 10-11 grados. educación general instituciones / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn y otros; Ed. A. N. Kolmogorov - 14ª ed. - M.: Educación, 2004. - 384 págs.: Ill.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matemáticas (un manual para quienes ingresan a las escuelas técnicas): Proc. asignación.- M.; Más alto escuela, 1984.-351 p., enfermo.
Bradis V. M. Tablas de matemáticas de cuatro dígitos: Para educación general. libro de texto establecimientos. - 2ª ed. - M.: Avutarda, 1999.- 96 p.: enfermo. ISBN 5-7107-2667-2

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